hasilkali titik d3

Click here to load reader

Post on 30-Jul-2015

83 views

Category:

Science

2 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

1. Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga HASILKALI TITIK DALAM RUANG DIMENSI TIGA Yulian Sari, M.Si Pendidikan Matematika 16 Februari 2015 Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG 2. Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga Denisi Vektor Denition Suatu vektor dalam ruang dimensi tiga adalah suatu tripel terurut dari himpunan bilangan riil (x, y, z). Bilangan x, y, dan z disebut sebagai komponen dari vektor (x, y, z). Suatu vektor yang direpresentasi sebagai ruas garis berarah dari titik asal ke titik (1, 0, 0), (0, 1, 0),dan (0, 0, 1) dinamakan sebagai vektor standar. Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG 3. Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga Denisi Vektor Denition Suatu vektor dalam ruang dimensi tiga adalah suatu tripel terurut dari himpunan bilangan riil (x, y, z). Bilangan x, y, dan z disebut sebagai komponen dari vektor (x, y, z). Suatu vektor yang direpresentasi sebagai ruas garis berarah dari titik asal ke titik (1, 0, 0), (0, 1, 0),dan (0, 0, 1) dinamakan sebagai vektor standar. Letak vektor r dari titik asal O ke titik P(x, y, z)dapat dinyatakan sebagai berikut r = ! OP = xi + yj + zk Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG 4. Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga Denisi Vektor Denition Suatu vektor dalam ruang dimensi tiga adalah suatu tripel terurut dari himpunan bilangan riil (x, y, z). Bilangan x, y, dan z disebut sebagai komponen dari vektor (x, y, z). Suatu vektor yang direpresentasi sebagai ruas garis berarah dari titik asal ke titik (1, 0, 0), (0, 1, 0),dan (0, 0, 1) dinamakan sebagai vektor standar. Letak vektor r dari titik asal O ke titik P(x, y, z)dapat dinyatakan sebagai berikut r = ! OP = xi + yj + zk (perhatikan gambar!) Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG 5. Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga Denition Penjumlahan dan pengurangan vektor dalam ruang dimensi tiga dapat dinyatakan sebagai berikut. Untuk sebarang vektor A = a1i + a2j + a3k dan B = b1i + b2j + b3k, A + B = (a1 + b1) i + (a2 + b2) j + (a3 + b3) k A B = (a1 b1) i + (a2 b2) j + (a3 b3) k. Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG 6. Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga Vektor ! P1P2 dari titik P1 (x1, y1, z1) ke titik P2 (x2, y2, z2) dalam bentuk koordinat P1dan P2 karena ! P1P2 = ! OP2 ! OP1 = (x2, y2, z2) (x1, y1, z1) = (x2 x1) i + (y2 y1) j + (z2 z1) k Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG 7. Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga Vektor ! P1P2 dari titik P1 (x1, y1, z1) ke titik P2 (x2, y2, z2) dalam bentuk koordinat P1dan P2 karena ! P1P2 = ! OP2 ! OP1 = (x2, y2, z2) (x1, y1, z1) = (x2 x1) i + (y2 y1) j + (z2 z1) k Untuk segitiga ABC, ! AC = q a2 1 + a2 2 dan untuk segitiga ACD, ja1i + a2j + a3kj = ! AD = r ! AC 2 + ! CD 2 = q a2 1 + a2 2 + a2 3 Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG 8. Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga Vektor ! P1P2 dari titik P1 (x1, y1, z1) ke titik P2 (x2, y2, z2) dalam bentuk koordinat P1dan P2 karena ! P1P2 = ! OP2 ! OP1 = (x2, y2, z2) (x1, y1, z1) = (x2 x1) i + (y2 y1) j + (z2 z1) k Untuk segitiga ABC, ! AC = q a2 1 + a2 2 dan untuk segitiga ACD, ja1i + a2j + a3kj = ! AD = r ! AC 2 + ! CD 2 = q a2 1 + a2 2 + a2 3 Maka panjang vektor A = a1i + a2j + a3k dapat dinyatakan sebagai jAj = ja1i + a2j + a3kj = q a2 1 + a2 2 + a2 3 Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG 9. Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga Vektor nol dalam ruang dimensi tiga adalah vektor 0 = 0i + 0j + 0k adalah suatu bidang dengan panjang 0 dan tidak memiliki arah. Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG 10. Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga Vektor nol dalam ruang dimensi tiga adalah vektor 0 = 0i + 0j + 0k adalah suatu bidang dengan panjang 0 dan tidak memiliki arah. Vektor unit dalam ruang adalah vektor dengan pangang 1. Vektor standar adalah vektor unit karena jij = j1i + 0j + 0kj = p 12 + 02 + 02 = 1 jjj = j0i + 1j + 0kj = p 02 + 12 + 02 = 1 jkj = j0i + 0j + 1kj = p 02 + 02 + 12 = 1 Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG 11. Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga Vektor nol dalam ruang dimensi tiga adalah vektor 0 = 0i + 0j + 0k adalah suatu bidang dengan panjang 0 dan tidak memiliki arah. Vektor unit dalam ruang adalah vektor dengan pangang 1. Vektor standar adalah vektor unit karena jij = j1i + 0j + 0kj = p 12 + 02 + 02 = 1 jjj = j0i + 1j + 0kj = p 02 + 12 + 02 = 1 jkj = j0i + 0j + 1kj = p 02 + 02 + 12 = 1 Jika A =a1i + a2j + a3k, maka vektor unit U memiliki arah yang sama dengan seperti vektor A diberikan sebagai berikut. U = a1 jAj i + a2 jAj j + a3 jAj k Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG 12. Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga Beberapa sifat vektor (1) Theorem Jika A, B, C adalah sebarang vektor dalam ruang dimensi tiga dan c dan d adalah suatu skalar, maka penjumlahan dan perkalian skalar vektor memenuhi sifat berikut. A + B = B + A Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG 13. Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga Beberapa sifat vektor (1) Theorem Jika A, B, C adalah sebarang vektor dalam ruang dimensi tiga dan c dan d adalah suatu skalar, maka penjumlahan dan perkalian skalar vektor memenuhi sifat berikut. A + B = B + A A+ (B + C) = (A + B) +C Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG 14. Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga Beberapa sifat vektor (1) Theorem Jika A, B, C adalah sebarang vektor dalam ruang dimensi tiga dan c dan d adalah suatu skalar, maka penjumlahan dan perkalian skalar vektor memenuhi sifat berikut. A + B = B + A A+ (B + C) = (A + B) +C Terdapat vektor 0 dalam dimensi tiga yang memenuhi A + 0 = A Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG 15. Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga Beberapa sifat vektor (1) Theorem Jika A, B, C adalah sebarang vektor dalam ruang dimensi tiga dan c dan d adalah suatu skalar, maka penjumlahan dan perkalian skalar vektor memenuhi sifat berikut. A + B = B + A A+ (B + C) = (A + B) +C Terdapat vektor 0 dalam dimensi tiga yang memenuhi A + 0 = A Terdapat vektor A dalam dimensi tiga sehingga A+ ( A) = 0 Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG 16. Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga Beberapa sifat vektor (2) Theorem Jika A, B, C adalah sebarang vektor dalam ruang dimensi tiga dan c dan d adalah suatu skalar, maka penjumlahan dan perkalian skalar vektor memenuhi sifat berikut. (cd) A =c(dA) Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG 17. Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga Beberapa sifat vektor (2) Theorem Jika A, B, C adalah sebarang vektor dalam ruang dimensi tiga dan c dan d adalah suatu skalar, maka penjumlahan dan perkalian skalar vektor memenuhi sifat berikut. (cd) A =c(dA) c (A + B) =cA+cB Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG 18. Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga Beberapa sifat vektor (2) Theorem Jika A, B, C adalah sebarang vektor dalam ruang dimensi tiga dan c dan d adalah suatu skalar, maka penjumlahan dan perkalian skalar vektor memenuhi sifat berikut. (cd) A =c(dA) c (A + B) =cA+cB (c + d)A =cA+dA Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG 19. Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga Beberapa sifat vektor (2) Theorem Jika A, B, C adalah sebarang vektor dalam ruang dimensi tiga dan c dan d adalah suatu skalar, maka penjumlahan dan perkalian skalar vektor memenuhi sifat berikut. (cd) A =c(dA) c (A + B) =cA+cB (c + d)A =cA+dA 1 (A) = A Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG 20. Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga Hasilkali Titik Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga Denition Jika A = (a1, a2, a3) dan B = (b1, b2, b3), maka hasilkali titik dari A dan B, dinotasikan sebagai A B dinyatakan sebagai berikut. A B =(a1, a2, a3) (b1, b2, b3) =a1b1 + a2b2 + a3b3 Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG 21. Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga Hasilkali Titik Vektor dalam Ruang Dimensi Tiga Theorem Jika adalah sudut antara dua vektor bukan nol A dan B dalam ruang dimensi tiga, maka A B = jAj jBj cos Denition Dua vektor bukan nol dalam ruang dimensi tiga dikatakan paralel jika dan hanya jika satu dari vektor tersebut adalah perkalian skalar dari vektor yang lainnya. Denition Dua vektor bukan nol saling tegak lurus (perpendicular/orthogonal) jika sudut yang dibentuk dari keduanya adalah /2. Universitas Riau Kepulauan GEOMETRI ANALITIK RUANG