bab ii-pengantar probabilitas-distribusi satu peubah acak

35
Distribusi Satu Peubah Acak Oleh: Sugiman Dalam Bab ini akan dibahas macam-macam peubah acak, distribusi peluang, fungsi densitas, dan fungsi distribusi. Pada pembahasan selanjutnya, fungsi peluang untuk peubah acak diskret dan fungsi densitas untuk peubah acak kontinu akan banyak sekali peranannya, seperti pcnghitungan beberapa macam ekspektasi matematis, pembahasan beberapa distribusi khusus yang dikenal, dan penentuan distribusi dan fungsi peubah acak. Dalam hal ini, fungsi peluang maupun fungsi densitas mempunyai bentuk yang berbeda-beda. Mahasiswa setelah mempelajari bab ini dengan baik, diharapkan secara keseluruhan mampu memahami konsep dasar dan penggunaan distribusi satu peubah acak, baik diskret maupun kontinu. Adapun sasaran belajarnya, mahasiswa diharapkan mampu: 1. membedakan peubah acak diskret dan peubah acak kontinu, 2. menentukan distribusi peluang dari sebuah peubah acak diskret dan modifikasinya, 3. menghitung peluang dari sebuah peubah acak diskret yang berharga tertentu, 4. menentukan konstanta dan fungsi densitas untuk sebuah peubah acak kontinu berdasarkan sifatnya, 5. menghitung peluang dan sebuah peubah acak kontinu yang berharga tertentu, Statistika Sugiman FMIPA UNNES Matematika 1

Upload: tintrim-sri-rejeki

Post on 28-Dec-2015

160 views

Category:

Documents


15 download

TRANSCRIPT

Page 1: Bab II-Pengantar Probabilitas-Distribusi Satu Peubah Acak

Distribusi Satu Peubah Acak

Oleh: Sugiman

Dalam Bab ini akan dibahas macam-macam peubah acak, distribusi peluang,

fungsi densitas, dan fungsi distribusi. Pada pembahasan selanjutnya, fungsi

peluang untuk peubah acak diskret dan fungsi densitas untuk peubah acak

kontinu akan banyak sekali peranannya, seperti pcnghitungan beberapa

macam ekspektasi matematis, pembahasan beberapa distribusi khusus yang

dikenal, dan penentuan distribusi dan fungsi peubah acak. Dalam hal ini,

fungsi peluang maupun fungsi densitas mempunyai bentuk yang berbeda-

beda.

Mahasiswa setelah mempelajari bab ini dengan baik, diharapkan secara

keseluruhan mampu memahami konsep dasar dan penggunaan distribusi

satu peubah acak, baik diskret maupun kontinu.

Adapun sasaran belajarnya, mahasiswa diharapkan mampu:

1. membedakan peubah acak diskret dan peubah acak kontinu,

2. menentukan distribusi peluang dari sebuah peubah acak diskret dan

modifikasinya,

3. menghitung peluang dari sebuah peubah acak diskret yang berharga

tertentu,

4. menentukan konstanta dan fungsi densitas untuk sebuah peubah acak

kontinu berdasarkan sifatnya,

5. menghitung peluang dan sebuah peubah acak kontinu yang berharga

tertentu,

6. menggambarkan grafik berdasarkan fungsi peluang maupun fungsi

densitas,

7. menentukan fungsi distribusi dan sebuah peubah acak, baik diskret

maupun kontinu,

8. menggambarkan grafik dan fungsi distribusi untuk satu peubah acak,

baik diskret maupun kontinu,

9. menghitung peluang dan sebuah pcubah acak yang berharga tertentu

berdasarkan fungsi distribusinya,

10. menentukan distribusi peluang dan fungsi densitas dan sebuah peubah

acak berdasarkan fungsi distribusinya.

Statistika Sugiman FMIPA UNNES Matematika

1

Page 2: Bab II-Pengantar Probabilitas-Distribusi Satu Peubah Acak

Macam-macam Peubah Acak

Definisi 1: PEUBAH ACAK

Berdasarkan definisi di atas, ada dua buah himpunan yang melibatkan

peubah acak, yaitu ruang sampel S yang berisi anggotanya (titik sampel) s

dan Rx berupa nilai-nilai yang mungkin dari X yang berkaitan dengan anggota

S-nya. Pendefinisian peubah acak bisa dijelaskan dalam gambar berikut.

