grup permutasi dan grup siklis
TRANSCRIPT
-
8/12/2019 Grup Permutasi Dan Grup Siklis
1/43
Grup Permutasi dan Grup Siklis
Winita Sulandari
-
8/12/2019 Grup Permutasi Dan Grup Siklis
2/43
Grup Permutasi
Suatu Permutasi dari suatu himpunan
berhingga S yang tidak kosong, dinyatakan
sebagai suatu pemetaan bijektif dari
himpunan S pada dirinya sendiri.
-
8/12/2019 Grup Permutasi Dan Grup Siklis
3/43
3
Definisi FungsiSuatu fungsi f dari A ke B adalah suatuaturan yang memetakan setiap elemen
A ke tepat satu elemen B, ditulis:
f : A B
Jika f memetakan a A ke b B, ditulis
f(a) = b
A Bf
a b)a(f
-
8/12/2019 Grup Permutasi Dan Grup Siklis
4/43
4
Fungsi satu-satu dan onto
1. Fungsi f : A B dikatakan satu-satu, jhj, jikaf(a)=f(b), maka a=b.
2. Fungsi f : A B dikatakan onto, jhj, untuk setiap
bB, ada aA sedemikian sehingga b = f(a)
32
1
4
3
2
1
4
3
2
1
3
2
1
A AB Bf f
11 onto
-
8/12/2019 Grup Permutasi Dan Grup Siklis
5/43
5
Fungsi KomposisiJika f dan g adalah fungsi-fungsi dengan f : A B
dan g : B C, maka ada fungsi dari A ke C.
Fungsi dari A ke C adalah fungsi komposisi yang
terdiri dari f diikuti g, ditulis: (gf)(a) = g(f(a)) = c,
dengan a A dan c C.gambar:
A B Cf g
)a)(fg(
a )a(f ))a(f(gc
-
8/12/2019 Grup Permutasi Dan Grup Siklis
6/43
6
Definisi PermutasiSuatu permutasi pada A adalah fungsi
dari A ke A yang sekaligus satu-satu
dan onto, ditulis
AA:f 11
onto
-
8/12/2019 Grup Permutasi Dan Grup Siklis
7/43
7
Contoh 1Diberikan A = { 1, 2, 3, 4, 5 }.
f adalah permutasi yang digambarkan sebagai:
atau
f ditulis dalam notasi baku sebagai berikut :15
34
53
22
41
13524
54321f
1
23
4
5
1
23
4
5
A Af
-
8/12/2019 Grup Permutasi Dan Grup Siklis
8/43
8
Dari: dapat diartikan bahwa:
f(1) = 4f(2) = 2
f(3) = 5
f(4) = 3
f(5) = 1
13524
54321f
-
8/12/2019 Grup Permutasi Dan Grup Siklis
9/43
9
Komposisi Permutasi Teorema)
Jika f dan g permutasi-permutasi pada
A, maka fg juga permutasi pada A.
( )AA:gf 11
onto
-
8/12/2019 Grup Permutasi Dan Grup Siklis
10/43
10
Contoh 2Misalkan dan
Maka f g =
sehingga (fg)(1) = f(g(1)) = f(3) = 5
(fg)(5) = f(g(5)) = f(1) = 4, dsb.
Jadi f g =
13524
54321f
12453
54321g
1352454321
1245354321
42315
54321
-
8/12/2019 Grup Permutasi Dan Grup Siklis
11/43
11
GRUP SIMETRIK
Diberikan A adalah himpunan berhingga
{1,2,3, ,n}.
Grup semua permutasi untuk A disebutgrup simetrik pada n huruf, dan
ditunjukkan dengan Sn.
Perhatikan bahwa Snmempunyai n! =n(n-1)(n-2)(3)(2)(1).
-
8/12/2019 Grup Permutasi Dan Grup Siklis
12/43
Teorema 2.4.2
Karakteristik atau orde dari grup Sn adalah n!.
