Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga

HASILKALI TITIK DALAM RUANG DIMENSITIGA

Yulian Sari, M.Si

Pendidikan Matematika

16 Februari 2015

Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG

Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga

De�nisi Vektor

De�nitionSuatu vektor dalam ruang dimensi tiga adalah suatu tripel terurutdari himpunan bilangan riil (x , y , z). Bilangan x , y , dan z disebutsebagai komponen dari vektor (x , y , z).

Suatu vektor yang direpresentasi sebagai ruas garis berarahdari titik asal ke titik (1, 0, 0), (0, 1, 0),dan (0, 0, 1)dinamakan sebagai vektor standar.

Letak vektor r dari titik asal O ke titik P(x , y , z)dapatdinyatakan sebagai berikut

r =�!OP = x i+ y j+ zk

(perhatikan gambar!)

Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG

Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga

De�nisi Vektor

De�nitionSuatu vektor dalam ruang dimensi tiga adalah suatu tripel terurutdari himpunan bilangan riil (x , y , z). Bilangan x , y , dan z disebutsebagai komponen dari vektor (x , y , z).

Suatu vektor yang direpresentasi sebagai ruas garis berarahdari titik asal ke titik (1, 0, 0), (0, 1, 0),dan (0, 0, 1)dinamakan sebagai vektor standar.

Letak vektor r dari titik asal O ke titik P(x , y , z)dapatdinyatakan sebagai berikut

r =�!OP = x i+ y j+ zk

(perhatikan gambar!)

Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG

Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga

De�nisi Vektor

De�nitionSuatu vektor dalam ruang dimensi tiga adalah suatu tripel terurutdari himpunan bilangan riil (x , y , z). Bilangan x , y , dan z disebutsebagai komponen dari vektor (x , y , z).

Suatu vektor yang direpresentasi sebagai ruas garis berarahdari titik asal ke titik (1, 0, 0), (0, 1, 0),dan (0, 0, 1)dinamakan sebagai vektor standar.

Letak vektor r dari titik asal O ke titik P(x , y , z)dapatdinyatakan sebagai berikut

r =�!OP = x i+ y j+ zk

(perhatikan gambar!)

Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG

Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga

De�nitionPenjumlahan dan pengurangan vektor dalam ruang dimensi tigadapat dinyatakan sebagai berikut. Untuk sebarang vektorA = a1i+ a2j+ a3k dan B = b1i+ b2j+ b3k,

A+B = (a1 + b1) i+ (a2 + b2) j+ (a3 + b3) kA�B = (a1 � b1) i+ (a2 � b2) j+ (a3 � b3) k.

Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG

Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga

Vektor��!P1P2 dari titik P1 (x1, y1, z1) ke titik P2 (x2, y2, z2)

dalam bentuk koordinat P1dan P2 karena��!P1P2 =

��!OP2 �

��!OP1

= (x2, y2, z2)� (x1, y1, z1)= (x2 � x1) i+ (y2 � y1) j+ (z2 � z1) k

Untuk segitiga ABC, ����!AC ��� = qa21 + a22dan untuk segitiga ACD,

ja1i+ a2j+ a3kj =����!AD��� = r����!AC ���2 + ����!CD���2 = qa21 + a22 + a23

Maka panjang vektor A = a1i+ a2j+ a3k dapat dinyatakansebagai

jAj = ja1i+ a2j+ a3kj =qa21 + a

22 + a

23

Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG

Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga

Vektor��!P1P2 dari titik P1 (x1, y1, z1) ke titik P2 (x2, y2, z2)

