Transformasi Dua atau Lebih

Peubah Acak

Dr. Kusman Sadik, M.Si

Departemen Statistika IPB, 2016

1

2

Transformasi Dua atau Lebih Peubah Acak

Misalkan diketahui fkp bersama bagi p.a. X1 dan X2 adalah

),( 21, 21xxf XX . Jika kemudian didefinisikan p.a. lainnya yaitu Y1

dan Y2, dimana Y1 = h1(x1, x2) dan Y2 = h2(x1, x2), maka ingin

diketahui fkp bersama bagi p.a. Y1 dan Y2 yaitu ),( 21, 21yyf YY .

3

Teorema

Misalkan diketahui fkp bersama bagi p.a. X1 dan X2 adalah

),( 21, 21xxf XX yang positif dan kontinu pada gugus S R

2, dan

didefinisikan fungsi h1, h2 : S R, dan T merupakan bayangan

S sebagai tranformasi satu-satu (one-to-one) dari (h1, h2). Oleh

karena itu, jika y1 = h1(x1, x2) dan y2 = h2(x1, x2) maka inversnya

x1 = h1-1

(y1, y2) dan x2 = h2-1

(y1, y2), dengan (y1, y2) T. Anggap

bahwa untuk (y1, y2) T, dx1/dy1 dan dx2/dy2 ada, kontinu, dan

tidak sama dengan 0. Maka fkp bersama bagi p.a. Y1 dan Y2

adalah:

TyyJyyhyyhfyyf XXYY

),( ,)}.,(),,({),( 2121

1

221

1

1,21, 2121

4

TyyJyyhyyhfyyf XXYY

),( ,)}.,(),,({),( 2121

1

221

1

1,21, 2121

2

2

1

2

2

1

1

1

y

x

y

x

y

x

y

x

JacobiJ

5

Kasus 1

Misalkan p.a. kontinu X mempunyai sebaran U(0, 1), sedangkan

X1 dan X2 merupakan contoh acak bebas dari sebaran ini.

Apabila didefinisikan Y1 = X1 + X2 dan Y2 = X1 – X2, tentukan:

a. Fungsi kepekatan bersama bagi p.a. Y1 dan Y2 yaitu

),( 21, 21yyf YY .

b. Fungsi kepekatan marginal bagi p.a. Y1 dan Y2 yaitu

)( 11yfY dan )( 22

yfY .

6

Karena X U(0, 1), sedangkan X1 dan X2 merupakan contoh

acak bebas dan identik dari sebaran ini maka fkp bersama bagi

X1 dan X2 adalah:

10dan 10 ;1)().(),( 212121, 2121 xxxfxfxxf XXXX

kemudian didefinisikan bahwa

y1 = h1(x1, x2) = x1 + x2

y2 = h2(x1, x2) = x1 x2

7

y1 = h1(x1, x2) = x1 + x2

y2 = h2(x1, x2) = x1 x2

Melalui metode substitusi ataupun eliminasi dari persamaan di

atas, akan diperoleh persamaan berikut:

x1 = h1-1

(y1, y2) = (y1 + y2)/2

x2 = h2-1

(x1, x2) = (y1 y2)/2

x1/y1 = ½; x1/y2 = ½;

x2/y1 = ½; x2/y2 = -½;

8

x1/y1 = ½; x1/y2 = ½;

x2/y1 = ½; x2/y2 = -½;

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

J

9

Sehingga kepekatan bersama bagi p.a. Y1 dan Y2 adalah

Tyy

yyyyf

Jyyhyyhfyyf

XX

XXYY

),( ;2

1

2

1).1(

2

1}.2/)(,2/){(

)}.,(),,({),(

21

2121,

21

1

221

1

1,21,

21

2121

Persoalan berikutnya adalah menentukan batas nilai bagi y1 dan

y2 yaitu T,

10

Untuk 0 < x1 < 1

0 < x1 < 1 0 < (y1 + y2)/2 < 1 0 < y1 + y2 < 2

0 < y1 + y2 dan y1 + y2 < 2

y2 > y1 dan y2 < 2 y1

Untuk 0 < x2 < 1

0 < x2 < 1 0 < (y1 y2)/2 < 1 0 < y1 y2 < 2

0 < y1 y2 dan y1 y2 < 2

y2 < y1 dan y2 > y1 2

11

y1

y2

y2 = -y1

y2 = 2 - y1

y2 = y1

y2 = y1 - 2

Sehingga batas nilai bagi y1 dan y2 adalah

y2 > y1 ; y2 < 2 y1 ; y2 < y1 ; dan y2 > y1 2

12

y1

y2

y2 = -y1

y2 = 2 - y1

y2 = y1

y2 = y1 - 2

Sebaran marginal bagi y1 adalah

Untuk 0 < y1 1

12221,1

1

1

1

1

211 2

1),()( ydydyyyfyf

y

y

y

y

YYY

13

Untuk 1 < y1 < 2

1

2

2

2

2

2

221,1 22

1),()(

1

1

1

1

211ydydyyyfyf

y

y

y

y

YYY

Sehingga

lainnya ;0

21;2

10;

