korrdinat geometri v2

Ruj: http://pmsmkrmm.blogspot.com/2012/02/modul-matematik-tambahan-ting-4.htmlBAB 6. KOORDINAT GEOMETRI

Sub Topik 1. Jarak antara dua titik

A( ) dan B( ) : AB = .

Aktiviti 1:

Cth 1 DIberi dua titik A(2,3) dan B(4,7)

Jarak AB =

=

= unit.

2. P(4,5) dan Q(3,2)

PQ =

[ ]3. R(5,0) dan S(5,2)

[2]

4. T(7,1) dan U(2,5)

[ ]5 V(10,6) dan W(4,2)

[ ]

5. X(-4,-1) dan Y(-2,1)

[ ]

Aktiviti 2 : Masalah Jarak antara dua titik

1. Jarak antara titik A(1, 3) dan B(4, k) ialah 5. Cari nilai-nilai yang mungkin bagi k.

7, -1

E2. Jarak antara dua titik P(-1, 3) dan Q(k, 9)ialah 10. Cari nilai yang mungkin bagi k.

7, -9E3. Jarak antara dua titik R(-2, 5) and S(1, k) ialah . Cari nilai yang mungkin k.

6, 4

E4. Jarak antara dua titik K(-1, p) dan L(p, 9) ialah . Cari p.

p = 0, 6

6. Coordinate Geometry 1

http://pmsmkrmm.blogspot.com/2012/02/modul-matematik-tambahan-ting-4.html

Sub Topik 2 : TITIK TENGAH

Titik tengah antara dua titik =

Aktiviti 3.1. P(3, 2) dan Q(5, 7)

Midpoint, M =

= (4 , )

2. P(-4, 6) dan Q(8, 0)

(2, 3)3. P(6, 3) dan Q(2, -1)

(4, 1)

4. P(0,-1), dan Q(-1, -5)

(- ½ , -3)

Sub Topik 3. Titik yang membahagi garis mengikut nisbah m : n

Q membahagikan tembereng garis PR dalam nisabah PQ : QR = m : n. Diberi titik P(x, y) serta R(x, y)

Q (x,y) =

(Nota : murid diwajibkan melakar garis temberang sebelum menggunakan formula)Aktiviti 4

1. Titik P membahagi tembereng garis yang menghubungkan titik M(3,7) dan N(6,2) mengikut nisbah 2 : 1. Cari koordinat titik P.

P =

=

=

2. Titik K membahagi tembereng garis yang menghubungkan titik M (4,5) dan N(-8,-5) mengikut nisbah 1 : 3. Cari koordinat titik K.


nm

P(x1, y1) R(x2, y2)Q(x, y) ●n

mR(x2, y2)

P(x1, y1)

Q(x, y)

●1

2N(6, 2)

M(3, 7)

P(x, y)

3. R membahagi PQ dalam nisbah 2 : 1. Cari koordinat R jika;

(a) P(1, 2) and Q( -5, 11)

(b) P(-4, 7) and Q(8, -5)

(a) (-3, 8) (b) (4 , -1)

4. M membahagi AB dalam nisbah 3 : 2. Cari koordninat titik M jika;

(c) A(2, -3) and B( -8, 7)

(d) A(-7, 5) and B(8, -5)

(a) (-4, -3) (b) (2 , -1)5. M terketak di atas garis lurus RS .Diberi 3RM = MS. Koordinat titik R dan S ialah (4,5) dan (-8,-5) masing-masing, find cari koordinat titik M.

3RM = MS

= , RM : MS = 1 : 3

Ans :

6. P terletak di atas garis lurus TU dan 3TP = 2PU. Jika koordinat titik T dan U adalah (-9,7) and (1,-3) masing-masing, cari koordinat titik P.

(-5, 3)

7. Titik A(3, p), B(-1, 2) dan C(9,7) terletak diatas garis lurus yang sama. Jika A membahagi BC mengikut nisbah ratio m : n , cari (a) m : n , (b) nilai p.

