IPG KAMPUS PENDIDIKAN TEKNIK

LAPORAN TUGASAN KERJA KURSUSPelajar dikehendaki mengisi bahagian ini:

Nama DEVARANI A/P KALI

No.metrik IPG/KPT/PPG/2011/MT/W004/028

No KP 820826-14-5868

Kumpulan/Unit PPG Ambilan Khas Februari 2013 Unit : Matematik : (sila bulatkan)

Kod kursus MTE 3108Nama Kursus KALKULUS ASAS

Nama Pensyarah PN.SALMIAH BINTI MD SALLEH

Laporan ini mengandungi tugasan berikut:

(tandakan )

Tugasan Bahagian A

Tugasan Bagaian B

Tugasan Bahagian C

Refleksi keseluruhan tugasan

Lain-lain (sila nyatakan) ________________________________

Saya mengaku laporan tugasan ini adalah hasil kerja saya sendiri dan tidak mengandungi bahan-bahan yang diplagiat.

Tanda tangan: _______________________________________________ Tarikh _____________

KEGUNAAN PEJABAT

Tarikh diserah____________ Diterima oleh ____________________________

Tarikh diperiksa ___________ Diperiksa oleh____________________________

BMM 3043E PENGAJARAN KEMAHIRAN BAHASA MELAYU

SEKOLAH RENDAH

NAMA : DEVARANI A/P KALI

NO MatriK : IPG/KPT/PPG/2011/MT/W004/028

N0.KP : 820826-14-5868

KUMPULAN : PPG AMBILAN KHAS FEBRUARI 2013

NAMA PENSYARAH : EN.ABDUL RAHIM BIN MOHD YASIN

NAMA KAMPUS : IPG KAMPUS TEKNIK

TARIKH HANTAR : 27 SEPTEMBER 2014

SEMESTER : 5

ISI KANDUNGAN

BIL PERKARA MUKA SURAT1. Isi kandungan 1

2. Borang Kolabrasi 2

3. Biodata 3

4. Penghargaan 4

5. Pengenalan kalkulus 5

6. Soalan 1A.Pembinaan “ Booklet”

7. Soalan 2

B.Penyelesaian Masalah

Masalah 1

Masalah 2

8. Rumusan

9. Refleksi

10. Bibliografi

11. Lampiran

12. Sekian Terima kasih

PROGRAM PENSISWAZAHAN GURUAMBILAN KHAS FEBRUARI 2014

KALKULUS – ( MTE 3108 )

TARIKH AKTIVITI KOMEN TANDA

TANGAN

11.01.2014 Saya telah mendapat

tugasan dan diterangkan oleh PN.SALMIAH

Kami diberi penerangan

Dapat mengenali keperluan tugasan ini.

20.01.2014 Mencari maklumat di pusat

sumber awam. Perbincangan dengan

kawan-kawan sekelas.

Dapat menyenaraikan langkah-langkah penting bagi tajuk tugasan.

28.01.2014 Mencari maklumat tentang

sejarah kalkulussaya dapat menghasilkan draf untuk soalan 1.

08.02.2014 Mencari maklumat tentang

tokoh-tokoh matematik kalkulus

Mendapat kepastian tentang tugasan yang dihasilkan.

18.02.2014 Membincang jawapan

soalan 1 Membuat masalah1

kalkulus.

Dapat mengenalpasti kesilapan

22.02.2014 Membuat penyelasaian masalah kalkulus 1 dan 2

Dapat mengenal pasti kesilapan

28.02.2014

Buat penyemakan daripada rakan sejawat

Dapat mengenalpasti kesilapan

05.03.2014 Menaip tugasan Mendapat kepastian dari

rakan.

15.03.2014

Membuat refleksi tugasan Dapat menyeneraikan rintangan yang dihadapi.

22.03.2014

Menghantar tugasan Dapat menyiapkan tugasan pada masa yang ditetapkan.

BORANG KOLABORASI

NAMA PELAJAR DEVARANI A/P KALI820826-14-5868

KOD& NAMA KURSUS MTE 3108 / KALKULUS

NAMA PENSYARAH PENYELIA PN.SALMIAH BINTI MD SALLEH

Nama : Pn.Devarani a/p Kali

No.IC : 820826-14-5868

Umur : 32 Tahun

Hobi : Membaca buku Cerita /Memasak

Pengalaman : 8 Tahun dalam bidang Perguruan ini.

No/HP : 019-6208276

Anak : 1Lelaki ( Dasmendra Pillai) 4 Tahun

: 1 Perempuan ( Sri Hamshavani Pillai) 1 bulan

Nama Suami : Sanker Pillai a/l Selvarajoo

1.0 PENGHARGAAN

Salam sejahtera dan bersyukur tuhan limpah kurnianya dapatlah saya menyiapkan

tugasan Kalkulus Asas bagi Program Ijazah Sarjana Muda Perguruan semester 4. Tugasan

ini banyak memberi pengetahuan pengiraan dan buat graf dengan menggunakan DSP

Sketch

Dalam kesempatan ini, saya ingin mengucapkan jutaan terima kasih kepada

pensyarah, Pn. SALMIAH BINTI SALLEH yang telah bertungkus-lumus dan sentiasa

memberikan nasihat dalam menyiapkan tugasan ini.Dengan kerjasama dan bimbingan yang

telah dicurahkan oleh beliau amatlah dihargai. Dengan ini saya juga merakamkan terima

kasih kepada rakan-rakan yang amat menyumbangkan idea, bantuan,sokongan dan

dorongan supaya saya dapat menyiapkan tugasan ini melalui sesawang dan whatss up.