X

X : S R

S=Ruang sampel

RX = nilai yang mungkin dari X sesuai s nya

X : peubah acak

Contoh 1:

Misalnya percobaan melempar dua buah mata uang logam yang seimbang

sekaligus.

Catatan, hasil yang mungkin.

G = Gambar “KARAPAN SAPI” H = Huruf “BANK INDONESIA”

Statistika Sugiman FMIPA UNNES Matematika

2

Misalkan E suatu eksperimen dengan ruang

sampel S. Sebuah fungsi X yang memetakan

setiap anggota s S, dengan sebuah bilangan

real X(s) dinamakan peubah acak.

s .

. X(s)

S R

Page 3: Bab II-Pengantar Probabilitas-Distribusi Satu Peubah Acak

Jika X menunjukkan banyak huruf ”BANK INDONESIA” yang terjadi, apakah

X memenuhi peubah acak?

Penyelesaian:

Ruang sampelnya adalah:

S= {HH, GH, HG, GG}

dengan: G = Gambar “KARAPAN SAPI” H = Huruf “BANK INDONESIA”

Untuk s1 = HH, maka X(s1) = X(HH) = 2

Untuk s1= GH, maka X(s2) = X(GH) = 1

Untuk s1 = HG maka X(s3) = X(HG) = 1

Untuk s1= GG. maka X(s4) = X(GG) = 0

Jadi nilai-nilai yang mungkin dari RX = {0, 1, 2}.

Berikut ini akan dijelaskan definisi secara umum dari peubah acak.

S RX

Karena X memenuhi syarat-syarat sebuah fungsi, maka X disebut peubah

acak.

Apabila kita bisa memperoleh sebuah peristiwa berkenaan dengan ruang

sampel S dan sebuah peristiwa berkenaan dengan peubah acak X (yaitu

himpunan bagian dan ruang hasil R), maka dua peristiwa itu akan ekivalen.

Hal ini bisa dilihat dalam definisi berikut.

Contoh 2:

Ketika kita mengundi dua mata uang logam Rp 100 yang seimbang secara

sekaligus, maka ruang sampelnya: S = {HH, HG, GH, GG}.

Jika X menunjukkan banyak G yang terjadi, maka nilai-nilai yang mungkin dan

X adalah R= {0, 1,2}.

Statistika Sugiman FMIPA UNNES Matematika

3

HH .HG .GH .GG .

. 0

. 1

. 2

Page 4: Bab II-Pengantar Probabilitas-Distribusi Satu Peubah Acak

Dua Peristiwa Ekuivalen

Misalnya E adalah sebuah eksperimen dengan ruang sampelnya S.

X adalah peubah acak yang didefinisikan pada S dengan RX adalah ruang

hasilnya, dan B adalah peristiwa yang berkenaan dengan RX, artinya B RX.

Jika peristiwa A didefinisikan sebagai: A = {s S |X(s) B}, artinya A berisi

semua hasil dalam S dengan X(s) B, maka A dan B dikatakan dua peristiwa

yang ekivalen.

S RX

A dan B dua peristiwa yang ekuivalen

Contoh 3:

Ketika kita mengundi dua mata uang logam Rp 100 yang seimbang secara

sekaligus, maka ruang sampelnya: S = {HH, HG, GH, GG}.

Jika X menunjukkan banyak G yang terjadi, maka nilai-nilai yang mungkin dan

X adalah R= {0, 1,2}.

Dua peristiwa A dan B yang ekivalen ada tiga buah, yaitu:

1. Ruang peristiwa B : B = {0}.

Karena X(HH) = 0 jika dan hanya jika X(s) = 0, maka s = (HH) dan ia

merupakan ruang peristiwa dan peristiwa lainnya, yaitu A. Jadi A =

{HH}. Akibatnya, A dan B merupakan dua buah peristiwa yang

ekivalen.

2. Ruang peristiwa B : B = {1}.

Karena X(HG) = X(GH) = 1 jika dan hanya jika X(s) = 1, maka s = (HG)

atau s = (GH) dan ia merupakan ruang peristiwa dan peristiwa lainnya,

yaitu A. Jadi A = {HG, GH}.