(a) 2 : 3 (b) p = 4


Sub Topik 4: LUAS SEGITIGA

Luas segitiga =

= |(menurun)-(menaik)|

Note : Urutan titik mestilah arah LAWAN JAM

Aktiviti 5: Kira luas segitiga berikut1. P(0, 1), Q(1, 3) dan R(2,5)

Luas ∆ PQR =

=

= 12 unit

2. P(2,3), Q(5,6) dan R(-4,4)

Luas ∆ PQR =

unit2

2. Koordinat bucu-bucu segitiga ABC adalah (5, 10), (2,1) dan (8, k) masing-masing. Cari nilai yang mungkin bagi k, jika diberi luas ABC ialah 24 units2.

k = 3 , 35

3. Koordinat bucu-bucu segitiga RST adalah (4, 3), (-1, 1) dan (t, -3) masing-masing. Cari nilai yang mungkin bagi k, jika luas RST ialah 11 units2.

t = 0 , -22

ii) Luas segiempat =

Cari luas segiempat yang berikut

1. P(1,5), Q(4,7), R(6,6) dan S(3,1).

Area of PQRS =

= 8 unit

2. P(2, -1), Q(3,3), R(-1, 5) dan S(-4, -1).

[27]


Nota : APABILA LUAS = 0, MAKA TITK-TITIK ADALAH SEGARIS

1. Diberi titik P(5, 7), Q(4, 3) dan R(-5, k) adalah segaris , cari nilai k.

k= 33

2. Tunjukkan bahawa titik K(4, 8), L(2, 2) dan M(1, -1) adalah segaris.

Sub Topik 5 : Persamaan garis lurus

Persamaan garis lurus boleh dinyatakan dalam bentuk:

i) Bentuk am : ax + by + c = 0

ii) Bentuk kecerunan : y = mx + c ; m = kecerunan , c = pintasan-y

iii) Bentuk pintasan : + = 1 , a = pintasan-x , b = pintasan-y

SITUASI 1. Diberi satu titik dan kecerunant:

=

1. Cari persamaan garis lurus yang melalui titik

(2,-3) dan mempunyai kecerunan .

2. Cari persamaan garis lurus yang melalui titik (5,2) dan mempunyai kecerunan -2.

y = -2x + 12

3. Cari persamaan garis lurus yang melalui titik

(-8,3) dan mempunyai kecerunan .

4y = 3x + 36

SITUASI 2. DUA TITIK DIBERI 1. Cari persamaan garis lurus yang


●

Gradient = m

P(x1, y1)

Nota : - cari kecerunan dahulu

- Gunakan mana-mana rumus dibawah (a) y = mx + c

(b) y – y1 = m( x – x1)

(c) =

menghubungkan titik (-3, -4) dan (-5,6)

2. Cari persamaan garis lurus yang menghubngkan titik (2, -1) dan (3,0).

y = x - 3

3. Cari persamaan garis lurus yang menghubungkan titik (-4,3) dan (2,-5).

4x + 3y +7 = 0SITUASI 3: DIBERI PINTASAN x dan y

m = -

Persamaan garis lurus adalah :

+ = 1

a => Pintasan-x b => pintasan-y

2. Pintasan- x dan pintasan -y bagi garis lurus PQ ialah 4 dan -8 masing-masing. Cari kecerunan dan persamaan garis PQ.

m = –

= –

= 2

Persamaan : + = 1

atau

3. Pintasan-x dan pintasan-y suatu garis lurus PQ adalah -6 dan 3 masing-masing. Cari kecerunan dan persamaan garis lurus PQ.

2y = x+6

4. Pintasan-x bagi garis lurus AB ialah -5dan kecerunanya ialah -3. Cari pintasan-y dan juga persamaan garis AB.

3x + 5y +15 = 0


x

y

O

-8

4

At the x-axis, y = 0At the y-axis, x = 0

4. Cari kecerunan garis AB.

x – 3y = 6

5. Pintasan-x bagi garis lurus RS ialah – 2 dan kecerunanya ialah 3. Cari pintasan-y dan persamaan bagi RS.

y = 3x + 6

6. Nyatakan persamaan garis KL dalam bentuk pintasan.

7. Cari persamaan garis luru yang menghubungkan asalan dengan titik S (-2, 6).

y = – 3x

8. or Q3 above, write down the equation of KL in the general form.

x + 2y – 6 = 0

9. Nyatakan persamaan garis lurus yang melalui dua titik P(3, 2) dan Q (3, 8).

[x = 3]


x

y

O-2

6B

A

x

y

O

3

6

L

K

Sub Topik 6. Garis selari dan Garis Serenjang

Bila dua garis adalah selari, = Bila dia garis adalah serenjang, = -1

Aktiviti 6. Tentukan samada garis lurus-garis lurus berikut selari atau tidak

1. y = 3x – 2 dan 3x – y = 4

y = 3 x – 2 , m1 = 3 3x – y = 4 y = 3x – 4 , m2 = 3 oleh sebab m1 = m2 ,

dua garis tersebut adalah selari .

