unit 5 ( pesongan dan kecerunan rasuk statik boleh tentu akibat lenturan simetri ( kaedah macaulay)...

C3007/unit 5/1

PESONGAN DAN KECERUNAN KAEDAH MACAULAY (Rasuk Julur)

PESONGAN DAN KECERUNAN RASUK STATIK BOLEH TENTU AKIBAT LENTURAN SIMETRI ( KAEDAH MACAULAY)

OBJEKTIF AM: Di akhir unit ini pelajar dapat memahami maksud kecerunan, pesongan dan pesongan maksima pada rasuk julur

OBJEKTIF KHUSUS

Selepas mengikuti unit 4 ini, pelajar dapat :-

Mencari tindakbalas pada tupang bagi beban tumpu, beban teragih dan momen

Menulis ungkapan umum bagi momen Menulis dan menukarkan ungkapan umum kepada

ungkapan Macaulay Mengira kecerunan dan pesongan pada rasuk Menyelesaikan masalah pesongan maksima

C 3007- Mekanik Struktur Disediakan oleh Sharina Abdul Latiff &Noriza Awang Kechik

C3007/unit 5/2


5.0 PENGENALAN

Bagi rasuk julur andaian yang boleh dibuat adalah seperti balkoni, di mana rasuk diunjurkan dari dalam. Kita dapat lihat rasuk seolah-olah terjepit. Apabila anda berdiri pada hujung akan terjadi lenturan. Dalam keadaan ini pada hujung terjepit tersebut akan ada daya dan momen bagi menseimbangkan rasuk tersebut. Daya yang dikenakan adalah seperti beban tumpu, beban teragih dan momen.Pengiraannya hampir sama dengan rasuk tetupang mudah.

INPUT 1

5.1 KAEDAH MACAULAY UNTUK RASUK JULUR DENGAN BEBAN TUMPU

Bagi rasuk julur, kecerunan dan pesongan di dinding ialah sifar. Pesongan maksimum berlaku di hujung di mana x = L.. Oleh sebab itu kedudukan tupang adalah penting .

Contoh 5.1

W

L

A B

ym

Rajah 5.1


C3007/unit 5/3


Bagi keratan XX, momen lenturMx = -Wx

= -Wx ---------------- persamaan 5.1

Kamirkan persamaan momen(5,1) untuk mendapatkan persamaan kecerunan

= ---------------- persamaan 5.2

Keadaan sempadan

Apabila x =L, = 0. Masukkan nilai-nilai ini dalam persamaan

5.2, memberi

EI(0) =

C1 =

Persamaan 5.2 menjadi,

=

Kamiran kedua memberi,

Ey = ------------------ persamaan 5.3

Apabila x = L, y = 0. Masukkan nilai-nilai ini ke dalam persamaan 5.3, memberi

0 =

Oleh itu

Pesongan maksimum berlaku pada x =0

Contoh 5.2


C3007/unit 5/4


Dapatkan kecerunan dan pesongan pada hujung bebas bagi rasuk julur di bawah.

30kN 20kN 10kN

A 3m B 2m C 2m D

Rajah 5.2

Penyelesaian:

Ra = 30 + 20 + 10 = 60kN

MA = 0MA + 30(3) + 20(5) + 10(7) = 0

MA = - 260kNm

Persamaan momen,

My-y = 60 x – 260x0 –30(x-3) –20(x-5)

Tukarkan kepada persamaan Macaulay

Dengan menggunakan keadaan sempadan dapatkan nilai C1

dan C2

Pada A, , x =0

C1 = 0


C3007/unit 5/5


Pada A, y = 0, x = 0C2 = 0

Persamaan lengkap

Kecerunan pada hujung bebas, x = 7

rad

Pesongan pada hujung bebas, x = 7m

Contoh 5.3

Dapatkan kecerunan dan pesongan pada hujung bebas bagi rasuk terjuntai di bawah dalam sebutan EI


C3007/unit 5/6


20kN 30kN

2m 5m 3m

Rajah 5.3

Dengan menggunakan kaedah Macaulay keratan perlu dibuat

titik paling kanan rajah 5.4

x y

20kN 30kN

2m 5m 3m y

Rajah 5.4

Penyelesaian:

Momen pada keratan yy


C3007/unit 5/7


Myy = - 20(x-2) -30(x-7)

Pada keadaan rasuk seperti 5.3, daya tindakbalas dan momen pada hujung terikat tidak perlu dicari.