dalam bentuk koordinat P1dan P2 karena��!P1P2 =

��!OP2 �

��!OP1

= (x2, y2, z2)� (x1, y1, z1)= (x2 � x1) i+ (y2 � y1) j+ (z2 � z1) k

Untuk segitiga ABC, ����!AC ��� = qa21 + a22dan untuk segitiga ACD,

ja1i+ a2j+ a3kj =����!AD��� = r����!AC ���2 + ����!CD���2 = qa21 + a22 + a23

Maka panjang vektor A = a1i+ a2j+ a3k dapat dinyatakansebagai

jAj = ja1i+ a2j+ a3kj =qa21 + a

22 + a

23

Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG

Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga

Vektor��!P1P2 dari titik P1 (x1, y1, z1) ke titik P2 (x2, y2, z2)

dalam bentuk koordinat P1dan P2 karena��!P1P2 =

��!OP2 �

��!OP1

= (x2, y2, z2)� (x1, y1, z1)= (x2 � x1) i+ (y2 � y1) j+ (z2 � z1) k

Untuk segitiga ABC, ����!AC ��� = qa21 + a22dan untuk segitiga ACD,

ja1i+ a2j+ a3kj =����!AD��� = r����!AC ���2 + ����!CD���2 = qa21 + a22 + a23

Maka panjang vektor A = a1i+ a2j+ a3k dapat dinyatakansebagai

jAj = ja1i+ a2j+ a3kj =qa21 + a

22 + a

23

Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG

Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga

Vektor nol dalam ruang dimensi tiga adalah vektor0 = 0i+ 0j+ 0k adalah suatu bidang dengan panjang 0 dantidak memiliki arah.

Vektor unit dalam ruang adalah vektor dengan pangang 1.Vektor standar adalah vektor unit karena

jij = j1i+ 0j+ 0kj =p12 + 02 + 02 = 1

jjj = j0i+ 1j+ 0kj =p02 + 12 + 02 = 1

jkj = j0i+ 0j+ 1kj =p02 + 02 + 12 = 1

Jika A =a1i+ a2j+ a3k, maka vektor unit U memiliki arahyang sama dengan seperti vektor A diberikan sebagai berikut.

U =a1jAj i+

a2jAj j+

a3jAjk

Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG

Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga

Vektor nol dalam ruang dimensi tiga adalah vektor0 = 0i+ 0j+ 0k adalah suatu bidang dengan panjang 0 dantidak memiliki arah.

Vektor unit dalam ruang adalah vektor dengan pangang 1.Vektor standar adalah vektor unit karena

jij = j1i+ 0j+ 0kj =p12 + 02 + 02 = 1

jjj = j0i+ 1j+ 0kj =p02 + 12 + 02 = 1

jkj = j0i+ 0j+ 1kj =p02 + 02 + 12 = 1

Jika A =a1i+ a2j+ a3k, maka vektor unit U memiliki arahyang sama dengan seperti vektor A diberikan sebagai berikut.

U =a1jAj i+

a2jAj j+

a3jAjk

Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG

Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga

Vektor nol dalam ruang dimensi tiga adalah vektor0 = 0i+ 0j+ 0k adalah suatu bidang dengan panjang 0 dantidak memiliki arah.

Vektor unit dalam ruang adalah vektor dengan pangang 1.Vektor standar adalah vektor unit karena

jij = j1i+ 0j+ 0kj =p12 + 02 + 02 = 1

jjj = j0i+ 1j+ 0kj =p02 + 12 + 02 = 1

jkj = j0i+ 0j+ 1kj =p02 + 02 + 12 = 1

Jika A =a1i+ a2j+ a3k, maka vektor unit U memiliki arahyang sama dengan seperti vektor A diberikan sebagai berikut.

U =a1jAj i+

a2jAj j+

a3jAjk

Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG

Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga

Beberapa sifat vektor (1)

TheoremJika A, B, C adalah sebarang vektor dalam ruang dimensi tiga danc dan d adalah suatu skalar, maka penjumlahan dan perkalianskalar vektor memenuhi sifat berikut.

A+B = B+A

A+ (B+C) = (A+B) +CTerdapat vektor 0 dalam dimensi tiga yang memenuhi

A+ 0 = A

Terdapat vektor �A dalam dimensi tiga sehingga

A+ (�A) = 0

Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG

Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga

Beberapa sifat vektor (1)

TheoremJika A, B, C adalah sebarang vektor dalam ruang dimensi tiga danc dan d adalah suatu skalar, maka penjumlahan dan perkalianskalar vektor memenuhi sifat berikut.

