topik 3 : geometri koordinat spa 3204 - kkpg.edu.mykkpg.edu.my/zariyani/images/stories/pdf/topik...

12
1 | 1 2 TOPIK 3 : GEOMETRI KOORDINAT - Vektor SPA 3204 MATEMATIK GUNAAN Pengenalan Vektor Satu kuantiti yang mempunyai magnitud dan arah. Contoh : Sesaran, halaju dan daya Vektor biasanya diwakili oleh suatu garis yang mempunyai anak panah. Vektor negatif Vektor yang mempunyai magnitud yang sama tetapi arah yang bertentangan. Magnitud Ditulis sebagai | AB |. Contoh : A B a ~ Skala : 1cm mewakili 2ms -1 Bentuk perwakilan : AB / AB / a / a ~ A B a ~ Bentuk perwakilan : AB / AB / a / a ~ A B - a ~ Bentuk perwakilan : - AB / - AB / BA / BA / - a / a ~ a A B ~ Bentuk perwakilan : AB / AB / a / a ~ Skala : 1cm mewakili 2ms -1 a A B ~ Penyelesaian : | AB | = 5 x 2 ms -1 = 10 ms -1 Panjang garis AB = 5cm Skala : 1 cm mewakili 2

Upload: lamxuyen

Post on 03-Mar-2019

312 views

Category:

Documents


3 download

TRANSCRIPT

Page 1: TOPIK 3 : GEOMETRI KOORDINAT SPA 3204 - kkpg.edu.mykkpg.edu.my/zariyani/images/stories/pdf/TOPIK 3-Geometri Koordinat... · TOPIK 3 : GEOMETRI KOORDINAT -Vektor SPA 3204 MATEMATIK

1 | 1 2

TOPIK 3 : GEOMETRI KOORDINAT - Vektor

SPA 3204 MATEMATIK

GUNAAN

Pengenalan

Vektor Satu kuantiti yang mempunyai magnitud dan arah. Contoh : Sesaran, halaju dan daya

Vektor biasanya diwakili oleh suatu garis yang mempunyai anak panah.

Vektor negatif Vektor yang mempunyai magnitud yang sama tetapi arah yang bertentangan.

Magnitud

Ditulis sebagai | AB |. Contoh :

A

B

a ~

Skala : 1cm mewakili 2ms-1

Bentuk perwakilan : AB / AB / a / a ~ A

B

a ~

Bentuk perwakilan : AB / AB / a / a ~

A

B

- a ~

Bentuk perwakilan :

- AB / - AB / BA / BA / - a / a ~

a

A

B

~

Bentuk perwakilan : AB / AB / a / a ~

Skala : 1cm mewakili 2ms-1

a A

B

~

Penyelesaian :

| AB | = 5 x 2 ms-1 = 10 ms-1

Panjang garis AB

= 5cm Skala :

1 cm mewakili 2

ms-1

Page 2: TOPIK 3 : GEOMETRI KOORDINAT SPA 3204 - kkpg.edu.mykkpg.edu.my/zariyani/images/stories/pdf/TOPIK 3-Geometri Koordinat... · TOPIK 3 : GEOMETRI KOORDINAT -Vektor SPA 3204 MATEMATIK

2 | 1 2

TOPIK 3 : GEOMETRI KOORDINAT - Vektor

SPA 3204 MATEMATIK

GUNAAN

Dua vektor adalah sama jika kedua-duanya mempunyai magnitud dan arah yang

sama.

Contoh 1 :

Penyelesaian :

a. | AB | = √ y2 + x2

= √ (3)2 + (3)2

= √ 9 + 9

= √ 18

= 4.24 unit Arah bagi vektor AB ialah ke timur laut.

b. Vektor negatif bagi AB ialah BA.

a = b jika | a | = | b |

c

b

a

~ ~ ~ ~

Berdasarkan Teorem Pithagoras :

c = √ a2 + b2

a. Cari magnitud dan arah bagi vektor AB.

b. Lukis vektor negatif bagi AB.

Page 3: TOPIK 3 : GEOMETRI KOORDINAT SPA 3204 - kkpg.edu.mykkpg.edu.my/zariyani/images/stories/pdf/TOPIK 3-Geometri Koordinat... · TOPIK 3 : GEOMETRI KOORDINAT -Vektor SPA 3204 MATEMATIK

3 | 1 2

TOPIK 3 : GEOMETRI KOORDINAT - Vektor

SPA 3204 MATEMATIK

GUNAAN

Contoh 2 : a. Nyatakan vektor yang sama dengan AB.