-
8/12/2019 Grup Permutasi Dan Grup Siklis
13/43
13
Contoh:
Diberikan himpunan A = {1,2,3}.Contoh grup simetri A(S) = S3, order A(S) 3! = 6elemen.
Didaftar permutasi-permutasi untuk A sbb:
312321
,213321
123321,
132321
231321
,321321
32
21
1o
-
8/12/2019 Grup Permutasi Dan Grup Siklis
14/43
14
Dapat ditunjukkan
0
1
2
1
2
3
0
0
1
2
1
2
3
1
1
2
0
3
1
2
2 2 0 1 2 3 1
1
1
2
3
0
1
2
2
2
3
1
2
0
1
3
3
1
2
1
2
0
-
8/12/2019 Grup Permutasi Dan Grup Siklis
15/43
15
Perhatikan bahwa grup simetrik tersebut di atas
tidaklah komutatif (contoh grup berhingga yang
tidak komutatif)
Jadi S3mempunyai tingkat (order) minimaluntuk sembarang grup yang tidak komutatif.
-
8/12/2019 Grup Permutasi Dan Grup Siklis
16/43
Soal latihan
1.
Hitunglah komposisi sebagai berikut:
a) f g b) g f c) f-1
d) g-1 e) f 1g-1 f) (f g)-1
1 2 3 4 1 2 3 4
2 1 4 3 3 1 4 2f dan g
-
8/12/2019 Grup Permutasi Dan Grup Siklis
17/43
2.
Hitung
a) f g b) g-1f-1 c) (g f )-1d) f g2 e) f g2
1 2 3 4 1 2 3 4
3 4 1 2 4 3 1 2f dan g
-
8/12/2019 Grup Permutasi Dan Grup Siklis
18/43
Perkalian Langsung
Apabila terdapat dua buah grup G1 dan G2
maka dapat dibentuk grup baru dari kedua
grup tersebut
produk Cartesius dari dua himpunan A dan B
yang dinyatakan dengan
AxB = {(ai, bi) / ai A, biB}.
-
8/12/2019 Grup Permutasi Dan Grup Siklis
19/43
Teorema 2.5.2
Bila G dan H dua buah grup maka produk
Cartesius G x H dengan operasi :
( gi
, hi
) (gj
, hj
) = (gi
gj
, hi
hj
)
untuk setiap (gi, hi) dan (gj, hj) G x Hmaka G x H merupakan grup dan disebut
perkalian langsung (direct product) dari G dan
H.
-
8/12/2019 Grup Permutasi Dan Grup Siklis
20/43
Perhatikan operasi dalam grup
Contoh: 1
Dalam perkalian langsung Z x Z karena Zmerupakan grup terhadap operasi + maka
operasi dalam Z x Z berlaku sama. Misalkan
(a,b) dan (c,d) unsur dalam Z x Z maka
(a,b)(c,d) = (a + c,b + d) Z x Z.
-
8/12/2019 Grup Permutasi Dan Grup Siklis
21/43
Contoh 2:
Misal grup ( Z3, + ) dan grup permutasi (S2,)
Z3
x S2
= { (1,i), (2,i), (3,i), (1,(1 2)),(2,(1 2)),(3,(1 2))}
sedang operasi unsur-unsurnya sebagai berikut:
Misal,( 2, i) ( (3,(1 2)) = ( 2 + 3, i (1 2)) = ( 2, (1 2 ))
-
8/12/2019 Grup Permutasi Dan Grup Siklis
22/43
Apabila G dan H dua grup berhingga , maka
orde dari G x H yaitu G x H = G.H
-
8/12/2019 Grup Permutasi Dan Grup Siklis
23/43
Latihan soal
1. Bila grup G mempunyai unsur identitas i dan
grup H mempunyai unsur identitas e
buktikan {( gi, e) / giG } dan { (i, hi ) hiH} merupakan subgrup dari G x H
2. Tuliskan semua unsur dari grup S3x Z2dan
tentukan subgrup yang mungkin dalam
S3x Z2.
