estimasi parameter distribusi exponentiated...

SEMINAR NASIONAL VARIANSI 2016

(Venue Artikulasi-Riset, Inovasi, Resonansi Teori dan Aplikasi Statistika)

Prosiding Seminar Nasional VARIANSI 2016 13

ISBN 978-602-99837-2-2

ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI

EXPONENTIATED MODIFIED WEIBULL EXTENSION

Christian Beren

1, Sri Astuti Thamrin

2*, Andi Kresna Jaya

3

1,2,3

Program Studi Statistika FMIPA Universitas Hasanuddin

Email: [email protected]; [email protected]; [email protected]

Analisis survival merupakan salah satu metode statistika yang digunakan untuk

menganalisis waktu kelangsungan hidup suatu individu atau unit tertentu terhadap suatu

kejadian. Distribusi yang umum digunakan dalam menganalisis data waktu hidup adalah

distribusi Weibull dengan kurva fungsi hazard naik, turun, maupun konstan. Namun,

distribusi Weibull biasa tidak dapat memodelkan fungsi non-monoton hazard misalnya

fungsi bathtub-shaped hazard. Tulisan ini bertujuan untuk menganalisis suatu set data

yang berdistribusi Exponentiated Modified Weibull Extension (EMWE) dengan fungsi

hazard berbentuk bathtub. Di dalam tulisan ini digunakan metode grafik dan metode

statistik untuk menguji data mengikuti distribusi Weibull dan memiliki fungsi bathtub-

shaped hazard. Distribusi EMWE memiliki 4 parameter yang terdiri dari dua parameter

skala dan dua parameter bentuk . Parameter ini diestimasi dengan metode

Maximum Likelihood Estimation (MLE) yang dilanjutkan dengan metode iterasi Berndt-

Hall-Hall-Hausman (BHHH). Untuk ilustrasi metodologi ini digunakan data simulasi yang

mengikuti distribusi Weibull dan memiliki fungsi bathtub-shaped hazard. Hasil dari analisis

data simulasi menunjukkan bahwa bila dibandingkan dengan distribusi lain, distribusi

EMWE merupakan distribusi terbaik dalam mendeskripsikan data karena memiliki nilai AIC

(Akaike Information Criterion) terkecil dan bentuk kurvanya yang paling mendekati

dengan kurva empiris.

Kata kunci : Bathtub-shaped, Berndt-Hall-Hall-Hausman, Exponentiated Modified Weibull

Extension, Fungsi Hazard, Maximum Likelihood Estimation

1. PENDAHULUAN

Analisis survival mempunyai konsep utama yang sangat penting

dalam menganalisis waktu hidup yakni fungsi survival dan fungsi hazard.

Fungsi survival dikaitkan dengan fungsi ketahanan, yaitu peluang suatu

individu untuk dapat bertahan hidup terhadap suatu kejadian hingga

waktu tertentu. Adapun fungsi hazard dikaitkan dengan fungsi resiko yang

menunjukkan laju kegagalan suatu individu untuk bertahan hidup setelah

melewati waktu tertentu. Fungsi hazard dalam Lawless (1982) dinotasikan

sebagai , yaitu peluang suatu individu mati dalaminterval waktu

mailto:[email protected]

mailto:[email protected]

mailto:;%[email protected]




ISBN 978-602-99837-2-2

sampai , jika diketahui individu tersebut masih dapat bertahan hidup

sampai dengan waktu .

Setiap peristiwa akan mempunyai peluang masing-masing, dan

peluang terjadinya peristiwa tersebut akan mempunyai penyebaran yang

mengikuti suatu pola tertentu yang disebut sebagai distribusi (Herawati,

2013). Distribusi yang umum digunakan untuk menganalisis permasalahan

yang menyangkut lama waktu hidup individu hingga akhirnya individu

tersebut mengalami suatu kejadian adalah distribusi Weibull. Hal yang unik

dari distribusi Weibull yaitu terletak pada bentuk kurva fungsi hazardnya

yang dapat berbentuk kurva naik, turun, maupun konstan. Namun

demikian, distribusi Weibull tidak dapat menunjukkan kurva nonmonoton

hazard misalnya yang berbentuk bathtub (Rajarshi dan Rajarshi, 1988).

