Dosen Mata KuliahDosen Mata KuliahDosen Mata KuliahDosen Mata Kuliah

Andhy Setiawan, M.Si

Menu Utama

Pendahuluan

Persamaan MaxwellPersamaan Gelombang ElektromagnetikTransversalitas Gelombang Elektromagnetik

Pemantulan dan Pembiasan Gelombang Elektromagnetik

Gelombang Elektromagnetik dalam Medium

Transversalitas Gelombang Elektromagnetik

Vektor Poynting dan Kekekalan Energi

Gelombang dalam Medium Konduktif

Elektron bebas dalam Konduktor dan Plasma

Pandu Gelombang

ElektromagnetikHukum SnelliusPersamaan Fresnel

Pandu Gelombang dengan Penampang Segi Empat

Pandu Gelombang Jalur Transmisi Koaksial

Energi dan Momentum gelombang elektromagnetik dibawa oleh medan listrik E dan medan magnet B yang menjalar melalui vakum.

A. PENDAHULUANA. PENDAHULUANA. PENDAHULUANA. PENDAHULUAN

melalui vakum.

Sumber gelombangnya berupa muatan-muatan listrik yang berosilasi dalam atom, molekul, atau mungkin juga dalam suatu antene pemancar radio.

Untuk medan listrik E dan medan magnet B yang berubah Untuk medan listrik E dan medan magnet B yang berubah dengan waktu, keberadaan E selalu disertai B, dan sebaliknya. Keterkaitan antara E dan B dituangkan dalam persamaan Maxwell yang mendasari teori medan magnetik.

B. PERSAMAAN MAXWELLB. PERSAMAAN MAXWELLB. PERSAMAAN MAXWELLB. PERSAMAAN MAXWELL

Persamaan Maxwell dirumuskan dalam besaran medanPersamaan Maxwell dirumuskan dalam besaran medan

listrik E dan medan magnet B. Seluruh persamaan Maxwell terdiri dari 4 persamaan medan, yang masing-masing dapat dipandang sebagai hubungan antara medan dan distribusi sumber, baik sumber muatan ataupun sumber arus. sumber arus.

Persamaan-persamaan Maxwell

0. =∇ E

VakumMedium

D ρ=∇→

.1.

0. =∇ B

0. =∇ E

t

BxE

∂∂−=∇

bD ρ=∇.

0. =∇ B

t

BxE

∂∂−=∇

1.

2.

3.

t

ExB o ∂

∂=∇ 0εµ4.

Click angka untuk mengetahui penurunan rumus masing-masing persamaan di atas

Persamaan Maxwell pertama merupakan ungkapan dari hukum Gauss, yang menyatakan bahwa: “ Jumlah garis gaya medan listrik yang menembus suatu permukaan tertutup, sebanding dengan jumlah muatan yang dilingkupi permukaan tersebut.”dilingkupi permukaan tersebut.”Secara matematis Hukum Gauss dituliskan dengan:

∫ ∑=∧→

o

qdAnE

ε.

.

∫ ∫=∧→

dqdAnEε1

..

∫ ∫= dqdAnEoε

.

∫ ∫=•∧→

dVdAnEo

ρε1.

( )∫ ∫ +=∧→

dVdAnE bfo

ρρε1

..

( )∫ ∫ +•∇−=•∧→

dVPdAnE bo

ρε

r1.

Dari teorema divergensi ∫∫∧→ r.

∫ ∫=

•∇+

•∇→→

dVdvPE bo ρε

( )∫ ∫ +•∇−=•∇ dVPdVE bo

ρε

rr 1

Dari teorema divergensi ∫∫ •∇=•∧→

dVEdAnEr.

DEPEo ==+→→→

εε

bD ρ=•∇→

Persamaan Maxwell (1) dalam Medium

Untuk ruang vakum, karena tidak ada sumber maka 0=ρ sehingga:

ερbE=•∇

r

0εE=•∇

0=•∇→E

Persamaan Maxwell (1) untuk ruang vakum, tanpa sumber muatanPersamaan Maxwell (1) untuk ruang vakum, tanpa sumber muatan

Persamaan Maxwell kedua merupakan Hukum Gauss magnetik, yang menyatakan “fluks medan magnetik yang menembus suatu permukaan tertutup sama dengan nol, tidak ada sumber medan berupa muatan magnetik.” Atau dengan kata lain,” garis gaya medan magnet selalu tertutup, tidak ada muatan magnet monopole.”tertutup, tidak ada muatan magnet monopole.”

Melalui teorema Gauss, persamaan Maxwell kedua dapatdituliskan dalam bentuk integral:

∫ ==∧→

0. dAnBBφ

Dari teorema divergensi dVBdAnB∫ ∫→∧→

∇= .. makaDari teorema divergensi dVBdAnB∫ ∫→∧→

∇= .. maka

∫ =∇→

0.BdV

0. =∇→B Persamaan Maxwell (2) dalam medium dan vakum

Persamaan Maxwell ketiga merupakan ungkapan Hukum Faraday-Lenz, yang menyatakan bahwa “pengaruh medanmagnet yang berubah dengan waktu.”

Secara matematis dituliskan:

t∂∂−= φε ∫

∧→= dAnB.φdengan

t∂−=ε

dAnBt

dlE∧→→

∫∫ ∂∂−= ..

Dari teorema Stokes ∫ ∫∧→→

∇= dAnExdlE ..

∫= dAnB.φdengan

karena dlE.∫→

=ε maka

Dari teorema Stokes ∫ ∫∇= dAnExdlE ..

∫∫∧→∧→

∂∂−=∇ dAnBt

dAnEx ..

t

BEx

∂∂−=∇

→→ Persamaan Maxwell (3) dalam medium

Dan vakum.

Persamaan Maxwell keempat merupakan Hukum Ampere:

∫ =→

IdlB µ.

∫ = IdlH .

dAnJJdlH ..∧

∫ ∫

+=rr

→→

= HB

µdAnJI ∫

→∧

= .dengan

fb JJJ→→→

+=

;

dan

dAnJJdlH fb ..∧

∫ ∫

+=rr

( ) dAnt

EJdAnxH b ..

