IRISAN KERUCUT (CONICS SECTIONS)

Irisan kerucut merupakan kurva yang terbentuk ketika sebuah bidang memotong permukaan kerucut tegak. Kurva dari irisan kerucut berupa lingkaran, parabola, ellips dan hiperbola. Perhatikan gambar berikut :

Pembelajaran dari irisan kerucut mulai dikembangkan 2000 tahun yang lalu yang diperkenalkan oleh Apollonius (262 – 190 SM). Baru abad 17 irisan kerucut sangat penting untuk bidang fisika dan kimia. Dalam modul ini akan dibahas irisan kerucut berupa parabola, ellips dan hiperbola. Sedangkan lingkaran akan dibahas secara mendalam di matematika wajib kelas XI semester 2. A. Parabola

Definisi : Parabola Sebuah parabola merupakan himpunan titik-titik pada bidang datar yang mempunyai jarak yang sama terhadap suatu titik tertentu (titik fokus) dan terhadap suatu garis tertentu (garis direktriks).

Sifat – sifat Parabola : Persamaan Parabola

Fokus

x2 = 4py (0, p)y2 = 4px (p, 0)

(x – a)2 = 4p(y – b) (a, b + p (y – b)2 = 4p(x – a) (a + p, b)

Contoh 1 Tentukan koordinat puncak, Fokus, persamaan sumbu simetri, persamaan direktriks dari parabola y2 = 8x lalu lukislah grafiknya !Jawab : y2 = 4px y2 = 8x (grafik terbuka ke kanan atau kekiri)Jadi 4p = 8 maka p = 2 (karena p > 0 grafik terbuka kekanan)Diperoleh : Puncak = (0, 0) Fokus = (p, 0) = (2, 0)Sumbu Simetri = Sumbu X ( y = 0)Direktriks: x = – p = –2 Latus Rectum = |4�| = |4.2| = 8 Contoh 2 Tentukan koordinat puncak, Fokus, persamaan sumbu simetri, persamaan direktriks dan panjang latus rectum dari parabola x2 + 12y = 0 lalu lukislah grafiknya !Jawab : x2 + 12y = 0 x2 = – 12y (Grafik terbuka keatas atau kebawah)x2 = 4py maka 4p = – 12 didapat p = – 3(karena p < 0 maka grafik terbuka kebawah)Diperoleh : Puncak = (0, 0) Sumbu Simetri = Sumbu Y ( x = 0)Fokus = (0, p) = (0, –3)Direktriks: y = – p = – (–3) = 3

Latus Rectum = |4�| = �4. �– Contoh 3 Tentukan koordinat puncak, Fokus, persamaan sumbu simetri, persamaan direktriks dan panjang latus rectum dari parabola (y – 4)2 = 4(x + 6) lalu lukislah grafiknya !Jawab : (y – a)2 = 4p(x – b) (y – 4)2 = 4(x + 6) → grafik terbuka kekanan atau ke kiriDiperoleh : a = – 6, b = 4 dan 4p = 4 → p = 1karena p > 1 maka grafik terbuka ke kananDiperoleh : Puncak : P(– 6, 4) Fokus : F(a + p, b) = F(Sumbu Simetri : y = 4 Direktriks : x = a – p = – 7Latus rectum : LR = |4�| = 4

Fokus Direktriks Puncak

(0, p) y = – p (0, 0) Sumbu Y ( x = 0)(p, 0) x = – p (0, 0) Sumbu X ( y = 0)

(a, b + p ) y = b – p (a, b) p, b) x = a – p (a, b)

Tentukan koordinat puncak, Fokus, persamaan sumbu simetri, persamaan direktriks = 8x lalu lukislah grafiknya !

= 8x (grafik terbuka ke kanan atau kekiri) Jadi 4p = 8 maka p = 2 (karena p > 0 grafik terbuka kekanan)

= (p, 0) = (2, 0) = Sumbu X ( y = 0)

= 8

Tentukan koordinat puncak, Fokus, persamaan sumbu simetri, persamaan direktriks dan panjang latus rectum + 12y = 0 lalu lukislah grafiknya !

12y (Grafik terbuka keatas atau kebawah)

3 (karena p < 0 maka grafik terbuka kebawah)

= Sumbu Y ( x = 0) –3)

3) = 3

3�� = 12

puncak, Fokus, persamaan sumbu simetri, persamaan direktriks dan panjang latus rectum = 4(x + 6) lalu lukislah grafiknya !

grafik terbuka kekanan atau ke kiri

p = 1 karena p > 1 maka grafik terbuka ke kanan

: F(a + p, b) = F(– 5, 4)

7 = 4

Sumbu Simetri Latus Rectum

Sumbu Y ( x = 0) |4�| Sumbu X ( y = 0) |4�|

x = a |4�| y = b |4�|

Tentukan koordinat puncak, Fokus, persamaan sumbu simetri, persamaan direktriks dan panjang latus rectum

Tentukan koordinat puncak, Fokus, persamaan sumbu simetri, persamaan direktriks dan panjang latus rectum

puncak, Fokus, persamaan sumbu simetri, persamaan direktriks dan panjang latus rectum