A+B = B+AA+ (B+C) = (A+B) +C

Terdapat vektor 0 dalam dimensi tiga yang memenuhi

A+ 0 = A

Terdapat vektor �A dalam dimensi tiga sehingga

A+ (�A) = 0

Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG

Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga

Beberapa sifat vektor (1)

TheoremJika A, B, C adalah sebarang vektor dalam ruang dimensi tiga danc dan d adalah suatu skalar, maka penjumlahan dan perkalianskalar vektor memenuhi sifat berikut.

A+B = B+AA+ (B+C) = (A+B) +CTerdapat vektor 0 dalam dimensi tiga yang memenuhi

A+ 0 = A

Terdapat vektor �A dalam dimensi tiga sehingga

A+ (�A) = 0

Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG

Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga

Beberapa sifat vektor (1)

TheoremJika A, B, C adalah sebarang vektor dalam ruang dimensi tiga danc dan d adalah suatu skalar, maka penjumlahan dan perkalianskalar vektor memenuhi sifat berikut.

A+B = B+AA+ (B+C) = (A+B) +CTerdapat vektor 0 dalam dimensi tiga yang memenuhi

A+ 0 = A

Terdapat vektor �A dalam dimensi tiga sehingga

A+ (�A) = 0

Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG

Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga

Beberapa sifat vektor (2)

TheoremJika A, B, C adalah sebarang vektor dalam ruang dimensi tiga danc dan d adalah suatu skalar, maka penjumlahan dan perkalianskalar vektor memenuhi sifat berikut.

(cd)A =c(dA)

c (A+B) =cA+cB(c + d)A =cA+dA1 (A) = A

Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG

Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga

Beberapa sifat vektor (2)

TheoremJika A, B, C adalah sebarang vektor dalam ruang dimensi tiga danc dan d adalah suatu skalar, maka penjumlahan dan perkalianskalar vektor memenuhi sifat berikut.

(cd)A =c(dA)c (A+B) =cA+cB

(c + d)A =cA+dA1 (A) = A

Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG

Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga

Beberapa sifat vektor (2)

TheoremJika A, B, C adalah sebarang vektor dalam ruang dimensi tiga danc dan d adalah suatu skalar, maka penjumlahan dan perkalianskalar vektor memenuhi sifat berikut.

(cd)A =c(dA)c (A+B) =cA+cB(c + d)A =cA+dA

1 (A) = A

Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG

Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga

Beberapa sifat vektor (2)

TheoremJika A, B, C adalah sebarang vektor dalam ruang dimensi tiga danc dan d adalah suatu skalar, maka penjumlahan dan perkalianskalar vektor memenuhi sifat berikut.

(cd)A =c(dA)c (A+B) =cA+cB(c + d)A =cA+dA1 (A) = A

Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG

Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga

Hasilkali Titik Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga

De�nition

Jika A = (a1, a2, a3) dan B = (b1, b2, b3), maka hasilkali titik dariA dan B, dinotasikan sebagai A �B dinyatakan sebagai berikut.

A �B =(a1, a2, a3) � (b1, b2, b3) =a1b1 + a2b2 + a3b3

Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG

Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga

Hasilkali Titik Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga

Theorem

Jika θ adalah sudut antara dua vektor bukan nol A dan B dalamruang dimensi tiga, maka

A �B = jAj jBj cos θ

De�nitionDua vektor bukan nol dalam ruang dimensi tiga dikatakan paraleljika dan hanya jika satu dari vektor tersebut adalah perkalian skalardari vektor yang lainnya.

De�nition

Dua vektor bukan nol saling tegak lurus (perpendicular/orthogonal)jika sudut yang dibentuk dari keduanya adalah π/2.

Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG