PERSAMAAN GARIS LURUS

Kompetensi Dasar dan Indikator Pencapaian Kompetensi

Kompetensi Dasar (KD) Indikator Pencapaian Kompetensi

3.4 Menganalisis fungsi linear (sebagai

persamaan garis lurus) dan

menginterpretasikan grafiknya yang

dihubungkan dengan masalah

kontekstual

3.4.1 Menganalisis fungsi linear sebagai

persamaan garis lurus pada suatu

permasalahan kontekstual

3.4.2 Menentukan gradient persamaan garis lurus

3.4.3 Menentukan persamaan garis lurus

Peta Konsep Persamaan Garis Lurus

A. Fungsi Linear sebagai Persamaan Garis Lurus

Masih ingatkah kalian tentang fungsi linear?

Masih ingatkah kalian bagaimana menentukan nilai fungsi?

Jika diketahui fungsi linear f(x) = 2x – 5, coba tentukan nilai f(x) jika daerah asalnya adalah

{–2, –1, 0, 1, 2}, kemudian lengkapi tabel berikut!

Tabel 1

x f(x)

–2 –9

–1 –7

0 –5

1 –3

2 –1

Untuk x = –2 ➔ f(–2) = 2(–2) – 5 = –4 – 5 = –9

Untuk x = –1 ➔ f(–1) = 2(–1) – 5 = –2 – 5 = –7

Untuk x = 0 ➔ f(0) = 2(0) – 5 = 0 – 5 = –5

Untuk x = 1 ➔ f(1) = 2(1) – 5 = 2 – 5 = –3

Untuk x = 2 ➔ f(2) = 2(2) – 5 = 4 – 5 = –1

Dari tabel 1, diperoleh pasangan berututan (–2, –9), (–1, –7), (0, –5), (1, –3), (2, –1). Selesaian

dari fungsi linear ini dapat kita gambarkan dalam sebuah grafik, yaitu sebagai berikut!

Grafik di atas merupakan grafik fungsi f(x) = 2x – 5.

Sehingga, berdasarkan grafiknya, fungsi linear merupakan persamaan garis lurus.

B. Gradien Garis Lurus

Perhatikan ilustrasi berikut!

Permasalahan dapat dibuat menjadi:

Kemiringan garis AB = 𝑝𝑒𝑟𝑢𝑏𝑎ℎ𝑎𝑛 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑡𝑒𝑔𝑎𝑘 (𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑘𝑎𝑙)

𝑝𝑒𝑟𝑢𝑏𝑎ℎ𝑎𝑛 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑚𝑒𝑛𝑑𝑎𝑡𝑎𝑟 (ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙=

17

100= 0,17

Jika koordinat titik A adalah (x1, y1) dam koordinat titik B adalah (x2, y2), maka dapat

digambarkan sebagai berikut:

Dari grafik di atas, kita peroleh

Perubahan panjang sisi tegak = y2 – y1

Perubahan panjang sisi mendatar = x2 – x1

Jadi, kemiringan garis AB = 𝑝𝑒𝑟𝑢𝑏𝑎ℎ𝑎𝑛 𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑡𝑒𝑔𝑎𝑘

𝑝𝑒𝑟𝑢𝑏𝑎ℎ𝑎𝑛 𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑚𝑒𝑛𝑑𝑎𝑡𝑎𝑟=

𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1

Rambu pada gambar di samping menandakan jalan di

depan mempunyai kemiringan 17%. Hal ini berarti untuk

perubahan mendatar sejauh 100 m, terdapat perubahan

secara vertikal sejauh 17 m.

Dari gambar di samping, kita dapat menyatakan

pergerakan kedaraan. Misalnya kemiringan jalan dari

titik A ke titik B. Titik A dan B berkoordinat (0,0) dan

(100,17)

Jadi, dapat disimpulkan bahwa kemiringan atau gradien garis lurus yang melalui dua titik

adalah

𝑚 =𝑦2 − 𝑦1

𝑥2 − 𝑥1

Bagaimana dengan gradien dari dua garis yang saling sejajar dan gradien dua garis yang saling

tegak lurus?

Untuk menjawab pertanyaan tersebut, diskusikan masalah dibawah ini!

