metode statistika (stk211) - stat.ipb.ac.id statistika (stk211) peubah acak dan sebaran peluang...

Download Metode Statistika (STK211) - stat.ipb.ac.id Statistika (STK211) Peubah Acak dan Sebaran Peluang (Random Variable and Probability Distribution) Dr. Ir. Kusman Sadik, M.Si Dept. Statistika

Post on 06-Feb-2018

246 views

Category:

Documents

13 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • Metode Statistika (STK211)

    Peubah Acak dan Sebaran Peluang

    (Random Variable and Probability Distribution)

    Dr. Ir. Kusman Sadik, M.Si

    Dept. Statistika IPB, 2015

    1

  • Konsep Peubah Acak(Random Variable)

    Peubah acak merupakan suatu fungsi

    (function) yang memetakan ruang kejadian

    (daerah fungsi) ke ruang bilangan riil (wilayah

    fungsi).

    Fungsi peubah acak merupakan suatu langkah

    dalam statistika untuk mengkuantifikasikan

    kejadian-kejadian alam.

    Pendefinisian fungsi peubah acak harus mampu

    memetakan SETIAP KEJADIAN DALAM

    RUANG CONTOH dengan TEPAT ke SATU

    BILANGAN pada bilangan riil.

    2

  • Sebagai ilustrasi dalam percobaan pelemparan sebuah dadu bersisi enam yang seimbang. Ruang contohnya dapat disenaraikan sebagai berikut:

    a = {S1,S2,S3,S4,S5,S6}

    Salah satu peubah acak yang dapat dibuat adalah:

    X = munculnya sisi dadu yang bermata genap

    = {0, 1}

    Pemetaan fungsi X dapat digambarkan sebagai berikut:

    Daerah fungsi Wilayah fungsi

    S1 .

    S2 .

    S3 .

    S4 .

    S5 .

    S6.

    X(ei)

    . 0

    . 1

    3

  • Tipe Peubah Acak

    Diskret

    Segugus nilai dari suatu peubah acak yang dapat dicacah (countable)

    Misalkan X = banyaknya komputer yang terjualdalam seminggu di toko A.

    Kontinu

    Nilai-nilai dari peubah acak tersebut tidak dapatdicacah (uncountable)

    Nilai dalam peubah acak tersebut berupa selanginterval

    Misalkan X = tinggi badan (cm)

    Contoh lain : berat (kg, g, dsb), waktu (jam, menit, dsb)

    4

  • Peubah Acak Diskret

    5

  • Misalkan X adalah suatu peubah acak diskret

    Fungsi peluang dari peubah acak diskretmenampilkan nilai dan peluang dari peubahacak tersebut

    Jumlah total nilai peluang dari semuakemungkinan nilai peubah acak tersebut samadengan 1

    Peluang dari sembarang kejadian dapatdibentuk dengan menambahkan peluang darikejadian-kejadian yang membentuk sembarangkejadian tersebut

    Sebaran Peluang Peubah Acak X tergantungdari sebaran peluang kejadiannya.

    6

  • Kembali ke ilustrasi pelemparan sebutir dadu yang setimbang

    SEBARAN PELUANG (probability distribution) adalahpemetaan setiap nilai peubah acak dengan nilaipeluangnya. Untuk kasus pelemparan sebutir dadu di atasdapat dijabarkan sebagai berikut:

    p(x=0) = p(S1)+p(S3)+p(S5)

    = 1/6 +1/6 +1/6= 3/6

    p(x=1) = p(S2)+p(S4)+p(S6)

    = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6

    Sisi yang muncul

    Kejadian S1 S2 S3 S4 S5 S6

    Peluang

    kejadian

    1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

    X 0 1 0 1 0 1

    x 0 1

    P(X=x) 1/2 1/2

    X 0 1

    Tabel Sebaran Peluang bagi X:

    7

  • Ilustrasi : Mendenhall (Example 4.25) hlm. 164

    Toss two fair coins and let x equal the number of

    heads observed. Find the probability

    distribution for x.