Bagi rakan- rakan seperjuangan yang turut menyumbangkan idea, jasa mereka amatlah

dihargai. Segala kebaikan yang diberikan akan dapat balasannya.

Sebelum saya melangkah jauh, saya bersyukur kerana dapatlah saya

menyelesaikan tugasan ini dengan sempurna.Akhir kata, saya berharap agar puan

mendapat kepuasan dalam kerja kursus ini apabila menyemak tugasan yang saya

sediakan.Saya juga berharap hasil kerja ini dapat membantu semua yang membaca

tugasan saya. Saya juga ingin memohon sejuta kemaafan sekiranya terdapat kesilapan dan

kekurangan dalam tugasan saya ini., segala kekurangan harap dimaafkan.Sesungguhnya

yang baik itu datangnya dari tuhan dan yang buruk itu datangnya dari kelemahan saya

sendiri..

SEKIAN, TERIMA KASIH

2.0 Pengenalan

Matematik ialah kebolehan untuk berfikir secara logik menyelesaikan masalah dan

tanggapan untuk melihat perhubungan, melihat pola dan membuat ramalan. Matematik juga

dikenali sebagai satu cara pemikiran mengenai alam pengkajian tentang corak dan

hubungkait, alat mencari sebab musabah untuk menyelesaikan masalah dan jaringan

konsep yang saling berkaitan.Sebagai seorang guru matematik, kita perlu mengaplikasikan

konsep dan kemahiran pengajaran dan pembelajaran matematik yang dipelajari dalam

matapelajaran kalkulus. Kursus ini memfokus kepada konsep utama dalam kalkulus , fungsi

dan graf, kefahaman asas kepada had dan teorem had, terbitan dan integral serta pola dan

perhubungan. Teknologi digunakan untuk melakar dan membuat interpretasi graf fungsi.

Pengetahuan adalah maklumat yang diketahui atau disedari oleh

seseorang.Pengetahuan tidak dibatasi pada deskripsi, hipotesis, konsep, teori, prinsip dan

prosedur yang benar atau berguna.Pengetahuan terdiri atas kepercayaan tentang

kenyataan juga mungkin diperoleh berdasarkan pengalaman. Cara lain untuk mendapat

pengetahuan ialah dengan pengamatan dan eksperimen.

Kalkulus adalah satu cabang matematik.Kalkulus telah diwujudkan di sebahagian

besar oleh Newton dan Leibniz, walaupun beberapa idea-idea yang telah digunakan oleh

Fermat dan juga Archimedes.Kalkulus dibahagikan kepada dua bahagian, yang berkait

rapat. Satu bahagian dipanggil "kalkulus pembezaan" dan bahagian yang lain dipanggil

"kalkulus kamiran".

Kalkulus kamiran membayangkan satu bentuk matematik yang mengenal pasti

isipadu, luas dan penyelesaian kepada persamaan. Kalkulus pembezaan adalah satu kajian

terhadap fungsi dan kadar perubahan dalam fungsi apabila pembolehubah diubah. Kalkulus

kamiran menumpukan kepada menentukan jawapan matematik seperti saiz jumlah atau nilai

Kalkulus adalah cabang matematik yang dikembangkan dari algebra dan

geometri.Kalkulus umumya mempelajari perubahan laju (dalam fungsi), seperti halaju,

lengkung, dan isipadu.Perkembangan kalkulus awalnya didukung oleh Archimedes, Leibniz

dan Newton juga Barrow, Descartes, de Fermat, Huygens, dan Wallis. Dasar dari kalkulus

adalah pengamiran, pembezaan dan had.

Luas adalah kuantiti fizik yang menyatakan ukuran suatu permukaan. Unit luas

utama menurut ‘Scale International’ (SI) adalah meter persegi sedangkan menurut sistem

Imperial adalah kaki persegi. Pengukuran luas untuk bentuk-bentuk sederhana boleh

dilakukan dengan menggunakan persamaan Matematik.Contohnya, untuk suatu segiempat,

luas adalah lebar darab tinggi.

Theorem Asas Kalkulus telah dikenali kerana ia menghubungkan dua cabang

kalkulus, iaitu kalkulus pembezaan dan kalkulus kamiran. Kalkulus pembezaan terhasil

daripada masalah tangen manakala kalkulus kamiran terhasil daripada masalah mencari

luas. Guru kepada Newton di Cambridge, Isaac Barrow (1630 – 1677), menemui dua

masalah dalam kalkulus adalah sangat berkaitan bahkan menyedari pembezaan dan

kamiran adalah proses songsangan.

Theorem Asas Kalkulus menunjukan hubungan songsang yang jelas antara

pembezaan dan kamiran.Newton dan Leibniz menggunakan hubungan antara pembezaan

dan kamiran untuk membina kalkulus sebagai kaedah matematik yang sistematik. Secara

khusus mereka melihat Theorem Asas Kalkulus membolehkan mereka mengira luas dengan

kaedah kamiran adalah mudah tanpa perlu menggunakan limit bagi suatu jumlah.