Akibatnya, A dan B merupakan dua buah peristiwa yang ekivalen.

Statistika Sugiman FMIPA UNNES Matematika

4

AB

. X(s) s .

Page 5: Bab II-Pengantar Probabilitas-Distribusi Satu Peubah Acak

3. Ruang peristiwa B : B {2}.

Karena X(GG)= 2 jika dan hanya jika X(s) = 2, maka s = (GG) dan ia

merupakan ruang peristiwa dari peristiwa lainnya, yaitu A. Jadi A =

{GG}. Akibatnya, A dan B merupakan dua buah peristiwa yang

ekivalen.

Kita sudah mengetahui bahwa peristiwa A yang berkaitan dengan ruang

sampel S ekivalen dengan peristiwa B yang berkaitan dengan nilai-nilai yang

mungkin dan peubah acak X.

Akibatnya, peluang dari kedua peristiwa itu akan sama, yaitu P(A) = P(B). Hal

ini bisa dilihat dalam Definisi 3.

Contoh 4:

Dalam pengundian dua mata uang logam Rp 100 yang seimbang, maka

S = {HH, HG, GH, GG}

P(HG) =P(GH)= P(HH)= P(GG) = .

Misalkan X menyatakan banyak G yang terjadi/muncul, maka nilai-nilai yang

mungkin dari X adalah R= {0, 1, 2}.

Hitung P(X= 0), P(X= 1), dan P(X =2).

Penyelesaian:

a. Karena X = 0 ekivalen dengan peristiwa yang ruang peristiwanya {HH}

Statistika Sugiman FMIPA UNNES Matematika

5

Definisi 3: PELUANG DUA PERISTIWA YANG

EKIVALEN

Jika B adalah sebuah peristiwa dalam ruang hasil RX,

maka P(B) didefinisikan sebagai: P(B) = P(A), dengan A

= { sS| X(s) B}.

Pemahaman penghitungan peluang dari kedua peristiwa

yang ekivalen diperjelas melalui contoh 4.

Page 6: Bab II-Pengantar Probabilitas-Distribusi Satu Peubah Acak

danP(HH)= , maka P(X=0)=P(HH)= .

b. Karena X =1 ekuivalen dengan peristiwa yang ruang peristiwanya {HG} dan

{GH}, dan:

P(HG atau GH} = P(HG) +P(GH) = + =

maka P(X= 1) = P(HG atau GH) =

c. Karena X =2 ekuivalen dengan peristiwa yang ruang peristiwanya {GG}.

P(GG) = , maka P(X=2) =

Nilai-nilai yang mungkin dari X bisa ditulis sebagai: x1, x2, x3, ...,

Pemahaman pengertian peubah acak diskret diperjelas melalui contoh-contoh

berikut.

Contoh 5:

Nilai-nilai yang mungkin dari X adalah R = {0, 1, 2}.

Karena banyak anggota dan R berhingga, maka X termasuk ke dalam peubah

acak diskret.

Contoh 6:

Misalnya Sandy mengundi sebuah dadu yang seimbang.

Jika peubah acak X menunjukkan banyak pengulangan percobaan sampai

mata dadu 5 muncul pertama kali, maka nilai-nilai yang mungkin dari X

adalah: R= {1,2,3,...}.

Karena banyak anggota R tak berhingga tapi dapat dihitung, maka X

termasuk ke dalam peubah acak diskret.

Statistika Sugiman FMIPA UNNES Matematika

6

Definisi 4: PEUBAH ACAK DISKRET

Misalnya X adalah peubah acak. Jika banyak nilai-nilai

yang mungkin dari X (yaitu ruang hasil R) berhingga

atau tak berhingga tapi dapat dihitung, maka X

dinamakan peubah acak diskret.

Page 7: Bab II-Pengantar Probabilitas-Distribusi Satu Peubah Acak

PEUBAH ACAK KONTINU

Misalnya X adalah peubah acak. Jika nilai-nilai yang mungkin dan X (yaitu

ruang hasil R) merupakan sebuah interval pada garis bilangan real, maka X

dinamakan peubah acak kontinu.

