geometri analitik lecture 3
TRANSCRIPT
Geometri Analitik (lecture 3)
M. Januar Ismail, M.Si.
UIN SGD
Juli 2012
M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 1 / 28
Outline
1 Irisan Kerucut (konik) dan koordinat kutubDe�nisi Elips dan Hiperbol tanpa ke-eksentrikanContoh sifat dawai
2 Translasi SumbuPendahuluanContoh Translasi sumbuMelengkapkan KuadratContoh MKuadrat
3 Daftar pustaka
M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 2 / 28
Review kemiringan garis singgung pada kurva
Kemiringan garis singgung pada kurva y = f (x) di titik (x0,y0) adalah
m = f 0 (x0)
M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 3 / 28
Pendahuluan
Kita telah mende�nisikan elips dan Hiperbola dengan menggunakankeeksentrikan.
Syarat jPF j = e jPLj menentukan elips apabila 0 < e < 1 danhiperbola apabila e > 1.
M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 4 / 28
Pendahuluan
Kita telah mende�nisikan elips dan Hiperbola dengan menggunakankeeksentrikan.
Syarat jPF j = e jPLj menentukan elips apabila 0 < e < 1 danhiperbola apabila e > 1.
M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 4 / 28
Definisi Elips dan Hiperbol yang lainnya
Definisi
Sebuah Elips adalah himpunan semua titik P pada sebuah bidang yangjumlah jaraknya terhadap dua titik tetap pada bidang itu (fokus) samadengan 2a.
Definisi
Sebuah Hiperbol adalah himpunan semua titik P pada sebuah bidang yangselisih jaraknya terhadap dua titik tetap pada bidang itu (fokus) samadengan 2a.Selisih artinya jarak panjang dikurangi jarak pendek.
M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 5 / 28
Arti Geometris Definisi
M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 6 / 28
Penurunan Sifat dawai elips dan hiperbol
De�nisi baru tentang elips dan hiperbol tadi dinamakan sifat dawai elipsdan hiperbol. Selanjutnya akan dibuktikan dari de�nisi keeksentrikan elipsdan hiperbol dapat diperoleh sifat dawai elips dan hiperbol.
Elips dan hiperbol memiliki dua fokus dan dua garis arah.
Kita letakkan sumbu panjang pada sumbu-x dan pusat pada titik asal.
Fokus-fokus berada di titik (�ae, 0) dan persamaan garis arahnyax = �a/e.
M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 7 / 28
Penurunan Sifat dawai elips dan hiperbol
De�nisi baru tentang elips dan hiperbol tadi dinamakan sifat dawai elipsdan hiperbol. Selanjutnya akan dibuktikan dari de�nisi keeksentrikan elipsdan hiperbol dapat diperoleh sifat dawai elips dan hiperbol.
Elips dan hiperbol memiliki dua fokus dan dua garis arah.
Kita letakkan sumbu panjang pada sumbu-x dan pusat pada titik asal.
Fokus-fokus berada di titik (�ae, 0) dan persamaan garis arahnyax = �a/e.
M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 7 / 28
Penurunan Sifat dawai elips dan hiperbol
De�nisi baru tentang elips dan hiperbol tadi dinamakan sifat dawai elipsdan hiperbol. Selanjutnya akan dibuktikan dari de�nisi keeksentrikan elipsdan hiperbol dapat diperoleh sifat dawai elips dan hiperbol.
Elips dan hiperbol memiliki dua fokus dan dua garis arah.
Kita letakkan sumbu panjang pada sumbu-x dan pusat pada titik asal.
Fokus-fokus berada di titik (�ae, 0) dan persamaan garis arahnyax = �a/e.
