mte 3110 decode

Upload: mohammad-falakhuddin

Post on 18-Jul-2015

1.351 views

Category:

Documents


3 download

TRANSCRIPT

ALJABAR LINEAR MTE3110

PENGHARGAANBersyukur ke hadirat Ilahi kerana dengan limpah kurnianya kami dapat menyiapkan kerja kursus Aljabar Linear dengan jayanya. Di sini, kami ingin mengambil kesempatan untuk mengucapkan terima kasih kepada pensyarah pembimbing, Pn. Norhana Bt. Abu Bakar kerana membimbing kami dalam melaksanakan tugasan ini. Kami juga ingin mengucapkan terima kasih kepada rakanrakan sekelas yang banyak membantu dalam menghasilkan kerja kursus ini.. Kami juga ingin mengucapkan terima kasih kepada individu yang membantu kami tidak kira secara langsung dan tidak langsung. Jasa dan budi anda semua tidak kami lupakan. Akhir kata daripada kami, semoga semua yang terlibat di dalam pelaksanaan kerja kursus ini dirahmati Allah S.W.T. Kami berharap kerja kursus ini akan menjadi satu medan buat kami sebagai seorang bakal guru untuk membentuk peribadi yang sesuai sebelum bertugas dan kami juga mendoakan kepada rakan rakan agar mereka dapat mengambil seberapa banyak ilmu pengetahuan semasa proses menyiapkan tugasan ini. Insya-Allah. Sekian terima kasih.

Yang benar, Mohammad Falakhuddin Bin Haron & Muhammad Akmal Ariff Bin Mohamad (1P5D-MT/PJ/BM)

1

ALJABAR LINEAR MTE3110

PENGENALANIstilah algebra berasal daripada perkataan Arab Al-Jabr. Ia merupakan cabang matematik berkaitan struktur, hubungan dan kuantiti. Secara amnya, algebra oleh dibahagikan kepada tiga kategori berikut : i) Algebra asas-mencatat sifat-sifat operasi pada sistem nombor nyata sebagai

pemegang tempat dengan symbol-simbol untuk mewakili pemalar serta pembolehubah, dan petua-petua untuk ungkapan matematik dan persamaan yang melibatkan simbol-simbol tersebut dikaji. ii) Algebra Niskala- juga dikenali sebagai algebra moden yang mengkaji struktur-

struktur algebra seperti kumpulan, gelanggang dan medan yang diberikan definasi aksioman. iii) Algebra semesta-mengkaji sifat-sifat sepunya dalam struktur algebra Di Malaysia, algebra merupakan satu perkataan yang asing bagi pelajar-pelajar di sekolah rendah. Ini tidak mengejutkan kerana algebra tidak diajar secara formal atau secara lansung di dalam kelas. Walaupun algebra tidak diajar secara lansung di dalam kelas, tetapi penekanan kepada pemikiran algebra mula dimasukkan didalam Kurikulum Baru Sekolah Rendah (KBSR). Melalui KBSR, pelajar di sekolah rendah mula didedahkan dengan pemikiran algebra di mana terdapat beberapa elemen algebra yang telah diterapkan didalam pengajaran dan pembelajaran metematik didalam kelas. Melalui pendedahan seperti berikut selain dapat memberi pengalaman awal kepada pelajar sekolah rendah tentang pengenalan kepada pemikiran algebra, mereka juga dapat membina asas pemikiran algebra mereka sendiri. Dengan adanya asas pemikiran algebra yang kuat guru akan dapat membantu pelajar tersebut menguasai kemahiran algebra diperingkat menengah tanpa banyak masalah. Pendedahan awal di peringkat sekolah rendah akan membantu pelajar untuk menguasai pengetahuan algebra yang lebih kompleks pada peringkat sekolah menengah nanti.

2

ALJABAR LINEAR MTE3110

3

ALJABAR LINEAR MTE3110Pelajar mungkin merasa bosan apabila mempelajari aljabar linear kerana mereka tidak dapat mengaitkan konsep aljabar linear dengan kehidupan seharian mereka, sedangkan konsep dan pengetahuan aljabar linear sebenarnya digunakan secara meluas samada pengguna menyedari atau tidak menyedari peranan aljabar linear dalam memudahkan kehidupan seharian mereka. Oleh itu, menjadi satu keperluan bagi setiap individu untuk mempelajari dan memahami konsep dan penggunaan aljabar linear dalam menjalankan kehidupan seharian mereka.