Dari persamaan asal momen iaitu;

= M

Gantikan persamaan momen pada keratan yy dalam persamaan asal momen, menjadi

= - 20(x-2) -30(x-7)

Bagi mendapatkan persamaan kecerunan kamirkan

Dari persamaan kecerunan kamirkan bagi mendapatkan persamaan pesongan

Dengan menggunakan persamaan sempadan iaitu:

, x = 10 gantikan dalam kecerunan

0 = -775 + C1

C1 = 775

y = 0 , x = 10

C2 = 5908.33

Dapatkan persamaan lengkap

Persamaan kecerunan

Persamaan pesongan


C3007/unit 5/8


Kecerunan dan pesongan maksima berlaku pada hujung bebas

Di mana x =0

Kecerunan

Pesongan

______________________________________________________

AKTIVITI

___________________________________________________


C3007/unit 5/9


Soalan 5.1 Dapatkan kecerunan dan pesongan di C bagi rasuk julur di dalam Rajah 5.6 di bawah di mana nilai E =206kN/mm2 dan nilai Ixx ialah 8x 109mm4

50kN 30kN

A B C D

3m 5m

1m

Rajah 5.6

Soalan 5.2 Dapatkan kecerunan dan pesongan di B bagi rasuk

julur Rajah 5.7 yang berkeratan seperti Rajah 5.8

20kN 20kN 40kN

A B C D

2m 2m 2m

Rajah 5.7

20mm 120mm

40mm

60mm

Rajah 5.8

MAKLUM BALAS___________________________________________________________________________________


C3007/unit 5/10


Soalan 5.1

y = 4.06 mm

Soalan 5.2

C1 = 0C2 = 0Ixx = 2.73 x 107 mm4

y = 2.56 mm


C3007/unit 5/11


INPUT 2

5.2 Mendapatkan kecerunan dan pesongan bagi beban teragih bagi rasuk julur dengan menggunakan Kaedah Macaulay

Bagi beban teragih yang meliputi sebahagian daripada rasuk dan tidak meliputi sehingga hujung kanan rasuk, beban tersebut mestilah diteruskan sehingga kepada hujung kanan rasuk dan kemudian ditolakkan dengan beban yang sama magnitud tetapi bertentangan arah (arah ke atas) yang dikenakan pada bahagian bawah rasuk untuk bahagian rasuk yang ditambah bebannya. (Sila rujuk Unit 4)

Contoh 5.4

Daripada rasuk julur dibawah, dapatkan kecerunan dan pesongan pada hujung bebas dalam sebutan EI

70N15N/m

A 4m B 3m C 4m D

Rajah 5.9

Penyelesaian


C3007/unit 5/12


Tindak balas pada penyokong A, ambil jumlah daya ke atas sama dengan jumlah daya ke bawah

Fy = 0

RA = 15(4) + 70 = 130N

Jumlah momen positif sama dengan jumlah momen negatif

MA = MA

15(4)(2) + MA + 70(7) = 0 MA = -610 Nm

Persamaan momen

x y

70N15N/m

A 4m B 3m C 4m D

Rajah 5.10

yKeratan di buat pada y-y

(jika beban teragih perlu ditambah sehingga kekeratan y-y dan perlu diseimbangkan)

Kamirkan persamaan momen bagi mendapatkan persamaan kecerunan


C3007/unit 5/13


Kamirkan sekali lagi persamaan momen untuk dapatkan persamaan pesongan

Keadaan sempadan

Pada A, x = 0,

(Jika tupang berada disebelah kiri , jika x = 0 kecerunan dan pesongan adalah kosong)

Pada A, x = 0, y = 0

Persamaan lengkap

i. Persamaan kecerunan

ii. Persamaan pesongan


C3007/unit 5/14


Kecerunan pada titik D, x = 11m (Pada hujung bebas)

Pesongan pada titik D , x = 11 (Pada hujung bebas)

Contoh 5.5

Dapatkan kecerunan dan pesongan pada hujung bebas dengan mengambil mengambil nilai E = 200 kN/mm2 dan I = 108 mm4


C3007/unit 5/15


30N12N/m

A B C D 3m 3m 3m

Rajah 5.11

Penyelesaian

Tindakbalas pada penyokong, tindakbalas dan momen tidak perlu dicari

X y

30N12N/m

A B C D 3m 3m 3m

Rajah 5.12 y

Penyelesaian

Persamaan momen

(Beban teragih perlu ditambah sehingga kekeratan yy dan perlu diseimbangkan)

Kamirkan persamaan momen bagi mendapatkan persamaan kecerunan.