M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 7 / 28
Ilustrasi Langkah sebelumnya
M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 8 / 28
Pembuktian sifat dawai dari keeksentrikan
Apabila kita mengambil titik sebarang P (x , y) pada elips
Gunakan jPF j = e jPLj untuk fokus dan garis arah sebelah kiri
Gunakan jPF j = e jPLj untuk fokus dan garis arah sebelah kananDiperoleh, dari fokus kiri��PF 0�� = e (x + a/e) = ex + a
fokus kananjPF j = e (a/e � x) = a� ex
Sehingga, ��PF 0��+ jPF j = 2a
M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 9 / 28
Pembuktian sifat dawai dari keeksentrikan
Apabila kita mengambil titik sebarang P (x , y) pada elips
Gunakan jPF j = e jPLj untuk fokus dan garis arah sebelah kiriGunakan jPF j = e jPLj untuk fokus dan garis arah sebelah kanan
Diperoleh, dari fokus kiri��PF 0�� = e (x + a/e) = ex + a
fokus kananjPF j = e (a/e � x) = a� ex
Sehingga, ��PF 0��+ jPF j = 2a
M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 9 / 28
Pembuktian sifat dawai dari keeksentrikan
Apabila kita mengambil titik sebarang P (x , y) pada elips
Gunakan jPF j = e jPLj untuk fokus dan garis arah sebelah kiriGunakan jPF j = e jPLj untuk fokus dan garis arah sebelah kananDiperoleh, dari fokus kiri��PF 0�� = e (x + a/e) = ex + a
fokus kananjPF j = e (a/e � x) = a� ex
Sehingga, ��PF 0��+ jPF j = 2a
M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 9 / 28
Pembuktian sifat dawai dari keeksentrikan
Apabila kita mengambil titik sebarang P (x , y) pada elips
Gunakan jPF j = e jPLj untuk fokus dan garis arah sebelah kiriGunakan jPF j = e jPLj untuk fokus dan garis arah sebelah kananDiperoleh, dari fokus kiri��PF 0�� = e (x + a/e) = ex + a
fokus kananjPF j = e (a/e � x) = a� ex
Sehingga, ��PF 0��+ jPF j = 2a
M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 9 / 28
Pembuktian sifat dawai dari keeksentrikan
Apabila kita mengambil titik sebarang P (x , y) pada elips
Gunakan jPF j = e jPLj untuk fokus dan garis arah sebelah kiriGunakan jPF j = e jPLj untuk fokus dan garis arah sebelah kananDiperoleh, dari fokus kiri��PF 0�� = e (x + a/e) = ex + a
fokus kananjPF j = e (a/e � x) = a� ex
Sehingga, ��PF 0��+ jPF j = 2a
M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 9 / 28
Pembuktian sifat dawai dari keeksentrikan
Perhatikan pada hiperbola, terdapat dua kasus
Apabila kita mengambil titik sebarang P (x , y) pada cabang kanan,maka
��PF 0�� = e (x + a/e) = ex + a
danjPF j = e (x � a/e) = ex � a
Sehingga, ��PF 0��� jPF j = 2aJika P (x , y) kita ambil pada cabang kiri, kita peroleh �2a sebagaiganti 2a.Jadi untuk kedua kasus ini diperoleh,����PF 0��� jPF j�� = 2a
M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 10 / 28
Pembuktian sifat dawai dari keeksentrikan
Perhatikan pada hiperbola, terdapat dua kasus
Apabila kita mengambil titik sebarang P (x , y) pada cabang kanan,maka
��PF 0�� = e (x + a/e) = ex + a
danjPF j = e (x � a/e) = ex � a
Sehingga, ��PF 0��� jPF j = 2a
Jika P (x , y) kita ambil pada cabang kiri, kita peroleh �2a sebagaiganti 2a.Jadi untuk kedua kasus ini diperoleh,����PF 0��� jPF j�� = 2a
M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 10 / 28
Pembuktian sifat dawai dari keeksentrikan
Perhatikan pada hiperbola, terdapat dua kasus
Apabila kita mengambil titik sebarang P (x , y) pada cabang kanan,maka
��PF 0�� = e (x + a/e) = ex + a
danjPF j = e (x � a/e) = ex � a
Sehingga, ��PF 0��� jPF j = 2aJika P (x , y) kita ambil pada cabang kiri, kita peroleh �2a sebagaiganti 2a.
Jadi untuk kedua kasus ini diperoleh,����PF 0��� jPF j�� = 2a
M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 10 / 28
Pembuktian sifat dawai dari keeksentrikan
Perhatikan pada hiperbola, terdapat dua kasus
Apabila kita mengambil titik sebarang P (x , y) pada cabang kanan,maka
��PF 0�� = e (x + a/e) = ex + a
danjPF j = e (x � a/e) = ex � a
Sehingga, ��PF 0��� jPF j = 2aJika P (x , y) kita ambil pada cabang kiri, kita peroleh �2a sebagaiganti 2a.Jadi untuk kedua kasus ini diperoleh,����PF 0��� jPF j�� = 2a
M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 10 / 28
Contoh 1
Tentukan persamaan himpunan titik-titik, yang jumlah jaraknya terhadaptitik-titik (�3, 0) adalah 10.
Penyelesaian : Hal ini adalah sebuah elips mendatar dengan a = 5dan c = 3, sehingga b =
pa2 � c2 = 4. Jadi persamaan himpunan
tersebut adalahx2
25+y2
16= 1
M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 11 / 28
Contoh 2
Tentukan persamaan himpunan titik-titik, yang selisih jaraknya darititik-titik (0,�6) adalah 4.
