BAB II

FUNGSI DAN GRAFIK

Pada awalnya fungsi muncul karena adanya ketergantungan suatu kuantitas

(besaran) tertentu pada kuantitas (besaran) lainnya. Fungsi dapat dinyatakan

dalam 4 cara yaitu secara verbal (kata-kata), numerik (tabel nilai), visual (grafik)

dan aljabar (rumus eksplisit).

TIK : Setelah mempelajari pokok bahasan ini, mahasiswa dapat menggambarkan

grafik fungsi yang diberikan

2.1. Pengertian dan Penyajian Fungsi

Sebuah fungsi f adalah aturan yang memasangkan setiap elemen x dalam

satu himpunan, misalkan A, dengan tepat satu elemen f(x) dalam himpunan kedua,

misalkan B. Himpunan B boleh sama dengan himpunan A.

Apabila f merupakan fungsi yang memasangkan setiap anggota A pada tepat

satu anggota B, maka f ditulis sebagai f : A B. Himpunan A disebut domain

(daerah asal, daerah definisi) fungsi f dan himpunan B disebut kodomain (daerah

kawan) dari fungsi f.

Empat situasi berikut menggambarkan cara penyajian fungsi, yaitu :

a. Luas daerah A dari suatu lingkaran tergantung pada jari–jari r lingkaran

tersebut. Aturan yang mengaitkan r dan A diberikan oleh persamaan A = r2.

10

Setiap nilai r berhubungan dengan nilai A, maka dikatakan bahwa A adalah

fungsi dari r. Fungsi tersebut disajikan melalui suatu rumus eksplisit.

b. Populasi manusia P di dunia tergantung pada waktu t. Tabel berikut

memberikan taksiran populasi dunia P(t) pada waktu t, untuk tahun tertentu.

Tabel taksiran populasi penduduk dunia

Tahun (t) Populasi (P)*

1900 1650

1910 1750

1920 1860

1930 2070

1940 2300

1950 2520

*dalam jutaan

Untuk setiap nilai t terdapat nilai

padanannya P, sehingga kita katakan bahwa

P merupakan fungsi dari t. Fungsi tersebut

disajikan dalam bentuk tabel.

c. Biaya pengiriman surat tercatat C tergantung pada beratnya w. Walaupun tidak

terdapat rumus sederhana yang mengaitkan C dan w, kantor pos mempunyai

aturan tertentu (dapat disajikan dengan uraian kata – kata) untuk menentukan

C bila w diketahui. Aturan yang digunakan Perusahaan Pos Amerika Serikat

tahun 1998 sebagai berikut : Biayanya adalah 32 sen untuk berat sampai

dengan satu ons, ditambah 23 sen untuk setiap ons tambahan sampai dengan 11

ons.

Tahun (t) Populasi (P)*

1960 3020

1970 3700

1980 4450

1990 5300

1996 5770

11

d. Kecepatan tegak tanah a yang diukur oleh seismograf selama gempa adalah

fungsi dari waktu terlewat t. Biasanya digunakan grafik yang menyatakan

hubungan antara a dan t.

2.2. Domain dan Kodomain Fungsi

Domain fungsi f yaitu himpunan elemen-elemen di mana fungsi f mendapat

nilai (suatu bilangan real). Himpunan bagian dari B yang anggota-anggotanya

merupakan nilai-nilai yang diperoleh dari fungsi f disebut range (daerah hasil)

dari fungsi f.

Pembicaraan tentang domain dan range memegang peranan penting dalam

fungsi karena hal ini terkait dengan nilai-nilai dimana fungsi mempunyai makna.

f

Domain Range

Keterkaitan antar variabel

12

x

a

f(x)

f(a)

t (detik)

a (cm/det2)

Lambang yang menyatakan suatu bilangan sebarang pada domain f disebut

variabel bebas. Sedangkan lambang yang menyatakan bilangan pada range f

disebut variabel terikat. Misalnya dalam empat penyajian fungsi di atas, apabila

fungsi disajikan dalam bentuk rumus eksplisit berikut A = r2 maka r

merupakan variabel bebas, sedangkan A adalah variabel terikat.