1. y = 2x +5 dan 4x + 2y = 5

N

2. 3x – 3y = 7 dan 6x + 6y = – 5

N

3. 2x – 3y = 5 dan 6y = 4x + 9

Y4. x – 3y = 12 dan 6y = 3 + 2x

Y

5. dan 8y = 6x - 3

N

Aktiviti 7. Tentukan samada garis lurus-garis lurus berikut adalah berserenjang atau tidak.

Eg. y = 3x – 2 and x + 3y = 4

y = 3 x – 2 , m1 = 3 x + 3y = 4 3y = – x + 4

, m2 =

Oleh sebab m1 . m2 = ,

dua garis lurus tersebut adalah berserenjang .

1. y = 2x +5 dan 4x + 2y = 9

N

2. 3y = 2x – 2 dan 2x + 3y = 1

N

3. x – 3y = 2 dan 6x + 2y = 5

Y

4. 6y = 2 - 3x dan

Y

5. dan 8y + 6x – 3 = 0

Y


SOALAN SPM SEBENAR BERKAITAN dengan GARIS SELARI dan GARIS SERENJANG (m1.m2 = – 1)

1. (SPM 2004). Rajah dibawah menunjukkan garis lurus PQ yang mempunyai persamaan

. Cari persamaan garis lurus yang

berserenjang dengan PQ dan melalui titik Q.

Answer:

y = ½ x + 4

2.Rajah di bawah menunjukkan garis lurus PQ

dengan persamaannya . Cari persamaan

garis yang berserenjang dengan PQ dan melalui titikt P.

Answer:

y = 3x – 18 3. Rajah manunjukkan garis lurus RS dengan persamaanya x + 2y = 6. Cari persamaan garis lurus yang berserenjang dengan RS dan melalui titik S.

Answer:

y = 2x – 12

4. Rajah di bawah menunjukkan garis lurus AB dengan persamaannya 2x – 3y = 6. Cari persamaan garis lurus yang berserenjang dengan AB dan melalui titik B.

Answer:

2y = 3x – 9


x

y

O

Q

P

Diagram 1

x

y

O

Q

P

Diagram 2

x

y

O

R

S

Diagram 3 x

y

O

A

B

Diagram 4

5. Rajah menunjukan garis lurus PQ dengan persamaannya 4x + 3y = 12. Cari persamaan garis lurus yang berserenjang dengan RS dan melalui titik tengah RS.

Answer:

4x+3y = 8

6. Rajah menunjukkan garis lurus dengan

persamaan . Cari persamaan garis

lurus pembahagi dua sama garis AB.

Answer:

2x + 3y = 67. Cari persamaan garis lurus yang melalui titik ( 1, 2) dan selari dengan garis x + 3y +6 = 0.

8. Cari persamaan garis lurus yang melalui (3, 0) dan selari dengan 3x – 2y = 12.

9 Cari persamaan garis lurus yang melalui titik asalan O dan selari dengan garis yang melalui titikP(1, – 1 ) dan Q(-3,7).

10. Cari persamaan garis lurus yang melalui titik (-2,4) dan selari dengan garis yang melalui asalan O dan titik (6, 2).


x

y

O

R

S

Diagram 5 x

y

O

A

B

Diagram 6

Sub Topik 7: PERSAMAAN LOKUS

SITUASI 1. – Melibatkan dua titik tetap. - Melibatkan satu titik bergerak, P dengan keadaan jarak PQ dan PR adalah sama. Persamaan lokus bagi titik P yang bergerak supaya jaraknya dari Q dan R adalah sentiasa sama.

Katakan titik P = (x,y)

Jarak QP = jarak PR =

Kuasa-duakan kedua-dua belah persamaan supaya punca kuasa dua dihapuskan.