Penyelesaian : Himpunan itu adalah sebuah hiperbol tegak dengana = 2 dan c = 6, sehingga b =
pc2 � a2 =
p32 = 4
p2. Jadi
persamaan Hiperbol tersebut adalah
�x2
32+y2
4= 1
M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 12 / 28
Sifat Oftis
M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 13 / 28
Persamaan garis singgung dan gradiennya pada elips danhiperbol
Elipsx2
a2+y2
b2= 1
Kemiringan garis singgung di (x0, y0)
m =�b2x0a2y0
Persamaan garis singgung di (x0, y0)
x0xa2+y0yb2
= 1
M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 14 / 28
Persamaan garis singgung dan gradiennya pada elips danhiperbol
Elipsx2
a2+y2
b2= 1
Kemiringan garis singgung di (x0, y0)
m =�b2x0a2y0
Persamaan garis singgung di (x0, y0)
x0xa2+y0yb2
= 1
M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 14 / 28
Persamaan garis singgung dan gradiennya pada elips danhiperbol
Elipsx2
a2+y2
b2= 1
Kemiringan garis singgung di (x0, y0)
m =�b2x0a2y0
Persamaan garis singgung di (x0, y0)
x0xa2+y0yb2
= 1
M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 14 / 28
Persamaan garis singgung dan gradiennya pada elips danhiperbol
Hiperbolx2
a2� y
2
b2= 1
Kemiringan garis singgung di (x0, y0)
m =b2x0a2y0
Persamaan garis singgung di (x0, y0)
x0xa2� y0yb2
= 1
M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 15 / 28
Persamaan garis singgung dan gradiennya pada elips danhiperbol
Hiperbolx2
a2� y
2
b2= 1
Kemiringan garis singgung di (x0, y0)
m =b2x0a2y0
Persamaan garis singgung di (x0, y0)
x0xa2� y0yb2
= 1
M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 15 / 28
Persamaan garis singgung dan gradiennya pada elips danhiperbol
Hiperbolx2
a2� y
2
b2= 1
Kemiringan garis singgung di (x0, y0)
m =b2x0a2y0
Persamaan garis singgung di (x0, y0)
x0xa2� y0yb2
= 1
M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 15 / 28
Pendahuluan
Hingga sekarang konik-konik diletakkan pada sebuah sistem koordinatdalam kedudukan yang istimewa.
Selanjutnya akan kita letakkan konik dalam kedudukan yang lebihumum, tetapi sumbu panjang tetap diambil sejajar dengan salah satusumbu koordinat.
M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 16 / 28
Pendahuluan
Hingga sekarang konik-konik diletakkan pada sebuah sistem koordinatdalam kedudukan yang istimewa.
Selanjutnya akan kita letakkan konik dalam kedudukan yang lebihumum, tetapi sumbu panjang tetap diambil sejajar dengan salah satusumbu koordinat.
M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 16 / 28
Alat bantu berupa Lingkaran
Perhatikan persamaan sebuah lingkaran dengan jari-jari 5 yang berpusat di(2, 3) adalah
(x � 2)2 + (y � 3)2 = 25atau dengan kesetaraan diperoleh
x2 + y2 � 4x � 6y = 12
Persamaan lingkaran yang sama yang berpusat di titik asal sistemkoordinat uv mempunyai persamaan lebih sederhana
u2 + v2 = 25
Penggunaan sumbu koordinat yang baru tidak mengubah bentukkurva, tetapi menyederhanakan persamaannya. Penggunaan sumbukoordinat baru ini disebut translasi sumbu.
M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 17 / 28
Alat bantu berupa Lingkaran
Perhatikan persamaan sebuah lingkaran dengan jari-jari 5 yang berpusat di(2, 3) adalah
(x � 2)2 + (y � 3)2 = 25atau dengan kesetaraan diperoleh
x2 + y2 � 4x � 6y = 12
Persamaan lingkaran yang sama yang berpusat di titik asal sistemkoordinat uv mempunyai persamaan lebih sederhana
u2 + v2 = 25
Penggunaan sumbu koordinat yang baru tidak mengubah bentukkurva, tetapi menyederhanakan persamaannya. Penggunaan sumbukoordinat baru ini disebut translasi sumbu.
M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 17 / 28
Ilustrasi
M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 18 / 28
Translasi Sumbu
Definisi
Jika sumbu yang baru tersebut kita letakkan dalam satu bidang, tiap titikakan memiliki dua pasang koordinat, yaitu koordinat lama (x , y) relatifterhadap sumbu lama dari koordinat baru (u, v) terhadap sumbu baru.Dikatakan bahwa koordinat yang semula mengalami transformasi. Jikasumbu-sumbu yang baru masing-masing sejajar dengan sumbu yang lamadan searah, transformasi itu dinamakan translasi sumbu.