Cabang kalkulus dipenuhi teori dan aplikasi pengamiran. ‘Differential Calculus’

memfokuskan pada kadar perubahan, seperti kecerunan garis tangen dan halaju. ‘Integral

Calculus’ pula menekankan jumlah sesuatu nilai seperti panjang, luas kawasan dan

isipadu.Penguasaan pelajar dalam Kalkulus Permulaan di peringkat tinggi amat penting bagi

melangkah ke peringkat kalkulus yang lebih tinggi.Kesukaran pelajar dalam penyelesaian

masalah berkaitan kalkulus sering dikaitkan dengan pengetahuan asas yang mereka miliki.

Pengamiran (integration) ialah songsangan bagi pembezaan (differentiation). Jadi,

teknik yang diaplikasikan bagi menyelesaikan soalan yang menuntut penyelesaian berupa

pengamiran adalah berbeza sedikit jika dibandingkan dengan proses pembezaan. Kamiran

ialah satu konsep penting dalam matematik yang bersama dengan pembezaan, membentuk

antara operasi utama dalam kalkulus.

Prinsip kamiran telah diterbitkan oleh Isaac Newton dan Gottfried Leibniz secara

berasingan (mereka berada di tempat yang berbeza, namun menerbitkan hasil kerja pada

waktu yang sama) pada lewat kurun ke-17. Melalui teori asas kalkulus, yang juga diterbitkan

oleh mereka berdua, kamiran dikaitkan dengan pembezaan, satu konsep yang diketahui

umum ketika itu.Terdapat dua jenis pengamiran iaitu pengamiran tentu dan tidak

tentu.Proses pengamiran boleh digunakan untuk menyelesaikan pelbagai situasi iaitu

menyelesaikan persamaan lengkung, mencari luas rantau berlorek dan juga isi padu janaan.

Wikipedia menjelaskan secara lebih mendalam mengenai kamiran dan terbitan yang

merupakan asas kalkulus.Kedua-duanya boleh diguna pakai dalam pelbagai bidang sains

dan kejuruteraan.Perkembangan besar dalam kamiran muncul pada abad ke-17 apabila

kedua-dua Newton dan Leibniz menerbitkan teori asas kalkulus (fundamental theorem of

calculus).Teori ini membuktikan kaitan antara kamiran dan pembezaan.

Perkaitan ini, dicampur dengan pembezaan yang jauh lebih senang daripada

kamiran, digunakan oleh kedua-duanya untuk membuktikan kewujudan kamiran dengan

sistematik dan saintifik.Kamiran menyelesaikan banyak masalah yang gagal diselesaikan

dengan pembezaan. Sesuatu fungsi yang berterusan boleh dianalisa dengan tepat melalui

kalkulus yang diberi nama infinitesimal calculus ini. Kerja-kerja Newton dan Leibniz ini

akhirnya dipanggil kalkulus moden, dimana tatanama untuk kamiran diambil secara

langsung dari kerja Leibniz.

Kalkulus telah wujud sejak zaman purba dan, dalam bentuk yang paling mudah dan

digunakan untuk mengira.Kepentingannya dalam dunia matematik dalam mengisi

kekosongan menyelesaikan masalah yang kompleks apabila matematik mudah tidak boleh

memberi jawapan. Apa yang orang tidak sedar ialah kalkulus diajar kerana ia digunakan

dalam kehidupan seharian di luar bilik darjah sekolah tinggi dan kolej.

Kalkulus mempunyai banyak aplikasi dunia sebenar. Apabila ada masalah yang lebih

kompleks untuk menyelesaikan atau ia melibatkan bentuk yang luar biasa atau saiz,

kalkulus menjadi alat untuk tiba pada penyelesaian. Sebagai contoh, jika terdapat bumbung

besar yang akan dibina seperti bumbung yang dibina melebihi stadium sukan, pereka akan

menggunakan aplikasi kalkulus untuk merancang saiz dan kekuatan struktur. Bagi seorang

profesional yang cuba untuk menentukan kerja, luas, kelantangan, kecerunan, atau luas

permukaan, kalkulus akan banyak membantu.

Sebagai contoh, kalkulus adalah penting untuk mengenal pasti perjalanan jarak

kereta dengan gerak balas pecutan.Hubungan antara kedudukan, halaju, dan pecutan

membentuk salah satu tema penting dalam kalkulus pembeza. Kita akan mendapati bahawa

hubungan ini juga merupakan aplikasi penting kamiran, terutama dalam kes-kes di mana

salah satu kuantiti berubah dengan masa. Melalui idea asas kalkulus pembeza ini, keadaan

yang paling mudah di mana anda boleh membaca bacaan speedometer apabila anda

memandu pada kelajuan yang sama seluruh jarak. Kemudian, anda boleh menggunakan

formula, kelajuan sama dengan jarak dibahagikan dengan masa.

Kemudian kalkulus juga diperlukan dalam mencari sesuatu luas. Berdasarkan

contoh, kalkulus adalah sangat penting dalam mengira luas padang atau ladang. Dengan

menggunakan kalkulus, kita boleh menjimatkan masa dan tenaga untuk mengira luas itu.

Tambahan pula, bagi rantau bentuk tidak teratur, kita tidak boleh menggunakan kaedah

integrasi tetapi cara yang paling mudah adalah skala panjang, kemudian memecahkan ia ke

dalam segiempat tepat yang sama lebar dan mengira jumlah kawasan tersebut. Dalam idea

asas kalkulus kamiran ini, bentuk yang paling mudah untuk mengira luas ialah dengan

menggunakan segi empat tepat.Luas tersebut merupakan panjang segi empat didarab

dengan lebarnya.Sebagai contoh, "batu persegi" adalah ukuran untuk mengukur ukuran

sebidang tanah.Untuk mengira luas rantau yang lebih rumit, kita bina rantau ini ke dalam

bentuk segiempat tepat kecil yang banyak.