Chen (2000) memperkenalkan distribusi dua parameter yang sangat

menarik dalam memodelkan fungsi bathtub-shaped hazard. Distribusi ini

sangat efisien dalam memodelkan fungsi bathtub-shaped hazard karena

hanya memiliki dua parameter. Walaupun demikian, distribusi ini dianggap

tidak fleksibel karena tidak mengandung parameter skala. Xie, dkk (2002)

memperkenalkan perluasan modifikasi distribusi Weibull dengan fungsi

bathtub-shaped hazard. Distribusi ini dikenal sebagai distribusi Modified

Weibull Extension (MWE) dengan tiga parameter yang memodifikasi

distribusi yang diperkenalkan oleh Chen (2000).

Distribusi dengan dua parameter yang diperkenalkan oleh Chen dan

distribusiMWE yang diperkenalkan oleh Xie walaupun diketahui dapat

memodelkan fungsi bathtub-shaped hazard, namun kedua distribusi

tersebut tidak dapat memberikan model bathtub-shaped hazard yang baik

(Sarhan dan Apaloo, 2013). Pada tahun 2013, Sarhan dan Apaloo

memperkenalkan distribusi baru yang dapat menunjukkan kurva bathtub-




ISBN 978-602-99837-2-2

shaped hazard yang sangat mirip dengan bentuk bathtub yang

sebenarnya.

2. METODE PENELITIAN

2.1 Konsep Fungsi Bathtub-shaped Hazard

Bentuk lain dari fungsi hazard adalah fungsi bathtub-shaped hazard

yang dapat dimodelkan ke dalam kurva bathtub-shaped hazard. Sistem

yang laju kegagalannya berbentuk kurva bathtub mengalami laju

kegagalan yang menurun pada siklus awal, kemudian diikuti dengan laju

kegagalan konstan, selanjutnya adalah laju kegagalan yang meningkat.

2.2 Distribusi Weibull Dua Parameter

Distribusi Weibull adalah salah satu distribusi peluang kontinu dalam

teori probabilitas dan statistik. Distribusi Weibull dua parameter memiliki

satu parameter skala dan satu parameter bentuk . Fungsi

kepadatan peluang distribusi Weibull dengan dua parameter adalah:

Adapun fungsi distribusi kumulatifnya adalah:

dengan ,

2.2.1 Distribusi Weibull Dua Parameter oleh Zhenmin Chen

Pada umumnya, distribusi yang digunakan untuk menganalisis set data

dengan fungsi bathtub-shaped hazard adalah distribusi Weibull yang telah

dimodifikasi. Salah satunya adalah distribusi Weibull dua parameter yang

diperkenalkan oleh Zhenmin Chen pada tahun 2000. Fungsi kepadatan

peluang distribusi ini adalah sebagai berikut:




ISBN 978-602-99837-2-2

2.2.2 Distribusi Exponentiated Modified Weibull Extension

(EMWE)

Distribusi EMWE diperkenalkan oleh Sarhan dan Apaloo pada tahun

2013. Pada dasarnya distribusi EMWE merupakan generalisasi dari

distribusi Modified Weibull Extension (MWE) yang diperkenalkan oleh Xie,

dkk pada tahun 2000.. Fungsi kepadatan peluang distribusi EMWE dengan

parameter adalah:

2.3 Metode Maximum Likelihood Estimation

Misalkan menyatakan peubah acak yang saling bebas

dengan fungsi padat peluangnya , dimana adalah ,

yang merupakan parameter-parameter yang akan ditaksir. Apabila

merupakan fungsi peluang bersama dari yang dipandang

sebagai fungsi dari maka fungsi likelihood-nya ditunjukkan oleh :