-
8/12/2019 Grup Permutasi Dan Grup Siklis
24/43
Latihan soal
3. Hitunglah perkalian unsur-unsur sebagai
berikut
a. ((123),2)((23),3) dalam S3x Z5
b. (2,3)(-1,5) dalam Q x Q* dimana Q* adalah
himpunan bilangan rasional tanpa unsur nol.
-
8/12/2019 Grup Permutasi Dan Grup Siklis
25/43
25
GRUP SIKLISHimpunan dengan anggota-anggota
berbentuk
membentuk suatu grup siklik, a sebagai
elemen pembangun atau penghasil atau
generator, biasa ditulis G = .
njijika,aaa
njijika,aaadan,eaadengan1n,,3,2,1,0i,a
njiji
jijin0
i
-
8/12/2019 Grup Permutasi Dan Grup Siklis
26/43
GRUP SIKLIS
Definisi 2.6.1
Suatu grup G dan suatu unsur g G, jikagrup G dapat dinyatakan sebagai
G = { gn/ n Z },maka g dikatakanpembangun dari grup G
dan grup G disebut grup siklis, biasanya
dinotasikan G =
-
8/12/2019 Grup Permutasi Dan Grup Siklis
27/43
Perlu diingat...
definisi grup siklis G = { gn/ n Z } digunakanoperasi perkalian, tetapi apabila grup G
dengan operasi penjumlahan, maka definisi
grup siklis menjadi
G = { n g / n Z } =
-
8/12/2019 Grup Permutasi Dan Grup Siklis
28/43
28
Contoh:1. Misalnya untuk n = 6, grup itu ialah
G = { e , a , a2, a3, a4, a5}Grup semacam ini biasa dinyatakan dengan C6, yaitu
grup siklis berorder 6, ( |G| = 6 )
Grup siklis berorde n dinyatakan dengan Cn.
2. Himpunan bilangan-bilangan bulat modulo n dengan
operasi penjumlahan modulo n merupakan suatu
grup siklis.
-
8/12/2019 Grup Permutasi Dan Grup Siklis
29/43
29
Misalkan G = Z6 = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 },
adalah grup siklik dengan elemen pembangunnya 1,
G = , sebab:10= 0, 13 = 3,
11= 1, 14= 4,
12= 2, 15= 5.
dapat juga dibangun oleh 5, G = ,sebab: 50= 0,
51= 5,
52= 5 + 5 = 4,
53
= 5 + 5 + 5 = 3,54= 5 + 5 + 5 + 5 = 2,
55= 5 + 5 + 5 +5 + 5 = 1.
Apakah masih ada unsur pembangun lainnya?
-
8/12/2019 Grup Permutasi Dan Grup Siklis
30/43
3. (Z,+) adalah grup siklis dengan unsur
pembangun 1 dan -1.
4. 3Z merupakan subgrup siklis yang dibangun
oleh 3, sehingga 3Z =
-
8/12/2019 Grup Permutasi Dan Grup Siklis
31/43
31
5. Himpunan operasi simetri dari bangun kitiran ini
terdiri dari rotasi dengan titik pusat O, dengan
sudut rotasi 90
o
, 180
o
, 270
o
, dan360o
Jika (O,90o)=S, maka
(O,180o)=S2, (O,270o)=S3,
dan (O,360o)=I
O
Jadi G = { I , S , S2 , S3} merupakan grup siklis dengan
pembangun S, G = , dan order G sama dengan 4
Tentukan order dan invers dari S, S2, dan S3.
-
8/12/2019 Grup Permutasi Dan Grup Siklis
32/43
32
6. Perhatikan segi-5 beraturan dengan pusat O dan
sudut-sudut rotasi 72o, 144o, 216o,
288o, dan 360o.
Jika (O,72o)=S, maka
(O,144o)=S2, (O,216o)=S3,(O,288o)=S4, dan (O,360o)=I
Sehingga { I , S , S2, S3, S4} merupakan suatu grup siklis
dengan order 5.
