pesongan dan kecerunan rasuk statik boleh tentu akibat lenturan simetri kaedah macaulay (politeknik)

8/6/2019 Pesongan Dan Kecerunan Rasuk Statik Boleh Tentu Akibat Lenturan Simetri Kaedah Macaulay (politeknik)

1/33

C3007/unit5/1

PESONGAN DAN KECERUNANKAEDAH MACAULAY (Rasuk Julur)

PESONGAN DAN KECERUNAN RASUK STATIK BOLEH

TENTU AKIBAT LENTURAN SIMETRI ( KAEDAHMACAULAY)

OBJEKTIF AM: Di akhir unit ini pelajar dapat memahamimaksud kecerunan, pesongan danpesongan maksima pada rasuk julur

OBJEKTIF KHUSUS

Selepas mengikuti unit 4 ini, pelajar dapat :-

Mencari tindakbalas pada tupang bagi beban tumpu,beban teragih dan momen

Menulis ungkapan umum bagi momen Menulis dan menukarkan ungkapan umum kepadaungkapan Macaulay

Mengira kecerunan dan pesongan pada rasuk

Menyelesaikan masalah pesongan maksima

C 3007- Mekanik StrukturDisediakan oleh Sharina Abdul Latiff &Noriza Awang Kechik


2/33

C3007/unit5/2


5.0 PENGENALAN

Bagi rasuk julur andaian yang boleh dibuat adalahseperti balkoni, di mana rasuk diunjurkan dari dalam. Kitadapat lihat rasuk seolah-olah terjepit. Apabila anda berdiripada hujung akan terjadi lenturan. Dalam keadaan ini padahujung terjepit tersebut akan ada daya dan momen bagimenseimbangkan rasuk tersebut. Daya yang dikenakanadalah seperti beban tumpu, beban teragih dan momen.Pengiraannya hampir sama dengan rasuk tetupang mudah.

INPUT 1

5.1 KAEDAH MACAULAY UNTUK RASUK JULUR DENGANBEBAN TUMPU

Bagi rasuk julur, kecerunan dan pesongan di dinding ialahsifar. Pesongan maksimum berlaku di hujung di mana x = L..Oleh sebab itu kedudukantupang adalah penting .

Contoh 5.1

W

L

A B

ym

Rajah 5.1



3/33

C3007/unit5/3


Bagi keratan XX, momen lenturMx = -Wx

2

2

dx

ydEI = -Wx ---------------- persamaan 5.1

Kamirkan persamaan momen(5,1) untuk mendapatkanpersamaan kecerunan

dx

dyEI = 1

2

2C

Wx+

---------------- persamaan 5.2

Keadaan sempadan

Apabila x =L,dx

dy= 0. Masukkan nilai-nilai ini dalam

persamaan 5.2, memberi

EI(0) = 12

2C

WL+

C1 =2

2WL

Persamaan 5.2 menjadi,

dxdyEI = +

2

2Wx

2

2WL

Kamiran kedua memberi,

Ey = 223

26C

xWLWx++

------------------ persamaan 5.3

Apabila x = L, y = 0. Masukkan nilai-nilai ini ke dalampersamaan 5.3, memberi

0 = 233

26

CWLWL

++

Oleh itu3

3

2

WLC

=

Pesongan maksimum berlaku pada x =0

( )EI

WLym

3

3

=

Contoh 5.2



4/33

C3007/unit5/4


Dapatkan kecerunan dan pesongan pada hujung bebas bagirasuk julur di bawah.

30kN 20kN 10kN

A 3m B 2m C 2m D

Rajah 5.2

Penyelesaian:

Ra = 30 + 20 + 10 = 60kN

MA = 0MA + 30(3) + 20(5) + 10(7) = 0

MA = - 260kNm

Persamaan momen,

My-y = 60 x 260x0 30(x-3) 20(x-5)

Tukarkan kepada persamaan Macaulay

[ ] [ ]52033026060 02

2

= xxxxdx

ydEI

[ ] [ ]1

222

2

520

2

330260

2

60C

xxx

x

dx

dyEI +

=

[ ] [ ]21

3323

6

520

6

330

2

260

6

60CxC

xxxxEIy ++

=

Dengan menggunakan keadaan sempadan dapatkan nilai C1dan C2

Pada A, 0=dx

dy, x =0

[ ] [ ]1

222

2

5020

2

3030)0(260

2

)0(60)0( CEI +

=

C1 = 0



5/33

C3007/unit5/5


Pada A, y = 0, x = 0C2 = 0

Persamaan lengkap

[ ] [ ]2

520

2

330260

2

60222

=

xxx

x

dx

dyEI

[ ] [ ]6

520

6

330

2

260

6

603323

=

xxxxEIy

Kecerunan pada hujung bebas, x = 7

[ ] [ ]2

5720

2

3730)7(260

2

)7(60222

=

dx

dyEI

EIdx

dy 414= rad

Pesongan pada hujung bebas, x = 7m

[ ] [ ]6

5720

6

3730

2

)7(260

6

)7(603323

=EIy

EIy

7.3286=

Contoh 5.3

Dapatkan kecerunan dan pesongan pada hujung bebas bagirasuk terjuntai di bawah dalam sebutan EI