2.4 Metode Iterasi Berndt-Hall-Hall-Hausman (BHHH)

Rumus penaksir parameter pada metode iterasi BHHH adalah

sebagai berikut:

dengan

: vektor parameter taksiran pada iterasi ke-

: vektor parameter taksiran pada iterasi ke-

: matriks Hessian pada iterasi ke-

: matriks turunan pertama fungsi log-likelihoodpada iterasi ke-




ISBN 978-602-99837-2-2

2.5 Metode Akaike Information Criterion (AIC)

Metode AIC digunakan dalam pemilihan model terbaik

mendeskripsikan suatu data. Model terbaik adalah model yang memiliki

nilai AIC paling kecil. Nilai AIC dirumuskan sebagai berikut:

dengan:

: nilai log-likelihood dari metode MLE

: banyaknya parameter pada model

2.6 Pembangkitan Data Simulasi

Dalam tulisan ini, pembangkitan data simulasi dilakukan berdasarkan

distribusi tertentu. Distribusi yang digunakan untuk membangkitkan data

simulasi adalah distribusi Exponentiated Generalized Linear Exponential

(EGLE)karena pada dasarnya distribusi ini dapat memodelkan fungsi

bathtub-shaped hazard.

HASIL DAN PEMABAHASAN

Karakteristik fungsi hazard distribusi EMWE dapat diamati melalui

kurva fungsi hazard yang ditunjukkan pada Gambar 1.

Gambar 1. Kurva fungsi hazard distribusi EMWE untuk berbagai nilai

parameter

Berdasarkan gambar tersebut, maka dapat diketahui karakteristik

distribusi EMWE terkait dengan bentuk kurva fungsi hazardnya, yaitu:




ISBN 978-602-99837-2-2

1. Fungsi hazard distribusi EMWE berbentuk bathtub jika parameter

untuk sebarang nilai parameter (kurva berwarna merah pada Gambar

1. a, b, dan c).

2. Fungsi hazard distribusi EMWE berbentuk kurva naik jika parameter

dan (kurva berwarna biru dan hitam pada Gambar 1. a dan

b).

3. Fungsi hazard distribusi EMWE berbentuk kurva turun jika nilai

parameter dan sangat kecil atau bahkan mendekati 0 (Gambar 1.d).

Langkah-langkah pengujian distribusi Weibull dengan uji Mann

adalah sebagai berikut:

1. Hipotesis

Ho : Data simulasi berdistribusi Weibull

H1 : Data simulasi tidak berdistribusi Weibull

2. Taraf Signifikansi

Taraf signifikansi adalah sebesar 5%

3. Statistik Uji

4. Kriteria keputusan

Ho diterima jika nilai , sebaliknya Ho ditolak jika nilai

. Berdasarkan perhitungan yang telah dilakukan, diperoleh

nilai sedangkan nilai tabel pada taraf signifikansi

, , dan (nilai pembulatan) adalah

. Karena nilai , maka diputuskan

bahwa Ho diterima.

5. Pengambilan kesimpulan




ISBN 978-602-99837-2-2

Berdasarkan pengujian hipotesis yang telah dilakukan, maka diperoleh

kesimpulan bahwa Ho diterima, yang berarti bahwa data simulasi yang

digunakan mengikuti distribusi Weibull.

Plot TTT digunakan untuk mengetahui bentuk kurva fungsi hazard

suatu data.

Gambar 3. Plot TTT

Berdasarkan gambar tersebut, terlihat bahwa pola yang terbentuk diawali

oleh bentuk cembung kemudian diikuti oleh bentuk cekung. Hal ini

menunjukkan bahwa data yang digunakan dalam penelitian ini dapat

menunjukkan fungsi atau laju bathtub hazard.