∧

→→

∧

∫∫

∂∂+=∇ ε

t

EJxH b

∂∂+=∇

→→

ε

t

DJxH b

∂∂+=∇

→→

Persamaan Maxwell (4) dalam medium

IdlB 0. µ=∫→

dAnBxldB∧→→

∫∫ ∇= ..r

→→∧→

Untuk persamaan Maxwell (4) dalam vakum, yaitu:

Dari teorema Stokes maka

dAnJdAnBx→→∧→

∫∫ =∇ .. 0µ→→

=∇ JBx 0µ

t

EBx

∂∂=∇

→→

00εµ Persamaan Maxwell (4) dalam Vakum,Tanpa sumber muatanTanpa sumber muatan

→

B.1. PERSAMAAN GELOMBANG B.1. PERSAMAAN GELOMBANG B.1. PERSAMAAN GELOMBANG B.1. PERSAMAAN GELOMBANG

ELEKTROMAGNETIKELEKTROMAGNETIKELEKTROMAGNETIKELEKTROMAGNETIK

MEDAN LISTRIK

Dari persamaan Maxwell (3):

t

BE

∂∂−=×∇

→→

×∇

∂∂−=

×∇×∇→→BE

Ruas kanan dan ruas kiri dideferensialkan dengan operasi rotasi, maka:

×∇∂

−=

×∇×∇ Bt

E

→→→∇−

∇∇=

×∇×∇ EEE 2.

Dari vektor identitas

×∇∂∂−=∇−

∇∇→→→B

tEE 2.

2∂→

Maka:

Dengan 0. =∇→E

t

EB

∂∂=×∇

→→

00εµdan sehingga

02

2

002 =

∂∂−∇

→→

t

EE εµ2

2

002

t

EE

∂∂=∇

→→

εµ

2

2

002

t

EE

∂∂−=∇−

→→

εµt∂

1 22 =∂−∇

→→ E

dengan 00

1

εµ=c

01

222 =

∂∂−∇

→

t

E

cE

01

2

2

22

2

2

2

2

2

=

∂∂−

∂∂+

∂∂+

∂∂ →

xEtczyx

1 2222 ∂∂∂∂ →

Sehingga persamaan gelombang medan listrikdalam bentuk diferensial:

01

2

2

22

2

2

2

2

2

=

∂∂−

∂∂+

∂∂+

∂∂ →

yEtczyx

01

2

2

22

2

2

2

2

2

=

∂∂−

∂∂+

∂∂+

∂∂ →

zEtczyx

Solusi paling sederhana:Solusi paling sederhana:

( ) ( )tkzEtzE ω−=→→

cos, 0

MEDAN MAGNET

Dari persamaan Maxwell (4):

t

ExB o ∂

∂=∇ 0εµ

Dengan operasi rotasi:

(t

EBB

∂×∇∂=∇−

∇∇→

→→ ). 00

2 εµ

t

EB

∂×∇∂=

×∇×∇→

→ )(00εµ

Dengan operasi rotasi:

→→→∇−

∇∇=

×∇×∇ BBB 2.

0. =∇→B

t

BE

∂∂−=×∇

→→

Karena vektor identitas

Dan persamaan Maxwell (2) serta (3):

dan

2

2

22 1

t

B

cB

∂∂=∇

→→

2

2

002

t

BB

∂∂=∇

→→

εµ

sehingga

01

2

2

22 =

∂∂−∇

→→

t

B

cB

tc ∂

Maka persamaan gelombang medan magnet dalambentuk diferensial:

1 2222 ∂∂∂∂ →0

12

2

22

2

2

2

2

2

=

∂∂−

∂∂+

∂∂+

∂∂ →

xBtczyx

01

2

2

22

2

2

2

2

2

=

∂∂−

∂∂+

∂∂+

∂∂ →

yBtczyx

01

2

2

22

2

2

2

2

2

=

∂∂−

∂∂+

∂∂+

∂∂ →

zBtczyx

Solusinya: ( ) ( )tkzBtzB ω−=→→

cos, 0

Solusi persamaan gelombang elektromagnet untuk Solusi persamaan gelombang elektromagnet untuk medan Listrik dan medan magnet merupakan contoh eksplisit dari gelombang datar (Plan Wave)

)( tkzf ω−

kv ω=

Bentuk umum:

Kecepatan:

Bentuk muka gelombangnyaBentuk muka gelombangnyategak lurus vektor satuan k,maka:

tan. konszk =→∧

Sifat-sifat gelombang datar:1. Mempunyai arah jalar tertentu (dalam persamaan,

arah z).2. Tidak mempunyai komponen pada arah rambat.3. Tidak ada komponen E dan B yang bergantung pada

koordinat transversal (pada contoh, koordinat3. Tidak ada komponen E dan B yang bergantung pada

koordinat transversal (pada contoh, koordinattransversalnya x dan y).

Sehingga solusi persamaan gelombangnya menjadi:

),(),( tzEjtzEiE yx

∧∧→+= ),(),( txEktxEjE zy

∧∧→+=yx

),(),( tzBjtzBiB yx

∧∧→+=

zy

),(),( txBktxBjB zy

∧∧→+=

B.2. TRANSVERSALITAS GELOMBANGB.2. TRANSVERSALITAS GELOMBANGB.2. TRANSVERSALITAS GELOMBANGB.2. TRANSVERSALITAS GELOMBANG

ELEKTROMAGNETIKELEKTROMAGNETIKELEKTROMAGNETIKELEKTROMAGNETIK

MEDAN LISTRIK

Untuk membuktikan sifat dari gelomabng datar yaitutransversalitas,dari persamaan Maxwell (1) dan (4):transversalitas,dari persamaan Maxwell (1) dan (4):

Ez tidak bergantung pada z (sisi spatial)

0. =∇→E

0),(),(),( =

∂∂+

∂∂+

∂∂

→→→

z

tzE

y

tzE

x

tzE zyx

0),( =

∂∂

→

z

tzE z

t

EB

∂∂=×∇

→→

00εµ

t

E

y

B

x

Bzzy

∂∂

=∂

∂−

∂∂

→→→

00εµ 0),(

=∂

∂→

t

tzE z

Ez tidak bergantung pada z (sisi spatial)

Sisi temporal

∂z

Yang berarti Ez tidak bergantung pada t

Jadi Ez (z,t) = konstan =0, yang berarti arah getardari gelombang medan listrik tegak lurus pada arahrambatnya, karena medan listrik E hanya mempunyaikomponen-komponen pada arah yang tegak luruspada arah rambat.pada arah rambat.

