1. Garis  dan  Lingkaran    a. Garis  Singgung  Titik  di  Luar  Lingkaran  

 

Gambar  11    Titik  𝐿 ℎ, 𝑘  terletak  di  luar  lingkaran  dan  garis  𝐿𝑆  adalah  garis  singgung  melalui  titik  𝐿 ℎ, 𝑘    Panjang  garis  𝑃𝐿    adalah  𝑃𝐿 = ℎ − 𝑎 ! + 𝑘 − 𝑏 !  

 Seperti  diketahui  garis  singgung  tegak  lurus  dengan  garis  dari  pusat  𝑃 𝑎, 𝑏  ke  titik  singgung  𝑆 𝑡,𝑢  sehingga  ∆𝑃𝑆𝐿  siku  siku  di  𝑆  dan  berlaku  rumus  Phytagoras      𝑃𝐿! = 𝐿𝑆! + 𝑃𝑆!

ℎ − 𝑎 ! + 𝑘 − 𝑏 !!

= 𝐿𝑆! + 𝑟!

ℎ − 𝑎 ! + 𝑘 − 𝑏 ! = 𝐿𝑆! + 𝑟!

ℎ − 𝑎 ! + 𝑘 − 𝑏 ! − 𝑟! = 𝐿𝑆!

ℎ − 𝑎 ! + 𝑘 − 𝑏 ! − 𝑟! = 𝐿𝑆

   

 Panjang  garis  singgung  dari  titik  𝐿 ℎ, 𝑘  ke  titik  singgung  𝑆 𝑡,𝑢    pada  lingkaran  dengan  pusat  𝑃 𝑎, 𝑏  dan  jari  jari  𝑟  adalah      

𝐿𝑆 = ℎ − 𝑎 ! + 𝑘 − 𝑏 ! − 𝑟!      𝐿𝑆! = ℎ − 𝑎 ! + 𝑘 − 𝑏 ! − 𝑟!𝐿𝑆! = ℎ! − 2𝑎ℎ + −𝑎 ! + 𝑘! − 2𝑏𝑘 + −𝑏 ! − 𝑟!

𝐿𝑆! = ℎ! − 2𝑎ℎ + 𝑎! + 𝑘! − 2𝑏𝑘 + 𝑏! − 𝑟!𝐿𝑆! = ℎ! + 𝑘! − 2𝑎ℎ − 2𝑏𝑘 + 𝑎! + 𝑏! − 𝑟!𝐿𝑆! = ℎ! + 𝑘! + −2𝑎 ℎ + −2𝑏 𝑘 + 𝑎! + 𝑏! − 𝑟!

𝐿𝑆 = ℎ! + 𝑘! + 𝐴ℎ + 𝐵𝑘 + 𝐶

   

   

𝐿𝑆 = ℎ! + 𝑘! + 𝐴ℎ + 𝐵𝑘 + 𝐶      

 

Sudut  antara  garis  singgung  𝐿𝑆  dan  garis  𝐿𝑃  adalah  𝛼    ,  maka    tan𝛼 = !

!"    

   

Gambar  12    

Pada  pelajaran  tentang  garis  diketahui  gradien  suatu  garis  adalah  tangen  dari  sudut  antara  garis  dan  sumbu  X  atau  garis  horisontal  ,  maka    Gradien  garis  𝐿𝑃    adalah  𝑚!" = tan 𝛾 = !!!

!!!= !!!

!!!  

 Gradien  garis  singgung  𝐿𝑆  adalah  𝑚!" = tan𝛽      Maka  hubungan  antara  sudut  adalah    𝛼 = 𝛽 − 𝛾      

Gambar  13    tan𝛼 = tan 𝛽 − 𝛾!!"

= !"#!!!"#!!!!"#! !"#!

𝑟 1+ tan𝛽 tan 𝛾 = 𝐿𝑆 tan𝛽 − tan 𝛾𝑟 + 𝑟 tan𝛽 tan 𝛾 = 𝐿𝑆 tan𝛽 − 𝐿𝑆 tan 𝛾𝑟 + 𝐿𝑆 tan 𝛾 = 𝐿𝑆 tan𝛽 − 𝑟 tan𝛽 tan 𝛾𝑟 + 𝐿𝑆 tan 𝛾 = 𝐿𝑆 − 𝑟 tan 𝛾 tan𝛽!!!" !"#!!"!! !"#!

= tan𝛽!"!!"!!!"!!!!"

= 𝑚!"

       

   

   

 

Garis  singgung  dari  suatu  titik  diluar  lingkaran  ada  dua  buah    

Gambar  14    Garis  singgung  yang  lain  adalah  𝐿𝑆′      Sudut  antara  garis  singgung  𝐿𝑆′  dan  garis  𝐿𝑃  adalah  𝛼 = 𝛽 − 𝛾    tan 180! − 𝛼 = !

!"

− tan𝛼 = !!"

tan𝛼 = !!!"

   

 

Gambar  15      tan𝛼 = tan 𝛽 − 𝛾!!!"

= !"#!!!"#!!!!"#! !"#!

−𝑟 1+ tan𝛽 tan 𝛾 = 𝐿𝑆 tan𝛽 − tan 𝛾−𝑟 − 𝑟 tan𝛽 tan 𝛾 = 𝐿𝑆 tan𝛽 − 𝐿𝑆 tan 𝛾−𝑟 + 𝐿𝑆 tan 𝛾 = 𝐿𝑆 tan𝛽 + 𝑟 tan𝛽 tan 𝛾−𝑟 + 𝐿𝑆 tan 𝛾 = 𝐿𝑆 + 𝑟 tan 𝛾 tan𝛽!!!!" !"#!!"!! !"#!

= tan𝛽!" !"#!!!!"!! !"#!

= tan𝛽!"!!"!!!"!!!!"

= 𝑚!"

   

   

   

 

Jika  titik  𝐿 ℎ, 𝑘  terletak  di  luar  lingkaran  yang  berpusat  di  𝑃 𝑎, 𝑏  dan  jari  jari  𝑟  maka  gradien  garis  singgung  dari  titik  𝐿 ℎ, 𝑘  pada  lingkaran  adalah    

𝑚!" =𝐿𝑆𝑚!" ± 𝑟𝐿𝑆 ∓ 𝑟𝑚!"

 

 dimana    

𝑚!" =𝑘 − 𝑏ℎ − 𝑎  

     

 

 b. Garis  Polar  

 Garis  polar  adalah  garis  yang  menghubungkan  dua  titik  singgung  dari  dua  garis  singgung  yang  ditarik  dari  suatu  titik  yang  terletak  diluar  lingkaran    Garis  polar  tegak  lurus  dengan  garis  yang  menghubungkan  titik  diluar  lingkaran  dengan  titik  pusat  lingkaran    

Gambar  16