Fungsi bentuk eksplisit adalah fungsi yang variabel bebas dan variabel

terikatnya terpisah. Jika x variabel bebas dan y variabel terikat maka notasi fungsi

bentuk eksplisit ditulis y = f(x).

Contoh :

a. y = 3 sin x + cos x

b. y = x2 - 8 x + 10

Fungsi bentuk implisit adalah fungsi yang variabel bebas dan variabel

terikat letaknya tidak terpisah. Jika x variabel bebas dan y variabel terikat maka

notasi fungsi bentuk implisit ditulis f(x, y) = 0.

Contoh :

a. (x-3) y + 5 x -3 y = 0

b. x2 – x y2 + 6 x y – 7 x = 0

Fungsi parametrik adalah fungsi yang relasi antara variabel bebas dan

variabel terikatnya disajikan dalam persamaan yang menggunakan parameter. Jika

x variabel bebas, y variabel terikat dan, t parameter maka notasi bentuk fungsi

implisit dapat di tulis sebagai berikut : , t sebagai parameter

Contoh :

13

a. , a sebagai parameter

b. , t sebagai parameter

Fungsi y = f(x) merupakan fungsi yang dibentuk dari satu variabel yakni

x, sedangkan fungsi z = f(x, y) adalah fungsi yang dibentuk dari dua varibel yaitu

x dan y.

Contoh :

a. Fungsi satu variabel

y = 3 x – 2

z = sin y + cos y

b. Fungsi dua variabel

z = x3 + 4 x2 y - 8

c = a2 b2 + a b4

Apabila sebuah fungsi domainnya tidak dirinci, maka dapat dianggap

bahwa domainnya adalah himpunan bilangan real yang terbesar sehingga fungsi

tersebut bernilai bilangan real. Domain tersebut disebut daerah asal alamiah.

Contoh :

a. Tentukan domain dan range f(x) =

b. Tentukan domain dan range g(x) =

Penyelesaian :

14

a. Domain fungsi f(x) = adalah nilai-nilai x sehingga f(x) bernilai

bilangan real, yaitu himpunan penyelesaian dari 25 - x2 0. Jadi

D(f) = {x R : 25 - x2 0}

= {x R : x2 25 }

= {x R : -5 x 5}.

Range fungsi f adalah nilai y yang diperoleh apabila x berada dalam D(f). Jadi

R(f) = {y R : y = , -5 x 5} = {y R : 0 y 5}∎

b. Domain fungsi g(x) = adalah nilai-nilai x sehingga g(x) bernilai real.

Fungsi g(x) bernilai real apabila x – 5 0, jadi D(g) = {x R : x 5}.

Range fungsi g(x) adalah R(g) = {y R : y = , x 5}

R(g) = {y R : y 10}∎

2.3. Operasi, Komposisi dan Invers Fungsi

Misalkan f dan g adalah fungsi dengan daerah asal A dan B. Maka fungsi

penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian antara kedua fungsi itu

didefinisikan sebagai berikut :

1. (f + g) (x) = f(x) + g(x) ,daerah asal f + g adalah A B

2. (f – g) (x) = f(x) – g(x) daerah asal f – g adalah A B

3. (f g) (x) = f(x) g(x) daerah asal f g adalah A B

4. ( daerah asal adalah { x A B ; g(x) 0 }

15

Contoh :

Jika f(x) = dan g(x) = , tentukan f + g, f – g, fg, dan daerah

asalnya

Penyelesaian :

Daerah asal f(x) adalah [0, + ) dan daerah asal g(x) adalah [-2, 2] sehingga

irisan daerah asal f(x) dan g(x) adalah [0, + ) [-2, 2] = [0, 2].

Jadi menurut definisi diperoleh

(f + g)(x) = + , dan daerah asal : [0, 2].

(f – g)(x) = - , dan daerah asal : [0, 2].

(f g)(x) = = , dan daerah asal : [0, 2].

