1

𝑥

𝑦

Geometri

A. Titik, Garis, Bidang, dan Ruang

Titik tidak didefinisikan. Titik tidak mempuyai panjang atau lebar, tetapi menentukan

letak. Titik digambarkan dengan noktah ' ' dan diberi nama dengan huruf kapital.

Garis tidak didefinisikan. Garis merupakan kumpulan titik-titik, melalui dua buah titik

hanya ada satu garis. Garis mempunyai panjang, tetapi tidak mempunyai lebar. Garis

digambarkan dengan 𝐴 𝐵 dan diberi nama dengan mengambil dua titik yang ada pada

garis tersebut, misalnya garis tersebut adalah 𝐴𝐵.

Bidang (bangun datar) tidak didefinisikan. Bidang merupakan kumpulan garis-garis,

yang mempunyai panjang dan lebar serta berada pada dimensi dua (D2).

Ruang (bangun ruang) tidak didefinisikan. Ruang merupakan kumpulan bidang-

bidang, yang mempunyai panjang, lebar, dan tinggi serta berada pada dimensi tiga (D3).

B. Koordinat Kartesius Dimensi Dua

Definisi

Koordinat Kartesius terbentuk oleh sebuah sumbu mendatar (horizontal) dan

sebuah sumbu tegak (vertikal). Arah sumbu horizontal disebut absis (Sumbu 𝑋). Arah

sumbu vertikal disebut ordinat (Sumbu 𝑌).

𝑋

𝑌

𝐴 𝑥, 𝑦

2

Sudut

Kaki Sudut

Contoh: Tentukan 𝐴 −6,−3 , 𝐵 5,−3 , 𝐶 5,5 , 𝐷 −6,5 !

Sumbu 𝑋 dan Sumbu 𝑌, membagi bidang koordinat menjadi 4 kuadran, yaitu:

Kuadran I, koordinat 𝑥 positif dan 𝑦 positif

Kuadran II, koordinat 𝑥 negatif dan 𝑦 positif

Kuadran III, koordinat 𝑥 negatif dan 𝑦 negatif

Kuadran IV, koordinat 𝑥 positif dan 𝑦 negatif

C. Sudut

Definisi

Sudut adalah pertemuan dua sinar garis pada satu titik. Sudut dinotasikan dengan 𝑎0

(𝑎 derajat).

Kuadran I Kuadran II

Kuadran III Kuadran IV

𝐷 −6,5 𝐶 5,5

𝐵 5,−3 𝐴 −6,−3

3

1) Alat Ukur Sudut

a) Busur

b) Jangka

D. Teorema Pythagoras

Contoh: Jika diketahui 𝐴𝐵 = 6 cm dan 𝐵𝐶 = 8 cm, maka tentukan panjang 𝐴𝐶!

Jawab:

𝐴𝐶2 = 𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2

𝐴𝐶 = √𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2

𝐴𝐶 = √62 + 82

𝐴𝐶 = √36 + 64

𝐴𝐶 = √100

𝐴𝐶 = 10 cm

Jadi, panjang 𝐴𝐶 = 10 cm

E. Jarak antara Dua Titik

𝐴

𝐵 𝐶

6

8

4

𝑟2 = 𝑥2 − 𝑥1 2 + 𝑦2 − 𝑦1

2

jika dan hanya jika

𝑟 = √ 𝑥2 − 𝑥1 2 + 𝑦2 − 𝑦1 2

Contoh: Jika 𝐴 −4,5 , 𝐵 −6,−3 , maka tentukan panjang 𝐴𝐵!

Jawab:

𝐴 −4,5 , maka 𝑥2 = 1 dan 𝑦2 = −2

𝐵 −6,−3 , maka 𝑥1 = −2 dan 𝑦1 = −6

𝐴𝐵 = √ 𝑥2 − 𝑥1 2 + 𝑦2 − 𝑦1 2

𝐴𝐵 = √(1 − −2 )2+ (−6 − −2 )

2

𝐴𝐵 = √ 1 + 2 2 + −6 + 2 2

𝐴𝐵 = √ 3 2 + −4 2

𝐴𝐵 = √9 + 16

𝐴𝐵 = √25

𝐴𝐵 = 5

Jadi, panjang 𝐴𝐵 = 5

F. Jarak Titik ke Garis

Definisi (Pengertian)

Jarak titik ke garis adalah jika suatu titik ditarik garis yang tegak lurus terhadap garis

dihadapan titik tersebut.

Contoh: Tentukan jarak titik 𝐴 ke garis 𝐶𝐷 pada persegi panjang 𝐴𝐵𝐶𝐷!

Jawab:

Jadi, jarak titik 𝐴 ke garis 𝐶𝐷 pada persegi panjang 𝐴𝐵𝐶𝐷 adalah garis 𝐴𝐷

Contoh: Tentukan jarak titik 𝐴 ke garis 𝐵𝐷 pada persegi panjang 𝐴𝐵𝐶𝐷!