Pemahaman pengertian peubah acak kontinu diperjelas melalui Contoh 7.

Contoh 7:

Misalnya jumlah mahasiswa sebuah universitas adalah 25.000 orang dan

para mahasiswa itu diberi nomor induk mahasiswa mulai dari 00001 sampai

25000.

Kemudian seorang mahasiswa dipilih secara acak dan ia diukur berat

badannya. Dalam hal ini, ruang sampelnya adalah:

S = {s | s=00001,00002, 00003, ...,25000}

Misalnya X menunjukkan berat badan dari mahasiswa yang terpilih, maka ia

bisa ditulis sebagai: X(s), dengan s S.

Kita mengasumsikan bahwa tidak ada mahasiswa di universitas tersebut yang

mempunyai berat badan kurang dan 20 kg atau lebih dan 175 kg, sehingga

ruang hasil dan X adalah:

R={x|20 x 175}

Karena R merupakan sebuah interval, maka X termasuk ke dalam peubah

acak kontinu.

Statistika Sugiman FMIPA UNNES Matematika

7

Definisi 6: FUNGSI PELUANG

Jika X adalah peubah acak diskret, maka p(x) = P(X = x) untuk

setiap x dalam range X dinamakan fungsi peluang dari X

Nilai fungsi peluang dan X, yaitu p(x), harus memenuhi sifat-

sifat sebagai berikut.

1. p(x) O

2. p(x) =1

Page 8: Bab II-Pengantar Probabilitas-Distribusi Satu Peubah Acak

Fungsi f dari A ke dalam R yang memenuhi:

(1) f(x) 0 untuk setiap x di A

(2) = 1

Disebut fungsi kepadatan peluang.

Misalkan X1,X2,X3, ... Xn semuanya kontinu, maka fungsi f dari A ke dalam R

yang memenuhi:

(1) f(X1,X2,X3, ... Xn) 0 untuk semua (X1,X2,X3, ... Xn) di A

(2) = 1

Contoh 8:

Misalnya Farah mengundi dua buah mata uang logam Rp 100 yang seimbang

secara sekaligus.

Jika peubah acak X menunjukkan banyak Huruf “BANK INDONESIA” yang

muncul, maka tentukan distribusi peluang dan X.

Penyelesaian:

Dalam hal ini, kita harus menghitung nilai peubah acak X, yaitu x dan nilai

peluangnya.

Ruang sampelnya: S = {GG, GH, HG, HH}.

Karena X menyatakan banyak H yang muncul, maka:

i. Untuk titik sampel GG, bilangan bulat yang sesuai adalah 0, ditulis X(s) =

X(GG) =0.

ii. Untuk titik sampel GH, bilangan bulat yang sesuai adalah 1, ditulis X(s) =

X(GH) = 1.

Statistika Sugiman FMIPA UNNES Matematika

8

Fungsi f dari A ke dalam R yang memenuhi:

(1) f(x) 0 untuk setiap x di A

(2) = 1

Disebut fungsi kepadatan peluang kontinu.

Page 9: Bab II-Pengantar Probabilitas-Distribusi Satu Peubah Acak

iii. Untuk titik sampel HG, bilangan bulat yang sesuai adalah 1, ditulis X(s) =

X(HG) = 1.

iv. Untuk titik sampel HH, bilangan bulat yang sesuai adalah 2, ditulis X(s) =

X(HH) = 2.

Karena mata uang logam Rp 100 yang digunakan dalam pengundian itu

seimbang, maka peluang masing-masing titik sampel sama, yaitu

Peluang setiap nilai peubah acaknya adalah sebagai beriku.

i. P(X=0)= P({GG})=

ii. P(X= 1) = P({GH} atau P({HG})

= P({GH}) + P({HG})

= + =

iii. P(X=2) =P(HH) = .

Distribusi peluang

Contoh 9:

Misalnya fungsi peluang dan peubah acak X berbentuk:

p(x)=( )(kx+ 1); x=0, 1,2,3

= 0 ; x lainnya.

Tentukan nilai k agar mendefinisikan fungsi peluang.