( = = , dan daerah asal : [0, 2) ∎

Komposisi Fungsi

Diberikan fungsi f dan g, fungsi komposit f g (disebut juga komposisi dari

f dan g), didefinisikan oleh

(f g)(x) = f(g(x))

Daerah asal f g adalah himpunan dari semua x di dalam daerah asal g

sedemikian hingga g(x) berada di dalam daerah asal f. Dengan kata lain, (f g)(x)

akan terdefinisi jika g(x) dan f(g(x)) keduanya terdefinisi. Penjelasan f g dapat

dilakukan dengan gambaran diagram mesin berikut :

x g(x) f(g(x))

16

g f

(masukan) (keluaran)

Variabel x sebagai masukan, akan diproses mesin g dan akan diperoleh hasil g(x),

selanjutnya g(x) akan menjadi masukan bagi mesin f, hasilnya adalah f(g(x))

Contoh :

Jika f(x) = dan g(x) = , tentukan komposisi fungsi berikut daerah

asalnya.

a. f g c. f f

b. g f d. g g

Penyelesaian :

a. (f g)(x) = f(g(x)) = f( ) = = .

Daerah asalnya adalah = = (- , 2]

b. (g f)(x) = g(f(x)) = g( ) = .

Agar terdefinisi, maka x 0 dan agar terdefinisi maka 2 - 0,

yaitu 2 atau x 4, sehingga daerah asalnya adalah [0, 4].

c. (f f)(x) = f(f(x)) = f( ) = = , dan daerah asalny adalah [0 , ).

d. (g g)(x) = g(g(x)) = g(2 - ) = .

Agar terdefinisi maka 2 – x 0, yaitu x 2 dan agar

terdefinisi maka 2 - 0 , yaitu 2 atau x - 2, sehingga daerah

asalnya adalah [-2, 2] ∎

Melakukan komposisi tiga fungsi atau lebih , misalnya f g h, adalah dengan

memproses masukan pada h terlebih dahulu, selanjutnya hasilnya diproses pada g,

dan terakhir hasil dari proses g diproses pada f, rumusannya adalah sebagai

berikut

17

(f g h)(x) = f(g(h(x)))

Contoh :

Carilah f g h jika f(x) = , g(x) = x5 dan h(x) = x + 3

Penyelesaian :

(f g h)(x) = f(g(h(x))) = f(g(x + 3)) = f((x + 3)5) = ∎

Invers Fungsi.

Suatu fungsi f memadankan suatu nilai x dalam daerah asalnya A dengan nilai

tunggal y dalam daerah hasilnya B. Untuk suatu nilai y dalam B diperoleh kembali

nilai x yang oleh f itu dipadankan dengan y. Fungsi yang baru ini, yang

memadankan nilai y dengan x, dilambangkan dengan f -1 dan disebut invers

dari f. Daerah asal f -1 adalah B dan daerah hasilnya adalah A. Lambang f -1 bukan

berarti .

Hal ini dapat dituliskan

y = f(x) x = f -1(y)

Contoh :

Tentukan f -1(x) dari f(x) = 2 x + 6

Penyelesaian :

Variabel x dapat dicari dari y = f(x) = 2 x + 6, yaitu x = = f -1(y)

Sehingga f -1(x) = ∎

18

2.4. Macam-macam Fungsi

Beberapa macam fungsi yang disajikan dalam sub bab ini adalah fungsi

tangga, fungsi gasal, fungsi genap, fungsi aljabar, fungsi logaritma, dan fungsi

eksponensial

Fungsi Tangga

Fungsi tangga adalah fungsi yang terdefinisi secara sepotong-sepotong

Fungsi-fungsi yang sering digunakan adalah dua fungsi yang sangat khusus yaitu

fungsi nilai mutlak , dinotasikan | |, dan fungsi bilangan bulat terbesar,

dinotasikan .

Fungsi nilai mutlak disajikan sebagai | x | =

Grafiknya mempunyai sudut tajam pada titik asal. Perhatikan grafik berikut :

y

-x 0 x

Fungsi bilangan bulat terbesar disajikan sebagai , yaitu bilangan bulat

terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x. Grafiknya melompat pada tiap

bilangan bulat.

Contoh :

19

Biaya pengiriman surat C(w) dengan berat w disajikan sebagai berikut.