M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 19 / 28
Translasi Sumbu
Dapat dilihat bagaimana hubungan antara koordinat baru (u, v) dankoor�nat lama (x , y). Andaikan (h, k) koordinat lama dari titik asalyang baru, maka
u = x � h, v = y � k
Atau secara ekuivalen
x = u + h, y = v + k
M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 20 / 28
Translasi Sumbu
Dapat dilihat bagaimana hubungan antara koordinat baru (u, v) dankoor�nat lama (x , y). Andaikan (h, k) koordinat lama dari titik asalyang baru, maka
u = x � h, v = y � k
Atau secara ekuivalen
x = u + h, y = v + k
M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 20 / 28
Ilustrasi
M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 21 / 28
Contoh 1
Tentukan koordinat baru P (�6, 5) setelah sumbu-sumbu ditranslasi ketitik asal baru di (2,�4) .
Penyelesaian : Di sini h = 2 dan k = �4, maka
u = x � h = �6� 2 = �8 v = y � k = 5� (�4) = 9
jadi koordinat baru titik P adalah (�8, 9).
M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 22 / 28
Contoh 1
Tentukan koordinat baru P (�6, 5) setelah sumbu-sumbu ditranslasi ketitik asal baru di (2,�4) .
Penyelesaian : Di sini h = 2 dan k = �4, maka
u = x � h = �6� 2 = �8 v = y � k = 5� (�4) = 9
jadi koordinat baru titik P adalah (�8, 9).
M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 22 / 28
Contoh 2
Diketahui x2 + y2 � 4x � 6y = 12, tentukan persaman kurva tersebutsetelah dilakukan translasi sumbu ke titik asal baru (2, 3).
Penyelesaian : Dalam persamaan kurva kita ganti x menjadi dalamvariabel u, x = u + h = u + 2 dan y dengan y = v + k = v + 3.Jadi diperoleh,
(u + 2)2 + (v + 3)2 � 4 (u + 2)� 6 (v + 3) = 12
atau
u2 + 4u + 4+ v2 + 6v + 9� 4u � 8� 6v � 18� 12 = 0
Sehingga,u2 + v2 � 25 = 0
persamaan ini adalah sebuah lingkaran.
M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 23 / 28
Contoh 2
Diketahui x2 + y2 � 4x � 6y = 12, tentukan persaman kurva tersebutsetelah dilakukan translasi sumbu ke titik asal baru (2, 3).
Penyelesaian : Dalam persamaan kurva kita ganti x menjadi dalamvariabel u, x = u + h = u + 2 dan y dengan y = v + k = v + 3.Jadi diperoleh,
(u + 2)2 + (v + 3)2 � 4 (u + 2)� 6 (v + 3) = 12
atau
u2 + 4u + 4+ v2 + 6v + 9� 4u � 8� 6v � 18� 12 = 0
Sehingga,u2 + v2 � 25 = 0
persamaan ini adalah sebuah lingkaran.
M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 23 / 28
Melengkapkan kuadrat
Diketahui sebuah persamaan kuadrat yang rumit. Bagaimana kiradapat mengetahui translasi mana yang dapat menyederhanakanpersamaan itu sehingga dapat dikenali? Untuk mengetahui ini kitamenggunakan suatu proses aljabar yang disebut melengkapkankuadrat. Khususnya, kita dapat menggunakan proses itu untukmenghilangkan suku-suku yang berpangkat satu, dalam bentuk
Ax2 + Cy2 +Dx + Ey + F = 0, A 6= 0,C 6= 0
M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 24 / 28
Contoh MKuadrat
Buatlah suatu translasi yang dapat menghilangkan suku-suku pangkat satudalam bentuk
4x2 + 9y2 + 8x � 90y + 193 = 0dan gunakan pengetahuan tersebut untuk membuat sketsa gra�knya.
Penyelesaian : Untuk melengkapkan menjadi sebuah kuadrat bentuk
x2 + ax kita harus menambahkan dengana2
4.
4�x2 + 2x +
�+ 9
�y2 � 10y +
�= �193
4�x2 + 2x + 1
�+ 9
�y2 � 10y + 25
�= �193+ 4+ 225
4 (x + 1)2 + 9 (y � 5)2 = 36
(x + 1)2
9+(y � 5)2
4= 1
M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 25 / 28
Contoh MKuadrat
Apabila digunakan translasi u = x + 1 dan v = y � 5 persamaantersebut menjadi
u2
9+v2
4= 1
yang merupakan persamaan elips mendatar dengan titik pusat di(�1, 5)
M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 26 / 28
Contoh MKuadrat
Apabila digunakan translasi u = x + 1 dan v = y � 5 persamaantersebut menjadi
u2
9+v2
4= 1
yang merupakan persamaan elips mendatar dengan titik pusat di(�1, 5)
M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 26 / 28
Sketsa grafik
M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 27 / 28
Daftar pustaka
Purcell dan Dale, Kalkulus dan Geometri analitik jilid 2, Erlangga.
M. Januar Ismail, M.Si. (UIN SGD) Geometri Analitik (lecture 3) Juli 2012 28 / 28