6/33

C3007/unit5/6


20kN 30kN

2m 5m 3m

Rajah 5.3

Dengan menggunakan kaedah Macaulay keratan perlu dibuattitik paling kanan rajah 5.4

x y

20kN 30kN

2m 5m 3m y

Rajah 5.4

Penyelesaian:

Momen pada keratan yy

Myy = - 20(x-2) -30(x-7)



7/33

C3007/unit5/7


Pada keadaan rasuk seperti 5.3, daya tindakbalas dan momenpada hujung terikat tidak perlu dicari.

Dari persamaan asal momen iaitu;

2

2

dx

ydEI = M

Gantikan persamaan momen pada keratan yy dalampersamaan asal momen, menjadi

2

2

dx

ydEI = - 20(x-2) -30(x-7)

Bagi mendapatkan persamaan kecerunan kamirkan

1

22

2

)7(30

2

)2(20C

xx

dx

dyEI +

=

Dari persamaan kecerunan kamirkan bagi mendapatkanpersamaan pesongan

21

33

6

)7(30

6

)2(20CxC

xxEIy ++

=

Dengan menggunakan persamaan sempadan iaitu:

0=dx

dy, x = 10 gantikan dalam kecerunan

1

22

2

)710(30

2

)210(20)0( CEI +

=

0 = -775 + C1C1 = 775

y = 0 , x = 10

2

33

)10(7756

)710(30

6

)210(20)0( CEI ++

=

C2 = 5908.33

Dapatkan persamaan lengkap

Persamaan kecerunan

7752

)7(30

2

)2(20 22+

=

xx

dx

dyEI

Persamaan pesongan



8/33

C3007/unit5/8


33.5908775

6

)7(30

6

)2(20 33++

= x

xxEIy

Kecerunan dan pesongan maksima berlaku pada hujungbebas

Di mana x =0

Kecerunan

7752

)70(30

2

)20(20 22+

=

dx

dyEI

EIdx

dy 775=

Pesongan

33.5908)0(7756

)70(30

6

)20(20 33++

=EIy

EIy

33.5908=

______________________________________________________

AKTIVITI

___________________________________________________



9/33

C3007/unit5/9


Soalan 5.1 Dapatkan kecerunan dan pesongan di Cbagi rasuk julur di dalam Rajah 5.6 di bawah dimana nilai E =206kN/mm2 dan nilai Ixx ialah8x 109mm4

50kN 30kN

A B C D

3m 5m 1m

Rajah 5.6

Soalan 5.2 Dapatkan kecerunan dan pesongan di B bagirasuk

julur Rajah 5.7 yang berkeratan seperti Rajah 5.8

20kN 20kN 40kN

A B C D

2m 2m 2m

Rajah 5.7

20mm 120mm

40mm

60mmRajah 5.8

MAKLUM BALAS___________________________________________________________________________________



10/33

C3007/unit5/10


Soalan 5.1

radxdx

dy 41019.7 =

y = 4.06 mm

Soalan 5.2

C1 = 0C2 = 0

Ixx = 2.73 x 107

mm4

radxdx

dy 41097.9 =

y = 2.56 mm

INPUT 2



11/33

C3007/unit5/11


5.2 Mendapatkan kecerunan dan pesongan bagi bebanteragih bagi rasuk julur dengan menggunakan KaedahMacaulay

Bagi beban teragih yang meliputi sebahagian daripada rasukdan tidak meliputi sehingga hujung kanan rasuk, bebantersebut mestilah diteruskan sehingga kepada hujung kananrasuk dan kemudian ditolakkan dengan beban yang samamagnitud tetapi bertentangan arah (arah ke atas) yangdikenakan pada bahagian bawah rasuk untuk bahagian rasukyang ditambah bebannya. (Sila rujuk Unit 4)

Contoh 5.4

Daripada rasuk julur dibawah, dapatkan kecerunan danpesongan pada hujung bebas dalam sebutan EI

70N

15N/m

A 4m B 3m C 4m D

Rajah 5.9

Penyelesaian

Tindak balas pada penyokong A, ambil jumlah daya ke atassama dengan jumlah daya ke bawah