Uji Statistik oleh Bergman

Metode ini menggunakan nilai scaled TTT-statistics yang diperoleh

dari plot TTT. Langkah-langkah pengujiannya adalah sebagai berikut:

1. Hipotesis

Ho : Laju hazard berbentuk konstan

H1 : Laju hazard berbentuk bathtub


Taraf signifikansi adalah sebesar 5% atau 0.05

3. Statistik Uji




ISBN 978-602-99837-2-2

Statistik uji yang digunakan adalah statistik uji yang diperoleh

melalui:

Karena akan dibandingkan dengan taraf signikansi , maka nilai

statistik uji akan diubah ke bentuk nilai peluang. Aarset

menyarankan suatu formula untuk mengubah nilai statistik uji ke

bentuk nilai peluang yang dirumuskan sebagai berikut:


Ho diterima jika , sebaliknya Ho ditolak jika

. Berdasarkan perhitungan yang telah dilakukan,

maka diperoleh . Karena nilai

, maka diputuskan bahwa Ho ditolak.


Berdasarkan pengujian hipotesis, maka diperoleh kesimpulan bahwa Ho

ditolak, yang berarti bahwa laju fungsi hazard berbentuk bathtub.

Untuk memudahkan proses estimasi parameter distribusi EMWE maka

digunakan bantuan perangkat lunak RStudio 0.99.491 yang hasilnya

diberikan pada Tabel 1.

Tabel 1. Nilai Estimasi Parameter Distribusi EMWE

Parameter Hasil Estimasi

Sumber : Data diolah (2016)

Sebagai perbandingan, pada Tabel 2 diberikan hasil estimasi parameter

ketiga distribusi lain yaitu distribusi Weibull 2 parameter, distribusi Weibull

2 parameter oleh Chen, dan distribusi MWE.




ISBN 978-602-99837-2-2

Tabel 2. Nilai Estimasi Parameter Distribusi Weibull 2 parameter, distribusi

Weibull 2 parameter oleh Chen, dan distribusi MWE

Distribusi Hasil Estimasi

Weibull 2 Parameter ,

Weibull 2 Parameter oleh Chen ,

MWE

,

,


Pemilihan distribusi terbaik dalam mendeskripsikan data didasarkan

pada nilai AIC. Nilai AIC yang diperoleh untuk setiap distribusi terdapat

pada Tabel 3.

Tabel 3. Nilai AIC Setiap Distribusi

Distribusi Nilai AIC

Distribusi Weibull 2 Parameter

Distribusi Weibull 2 Parameter oleh Chen

Distribusi MWE

Distribusi EMWE


Distribusi yang dipilih yaitu distribusi yang memiliki nilai AIC terkecil.

Berdasarkan Tabel 3, diketahui bahwa distribusi EMWE memiliki nilai AIC

terkecil, sehingga disimpulkan bahwa distribusi yang paling baik dalam

mendeskripsikan data adalah distribusi EMWE.

Uji kesesuaian data berdistribusi EMWE dilakukan dengan uji

Kolmogorov-Smirnov dengan langkah-langkah pengujian sebagai berikut:

1. Hipotesis

Ho : Data berdistribusi EMWE

H1 : Data tidak berdistribusi EMWE


Taraf signifikansi pada nilai tabel Kolmogorov adalah sebesar 5%




ISBN 978-602-99837-2-2

3. Statistik Uji

Statistik uji Kolmogorov-Smirnov adalah:


Ho diterima jika < nilai tabel Kolmogorov , sebaliknya Ho

ditolak jika ≥ nilai tabel Kolmogorov .

. Berdasarkan hal tersebut diperoleh

sehingga Ho diterima.


Berdasarkan pengujian yang telah dilakukan, maka disimpulkan bahwa

data yang digunakan dalam penelitian ini mengikuti distribusi EMWE.

4. KESIMPULAN DAN SARAN

Berdasarkan pembahasan sebelumnya, maka diperoleh kesimpulan

sebagai berikut:

1. Karakteristik fungsi hazard distribusi EMWE dipengaruhi oleh

parameter bentuk.

