bab ii statika benda tegar dalam dua dimensi · · 2017-12-22sebuah sumbu diukur oleh momen gaya...

BAB II STATIKA BENDA TEGAR DALAM DUA DIMENSI

21


Benda tegar adalah elemen kecil yang tidak mengalami perubahan bentuk

apabila dikenai gaya. Struktur dua dimensi dapat diartikan sebuah struktur pipih yang

mempunyai panjang dan lebar tetapi tidak mempunyai tebal, atau secara lebih umum ,

sebuah struktur yang mempunyai simetri bidang.

A. SISTEM EKIVALEN GAYA

Gaya yang beraksi pada benda tegar dapat dibagi menjadi dua kelompok, yaitu:

1. Gaya luar, aksi dari benda lain pada benda yang sedang dibahas. Contohnya berat,

gaya dorong, gaya normal.

2. Gaya dalam, gaya yang mengikat semua partikel yang membentuk benda tegar

tersebut. Contohnya gaya pada kerangka batang.

Pada bab ini hanya akan dibicarakan gaya luar. Sebagai contoh dapat dilihat pada

gambar 15a sebuah truk yang ditarik oleh beberapa orang. Gaya luar yang bekerja

pada truk tersebut ditunjukkan pada diagram benda bebas (free body diagram) seperti

tampak pada gambar 15b.

(a) (b)

Gambar 15


22

B. PRINSIP TRANSMISIBILITAS GAYA EKIVALEN

Prinsip transmisibilitas menyatakan bahwa persyaratan kesetimbangan gerak

benda tegar akan tetap tidak berubah jika gaya F yang beraksi pada titik tertentu pada

benda tegar itu diganti oleh gaya F’ yang besar dan arahnya sama tetapi beraksi pada

titik yang berbeda, jika kedua gaya itu memiliki garis aksi yang sama (gambar 16)

Kembali pada contoh truk itu, mula‐mula kita amati garis aksi gaya F ialah garis

horizontal yang melalui kedua bumper belakang dan depan truk itu (gambar 17a).

Dengan memakai prinsip transmisibilitas, kita boleh mengganti F dengan gaya ekivalen

F’ yang beraksi pada bumper belakang(gambar 17b).

Gambar 17

Gambar 16


23

C. MOMEN GAYA TERHADAP SUMBU

Kecenderungan sebuah gaya untuk memutar sebuah benda tegar di sekitar

sebuah sumbu diukur oleh momen gaya terhadap sumbu itu. Momen MA dari suatu

gaya F terhadap suatu sumbu melalui A, atau dengan singkat, momen F terhadap A,

didefinisikan sebagai perkalian besar gaya F dengan jarak tegak lurus d dari A ke garis

aksi F:

MA = Fd (21)

Di mana : MA = momen gaya (Nm, lb ft, lb in)

F = gaya (N, lb)

d = jarak dari sumbu putar (m, ft, in)

Momen gaya tidak hanya memiliki besar tetapi juga arah. Pada pembicaraan ini

kita akan mengambil momen searah jarum jam sebagai positif dan momen berlawanan

jarum jam sebagai negatif.

D. TEOREMA VARIGNON

Suatu teorema yang sangat penting dalam statika ditemukan oleh

matematikawan Perancis yang bernama Varignon (1654‐1722). Teorema ini

menyatakan bahwa momen sebuah gaya terhadap setiap sumbu sama dengan jumlah

momen komponen gaya itu terhadap sumbu yang bersangkutan.

ΣMO = M1 + M2 + M3 + M4 +..........

= F1d1 + F2d2 + F3d3 + F4d4 +........... (22)


24

Contoh 1.

Penyelesaian:

Gaya vertikal 100 lb diterapkan pada ujung lengan yang terikat pada poros di O. Tentukan (a) momen gaya 100 lb tersebut terhadap O; (b) besar gaya horizontal yang diterapkan di A yang menimbulkan momen yang sama terhadap O; (c) gaya terkecil yang diterapkan di A yang menimbulkan momen yang sama terhadap O; (d) berapa jauhnya dari poros sebuah gaya vertikal 240 lb harus beraksi untuk menimbulkan momen yang sama terhadap O.

a. Momen terhadap O. Jarak tegak lurus dari O ke garis aksi gaya 100 lb adalah

Mo = F x dcos 60° = 100 x 24cos 60° = 1200 lb in.