Contoh-Contoh Aplikasi Aljabar Linear Dalam Kehidupan Seharian:

Persamaan

Pesamaan sering menjadi musuh utama kepada pelajar kerana untuk menyelesaikan sesuatu persamaan, pelajar harus menggunakan pemikiran kritis dan kreatif disamping terpaksa menghafal formula-formula yang berkaitan. Tetapi bagi sesetengah manusia, keperluan pengetahuan dan kepakaran dalam menggunakan persamaan bagi menyelesaikan sesuatu masalah amatlah tinggi. Ini kerana sifat persamaan yang dapat memudahkan sesuatu masalah ditagih dalam menyelesaikan masalah harian mereka. Contoh pekerjaan yang amat memerlukan penggunaan persamaan ialah pekerjaan dibidang kewangan seperti akauntan. Mereka amat memerlukan kemudahan penggunaan persamaan bagi menyelesaikan masalah mereka seperti menentukan harga arbitaj dan juga kadar faedah. Selain itu, persamaan juga mampu membantu manusia dalam menentukan dan membuat pilihan seperti mengenalpasti kos yang dikenakan oleh setiap syarikat komunikasi bagi tempoh maa seminit dan membuat pilihan bagi memastikan pengguna dapat berjimat semaksima yang mungkin.

4

ALJABAR LINEAR MTE3110Pengurusan Wang

Pengurusan wang telah diterapkan dalam setiap diri individu bagi memastikan semua murid menghargai dan bijak mengawal pengeluaran dan kemasukan wang mereka bagi tujuan yang baik. Pengurusan wang juga merupakan salah satu aljabar linear yang sering digunakan oleh semua masyarakat diseluruh dunia. Pengguna aljabar linear yang berkait rapat dengan pengurusan wang terdiri dari pelajar hinggalah orang dewasa dan orang tua. Sebagai contoh, seseorang individu perlu menaiki monorail ke pejabat dan kos pengangkutan setiap hari ialah RM 5.00. Dengan menggunakan aljabar linear, beliau boleh membuat anggaran atau pengiraan tepat dalam menggira kos pengangkutan beliau kepejabat selama 1 bulan mahaupun kos pengangkutan selama 1 tahun. Contoh pengiraan: RM 5.00 x X hari = RM Y RM 5.00 x 365 hari = RM 1, 825.00

Mengapa aljabra linear penting dalam kehidupan:

Membuka peluang untuk berjaya. Aljabra linear merupakan kunci untuk membuka pintu kejayaan. Berdasarkan contohcontoh yang dinyatakan, peniaga-peniaga mampu untuk mencapai kejayaan sekiranya mereka menguasai sepenuhnya aljabra linear. Dengan bantuan aljabra linear, peniagapeniaga mampu menganggar pulangan dari hasil perniagaannya, bilangan pembeli dan juga mengenalpasti kos kerugiannya dalam sesuatu perniagaan yang dijalankan oleh mereka.

5

ALJABAR LINEAR MTE3110Semasa menguruskan perniagaan, adalah amat penting untuk membuat inventori kewangan yang dibelanjakan. Oleh itu, penggunaan aljabar linear amat diperlukan. Contohnya jika bajet bulanan sebuah perniagaan itu adalah sebanyak RM5000, berapa peratus wang yang akan digunakan untuk membayar pekerja. Pekerja 1,835 Bahan 18% Sewa/utility 25% Lain-lain 1,015 Peratus jumlah bajet bulanan untuk pekerja

36.7%

Pengetahuan aljabra linear mampu menjadi titik pengubah kepada kejayaan seseorang peniaga tersebut, mereka juga mampu mengira dan memilih barangan yang lebih murah untuk dibeli serta dijadikan modal perniagaan mereka. Selain itu, mereka juga mampu mengenalpasti perbezaan harga barangan mereka dan juga peniaga yang lain jester dapat mengubah harga barangan mereka serta mengekalkan keuntungan yang dapat dikaut oleh mereka.

Menganalisa

Selain itu, aljabra linear juga boleh menjadi panduan seseorang dalam memilih kerjaya. Seseorang yang mampu menggunakan aljabra linear dengan baik mampu membuat piliihan yang tepat bagi menjamin masa depan mereka yang lebih selesa. Seseorang yang terlibat dalam bidang perniagaan boleh membuat pemilihan tepat dalam memilih tempat bagi membina atua memulakan perniagaan mereka. Peniaga tersebut boleh menganalisis bilangan penduduk disesuatu kawasan dan masalah keperluan yang dihadapi oleh mereka serta mengaitkan dengan perniagaan yang dijalankan oleh mereka.

6

ALJABAR LINEAR MTE3110Contohnya, seorang peniaga yang hendak membuka perniagaan gunting rambut akan mengaitkan jumlah penduduk dan kekerapan mereka menggunting rambut sebagai garis panduan peniaga tersebut. Dengan kiraan yang tepat, peniaga tersebut dapat memastikan kelangsungan pelangannya. Contoh tapak yang sesuai untuk membina kedai gunting rambut ialah tapak berhampiran kawasan perumahan seperti taman atau kawasan berhampiran sekolah kerana murid-murid akan selalu menggunting rambut agar sentiasa tampak kemas dan bersesuaian untuk menghadirkan diri ke sekolah.