Walaupun matematik kalkulus mungkin kelihatan tidak relevan dan tidak diperlukan,

jika kita fikir semula akan hal ini kita akan menyedari bahawa mempelajarinya adalah satu

kepuasan. Kita akan mengetahui keindahan sebenarnya apabila kita memahami keupayaan

alat ini sangat kuat untuk menggambarkan asal usul persekitaran kita. Bagi saya, tiada apa

yang lebih seronok daripada pembelajaran matematik kalkulus. Istilah "Kalkulus" sering

membuat pelajar matematik gementar dalam berada ketakutan kerana reputasinya sebagai

kursus yang sukar untuk diajar di sekolah-sekolah hari ini.Kalkulus memainkan peranan

yang besar di universiti-universiti dan juga mata pelajaran penting kepada pelajar kolej

dalam bidang ekonomi, sains, perniagaan, kejuruteraan, sains komputer, dan sebagainya.

Masyarakat perlu sedar bahawa jika kalkulus ini bukan sebahagian daripada subjek

matematik, kita tidak akan menikmati semua teknologi yang popular hari ini seperti kereta,

telefon bimbit, komputer, motosikal, dan lain-lain mata pelajaran Matematik boleh dianggap

menjadi sumber dunia moden hari ini

Contoh pengiraan

BINAAN FUNGSI GRAF

Dalam tugasan ini, saya telah membina fungsi mudah yang berbentuk linear ataupun

bersifat garis lurus. Saya berkali-kali mencuba jaya pelbagai fungsi yang lain sebelumnya

serta melukisnya menggunakan perisian Geometry Sketch Pad (GSP) tetapi setelah

menimbang baik buruknya, saya bersetuju memilih garis lurus sebagai fungsi binaan

memandangkan binaan janaan untuk bentuk 3D yang boleh dibentuk dengan menggunakan

garis linear lebih pelbagai.

Fungsi yang telah saya pilih ialah :

1¿ y=−x+2

2¿ y=12x+2

Fungsi Pertama y=− x+2

Garis yang menjunam menunjukkan bahawa kecerunan bagi fungsi pertama (Rajah 1) dalah

negatif.

Persamaan Pembezaan

Persamaan pembezaan merupakan satu perhubungan antara satu angkubah bebas x, satu angkubah bersandar y dan satu ayau lebih pekali-pekali pembezaan y berbanding dengan x.

Rajah 1

Contoh

i.x2 dydx

+ y sin x=0

ii.xyd2 ydx 2

+ y dydx

+e3 x=0

Darjah sesuatu persamaan pembezaan.

i.xdydx

− y2=0Persamaan pembezaan darjah pertama

ii.xyd2 ydx 2

− y2 sin x=0Persamaan pembezaan darjah kedua

iii.

d3 ydx3

− y dydx

+e4 x=0 Persamaan pembezaan darjah ketiga

Pembentukan Persamaan Pembezaan

Persamaan pembezaan boleh debentuk dengan menghapuskan pemalar-pemalar sembarangan (arbitary) daripada fungsi yang diberi.

Contoh

Bentukan satu persamaan pembezaan daripada fungsi berikut.

i.y=x+ A

x ii. y=A sin x+B cos x

iii. y=Ax2+Bx

Penyelesaian contoh 1

i.y=x+ A

x Per 1

dydx

=1−Ax−2

=1−Ax2

daripada pers 1 A=( y−x ) x Per 3gantikan per 3 dalam per 2

dydx

=1−( y−x ) xx2

=1−( y−x )x

=x− y+xx

=2 x− yx

xdydx

=2 x− y

ii. y=A sin x+B cos x Per 1

dydx

=A cos x−B sin x

d2 y

dx 2=−A sin x−B cos x

=−(A sin x=B cos x )=− y

d2 ydx 2

+ y=0

iii. y=Ax2+Bx Per 1

dydx

=2 Ax+B

d2 y

dx 2=2 A

A=12d2 ydx2

Per2

Per 3

Per 2

Gantikan per 3 dalam per 2

dydx

=2(12 ) x+BB=dydx

−x d2 y

dx2

gantikan A=1

2d2 ydx 2 dan

B=dydx

−x d2 ydx 2

y=(12 d2 ydx 2 ) x2+(dydx −x d

2 ydx2 )x

=x2

2d2 ydx2

+x dydx

−x2d2 ydx 2

=xdydx

−x2

2d2 ydx2

maka

x2d2 y

dx2−2x

dydx

+2 y=0

Rumusan

i. Jika satu fungsi yang mempunyai satu pemalar sembarangan memberi persamaan darjah pertama.

ii. Jika satu fungsi mempunyai dua pemalar sembarangan menghasilkan persamaan darjah kedua.

iii. Oleh itu satu fungsi yang mempunyai n pemalar sembarangan menghasilkan persamaan pembezaan darjah n.

Penyelesaian kepada persamaan pembezaan

Untuk menyelesaikan sesuatu persamaan pembezaan, kita perlu mencari suatu fungsi yang mana persamaan tersebuut benar. Ini bermakana kita mesti mengolahkan persamaan tersebut supaya hilang semua pekali-pekali pembezaan dan meninggalkan satu perhubungan antara y dan x. Terdapat beberapa kaedah penyelesaian kepada persamaan pembezaan.