b. Gaya horizontal. Karena momen terhadap O harus 1200 lb in, kita tulis:

Mo = F x dsin 60° 1200= F x 24sin 60° F = 57,7 lb


25

Contoh 2.

c. Gaya terkecil. Karena Mo = Fd, harga F terkecil terjadi ketika d maksimum. Kita pilih gaya tegak lurus OA dan dapatkan d = 24 in, sehingga:

Mo = Fd 1200 = F x 24 in F = 50 lb

d. Gaya vertikal. Mo = F x dcos 60° 1200 = 240 x dcos 60° d = 10 in

Batang sepanjang 4,8 m mengalami gaya seperti pada gambar. Hitunglah :

a. Besar momen terhadap ujung A.

b. Besar momen terhadap ujung B

1,6 m 1,2 m 2 m


26

Penyelesaian:

E. Kesetimbangan Benda Tegar

Sebuah benda tegar dalam kesetimbangan jika gaya‐gaya luar yang beraksi

padanya membentuk sistem gaya ekivalen dengan nol, ini berarti sistem tersebut tidak

mempunyai resultan gaya dan resultan kopel. Syarat kesetimbangan adalah:

ΣFx = 0 ΣFy = 0 ΣMA = 0 (23)

F. Reaksi Pada Tumpuan dan Sambungan Untuk Struktur Dua Dimensi

Reaksi yang ditimbulkan pada suatu struktur dua dimensi tegar dapat dibagi

menjadi tiga kelompok, sesuai dengan tiga jenis tumpuan atau sambungan, yaitu:

1. Reaksi yang ekivalen dengan sebuah gaya yang diketahui garis aksinya. Dukungan

dan sambungan yang menimbulkan reaksi dalam kelompok ini termasuk

gelindingan (roller), goyangan (rocker), permukaan tak bergesekan, penghubung

(link) dan kabel pendek, kerah pada batang tak bergesekan dan pin (jarum) tak

bergesekan pada celah.

2. Reaksi yang ekivalen dengan gaya yang arahnya tak diketahui. Dukungan dan

sambungan yang menimbulkan reaksi dalam kelompok ini termasuk pin tak

bergesekan pas pasak lubang, engsel, dan permukaan kasar.

a. Momen terhadap ujung A. ΣMA= (600 x 1,6)-(100 x 2,8)

+ (250 x 4,8) = 1880 Nm

b. Momen terhadap ujung B. ΣMA= (100 x 2)-(600 x 3,2)

+ (150 x 4,8) = -1000 Nm


27

3. Reaksi yang ekivalen dengan suatu gaya dan suatu kopel. Reaksi sejenis ini

ditimbulkan oleh dukungan tetap yang melawan setiap jenis gerak benda bebas

sehingga mengekang geraknya sepenuhnya.

Contoh 3.3.

Gambar 19

Gambar 18


28

Kita tinjau truss yang terlihat pada gambar 19(a) di atas yang mengalami gaya tertentu

P, Q, dan S. Truss tersebut terikat pada tempatnya oleh pin di A dan gelindingan di B.

Pin mencegah titik A untuk bergerak dengan menimbulkan gaya pada truss, gaya ini

dapat diuraikan menjadi komponen Ax dan Ay. Gelindingan menjaga truss itu supaya

tidak berotasi sekitar A dengan menimbulkan gaya vertikal B. Diagram benda bebas

truss tersebut diperlihatkan pada gambar 19(b), termasuk reaksi Ax, Ay, dan B serta

gaya P, Q, S serta berat W dari truss itu.

Contoh 4.

Gambar 20

Dalam kasus truss seperti gambar 20(a) dipegang oleh gelindingan di A dan B serta

hubungan pendek di D. Uraian gaya‐gaya yang bekerja pada truss dapat dilihat pada

gambar 20(b)

Contoh 5.

Kerek tetap yang bermassa 1000 kg dipakai untuk mengangkat peti seberat 2400 kg. Kerek itu dipegang tetap pada tempatnya oleh pin A dan goyangan di B. Pusat gravitasi kerek terletak di G. Tentukan komponen reaksi pada A dan B (g = 9,8 m/s2)


29

Penyelesaian:

ΣFy = 0

Ay – W2 – W1 = 0

Ay = 9,8 + 23,5 = 33,3 kN

ΣMA = 0

(W2 x 2) + (W1 x 6) – (B x 1,5) = 0

(9,8 x 2) + (23,5 x 6) –(B x 1,5) = 0

19,6 + 141 = 1,5B

B = 107,1 kN

ΣFx = 0

Ax + B = 0

Ax = ‐ B = ‐ 107,1 kN = 107,1 kN (ke kiri)

1,5 m

2 m 4 m

Ax

Ay

B

9,8 kN

23,5 kN

A

B

W1 = 2400 x 9,8 = 23520 N = 23,5 kN W2 = 1000 x 9,8 = 9800 N = 9,8 kN


30

Contoh 6.