C3007/unit 5/16



Keadaan sempadan

Pada titik D, x= 9m,

Pada titik D, x = 9m, y = 0

Persamaan lengkap

Kecerunan dan pesongan pada titik A(pada hujung bebas)

Titik A, x = 0

Kecerunan


C3007/unit 5/17


= 0.08 rad

Pesongan di titik A, x = 0

= 504.2mm

_____________________________________________________________

AKTIVITI ______________________________________


C3007/unit 5/18


Uji kefahaman sebelum meneruskan Input 3

Soalan 5.3

Dapatkan kecerunan dan pesongan pada hujung bebas bagi rasuk julur Rajah 5.13. Diberi nilai E = 206 kN/mm2 dan nilai I ialah 1010

mm4

35N 55N

45N/mA B C D

2m 7m 3m

Rajah 5.13

Soalan 5.4

Daripada rasuk julur di Rajah 5.14. Dapatkan kecerunan dan pesongan pada hujung bebas. Di beri nilai E = 205 kN/mm2 dan bentuk diberikan seperti Rajah 5.15.

30kN 25kN45kN/m

2m 8m

Rajah 5.14

175 450 175

300


C3007/unit 5/19


150

300

Rajah 5.15 (Dimensi dalam mm)

MAKLUM BALAS_____________________________________________________________________

Soalan 5.3


C3007/unit 5/20


y = 0.063 mm

Soalan 5.4

Ixx =1.579 x 1010 mm4

EIxx = 3.237 x 1012 kNmm

y = 14.39 mm

INPUT 3


C3007/unit 5/21

PESONGAN DAN KECERUNAN KAEDAH MACAULAY (Rasuk Julur)5.3 Mendapatkan kecerunan dan pesongan bagi momen

dengan menggunakan kaedah Macaulay (Rasuk Julur)

Rujuk input 4.6

Contoh 5.6

30kN 15kNm 5kN/m

AB C D E 2m 3m 4m 4m

Rajah 5.16

Penyelesaian

Tindakbalas pada penyokong

Daya ricih

Fy = 0

RA = 30 + 5(4) = 50kN

Momen MA = MA

MA + 30(2) + 5(4)(11) = 15 MA = -265 kNm


C3007/unit 5/22


x y

30kN 15kNm 5kN/m

AB C D E 2m 3m 4m 4m

yRajah 5.17

Persamaan momen

Kamirkan persamaan momen bagi mendapatkan persamaan kecerunan.

Kamirkan persamaan momen sekali lagi untuk mendapatkan persamaan pesongan

Keadaan sempadan

Pada titik A, x = 0 ,


C3007/unit 5/23


Pada titik A,x = 0, y = 0

Persamaan lengkap

i. Persamaan kecerunan

ii. Persamaan pesongan

Kecerunan pada titik, x = 13m

Pesongan pada titik x = 13


C3007/unit 5/24


Contoh 5.7

Dapatkan kecerunan dan pesongan pada hujung bebas . Diberi nilai E = 10GN/m2 dan Ixx = 45 x 108 mm4

x y

40N 12N/m 30Nm

A B C6m 3m

yRajah 18

(Nilai tindakbalas tidak perlu dicari)

Persamaan Momen pada keratan y-y

Kamirkan persamaan momen untuk mendapatkan persamaan kecerunan


C3007/unit 5/25



Keadaan sempadan

Pada titik C, x = 9m ,

Pada titik C, x = 9m, y =0

Persamaan lengkap

Persamaan kecerunan

Persamaan pesongan


C3007/unit 5/26

PESONGAN DAN KECERUNAN KAEDAH MACAULAY (Rasuk Julur)Kecerunan dan pesongan pada titik A, x = 0