Penyelesaian:

Syarat fkp adalah:

p(x) = 1

( )(kx + 1)= 1

{1 +(k+ 1)+(2k+ 1)+(3k+ 1)} =1

6k+4= 5

k= 1/6

Statistika Sugiman FMIPA UNNES Matematika

X 0 1 2

f(x) = P(X=x)

9

Page 10: Bab II-Pengantar Probabilitas-Distribusi Satu Peubah Acak

Contoh penerapan (Peubah Acak Diskret)

1. Peubah Acak Bernoulli

Peubah acak bernoulli dihasilkan dari percobaan bernoulli (nama dari James Bernoulli). Percobaan ini hanya menghasilkan dua peristiwa (gagal (G) atau sukses (S)). Sukses diartikan sebagai kejadian yang sedang diamati.

Percobaan :

Pelantunan sekeping mata uang sebanyak satu kali:

Maka S = {H,G}. Jika muncul sisi ”H” dengan P(H) = p, dengan 0 < p < 1.

Maka P(G) = 1-p.

Peubah acak:

X disebut peubah acak Bernoulli.

X : Banyaknya sisi H yang muncul dari satu kali lemparan.

X = 0 atau 1.

X = 0, jika yang muncul G, sehingga P(G) = 1-p.

X = 1, jika yang muncul H, sehingga P(H) = p

Peubah acak atau variabel random adalah fungsi yang memetakan ruang sampel dengan bilangan real.

X : S R.

Fungsi peubah acak merupakan suatu langkah statistik untuk menkuantifikasikan kejadian-kejadian alam. Pendefinisian fungsi peubah acak harus mampu memetakan setiap kejadian tepat satu bilangan real.

Contoh 10:

Percobaan :

Mengamati masa hidup seorang bayi.

P(X=1) = p

P(X=0) = 1- p

Statistika Sugiman FMIPA UNNES Matematika

10

Page 11: Bab II-Pengantar Probabilitas-Distribusi Satu Peubah Acak

Contoh 11:

Percobaan melempar sebuah dadu yang berisi 6 permukaan seimbang.

Ruang sampel S={1,2,3,4,5,dan 6}.

Dari percobaan ini didefinisikan beberapa peubah acak yang mampu memetakan kejadian-kejadiannya ke dalam bilangan real. Misalnya:

X : munculnya sisi mata dadu =

Sehingga X = 0, merupakan peta dari {1,3,5} dan

X=1, merupakan peta dari {2,4,6}. Secara jelas digambarkan dalam diagram venn berikut.

X :

Kaidah Peluang Peubah Acak

Sebaran peluang dari peubah acak mengikuti sebaran peluang setiap kejadian. Jika terdapat beberapa kejadian dipetakan bilangan yang sama maka peluang dari nilai peubah acak tersebut adalah total peluang dari kejadian-kejadian tersebut. Dari contoh di atas dapat diperjelas sebagai berikut.

Sisi yang muncul1 2 3 4 5 6

Peluang kejadian 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6X 0 1 0 1 0 1

Statistika Sugiman FMIPA UNNES Matematika

11

1.2.3.4.5.6.

S

. 0

. 1

R

Ruang Sampel Bil Real

Page 12: Bab II-Pengantar Probabilitas-Distribusi Satu Peubah Acak

Sehingga sebaran peubah acak X dapat dijabarkan sebagai berikut.

P(x=0) = P(1)+P(3)+P(5) = 1/6+1/6+1/6 = 3/6 = ½

P(x=1) = P(2) + P(4) + P(6) =1/6+1/6+1/6 = 3/6 = ½

Beberapa kaidah dalam sebaran peluang sebagai berikut.

1. 0 P(xi) 1, untuk i =1,2, . . ., n

2. , untuk peubah acak diskret

=1, untuk peubah acak kontinu

3. P(A1+A2 +A3 + . . . +An ) =P(A1) +P(A2)+ . . . +P(An) = ,

Jika Ai merupakan kejadian yang saling lepas.(diskret)

P(A) = (kontinu)

Catatan:

Suatu fungsi dikatakan sebagai fungsi peluang jika memenuhi ketiga kaidah

di atas.