Tampak pula, bahwa |S| = 5, |S2| = 5, |S3| = 5, |S4| = 5
Disamping S, maka S2, S3, dan S4dapat menjadi
pembangun.
O o72
1
2
3
4
5
-
8/12/2019 Grup Permutasi Dan Grup Siklis
33/43
Orde dari grup siklis
Bila G grup siklis dibangun oleh unsur g, maka
orde G adalah sama dengan orde dariunsur pembangunnya yaitu ( g )
-
8/12/2019 Grup Permutasi Dan Grup Siklis
34/43
Lemma 2.6.2
Bila G suatu grup , g G makaH = { g n/ n Z }
merupakan subgrup terkecil dalam G yangdibangun oleh unsur g
Lemma 2.6.3
Setiap grup siklis G = adalah grup abel
-
8/12/2019 Grup Permutasi Dan Grup Siklis
35/43
Lemma 2.6.5
Subgrup dari grup siklis adalah siklis
Lemma 2.6.7
Dua grup siklis dengan orde yang sama akan
berkorespondensi 1 - 1
-
8/12/2019 Grup Permutasi Dan Grup Siklis
36/43
Contoh
Z = = dan 3Z subgrupdari Z dengan 3Z
= = .
jika didefinisikan
f: Z 3Zn Z, berlaku f(n) = 3n 3Z,
-
8/12/2019 Grup Permutasi Dan Grup Siklis
37/43
maka
f bersifat pada, karena bila diambil sebarangx 3Z haruslah x = 3m, untuk suatu m Z.Ini berarti ada m Z sedemikian hingga f(m) =
x = 3m atau f pemetaan pada. f juga pemetaan 1-1, karena bila diambil unsur
f(n) = f(m) maka diperoleh 3n = 3m atau n=m.
Mengingat f pemetaan pada dan 1-1, maka fkorespondensi 1-1.
-
8/12/2019 Grup Permutasi Dan Grup Siklis
38/43
Lemma 2.6.8
Bila G suatu grup sebarang, g G danmisalkan n , m Z sehingga gn= 1 dan jugagm= 1, maka gd= 1 di mana d = (m, n).
Khususnya bila gs= 1 untuk suatu s Z,maka orde dari g membagi s. Dalam hal ini d =
(m,n) dimaksudkan d merupakanpembagi
persekutuan terbesar dari m dan n
-
8/12/2019 Grup Permutasi Dan Grup Siklis
39/43
Lemma 2.6.9
Misalkan G = < g > dengan n unsur, dan
misalkan h = gs, s Z adalah unsur dalam G,maka h akan membangun subgrup siklis H
dalam G yang berorde n/d, di mana d
membagi persekutuan terbesar dari n dan s
atau d = (n , s ).
-
8/12/2019 Grup Permutasi Dan Grup Siklis
40/43
Contoh
Grup (Z12,+) adalah grup siklis danZ12== ==
misal diambil 3 Z12, karena 3 = (3,12) maka
H=={0,3,6,9} subgrup dari Z12dengan orde12/3 = 4
misal diambil 4 Z12, karena 4 = (4,12) makaH=={0,4,8} subgrup dari Z
12dengan orde
12/4 = 3
Bagaimana dengan 5? H== Z12
FPB dari 3 dan 12
-
8/12/2019 Grup Permutasi Dan Grup Siklis
41/43
-
8/12/2019 Grup Permutasi Dan Grup Siklis
42/43
-
8/12/2019 Grup Permutasi Dan Grup Siklis
43/43
Selanjutnya mencari semua subgrup dalam
Menentukan unsur pembangun dari ,
berupa 2h dg h relatif prim dg orde , yaitu9. diperoleh h = 1,2,4,5,7,8 sehingga
====
Unsur yg tdk membangun adalah 6 dan12, sehingga
= {0,6,12} = subgrup dr