Contoh yang lain yang dapat diketengahkan ialah, seseorang peniaga yang ingin membeli rumah dan menjadikan rumah sewa berkemungkinan akan memilih kawasan rumah yang berdekatan dengan institusi dan kolej. Selain itu, dengan menggunakan aljabra linear, mereka dapat menetapkan harga rumah yang bersesuaian serta dapat menampung modal keluaran dan juga memastikan keselasaan dan kemudahan pelangannya.

Sains dan kehidupan Selain itu, aljabra linear dapat membantu serta memudahkan kehidupan seharian kita, contohnya pengurusan masa. Dengan bantuan aljabra linear, sesesorang individu mampu mengurus masa dengan baik serta menjadikan kehidupan sehariannya lebih sistematik. Contohnya, seorang ibu atau bapa yang bekerjaya serta mempunyai anak harus memikirkan beberapa aspek yang penting bagi memastikan beliau dan anaknya dapat hadir ke sekolah dan pejabat sebelum masa yang ditetapkan serta mendapat keperluan yang secukupnya. Ibu atau ayah tersebut perlu mengetahui jarak dan masa yang diperlukan untuk bergerak dari rumah ketempat yang harus dituju. Bagi memastikan masa yang lebih singkat untuk sampai ke destinasi dan kos perjalanan seperti minyak dan tol digunakan adalah rendah, ibu atau bapa tersebut harus pandai membuat pilihan jalan yang akan digunakan setiap hari bagi menghantar anak dan kepejabat mereka.

7

ALJABAR LINEAR MTE3110

Kesimpulannya, Aljabar Linear amat penting dalam kehidupan seharian kita dan masih digunakan sehingga hari ini. Aljabar linear merupakan asas pengetahuan dalam Matematik dimana kita memerlukan kemahiran aljabar linear untuk menyelesaikan sesuatu masalah Matematik terutamnya yang berkaitan dengan sesuatu pemboleh ubah.Daripada masalah tersebut, kita boleh membuat analisa ataupun hasil data yang diperolehi untuk membuat perbandingan dan menentukan sesuatu nilai jawapan itu.

Oleh itu, aljabar linear bukan sahaja satu set langkah ataupun prosedur untuk menyelesaikan sesuatu masalah tetapi ialah suatu jenis pemikiran. Pelajar bukan sahaja belajar aljabar linear hanya untuk silibus sekolah semata-mata ataupun untuk lulus peperiksaan tetapi mereka belajar untuk memahaminya dan mengaplikasikan dalam setiap masalah yang dihadapi dalam kehidupan seharian.

Kegunaan Aljabar Linear telah memudahkan dan membuat kerja seharian kita menjadi lebih sistematik. Penggunaanya juga dapat menjimatkan sebarang kos dalam suatu pekerjaan terutamnya dalam sector perkilangan mahupun dalam pentadbiran sesuatu organisasi. Semua orang harus mempelajari Aljabar Linear agar dapat menggunakannya dalam kehidupan seharian.

8

ALJABAR LINEAR MTE3110

9

ALJABAR LINEAR MTE3110

MENCIPTA MESEJHill chipher merupakan satu aplikasi linear algebra untuk kriptografi. Kriptografi merupakan sains dalam membentuk dan memecahkan kod rahsia dan chipers. Di bawah, saya akan terangkan bagaimana saya akan membuat kod rahsia tersebut. Contoh yang saya gunakan adalah - I LOVE THE WAY YOU LOVE ME. Sebelum membuat enkripsi, kita akan menentukan nilai yang diwakili oleh setiap abjad tersebut, dimana index bermula dari 0 iaitu abjad A hingga 25 iaitu abjad Z.

Setelah itu kita memilih key matrik yang akan digunakan dalam mod 29. Key matrik haruslah mempunyai matrik songsang yang betul. Contoh key matrik yang digunakan :

Key Matrik =

Matrik Songsang =

Langkah pertama, kita gabung semua perkataan menjadi I*LOVE*THE*WAY*YOU*LOVE*ME. Selepas itu, tentukan nilai tiap-tiap huruf seperti berikut : I * L = 8, 28, 11 O V E = 14, 21, 4 * T H = 28, 19, 7 E * W = 4, 28, 22 A Y * = 0, 24, 28 Y O U = 24, 14, 20 * L O = 28, 11, 14 V E * = 21, 4, 2810

ALJABAR LINEAR MTE3110M E . = 12, 4, 26 Setelah mendapat nilai setiap abjad dalam perkataan tersebut , maka lakukan pendaraban dengan key matrix yang sudah ditentukan di atas :

=

=

Mod 29 =

=

=DFP

=

=

Mod 29 =

=

=RBM

=

=

Mod 29 =

=

=PYY

=

=

Mod 29 =

=

=JEM

=

=

Mod 29 =

=

=NKQ

=

=

Mod 29 =

=

=INK

=

=

Mod 29 =

=

=*CF

11

ALJABAR LINEAR MTE3110

=

=

Mod 29 =

=

=JXY

=

=

Mod 29=

=

=TWY

Dari hasil perdaraban matrik di atas, maka terdapat hasil perkataan baru yang membentuk Ciphertext.