Statistika Sugiman FMIPA UNNES Matematika

12

Page 13: Bab II-Pengantar Probabilitas-Distribusi Satu Peubah Acak

Fungsi Kepadatan Peluang (fkp) atau

Fungsi densitas probabilitas

Jika ruang sampel dari variabel random X countable, maka variabel

random X dinamakan variabel random diskret. Suatu fungsi dengan

domain variabel acak diskret dinamakan fungsi kepadatan peluang (fkp)

atau fungsi densitas probabilitas diskret. Disingkat dengan pdf diskret atau

dinamakan fungsi masa probabilitas.

Teorema :

Suatu fungsi f (x) adalah pdf diskret jika hanya jika memenuhi sifat:

1. f (x) > 0

2.

Catatan:

Penulisan lain f (x) dengan x = nilai variabel random X

Contoh :

Dari contoh pelemparan koin di atas (Sebuah koin yang dilempar 3 kali),

Maka S = {AAA, AAG, AGA, GAA, AGG,GGA, GAG, GGG}

Misalkan: f : S R, f menyatakan jumal “A” yang muncul, maka x = 0,1,2

jelas bahwa f (x) = P (X = x), x = 0, 1, 2, 3. Semua nilai f(x) dan

jumlahnya = 1

Jadi memenuhi fkp.

Fungsi f dari A ke dalam R yang memenuhi:(1) f(x) 0 untuk setiap x di A

(2) = 1

Disebut fungsi kepadatan peluang.Fungsi f dari A ke dalam R yang memenuhi:(1) f(x) 0 untuk setiap x di A

(2) = 1

Disebut fungsi kepadatan peluang kontinu.

Statistika Sugiman FMIPA UNNES Matematika

13

Page 14: Bab II-Pengantar Probabilitas-Distribusi Satu Peubah Acak

Contoh:

Misalkan X peubah acak dan f(X) = , untuk 1<x<3

= 0, untuk x lainnya

Apakah f(x ) memenuhi fkp?

Contoh 12:

Misalkan S ={1,2,3, . . . } adalah ruang peubah acak X. Misalkan f adalah

fungsi dari S ke R sedemikian sehingga f(x) = , x =1,2,3, . . .

a. Buktikan f adalah fkp.b. Jika A ={1,3,5. . . } hitung P(A).

Jawab:

a. Membuktikan f adalah fkp1) f(x)> 0, S (jelas)

2) = = B

= = =

= 1 1 + B = 2 B =1.

Jadi = 1

Jadi f(x) memenuhi fkp.

b. Hitunglah P(A), jika A = A ={1,3,5. . . }

P(A) = =

=

2 P(A) = = (1+ P(AC)

Statistika Sugiman FMIPA UNNES Matematika

14

Page 15: Bab II-Pengantar Probabilitas-Distribusi Satu Peubah Acak

= 1 + (1 – P(A))

= 2 –PA 3 P(A) = 2 P(A) = 2/3.

Contoh 13:

f(x) = , 0<x<2

a. Buktikan f memenuhi fkp.b. Gambarkan/sket grafikya.c. Hitung P(A), A ={x|-1<x<3}

Catatan:

Hal Penting untuk Fungsi Kepadatan Peluang (fkp) kontinu

Misalkan X peubah acak kontinu, a dan b bil real sed. Sehingga a<b.

Hitunglah:

1. P(A) , A ={x| a }2. P(B), B = {x| a < x < b}3. P(C), C = {x|a }4. P(D), D = {x| a< x b}

Contoh 14:Misalkan A = adalah ruang peubah acak X. Misalkan peluang

P(a<x<b) diberikan oleh , dimana f(x) = untuk ,

untuk setiap a dan b. Maka hitunglah:

a. P(0<X< )

b. P(1 )

c. P(0 < X < 3)

d. P(0 < X < atau 1 < X < 2)

Jawaban:

a. P(0<X< ) = dx = = = .

b. P(1 ) = dx = = =

c. P( ) = = =

d. P(0 < X < 3) = dx + 0 =1

Statistika Sugiman FMIPA UNNES Matematika

15

Page 16: Bab II-Pengantar Probabilitas-Distribusi Satu Peubah Acak

e. Karena {0 < X < } dan {1 < X < 2} tidak beririsan, maka

P(0 < X < atau 1 < X < 2) = P(0 < X < ) + P(1 < X < 2)

= + = i.