C(w) =

Jika berat surat w = 1,5 maka C(1,5) = 0,55. Selanjutnya C(2,1) = 0,78, C(2,7) =

0,78 dan seterusnya

Fungsi Genap dan Fungsi Gasal

Fungsi y = f(x) disebut fungsi genap jika f( - x ) = f( x )

Fungsi y = f(x) disebut fungsi gasal jika f( - x ) = - f( x )

Grafik fungsi genap simetris dengan sumbu y, sedangkan grafik fungsi gasal

simetri terhadap titik asal.

Contoh :

a. Apakah f(x) = 3 x6 – 2 x4 + 11 x2 – 5 genap, gasal , atau bukan keduanya ?

b. Apakah f(x) = x3 – 2 x genap, gasal, atau bukan keduanya ?

Penyelesaian :

a. Karena f(-x) = 3 (-x)6 – 2 (-x)4 + 11 (-x)2 – 5 = 3 x6 – 2 x4 + 11 x2 – 5 = f(x)

maka f(x) adalah fungsi genap.

b. Karena f(-x) = (-x)3 – 2 (-x) = -x3 + 2 x = -( x3 – 2 x) = - f(x) maka f(x)

adalah fungsi gasal ∎

Fungsi Aljabar

Fungsi f disebut fungsi aljabar jika dapat dibuat dengan menggunakan

operasi aljabar (penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan penarikan

akar). Fungsi aljabar dikatakan rasional jika variabel x tidak terdapat di bawah

20

tanda akar dan dikatakan irrasional jika x terdapat di bawah tanda akar. Fungsi

aljabar dikatakan bulat rasional jika x tidak terdapat sebagai penyebut dan

dikatakan pecah rasional jika x terdapat sebagai penyebut.

Contoh :

a. f(x) = x3 – x2 + 4 x + 1 dan g(x) = x2 + 5 x + 7 adalah fungsi aljabar bulat

rasional

b. f(x) = dan g(x) = adalah fungsi aljabar pecah rasional.

c. f(x) = merupakan fungsi aljabar pecah irrasional, dan g(x) =

adalah fungsi aljabar bulat irrasional.

Fungsi Eksponensial

Fungsi f(x) = 2x disebut fungsi eksponensial karena variabel x merupakan

eksponen. Secara umum fungsi eksponensial adalah fungsi yang berbentuk

f(x) = ax

Sifat-sifat fungsi eksponensial dirangkum dalam teorema berikut

Teorema :

Jika a > 0 dan a 1, maka f(x) = ax merupakan fungsi kontinu dengan

daerah asal dan daerah hasil (0, ).

Khususnya, ax > 0 untuk setiap x.

Jika 0 < a < 1, f(x) = ax merupakan fungsi turun

Jika a >1, f(x) merupakan fungsi naik.

Jika a, b > 0 dan x , y , maka

21

1. ax + y = ax + ay

2. a x - y =

3. (ax) y = xx y

4. (a b) x = ax bx

Jika a = e bilangan natural maka diperoleh fungsi eksponensial natural,yaitu

y = ex

Fungsi Logaritma

Fungsi eksponensial f(x) = ax mempunyai invers yang disebut fungsi

logaritma dengan bilangan pokok a, dilambangkan dengan . Jika digunakan

perumusan fungsi invers,

f -1 (x) = y f(y) = x

maka diperoleh

x = y ay = x

sehingga

(ax) = x untuk setiap x

dan

= x untuk setiap x > 0

Sifat fungsi logaritma diberikan dalam teorema berikut.

Teorema :

Jika a > 1, fungsi f(x) = x merupakan fungsi kontinu dan naik dengan

daerah asal (0, ) dan daerah hasil .

Jika x, y > 0 dan r bilangan real sebarang, maka

22

1. (x y) = x + y

2. (xr) = r x

3. ( ) = x – y

Fungsi logaritma dengan bilangan pokok e disebut logaritma natural dan

mempunyai lambang khusus

x = ln x

Dari sifat fungsi logaritma diperoleh

ln x = y e y = x

ln(e x) = x untuk setiap x

e ln x = x untuk setiap x > 0

Untuk x = 1, diperoleh

ln e = 1

Sifat-sifat logaritma Natural

Jika x dan y bilangan positip dan r bilangan rasional, maka

1. ln (x y) = ln x + ln y

2. ln ( ) = ln x – ln y

3. ln (xr) = r ln x

2.5. Grafik Fungsi

23

Jika daerah asal dan daerah hasil suatu fungsi merupakan bilangan real,

maka fungsi itu dapat digambarkan grafiknya pada suatu bidang koordinat. grafik

fungsi f adalah grafik dari persamaan y = f(x).