Plain text

= I_LOVE_THE_WAY_YOU_LOVE_ME.

Chiper text = DFPRBMPYYJEMNKQINK*CFJXYTWY

MENYAHSULIT MESEJ12

ALJABAR LINEAR MTE3110

Hill chipher merupakan satu aplikasi linear algebra untuk kriptografi. Kriptografi merupakan sains dalam membentuk dan memecahkan kod rahsia dan chipers. Di bawah, saya akan terangkan apa sebenarnya maksud Hill Ciphers dan bagaimana saya akan memecahkan kod rahsia tersebut.

Ayat Rahsia

R,TPZCNQ_ZVR.XZG SHUntuk membentuk ayat rahsia di atas, kedua-dua sama ada chipers dan kod diperlukan. Langkah pertama, apabila saya telah mendapat ayat rahsia ini, saya telah membahagikan ayat rahsia kepada11 kumpulan yang mengandungi 9 huruf atau simbol rahsia. Kemudian, saya telah menggantikan kesemua huruf-huruf dan simbol-simbol tersebut berdasarkan nombor yang telah ditetapkan.

Cipher text (C) R 17 , 27 T 19 P 15 Z 25 C 2 N 13 Q 16 _ 28

13

ALJABAR LINEAR MTE3110Seterusnya, saya telah membentuk kumpulan pertama yang mengandungi 9 kod rahsia di dalam chiper text menjadi 3 x 3 matriks. Matrik 3 x 3 ini juga boleh dipanggil sebagai chipertext vectors.

C

17 27 19

15 25 2

13 16 28

Plain text di bawah telah diberikan sedikit supaya untuk memudahkan kita untuk mencari sonsangannya. Seperti diatas, saya telah memisahkan menjadikan 9 huruf dalam satu kumpulan dan membentuk 3 x 3 matriks (plaintext vector).

Plain Text (P) P 15 E 4 A 0 C 2 E 4 _ 28 B 1 E 4 _ 28

P

15 4 0

2 4 28

1 4 28

Untuk Hill Chipher,pembentukan chiphertext kembali kepada plaintext adalah merupakan songsangan daripada pembentukan asal daripada plaintext kepada chipher text. Dalam kata lain,jikalau Hill

14

ALJABAR LINEAR MTE3110 Chipher mempunyai matrix A, maka songsangan yang terbentuk daripada Hill Chipher ini ialah key matrix iaitu A-1. Untuk menyah kod rahsia menjadi seperti plain text, saya akan menggunakan elementary row operations untuk mendapatkan sonsangan iaitu key matrix, A-1.

ClP

17 27 19

15 25 2

13 16 28

15 4 0

2 4 28

1 4 28

Baris (i) Baris (ii) Baris (iii)

Sebelum, meneruskan mencari key matrix, Transpose kedua-dua chiper dan plain texts.

CTPT

17 15 13

27 25 16

19 2 28

15 2 1

4 4 4

0 28 28

Pada baris yang pertama, saya telah mendarabkan dengan 12 iaitu merupakan reciprocal modulo 29 bagi pivot yang pertama iaitu 17. Rujuk jadual 1 di bawah

Jadual 1 : multiplicative inverses modulo 29

Baris (i) x 18 204 15 13 324 25 16 228 2 28 180 2 1 48 4 4 0 28 28

15

ALJABAR LINEAR MTE3110Tukarkan baris (i) kepada mod 29 bagi nombor yang nilainya lebih dari 29. Kekalkan nombor yang kurang dari 29. Kemudian, teruskan dengan elementary row operations untuk hapuskan nombor-nombor di bawah pivot menjadi 0.

(i) x 15 (ii) , (i) x 13 (iii)

1 0 0

5 50 49

25 373 297

6 88 77

19 281 243

0 -28 -28(i) (ii) (iii)

Tukarkan baris (ii) dan baris (iii) kepada mod 29 bagi nombor yang nilainya lebih dari 29. Kekalkan nombor yang kurang dari 29.

1 0 0

3 21 20

10 25 7

23 1 19

10 20 11

14 1 1

(i) (ii) (iii)

Pada baris yang kedua, saya telah mendarabkan dengan 18 iaitu merupakan reciprocal modulo 29 bagi pivot yang kedua iaitu 21. Rujuk jadual 1 di atas. baris (ii) x 28

1 0 0

3 378 20

10 450 7

23 18 19

10 360 11

14 18 1

(i) (ii) (iii)

16

ALJABAR LINEAR MTE3110Tukarkan baris (ii) kepada mod 29 bagi nombor yang nilainya lebih dari 29. Kekalkan nombor yang kurang dari 29. Kemudian, teruskan dengan elementary row operations untuk hapuskan nombor-nombor di bawah pivot menjadi 0.