0. =∇→B

),(),(),( ∂∂∂→→→

tzBtzBtzB

MEDAN MAGNET

Dari persamaan Maxwell (2):

0),(),(),( =

∂∂+

∂∂+

∂∂

→→→

z

tzB

y

tzB

x

tzB zyx

0),( =

∂∂

→

z

tzB zSisi spatial, yang berarti Bz tidak bergantungpada z.

t

BEx

∂∂−=∇

→→

t

tzB

y

E

x

Ezxy

∂∂

=∂

∂−

∂∂

→→→

),(

Dan dari persamaan Maxwell (3):

tyx ∂∂∂

0),(

=∂

∂→

t

tzB z Sisi temporal, yang berarti Bztidak bergantung pada t.

Yang berarti arah getar gelombang medan magnet tegaklurus terhadap arah rambatnya.lurus terhadap arah rambatnya.

Dengan demikian maka gelombangElektromagnetik merupakan gelombang transversal.

yx EjEiE∧∧→

+=

)cos()cos( 00 tkzEjtkzEiE yx ωω −+−=∧∧→

yx BjBiB∧∧→

+=

Hubungan E dan B, misal menjalar dalam arah z:

yx

)cos()cos( 00 tkzBjtkzBiB yx ωω −+−=∧∧→

t

BEx

∂∂−=∇

→→

+−−=

−−∧∧∧∧

yoxoxoy jBBitkzjEEitkzk 0)sin()sin( ωωω

+−=

−∧∧∧∧

yoxoxoy jBBijEEik 0ω

( ) →−=×− BEk ω

rrB

kE

ω= cBE =BErr

⊥

Hubungan vektor propogasi k, medan listrik E,dan medan magnet B ditunjukkan dengan gambar:

B.3. VEKTOR POYNTING DAN KEKEKALANB.3. VEKTOR POYNTING DAN KEKEKALANB.3. VEKTOR POYNTING DAN KEKEKALANB.3. VEKTOR POYNTING DAN KEKEKALAN

ENERGIENERGIENERGIENERGI

Energi medan elektromagnetik merupakan jumlah dari Energi Medan listrik dan energi medan magnet.

uuu += EB uuu +=

20

2

0 2

1

2

1EBu ε

µ+=

EBdu ∂∂→

→→

→1

Laju perubahan rapat energi atau perubahan rapat energiterhadap waktu:

t

EE

t

BB

dt

du

∂∂•+

∂∂•=

→→

00

1 εµ

t

BEx

∂∂−=∇

→→

Dari persamaan Maxwell (3) dan (4), maka:

dant

EB

∂∂=×∇

→→

00εµ

×∇•+

×∇−•=→→→→BEEB

dt

du

00

11

µµ

×∇•−

×∇•−=→→→BEEB

dt

du r

0

1

µ

Sehingga

( )

×∇•−

×∇•=ו∇→→→→BEEBBE

rr

dt 0µ

( )BEdt

du rr

ו∇−=0

1

µ 0=•∇+→S

dt

du

Dari vektor identitas

maka

( )rr→ 1dengan disebut vektor poynting

Hukum Kekekalan Energi

( )BESrr

×=→

0

1

µdengan disebut vektor poynting

mengungkapkan besarnya energi persatuan waktu per satuan luas yang dibawa oleh medan elektromagnetik

C. GELOMBANG ELEKTROMAGNETIKC. GELOMBANG ELEKTROMAGNETIKC. GELOMBANG ELEKTROMAGNETIKC. GELOMBANG ELEKTROMAGNETIK

DALAM MEDIUMDALAM MEDIUMDALAM MEDIUMDALAM MEDIUM

D =∇. ρ

Persamaan-persamaan Maxwell

t

DJH

t

BE

B

D

b

b

∂∂+=×∇

∂∂−=×∇

=∇=∇

0.

. ρ

t∂

C. 1 GEM DALAM MEDIUM KONDUKTIFC. 1 GEM DALAM MEDIUM KONDUKTIFC. 1 GEM DALAM MEDIUM KONDUKTIFC. 1 GEM DALAM MEDIUM KONDUKTIF

Dalam medium konduktif yang bebas sumber, dan darihubungan B = µ H dan D = ε E, persamaan Maxwell 4 dapat ditulis:

),()(B

EdenganE

JB

t

EJB

t

DJH b

∂−=×∇∂+∂=×∇∂∂∂+=×∇

∂∂+=×∇

εµµ

εµµ

,)(

),()(

2

2

t

E

t

JE

tEdengan

tJ

tB

t

∂∂+

∂∂=×∇×∇−

∂−=×∇

∂+

∂=×∇

∂

µεµ

εµµ

maka

0

)).((

22

2

22

∂+∂=∇+

∂∂+

∂∂=∇−∇∇−

EEE

t

E

t

EEE

µεµσ

µεµσ

EJdanEEE σ=∇−∇∇=×∇×∇ 2).()(

0

0

2

22

22

=∂∂−

∂∂−∇

∂∂+

∂∂=∇+

t

E

t

EE

t

E

t

EE

µσµε

µεµσ

Dengan solusi : E(z, t) = E0 cos (κz - ωt)

Atau dalam bentuk kompleks :Atau dalam bentuk kompleks :

E(z, t) = E0 e-i (κz - ωt )

Sehingga :