Dalam hal menggambar grafik, ada dua bentuk grafik yang digunakan,

yaitu sketsa kasar dan sketsa halus. Untuk menentukan sketsa mana yang akan

digunakan, apakah sketsa halus atau kasar, tentu tergantung dari kebutuhan. Jika

yang dibutuhkan hanya pola hubungan antar variabel, cukup digunakan sketsa

kasar, tetapi jika akan digunakan untuk memprediksi nilai data pada titik tertentu,

tentu saja sketsa halus yang dibutuhkan.

Jika bentuk fungsi belum diketahui dan yang diketahui hanya sekumpulan

datanya, maka untuk menentukan bentuk fungsinya, terlebih dahulu diprediksi

bentuk fungsi tersebut. Selanjutnya dengan menggunakan data-data yang tersedia,

kemudian dicari konstanta-konstanta yang belum diketahui. Untuk menentukan

konstanta-konstanta tersebut sering digunakan metode kuadrat terkecil dan hal ini

akan dibahas pada saat pembahasan turunan, sedangkan pada pembahasan ini

akan digunakan pendekatan kasar.

Contoh :

a. Sketsa grafik y = x

b. Sketsa grafik y = x2 – 3 x + 2

Penyelesaian :

a. Jika diambil beberapa nilai x akan diperoleh pula beberapa nilai y berikut

x y = x

-2

-1

2

1

24

0

1

2

0

1

2

Sehingga grafiknya adalah

b. Grafik untuk fungsi kuadrat di atas berupa parabola yang terbuka ke atas.

Untuk menggambarkan grafik y = x2 – 3 x +2, maka dilakukan langkah-

langkah sebagai berikut :

Titik potong dengan sumbu x, y = 0

x2 – 3 x +2 = 0

(x – 1) (x – 2) = 0

x = 1 atau x = 2

Titik potong dengan sumbu x adalah (2, 0) dan (1, 0).

Titik potong dengan sumbu y, x = 0

y = 02 – 3.0 + 2 = 2

Titik potong dengan sumbu y adalah (0, 2)

Sumbu simetri y =

Karena a = 1 > 0, maka grafik terbuka ke atas .

25

Transformasi fungsi.

Dengan menerapkan transformasi tertentu pada grafik fungsi yang diketahui

akan dapat diperoleh grafik baru yang berkaitan. Ada dua transformasi fungsi

yang dapat digunakan untuk mendapatkan grafik baru , yaitu

1. Pergeseran (translasi) tegak dan mendatar.

Misalkan c > 0. untuk memperoleh grafik

y = f(x) + c, geser grafik y = f(x) sejauh c satuan ke atas

y = f(x) – c, geser grafik y = f(x) sejauh c satuan ke bawah

y = f(x + c), geser grafik y = f(x) sejauh c satuan ke kiri

y = f(x – c), geser grafik y = f(x) sejauh c satuan ke kanan

2. Peregangan dan pencerminan tegak dan mendatar.

Misalkan c > 1. Untuk memperoleh grafik

y = c f(x), regangkan grafik y = f(x) secara tegak dengan faktor c

y = (1/c) f(x), mampatkan grafik y = f(x) secara tegak dengan faktor c

y = f(c x), mampatkan grafik y = f(x) secara mendatar dengan faktor c

26

y = f(x/c), regangkan grafik y = f(x) secara mendatar dengan faktor c

y = -f(x), cerminkan grafik y = f(x) terhadap sumbu x

y = f(-x), cerminkan grafik y = f(x) terhadap sumbu y

Terapan Fungsi (Model Matematika)

Model matematika adalah uraian secara matematika (seringkali

menggunakan fungsi atau persamaan) dari fenomena dunia nyata. Beberapa

contoh penerapan model matematika adalah pemodelan pertumbuhan populasi,

permintaan untuk suatu barang, kecepatan benda jatuh, konsentrasi zat hasil pada

reaksi kimia, harapan hidup seseorang pada waktu lahir, atau biaya reduksi emisi.