Statistika Sugiman FMIPA UNNES Matematika

16

Page 17: Bab II-Pengantar Probabilitas-Distribusi Satu Peubah Acak

FUNGSI DISTRIBUSI

Misalkan X1, X2, X3, …, Xn merupakan peubah acak diskrit dengan fungsi

probabilitas p(x) > 0, maka fungsi sebaran bagi peubah acak tersebut dapat

ditulis sebagai berikut

Contoh :

Statistika Sugiman FMIPA UNNES Matematika

17

Page 18: Bab II-Pengantar Probabilitas-Distribusi Satu Peubah Acak

Fungsi Probabilitas Kumulatif (Fungsi Sebaran) Kontinu

Bila X1, X2, X3, …, Xn merupakan peubah acak kontinu dengan fungsi

kepekatan probabilitas f(x) > 0, maka fungsi sebaran bagi peubah acak

tersebut dapat ditulis sebagai berikut

Contoh :

Statistika Sugiman FMIPA UNNES Matematika

18

Page 19: Bab II-Pengantar Probabilitas-Distribusi Satu Peubah Acak

Sifat–sifat dari fungsi sebaran F(x):

Baik untuk peubah acak diskrit ataupun untuk peubah acak kontinu, terdapat

beberapa sifat dari fungsi sebaran sebagai berikut ;

1. F (- ~) = P (X - ~ ) = 0

2. F (+~) = P (X + ~) = 1

3. Monoton tidak turun :

F(x1) F(x2) untuk x1 >x2

4. Kontinu dari sebelah kanan :

5. P(a < X b)

= P(X b) - P(X a)

= F(b) - F(a)

6. P(a X b)

= P(X b) - P(X < a)

= F(b) - F(a) + P(X = a)

7. P(a X < b)

= P(X <b) - P(X < a)

= F(b)- F(a) - P(X = a) + P(X=b)

8. P(a < X < b)

= P(X < b)-P(X a)=F(b)-F(a) + P(X = b)

Contoh 1 :

Peubah X1, X2, X3, X4 merupakan sampel acak berukuran 4 yang me-nyebar

binomial dengan probabi-litasnya sama dengan 0.50 dan fungsi probabilitas

p(x) sebagai berikut :

Statistika Sugiman FMIPA UNNES Matematika

19

Page 20: Bab II-Pengantar Probabilitas-Distribusi Satu Peubah Acak

probabilitas untuk seluruh nilai x dan sebaran probabilitas kumulatif, disertai

gambar grafiknya adalah sebagai berikut

p(x) :

Fungsi sebarannya adalah

F(x) = P ( X x ), untuk x = 0, 1, 2, 3, 4 dapat diperoleh nilai-nilai F(x) se-

bagai berikut :

Grafik dari P(X=x) = p(x) dan F(x) dapat dilihat sebagai berikut

Statistika Sugiman FMIPA UNNES Matematika

20

Page 21: Bab II-Pengantar Probabilitas-Distribusi Satu Peubah Acak

Contoh 2 :

Peubah X kontinu dengan fungsi kepekatan probabilitas f(x) sebagai berikut :

a. Gambarkan grafik f(x)

b. Gambarkan F(x) = P( X x )

c. Cari P ( 2 < x < 4 ) = P (2 X 4 ) berlaku untuk peubah kontinyu.

Di mana e = 2,7182818 2,718

Penyelesaian :

Fungsi kepekatan probabilitas dari peubah X yang kontinu adalah f(x), se-

demikian rupa sehingga

dengan

Statistika Sugiman FMIPA UNNES Matematika

21

Page 22: Bab II-Pengantar Probabilitas-Distribusi Satu Peubah Acak

kurva f(x) dan P ( a X b ), f(x) = fungsi kepekatan Probabilitas, bukan

fungsi probabilitas

Apabila F(x) diketahui maka f(x) dapat ditentukan dengan

Contoh 15:

Statistika Sugiman FMIPA UNNES Matematika

22

Page 23: Bab II-Pengantar Probabilitas-Distribusi Satu Peubah Acak

Ekspektasi Matematika

Definisi 4.1:

Jika X suatu variabel random diskret dergan fungsi probabilitas f(x), maka

ekspektasi matematik (expected value) dari X, ditulis E(X), didefinisikan

sebagai:

E(X) =

Ekspektasi E(X), sering disebut pula sebagai mean (mean value) dari X.

