UKURAN GEJALA PUSAT

&

UKURAN LETAKUKURAN LETAK

UKURAN GEJALA PUSAT & LETAK

• Untuk mendapatkan gambaran yang jelas mengenai suatu populasi atau sampel

• Ukuran yang merupakan wakil kumpulan data mengenai populasi atau sampel

Ukuran gejala pusat : Ukuran letak : • Rata-rata/rata-rata hitung• Rata-rata ukur• Rata-rata harmonis• Modus

• Median• Kuartil• Desil• Persentil

Catatan:• Ukuran yang dihitung dari data dalam sampel disebut Statistik• Ukuran yang dihitung dari data dalam populasi disebut parameter

Rata-rata Hitung

Rumus untuk menentukan rata-rata hitung :( )X

n

xxxX n+++= ...21

n

xX

n

ii∑

== 1atau

dalam bentuk sederhana:x

X i∑=dalam bentuk sederhana:n

X i∑=

Contoh : Nilai ujian dari lima mahasiswa untuk mata kuliah statistikaadalah : 70,69,45,80, dan 56. Hitung rata-rata nilai kelimamahasiswa tersebut!

645

5680456970 =++++=X

Bila xi menyatakan nilai data, dan fi menyatakan frekuensi untuk nilai xi yang bersesuaian, maka:

∑∑=

i

ii

f

xfX

Contoh : Xi fi

70

69

5

6

Xi fi Xifi

70

69

45

5

6

3

350

414

135

( ) ( ) ( ) ( ) ( )6875,64

16

1035

11365

561801453696705 ==++++

++++= xxxxxX

69

45

80

56

6

3

1

1

45

80

56

3

1

1

135

80

56

Jumlah 16 1035

6875,6416

1035 ===∑∑

i

ii

f

xfX

Rata-rata Gabungan

Rata-rata gabungan dari k buah sampel dihitung dengan rumus:

∑∑=

i

ii

n

xnX

Contoh : Tiga sampel masing-masing berukuran 10, 6, dan 8. Sedangkan rat-ratanya masing-masing 145, 118, dan 162. Hitung rata-rata gabungannya!

( ) ( ) ( )9166667,143

24

3454

8610

1628118614510 ==++

++= xxxX

Data yang disusun dalam daftar distribusi frekuensi

∑∑=

i

ii

f

xfX xi = Tanda kelas = mid point

Contoh :

Nilai fi Xi fiXi

31-40 2 35,5 71

Data yang disusun dalam daftar distribusi frekuensi

∑∑=

i

ii

f

xfX

Rata-rata Gabungan

31-40

41-50

51-60

61-70

71-80

81-90

91-100

2

3

5

14

24

20

12

35,5

45,5

55,5

65,5

75,5

85,5

95,5

71

136,5

277,5

917

1812

1710

1146

Jumlah 80 6070

875,7580

6070 ==X

Cara 2 : Cara Coding/Cara Singkat

• Ambil salah satu tanda kelas (Xo)• Harga Xo diberi nilai C = 0• Tanda kelas > Xo berturut-turut diberi nilai C=+1, C=+2, dst• Tanda kelas < Xo berturut-turut diberi nilai C=-1, C=-2, dst

Jika panjang kelas interval (p)

+=∑∑ ii

f

cfpxX 0

Xo = mean duga, kelas interval yang memiliki frekuensi terbesar

+=

∑ ifpxX 0 frekuensi terbesar

Nilai fi Ci fiXi

31-40

41-50

51-60

61-70

71-80

81-90

91-100

2

3

5

14

24

20

12

-4

-3

-2

-1

0

+1

+2

-8

-9

-10

-14

0

+20

+24

Jumlah 80 +3875,75

375,05,75

80

3105,75

0

=+=

+=

+=

∑∑

X

X

X

f

cfpxX

i

ii

Rata-rata Ukur

Jika kita memiliki perbandingan tetap atau hampir tetap, maka rata-rata ukur U didefinisikan sebagai:

nnxxxxU ....... 321=

Contoh : Hitung rata-rata ukur untuk data x1 = 2, x2=4 dan x3=8

48.4.23 ==U 48.4.2 ==U

Untuk bilangan-bilangan bernilai besar:n

xU i∑=

loglog

( )

( )

4

6021,0

9031,06021,03010,03

1

8log4log2log3

1log

==

++=

++=

U

U

Untuk fenomena bersifat tumbuh (pertumbuhan penduduk, bakteri, dll), digunakan rata-rata ukur:

Contoh : Penduduk Indonesia pada akhir tahun 1946 ada 60 juta, akhir tahun 1956 ada 78 juta. Berapa rata-rata pertumbuhan penduduk setiap tahun?

t

t

xpP

+=100

10

Po = Keadaan awal atau permulaanPt = keadaan akhirt = Satuan waktu yang digunakan

waktusatuansetiapnpertumbuharataRatax −=

pertumbuhan penduduk setiap tahun?