2. Pengujian asumsi awal penggunaan data pada distribusi EMWE terdiri

dari uji data berdistribusi Weibull dan identifikasi fungsi bathtub

hazard.

3. Pengujian distribusi Weibull dilakukan dengan plot Weibull dan uji

Mann, sedangkan pengidentifikasian fungsi bathtub hazard dilakukan

berdasarkan plot TTT dan uji statistik Bergman.

4. Hasil estimasi parameter distribusi EMWE dengan metode MLE yang

dilanjutkan dengan metode iterasi BHHH untuk data simulasiadalah

, , , dan .




ISBN 978-602-99837-2-2

5. Distribusi terbaik dalam mendeskripsikan data simulasi berdistribusi

EGLE dengan fungsi bathtub-shaped hazard adalah distribusi EMWE

berdasarkan nilai AIC.

6. Dalam tulisan ini, data simulasi yang dibangkitkan secara acak hanya

diulang sebanyak satu kali. Untuk penelitian selanjutnya, disarankan

untuk melakukan beberapa kali pengulangan dengan tujuan untuk

melihat keragaman hasil estimasi antar beberapa jenis data simulasi

yang berbeda (sebagai akibat dari adanya pengulangan) namun

berangkat dari parameter pembangkit yang sama.

DAFTAR PUSTAKA

Aarset, M.V. 1985. The Null Distribution for a Test of Constant versus

"Bathtub" Failure Rate. Scandinavian Journal of Statistics, 12(1): 55-

61

. 1987. How to Identify a Bathtub Hazard Rate. IEEE Transactions on

Reliability, R-36(1): 106-108

Bergman, B. 1979. On Age Replacement and the Total Time on Test

Concept. Scandinavian Journal of Statistics, 6(4): 161-168

Berndt, E., Hall, B., Hall, R., Hausman, J. (1974). Estimation and Inference in

Nonlinear Structural Models. Annals of Economic and Social

Measurement, 3: 653–665

Chen, Z. 2000. A New Two-Parameter Lifetime Distribution with Bathtub

Shape or Increasing Failure Rate Function. Statistics & Probability

Letters, 49(2): 155-161

Conover, W.J. 1971. Practical Nonparametric Statistics. New York: John

Wiley and Sons

Febriyanto, A. 2010. Bathtub Curve (Kurva Bak Mandi). Yogyakarta:

Universitas Gadjah Mada

Greene, W.H. 2011. Econometric Analysis Seventh Edition. New York:

Prentice Hall

Herawati. 2013. Estimasi Parameter Distribusi Weibull 3 Parameter (Studi

Kasus: Rata-rata Kecepatan Angin di Kota Makassar). Makassar:

Universitas Hasanuddin

Lacey, D., Nguyen, A. 2015. Bathtub and Unimodal Hazard Flexibility

Classification of Parametric Lifetime Distributions. Rose-Hulman

Undergraduate Mathematics Journal, 16(2): 92-112




ISBN 978-602-99837-2-2

Lawless, J.F. 1982. Statistical Models and Methods for Lifetime Data. New

York: John Wiley and Sons

Misdawita.2011. Penaksiran Parameter Model Multinomial Probit

Berdasarkan Konsep Utilitas.Depok: Universitas Indonesia

Murthy, D.N.P, Xie, M., Jiang, R. 2004. Weibull Models. New York: John

Wiley and Sons

Rajarshi, S., Rajarshi, M.B. 1988. Bathtub Distributions: A Review.

Communication in Statistics-Theory and Methods, 17(8): 2597-2621

Rinne, H. 2014. The Hazard Rate : Theory and Inference (with supplementary

MATLAB-Programs). Giessen: Universitas Justus Liebig Giessen

Sarhan, A.M., Abd El-Baset, A.A., Alasbahi, I.A. 2013. Exponentiated

Generalized Linear Exponential Distribution. Applied Mathematical

Modelling, 37(5):2838-2849

estimasi parameter distribusi exponentiated...

Documents