1. Kaedah Kamilan Terus

Jika satu persamaan boleh disusun dalam bentuk

dydx

=f ( x ) , maka persamaan bolehlah

diselessaikan secara kamilanm terus.

Contoh 2

i.

dydx

=3 x2−6 x+5

ii.xdydx

=5 x3+4

Penyelesaian contoh 2

i.

dydx

=3 x2−6 x+5

∫ dy=∫3 x2−6 x+5 dx

y=x3−3 x2+5 x+C

ii.xdydx

=5 x3+4

dydx

=5 x3+4x

dydx

=5 x3

x+4x

∫ dy=∫5 x2+4 x−1 dx

y=5 x3 33

+4 ln x+C

Contoh 3

Dapatkan penyelesaian khusus bagi persamaan e xdydx

=4 jika diberi x = 0 dan y = 3

Penyelesaian contoh 3

exdydx

=4

dydx

=4e−x

∫ dy=∫4 e−x dx

y=4∫ e−x dxy=−4 e−x+C

Maka apabila x = 0 dan y = 3

3=−4 e−0+CC=7

Penyelesaian khusus adalah ;

y=−4e− x+7

2. Kaedah memisahkan angkubah

Jika diberi persamaan dalam bentuk

dydx

=f ( x , y ) dimana angkubah y disebelah kanan

menghalang penyelesaian cara kamilan terus, maka cara memisahkan angkubah boleh

digunakan. Katakan persamaan dalam bentuk

dydx

=f ( x ) . f ( y ) dan

dydx

=f ( x )f ( y ) , iaitu

dimana persamaan disebelah kanan boleh dinyatakan sebagai hasil darab atau hasil bahagi fungsi x dan y.

Contoh 4

Dapatkan penyelesaian am bagi persamaan pembezaan berikut :

i.

dydx

= 2x( y+1 ) ii.

dydx

=(1+x ) (1+ y )

iii. (3 y2+1 )x3 dy−(x2+1 ) dx=0iv.

x2+( y+2 )3 dydx

=0

v.

dydx

=1+ y2+x vi.

dydx

= y2+xy 2

x2 y−x2

Penyelesaian contoh 4

i.

dydx

= 2x( y+1 ) ii.

dydx

=(1+x ) (1+ y )

dy(1+ y )

=(1+x ) dx

∫ dy(1+ y )=∫ (1+x ) dx

ln (1+ y )=x+x2

2+C

dydx

=2 x( y+1 )

( y+1 ) dy=2 x dx

∫ ( y+1 ) dy=∫2 x dx

y2

2+ y=x2+C

y2+2 y=2 x2+C

iii. (3 y2+1 )x3 dy−(x2+1 ) dx=0

3 y2+1 dy=x2+1x3

dx

∫3 y2+1 dy=∫1x

+1x3dx

y3+ y=ln x−12x2

+C

C= y3+ y−ln x+12 x2

iv.x2+( y+2 )3 dy

dx=0

∫ ( y+2 )3 dy=∫−x2 dx

( y+2 )4

4(1 )=−x

3

3+C

x3

3+

( y+2 )4

4=C

v.

dydx

=1+ y2+x

dy(1+ y )

=dx(2+x )

∫ dy(1+ y )=∫dx(2+x )

ln (1+ y )= ln (2+x )+Cln (1+ y )= ln (2+x )+ ln A1+ y=A (2+x )

vi.

dydx

= y2+xy 2

x2 y−x2

dydx

=y2 (1+x )x2 ( y−1 )

( y−1 )y2

dy=(1+x )x2

dx

(1y −1y2 ) dy=(1x2

−1x ) dx

∫(1y −1y2 ) dy=∫(1x2

−1x ) dx

ln y+ y−1=ln x+x−1+C

ln y+1y=ln x+1

x+C

Persamaan Sama Jenis (Homogen)

Tidak semua persamaan pembezaan peringkat pertama boleh dipisahkan pembolehubahnya yang terdiri daripada x , y dan terbitannya dengan mudah. Satu cara bagi mengatasi masalah ini ialah dengan menggantikan, y = vx kedalam persamaan tersebut.

Persamaan dalam kategori ini adalah dalam bentuk Pdydx

=Q di mana P dan Q berfungsi

kepada kedua-dua x dan y. pasangan ini pula hendaklah homogen dimana setiap sebutan mempunyai darjah yang sama. Sesuatu persamaan itu dikatakan homogen adalah apabila ;

f ( λx , λy )=λn f ( x , y ) .

Contoh persamaan yang homogen.

f ( x , y )=x3−xy2gantikan x dengan x dan y dengan y

f ( λx , λy )=( λx )3−( λx ) [λy ]2

=λ3 x3−λ3 xy2

=λ3 ( x3−xy 2 )

contoh lain persamaan homogen.

i. f ( x , y )=x2+3 xy+ y2

ii.f ( x , y )= x−3 y

2 x+ y

Contoh persamaan tidak homogen seperti f ( x , y )= x2− y

2x2+ y2 dimana sebutan y dalam

angkatas mempunyai darjah satu dan tiga sebutan yang lain terdiri daripada darjah dua.

Tatacara menyelesaikan persamaan dalam bentuk Pdydx

=Q

i. Susun semula Pdydx

=Q kepada bentuk

dydx

=QP

ii. Gantikan y = vx (dimana v sebagai fungsi x) dan seterusnya ,

dydx

=v+x dvdx (kaedah

hukum hasil darab).

iii. Gantikan untuk y dan

dydx dalam persamaan

dydx

=QP dan ringkaskan.

iv. Pisahkan pembolehubah dan selesaikan cara biasa.

v. Gantikan v= yx untuk mendapatkan pembolehubah asal.