Po = 60 jutaPt = 78 jutat = 10 tahun

1066

100110601078

+= xxx

t

t

xpP

+=100

10

++=100

1log1060log78logx

67,2=x Laju rata-rata pertumbuhan = 2,67% tiap tahun

Contoh : Data nilai 80 Mahasiswa

Nilai fi Xi log Xi filog Xi

31-40 2 35,5 1,5502 3,1004

Data yang disusun dalam daftar distribusi frekuensi

( )∑

∑=i

ii

f

xfU

loglog

8712,180

6923,149log

=

=U

Rata-rata Ukur

31-40

41-50

51-60

61-70

71-80

81-90

91-100

2

3

5

14

24

20

12

35,5

45,5

55,5

65,5

75,5

85,5

95,5

1,5502

1,6580

1,7443

1,8162

1,8779

1,9320

1,9800

3,1004

4,9740

8,7215

25,4268

45,0696

38,6400

23,7600

Jumlah 80 - - 149,6923

3361,74

8712,1

==

U

Rata-rata Harmonis (H)

Rata-rata harmonis dari data x1,x2, …,xn dalam sebuah sampel berukuran n, adalah:

∑=

ix

nH

1

Contoh : Hitung rata-rata harmonis untuk data 3, 5,6,6,7,10, dan 12

87,51111111

7 =++++++

=H

Ahmad bepergian pulang pergi. Waktu pergi melakukan kecepatan 10 km/jam, sedangkan waktu kembalinya 20 km/jam. Berapa rata-rata kecepatan pulang pergi Ahmad?

121

101

71

61

61

51

31 ++++++

jamkmH /3

113

201

101

2 =+

=

Data dalam daftar distribusi frekuensi;

∑

∑=

i

i

x

f

fH

Contoh : Nilai fi xi fi/xi

31-40 2 35,5 0,0563

Rata-rata Harmonis (H)

Untuk nilai statistika 80 mahasiswa:

4966,721035,1

80 ==H

xUH ≤≤

41-50

51-60

61-70

71-80

81-90

91-100

3

5

14

24

20

12

45,5

55,5

65,5

75,5

85,5

95,5

0,0659

0,0901

0,2137

0,3179

0,2339

0,1257

Jumlah 80 - 1,1035

MODUS

Modus merupakan suatu nilai yang sering banyak muncul

Contoh : Sampel dengan data sebagai berikut:20,80,75,60,50,85,45,60, dan 90 Modus = 60

Sampel dengan data sebagai berikut:20,80,75,60,50,85,45,65, dan 90 Tidak ada Modus

Modus Data dalam daftar distribusi frekuensi:

dengan:

Mo = Modus

b = Batas bawah kelas modal (kelas interval dengan frekuensi terbanyak)

p = Panjang kelas

b1 = Frekuensi kelas modal – frekuensi kelas interval sebelumnya

b2 = Frekuensi kelas modal – frekuensi kelas interval berikutnya

++=

21

1

bb

bpbMo

b

Nilai fi

31-40

41-50

51-60

61-70

71-80

81-90

91-100

2

3

5

14

24

20

12

Jumlah 80

Contoh : Data untuk 80 mahasiswa

6429,77

14

10105,70

20241424

1424105,70

=

+=

−+−−+=oM

++=

21

1

bb

bpbMo

Modus dari sekumpulan data bisa lebih dari satu

Nilai fi

75

60

92

64

35

8

7

8

7

2

Contoh : Diberikan data sebagai berikut:

ada 2 modus, yaitu 75 dan 92

35 2

MEDIAN

Median merupakan suatu nilai yang membagi dua suatu deretan nilai (distribusi frekuensi), sehingga banyaknya pengamatan di kedua bagianItu sama

Contoh : Sampel dengan data sebagai berikut:4,12,5,7,8,10, dan 10

Median = 8

Setelah disusun nilainya:

4,5,7,8,10, 10, 12

Untuk data berukuran genap, setelah disusun urutan nilainya,Mediannya merupakan rata-rata hitung dari dua data tengah

Contoh : Sampel dengan data sebagai berikut:12,7,8,14, 16, 19, 10, dan 8

Setelah disusun nilainya:

7,8,8,10, 12,14,16,19

( ) 1112102

1 =+=Me

Untuk data yang telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi

dengan:

Me = Median

b = Batas bawah kelas median (kelas dimana M terletak)

−+=

f

Fn

pbMe2

b = Batas bawah kelas median (kelas dimana Me terletak)

p = Panjang kelas Me

n = ukuran sampel (banyak data)

