Estimasi Titik

First Group of Mathematic

PRESENT

• Tita Azizah

• Nunung nurjanah

• Iah solikhah

• Eka damayanti

Statistik inferensial

kesimpulan

Pengujian hipotesis

Penaksiran parameter

Penaksiran interval

Penaksiran titik

Penaksiran titik

Pengertian

Metode-metodeHakikat

Contoh

Metode-metode

Metode maksimumlikelihood

Metode momen

Estimator bayes

STATISTIK INFERENSIAL

• Statistik inferensial adalah ststistika yang dengan segala informasi dari sample digunakan untuk menarik kesimpulan mengenai karakteristik populasi dari mana sample itu di ambil.

Parameter adalah karakteristik dari suatu populasi• = mean = rata-rata• ^2 = varian = keseragaman• d = mean differensial = perbedaan rata-rata• = Proporsi• d =Proporsi rata-rata

Statistik adalah karakteristik dari data sample• = mean = rata-rata• S ^2 = varian = keseragaman• d = mean differensial = perbedaan rata-

rata• P = Proporsi• P d =Proporsi rata-rata

X

X

• penduga titik untuk

• penduga titik untuk 2

• penduga titik untuk P

n

XX

1

)( 22

n

XXS

n

Xp

Statistik digunakan unutk menduga parameter

Estimasi Titik

• Estimasi adalah keseluruhan proses yang

menggunakan sebuah estimator untuk

menghasilkan sebuah estimate dari suatu

parameter.

• Sebuah estimasi titik dari sebuah

parameter adalah sesuatu angka tunggal

yang dapat dianggap sebagai nilai yang

masuk akal dari .

• Estimator adalah fungsi sample, sedangkan

• Estimate adalah nilai terealisasi dari estimator, yaitu bilangan yang didapat bila sample benar-benar diambil.

Hakikat Estimasi• Estimasi adalah taksiran, dan yang diestimasi adalah parameter populasi• Data yang digunakan untuk melakukan estimasi parameter populasi adalah statistik sampel sebagai estimator• Terdapat prosedur tertentu untuk melaksanakan estimasi

ContohSeorang ahli sosial ekonomi ingin

mengestimasi rata-rata penghasilan buruh di suatu kota. Sebuah sampel dikumpulkan menghasilkan rata-rata Rp 2.000.000,-.

Dalam hal ini telah dilakukan estimasi titik, dengan menggunakan estimator berupa statistic mean ( ) untuk mengestimasi parameter mean populasi (μ). Nilai sampel Rp 2.000.000,- sebagai nilai estimate dari mean populasi.

X

Metode Momen (Methode of Moment Estimator /

MME) “Metode moment diciptakan oleh Karl Pearson pada tahun 1800. Metode ini merupakan metode tertua dalam menentukan estimator titik.”

• Misal X1, X2, ...., Xn adalah sampel random dari populasi dengan fungsi densitas f(x I θ), estimator metode momen didapatkan dengan menyamakan momen sampel ke-k pada momen populasi ke-k, dan menyelesaikan sistem persamaan simultan yang dihasilkan.

• Estimator metode momen dan didapatkan dengan menyelesaikan sistem persamaan

dalam bentuk m1,m2,...,mk yaitu:

= m1

= m2

. = mk

12

k

k ,...,,21 k ,...,, 21

Contoh Soal

Misalkan x1, x2, x3, ....., xn adalah sample random dari populasi yang berdistribusi X N (, ^2). Dengan menggunakan metode momen, tentukan estimator titik untuk dan ^2

Penyelesaian

• X N (, ^2) berarti E(X) = dan Var(Z) = ^2

• Var (X) = E (X^2)-(E(X))^2• ^2 = E (X^2) - ^2• E (X^2) = ^2 + ^2Sehingga memperoleh persamaan seperti

berikut:• E(X) = sehingga ^ =

• E (X^2) = maka ^^2 + ^^2 =

^^2 = -

= -X^2

=

Metode Kemungkinan Maksimum (Likelihood)

Metode kemungkinan maksimum merupakan metode untuk memperoleh estimator titik dengan cara memaksimumkan fungsi kemungkinan. Misalkan X adalah peubah acak kontinu / diskrit dengan fungsi kepadatan peluang f(x;θ), dengan θ adalah suatu parameter yang tidak diketahui, dan X1, X2,...,Xn sampel acak berukuran n,maka fungsi kemungkinan maksimum θ adalah:

n

i

xf1

);( );().........;().;()( 21 nxfxfxfL

Misalkan X1, X2, ... , Xn adalah sampel acak berukuran n dari distribusi B (1; ), dengan tidak diketahui. Tentukan penaksir titik untuk dengan menggunakan metode kemungkinan Maksimum.

Contoh:

Penyelesaian :Fungsi kepadatan peluang dari X adalah:

f (x; ) x = 0,1= 0 ; lainnya

Fungsi kemungkinan dari sampel acak berukurann adalah :

;. )1(1

xx

n xixiL

1

1

)1(.)(

)1()1()1(1212111

...... xnxnxxxx

)1( 11 .)(

n

i

n

i

xinxiL

Kemudian kedua ruas diberi ln, sehingga akandiperoleh:

ln ln + .lnSelanjutnya kita turunkan ln terhadapYaitu:

)(L

n

iixL

1

.)( )(

n

iixn

1 1

)1(1

)(ln 11

n

ii

n

ii xx n

d

Ld

111

n

ii

n

ii xx n

0)(ln

d

Ld

01

11

n

ii

n

ii xx n

0.11 1

n

i

n

iii xx n

n

ii

n

ii

n

ii xxx n

111

0..

Jadi, penaksir kemungkinan meksimum untuk adalahX, yang merupakan rerata sampel.

X1

n

n

iix

ESTIMATOR BAYES

Langkah-langkah untuk menentukan taksiran Bayes bagi θ adalah:

1. Tentukan fungsi kepadatan peluang gabungan dari X1,X2,…, Xn (dinotasikan) dengan g(X1,X2,… Xn) yang didefinisikan berikut: g(X1,X2,… Xn : θ ) = f(X1 ; θ ). F(X2 ; θ ). … f(Xn

; θ )

2. Tentukan fungsi densitas dari , yang besarnya diambil atau dipilih dan disesuaikan dengan g(X1,X2,… Xn : θ ) . Distribusi yang mempunyai fungsi densitas dari , dan dinotasikan dengan λ (θ), dinamakan distribusi prior.

3. Penaksir Bayes untuk θ ditentukan oleh:a. jika λ (θ)dari peubah acak berbentuk diskrit, maka:• (x1,x2,…,xn) = • b. jika λ (θ)dari peubah acak berbentuk diskrit, maka:• (x1,x2,…,xn) =

Contoh:

Misalkan x1,x2,…,xn merupakan sebuah sampel acak dari disrtibusi B(1 ; θ), θϵΩ = (0,1). Tentukan penaksir Bayes untuk θ

Penyelesaian:• Fungsi kepadatan peluang dari X adalah:f(x;θ) = θk(1-θ)1-x ; x = 0,1 = 0 = lainya.• Fungsi densitas gabungan dari X1,X2,…,Xn adalah: = f(x1 ; θ). F(X2 ; θ ). … f(Xn ; θ ) = [ ] [ ] = [ ] =