PARABOLA

TUJUAN KHUSUS

1. Mengetahui bentuk-bentuk parabola yang berpuncak di titik (0,0).

2. Dapat menggambar bentuk-bentuk parabola yang berpuncak di O (0,0) berdasarkan

persamaannya.

3. Dapat menggambar bentuk-bentuk parabola yang berpuncak di P (a,b) berdasarkan

persamaannya.

4. Mengetahui kedudukan garis terhadap parabola.

5. Untuk mengetahui kedudukan garis singgung melalui suatu titik di luar parabola.

A. Pengertian Parabola

Definisi :

Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya ke suatu titik tertentu sama

dengan jaraknya ke garis tertentu.

Titik tertentu itu disebut titik api (fokus) dan garis tertentu itu di sebut garis arah

(direktriks). Misalkan F adalah titik api (fokus) dan g adalah garis arah (direktriks) dari

suatu parabola. Parabola dengan fokus di F dan direktris g dapat dilukiskan sbb :

1. Buatlah ruas garis FA tegak lurus garis g. Titik tengah FA titik (titik 0) adalah sebuah

titik yang memenuhi definisi parabola.

2. Buatlah lingkaran yang pusatnya F dan jari-jari r (r sembarang). Kemudian tariklah garis

g’ sejajar dengan garis g pada jarak r, sehingga garis r memotong lingkaran di dua titik

yang berlainan. Kedua titik ini juga memenuhi definisi parabola. Dengan mengambil nilai

r yang berbeda-beda kita mendapatkan titik-titik lain yang memenuhi definisi parabola.

B. Persamaan Parabola yang Berpuncak di O (0,0)

1. Parabola yang Terbuka ke Atas

Kita misalkan garis g sebagai garis tetap (direktris) dan F sebagai titik tetap

(fokus). Jika F tidak terletak pada g, naka kita dapat memilih sebuah sistem koordinat

yang menghasilkan sebuah persamaan yang sederhana untuk parabola, dengan

mengambil sumbu y melalui F dan tegak lurus garis g dan dengan mengambil titik

asalnya di titik tengah antara F dan g.

Y

x2 = 4py

●F(0,p)

X

puncak

direktris y = -p

Dengan menggunakan rumus jarak persamaan menjadi :

√ x2+( y2− p )2 = √ ( y+ p )2

⇔ x2+ ( y−p )2=( y+p )2

⇔ x2+ y2−2 py+ p2= y2+2 py+ p2

⇔ x2=4 py

Persamaan parabola yang berpuncak di O (0,0)dan fokus di F (0,p)

didefinisikan dengan persamaan : x2=4 py .

Dengan syarat : Titik fokus (0,p)

Titik puncak (0,0)

Direktris y = - p

Persamaan sumbu simetri x = 0

2. Parabola yang Terbuka ke Bawah

Jika parabola terbuka ke bawah, dengan fokusnya di F ( 0.- p) dan direktrisnya

adalah garis y = p. Maka persamaan parabolanya : x2=−4 py

Y

direktris y = p

puncak

X

●F(0,-p)

x2 = - 4py

Dengan syarat : Titik fokus (0,- p)

Titik puncak (0,0)

Direktris y = p

Persamaan sumbu simetri x = 0

3. Parabola yang Terbuka ke Kanan

Jika parabola terbuka ke kanan, maka persamaan parabolanya adalah :

Y

y2 = 4px

direktris y = -p

F(p,0)

● X

puncak

Dengan syarat : Titik fokus (p,0)

Titik puncak (0,0)

Direktris x = - p

Persamaan sumbu simetri y = 0

4. Parabola yang Terbuka ke Kiri

Jika parabola terbuka ke kiri, maka persamaan parabolanya adalah :

y2=−4 px

Y

direktris y2 = - 4px

F(-p,0)

● X

puncak

y2 = - 4px

Dengan syarat : Titik fokus (- p,0)

Titik puncak (0,0)

Direktris x = p

Persamaan sumbu simetri y = 0

C. Persamaan Parabola yang Berpuncak di A(a,b)

Bila puncak parabola berada di titik A(a,b),sumbu simetri sejajar sumbu X dengan

persamaan y = b,titik fokus berjarak p satuan di sebelah kanan titik puncak dengan koordinat