Sedang simbol E(X) sering pula disajikan sebagai x atau .

Definisi 4.2:

Jika X suatu variabel random kontinu dengan fungsi densitas probabilitas f(x),

maka ekspektasi dari X, didefinisikan sebagai

E(X) =

Contoh 4.1:

Jika X = banyaknya titik yang muncul pada pelantunan sebuah dadu (ideal),

maka

(a) E(X) = 3½; (c) E(X – E(X))2 = ;

(b) E(X2) = ; (d) E(X2) – (E(X))2 = .

Contoh 4.2:

Jika variabel random X mempunyai fungsi densitas probabilitas

f(x) = ,

maka E(X) = 1/

Statistika Sugiman FMIPA UNNES Matematika

23

Page 24: Bab II-Pengantar Probabilitas-Distribusi Satu Peubah Acak

Beberapa sifat ekspektasi

(i) E(c) = c; c konstan;

(ii) E(cx) = cE(X)

(iii) Jika Y = aX + b, dengan a dan b konstan,

maka E(Y) = aE(X) + b

(iv) Jika = E(X), maka E(X - ) = 0

Variansi

Definisi 4.3: Jika X suatu variabel random, maka variansi dari X, ditulis

Var(X) atau V(X), didefinisikan

Var(X) = E(X – E(X))2

Teorema 4.4: Var(X) = E(X2) – (E(X))2

Bukti: Var(X) = E(X – E(X))2

= E[X2 – 2XE(X) + (E(X))2]

= E(X2) – 2E(X)E(X) + (E(X))2

= E(X2) – (E(X))2

Contoh 4.3: Variansi dari Contoh 4.2 adalah Var(E) =

Beberapa sifat variansi:

Sifat VariansiMisal X peubah acak dengan fkp f(x)Misalkan a dan b suatu konstanta, maka:

1. Var(ax) = a2 Var(x)2. Var (ax +b) = a2 var(x)3. Var(k) = 0, untuk suatu konstanta kBukti:1. Var(ax) = ? Misal y =ax Var(y) =E(y2) – E(y)2 =

= - ( )2=

= - ( )2

Statistika Sugiman FMIPA UNNES Matematika

24

Page 25: Bab II-Pengantar Probabilitas-Distribusi Satu Peubah Acak

= a2 - (a )2

= a2 E(x2) – a2 E(x)2

= a2 (E(x2) – E(x)2) = a2 var (x)

E(y) = E(ax) = a E(x).1. Var(ax+b) = ?

Misal y =ax +b

Var(Y) = = E(y) =

Contoh 4.4: Jika diketahui, bahwa E(XY) = E(X)E(Y), maka buktikan bahwa

Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y)

Bukti: Gunakan Teorema 4.4.

Statistika Sugiman FMIPA UNNES Matematika

25

Page 26: Bab II-Pengantar Probabilitas-Distribusi Satu Peubah Acak

Ekspektasi Fungsi Variabel Random

Teorema 4.5: Jika X suatu variabel random diskret dengan fungsi probabilitas

f(x), maka ekspektasi dari fungsi variabel random g(x) adalah

E(g(x)) =

Demikian pu1a, jika X suatu variabel random kontinu dengan fungsi densitas

f(x), maka ekspektasi dari fungsi variabel random h(x) adalah

E(h(x)) =

Bukti: Untuk membuktikan Teorema ini, dibiarkan sebagai latihan.

Contoh 4.5: Jika X mempunyai fungsi densitas

f(x) = ,

maka ekspektasi dari fungsi variable random g(x) = e3x/4 adalah E(g(x)) = 4.

Soalpeubah acak X. Misalkan peluang P(a<x<b)Misalkan X peubah acak dengan fkp f(x) = 3x2 , 0<x<1Tentukan:a. E(x)b. E(x-1)c. E(4x+1)d. E(x2 +1)e. E(x+1)2

f. Var(x)

Statistika Sugiman FMIPA UNNES Matematika

26