Penyelesaian:

Tiga beban diterapkan terhadap sebuah balok seperti terlihat pada gambar. Balok tersebut didukung oleh sebuah gelindingan di A dan sebuah pin di B. Abaikan berat balok, tentukan reaksi di A dan B jika P = 15 kips

ΣFx = 0 Bx = 0 ΣMB = 0 (A x 9) + (6 x 2) + (6 x 4) – (15 x 6) = 0 9A = 90 – 12 – 24 A = 6 kips ΣFy = 0 A – 15 + By – 6 – 6 = 0 6 – 15 + By – 6 – 6 = 0 By = 21 kips


31

Contoh 7.

Penyelesaian :

ΣMA = 0

(W x 0,5AB x cos 45°) + (Tcos 70° x AB x cos 45°) – (Tsin 70° x AB x sin 45°) = 0

0,5W + Tcos 70° ‐ Tsin 70° = 0

(0,5 x 98) + (0,342 x T) –(0,9397 x T) = 0

49 = 0,5977 T

T = 81,98 N

ΣFx = 0

Fcos 45° ‐ Tsin 70° = 0

0,7F = (81,98 x sin 70°)

0,7F = 77

F = 110 N

A

B

T

F

Tcos 70

Tsin 70

45

25

70

Fcos 45

W

Seorang lelaki mengangkat tonggak 10 kg yang panjangnya 4 m dengan menariknya dengan tambang. Carilah tegangan T dari tambang dan reaksi di A


32

Contoh 8

Penyelesaian :

ΣME = 0

(Tcos α x 6) – (20 x 1,8) – (20 x 3,6) – (20 x 5,4) – (20 x 7,2) – ME = 0

(150 x 4,5/7,5 x 6) – 360 = ME

ME = 180 kNm

A B C

D

E FEx

Ey

ME

α

Kerangka yang diperlihatkan mendukung sebagian atap bangunan kecil. Diketahui tegangan pada kabel sebesar 150 kN. Tentukan reaksi pada ujung E.

ΣFx = 0 150cos α + Ex = 0 Ex = - 150 x 4,5/7,5 = - 90 kN = 90 kN (kiri) ΣFy = 0 Ey – 20 – 20 – 20 – 20 – 150sin α = 0 Ey = 80 + (150 x 6/7,5) = 200 kN


33

LATIHAN :

1. a. Determine the magnitude and directional

sense of the moment of the force at A about

point O

b. Determine the magnitude and directional

sense of the moment of the force A about

point P.

2. The boom has a length of 30 ft, a weight of 800 ib, and mass center at G. If the

maximum moment that can be developed by the motor at A is M = 20(103) lb.ft,

determine the maximum load W, having a mass center at G, that can be lifted. Take

θ = 30°.


34

3. Determine the moment of each of the three

forces about point A.

4. The towline exerts a force of P = 4 kN at the and of the 30 m long crane boom. If θ

= 30°, determine the placement x of the hook at A so that this force creates a

maximum moment about point O. What is this momen ?


35

5. The crane can be adjusted for any angle 0 ≤ θ ≤ 90° and any extension 0 ≤ x ≤ 5 m.

For a suspended mass of 120 kg, determine the moment develop at A as a function

of x and θ. What values of both x and θ develop the maximum possible moment at

A ? Compute this moment. Neglect the size of the pulley at B

6. Determine the reactions at the supports for

the truss


36

7. Determine the reactions at the supports for

the truss

8. Determine the reactions at the pin A

and at the roller at B of the beam.

9. Determine the reactions at the

supports A and B of the frame


37

10. Determine the tension in the cable and the

horizontal and vertical components of

reaction of the pin A. The pulley at D is

frictionless and the cylinder weights 80 lb.

bab ii statika benda tegar dalam dua dimensi · · 2017-12-22sebuah sumbu diukur oleh momen gaya...

Documents