F(a+p,b).garis direktriks sejajar sumbu Y dan berjarak p satuan di sebelah kiri titik puncak

dengan persamaan

x = a - p atau x - a + p = 0

Puncak A(a,b)

P(x,y)

Sumbu simetri

F(a + p, b)

g = garis direktriks

Misalkan titik P(x,y) adalah sembarang titik pada parabola. Berdasarkan definisi

parabola,haruslah berlaku:

Jarak PF = jarak PQ

√(x−a−p)2

+( y−b )2

= |x−a+ p|2

x2 + a2 + p2 – 2ax - 2px + 2ap + (y-b)2 = x2 + a2 + p2 – 2ax + 2px – 2ap

(y-b)2 = (2px + 2px) – 2ap – 2ap

(y-b)2 = 4px – 4ap

(y-b)2 = 4p (x – a)

Sehingga persamaan parabola yang berpuncak di A(a,b) dan fokus di F(a + p,b) adalah:

(y-b)2 =4p(x-a)

Untuk parabola yang berpuncak di A(a,b),sumbu simetri sejajar sumbu X dengan

persamaan y=b,titik fokus berjarak p satuan di sebelah kiri titik puncak dengan koordinat

F(a-p,b).garis direktriks sejajar sumbu Y dan berjarak p satuan di sebelah kanan titik puncak

dengan persamaan x = a+p atau x-a-p=0. Maka persamaan parabolanya:

(y-b)2 = -4p(x-a)

Y

P(x,y)

sumbu simetri

X

g= garis direktriks

Parabola yang berpuncak di A(a,b),sumbu simetri sejajar sumbu Y dengan

persamaan x = a,titik fokus berjarak p satuan di atas,titik puncak dengan koordinat F(a,b+p).

Garis direktriks sejajar sumbu X dan berjarak p satuan dibawah titik puncak dengan

persamaan y = b - p atau y – b + p = 0

Maka,diperoleh persamaan parabolanya:

(x-a)2 = 4p(y-b)

y

P(x,y)

F(a,b+p) A(a,b) g = garis direktriks

x

sumbu simetri

Parabola yang berpuncak di A(a,b),sumbu simetri sejajar sumbu Y dengan

persamaan x = a,titik fokus berjarak p satuan dibawah titik puncak dengan koordinat

F(a,b+p). Garis direktriks sejajar sumbu X dan berjarak p satuan diatas titik puncak dengan

persamaan

y = b+p atau y – b-p = 0.

Maka, diperoleh persamaan parabolanya: (x-a) = -4p(y-b)

y

0 x

A(a,b)

F(a,b-p) P(x,y)

Contoh Soal:

1. Diketahui parabola dengan persamaan y2 + 4y - 4x + 8 = 0

a. Nyatakan persamaan parabola itu dalam bentuk (y-b)2 = 4p(x-a)

b. Tentukan : (i) koordinat titik puncak

(ii) persamaan sumbu simetri

(iii) koordinat titik fokus

(iv)persamaan direktriks

c. Gambarlah sketsa parabola itu!

Jawab :

a. y2 + 4py – 4x + 8 = 0

y2 + 4y = 4x – 8

ruas kiri dikuadratkan :

y2 + 4py + 4 = 4x -8 + 4

(y + 2)2 = 4x -4

(y + 2)2 = 4(x -1)

Jadi, persamaan parabolanya adalah (y + 2)2 = 4(x – 1) dengan a = 1,b = -2, dan 4p = 4

sehingga p = 1

b. (i) Koordinat titik puncaknya (a,b) adalah A(1,-2)

(ii) Persamaan sumbu simetrinya adalah y + 2 = 0 atau y = -2

(iii) Koordinat titik fokusnya F(a + p,b) adalah (1+1,-2) = F(2,-2)

(iv) Persamaan direktriksnya adalah x = a – p = 1-1 = 0

Jadi, direktriksnya berimpit dengan sumbu Y

c. Sketsa parabolanya :

y

2

1

0 1 2 3 4 5 6 x

-1

-2A(1,-2)F(2,-2) sumbu simetri y = -2

-3 direktriks x = 0

-4

2. Tentukan persamaan parabola dengan titik puncak (1,-3) dan titik fokusnya (0,-3) dan

tentukan persaman direktriksnya serta gambarkan sketsa grafiknya!