Jawab:

Buatlah garis 𝐵𝐷

𝐴

𝐶 𝐷

𝐵

𝐴

𝐶 𝐷

𝐵

𝐴

𝐶 𝐷

𝐵

5

Tarilak titik 𝐴 tegak lurus garis 𝐵𝐷 maka akan berpotongan dititik 𝐸

Jadi, jarak titik 𝐴 ke garis 𝐵𝐷 pada persegi panjang 𝐴𝐵𝐶𝐷 adalah garis 𝐴𝐸

G. Koordinat Kartesius Dimensi Tiga

𝐴

𝐶 𝐷

𝐵

𝐸

𝐴 𝑥, 𝑦, 𝑧

6

Contoh: Tentukan 𝐴 4,0,0 , 𝐵 4,8,0 , 𝐶 0,8,0 , 𝐷 0,0,0 , 𝐸 4,0,8 , 𝐹 0,4,4 , 𝐺 0,8,8 , dan 𝐻 0,0,8 !

H. Kedudukan garis dalam ruang

1) Berimpit

2) Sejajar

𝐴 4,0,0 𝐵 4,8,0

𝐶 0,8,0

𝐷 0,0,0

𝐺 0,8,8 𝐻 0,0,8

A

C D

B

E

G H

F

A

C D

B

E

G H

F

A

C D

B

E

G H

F

A

C D

B

E

G H

F

7

3) Berpotongan

4) Bersilangan

I. Jarak Titik ke Bidang

Definisi (Pengertian)

Jarak titik ke bidang adalah jika suatu titik ditarik garis yang tegak lurus terhadap

bidang dihadapan titik tersebut.

Contoh: Jika diketahui kubus 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 dengan panjang sisinya 5 cm, ∠𝑃𝐴𝐶 = 45°, titik 𝑃 adalah titik potong garis 𝐴𝐺 dan 𝐶𝐸, maka tentukan jarak titik 𝑃 ke bidang

𝐴𝐵𝐶𝐷!

A

C D

B

E

G H

F

A

C D

B

E

G H

F

A

A

C D

B

E

G H

F

A

C D

B

E

G H

F

8

Jawab:

1) Buatlah garis 𝐴𝐶 dan 𝐵𝐷 serta berpotongan di titik 𝑄

2) Buatlah garis 𝑃𝑄

9

3) Carilah panjang 𝐴𝐶

𝐴𝐶 = √52 + 52

𝐴𝐶 = √52 ⋅ 2

𝐴𝐶 = √52 ⋅ √2

𝐴𝐶 = 5√2

4) Carilah panjang 𝐴𝑄

𝐴𝑄 + 𝑄𝐶 = 𝐴𝐶

2𝐴𝑄 = 5√2

𝐴𝑄 =5

2√2

⇒

𝐴

𝐶

𝐵

5

5

5

5

5

5

10

5) Carilah panjang 𝑃𝑄

tan∠𝑃𝐴𝑄 =𝑃𝑄

𝐴𝑄

𝑃𝑄 = 𝐴𝑄 ⋅ tan∠𝑃𝐴𝑄

𝑃𝑄 =5

2√2 ⋅ tan 45°

𝑃𝑄 =5

2√2 ⋅ 1

𝑃𝑄 =5

2√2 cm

Jadi, jarak titik 𝑃 ke bidang 𝐴𝐵𝐶𝐷 adalah 𝑃𝑄 =5

2√2 cm

J. Sudut pada Bangun Ruang

Definisi (Pengertian)

Sudut pada bangun ruang adalah jika suatu titik, garis, atau bidang dibentuk sudut yang

tegak lurus terhadap bidang dihadapan titik, garis, atau bidang tersebut.

Contoh: Jika diketahui kubus 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 dengan panjang sisinya 5 cm, maka tentukan

sudut perpotongan 𝐴𝐻 dan 𝐶𝐻!

⇒

𝐴

𝑃

𝑄 45°

5

2√2

5

5

11

Jawab:

1) Buatlah garis 𝐴𝐶 dan 𝐵𝐷 serta berpotongan di titik 𝑃

2) Buatlah garis 𝐻𝑃

12

3) Carilah panjang 𝐻𝑃 dan 𝐶𝑃

𝐻𝑃 = √52 + 52

𝐻𝑃 = √52 ⋅ 2

𝐻𝑃 = √52 ⋅ √2

𝐻𝑃 = 5√2

𝐶𝑃 =1

2𝐴𝐶

𝐶𝑃 =1

2√52 + 52

𝐶𝑃 =1

2√52 ⋅ 2

𝐶𝑃 =1

2√52 ⋅ √2

𝐶𝑃 =1

2⋅ 5√2

𝐶𝑃 =5

2√2

13

4) Carilah ∠𝐶𝐻𝑃

tan∠𝐶𝐻𝑃 =𝐶𝑃

𝐻𝑃

tan∠𝐶𝐻𝑃 =5

2√2

5√2

tan∠𝐶𝐻𝑃 =5

2

5

tan∠𝐶𝐻𝑃 =5

2⋅1

5

tan∠𝐶𝐻𝑃 =1

2

∠𝐶𝐻𝑃 = arc tan1

2

∠𝐶𝐻𝑃 = 26,56°

⇒

𝐶

𝐻

5

2√2

𝑃 5√2