Tujuan model adalah memahami suatu fenomena dan membuat prakiraan tentang

perilaku fenomena tersebut pada masa depan.

Tahapan – tahapan permodelan matematika adalah :

1. Bila diberikan suatu persoalan dunia nyata, pahami persoalan tersebut dengan

seksama.

2. Rumuskan model matematika dengan cara mengenali dan menentukan variabel

bebas dan variabel terikat, membuat asumsi yang menyederhanakan

permasalahan. Selanjutnya, dengan bekal pengetahuan tentang situasi fisik

dan ketrampilan matematika, dapat dibentuk persamaan yang mengaitkan

variabel – variabel tersebut.

3. Dengan penerapan pengetahuan matematika pada model matematika dapat

dirumuskan kesimpulan secara matematis. Selanjutnya, kesimpulan matematis

27

tersebut ditafsirkan sebagai informasi tentang fenomena dunia nyata semula

dengan cara menyodorkan penjelasan atau membuat perkiraan.

4. Langkah terakhir adalah validasi model, yaitu membandingkan hasil prakiraan

model dengan fenomena mula – mula. Bila hasil prakiraan model mendekati

fenomena mula – mula, maka model dapat dikatakan valid. Jika tidak, model

tersebut perlu diperbaiki.

Model matematika tidak pernah merupakan pernyataan akurat secara

lengkap dari situasi fisik, melainkan merupakan pengidealan (yaitu dengan

memberlakukan asumsi – asumsi tertentu). Model yang baik menyederhanakan

kenyataan (fenomena) sekedar untuk memungkinkan kalkulasi matematika, tetapi

cukup akurat untuk memberikan kesimpulan yang berharga.

Model Linier

Bila hasil ploting grafik antara variabel terikat dan variabel bebas

menunjukkan pola garis lurus, maka cukup masuk akal untuk mengatakan bahwa

y merupakan fungsi linier dari x. Secara matematis, hal ini dapat dinyatakan

dengan y = f(x) = m x + b.

Contoh :

a. Ketika udara kering bergerak ke atas, ia memuai dan mendingin. Jika suhu

permukaan tanah adalah 20 o C dan suhu pada ketinggian 1 km adalah 10 oC.

Nyatakan suhu T ( dalam o C ) sebagai fungsi tinggi h (dalam km) dengan

anggapan bahwa suatu model linier sudah memadai. Dan gambarkan grafik

fungsi di atas.

Penyelesaian :

28

Karena dianggap bahwa T merupakan fungsi linier h, maka dapat ditulis

T = m h + b

Pada waktu h = 0 diperoleh T = 20, sehingga

20 = m . 0 + b = b

Pada waktu h = 1, T = 10, sehingga

10 = m . 1 + 20

kemiringan garis adalah m = -10 dan fungsi yang diperoleh

T = -10 h + 20

Grafiknya berupa sketsa kasar

b. Tabel di bawah ini berasal dari percobaan laktonisasi asam hidroksivaleri

pada suhu 250 C. Tabel menunjukkan konsentrasi C(t) dari asam ini (dalam

mol perliter) setelah t menit.

T 0 2 4 6 8

C(t) 0,0800 0,0570 0,0408 0,0295 0,0210

Sketsa grafiknya dan perkirakan nilai C(3), C(5), dan C(7)

Penyelesaian :

29

Diasumsikan fungsinya berbentuk garis lurus dan melalui titik ((4, 0.0408)

dan (8, 0.0210), maka persamaan fungsinya adalah

30

C(t) = - 0,0198 t + 0,2424

Sehingga dengan memasukkan nilai t pada persamaan ini akan diperoleh nilai

C(t) yang diinginkan.

C(3) = 0,183 ; C(5) = 0,1434 ; C(7) = 0,1038 ∎

Latihan 2.

Bagian Soal yang berkaitan

2.1

2.3

2.4

2.4

2.5

1 sampai 10

11 sampai 38

39 sampai 48

49 sampai 63

59 sampai 61

Untuk soal nomor 1 sampai dengan 10, carilah domain dan range dari fungsi f

1. f(x) = 6. f(x) =

2. f(x) = 7. f(x) =

3. f(x) = 8. f(x) = |x| + x

4. f(x) = 9. f(x) = |2 x + 3|

5. f(x) = 10. f(x) =

Untuk soal nomor 11 sampai dengan 15, tentukan f + g, f – g , f g , dan

daerah asalnya.