E(z, t) = E0 e-i (κz - ωt ) 02

22 =

∂∂−

∂∂−∇

t

E

t

EE µσµε

( ) EeEieEz

E tzitzi 2)(0

22)(02

22 κκ ωκωκ −==

∂∂=∇ −−−−

EeEit

E

EieEit

E

tzi

tzi

2)(0

222

2

)(0

ωω

ωω

ωκ

ωκ

−==∂∂

==∂∂

−−

−−

( ) EeEieEz

E 002κκ −==

∂=∇

t∂

-κ2E + µεω2E – µσiωE = 0

κ2E - µεω2E + µσiωE = 0

κ2= µεω2 – iµσω

Misal : κ = a + ib

κ2 = (a + ib)2 = a2 – b2 + 2abi

Dari pers κ2= µεω2 – iµσω, maka :

a2 – b2 = µεω2 dan 2ab = - µσω

222

222

)(

)2

(

µεωµσω

µεωµσω

=−

=−−

a

aa a

b2

µσω−=

kalikan dengan 4a2222 )

2( µεωµσω =−

aa kalikan dengan 4a2

4(a2)2 – 4µεω2a2 – (µσω)2 = 0

Dengan menggunakan rumus akar kuadrat, diperoleh :

4(a2)2 – 4µεω2a2 – (µσω)2 = 0

222222,1

2222

22,1

22222

2,1

2

1)(

2

1)(

)()(2

1

2)(

8

))(4(4)4(4)(

σωεµωµεω

µσωµεωµεω

µσωµεωµεω

+±=

+±=

+−±=

a

a

a

22222,1

2,1

)(12

1)(

2

1)(

22

εωσεµωµεω +±=a

22222,1 )(1

2

1)(

2

1)(

εωσεµωµεω +±=a

+±=2

222,1 11)(

2

1)(

εωσµεωa

++=

222 11)(

1 σµεωa

Karena a bilangan riil, maka a2 harus positif sehingga dipilih:

++= 22 11)(2

1

εωσµεωa

−

++= 2

222 11

1 µεωεωσµεωb

a2 – b2 = µεω2

b2 = a2 - µεω2

++=2

22 11)(2

1

εωσµεωa

++−=

−

++=

−

++=

222

222

111

112

1

2

1

112

σµεω

εωσµεω

µεωεω

µεω

b

b

b

++−=

++−=

222

22

112

12

1

2

1

εωσµεω

εωσµεω

b

b

222

2))((*

κ

κκκ

+=

−+==

ba

ibaiba

Besarnya bilangan gelombang

222

22222

)(1

)(112

1)(11

2

1

εωσµεωκ

εωσµεω

εωσµεωκ

+=

++−+

++=

κ merupakan fungsi dari ω. Dan karena k berkaitan κ merupakan fungsi dari ω. Dan karena k berkaitan dengan cepat rambat, maka pada medium konduktif, cepat rambat gelombang bergantung pada frekuensi. Medium tersebut seperti medium dispersif.

Untuk medium yang berkonduktivitas tinggi, σ >> maka

112

12

22

εωσµεω

++=a

2

1

12

1

2

22

222

εωσµεω

εωσµεω

εω

=

+=

a

a

2

2

µσωεω

=

a

Sehingga :

2

µσωµσω

µσω

−=

−=

b

ab

2

22

µσω

µσω

−=b

Jika makaδ 2=1=−= baJika maka

µσωδ 2= δ

1=−= ba

Dengan besaran δ disebut tebal kulit (skin depth)

Jadi

δκ )1( i

iba−=+=

merupakan bilangan gelombang untuk medium dengan konduktivitas tinggi, pada frekuensi rendah dengan konduktivitas tinggi, pada frekuensi rendah maka solusinya :

[ ]

)1

(

0

)(0

),(

),(

tzi

i

tzibai

eEtzE

eEtzE

ωδ

ω

−−−

−+−

=

=

)(

0

0

),(

),(

tz

iz

eeEtzE

eEtzE

ωδδ

−−−

=

=

Untuk medium yang konduktivitasnya rendah (konduktor buruk), σσσσ jauh lebih kecil dari ωε. Maka Skin depthnya :

++= 2

22 )(11

σµεωa

++= 22 )(11

2 εωσµεω

a

Diuraikan dengan deret Maclaurin

+−−+−++=+32 xxnL+−−+−++=+

!3)2)(1(

!2)1(1)1(

xnnn

xnnxx n

jika 2)(εωσ=x maka :

..........)12

1(

2

1.!2

1

2

11)1( 22

1

+−++=+ xxx22!22

........)(1

1)(1

......))(2

1(

4

1)(

2

11)(1

22

1

2

422

1

2

−+=

+

+−++=

+

σσ

εωσ

εωσ

εωσ

........)(2

1)(1 22 −+=

+εωεω

Jadi,

µσεωσµεω

εωσµεω

.......)(2

12

2

.......)(2

111

2

22

22

2

22

2

=

+

+=

+

++=

a

a

a

εµσε

µσε

µσ

2

4

42

2

=

=

=

a

a

a

εµσ

2=−= ba dengan

µε

σδ 2=

yang disebut skin depthδ1=−= ba

Dari solusi persamaan gelombang pada medium konduktif yaitu :

)(

0),(t

zi

z

eeEtzEω

δδ−−−

=

yang dapat ditafsirkan setelah menempuh jarak sebesar δ, maka amplitudo gelombang berkurang menjadi dari amplitudo semula.

e

1

Jika z = δ maka

)1(10),( ti

E

eeEtzE ω−−−=Jika z = δ maka

)1(0),( tiee

EtzE ω−−=

EBωκ=Medan Magnet :

[ ]tzibaio eE

ibatzB ω

ω−+−+= )( ),(

θireiba −=+Karena dengan

=+= − b

bar 122 tandan, θ

[ ]tzibaieEtzE ω−+−= )(0),(

θireiba −=+Karena dengan

=+= −

a

bbar 122 tandan, θ

maka[ ]θω

ω+−+−+= tzibai

o eEba

tzB )(22

),(

Jadi medan listrik (E) dan medan magnet (B) tidak lagi mempunyai fase yang sama

22

2 )(112

++=

εωσµεω

a

Kecepatan fase:

2

1

2

22

2

)(112

)(112

2

++=

++=

εωσ

εωσ

εω

ka

ka

dengan kv = ω, dan karena a > k , maka kecepatan fase pada medium konduktif < v di udara/non konduktif

Besarnya vektor poynting untuk medium konduktif, yaitu :

)(1

BESrr

×=µ dengan EB

ωκ=

= )(1

EESωκ

µ

21ES κ

µω=

)(220)(

1 tzieEibaS ωκ

µω−−+=

+−+−

+= 2)(2

20

22 θω

µωtzibai

eEba

S

[ ]tzibaieEiba

S ω

µω−+−+= )(22

0

)(

0µω

Untuk medium konduktifδ1=−= ba

+−−−

+= 2222

0

22 θωδδ

µωt

ziz

eeEba

Smaka

Faktor

merupakan faktor redaman dalam perambatan energi.

δz

e2−

C. 2 ELEKTRON BEBAS DI DALAM KONDUKTOR C. 2 ELEKTRON BEBAS DI DALAM KONDUKTOR C. 2 ELEKTRON BEBAS DI DALAM KONDUKTOR C. 2 ELEKTRON BEBAS DI DALAM KONDUKTOR

DAN PLASMADAN PLASMADAN PLASMADAN PLASMA

Elektron bebas di dalam konduktor tidak terikat pada atom dan molekul sehingga dapat digunakan persamaan Maxwell 3, yaitu :persamaan Maxwell 3, yaitu :

t

BE

∂∂−=×∇

t

J

t

EE

∂∂−

∂∂−=∇− 02

2

002 µεµ

-tt ∂∂

-

002

2

002 =

∂∂−

∂∂−∇

t

J

t

EE µεµ (1)

Gerakan elektron :

Eqdt

dvm e= dengan v = kecepatan elektron

Ruas kiri dan ruas kanan dikalikan dengan Nqe

EqNt

Nvqm e

e 2)()( =

∂∂

)2........()( 2 EqNt

Jm e=

∂∂

Substitusi persamaan (2) ke persamaan (1)

dan J = vqeN, maka :

Substitusi persamaan (2) ke persamaan (1)

0)( 2

02

2

002 =−

∂∂−∇ E

m

Nq

t

EE eµεµ

Sehingga :

0)( 2

02

2

002 =−

∂∂−∇ E

m

qN

t

EE eµεµ

dan )(0),( tkzieEtzE ω−−= 0),( eEtzE =

EkeEkiE tkzi 2)(0

222 −==∇ −− ω

EieEit

E tkzi ωω ω ==∂∂ −− )(

0

maka,

EeEit

E tkzi 2)(0

222

2

ωω ω −==∂∂ −−

maka,

0)(

)(2

02

002 =−+− E

m

qNEEk eµωεµ-

-

m

qNk e

2)(0

200

2 µωεµ −=m

20

2

200

2 )(1

ωεωεµ m

qNk e−=

20

2

2

2

00

)(1

1

ωεωεµ m

qNk e−= dengan 22)(

pe

m

qN ωε

=

karena 00

2 1

εµ=c dan

22

2 1

v

k =ω

mε

−=

2

2

2

2

1ωω p

v

cmaka

Berdasarkan definisi indeks bias :v

cn =

−=2

2 1ω pn

−=

22 1

ωω pn

2

2

1ωω pn −= Indeks Bias Plasma

21

ωn −=

Bila ω<ωp maka nilai indeks bias n berupa bilangan imajiner yang berarti gelombang di dalam plasma tsb akan teredam.teredam.

Bila ω ≥ ωp, maka nilai indeks bias n berupa bilangan nyata (real) sehingga gelombang akan diteruskan.

D.1 HUKUM SNELLIUSD.1 HUKUM SNELLIUSD.1 HUKUM SNELLIUSD.1 HUKUM SNELLIUS

D. PEMANTULAN DAN PEMBIASAN D. PEMANTULAN DAN PEMBIASAN D. PEMANTULAN DAN PEMBIASAN D. PEMANTULAN DAN PEMBIASAN

GELOMBANG ELEKTROMAGNETIKGELOMBANG ELEKTROMAGNETIKGELOMBANG ELEKTROMAGNETIKGELOMBANG ELEKTROMAGNETIK

Tinjau untuk kasus Transverse Electric (TE)

E1 k1

B1

E2

k2B2

Med1

Med2µ ε

µ1ε11α 2α

α

x x

E3

k3

B3

Med2µ2ε23α

x

Dari gambar tersebut diperoleh persamaan untuk gelombang medan magnet

)(011011

1)cos(),( trkieBtrkBtrB ωω −•=−•=

)( 2)cos(),( trkieBtrkBtrB ωω −•=−•= Persamaan 1)(022022

2)cos(),( trkieBtrkBtrB ωω −•=−•=

)(033033

3)cos(),( trkieBtrkBtrB ωω −•=−•=

dengan

k1 = k1 [ i sin (α1) – j cos (α1)]

k = k [ i sin (α ) + j cos (α )]

Persamaan 1

Persamaan 2k2 = k2 [ i sin (α2) + j cos (α2)]

k3 = k3 [ i sin (α3) – j cos (α3)]

Persamaan 2

])cos()sin([011

111),( tyxkieBtrB ωαα −−=])cos()sin([

022222),( tyxkieBtrB ωαα −+= Persamaan 3

Substitusi persamaan 1 ke persamaan 2:

])cos()sin([033

333),( tyxkieBtrB ωαα −−=

Syarat batas di y = 0 ; maka

B1x – B2x = B3x

B1 cos α1 – B2 cos α2 = B3 cos α3B1 cos α1 – B2 cos α2 = B3 cos α3

Dan persamaan 3 menjadi :

)sin(303

)sin(202

)sin(101

332211 .cos.cos.cos ααα ααα xkixkixki eBeBeB =−

Persamaan

dapat dipandang sebagai Aeax + Bebx = Cecx

dengan menggunakan deret eksponensial:

)sin(303

)sin(202

)sin(101

332211 .cos.cos.cos ααα ααα xkixkixki eBeBeB =−

++++

++++

+++ .....