Jawab :

Puncak (a,b) = (1,-3)

Fokus F(a - p,b) adalah F(1–1,-3) = F(0,3)

Sehingga parabolanya terbuka ke kiri. Bentuk persamaan parabolanya :

(y-b)2 = -4p(x-a)≈ (y - (-3))2 = -4(1)(x -1)

≈ (y + 3)2 = -4(x -1)

≈ y2 + 6y + 9 = -4x + 4≈ y2 + 6y + 4x + 5= 0

Persamaan direktriksnya adalah :

x = a + p y

≈ x = 1 + 1 (y+3)2 = -4(x-1)

≈ x = 2 0 1 2 3 x

-1

-2

Sumbu simetri -3 A(1,-3)

Direktriks x = 2

3. Suatu parabola mempunyai persamaan x2 + 6x – 8y -31 = 0

Tentukan : a) koordinat titik puncak

b) koordinat titik fokus

c) persamaan direktriks

d) gambar sketsa grafiknya

jawab :

x2 + 6x - 8y – 31 = 0

≈ x2 + 6y = 8y + 31

≈ x2 + 6y + 9 = 8y + 31 +9

≈ (x + 3)2 = 8y + 40

≈ (x + 3)2 = 8(y + 5)

Persamaan parabola terbuka ke atas dengan a = -3,b = -5 dan 4p = 8 atau p = 2

a) titik puncaknya (a,b) adalah A(-3,-5)

b) titik fokusnya adalah F(a,b+p) = F(-3,-5 + 2) = F(-3,-3)

c) persaman direktriksnya adalah y = b – p

≈ y = -5 – 2

≈ y = -7

d) sketsa grafik :

y Sumbu simetri x = -3

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x

-1

-2

F(-3,-3) -3

-4

A(-3,-5) -5

-6

direktriks y = -7 -7

D. Kedudukan Garis Terhadap Parabola

Secara Geometri, kedudukan garis g terhadap parabola dapat diperlihatkan pada gambar

berikut:

(i) (ii) (iii)

Gambar (i), garis g memotong parabola di dua titik yang berlainan, yaitu di titik

A(x1 ,yalignl ¿1 ¿¿ )¿ dan dititik B(x2 , y2) .

Gambar (ii), garis g memotong parabola di satu titik (dikatakan garis g menyinggung

parabola), yaitu di titik S( xs , y s) .Gambar (iii), garis g tidak memotong maupun

menyinggung parabola. Kedudukan garis g dan parabola dapat di analisis secara Aljabar

dengan menggunakan konsep diskriminan sebagai berikut :

Misalkan persamaan garis g adalah y=mx+n , sedangkan persamaan parabolanya adalah

y2=4 px .

Substitusikan y=mx+n ke persamaan parabola y2=4 px , didapat :

(mx+n)2=4 pxm2 x2+2mnx +n2=4 pxm2 x2+(2 mn−4 p )x+n2=0

Jadi persamaan kuadrat gabungan antara garis dan parabola adalah m2 x2+(2 mn−4 p) x+n2

Nilai diskriminan persamaan kuadrat gabungan

D=(2mn−4 p )2−4 (m2)(n2)D=4 m2 n2−16mnp+16 p2−4 m2 n2

D=16 p2−16 mnpKedudukan garis g dan parabola ditentukan oleh nilai diskriminan D sebagai berikut.

D>0 garis g memotong parabola di dua titik yang berlainan.

D=0 garis g menyinggung parabola.

D<0 garis g tidak menyinggung dan tidak memotong parabola.

Contoh 1 :

a. Tunjukkan bahwa garis y=2 x−4 memotong parabola y2=4 x di dua titik yang

berlainan.

b. Tentukan koordinat kedua titik potong itu.