Contoh 5

Selesaikan persamaan pembezaan berikut ;

i.2 xdydx

=x+3 yii.

2 x2 dydx

=x2+ y2

Penyelesaian contoh 5

i.2 xdydx

=x+3 y

dydx

= x+3 y2 x Persamaan 1

Gantikan y = vx dan

dydx

=v+x dvdx kedalam persamaan 1

v+x dvdx

=x+3 (vx )2x

=x+3vx2x

=1+3v2

xdvdx

=1+3v2

−v

Tugasan Projek (100%)

Kalkulus adalah bidang matematik yang agak mencabar.Ia meliputi tajuk-tajuk fungsi, had dan keselanjaran, pembezaan dan pengamiran. Anda dikehendaki menyediakan satu laporan yang lengkap tentang pengetahuan anda tentang bidang kalkulus seperti dalam tugasan A. Anda juga perlu menyelesaikan masalah yang melbatkan tajuk pembezaan dan pengamiran bagi menguasai konsep yang terdapat di dalamnya dan memaparkan pemahaman anda tentang tajuk tersebut.

A. Pembinaan “booklet” (50%) Tempoh : 11 Januari 2014 – 8 Mac 2014

1. Laksanakan penyiasatan dan penerokaan tentang sejarah dan kegunaan kalkulus.

2. Bina satu booklet lengkap mengandungi gambar, ilustrasi dan maklumat terperinci tentang sejarah kalkulus serta sumbangan tokoh-tokoh matematik terkenal dalam bidang kalkulus. Contoh tokoh-tokoh termasuk Gottfried Wilhelm Leibniz dan Issac Newton.

3. Seterusnya huraikan secara terperinci tentang kegunaan kalkulus terutamanya dalam bidang binaan, fizik, kejuruteraan kimia, statistik dan sebagainya dalam booklet tersebut.

.

Sejarah Kalkulus

Kalkulus (Bahasa Latin: calculus, artinya “batu kecil”, untuk menghitung) adalah cabang ilmu matematik yang mencukup limit, turunan, integral, danderet tak terhingga. Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaimana geometri adalah ilmu mengenai bentuk dan aljabar adalah ilmu mengenai pengerjaan untuk memecahkan persamaan serta aplikasinya. Kalkulus memiliki aplikasi yang luas dalam bidang-bidang sains, ekonomi, dan teknik serta dapat memecahkan berbagai masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan aljabar elementer.Kalkulus memiliki dua cabang utama, kalkulus diferensial dan kalkulus integral yang saling berhubungan melalui teorema dasar kalkulus. Pelajaran kalkulus adalah pintu gerbang menuju pelajaran matematika lainnya yang lebih tinggi, yang khusus mempelajari fungsi dan limit, yang secara umum dinamakan analisis matematik.

ZAMAN KUNO

Isac Newton mengembangkan penggunaan kalkulus dalam bukunya hukum gerak dan gravitasi . Period kuno memperkenalkan beberapa ide yang menyebabkan terpisahkan kalkulus, tetapi nampaknya tidak telah mengembangkan idea-idea ini dengan cara yang ketat dan sistematik. Perhitungan volume dan daerah, salah satu tujuan dari integral kalkulus, dapat ditemukan di Mesir Moskow papirus (c. 1820 SM), tetapi

formula instruksi belaka, dengan indikasi untuk metode, dan beberapa dari mereka salah. Sejak usia matematika Yunani, Eudoxus (sekitar 408-355 SM) menggunakan metode kelelahan, yang prefigures konsep batas, untuk menghitung luas dan volume, sementara Archimedes (± 287-212 SM) mengembangkan gagasan ini lebih jauh, menciptakan heuristik yang menyerupai metode kalkulus integral. Para metode kelelahan kemudian diciptakan kembali di Cina oleh Liu Hui pada abad ke-3 untuk menemukan luas lingkaran. Pada abad ke-5, Zu Chongzhi membentuk metode yang kemudian akan disebut prinsip Cavalieri 's untuk mencari volume sebuah bola.

  PADA ABAD PERTENGAHAN

Dalam matematik abad ke-14 India Madhava dari Sangamagrama dan menyatakan banyak komponen kalkulus seperti deret Taylor, terbatas seri perkiraan, sebuah uji integral untuk konvergensi, bentuk awal diferensiasi, Istilah integrasi dengan istilah, metode iteratif untuk solusi non-linear

persamaan, dan teori bahwa area di bawah kurva adalah integralnya. Beberapa mempertimbangkan Yukti bahāṣā sebagai teks pertama pada kalkulus.

      PADA MASA MODERN

Di Eropa, karya mendasar adalah sebuah risalah karena Bonaventura Cavalieri, yang

berpendapat bahawa volume dan daerah harus dihitung sebagai jumlah dari volume dan

bidang amat sangat tipis lintas-bagian. Idea-idea serupa dengan 'Archimedes di Cara ini,

tetapi risalah ini telah hilang hingga bahagian awal abad kedua puluh. Kerja Cavalieri's tidak

dihormati karena metodenya dapat menyebabkan hasil yang salah, dan jumlah yang sangat

kecil dia memperkenalkan yang jelek pada awalnya.