Diskusi 1

Pada gambar di atas, garis k melalui titik A (3, 6) dan titik B (5, 4). Garis l melalui titik C (3,

4) dan titik D (6, 1). Garis p melalui titik F (7, 4) dan titik E (1, 4). Garis k // l ⊥ p.

Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut ini!

a. Berapakah kemiringan garis k?

Jawab:

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

b. Berapakah kemiringan garis l?

Jawab:

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

c. Berapakah kemiringan garis p?

Jawab:

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

d. Apakah garis k dan l sejajar? Jelaskan!

Jawab:

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

e. Bagaimana kemiringan garis k dan l?

Jawab:

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

f. Apa yang dapat kalian simpulkan mengenai kemiringan dua garis yang sejajar?

Jawab:

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

g. Apakah garis k dan p tegak lurus? Jelaskan!

Jawab:

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

h. Apakah kemiringan garis k dan p sama?

Jawab:

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

i. Misalkan kemiringan garis k = 𝑚1 dan kemiringan garis p = 𝑚1, berakaha hasil kali

gradien kedua garis?

Jawab:

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

j. Apa yang dapat kalian simpulkan mengenai kemiringan dua garis yang tegak lurus?

Jawab:

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

____________________________________________________________________

k. Tuliskan kesimpulan tentang gradien dua garis yang saling sejajar dan dua garis yang

saling tegak lurus!

Jawab:

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

C. Menentukan Persamaan Garis Lurus

1. Persamaan garis lurus dan gradiennya

Perhatikan gambar berikut!

Persamaan 𝑦 = 2𝑥 + 1 adalah contoh pesamaan garis lurus. Jika grafik persamaan tersebut

digambar dalam koordinat Cartesius maka diproleh sebagai beriku.

Dari grafik di atas, diperoleh

kemiringan persamaan 𝑦 = 2𝑥 + 1 adalah

𝑚 =𝑝𝑒𝑟𝑢𝑏𝑎ℎ𝑎𝑛 𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑡𝑒𝑔𝑎𝑘 (𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑘𝑎𝑙)

𝑝𝑒𝑟𝑢𝑏𝑎ℎ𝑎𝑛 𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑚𝑒𝑛𝑑𝑎𝑡𝑎𝑟 (ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙)=

4

2= 2

Berpotongan dengan sumbu-y di titik (0,1)

Perhatikan bahwa kemiringan garis sama dengan koefisien x pada persamaan 𝑦 = 2𝑥 + 1.

Begitu juga titik potong sumbu-y sama dengan ordinat titik potong sumbu-y. Jadi dapat

disimpulkan bahwa bentuk umum persamaan garis lurus adalah sebagai berikut.

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑐 (bentuk eksplisit)

atau

𝑚𝑥 − 𝑦 + 𝑐 = 0 (bentuk implisit)

Keterangan:

m = kemiringan

c = konstanta

m,c bilngan real

2. Menentukan persamaan garis lurus jika diketahui gradien dan konstanta

Telah kita ketahui bahwa bentuk persamaan garis lurus adalah y = mx + c dengan m adalah

kemiringan dan c adalah kontanta yang merupakan titik potong sumbu-y.

Dari bentuk umum persamaan garis lurus tersebut, kita dapat dengan mudah menentukan

persamaan garis lurus jika diketahui kemiringan m dan konstanta c, yaitu dengan

mensubtitusikan nilai m dan c yang diketahui ke dalam bentuk umum persamaan garis

lurus.

Contoh:

Tentukan persamaan garis lurus yang memiliki gradien 3 dan memotong dengan sumbu-y

di (0, –4).

Jawab:

Diketahui:

m = 3

titik potong dengan sumbu-y di (0, –4) ini berarti kontanta (c) = 5

Dengan demikian

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑐

𝑦 = 2𝑥 − 5 (substitusikan nilai m dan c)

Jadi, persamaan garis lurus yang dimaksud adalah 𝑦 = 2𝑥 − 5

3. Menentukan persamaan garis lurus jika diketahui gradien dan sebuah titik pada

garis

Sebuah garis lurus memiliki kemiringan 2 dan melalui titik (6, 7). Tentukan bentuk

persamaan garis lurus tersebut.