    8

  • Nilai Harapan Peubah AcakDiskret

    Nilai harapan dari peubah acak adalah

    pemusatan dari nilai peubah acak jika

    percobaannya dilakukan secara berulang-ulang

    sampai tak berhingga kali.

    Secara matematis nilai harapan dapat

    dirumuskan sebagai berikut:

    n

    i

    ii xpxX1

    diskret p.a X jika ),()(

    9

  • Sifat-sifat nilai harapan:

    Jika c konstanta maka E(c ) = c

    Jika p.a. X dikalikan dengan konstanta c

    maka E(cX) = c E(X)

    Jika X dan Y peubah acak

    maka E(X+Y) = E(X) + E(Y)

    E(X-Y) = E(X) - E(Y)

    10

  • Ragam Peubah Acak

    Ragam dari peubah acak X didefinisikan sebagai

    berikut:

    V(X) = E(X-E(X))2

    = E(X2) [E(X)] 2 tunjukkan !

    Sifat-sifat dari ragam

    Jika c konstanta maka V(c ) = 0

    Jika p.a. X dikalikan dengan konstanta c maka

    V(cX) = c2 V(X)

    Jika X dan Y peubah acak maka,

    V(XY) = V(X) + V(Y) Cov(X,Y)

    Dimana: Cov(X,Y) = E(X-E(X))E(Y-E(Y)), Jika

    X dan Y saling bebas maka Cov(X,Y) = 0

    11

  • Contoh:

    Jika diketahui distribusi peluang dari peubahacak X seperti tabel di bawah ini:

    Dengan demikian nilai harapan p.a X adalah:

    E(X) = [(0)(1/6)+(1)(1/6) +(2)(1/6) +(3)(1/6)

    +(4)(1/6) +(5)(1/6)]

    = 0 + 1/6 + 232/6 + 3/6 + 4/6 + 5/6 = 15/6

    Nilai peubah Acak X

    X 0 1 2 3 4 5

    P(X=xI) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

    Xip(xi) 0 1/6 2/6 3/6 4/6 5/6

    12

  • Lanjutan:

    Ragam p.a X adalah:

    Nilai peubah Acak X

    X 0 1 2 3 4 5

    P(X=xI) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

    Xip(xi) 0 1/6 2/6 3/6 4/6 5/6

    V(X) = E(X2) [E(X)]2

    = [(02)(1/6)+(12)(1/6) +(22)(1/6) +(32)(1/6)

    +(42)(1/6) +(52)(1/6)] - (15/6)2

    = 55/6 - 225/36 = 105/36

    13

  • Berdasarkan E(X) dan V(X) tersebuttentukan:

    a. E(2X)

    b. E(4 - 3X)

    c. V(2X)

    d. V(4 3X)

    14

  • Ilustrasi : Mendenhall (Example 4.26) hlm. 167

    An electronics store sells a particular model of computer

    notebook. There are only four notebooks in stock, and the

    manager wonders what todays demand for this particular

    model will be. She learns from the marketing department

    that the probability distribution for x, the daily demand for the

    laptop, is as shown in the table. Find the mean, variance,

    and standard deviation of x. Is it likely that five or more

    customers will want to buy a laptop today?

    15

  • Ilustrasi : Mendenhall (Example 4.26) hlm. 167

    16

    E(X) = mean (nilai harapan)

    V(X) = 2 variance (ragam)

  • Beberapa sebaran peluangdiskret yang banyak digunakan:

    Bernoulli

    Binomial

    Poisson

    17

  • Sebaran Peluang Bernoulli

    Kejadian yang diamati merupakan

    kejadian biner yaitu sukses atau gagal

    Peubah acaknya (X) bernilai 1 jika

    kejadian sukses dan 0 jika kejadian gagal

    Misal, p=peluang sukses, dan q=peluang

    gagal, maka fungsi peluang Bernoulli

    dapat dituliskan sebagai:

    P(x,p) = pxq(1-x); x=0,1dimana q = 1-p

    E(X) = p; Var(X) = pq = p(1-p)

    18

  • Seseorang pemain akan melakukan

    lemparan bebas. Misalkan peluang bola

    tersebut masuk ring sebesar 80%,

    maka peluang bola tidak masuk ring

    adalah 20%

    Akan melakukan tendangan pinalti.