=

1. Q(2,5) dan R(4,2)

4x – 6y+9 =0

2. Q(-3, 0) dan R(6, 4)

18x + 8y = 433. Q(2, -3) dan R(-4, 5)

3x – 4y + 3 = 0

4. Q(6, -2) dan R(0, 2)

3x – 2y – 9 = 0


Q(x1, y1)●

R(x2, y2)●

●P(x, y)

5. Diberi dua titik A(3, 2) dan B(7, -4). Cari persamaan garis lurus pembahagi dua sama serenjang AB.

3y =2x - 13

7. DIberi titik P(4, 10) dan Q(-6, 0). Cari persamaan pembahagi dua sama serenjang PQ.

x + y = 4

SITUASI 2 : - Melibatkan dua titik A dan B . - Titik bergerak P membahagi AB mengikut nisbah m:n

Konsep Asas

1 A(1, 5), B(4, 2) dan m : n = 2 : 1

x2+y2 – 10x – 2y + 19 = 0

2. A(-3, 2), B(3, 2) dan m : n = 2 : 1

x2+y2 – 10x – 6y + 13 = 05. A(1, 3), B(-2, 6) dan m : n = 1 : 2 E4. A(5, -2), B(-4, 1) dan m : n = 1 : 2


●n

m

B(x2, y2)

A(x1, y1) P(x, y)

x2+ y2 – 3x – 3y = 0 x2+ y2 – 16x + 6y + 33 = 0E5. P(-1, 3), Q( 4, -2) dan m : n = 2 : 3

x2+y2+ 10x – 14y + 2 = 0

E6. A(1, 5), B(-4, -5) dan m : n = 3 : 2

x2+y2 + 16x +26y + 53 = 0

SITUASI 3. – satu titik tetap - Satu titik bergerak P(x,y) supaya jaraknya (m) sentiasa tetap dari titik tetap A.

Konsep Asas

PERSAMAAN LOKUS P

1. Diberi titik P bergerak supaya jaraknya dari A(-3,2) ialah 5 unit. Cari persamaan lokus titik P.

2. Cari persamaan lokus titip yang bergerak supaya jaraknya dari D(-2,4) ialah 6 unit.


A(x1, y1)

P(x, y)

SPM FORMAT QUESTIONS

1. (2003) The equations of two straight lines

are and 5y = 3x + 24.

Determine whether the lines are perpendicular to each other.

[Y]

2. The equations of two straight lines are

and 3y = 2x + 6. Determine

whether the lines are perpendicular to each other.

[N]3.(2004) Diagram 4 shows a straight line PQ with

the equation . Find the equation of the

straight line perpendicular to PQ and passing through the point Q.

[ ]

4. Diagram 5 shows a straight line RS with the

equation . Find the equation of the

straight line perpendicular to RS and passing through the point S.

[2y = 3x - 18]5. (2005) The following information refers to the equations of two straight lines, JK and RT, which are perpendicular to each other.

Express p in terms of k.

6. The following information refers to the equations of two straight lines, PQ and RS, which are perpendicular to each other.

Express p in terms of k.


x

y

O

Q

P

Diagram 4

x

y

O

R

S

Diagram 5

JK : y = px + k RT : y = (k – 2)x + p where p and k are constants.

PQ : px + y = k RS : y = (2k –1)x + p where p and k are constants.

7. (2006) Diagram 5 shows the straight line AB which is perpendicular to the straight line CB at the point B.

The equation of CB is y = 2x – 1 .Find the coordinates of B.

(2, 3)

8.Diagram 6 shows the straight line PQ which is perpendicular to the straight line RQ at the point Q.

The equation of QR is x – y = 4 .Find the coordinates of Q

Q(5, 1)

9.(2004) The point A is (-1, 2) and B is (4, 6). The point P moves such that PA : PB = 2 : 3. Find the equation of locus of P. [3 marks]

[5x2+5y2+50x+12y+163=0]

10. The point R is (3, -5) and S is (0, 1). The point P moves such that PR : PS = 2 : 1. Find the equation of locus of P. [3 marks]

[x2+y2+2x – 6 y – 10 = 0]11.The point A is (8, -2) and B is (4, 6). Find the equation of the perpendicular bisector of AB. [3 marks]

2y = x – 2

12. The point R is (2, -3) and S is (4, 5). The point P moves such that it is always the same distance from R and from S. Find the equation of locus of P. [3 marks]

x+4y = 7


x

y

O

A(0, 4)

C

Diagram 5B

●

●●

x

y

O

P(0, 6)

R

Diagram 6Q

●

●●

korrdinat geometri v2

Documents