!21.....

!21.....

!21

222222 xccxC

xbbxB

xaaxA

dengan mengabaikan suku ke tiga, diperoleh :

A + B =C

Aax + Bbx = CcxAax + Bbx = Ccx

Aax + Bbx = (A + B) cx

[ ] [ ]

=

cx

cxBA

bx

axBA

diperoleh a = b = c

maka k sin α = k sin α

Dalam bentuk matriks :

maka k1 sin α1 = k2 sin α2

Karena gelombang datang dan gelombang pantul berada dalam medium yang sama yaitu medium 1 maka : k1 = k2

sehingga α1 = α2

k1 sin α1 = k3 sin α3Dari a = c maka

n

cv

v

cn

vk =⇒=⇒= ω

nkc

n

n

ck ≈⇒== ωω

n

maka k1 dan k3 sebanding dengan n1 dan n3

sehingga n1 sin α1 = n2 sin α3

Persamaan SnelliusPersamaan Snellius

D.2. PERSAMAAN FRESNELLD.2. PERSAMAAN FRESNELLD.2. PERSAMAAN FRESNELLD.2. PERSAMAAN FRESNELL

Setelah memahami tentang hukum Snellius, selanjutnyaakan ditunjukkan perbandingan Amplitudo gelombangpantul dan gelombang bias terhadap amplitudo gelombangdatang yang disebut dengan persamaan Fresnelldatang yang disebut dengan persamaan Fresnell

Kasus Transverse Magnetik (TM)

B1 k1

E1 k2B2

1 µ1ε1

x

E2αα

•

B3*

k3

E3

2µ2ε2

µ1ε1

θ

⋅•

Dengan memasukkan batas di y = 0 (berdasarkan gambar)

Untuk medan listrik :

E1x + E2x = E3x

( ) ( ) ( )θα coscos 321 EEE =+Untuk medan magnet :

……… 1

Untuk medan magnet :

B1 – B2 = B3

( ) 32

211

11E

vEE

v=−

Dengan B=E/c di Vakum atau B= E/v di medium

sehingga dan n=c/v maka 1/v ~ n

maka n1 (E1-E2) = n2 E3

( )2

2113 n

EEnE

−=

……… 2.1

……… 2.2

Persamaan 2.2 disubstitusikan kedalampersamaan 1,maka akan diperoleh :

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

−=

+

−=+

αθθα

θα

coscoscoscos

coscos

2

11

2

12

212

121

n

nE

n

nE

EEn

nEE

22 nn

Maka diperoleh koefisien refleksi yaituperbandingan antara medan pantul terhadap medandatang (E2/E1).

dikali n2

( ) ( )αθ coscos2

1

2

−==

nn

n

ErTM dikali n2

maka

( ) ( )αθ coscos2

11 +==

n

nErTM

( ) ( )( ) ( )αθ

αθcoscos

coscos

21

21

1

2

nn

nn

E

ErTM +

−== ……… 3

Dari persamaan 2.1 kita peroleh persamaann1 (E1-E2) = n2 E3

1

32112 n

EnEnE

−= …… 4

Persamaan 4 disubstitusikan ke persamaan 1, maka :

− ( ) ( )

( ) ( ) ( )θαα

θα

coscoscos2

coscos

331

21

31

32111

EEn

nE

En

EnEnE

=−

=

−+

dikali n1

maka ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )αθα

θααcoscoscos2

coscoscos2

21311

313211

nnEEn

EnEnEn

+==−

Dari persamaan diatas dapat dicari koefisien transmisi,Yaitu perbandingan antara E3/E1

( )( ) ( )αθ

αcoscos

cos2

21

1

1

3

nn

n

E

EtTM +

==

Kasus Transver Elektrik (TE)

B1

k1

E1

k2

E

21 µ1ε1

x

B2

αα

•

B3k3

E3

2µ2ε2

θ

⋅•

Berdasarkan gambar diatas apabila digunakan syaratbatas di y=0 Maka akan diperoleh hubungan :Berdasarkan gambar diatas apabila digunakan syaratbatas di y=0 Maka akan diperoleh hubungan :

Untuk meda magnet

B1x-B2x = B3x

( ) θα coscos 321 BBB =− ……… 1

Untuk medan listrik

E1 + E2 = E3

Dari hubungan EBωκ= BE

κω=

κω=v

v

cn =

maka

;; ; ;

E1 + E2 = E3maka

v1 (B1 + B2) = v2 B3 v ~ 1/n

....... 2.1

( )2 BBn

B += ....... 2.2

( ) 32

211

11B

nBB

n=+

E1 + E2 = E3

( )211

23 BB

n

nB += ....... 2.2

( ) ( )

αθθα

θα

coscoscoscos

coscos

21

22

211

221

−

=

+−

+=−

n

nB

n

nB

BBn

nBB

Persamaan 2.2 disubstitusikan ke pesamaan 1

Sehingga diperoleh :

θα coscos 2n−

αθθα coscoscoscos1

11

2 −

=

+−n

Bn

B

θα

αθ

coscos

coscos

1

2

1

2

1

2

n

nn

n

B

BRTE

+

−=−=maka

θα

θα

coscos

coscos

1

2

1

2

1

2

n

nn

n

B

BrTE

+

−==

θαθα

coscos

coscos

21

21

nn

nnrTE +

−=

Dari persamaan 2.1 kita peroleh

( ) 32

21

11B

nBB

n=+

131

2 BBn

nB −= ....... 313

22 n

Persamaan 3 disubstitusi ke persamaan 1

θαα

θα

coscoscos2

coscos

331

1

3132

11

BBn

B

BBBn

nB

=−

=

−−

θαα coscoscos2 332

11 BB

nB =−

( )θαα coscoscoscos2 21312 nnBBn +=

θααcoscos

cos2

21

2

1

3

nn

n

B

BtTE +

==

Apabila sudut bias 090 maka,

Dari hukum Snellius diperoleh hubungan

211

3211

90sinsin

sinsin

n

nn

nno=

=

ααα

1

21sin

n

n=α

Sudut datang yang menghasilkan sudut bias 090

sudut kritis

Bila sudut datang lebih besar dari sudut kritis,maka terjadi pemantulan total.