Jawab :

a. substitusi y=2 x−4 ke y2=4 x , didapat:

(2 x−4 )2=4 x4 x2−16 x+16=4 x4 x2−20 x+16=0x2−5 x+4=0

Nilai diskriminan:

D=(−5)2−4 (1)( 4 )=9

Oleh karena D=9>0, maka garis y=2 x−4 memotong parabola y2=4 x di dua titik

yang berlainan.

b. Dari persamaan x2−5 x+4=0 , didapat:

( x−1)( x−4 )=0

x=1 atau x=4

Untuk x=1 , y=2(1)−4=−2⇒(1,−2)

Untuk x=4 , y=2( 4 )−4=4⇒(4,4 )

Jadi, koordinat titik potong garis y=2 x−4 dengan parabola y2=4 x adalah A(1,2)

dan B(4,4).

Contoh 2 :

a. Tentukan nilai p, supaya garis x−2 y+ p=0 menyinggung parabola y2−2 x+8=0 ?

b. Tentukan koordinat titik singgungnya.

Jawab :

a. x−2 y+ p=0⇒ y=1

2( x+ p)

substitusi y=1

2( x+ p )

ke persamaan parabola y2−2 x+8=0 , didapat:

(12 ( x+ p ))2−2 x+8=0

14

( x2+2 px+ p2 )−2 x+8=0

x2+2 px+ p2−8 x+32=0x2+(2 p−8 )x+( p2+32)=0

Nilai diskriminan D:

D=(2 p−8 )2−4 (1 )( p2+32 )D=4 p2−32 p+64−4 p2−128D=−32−64Oleh karena garis menyinggung parabola, maka nilai diskriminan D=0.

−32 p−64=032 p=64p=−2

Jadi, supaya garis x−2 y+ p=0 menyinggung parabola y2−2 x+8=0 apabila nilai

p=-2.

Substitusi p=-2 ke persamaan x2+(2 p−8) x+( p2+32 )=0 , didapat:

x2−(−4−8 )x+( 4+32 )=0x2−12 x+36=0( x−6 )2=0x=6

Substitusi p=-2 dan x=6 ke y=1

2( x=p ) ,

didapat :

y=12(6−2 )=2

Jadi, koordinat titik singgungnya adalah (6,2).

Contoh 3 :

1

2

3

4

5

0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4

Y

T

-5

-4

-3

-2

-1

B

A

Garis polar

Garis singgung

X

Tentukan batas-batas nilai a, supaya garis 2x-y+a=0 tidak memotong dan tidak

menyinggung parabola y2−2x+4=0 .

Jawab :

2 x− y+a=0⇒ y=2 x+a

Substitusi y=2 x+a ke persamaan parabola y2−2 x+4=0 ; didapat:

( x+a )2−2 x+4=04 x2+4 ax+a2−2 x+4=04 x2+(4 a−2 )x+( a2+4 )=0

Nilai diskriminan D:

D=(4 a−2 )2−4 (4 )(a2+4 )D=16 a2−16a+4−16 a2−64D=−16a−60Supaya garis tidak memotong dan tidak menyinggung parabola, maka nilai D<0.

−16 a−60<016 a>−60

a>−334

Jadi, garis 2x – y+a=0 tidak memotong dan tidak menyinggung parabola y2−2 x+4=0

bila a>−3 3

4.

E. Garis Singgung melalui Suatu titik di luar parabola

Salah satu cara ujtuk menentukan persamaan garis singgung parabola melalui titik T

(X1, Y1) di luar parabola adalah dengan memanfaatkan garis polar.

Langkah yang ditempuh untuk mencari persamaan garis singgung tersebut, yaitu:

1. Persamaan garis polar dari T terhadap parabola

2. Titik potong antara garis polar dan parabola sehingga titik singgung A dan B

3. Persamaan-persamaan garis singgung melalui titik A dan melalui B yang terletak pada

parabola.