12/33

C3007/unit5/12


Fy = 0

RA = 15(4) + 70= 130N

Jumlah momen positif sama dengan jumlah momen negatif

MA = MA

15(4)(2) + MA + 70(7) = 0MA = -610 Nm

Persamaan momen

x y

70N15N/m

A 4m B 3m C 4m D

Rajah 5.10

yKeratan di buat pada y-y

( ) ( )( )770

2

415

2

15610130

22

0

2

2

+= xxx

xdx

ydEI

(jika beban teragih perlu ditambah sehingga kekeratan y-y danperlu diseimbangkan)

Kamirkan persamaan momen bagi mendapatkan persamaankecerunan

( ) ( )1

2332

2

770

6

415

6

15610

2

130C

xxxx

x

dx

dyEI +

+=



13/33

C3007/unit5/13


Kamirkan sekali lagi persamaan momen untuk dapatkan persamaanpesongan

( ) ( )21

34423

6

770

24

415

24

15

2

610

6

130CxC

xxxxxEIy ++

+=

Keadaan sempadan

Pada A, x = 0, 0=dx

dy

(Jika tupang berada disebelah kiri , jika x = 0 kecerunan dan

pesongan adalah kosong)

( )( )

( )( ) ( ) ( )

1

2332

2

7070

6

4015

6

0150610

2

01300 CEI +

+=

01 =C

Pada A, x = 0, y = 0

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) 2134423

06

7070

24

4015

24

015

2

0610

6

01300 CCEI ++

+=

02 =C

Persamaan lengkap

i. Persamaan kecerunan

( ) ( )

1

2332

2

770

6

415

6

15610

2

130

+=

xxxx

x

dx

dyEI

ii. Persamaan pesongan

( ) ( )

6

770

24

415

24

15

2

610

6

13034423

+=

xxxxxEIy



14/33

C3007/unit5/14


Kecerunan pada titik D, x = 11m (Pada hujung bebas)

( )( )

( ) ( ) ( )

2

71170

6

41115

6

111511610

2

111302332

+=

dx

dyEI

radEIdx

dy 1875=

Pesongan pada titik D , x = 11 (Pada hujung bebas)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

6

71170

24

41115

24

1115

2

11610

6

1113034423

+=EIy

mmEI

y33.16463

=

Contoh 5.5

Dapatkan kecerunan dan pesongan pada hujung bebas denganmengambil mengambil nilai E = 200 kN/mm2 dan I = 108 mm4

30N



15/33

C3007/unit5/15


12N/m

A B C D3m 3m 3m

Rajah 5.11

Penyelesaian

Tindakbalas pada penyokong, tindakbalas dan momen tidak perludicari

X y

30N

12N/m

A B C D

3m 3m 3m

Rajah 5.12 y

Penyelesaian

Persamaan momen

2

2

dx

ydEIMyy =

( ) ( )

2

612

2

312

30

22

2

2

+

=

xx

xdx

yd

EI

(Beban teragih perlu ditambah sehingga kekeratan yy danperlu diseimbangkan)

Kamirkan persamaan momen bagi mendapatkan persamaankecerunan.

[ ] [ ]1

332

6

612

6

312

2

30C

xxx

dx

dyEI +

+

=



16/33

C3007/unit5/16



[ ] [ ]21

443

24

612

24

312

6

30CxC

xxxEIy ++

+

=

Keadaan sempadan

Pada titik D, x= 9m, 0=dx

dy

( ) ( ) [ ] [ ] 1332

6

6912

6

3912

2

9300 CEI +

+

=

15931 =C

Pada titik D, x = 9m, y = 0

( )( ) [ ] [ ]

( ) 2443

9159324

6912

24

3912

6

9300 CEI ++

+

=

5.100842 =C

Persamaan lengkap

[ ] [ ]1593

6

612

6

312

2

30332

+

+

=xxx

dx

dyEI

[ ] [ ]5.100841593

24

612

24

312

6

30443

+

+

= xxxx

EIy

Kecerunan dan pesongan pada titik A(pada hujung bebas)

Titik A, x = 0

Kecerunan

( ) [ ] [ ]1593

6

6012

6

3012

2

030332

+

+

=

dx

dyEI



17/33

C3007/unit5/17


10

6

102

101593

x

x

dx

dy=

= 0.08 rad

Pesongan di titik A, x = 0

( ) [ ] [ ]( ) 5.1008401593

24

612

24

3012

6

030443

+

+

=EIy

10

9

102

105.10084

x

xy

=

= 504.2mm

_____________________________________________________________

AKTIVITI

______________________________________

Uji kefahaman sebelum meneruskan Input 3



18/33

C3007/unit5/18


Soalan 5.3

Dapatkan kecerunan dan pesongan pada hujung bebas bagi rasukjulur Rajah 5.13. Diberi nilai E = 206 kN/mm2 dan nilai I ialah 1010

mm4

35N 55N

45N/mA B C D

2m 7m 3m

Rajah 5.13

Soalan 5.4

Daripada rasuk julur di Rajah 5.14. Dapatkan kecerunan danpesongan pada hujung bebas. Di beri nilai E = 205 kN/mm2 dan

bentuk diberikan seperti Rajah 5.15.