)(

1

11

11

11

y

yy

yy

yfY

14

y1

y2

y2 = -y1

y2 = 2 - y1

y2 = y1

y2 = y1 - 2

Sebaran marginal bagi y2 adalah

Untuk -1 < y2 0

12

1),()( 2

2

1

2

121,2

2

2

2

2

212

ydydyyyfyf

y

y

y

y

YYY

15

Untuk 0 < y2 < 1

2

2

1

2

121,2 12

1),()(

2

2

2

2

212ydydyyyfyf

y

y

y

y

YYY

Sehingga

lainnya ;0

10;1

01;1

)(

2

22

22

22

y

yy

yy

yfY

16

Kasus 2

Misalkan p.a. kontinu X mempunyai fkp sebagai berikut

0 ,)( xexf x

X

sedangkan X1 dan X2 merupakan contoh acak bebas dan identik

dari fkp ini. Ingin ditentukan fkp p.a. Y = X1/(X1 + X2).

Karena X1 dan X2 merupakan contoh acak bebas dan identik

dari sebaran ini maka fkp bersama bagi X1 dan X2 adalah

0dan 0 ;),( 21

)(

21,2121

21

xxeeexxf

xxxx

XX

17

Perlu didefinisikan satu peubah acak lain agar transformasi

terjadi dari ruang berdimensi dua ke ruang berdimensi dua.

Misalkan Z = X1 + X2, sehingga diperoleh sepasang transformasi

yaitu y = x1/(x1 + x2) dan z = x1 + x2. Trasformasi ini bersifat

satu-satu untuk seluruh daerah fungsi.

y = x1/(x1 + x2) dan z = x1 + x2

Melalui metode substitusi ataupun eliminasi dari persamaan di

atas, akan diperoleh persamaan berikut:

x1 = yz

x2 = (1 – y)z

18

x1 = yz

x2 = (1 – y)z

x1/y = z; x1/z = y;

x2/y = - z; x2/z = 1- y;

z

yz

yz

J

1

19

Sehingga kepekatan bersama bagi p.a. Y dan Z adalah

Tzyze

ze

Jxxfzyf

z

zyyz

XXZY

),( ,

.

).,(),(

))1((

21,, 21

Selanjutnya menentukan batas nilai bagi y dan z yaitu T.

Perhatikan, karena x1 0 dan x2 0, maka

0 y = x1/(x1 + x2) 1 0 y 1

z = x1 + x2 0 z 0

sehingga

0dan 10 ,),(, z yzezyf z

ZY

20

0dan 10 ,),(, z yzezyf z

ZY

Sebaran marginal bagi p.a. Y = X1/(X1 + X2) adalah

0

1dzze z

Dengan demikian, fkp bagi p.a. Y = X1/(X1 + X2) adalah

lainnya ;0

10;1

)(

y

y

yfY

21

Kasus 3

Lihat Example 4, Roussas, Sub-bab 6.2, hlm. 173 - 175

22

23

24

Kasus 4

Misalkan peubah acak X dan Y saling bebas dan mempunyai fkp

Eksponensial Negatif dengan = 1, dan didefinisikan bahwa

peubah acak U = (X + Y)/2 dan V = (X – Y)/2.

a. Tentukan fkp bersama fU,V(u, v).

b. Tentukan fkp marginalnya yaitu fU(u) dan fV(v).

Lihat Roussas, Bab 6, Exercise 2.3, hlm. 183.

Sebaran Eksponensial Negatif adalah:

0 ,0 ,)( xexf x

X

25

Kasus 5

Misalkan peubah acak X dan Y saling bebas dan mempunyai fkp

Normal(0, 1), dan didefinisikan U = X + Y dan V = X – Y.

a. Tentukan fkp bersama fU,V(u, v).

b. Tentukan fkp marginalnya yaitu fU(u) dan fV(v).

c. Tunjukkan bahwa U dan V independen.

d. Hitung peluang P(U < 0, V > 0).

Kasus 6

Misalkan peubah acak X dan Y saling bebas dan mempunyai fkp

Normal(0, 2). Tunjukkan bahwa peubah acak U = X

2 + Y

2

mempunyai fkp Eksponensial Negatif dengan =1/(22).

26

Dr. Kusman Sadik

Dept. Statistika IPB, 2016

Latihan :

Kerjakan Kasus 4, Kasus 5, dan Kasus 6 di atas

27

1. Roussas, G. 2003. Introduction to Probability and Statistical Inference. Academic Press

2. Nasoetion, A. H. dan Rambe, A. 1984. Teori Statistika untuk Ilmu-Ilmu Kuantitatif. Bhratara Karya Aksara, Jakarta.

3. Hoog RV , McKean JW, Craig AT. 2005. Introduction to Mathematical Statistics 6th Edition. Pearson Prentice Hall.

4. Wackerly D, Mendenhall W, Scheaffer RL. 2007. Mathematical Statistics with Applications 7th Edition, Duxbury Thomson Learning

5. Pustaka lain yang relevan.

28

Bisa di-download di

http://www.stat.ipb.ac.id/en/index.php?page=dr-kusman-sadik

29