F = Jumlah frekuensi sebelum kelas median

f = Frekuensi kelas Me

Nilai fi

31-40

41-50

51-60

61-70

71-80

81-90

91-100

2

3

5

14

24

20

12

Jumlah 80

Contoh : Data untuk 80 mahasiswa

Setengah dari seluruh data ada 40 buah (n)

Median terletak di kelas interval kelima

Dari kelas Median diperoleh:

b = 70,5 p = 10 f = 24 F = 24

−

+=F

n

2Jumlah 80

+=f

pbMe2

1667,7724

24280

105,70 =

−+=eM

Untuk , Me dan Mo yang sama besarnya, maka kurva halusnya simetris

Bentuk Kurva Norma

x

x Me Mo

Untuk kurva halus positif (Skewness) Positif atau negatif, secara empiris

ditemukan hubungan , Me dan Mo sebagai berikut:x

( )eo MxMx −=− 3

Dalam grafik, kedudukan ketiga nilai tersebut adalah:

xMeMo x Me Mo

Skewness Positif Skewness Negatif

Kwartil, Desil dan Persentil

• Jika sekumpulan data dibagi menjadi empat bagian yang sama, sesudah

disusun menurut urutan nilainya, maka bilangan pembaginya disebut

kwartil

• Ada tiga buah kwartil, yaitu kwartil pertama (K1), kwartil kedua (K2),

kwartil ketiga (K3)

• Pemberian nama dimulai dari nilai kwartil terkecil

Bagimana menentukan letak Kwartil ???

Menentukan nilai kwartil:

• Susun data menurut urutan nilainya

• Tentukan letak kwartil

• Tentukan nilai kwartil

Letak kwartil ditentukan dengan rumus:

Bagimana menentukan letak Kwartil ???

( )4

1nikeDataKLetak i

+=

i = 1,2,3)

Contoh:

Sampel dengan data: 75,82,66,57,97,64,56,92,94,86,52,60,70

Setelah disusun: 52,56,57,60,64,66,70,75,82,86,92,94,97

( )2

13keData

4

1131keDataKLetak 1 =+=

Yaitu antara data ke 3 dan ke 4, setengah jauhnya dari data ke 3

Nilai K1 = Data ke 3 + ½ (Data ke 4 – Data ke 3)

( ) 5,5857602

157K1 =−+=

( )7keData

4

1132keDataKLetak 2 =+= 70K2 =

( )2

110keData

4

1133keDataKLetak 3 =+=

Yaitu antara data ke 10 dan ke 11, setengah jauhnya dari data ke 10

( ) 8986922

186K3 =−+=

Cara lain

( )4

1niKLetak i

+= i = 1,2, dan 3

ba,KLetak i = (baca: a koma b) ( ) ( )( )aa xxbax −+= +1i ,0)(K

( )5,3

1131KLetak =+= a = 3 dan b = 5)

Contoh :

( )5,3

4

1131KLetak 1 =+= a = 3 dan b = 5)

( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )

( )( )

5,58K

35,057K

57605,057K

5,0)3(K

5,0)3(K

,0)(K

1

1

1

341

3131

1i

=+=

−+=

−+=

−+=

−+=

+

+

xxx

xxx

xxbax aa

Kwartil untuk data yang disusun dalam distribusi frekuensi

Kwartil ditentukan dengan rumus:

−+=

f

Fin

pbKi4

dengan:

b = Batas bawah kelas Ki (kelas dimana Ki akan terletak)

p = Panjang kelas Ki

F = Jumlah frekuensi sebelum kelas Ki

f = Frekuensi kelas Ki

Nilai fi

31-40

41-50

51-60

61-70

71-80

81-90

91-100

2

3

5

14

24

20

12

Jumlah 80

Contoh : Data untuk 80 mahasiswa Untuk menetapkan K3 diperlukan data3/4 x 80 = 60 data

Maka K3 terletak pada kelas interval ke-6

Dari kelas K3 diketahui: b = 80,5; p = 10; f = 20 dan F = 48

Dengan i = 3 dan n = 80

4

−

+=F

inJumlah 80

5,86

20

484803

105,80

4

3

=

−+=

−+=

i

i

K

x

K

f

FpbK

75% dari mahasiswa mendapat nilai ujian ≤ 86,5, sedangkan 25% lagi mendapat nilai ujian > 86,5

Desil

• Jika sekumpulan data dibagi menjadi 10 bagian yang sama, maka didapat

sembilan pembagi, tiap pembagi disebut DESIL

• Ada 9 buah desil, disingkat D1, D2, …,D9 (desil pertama, desil kedua, dst)

Menentukan nilai desil:

Bagimana menentukan letak desil???