30kN 25kN45kN/m

2m 8m

Rajah 5.14

175 450 175

300

150



19/33

C3007/unit5/19


300

Rajah 5.15(Dimensi dalam mm)

MAKLUM BALAS_____________________________________________________________________

Soalan 5.3

radxdx

dy 61074.3 =

y = 0.063 mm



20/33

C3007/unit5/20


Soalan 5.4

mmy 375=

Ixx =1.579 x 1010 mm4

EIxx = 3.237 x 1012 kNmm

radxdx

dy 310897.1 =

y = 14.39 mm

INPUT 3

5.3 Mendapatkan kecerunan dan pesongan bagi momendengan menggunakan kaedah Macaulay (Rasuk Julur)

Rujuk input 4.6



21/33

C3007/unit5/21


Contoh 5.6

30kN 15kNm 5kN/m

AB C D E

2m 3m 4m 4m

Rajah 5.16

Penyelesaian

Tindakbalas pada penyokong

Daya ricih

Fy = 0

RA = 30 + 5(4)= 50kN

Momen

MA = MA

MA + 30(2) + 5(4)(11) = 15MA = -265 kNm

x y

30kN 15kNm 5kN/m



22/33

C3007/unit5/22


AB C D E

2m 3m 4m 4m

yRajah 5.17

Persamaan momen

[ ] [ ] [ ]2

9551526523050

200

2

2

==x

xxxxdx

ydEIM

Kamirkan persamaan momen bagi mendapatkan persamaankecerunan.

[ ][ ]

[ ]1

322

6

95515265

2

230

2

50C

xxx

xx

dx

dyEI +

=

Kamirkan persamaan momen sekali lagi untuk mendapatkanpersamaan pesongan

[ ] [ ] [ ]21

42233

24

95

2

515

2

265

6

230

6

50 CxCxxxxxEIy ++

=

Keadaan sempadan

Pada titik A, x = 0 , 0=dx

dy

( ) [ ]( ) [ ]

[ ]1

322

6

90550150265

2

2030

2

050)0( CEI +

=

01 =C

Pada titik A,x = 0, y = 0



23/33

C3007/unit5/23


( )( ) [ ] ( ) [ ] [ ]

( ) 242233

0

24

905

2

5015

2

0265

6

2030

6

0500 CxEI ++

=

02=C

Persamaan lengkap

i. Persamaan kecerunan

[ ][ ]

[ ]6

95515265

2

230

2

50322

=

xxx

xx

dx

dyEI

ii. Persamaan pesongan

Kecerunan pada titik, x = 13m

( ) [ ]

( ) [ ]

[ ]6

9135

51315132652

21330

2

1350322

=

dx

dy

EI

radEIdx

dy 33.1208=

Pesongan pada titik x = 13

( ) [ ] ( ) [ ] [ ]24

91352

51315213265

621330

61350

42233

=EIy

mmEI

y5.11272

=

Contoh 5.7


[ ] [ ] [ ]24

95

2

515

2

265

6

230

6

5042233

=

xxxxxEIy


24/33

C3007/unit5/24


Dapatkan kecerunan dan pesongan pada hujung bebas . Diberi nilaiE = 10GN/m2 dan Ixx = 45 x 108 mm4

x y

40N 12N/m 30Nm

A B C6m 3m

yRajah 18

(Nilai tindakbalas tidak perlu dicari)

Persamaan Momen pada keratan y-y

yyMdx

ydEI =

2

2

[ ]02

6302

1240 = x

xxMyy

[ ]02

2

2

6302

1240 = x

xx

dx

ydEI

Kamirkan persamaan momen untuk mendapatkan persamaankecerunan

[ ] 132

6306

12

2

40Cx

xx

dx

dyEI +

=




25/33

C3007/unit5/25


[ ]21

233

2

630

24

12

6

40CxC

xxxEIy ++

=

Keadaan sempadan

Pada titik C, x = 9m , 0=dx

dy

( ) ( )[ ]