Persamaan kecerunan

= 0.07 rad

Persamaan pesongan

= 449.7mm

AKTIVITI

Soalan 5.5 Dapatkan kecerunan dan pesongan pada hujung bebas dalam sebutan EI bagi rasuk seperti Rajah 5.19


C3007/unit 5/27


25kN 40kN 10kN15kN/m 20kNm

A B C D

2m 5m 4m

Rajah 5.19

Soalan 5.6 Daripada rasuk julur keluli berbentuk C di dalam Rajah 5.20(b). Dapatkan kecerunan dan pesongan pada

hujung bebas bagi rasuk Rajah 5.20(a) . Diberi nilai E keluli =

205 kN/mm2.

20kN 40kN 15kN/m 20kN/m

10kNm 30kNm

2m 5m 4m


C3007/unit 5/28


Rajah 5.20(a)

450mm

100 mm

100 mm 550 mm

100 mm

Rajah 5.20(b)

MAKLUM BALAS_____________________________________________________________________

Soalan 5.5

C1 = 0

C2 = 0

rad


C3007/unit 5/29


y = -

Soalan 5.6

C1 = 3278.33

C2 = -26099.96

Ixx = 1.097 x 1010 mm4

EIxx = 2.248 x 1012 kNmm2

y = -11.608 mm

_________________________________________________________

PENILAIAN KENDIRI

_____________________________________________________________

Soalan 5.1 Dapatkan kecerunan dan pesongan pada hujung bebas bagi rasuk di Rajah 5.21(a) berkeratan I di Rajah

5.21(b). Diberi nilai E = 205 kN/mm2


C3007/unit 5/30


20kN 30kN

A B 15kNm C 35kN/m D

3m 4m 4m

Rajah 5.21(a)

650 mm

100 mm

100 mm 400 mm

100 mm

Rajah 5.21 (b)

Soalan 5.2 Dapatkan kecerunan dan pesongan pada hujung bebasbagi rasuk di Rajah 5.22 dalam sebutan EI

20kNm 20kN 30kN 40kN15kN/m

A B C D E

3m 2m 3m 1m


C3007/unit 5/31


Rajah 5.22

Soalan 5.3 Satu rasuk julur berkeratan seperti Rajah 5.23(b)menanggung beban tumpu. Dapatkan kecerunan dan pesongan maksima yang mungkin terjadi. Nilai E ialah

205 kN/mm2. Diberi keratan seperti Rajah 5.23(a)

150mm

50 mm


C3007/unit 5/32


150 mm

50 mm

Rajah 5.23(a)

10 kN 20 kN 30 kN 15 kN

1m 1m 1m 2m 1mRajah 5.23 (b)

MAKLUM BALAS PENILAIAN KENDIRI_____________________________________________________________________

Soalan 5.1

C1 = 0C2 = 0Ixx = 8.77 x 109 mm4

EIxx = 1.797 x 1012 kNmm2


C3007/unit 5/33

PESONGAN DAN KECERUNAN KAEDAH MACAULAY (Rasuk Julur)y = 30.86 mm

Soalan 5.2

C1 = 1180C2 = -8113.33

y =

Soalan 5.3

Ixx = 5.913 x 107 mm4

EIxx = 1.212 x 1010 kNmm2

y = 30.32 mm

BAHAN RUJUKAN

1. Kajidaya Bahan – 1989Mohamad Rashid b Nabi BaxU.T.M

2. Mekanik Bahan –1997Penterjemah Ahmad Zafri b Zainudin

Muhammad Her b JantanYahaya b Ramli

U.T.M


C3007/unit 5/34

PESONGAN DAN KECERUNAN KAEDAH MACAULAY (Rasuk Julur)3. Pengenalan Mekanik Bahan – 1992

Mohd Zamin b JumaatDewan Bahasa & Pustaka

4. Mechanics of Materials – 1984H.J HearnRobert Maxwell M.C

5. Theory and Problems of Strength Materials – 1990Walliam A NashSchaum’s Outline Series, Mc Graw- Hill


unit 5 ( pesongan dan kecerunan rasuk statik boleh tentu akibat lenturan simetri ( kaedah macaulay)...

Documents