Contoh:

a. Titik P (1, 2½) terletak di luar parabola y2 = 4x. Tentukan persamaan-persamaan garis

singgung yang dapat ditarik selalui titik P (1, 2½) ke parabola y2 = 4x.

b. Misalkan titik-titik singgung adalah A dan B, tentukan koordinat titik A dan titik B.

c. Tentukan persamaan garis AB

Jawab:

a. Misalkan garis singgung memalui titik P (1, 2½) mempunyai gradien m, persamaannya

adalah:

y - 2½ = m (x – 1)

y = mx – m + 2½

substitusi y = mx – m + 2½ ke persamaan parabola y2 = 4x, didapat:

(mx – m + 2½)2 = 4x

m2x2 + m2 + 25/4 – 2m2x + 5mx – 5m = 4x

m2x2 + (- 2 m2 + 5m – 4)x + (m2 – 5m + 25/4) = 0

Nilai diskriminan D

1

2

3

4

5

0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4

Y

(1, 2½) )

-4

-3

-2

-1

B

A

Garis polar

x – 2y + 4 = 0

X

4x – 2y + 1 = 0

(¼, 1)

(4, 4)

y2 = 4x

D = (- 2 m2 + 5m – 4)2 – 4 (m2) (m2 – 5m + 25/4)

D = 4 m4 + 25 m2 + 16 – 20m3 + 16m2 – 40m – 4m4 + 20 m3 – 25m2

D = 16 m2 – 40m + 16

Syarat bagi garis singgung D = 0, didapat:

16m2 – 40m + 16 = 0

2m2 – 5m + 2 = 0

(2m –1) (m – 2) = 0

m = ½ atau m = 2

Substitusikan nilai-nilai m kepersamaan y = mx – m + 2½

- Untuk m = ½ - Untuk m = 2, diperoleh

y = ½x – ½ + 2½ y = 2x – 2 + 2½

y = ½x + 2 y = 2x + ½

2y = x + 4 2y = 4x + 1

x – 2y + 4 = 0 4x – 2y + 1 = 0

Jadi persamaan-persamaan garis singgung yang ditarik melaui titik (1, 2½) ke parabola y2

= 4x adalah x – 2y + 4 = 0 dan 4x – 2y + 1 = 0.

Kedua garis singgung ini diperlihatkan pada gambar berikut:

b. Titik A adalah titik singgung garis x – 2y + 4 = 0 atau y = ½x + 2 dengan parabola y2 =

4x.

(½x + 2)2 = 4x

¼x2 + 2x + 4 = 4x - Untuk x = 4 didapat:

(½x – 2)2 = 0 y = ½ (4) + 2 = 4

x = 4 koordinat titik A (4,4)

Titik B adalah titik singgung garis 4x – 2y + 1 = 0 atau y = 2x + ½ dengan parabola y2 = 4x.

(½x + 2)2 = 4x

4x2 + 2x + ¼ = 4x - Untuk x = 4 didapat:

4x2 – 2x + ¼ = 0 y = 2 (¼) + ½ = 1

(2x – ½)2 = 0 koordinat titik B (¼,1)

x = ¼ Jadi, koordinat titik A (4,4) dan titik B (¼,1)

c. Dengan menggunakan persamaan

Y − Y A

Y A − Y b=

X − X A

X A − Xb bagi sebuah garis, maka

persamaan garis yang melalui titik A (4,4) dan titik B (¼,1), adalah:

Y − 44 − 1

= X − 44 − 1/ 4

Y − 43

= X − 415/4

5y – 20 = 4x – 16

4x – 5y + 4 = 0

LATIHAN SOAL

1. Diketahui persamaan parabola x2=16 y

Tentukan titik folus, persamaan direktrisnya dan panjang latus retum!

2. Diketahui persamaan parabola y2=−8 x

Tentukan titik folus, persamaan direktrisnya dan panjang latus retum!

3. Diketahui parabola dengan persamaan x2 – 2x – 2y – 5 = 0

Tentukan : a.) koordinat titik puncaknya

b.) koordinat titik fokusnya

c.) persamaan sumbu simetrinya

d.) persamaan direktriksnya

e.) gambarkan sketsa grafiknya

4. Tentukan persamaan parabola dengan titik puncak di (2,4),dan titik fokus(5,4)!

5. Tentukan kedudukan garis berikut terhadap parabolay2=5 x

a. y= 1

4x+5

c. x−2 y=4

b. y=x−2 d. x+4 y−20=0