Misal 𝑃(𝑥, 𝑦) adalah sebarang titik pada garis. Oleh karena kemiringan garis yang melalui

titik (6 , 7) dan P (x , y) adalah 2 , sehingga

𝑚 =𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1 tulis rumus kemiringan

1

2=

𝑦−7

𝑥−6 substitusikan nilai m, 𝑥1, 𝑦1, x2, dan y2

2(𝑦 − 7) = 𝑥 − 6 dikalikan silang

2𝑦 − 14 = 𝑥 − 6 sederhanakan

2𝑦 = 𝑥 − 6 jumlahkan kedua ruas dengan 14

𝑦 =1

2𝑥 + 4 bagikan kedua ruas dengan 2

Jadi, persamaan garis yang dimaksud adalah 𝑦 =1

2𝑥 + 4

Dari permasalahan tersebut kita tahu bahwa persamaan garis lurus yang melalui titik

(𝑥1, 𝑦1) dan memiliki gradien m adalah

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)

Contoh:

Tentukan persamaan garis yang melalui titik (3, –2) dan memiliki gradien 4!

Penyelesaian:

Diketahui:

m = 4

x1 = 3

y1 = –2

Persamaan garis:

y – y1 = m(x – x1)

y – (–2) = 4(x – 3)

y + 2 = 4x – 12

y = 4x – 12 – 2

y = 4x – 14

4. Menentukan persamaan garis lurus yang melalui dua titik

Untuk menentukan persamaan garis lurus yang melalui dua titik, kita dapat menggunakan

persamaan garis yang melalui sebuah titik dan bergradien m, dan gradien garis lurus yang

melalui dua titik.

Persamaan garis yang melalui sebuah titik dan bergradein m adalah

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) ….................... ( i )

Gradien garis lurus yang melalui dua titik adalah

𝑚 =𝑦2−𝑦1

𝑥2 −𝑥1 .......................... ( ii )

Dari ( i ) dan ( ii ) diperoleh:

𝑦 − 𝑦1

𝑦2 − 𝑦1=

𝑥 − 𝑥1

𝑥2 − 𝑥1

Buktikan rumus tersebut!

Contoh

Tentukan persamaan garis yang melalui (–3, 6) dan (1, 4)!

Penyelesaian:

x1 = –3

y1 = 6

x2 = 1

y2 = 4

Persamaan garis:

𝑦−𝑦1

𝑦2−𝑦1=

𝑥−𝑥1

𝑥2 −𝑥1

𝑦−6

4−6=

𝑥−(−3)

1 −(−3)

𝑦−6

−2=

𝑥+3

4

4(y – 6) = –2(x + 3)

4y – 24 = –2x – 6

4y + 2x = – 6 + 24

4y + 2x = 18

2y + x = 9

Diskusikan dengan teman satu kelompok:

Bagaimana jika contoh soal di atas dikerjakan dengan langkah:

1. Menentukan gradien yang melalui dua titik

2. Menentukan persamaan garis yang melalui sebuah titik dan bergradien m.

Apakah akan mendapatkan persamaan garis yang sama seperti pembahasan di atas?

D. Rangkuman

1. Bentuk umum persamaan garis lurus adalah y = mx + c dengan m adalah gradien dan c

adalah konstanta.

2. Gradien garis yang melalui dua titik adalah 𝑚 =𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1

3. Persamaan garis lurus yang melalui sebuah titik dan memiliki gradien m adalah y – y1 =

m(x – x1)

4. Persamaan garis lurus yang melalui dua titik adalah 𝑦−𝑦1

𝑦2−𝑦1=

𝑥−𝑥1

𝑥2 −𝑥1.

5. Untuk menentukan persamaan garis yang sejajar atau tegak lurus dengan suatu garis yang

diketahui, terlebih dahulu ditentukan gradien garis yang diketahui, kemudian persamaan

garis ditentukan dengan menggunakan persamaan garis yang melalui sebuah titik dan

bergradien m.

E. Evaluasi

Selesaikan soal-soal berikut secara mandiri!