1 0 0

3 1 24

10 15 11

23 18 12

10 12 19

14 18 11

(i) (ii) (iii)

(i) - (ii) x 3 , (iii) (ii) x 24)

1 0 0

0 1 0

-35 15 -349

-31 18 -420

-26 12 -269

-40 18 -421

(i) (ii) (iii)

Tukarkan baris (i) dan (iii) kepada mod 29 bagi nombor yang nilainya lebih dari 29 dan juga nombor negatif. Kekalkan nombor yang kurang dari 29 dan juga nombor yang nilainya positif.

1 0 0

0 1 0

23 15 28

27 18 15

3 12 21

18 18 14

Pada baris yang ketiga, saya telah mendarabkan dengan 28 iaitu merupakan reciprocal modulo 29 bagi pivot yang ketiga iaitu 28. Rujuk jadual 1 di atas. Baris (iii) x 28 1 0 23 27 317

18

ALJABAR LINEAR MTE31100 0 1 0 15 784 18 420 12 588 18 392

Tukarkan baris (iii) kepada mod 29 bagi nombor yang nilainya lebih dari 29. Kekalkan nombor yang kurang dari 29. Kemudian, teruskan dengan elementary row operations untuk hapuskan nombor-nombor di atas pivot menjadi 0.

1 0 0

0 1 0

23 15 1

27 18 14

3 12 8

18 18 15

(i) (iii) x 23 , (ii) 15 x (iii)

1 0 0

0 1 0

0 0 1

-295 -192 14

-181 -108 8

-327 -207 15

Daripada reduced-echelon matrix yang diperolehi, songsangan (A-1) atau key matrix telah terbentuk .

1 0 0

0 1 0

0 0 1

24 11 14

22 8 8

21 25 15

Key matrix yang terbentuk ialah dalam bentuk transpose.18

(A-1)T

ALJABAR LINEAR MTE3110

24 11 14

22 8 8

21 25 15

Tukarkan (A-1)Tmenjadi A-1

A-1 24 22 21 11 8 25 14 8 15

Untuk menguji sama ada sama ada key matrix saya betul atau pun tidak, saya telah mendarabkan key matrics dengan chiper text untuk mengesahkan sama ada jawapan saya sepadan dengan plaintext atau tidak.

A-1

24 22 21

11 8 25

14 8 15

C

x

17 27 19

15 25 2

13 16 28

A-1 C

97119

663

880

ALJABAR LINEAR MTE3110742 1317 15 4 0 2 4 28 546 970 1 4 28 638 1093

Hasil yang diperolehi, bertepatan dengan plaintext saya. Maka key matrix saya adalah betul.

P 15

E 4

A 0

C 2

E 4

_ 28

B 1

E 4

_ 28

A-1

24 22 21

11 8 25

14 8 15

Z 25

V 21

R 22

. 26

X 23

Z 25

G 6

S 18

H 7

20

ALJABAR LINEAR MTE3110Seperti biasa, bentukkan perkataan rahsia (chiper text) yang seterusnya dalam bentuk 3 x 3 marix.

C

25 21 22

26 23 25

6 18 7

Darabkan kedua-dua matriks A-1 x C 24 21 22 11 23 25 14 18 7 X 25 22 21 26 8 25 6 8 15

1151 = 1409 1247

1062 1105 947

442 580 437

Tukarkan matrik yang terhasil dengan mod 29 20 15 14 13 28 24 14 20 26

Selepas hasil diperolehi, rujuk jadual simbol yang telah ditetapkan untuk membentuk perkataan seterusnya.

20

15

14

13

2821

24

14

20

26

ALJABAR LINEAR MTE3110

U

P

O

N

_

Y

O

U

.

ANSWER : PEACE

BE UPON YOU.

22

ALJABAR LINEAR MTE3110

MENCIPTA MESEJPLAINTEXT : Plaintext atau lebih dikenali sebagai mesej adalah suatu mesej yang ingin dihantarkan daripada satu individu kepada individu yang lain. Berikut merupakan contoh mesej yang ingin disampaikan:

Hur uf Nila i Hur uf Nila i

A 0 P 15

B 1 Q 16

C 2 R 17

D 3 S 18

E 4 T 19

F 5 U 20

G 6 V 21

H 7 W 22

I 8 X 23

J 9 Y 24

K 10 Z 25

L 11 . 26

M 12 , 27

N 13 28

O 14

Jadual 1

Mesej yang ingin disampaikan perlu dibahagikan bertiga-tiga terlebih dahulu. I LOVE YOU, JUST KIDDING

| I _ L | O V E | _ Y O | U , _ | J U S | T _ K | I D D | I N G|Mesej yang telah dibahagikan bertiga-tiga kemudiannya ditukarkan kedalam bentuk nombor ( mod 29 ) mengikut nilai yang telah ditetapkan.