• Susun data menurut urutan nilainya

• Tentukan letak desil

• Tentukan nilai desil

Letak desil ditentukan dengan rumus:( )10

1nikeDataDLetak i

+=

(i = 1,2,…9)

Contoh:

Sampel dengan data: 75,82,66,57,97,64,56,92,94,86,52,60,70

Setelah disusun: 52,56,57,60,64,66,70,75,82,86,92,94,97

( )8,9keData

10

1137keDataDLetak 7 =+=

Yaitu antara data ke 9 dan ke 10, 0,8 jauhnya dari data ke 9

Nilai D7 = Data ke 9 + 0,8 (Data ke 10 – Data ke 9)

( ) 2,8582868,082D7 =−+=

Coba Anda tentukan letak desil yang lain!!!

Cara lain

( )10

1niLetak i

+=D i = 1,2,…,9

ba,DLetak i = (baca: a koma b) ( ) ( )( )aa xxbax −+= +1i ,0)(D

( )8,9

10

1137Letak 7 =+=D a = 9 dan b = 8)

Contoh :

107

( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )

( )( )

2,85D

48,082D

82868,082K

8,0)9(D

8,0)9(D

,0)(D

7

7

i

9107

9197

1i

=+=

−+=

−+=

−+=

−+=

+

+

xxx

xxx

xxbax aa

Desil untuk data yang disusun dalam distribusi frekuensi

Desil ditentukan dengan rumus:

−+=

f

Fin

pbDi10

(i = 1,2,…9)

dengan:

b = Batas bawah kelas Di (kelas dimana Di akan terletak)

p = Panjang kelas Di

F = Jumlah frekuensi sebelum kelas Di

f = Frekuensi kelas Di

Nilai fi

31-40

41-50

51-60

61-70

71-80

81-90

91-100

2

3

5

14

24

20

12

Jumlah 80

Contoh : Data untuk 80 mahasiswa Untuk menetapkan D3 diperlukan data3/10 x 80 = 24 data

Maka D3 terletak pada kelas interval ke-4

Dari kelas D3 diketahui: b = 60,5; p = 10; f = 14 dan F = 10

Dengan i = 3 dan n = 80

10

−

+=F

inJumlah 80

5,70

14

1010803

105,60

10

3

3

=

−+=

−+=

D

x

D

f

FpbDi

Persentil

Jika sekumpulan data dibagi menjadi 100 bagian yang sama, maka didapat 99

pembagi, tiap pembagi disebut PERSENTIL

Menentukan nilai persentil:

Bagimana menentukan letak persentil???

• Susun data menurut urutan nilainya

• Tentukan letak persentil

• Tentukan nilai persentil

Letak desil ditentukan dengan rumus:( )100

1nikeDataLetak i

+=P

(i = 1,2,…,99)

Contoh:

Sampel dengan data: 75,82,66,57,97,64,56,92,94,86,52,60,70

Setelah disusun: 52,56,57,60,64,66,70,75,82,86,92,94,97

( )4,1keData

100

11310keDataPLetak 10 =+=

Yaitu antara data ke 1 dan ke 2, 0,4 jauhnya dari data ke 1

Nilai P10 = Data ke 1 + 0,4 (Data ke 2 – Data ke 1)

( ) 6,5352564,052P10 =−+=

Coba Anda tentukan letak persentil yang lain!!!

Cara lain

( )100

1niLetak i

+=P i = 1,2,…,99

baP ,Letak i = (baca: a koma b) ( ) ( )( )aa xxbax −+= +1i ,0)(P

( )4,1

100

11310Letak 10 =+=P a = 1 dan b = 4)

Contoh :

10010

( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )

( )( )

6,53P

44,052P

52564,052P

4,0)1(P

4,0)1(P

,0)(P

10

10

10

1210

11110

1i

=+=

−+=

−+=

−+=

−+=

+

+

xxx

xxx

xxbax aa

Persentil Untuk Data Yang Disusun Dalam Distribusi Frekuensi

Persentil ditentukan dengan rumus:

−+=

f

Fin

pbPi100

(i = 1,2,…,99)

dengan:

b = Batas bawah kelas Pi (kelas dimana Pi akan terletak)

p = Panjang kelas Pi

F = Jumlah frekuensi sebelum kelas Pi

f = Frekuensi kelas Pi

Nilai fi

31-40

41-50

51-60

61-70

71-80

81-90

91-100

2

3

5

14

24

20

12

Jumlah 80

Contoh : Data untuk 80 mahasiswa Untuk menetapkan P10 diperlukan data10/100 x 80 = 8 data

Maka P3 terletak pada kelas interval ke-3

Dari kelas P10 diketahui: b = 50,5; p = 10; f = 5 dan F = 5

Dengan i = 10 dan n = 80

100

−

+=F

inJumlah 80

5,56

5

5100

8010

105,50

100

10

10

=

−+=

−+=

P

x

P

f

FpbPi