Penyelesaian :

a. AB = ED

Pendaraban vektor dengan skalar

Hasil darab vektor a dengan skalar k, iaiatu k a , ialah suatu vektor yang mempunyai

magnitud k kali ganda magnitud bagi a dan mempunyai :

a. Arah yang sama dengan a jika k bernilai positif

a x k = k a

di mana a Hasil darab vektor

k skalar

~ ~

~

~

~

~

x 3 =

~

Page 4: TOPIK 3 : GEOMETRI KOORDINAT SPA 3204 - kkpg.edu.mykkpg.edu.my/zariyani/images/stories/pdf/TOPIK 3-Geometri Koordinat... · TOPIK 3 : GEOMETRI KOORDINAT -Vektor SPA 3204 MATEMATIK

4 | 1 2

TOPIK 3 : GEOMETRI KOORDINAT - Vektor

SPA 3204 MATEMATIK

GUNAAN

b. Arah yang bertentangan dengan a jika k bernilai negatif

Jika suatu vektor ialah gandaan skalar bagi satu vektor yang lain, maka kedua-dua

vektor itu adalah selari.

Contoh 3 :

a. Ungkapkaan AB dan PQ sebagai hasil darab a dengan suatu skalar.

b. Lukiskan vektor bagi -3 a.

~

x - 2 =

PQ 2 RS =

~

~

Page 5: TOPIK 3 : GEOMETRI KOORDINAT SPA 3204 - kkpg.edu.mykkpg.edu.my/zariyani/images/stories/pdf/TOPIK 3-Geometri Koordinat... · TOPIK 3 : GEOMETRI KOORDINAT -Vektor SPA 3204 MATEMATIK

5 | 1 2

TOPIK 3 : GEOMETRI KOORDINAT - Vektor

SPA 3204 MATEMATIK

GUNAAN

Penyelesaian :

a. AB = 2 a

PQ = 1.5 a

b.

Contoh 4 : Cari vektor-vektor yang selari dalam rajah dibawah.

Penyelesaian :

Diberi PS = 2 u dan QR = 3 u

Maka, PS = 2 QR 3 Jadi, PS dan QR adalah selari.

~

~

~ ~

Page 6: TOPIK 3 : GEOMETRI KOORDINAT SPA 3204 - kkpg.edu.mykkpg.edu.my/zariyani/images/stories/pdf/TOPIK 3-Geometri Koordinat... · TOPIK 3 : GEOMETRI KOORDINAT -Vektor SPA 3204 MATEMATIK

6 | 1 2

TOPIK 3 : GEOMETRI KOORDINAT - Vektor

SPA 3204 MATEMATIK

GUNAAN

Penambahan dan penolakan vektor

Penambahan vektor

Hasil tambah bagi vektor-vektor yang selari dan dalam arah yang sama mempunyai magnitud yang bersamaan dengan hasil tambah magnitud vektor-vektor itu dan dalam arah yang sama dengan arah-arah vektor-vektor itu.

Magnitud | a + b + c | = | a | + | b | + | c | = 2 + 3 + 4

= 9 unit Vektor paduan Arah vektor paduan juga adalah ke timur

Hasil tambah bagi vektor-vektor yang tidak selari boleh ditentukan melalui : a. Hukum Segitiga

| a | = 2 unit

| b | = 3 unit

| c | = 4 unit

~

~

~

Arah ke timur

~ ~ ~ ~ ~ ~

Diwakilkan dengan

sisi yang ketiga

| a + b | ≠ | a | + | b | ~ ~ ~ ~

A B

C

AB + AB = AC

Page 7: TOPIK 3 : GEOMETRI KOORDINAT SPA 3204 - kkpg.edu.mykkpg.edu.my/zariyani/images/stories/pdf/TOPIK 3-Geometri Koordinat... · TOPIK 3 : GEOMETRI KOORDINAT -Vektor SPA 3204 MATEMATIK

7 | 1 2

TOPIK 3 : GEOMETRI KOORDINAT - Vektor

SPA 3204 MATEMATIK

GUNAAN

b. Hukum Segiempat Selari

c. Hukum Poligon

Penolakan vektor

Penolakan vektor ialah penambahan vektor negatif.

Penolakan vektor a kepada vektor b bersamaan penambahan –a kepada b iaitu :

b - a = b + (- a )

a. Diberi dua vektor yang selari x dan 3 x , maka :

Hasil tambah a + b + c + d + ......

diwakilkan dengan menyambungkan

titik awal vektor pertama dengan

titik akhir vektor terakhir.

Arah keluar anak

panah dari satu titik

yang sama

~ ~ ~ ~

Maka ; 3 x – x = 3 x + (-x) = 2 x

~ ~

~ ~ ~ ~

~ ~ ~ ~

~ ~

~

Page 8: TOPIK 3 : GEOMETRI KOORDINAT SPA 3204 - kkpg.edu.mykkpg.edu.my/zariyani/images/stories/pdf/TOPIK 3-Geometri Koordinat... · TOPIK 3 : GEOMETRI KOORDINAT -Vektor SPA 3204 MATEMATIK

8 | 1 2

TOPIK 3 : GEOMETRI KOORDINAT - Vektor

SPA 3204 MATEMATIK

GUNAAN

b. Diberi dua vektor yang tak selari p dan q , maka :

Contoh 5 :

Cari vektor paduan bagi 2 a dan 3 a. Jika | a | = 2 unit, cari magnitud vektor paduan itu.

Penyelesaian :

2 a dan 3 a = 5 a

Diberi | a | = 2 unit

Maka | 5 a | = 5 | a |

= 5 x 2 = 10 unit Vektor paduan

~ ~

p – q = p + ( -q )

= AC

~ ~ ~ ~

~ ~

~

~ ~ ~

~

~ ~

Page 9: TOPIK 3 : GEOMETRI KOORDINAT SPA 3204 - kkpg.edu.mykkpg.edu.my/zariyani/images/stories/pdf/TOPIK 3-Geometri Koordinat... · TOPIK 3 : GEOMETRI KOORDINAT -Vektor SPA 3204 MATEMATIK

9 | 1 2

TOPIK 3 : GEOMETRI KOORDINAT - Vektor

SPA 3204 MATEMATIK

GUNAAN

Vektor dalam koordinat Cartesan

Vektor yang mempunyai magnitud satu unit dinamakan vektor unit. Jika a ialah vektor

unit, maka | a | = 1 unit.

Suatu vektor boleh diungkapkan dalam bentuk x i + y j atau dalam bentuk vektor lajur

Contoh 6 :

Vektor unit yang ikut arah paksi x

ditandakan sebagai i dan | i | = 1 unit.

~

~

~ ~

Vektor unit yang ikut

arah paksi y

ditandakan sebagai j

dan | j | = 1 unit. ~

~

~

~

x

y

~ ~

AB = 4 i + 3 j atau AB = 4

3

CD = 3 i atau CD = 3

0

~ ~

~

~ EF = -5 j atau EF =

0

-5

Page 10: TOPIK 3 : GEOMETRI KOORDINAT SPA 3204 - kkpg.edu.mykkpg.edu.my/zariyani/images/stories/pdf/TOPIK 3-Geometri Koordinat... · TOPIK 3 : GEOMETRI KOORDINAT -Vektor SPA 3204 MATEMATIK

10 | 1 2

TOPIK 3 : GEOMETRI KOORDINAT - Vektor

SPA 3204 MATEMATIK

GUNAAN

Jika r = x i + y j = , maka magnitud bagi r ialah | r | = √ x2 + y2

Contoh 7 :

a.

b. | r | = √ x2 + y2

= √ (6)2 + (-8)2

= √ 36 + 64

= √ 100

= 10 unit

Contoh 8 :

Diberi a = 2 i – 3 j , b = i + 5 j dan c = - 4 j . Cari 2 a – b + c .

Penyelesaian :

2 a – b + c = 2 ( 2 i – 3 j ) – ( i + 5 j ) + ( - 4 j )

= 4 i – 6 j – i – 5 j – 4 j

= 4 i – i – 6 j – 5 j – 4 j

= 3 i – 15 j

x

y ~ ~ ~ ~ ~

Cari :

a. Vektor r dalam bentuk x i + y j dan

b. Magnitud r

x

y

~ ~ ~

~

r = 6 i - 8 j = ~ ~ ~

6

-8

Penyelesaian :

~

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

~ ~ ~ ~ ~

~ ~ ~ ~ ~

~ ~

Page 11: TOPIK 3 : GEOMETRI KOORDINAT SPA 3204 - kkpg.edu.mykkpg.edu.my/zariyani/images/stories/pdf/TOPIK 3-Geometri Koordinat... · TOPIK 3 : GEOMETRI KOORDINAT -Vektor SPA 3204 MATEMATIK

11 | 1 2

TOPIK 3 : GEOMETRI KOORDINAT - Vektor

SPA 3204 MATEMATIK

GUNAAN

Latihan :

1.

2. Dalam setiap kumpulan vektor yang berikut, pasangan vektor yang manakah adalah

sama ?

3. Ungkapkan vektor-vektor berikut sebagai hasil darab a dengan suatu skalar.

4.

~

a. Lukis semula vektor yang berikut jika a + b

b. Cari magnitud bagi vektor paduan

jika | a | = 1 unit.

a. Cari magnitud dan arah bagi vektor

berikut.

b. Lukiskan vektor negatif pula.

Nyatakan magnitud dan arah bagi

vektor negatif.

~

~ ~

Page 12: TOPIK 3 : GEOMETRI KOORDINAT SPA 3204 - kkpg.edu.mykkpg.edu.my/zariyani/images/stories/pdf/TOPIK 3-Geometri Koordinat... · TOPIK 3 : GEOMETRI KOORDINAT -Vektor SPA 3204 MATEMATIK

12 | 1 2

TOPIK 3 : GEOMETRI KOORDINAT - Vektor

SPA 3204 MATEMATIK

GUNAAN

5.

a. Ungkapkan setiap vektor berikut

dalam bentuk x i + y j dan dalam

bentuk lajur

b. Cari magnitud dan vektor unit bagi

setiap vektor yang anda nyatakan.

x

y

~ ~