maka n1 > n2

Apabila o90=+ θα

dari hukum Snellius diperoleh hubungan:dari hukum Snellius diperoleh hubungan:

αα

ααθα

cossin

)90sin(sin

sinsin

1

2

21

21

n

n

nn

nno

=

−=

=

( )1

2tann

n=α

Sudut datang yang menghasilkan o90=+ θα

Sudut Brewster

1n

E. PANDU GELOMBANGE. PANDU GELOMBANGE. PANDU GELOMBANGE. PANDU GELOMBANG

Selubung konduktor kosong yangujung-ujungnyadibatasi oleh permukaan disebut rongga (cavity).Sedangkan bila ujung-ujungnya tidak dibatasioleh permukaan disebut dengan pandu gelombang

Diasumsikan bahwa pandu gelombang benar-benarkonduktor sempurna, Sehingga bahan materialtersebut berlaku E = 0 Dan B = 0

Misalkan gelombang elektromagnetik merambat dengan Bentuk fungsi sebagai berikut :

( ) ( ) ( )tkxiezyEtzyxE ω−= ,,,,( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )tkxio

tkxio

ezyBtzyxB

ezyEtzyxEω

ω

−

−

=

=

,,,,

,,,,

Persamaan ini disubstitusikan ke dalam persamaan Maxwell 3dan 4 ,Maka akan diperoleh :

yz BiEE ω=

∂−∂

zyx BiikE

E ω−=−∂

∂

……… 1

……… 2.3……… 2.1x

z Bizz

ω=∂

−∂

yzx BiikE

z

E ω=−∂

∂

zy BiikEy

ω−=−∂

xyz E

c

i

z

B

y

B2

ω−=∂

∂−

∂∂……… 2.2 ……… 2.4

……… 2.3……… 2.1

yzx E

c

iikB

z

B2

ω−=−∂

∂

zyx E

c

iikB

y

B2

ω=−∂∂

Dari persamaan 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, akan menghasilkan

……… 2.5

……… 2.6

Dari persamaan 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, akan menghasilkan Solusi Untuk Ey, Ez, By, dan Bz sebagai berikut

( )

∂∂+

∂∂

−=

z

B

y

Ek

kc

iE xx

y ωω 22/

( )

∂∂−

∂∂

−=

y

B

z

Ek

kc

iE xx

z ωω 22/

……… 3.1

……… 3.2( )

( )

∂∂−

∂∂

−=

z

E

cy

Bk

kc

iB xx

y 222/

ωω

( )

∂∂+

∂∂

−=

y

E

cz

Bk

kc

iB xx

z 222/

ωω

……… 3.3

……… 3.4

Dari persamaan 3 tampak bahwa bila komponen Longitudinal Ex dan Bx diketahui, maka komponen lainnya dapat diketahui.

Dengan mensubstitusikan persamaan 3 ke dalam Persamaan Maxwell, kita akan peroleh persamaanDifferensial dari komponen longitudinal sebagai Differensial dari komponen longitudinal sebagai Berikut :

022

2

2

2

2

=

−

+∂∂+

∂∂

xEkczy

ω

02222

=

−

+∂+∂

Bkω

……… 4.1

……… 4.20222

=

−

+∂∂+

∂∂

xBkczy

ω

0ˆ =⋅ Bn 0ˆ =× Bn

……… 4.2

……… 5

Dengan menggunakan syarat batas pada permukaankonduktor sempurna, yaitu :

Dengan n̂ adalah vektor satuan normal pada

konduktor, maka akan kita peroleh

Ex = 0 Di permukaan

0=∂∂Bx Di permukaan

……… 6.1

……… 6.20=∂n

Di permukaan

Bila Ex = 0, disebut gelombang TE (Transverse elektrikBila Bx = 0, disebut gelombangTM (Transverse MAgnetik), Dan Ex = 0 dan Bx = 0, disebut gelombang TEM (TransverseElectric Magnetik)

Pada pandu gelombang yang terselubung, kasus TEM tidak

……… 6.2

Pada pandu gelombang yang terselubung, kasus TEM tidakpernah terjadi hal ini dapat ditunjukkan sebagai berikut :

Bila Ex = 0, maka menurut hukum gauss haruslah berlaku hukum

0=∂

∂+∂

∂z

E

y

Ezy ……… 7

Dan bila Bx = 0, maka menurut hukum FaradayBerlaku hubungan

0=∂

∂−

∂∂

z

E

y

E yx

Karena E = 0 di permukaan logam, maka potensial listrik

……… 8

Karena E = 0 di permukaan logam, maka potensial listrikV = konstan pada permukaan logam. Menurut hukum GaussAtau persamaan Laplace untuk V, berlaku pula V = konstanDidalam rongga. Ini berarti E = 0 didalam rongga. Dari Persamaan

Et

B ×∇=∂∂−

t∂Berarti B tidak bergantung waktu, dengan demikian tidakada gelombang didalam rongga

E.1 PANDU GELOMBANG DENGAN E.1 PANDU GELOMBANG DENGAN E.1 PANDU GELOMBANG DENGAN E.1 PANDU GELOMBANG DENGAN

PENAMPANG SEGI EMPATPENAMPANG SEGI EMPATPENAMPANG SEGI EMPATPENAMPANG SEGI EMPAT

Persamaan differensial dari komponen longitudinal

022

2

2

2

2

=

−

+∂∂+

∂∂

xBkczy

ω ……… 1

Dan syarat batas 0ˆ =⋅ Bn 0ˆ =× BndanMaka dengan pemisalan : Bx (y,z) = Y (y) Z(z)