1. Tentukan gradient garis yang melalui titik-titik berikut!

a. (2, -6) dan (-2, 4)

b. (8, 7) dan (-4, -8)

c. (8, 7) dan (-4, -8)

2. Garis l dengan persamaan 4x – 2y + 3 = 0 sejajar dengan garis k. Tentukan gradien garis k!

3. Garis g dengan persamaan 2y – 3x – 5 = 0 tegak lurus dengan garis h. Tentukan gradien

garis h!

4. Tentukan persamaan garis yang melalui titik dan bergradien berikut!

a. A (3, 5), m = −1

3

b. B (-4, 6), m = 2

3

c. B (-4, 6), m = 2

3

d. D (-1, 3); m = 2

5. Tentukan persamaan garis yang melalui dua titik berikut!

a. (-2, 1) dan (2, 4)

b. (3, -1) dan (-2, -2)

c. (3, -1) dan (-2, -2)

d. (3, -1) dan (-2, -2)

6. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (3, -2) dan sejajar garis 2x – 3y + 6 = 0!

7. Tentukan persamaan garis yang melalui titik P(4, -2) dan sejajar dengan garis 3x – 4y – 8

= 0!

8. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (3, -2) dan sejajar garis 2x – 3y + 6 = 0!

9. Tentukan persamaan garis yang melalui titik Q(-7, -4) dan tegak lurus garis 4x + 5y = 7!

10. Tentukan persamaan garis yang melalui titik A(-2, 3) dan tegak lurus garis yang melalui (-

2, -4) dan (3, 4)!

F. Daftar Pustaka

Adhinawan, M. Cholik dan Sugijo. 2016. Matematika untuk SMP/MTs Kelas VII Semester 1.

Jakarta. Erlanga.

Adhinawan, M. Cholik dan Sugijo. 2016. SPM Matematika untuk SMP/MTs. Jakarta. Esis.

Dhoruri, Atmini dan Markaban. 2011. Pembelejaran Persamaan Garis Lurus di SMP.

Yogyakarta. P4TK Matematika Yogyakarta.

Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. 2017. Matematika SMP/MTs Kelas VII Semester

1 Revisi 2017. Jakarta. Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.

G. Lampiran

Pembahasan Diskusi 1

a. Berapakah kemiringan garis k?

Jawab:

Garis k melalui titik A (3, 6 ) dan titik B (5, 4)

Kemiringan garis k (𝑚) =𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1=

4 −6

5 − 3 =

−2

2 = −1

b. Berapakah kemiringan garis l?

Jawab:

Garis l melalui titik C (3, 4) dan titik D (6 , 1)

Kemiringan garis l (𝑚) =𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1=

1 −4

6 − 3 =

−3

3 = −1

c. Berapakah kemiringan garis p?

Jawab:

Garis p melalui titik E ( 4, 1) dan titik F (7, 4)

Kemiringan garis p (𝑚) =𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1=

4−1

7 − 4 =

3

3= 1

d. Apakah garis k dan l sejajar?

Jawab:

Ya

e. Bagaimana kemiringan garis k dan l?

Jawab:

Sama

f. Apa yang dapat kalian simpulkan mengenai kemiringan dua garis yang sejajar?

Jawab:

Dua garis yang sejajar memiliki kemiringan yang sama.

g. Apakah garis k dan p tegak lurus?

Jawab:

Ya

h. Apakah kemiringan garis k dan p sama?

Jawab:

Tidak

i. Misalkan kemiringan garis k = 𝑚1 dan kemiringan garis p = 𝑚1, berakaha hasil kali

gradien kedua garis?

Jawab:

Misalkan kemiringan garis k = 𝑚1 dan kemiringan garis p = 𝑚1, maka:

𝑚1 × 𝑚2 = −1 × 1 = −1

j. Apa yang dapat kalian simpulkan mengenai kemiringan dua garis yang tegak lurus?

Jawab:

Jika diketehui dua garis yang tegak lurus memiliki kemiringan 𝑚1 dan 𝑚2, maka

𝑚1 × 𝑚2 = 1.

k. Kesimpulan:

Jawab:

Gradien dua garis yang saling sejajar adalah sama ➔ m1 = m2

Hasil kali gradien dua garis yang saling tegak lurus adalah –1 ➔ m1 x m2 = –1.