23

ALJABAR LINEAR MTE3110

=

=

=

=

=

=

=KUNCI MATRIKS (KUNCI ENKRIPSI)

=

Kunci adalah suatu bilangan yang dirahsiakan dan digunakan dalam proses enkripsi dan dekripsi. Kunci yang digunakan haruslah boleh diterbalikkan supaya dapat menjalankan proses dekripsi. Berikut merupakan kunci matriks (kunci enkripsi) yang telah digunakan dalam proses enkripsi plaintext tersebut:

A=

PROSES KETERBALIKAN KUNCI MATRIK ( KUNCI DEKRIPSI ) Kunci dekripsi boleh diperolehi melalui kaedah penghapusan Gauss-Jordan jika kunci enkripsi telah diketahui. Berikut adalah proses untuk mencari keterbalikkan kunci matrik: Proses ini dijalankan dalam mod 29, oleh itu penggunaan salingan (reciprocal) amatlah diperlukan. Berikut merupakan salingan bagi setiap digit dalam mod 29: 1 1 15 2 15 16 3 10 17 4 22 18 5 6 19 6 5 20 7 25 21 8 11 22 9 13 23 10 3 24 11 8 25 12 17 26 13 9 27 14 27 28

24

ALJABAR LINEAR MTE31102 20 12 21 26 16 18 4 24 23 7 19 14 28

Salingan merupakan proses menukarkan sesuatu nombor kepada nombor yang lain dalam mod 29. Nombor yang asal perlu didarabkan dengan nombor salingan dan ditolak dengan 1 agar dapat menjadi nombor 1 ( dalam mod 29 ) bagi memudahkan penyelesaian menggunakan kaedah penghapusan Gauss-Jordan. Contoh: Langkah 1 Langkah 2 Langkah 3 2 x 15 = 30 30 1 = 29 29 1 ( mod 29 )

( MOD 29 ) 17 23 11 5 9 2 20 3 12 1 0 0 0 1 0 0 0 1 12R1 1 23 11 2 9 2 8 3 12 12 0 0 0 1 0 0 0 1

1 23 11

2 9 2

8 3 12

12 0 0

0 1 0

0 0 1 23R1 R2 11R1-R3

1 0 0

2 8

8 7

12

0 0

0 0 28

15 28

20 18 16

1 0 0

2 8

8 7

12

0 0

0 0 28 11R2

1 0 0

2 1

8

12

0 0

0 0 28

15 28

19 20 18

20 18 16

20 18 16

25

ALJABAR LINEAR MTE3110

1 0 0

2 1

8

12

0 0

0 0 28

R1-2R2 20R2-R3

1 0 0

0 1 0

28 14

1 7

22 12

0 0 1

19 20 18

19 20 18

20 18 16

1 0 0

0 1 0

28 14

1 7

22 12

0 0 1 27R3

1 0 0

0 1 0

28 1

1 15

22 5

0 0 27

19 20 18

19 20 18

1 0 0

0 1 0

28 1

1 15

22 5

0 0 27

R1-28R3 R2-19R3

1 0 0

0 1 0

0 0 1

16 27 27 25 10 15 5 9 27

19 20 18

1 0 0

0 1 0

0 0 1

16 27 27 25 10 15 5 9 27

16 27 27 25 10 15 5 9 27

KETERBALIKAN KUNCI MATRIK26

ALJABAR LINEAR MTE3110

MEMERIKSA KETERBALIKKAN KUNCI MATRIK

x

=( mod 29 ) Matrik identiti

Oleh itu,

adalah keterbalikan kepada

27

ALJABAR LINEAR MTE3110PROSES ENKRIPSI Dalam proses enkripsi, kunci enkripsi digunakan untuk mengubah plaintext kepada ciphertext. Berikut menunjukkan proses yang dilakukan dalam menukarkan plaintext kepada ciphertext:

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

28

ALJABAR LINEAR MTE3110Setelah membuat proses enkripsi, mesej baru akan di gabungkan semula bagi mendapatkan teks Cipher

| DFP|RBM|GDC|UEB|EGH|ZXI|IRO|CAM|

TEKS CIPHER

DFPRBMGDCUEBEGHZXIIROCAM

MENYAHSULIT MESEJCiphertext yang diterima:29

ALJABAR LINEAR MTE3110DYG_BTKX_,SYDYG_BTYJB,XO Mesej yang ingin disampaikan perlu dibahagikan bertiga-tiga terlebih dahulu.

| D Y G | _ B T | K X _ | , S Y | D Y G| _ B T | Y J B | , X O |Mesej yang telah dibahagikan bertiga-tiga kemudiannya ditukarkan kedalam bentuk nombor ( mod 29 ) mengikut nilai yang telah ditetapkan.