Studio formal kalkulus dikombinasikan infinitesimals Cavalieri's dengan kalkulus

terbatas dari perbedaan dikembangkan di Eropa pada sekitar waktu yang sama. Pierre de

Fermat, mungkin bahawa dia dipinjam dari Diophantus, memperkenalkan konsep

adequality, yang diwakili kesetaraan hingga jangka kesalahan sangat kecil. Kombinasi ini

dicapai oleh John Wallis, Isaac Barrow, dan James Gregory, dua terakhir membuktikan

teorema dasar kalkulus kedua sekitar 1675.

Para aturan produk dan aturan rantai, gagasan derivatif lebih tinggi, deret Taylor, dan

fungsi analitis diperkenalkan oleh Isaac Newton dalam nota istimewa yang digunakan untuk

memecahkan masalah matematik fisik. Dalam publikasi, Newton diulang idea-ideanya

sesuai dengan idioma matematik dari waktu, menggantikan perhitungan dengan infinitesimal

oleh argumen geomatrik setara yang dianggap tercela. Dia menggunakan method kalkulus

untuk memecahkan masalah gerak planet, bentuk permukaan cairan berputar, oblateness

bumi, gerakan berat geser pada cycloid, dan banyak masalah lain yang dibahas dalam

bukunya Principia Mathematica (1687). Dalam pekerjaan lain, ia mengembangkan ekspansi

seri untuk fungsi, termasuk kekuatan fraksional dan irasional, dan jelas bahwa ia memahami

prinsip-prinsip dari deret Taylor. Dia tidak mempublikasikan semua penemuan ini, dan saat

ini metode yang sangat kecil masih dianggap jelek.Gottfried Wilhelm Leibniz adalah orang

pertama yang mempublikasikan hasilnya pada pengembangan kalkulus.

Ide-ide ini adalah sistematis ke dalam kalkulus sejati infinitesimals oleh Gottfried

Wilhelm Leibniz, yang pada awalnya dituduh plagiarisme oleh Newton. Dia sekarang

dianggap sebagai penemu indipenden dan kontributor kalkulus. kontribusi adalah untuk

menyediakan sebuah set aturan untuk memanipulasi jumlah yang sangat kecil,

memungkinkan perhitungan turunan kedua dan lebih tinggi, dan menyediakan aturan produk

dan aturan rantai, dalam diferensial dan bentuk integral. Tidak seperti Newton, Leibniz

membayar banyak perhatian pada formalisme, sering menghabiskan hari-hari menentukan

simbol-simbol yang sesuai untuk konsep.

Leibniz dan Newton biasanya baik dikreditkan dengan penemuan

kalkulus. Newton adalah yang pertama menerapkan kalkulus untuk

umum fisika dan Leibniz mengembangkan banyak notasi yang

digunakan dalam kalkulus hari ini. Wawasan dasar yang baik Newton

dan Leibniz diberikan adalah hukum diferensiasi dan integrasi, kedua

dan turunan yang lebih tinggi, dan gagasan dari seri polinomial aproksimasi. Saat Newton,

teorema dasar kalkulus dikenal.

Ketika Newton dan Leibniz mempublikasikan hasil mereka pertama, ada kontroversi

besar di mana matematika (dan karena itu negara mana) kredit layak. Newton berasal

hasilnya pertama, tetapi Leibniz dipublikasikan pertama. Newton mengklaim Leibniz mencuri

ide dari catatan yang tidak dipublikasikan, yang Newton telah dibagi dengan beberapa

anggota dari Royal Society . Kontroversi ini dibagi berbahasa Inggris ahli matematika dari

matematikawan benua selama bertahun-tahun, sehingga merugikan matematika Inggeris.

Pemeriksaan yang saksama atas karya-karya dari Leibniz dan Newton menunjukkan

bahawa mereka tiba di hasil mereka secara independen, dengan Leibniz memulai pertama

dengan integrasi dan Newton dengan diferensiasi. Saat ini, baik Newton dan Leibniz

diberikan kredit untuk mengembangkan kalkulus secara independen. Ini adalah Leibniz,

namun, yang memberikan disiplin baru namanya. Newton disebut kalkulus "ilmu fluxions".

Sejak saat Leibniz dan Newton, banyak yang hebat matematik telah memberi kontribusi

pada pembangunan berkelanjutan kalkulus. Salah satu karya pertama dan paling lengkap

pada analisis yang terbatas dan sangat kecil ditulis pada tahun 1748 oleh Maria Gaetana

Agnesi .

     

MACAM-MACAM KALKULUS

DIFERENSIAL KALKULUS

  Garis singgung pada (x, f (x)). F turunan '(x) dari sebuah kurva pada sebuah titik

adalah kemiringan (naik lebih dari menjalankan) garis singgung dengan kurva pada titik

tersebut.

Diferensial kalkulus adalah ilmu yang mempelajari definisi, properti, dan aplikasi dari

turunan dari suatu fungsi. Proses untuk menemukan turunan disebut diferensiasi. Mengingat

fungsi dan titik dalam domain, turunan pada titik itu adalah cara pengkodean perilaku skala

kecil fungsi di dekat titik itu. Dengan menemukan turunan dari fungsi pada setiap titik dalam

domainnya, adalah mungkin untuk menghasilkan fungsi baru, yang disebut fungsi turunan

atau hanya turunan dari fungsi asli. Dalam jargon matematika, derivatif adalah operator

linear yang input dan output fungsi fungsi kedua. Ini lebih abstrak dari banyak proses

dipelajari dalam aljabar dasar, di mana fungsi biasanya masukan angka dan output nomor

lain. Sebagai contoh, jika fungsi penggandaan diberi masukan tiga, maka itu output, dan

enam jika fungsi mengkuadratkan diberi masukan tiga, maka itu output sembilan. Derivatif,

bagaimanapun, dapat mengambil fungsi mengkuadratkan sebagai masukan. Ini berarti

bahwa derivatif mengambil semua informasi dari mengkuadratkan fungsi seperti bahwa dua

dikirim ke empat, tiga dikirim ke sembilan, empat dikirim ke enam belas, dan sebagainya-

dan menggunakan informasi ini untuk menghasilkan fungsi lain. (Fungsi ini menghasilkan

ternyata menjadi fungsi penggandaan.)