Substitusikan ke persamaan 1, maka :

0)()(22

2

2

2

2

=

−

+∂∂+

∂∂

zZyYkczy

ω ∂∂ czy

022

2

2

2

2

=

−

+∂∂+

∂∂

YZkcz

ZY

y

YZ

ω

011 2

2

2

2

2

2

=

−

∂∂+

∂∂

kkz

Z

Zy

Y

Y

ω

dibagi YZ

……… 2

Sehingga 022

2 =−

+−− kc

ZkYkω dengan

z

y

kz

Z

Z

ky

Y

Y

22

2

22

2

1

1

−=∂∂

−=∂∂

Solusi dari persamaan 3 :

( ) ( )ykBykAY yy cossin +=

………3

……… 4

Syarat batas 0=dy

dY di y = 0 dan di y = a

0 = ky A, maka A = 0( ) ( )ykyBkykAkdy

dYyyyy sincos −=

( )akBk yy sin0 = maka, πmak y = dengan m = 0, 1, 2,….

atau a

mk y

π=a

k y =

Untuk solusi zkz

Z

Z2

2

21 −=∂∂

yaitu ( ) ( )ZkBZkAZ zz cossin +=

Syarat batas 0=dz

dZ di z = 0, z = b

( ) ( )ZkBkZkAkdz

dZzzzz sincos −=maka untuk ( )

Ak

ZkAkdz

dZzz

=

=

0

cos

Akz=0 ( ) 0cos ≠ZkzUntuk ( )ZkBkdz

dZzz sin= 0≠Bkz dan kzz = 0

Sin kzz = 0

b

nk

nbk

nzk

z

z

z

πππ

=

==maka dengan n = 0, 1, 2, ….

z=b

maka untuk ( ) ( )

=

+=

+=

a

ymB

ya

mB

YkBYkAY yy

π

π

cos

cos0

cossin ( ) ( )

=

+=

+=

b

znB

b

znB

ZkBZkAZ zz

π

π

cos

cos0

cossin

Sehingga ( )

⋅

= znB

ymBzyBx

ππcoscos,Sehingga ( )

⋅

=b

Ba

BzyBx coscos,

Untuk mendapat bilangan gelombang k, maka daripersamaan yang sudah didapat

022

2 =−

+−− kc

ZkYkω dengan

a

mk y

π= b

nkz

π=dan

maka 2222

0=−

+

−

− kcb

n

a

m ωππ

222

2222

−

−

=

−

−

=

b

n

a

m

ck

b

n

a

m

ck

cba

ππω

ππω mmc

k 221 ωω −=

22

+

=b

n

a

mcmm πω

Untuk mengetahui kecepaatan grup maka dapat diperoleh dari persamaan

dk

dvg

ω=dkd

vg /

1

ω=

Dari persamaan : mmc

k 221 ωω −=c

( )

( )mm

mm

mm

cd

dkd

d

cd

dk

cd

d

d

dk

2

122

2

122

22

22

11

1

1

ωωωω

ωωωω

ωωωω

⋅−=

−=

−=

−

22 −=ω

ωω mm

g

cv

( )

( )

mm

mm

mm

cd

dkcd

dkcd

22

2

122

22

ωωω

ω

ωωωω

ωωωω

−=

−=

⋅−=

−

2

2

2

2

2

1

−=

−=

ωω

ωω

ωω

mmg

mm

g

v

v

E.2 PANDU GELOMBANG JALUR E.2 PANDU GELOMBANG JALUR E.2 PANDU GELOMBANG JALUR E.2 PANDU GELOMBANG JALUR

TRANSMISI KOAKSIALTRANSMISI KOAKSIALTRANSMISI KOAKSIALTRANSMISI KOAKSIAL

Gambar diatas memperlihatkan pandu gelombang berupajalur trandmisi koaksial (coaxial) transmition line),terdiri dari kawat panjang yang diselimuti konduktorsilinder. Kawat panjang itu terletak pada sumbu silinder

Dari persamaan Maxwell 3 dan 4 diperoleh :

yzx E

c

iikB

z

B2

ω−=−∂

∂

silinder. Kawat panjang itu terletak pada sumbu silinder

zyx E

c

iikB

y

B2

ω=−∂∂

0=∂

∂+∂

∂z

B

y

Bzy

0=∂

∂−

∂∂

z

B

y

B yx

Untuk medan listrik : Untuk medan magnet :

0=∂

∂+∂

∂z

E

y

Ezy

0=∂

∂−

∂∂

z

E

y

E yx

∂∂ zy

Maka cBz = Ey dan cBy = -Ez

∂∂ zy

Solusi dengan menggunakan koordinat silinder

rr

EE oo ˆ1= dan Φ= ˆ1

rc

EB o

o

Diasumsikan dalam pandu gelombang benar-benar konduktor sempurna, berlaku E = 0 dan B = 0Diasumsikan dalam pandu gelombang benar-benar konduktor sempurna, berlaku E = 0 dan B = 0

Sehingga fungsi gelombangnya

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )tkxio

tkxio

ezyBtzyxB

ezyEtzyxEω

ω

−

−

=

=

,,,,

,,,,

Untuk persamaan :

( ) ( ) ( )tkxio ezyEtzyxE ω−= ,,,,

( ) ( )tkxEitkxE oo ωω −+−= cosˆcos

Substitusikan rr

EE oo ˆ1=r

diperoleh ( )rtkxr

EE o ˆcos ω−=

Untuk persamaan

( ) ( ) ( )tkxio ezyBtzyxB ω−= ,,,,

( ) ( )tkxBitkxB ωω −+−= cosˆcos( ) ( )tkxBitkxB oo ωω −+−= cosˆcosyang diambil bagian realnya maka,dengan mensubstitusi

Φ= ˆ1

rc

EB o

o maka ( )Φ−= ˆcos

r

tkx

c

EB o ω