Materi Pokok 19

TRANSFORMASI PEUBAH ACAK I

Transformasi Peubah Acak Diskrit

– Peubah acak X mempunyai sebaran peluang f (x) dan ingin dicari sebaran peluang peubah acak lain sebagai fungsi dari peubah acak X misalnya Y = u(x) yang merupakan suatu transformasi satu-satu antara nilai X dan Y

– Transformasi satu-satu berarti bahwa tiap nilai X berpadanan dengan satu dan hanya satu nilai Y = u(x) dan bahwa tiap nilai y berpadanan dengan satu dan hanya satu nilai X = (y), bilai (y) diperoleh dengan mencari jawaban Y = u(x) untuk x dinyatakan dalam y. Sebaran peluang:

Y = g (y) = P (Y = y) = P [X = (y)] = f [ (y)]

Teorema

Misalkan x suatu peubah acak diskrit dengan sebaran peluang f(x), dan peubah acak Y = u(x) suatu transformasi satu-satu antara nilai X dan Y sehingga persamaan y = u(x) mempunyai jawaban tunggal untuk x dinyatakan dalam y; misalnya x = (y), maka sebaran peluang Y adalah g(y) = f [(y)]

Contoh

Peubah acak X menyebar secara binomial dengan parameter n dan p. Peubah acak merupakan peubah acak diskrit maka

Y = u(X) juga merupakan peubah acak diskrit dengan peluang sama dengan peluang X padanannya.

Bila n = 3, p = ¼ maka sebaran peluangnya

3 2, 1, 0,x,43

41

x

3f(x)

x3x

Untuk transformasi Y = u(x) = x2 sebaran peluang peubah acak Y adalah

Pada transformasi Y = X2, tetapi nilai x adalah positif, maka tetap merupakan transformasi satu-satu.

Contoh 2

Diketahui peubah acak X diskrit dengan sebaran peluang

Carilah sebaran peluang dari Y = 2x + 1

G(y) = 1/3, y = 3, 5, 7

9 4, 1, 0,y,43

41

y

3g(y)

y3y

3 2, 1,x,31

x)(X Pf(x)

Contoh 3

Peubah acak X merupakan sebaran peluang

2x,41

1x,163

0x,41

1x,163

2x,81

x)P(Xf(x)

Sebaran peluang peubah acak Y = |x| adalah

Sebaran peluang untuk Z = X2

2y,83

1y,83

0y,41

)xP(Yg(y)

4z ,63

1z ,83

0z ,41

xZ Pzh 2

Contoh 4

Peubah acak X menyebar secara Poisson dengan parameter maka sebaran peluangnya

Transformasi Y = x2 + 3, maka nilai-nilai x = 0, 1, 2, … dipadankan dengan nilai-nilai y = 3, 4, 7, 11, … sehingga

0 λ

..... 2, 1, 0,x,x!

λ exX Px f

xλ

!3y

λ e

3yX PyY Py g

3 -y λ-

Transformasi lebih dari satu peubah acak diskrit

Peubah acak X1 dan X2 merupakan dua peubah acak diskrit dengan sebaran peluang gabungan f(x1, x2) dan ingin dicari peluang gabungan g(y1, y2). Peubah acak Y1 = u1(X1,X2) dan

Y2 = u2(X1,X2) merupakan transformasi satu-satu antara himpunan titik-titik (x1, x2) dan (y1, y2). Sebaran peluang gabungan y1, y2 adalah

g(y1,y2) = P(Y1 = y1, Y2 = y2)

= P[X1 = 1(y1, y2), X2 = 2(y1, y2)]

= f[1 (y1, y2), 2 (y1,y2)]

Teorema 2Peubah acak X1 dan X2 merupakan peubah acak diskrit dengan sebaran peluang gabungan f(x1, x2). Peubah acak Y1 = u1 (X1, X2) dan Y2 = u2 (X1, X2) merupakan transformasi satu-satu antara himpunan titik (x1, x2) dan (y1, y2) sehingga persamaan Y1 = u1 (x1, x2) dan Y2 = 2 (y1, y2) mempunyai jawaban tunggal untuk x1 dan x2 yang dinyatakan dalam y1, y2 misalnya x1 = 1 (y1, y2), x2 = 2 (y1, y2) maka sebaran peluang gabungan y1, y2 adalah G (y1, y2) = f[1 (y1, y2),w2 (y1, y2)]Sebaran Y1 = h(y1) = sebaran peluang marginal Y1; dengan

Bila X1 dan X2 merupakan peubah acak Poison dengan parameter 1 dan 2 maka sebaran peluang peubah acak

Y = X1 + X2 dapat dicari melalui f(x1, x2) = f(x1). f(x2) karena X1, X2 diketahui bebas.

2

21y

)y ,(y g (y)h

... 2, 1, 0,y

... 2, 1, 0,y,

!y )!y(y

yμ yyμ μμe)y ,(y g

ydan x,yy x XY

XXY

... 2, 1, 0,x

... 2, 1, 0,x,

! x!x

xμ xμ μμe

!x

xμ μe!x

xμ μe) x,(x f

2

1

221

22

211

)21(

21

2221122

211

2

1

21

2211

)21(

2

22

2

1

11

1

21

!y

yμ μ μμe)(yh

yμ yyμ y

y y

y

!y

μμe

yμ yyμ y

y !yy !y!y

!y

μμe

y

y

y

y !y !yy

yμ yyμμμey ,y gyh

1

121

2 1

1

22

2 11

1

0 2 2

1

1

2 1

22

211

1

0 2 212

1

1

21

1

02

2

0 2 221

22

21121

211