=

=

=

=

=

=

=

=

Mesej (9 karakter) yang diterima: CINTA ALL

=

TRANSPOSE CIPHERTEXT & PLAINTEXT Transpose adalah satu kaedah yang digunakan untuk menukar posisi antara dua atau lebih perkara. Dalam topik matriks pula, kaedah ini digunakan untuk menukarkan setiap30

ALJABAR LINEAR MTE3110baris kepada lajur. 9 karakter daripada Ciphertext dan plaintext yang dibekalkan akan ditransposekan seperti berikut:

=

transpose ciphertext

=

transpose plaintext

PROSES MENCARI KETERBALIKKAN MATRIKS Selain daripada menggunakan kunci matriks, keterbalikkan matriks dapat dicari dengan menggunakan transpose kepada 9 karakter daripada ciphertext dan plaintext yang dibekalkan. Kaedah penghapusan Gauss-Jordan juga diaplikasikan. Berikut merupakan langkah-langkah dalam memperolehi keterbalikkan matriks daripada maklumat yang dibekalkan: Formula yang digunakan:

( MOD 29 ) 3 24 6 2 8 13 10R1 1 8 2 20 22 14

31

ALJABAR LINEAR MTE3110

28

1

19 19 0

0

28

28

1

19 19 0

0

28

10 23 28

11 11

10 23 28

11 11

1 28

8 1

2

20 22 14 0 28 28R1 R2 10R1-R3 0 11 11

1 0 0

8 20

2 8

20 22 14 19 7 6 16 13

19 19

10 23 28

28 21 26

1 0 0

8 20

2 8

20 22 14 19 7 6 16 13 16R2

1 0 0

8 1

2

20 22 14 6 13

12 14 25 24

28 21 26

28 21 26

1 0 0

8 1

2

20 22 14 6 13

R1-8R2 28R2-R3

1 0 0

0 1 0

22 24 25 15 12 14 25 24 4 11 2 8

12 14 25 24

28 21 26

1 0 0

0 1 0

22 24 25 15 12 14 25 24 4 11 2 8 22R3

1 0 0

0 1 0

22 24 25 15 12 14 25 24 1 10 15 2

1 0 0

0 1 0

22 24 25 15 12 14 25 24 1 10 15 2

R1-22R3 R2-12R332

1 0 0

0 1 0

0 0 1

16 27 27 25 10 15 5 9 27

ALJABAR LINEAR MTE3110

1 0 0

0 1 0

0 0 1

7

14 10 0 2

7

14 10 0 2

10 19 10 15

10 19 10 15

KETERBALIKKAN MATRIKS

1 0 0

0 1 0

0 0 1

7 10 10

14 19 15

10 0 2 =

7 14 10

10 19 0

10 15 2

33

ALJABAR LINEAR MTE3110

MENYAHSULITKAN CIPHERTEXT Selepas mendapat keterbalikkan matriks, darabkan keterbalikkan matriks tersebut dengan ciphertext yang dibekalkan untuk mendapat plaintext atau mesej yang sebenar seperti berikut:

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=34

ALJABAR LINEAR MTE3110Setelah membuat proses enkripsi, mesej baru akan di gabungkan semula bagi mendapatkan teks Cipher

| C I N | T A _ | A L L | T A _ | C I N| T A _ | H A K | I K I |

TEKS CIPHER

CINTA ALLAH CINTA HAKIKI

35

ALJABAR LINEAR MTE3110

REFLEKSI (MOHAMMAD FALAKHUDDIN)Saya amat bersyukur kerana kerja kursus ini tiba pada masa yang sesuai iaitu pada pertengahan semester. Pada masa inilah, kita mempunyai masa yang lebih lapang dan banyak. Oleh itu, kerja kursus ini tidak banyak memberi tekanan kepada saya. Dalam kerja kursus ini berfokus kepada kegunaan algebra dalam kehidupan. Dalam tugasan ini, saya perlu menyediakan satu kod rahsia untuk menghantar mesej. Selepas itu, saya perlu mendekod mesej yang telah diterima menjadi ayat biasa. Ini tidak dapat dinafikan bahawa kerja kursus ini adalah sangat menarik perhatian saya. Dengan ini, saya mendapat peluang untuk menghurai kegunaan cipher text. Saya juga berharap saya dapat memahami lebih banyak maklumat tentang algebra supaya menggunakan pada pelajar-pelajar masa depan. Semasa menerima kerja kursus ini, Pn. Norhana Bt. Abu Bakar telah memberi

penerangan yang sangat jelas kepada saya. Dengan itu, saya bermula mendapatkan pelbagai sumber maklumat daripada perpustakaan, laman web serta dari rakan-rakan. Dalam proses ini, masalah yang dihadapi oleh saya ialah memahami maklumat-maklumat yang dapat dicari kerana kebanyakkan maklumat ini adalah dalam bahasa Inggeris. Akhir kata, saya ingin meminta maaf ke atas kesilapan yang saya telah lakukan kepada ahli kumpulan saya dan rakan-rakan sekalian. Saya juga ingin berucap terima kasih kepada mereka dan pensyarah Pn. Norhana Bt. Abu Bakar kerana memberi sokongan dan bantuan kepada saya untuk menghabiskan kerja kursus ini.