1

32

60306

912

2

940)0( CEI +

=

31681 =C

Pada titik C, x = 9m, y =0

[ ]( ) 2

233

931682

6930

24

)9(12

6

)9(40)0( CEI ++

=

5.202362 =C

Persamaan lengkap

Persamaan kecerunan

[ ] 31686306

12

2

40 32+

= x

xx

dx

dyEI

Persamaan pesongan

[ ]5.202363168

2

630

24

12

6

40233

+

= xxxx

EIy

Kecerunan dan pesongan pada titik A, x = 0

Persamaan kecerunan

( ) ( )[ ] 31686030

6

012

2

04032

+

=

dx

dyEI



26/33

C3007/unit5/26


10

6

105.4103168

xx

dxdy =

= 0.07 rad

Persamaan pesongan

( ) ( ) [ ]5.2023631682

6030

24

012

6

0401

233

+

= xEIy

10

9

105.4

105.20236

x

xy

=

= 449.7mm

AKTIVITI

Soalan 5.5 Dapatkan kecerunan dan pesongan pada hujung bebasdalam sebutan EI bagi rasuk seperti Rajah 5.19

25kN 40kN 10kN15kN/m 20kNm

A B CD

2m 5m



27/33

C3007/unit5/27


4mRajah 5.19

Soalan 5.6 Daripada rasuk julur keluli berbentuk C di dalam Rajah5.20(b). Dapatkan kecerunan dan pesongan pada

hujungbebas bagi rasuk Rajah 5.20(a) . Diberi nilai E keluli =

205kN/mm2.

20kN 40kN

15kN/m 20kN/m10kNm 30kNm

2m 5m 4m

Rajah 5.20(a)

450mm



28/33

C3007/unit5/28


100 mm

100 mm550 mm

100 mm

Rajah 5.20(b)

MAKLUM BALAS_____________________________________________________________________

Soalan 5.5

C1 = 0

C2 = 0

EIdxdy 5.2612= rad

y = - mmEI

54.22218

Soalan 5.6

C1 = 3278.33



29/33

C3007/unit5/29


C2 = -26099.96

Ixx = 1.097 x 1010 mm4

EIxx = 2.248 x 1012 kNmm2

radxdx

dy 310458.1 =

y = -11.608 mm

_________________________________________________________

PENILAIAN KENDIRI

_____________________________________________________________

Soalan 5.1 Dapatkan kecerunan dan pesongan pada hujung bebasbagi rasuk di Rajah 5.21(a) berkeratan I di Rajah

5.21(b).Diberi nilai E = 205 kN/mm2

20kN 30kN

A B 15kNm C 35kN/m D

3m 4m 4m

Rajah 5.21(a)



30/33


31/33

C3007/unit5/31


Soalan 5.3 Satu rasuk julur berkeratan seperti Rajah 5.23(b)menanggung beban tumpu. Dapatkan kecerunan danpesongan maksima yang mungkin terjadi. Nilai E ialah

205kN/mm2. Diberi keratan seperti Rajah 5.23(a)

150mm

50 mm

150 mm

50 mm



32/33

C3007/unit5/32


Rajah 5.23(a)

10 kN 20 kN 30 kN 15 kN

1m 1m 1m 2m 1mRajah 5.23 (b)

MAKLUM BALAS PENILAIAN KENDIRI_____________________________________________________________________

Soalan 5.1

C1 = 0C2 = 0Ixx = 8.77 x 109 mm4

EIxx = 1.797 x 1012 kNmm2

radxdx

dy 31003.4 =

y = 30.86 mm

Soalan 5.2

C1 = 1180C2 = -8113.33

EIdx

dy 1180=

y =EI

3.8113

Soalan 5.3



33/33

C3007/unit5/33


mmy 105=

Ixx = 5.913 x 107 mm4

EIxx = 1.212 x 1010 kNmm2

raddx

dy143.0=

y = 30.32 mm

BAHAN RUJUKAN

1. Kajidaya Bahan 1989

Mohamad Rashid b Nabi BaxU.T.M

2. Mekanik Bahan 1997Penterjemah Ahmad Zafri b Zainudin

Muhammad Her b JantanYahaya b Ramli

U.T.M

3. Pengenalan Mekanik Bahan 1992

Mohd Zamin b JumaatDewan Bahasa & Pustaka

4. Mechanics of Materials 1984H.J HearnRobert Maxwell M.C

5. Theory and Problems of Strength Materials 1990Walliam A NashSchaums Outline Series, Mc Graw- Hill

pesongan dan kecerunan rasuk statik boleh tentu akibat lenturan simetri kaedah macaulay (politeknik)

Documents