    Jika peluang bola masuk sebesar

    95% maka peluang bola tidak masuk

    sebear 5%.

    19

  • Sebaran Peluang Binomial

    Terdiri dari n kejadian Bernoulli yang

    saling bebas

    Peubah acak Binomial merupakan

    jumlah dari kejadian sukses,

    X=0,1,2,.,n

    Fungsi peluang dari kejadian Binomial

    dapat dituliskan sebagai:

    P(x,n,p)=C(n,x)pxq(n-x); x=0,1,2,,n

    dimana C(n,x) = n!/(x!(n-x)!)

    q = 1-p

    E(X) =np var(X)=np(1-p)20

  • Percobaan Binomial

    21

  • 22

  • Jika peubah acak X didefinisikan

    sebagai banyaknya lemparan bebas

    yang sukses dari 3 lemparan

    p= peluang sukses untuk sekali

    melakukan lemparan bebas

    G S G

    S G G

    G G S

    S S G

    S G S

    G S S

    S S S x=3

    x=2

    x=1

    232 )1(2

    3)2(

    ppXP

    333 )1(3

    3)3(

    ppXP

    G G G x=0 030 )1(0

    3)0(

    ppXP

    131 )1(1

    3)1(

    ppXP

    Rata-rata sukses melakukan lemparan E(X) = np = 3p 23

  • Ilustrasi : Mendenhall (Example 5.4) hlm. 188

    24

  • Latihan

    Peluang turun hujan per hari diketahui

    p=0,6. Jika pengamatan dilakukan dalam

    satu minggu (7 hari), hitunglah:

    a. Berapa peluang tidak turun hujan

    dalam satu minggu?

    b. Berapa peluang paling sedikit turun

    hujan satu hari dalam satu minggu?

    25

  • Peubah Acak Kontinu

    26

  • Misalkan X adalah suatu peubah acak

    kontinu

    Fungsi peluang dari peubah acak kontinu

    merupakan fungsi kepekatan peluang

    (probability density function)

    Integral fungsi kepekatan peluang dari

    semua kemungkinan nilai sama dengan 1

    Peluang dari suatu selang nilai dapat

    dibentuk dengan mengintegralkan fungsi

    kepekatan peluang dalam selang nilai

    tersebut

    27

  • Beberapa sebaran peluangkontinu yang banyak digunakan

    Normal

    Weibull

    Gamma

    Beta

    28

  • Sebaran Peubah Acak Kontinu

    29

  • Sebaran Normal

    Bentuk sebaran simetrik

    Mean, median dan modus berada dalam satu titik

    Fungsi kepekatan peluang dapat dituliskan sebagai

    berikut:

    Peluang merupakan luasan dibawah kurva kepekatan

    normal:

    Peubah acak X dengan mean (E(X) = ) dan ragam

    ( V(X) = 2) menyebar normal sering dituliskan sebagai

    berikut : X ~ N (, 2)

    2

    2

    1

    2

    2

    1),,(

    x

    exf

    b

    a

    aFbFdxxfbxap )()()()(

    30

  • Sebaran Normal

    31

  • Bentuk sebaran normal denganberbagai nilai ragam

    Data

    Pe

    rce

    nt

    3624120-12-24-36

    60

    50

    40

    30

    20

    10

    0

    Variable

    ragam 1

    ragam 3

    ragam - 5

    ragam -10

    Semakin besar ragam dari sebaran normal

    maka semakin landai bentuk sebarannya

    32

  • Nilai Harapan Peubah AcakKontinu

    Nilai harapan dari peubah acak tersebut dalam

    jangka panjang

    Secara matematis nilai harapan dapat

    dirumuskan sebagai berikut:

    kontinu p.a X jika ,)()( dxxfxX ii

    33

  • Setiap peubah acak normal memilikikarakteristik yang berbeda-beda perhitunganpeluang akan sulit