36

ALJABAR LINEAR MTE3110

REFLEKSI (MUHAMMAD AKMAL ARIFF)Pertamanya, saya ingin memanjatkan kesyukuran kepada Ilahi kerana dengan izin dan limpah kurnia-Nya, saya dapat menyiapkan tugasan Kerja Kursus ini dengan lengkap dan sempurna. Setinggi-tinggi penghargaan juga ditujukan kepada pensyarah pembimbing saya, Pn. Norhana kerana sudi meluangkan masanya untuk memberi tunjuk ajar dan penerangan mengenai tugasan ini yang mana telah meningkatkan kefahaman kami mengenai kehendak soalan dan seterusnya memudahkan kami untuk melaksanakan tugasan ini. Sepanjang melaksanakan tugasan ini, saya menghadapi beberapa kesulitan terutamanya kekangan masa. Ini kerana, kami mendapat soalan kerja kursus dari subjeksubjek yang lain pada masa yang sama dan memerlukan kami untuk menghantarnya juga pada waktu yang sama. Oleh itu, untuk mengatasi masalah ini, saya telah mengurus masa dengan bijak dengan membuat pembahagian masa saya yang terluang agar digunakan dengan sebaiknya. Selain itu, dengan kerjasama yang utuh sesama ahli kumpulan serta kolaborasi yang dijalankan, tugasan ini berjaya disiapkan dengan sempurna dan tepat pada masanya. Akhir kata, saya ingin meminta maaf ke atas kesilapan yang saya telah lakukan kepada ahli kumpulan saya dan rakan-rakan sekalian. Saya juga ingin berucap terima kasih kepada mereka dan pensyarah Pn. Norhana kerana memberi sokongan dan bantuan kepada saya untuk menghabiskan kerja kursus ini.

37

ALJABAR LINEAR MTE3110

BIBLIOGRAFIBuku Kessler, G. C. (2012, 1 26). An Overview of Cryptography. Didapatkan 2 17, 2012, daripada http://www.hermetic.ch/crypto/intro.htm Meyer, P. (t.t). An Introduction to the Use of Encryption. Didapatkan 2 17, 2012, daripada http://www.hermetic.ch/crypto/intro.htm

Website (t.t). Didapatkan 2 17, 2012, daripada http://math.usask.ca/~bremner/research/geneticalgebras/etherington/ga.pd f (t.t). Didapatkan 2 17, 2012, daripada http://www.math.washington.edu/~king/coursedir/m308a01/Projects/m308a 01-pdf/kirkham.pdf (t.t). Didapatkan 2 17, 2012, daripada http://www.math.sunysb.edu/~scott/papers/MSTP/crypto.pdf (t.t). Didapatkan 2 17, 2012, daripada http://online.redwoods.cc.ca.us/instruct/darnold/laproj/Fall97/Dustin/ciphers. pdf (t.t). Didapatkan 2 17, 2012, daripada http://www.apprendre-enligne.net/crypto/hill/Hillciph.pdf (t.t). Didapatkan 2 17, 2012, daripada http://www.cl.cam.ac.uk/~rja14/Papers/SE05.pdf (t.t). Didapatkan 2 17, 2012, daripada http://www.apprendre-enligne.net/crypto/hill/HillICTCM12.pdf (t.t). Didapatkan 2 17, 2012, daripada http://www.nku.edu/~christensen/092mat483%20hill%20cipher.pdf

38

ALJABAR LINEAR MTE3110

BORANG REKOD KOLABORASINAMA OPSYEN AMBILAN MATA PELAJARAN PENSYARAH PEMBIMBING : MOHAMMAD FALAKHUDDIN BIN HARON MUHAMMAD AKMAL ARIFF BIN MOHAMAD : MT/PJ/BM : JANUARI 2010 : MTE 3110 ALJABAR LINEAR : PN. NORHANA BT. ABU BAKAR

TARIKH

PERKARA YANG DIBINCANGKAN

CATATAN

TANDATANGAN

12/2/2012

Menerima soalan

Tugasan

tugasan dan taklimat daripada pensyarah mata pelajaran daripada pensyarah mata pelajaran Pn. Norhana

perlu dihantar selewat lewatnya pada 26 Mac 2012.

14/2/2012

Memahami kehendak soalan tugasan

Membuat jadual kerja

6/3/2012 10/3/2012

Meenkripsi kod rahsia

Membuat

dari teks biasa ke cyhper text. Mendekod ayat rahsia yang diterima. Mencari artikel.

perbincangan bersama rakan Menyelesaik

an tugasan.

39

ALJABAR LINEAR MTE3110

11/3/2012 20/3/2012

Membuat tugasan mengikut jadual kerja yang ditetepkan

Mengenal pasti aplikasi aljabar linear. Mengolah artikel.

22/3/2012

Menyusun tugasan Membuat pemeriksaan terakhir terhadap tugasan

Membetul tugasan dari segi ejaan Membuat penyusanan tugasan

25/3/2012

Menyiapkan tugasan

Memeriksa tugasan Menghantar

263/2012

Menjilid tugasan Menghantar tugasan

tugasan kepada pensyarah pembimbing

40

ALJABAR LINEAR MTE3110

41