11. f(x) = x3 + 2 x2, g(x) = 3 x2 – 1

31

12. f(x) = , g(x) =

13. f(x) = , g(x) =

14. f(x) = x2 + x , g(x) =

15. f(x) = x – , g(x) = x2 + 1

16. Jika f(x) = x2 + x , g(x) = , carilah (f – g)(2), ( )(1), g2(3)

17. Jika f(x) = , g(x) = , carilah f 4(x) + g 4(x)

18. f(x) = x – , g(x) = x2 + 1 , carilah f 3(-1), f 2(2) + g 2(2)

Untuk soal nomor 19 sampai dengan 22, tentukan (a). f g , (b). g f, (c). f f,

(d). g g dan daerah asalnya

19. f(x) = , g(x) = x2

20. f(x) = , g(x) = x3 + 2 x

21. f(x) = , g(x) =

22. f(x) = , g(x) =

Untuk soal nomor 23 dan 24, tentukan f g h jika

23. f(x) = x – 1, g(x) = , h(x) = x – 1

24. f(x) = , g(x) = x3, h(x) = x2 + 2

25. Tentukan f dan g sedemikian hingga g f =

26. Tentukan f dan g sedemikian hingga f g =

32

Untuk nomor 27 dan 28, tentukan f, g dan h sedemikian hingga

27. f g h = 1 -

28. f g h =

Untuk soal nomor 29 sampai dengan 38, tentukan f -1(x) dari

29. f(x) = - + 5 30. f(x) = -

31. f(x) = 5 – 4 x3 35. f(x) =

32. f(x) = (x – 4)3 36. f(x) =

33. f(x) = x3/2 37. f(x) =

34. f(x) = 38. f(x) =

Untuk soal nomor 39 sampai dengan 48, nyatakan apakah fungsi yang diberikan

genap, gasal, atau bukan keduanya

39. f(x) = 3 x2 + 2 x -1 44. f(x) =

40. f(x) = 45. f(x) =

41. f(x) = 46. f(x) =

42. f(x) = 47. f(x) = | 2 x2 + 2|

43. f(x) = 2 x5 – 3 x3 + x 48. f(x) = - | x + 3 |

Untuk soal nomor 49 sampai dengan 58, gambarkan grafiknya

49. f(x) = 3 x + 6 52.

33

50. f(x) = 2 x2 – 4 x + 2 53. f(x) = e x + 1

51. y = log x 54. f(x) =

55. 57.

56. y = ln (x + 1) 58. f(x) = e x + 1

59. Perusahaan F harus mengeluarkan biaya 20.000 + 1000 x untuk membuat x

tempat obat yang dijual dengan harga Rp 2 000,00 per buah.

a. Carilah rumus untuk P(x), yaitu keuntungan total dalam membuat x buah

tempat obat.

b. Hitung P(200) dan P(2000).

c. Berapa tempat obat yang harus dibuat agar mencapai titik impas.

60. Kotak tanpa tutup dibuat dari selembar seng berebentu persegi panjang

berukuran 12 cm x 20 cm, dengan cara membuang persegi dengan panjang

sisi x cm pada setiap pojoknya dan melipat sisi-sisinya ke atas. Nyatakan isi

kotak sebagai fungsi dari x.

61. Tabel di bawah memuat rata-rata tingkat karbon dioksida di atmosfir, diukur dalam “ppm-

parts per million” di Mauna Loa Observatory sejak th 1972 sampai th. 1990.

Tahun 1972 1974 1976 1978 1980 1982 1984 1986 1988 1990

Tk.CO2 327,3 330,0 332,0 335,3 338,5 341,0 343,3 347,0 351,3 354,0

a. Plot grafik tingkat CO2 sebagai fungsi waktu

b. Taksir bentuk fungsinya

c. Dengan menggunakan hasil b carilah tingkat CO2 pada th. 1985 dan th.

2003

34

@@@

35