Contoh 4 Tentukan koordinat puncak, Fokus, persamaan sumbu simetri, persamaan direktriks dan panjang latus rectum dari parabola x2 + 6x + 8y – 7 = 0 lalu lukislah grafiknya !Jawab : Ubah x2 + 6x + 8y – 7 = 0 menjadi bentuk bakux2 + 6x + 8y – 7 = 0 x2 + 6x = –8y + 7 (x + 3)2 – 9 = –8y + 7 (x + 3)2 = –8y + 7 + 9 (x + 3)2 = –8y + 16 (x + 3)2 = –8(y – 2) → grafik terbuka ke atas atau kebawah(x – a)2 = 4p(y – b) Maka 4p = –8 → p = – 2 (grafik terbuka ke bawah)Diperoleh : a = – 3, b = 2 Puncak : P(–3, 2) Fokus : F(a, b + p) = F(Sumbu Simetri : x = a = – 3 Direktriks : y = b – p = 2 Latus rectum : LR = |4�| = 8 1. Lukislah parabola berikut lalu tentukan koordinat puncak, fokus, persamaan sumbu simetri dan direktiks

serta panjang laktus rectum :a. y2 + 4x = 0 b. x2 = 6y c. (y + 1)2 + 8(x + 2) = 0 d. x2 – 2x = 6y – 19

2. Tentukan koordinat puncak, fokus, persamaan sumbu simetri dan direktiks serta panjang laktus rectum :a. y2 = 10x b. x2 + 14y = 0 c. (y – 4)2 = 4(x + 6) d. y2 – 6y + 4x + 5 = 0 e. x2 – 4x – y + 7 = 0

3. Tentukan Persamaan parabola jika diketahui unsura. Puncak (0, 0) dan F(3, 0)b. Puncak (0, 0) dan direktriks x = 2c. Puncak (0, 0) dan F(0, 2)d. Puncak (0, 0) dan direktriks y =

4. Tentukan persamaan parabola dengan F(4,5. Tentukan persamaan parabola dengan Puncak (6. Tentukan persamaan parabola dengan Puncak (5, 7. Tentukan persamaan parabola dengan F(8. Tentukan persamaan parabola b9. Tentukan persamaan parabola yang berpuncak di (0, 0) melalui (6,10. Tentukan persamaan parabola dengan puncak (3, 2) memotong sumbu X di titik (4, 0) dan sumbu simetr

sejajar sumbu X !

Fokus, persamaan sumbu simetri, persamaan direktriks dan panjang latus rectum 7 = 0 lalu lukislah grafiknya !

7 = 0 menjadi bentuk baku (x – a)2 = 4p(y – b)

grafik terbuka ke atas atau kebawah

(grafik terbuka ke bawah)

) = F(– 3, 2 – 2) = F(– 3, 0)

2 – (–2) = 4 8

Lukislah parabola berikut lalu tentukan koordinat puncak, fokus, persamaan sumbu simetri dan direktiks laktus rectum :

Tentukan koordinat puncak, fokus, persamaan sumbu simetri dan direktiks serta panjang laktus rectum :

Tentukan Persamaan parabola jika diketahui unsur-unsurnya sebagai berikut :Puncak (0, 0) dan F(3, 0) Puncak (0, 0) dan direktriks x = 2 Puncak (0, 0) dan F(0, 2)

direktriks y = –3 Tentukan persamaan parabola dengan F(4, 0) direktriks sumbu Y ! Tentukan persamaan parabola dengan Puncak (–3, –5) direktriks x = –Tentukan persamaan parabola dengan Puncak (5, –1) dan F(5, –3) ! Tentukan persamaan parabola dengan F(–2, 3), direktriks y = – 4 ! Tentukan persamaan parabola bila panjang lactus rectum sama dengan 4 dan direktriks x = 0!Tentukan persamaan parabola yang berpuncak di (0, 0) melalui (6, – 6) dan menyinggung sumbu Y! Tentukan persamaan parabola dengan puncak (3, 2) memotong sumbu X di titik (4, 0) dan sumbu simetr

Fokus, persamaan sumbu simetri, persamaan direktriks dan panjang latus rectum

Lukislah parabola berikut lalu tentukan koordinat puncak, fokus, persamaan sumbu simetri dan direktiks

Tentukan koordinat puncak, fokus, persamaan sumbu simetri dan direktiks serta panjang laktus rectum :

unsurnya sebagai berikut :

–1 !

ila panjang lactus rectum sama dengan 4 dan direktriks x = 0! 6) dan menyinggung sumbu Y!

Tentukan persamaan parabola dengan puncak (3, 2) memotong sumbu X di titik (4, 0) dan sumbu simetri

Kunci Jawaban :

1. Lihat tabel berikut : NO Puncak Fokus Pers. Sumbu Simetri Direktriks Latus Rectum a (0, 0) (–1, 0) y = 0 x = 1 4 b (0, 0) (0, 3/2) x = 0 y = – 3/2 6 c (–2, –1) (–4, –1) y = –1 x = 0 8 d (1, 3) (1, 9/2) x = 1 y = 3/2 6

2. Lihat tabel berikut :

NO Puncak Fokus Pers. Sumbu Simetri Direktriks Latus Rectum a (0, 0) (5/2, 0) y = 0 x = – 5/2 10 b (0, 0) (0, – 7/2) x = 0 y = 7/2 14 c (–6, 4) (–5, 4) y = 4 x = –7 4 d (1, 3) (0, 3) y = 3 x = 2 4 e (2, 3) (2, 13/4) x = 2 y = 11/4 1

3. a. y2 = 12x

b. y2 = – 8x c. x2 = 8y d. x2 = 12y

4. y2 – 8x + 16 = 0 5. y2 + 10y + 8x + 49 = 0 6. x2 – 10x + 8y + 33 = 0 7. x2 + 4x – 14y – 3 = 0 8. y2 = 4(x – 1) atau y2 = –4(x + 1) 9. y2 = 6x 10. y2 – 4y – 4x + 16 = 0