Simbol yang paling umum untuk derivatif adalah suatu tanda apostrof seperti disebut

prima . Dengan demikian, turunan dari fungsi f adalah f ', diucapkan "f prima." Misalnya, jika

f (x) = x 2 adalah fungsi mengkuadratkan, maka f '(x) = 2 x adalah turunannya, fungsi

penggandaan.

Jika input merupakan fungsi waktu, maka turunan yang mewakili perubahan yang

berkenaan dengan waktu. Misalnya, jika f adalah fungsi yang mengambil waktu sebagai

input dan memberikan posisi bola pada waktu itu sebagai output, maka turunan dari f adalah

bagaimana posisi berubah dalam waktu, yaitu, itu adalah kecepatan dari bola.

Jika suatu fungsi linear (yaitu, jika grafik fungsi adalah garis lurus), maka fungsi tersebut

dapat ditulis sebagai y = mx + b, di mana x adalah variabel independen, y adalah variabel

dependen, b adalah y-intercept, dan ini memberikan nilai yang pasti untuk kemiringan garis

lurus. Jika grafik fungsi bukanlah garis lurus, bagaimanapun, maka perubahan y dibagi

dengan perubahan x bervariasi. Derivatif memberikan makna yang tepat dengan gagasan

perubahan output terhadap perubahan input. Agar konkret, marilah f fungsi, dan

memperbaiki titik dalam domain dari f. (A, f (a)) adalah titik pada grafik fungsi. Jika h adalah

angka mendekati nol, maka h + adalah angka yang dekat dengan. Oleh karena itu (a + h, f

(a + h)) dekat dengan (a, f (a)). Kemiringan antara dua titik adalah

Ungkapan ini disebut hasil bagi perbedaan. Sebuah garis melalui dua titik pada kurva

disebut garis garis potong, sehingga m adalah kemiringan garis garis potong antara (a, f (a))

dan (a + h, f (a + h)). Garis garis potong hanya perkiraan dengan perilaku fungsi tersebut

pada titik karena itu tidak menjelaskan apa yang terjadi antara a dan h +. Hal ini tidak

mungkin untuk menemukan perilaku dengan dengan mengatur jam ke nol karena ini akan

memerlukan membagi dengan nol, yang tidak mungkin. Derivatif didefinisikan dengan

mengambil batas sebagai h cenderung nol, yang berarti bahwa ia menganggap perilaku f

untuk semua nilai kecil h dan ekstrak nilai konsisten untuk kasus ketika h sama dengan nol

Secara geometrik, derivatif adalah kemiringan dari garis singung pada grafik f pada.

Garis singung batas garis garis potong seperti derivatif adalah batas quotients perbedaan.

Untuk alasan ini, derivatif kadang-kadang disebut kemiringan fungsi f.

Berikut ini adalah contoh khusus ini, turunan dari fungsi mengkuadratkan di input 3. Misalkan f (x) = x 2 menjadi fungsi mengkuadratkan. F turunan '(x) dari sebuah kurva pada sebuah titik adalah kemiringan dari garis singgung terhadap kurva yang pada saat itu. Kemiringan ini ditentukan dengan mempertimbangkan nilai limit dari lereng garis garis potong. Di sini fungsi yang terlibat (ditarik merah) adalah f (x) = x 3 - x. Garis singgung (dalam hijau) yang melalui titik (-3 / 2, -15 / 8) memiliki kemiringan 23/4. Perhatikan bahwa skala vertikal dan horisontal dalam gambar ini berbeda. Kemiringan garis singgung fungsi mengkuadratkan pada titik (3,9) adalah 6, artinya, ia akan

naik enam kali lebih cepat seperti yang akan ke kanan. Proses batas yang baru saja dijelaskan dapat dilakukan untuk setiap titik dalam domain fungsi mengkuadratkan. Ini mendefinisikan fungsi turunan dari fungsi mengkuadratkan, atau hanya turunan dari fungsi mengkuadratkan untuk pendek. Sebuah perhitungan yang mirip dengan yang di atas menunjukkan bahwa turunan dari fungsi mengkuadratkan adalah fungsi penggandaan.

INTEGRAL KALKULUS

Integral kalkulus adalah ilmu yang mempelajari definisi, properti, dan aplikasi dari dua

konsep terkait, integral tak tentu dan integral tertentu. Proses menemukan nilai terpisahkan

itu disebut integrasi. Dalam bahasa teknis, kalkulus integral mempelajari dua terkait operator

linear.

Integral tak tentu adalah antiturunan , operasi terbalik dengan derivatif. F adalah integral

tak tentu dari f ketika f adalah turunan dari F. (Ini penggunaan huruf besar dan huruf kecil

untuk fungsi dan integral tak tentu adalah umum dalam kalkulus.)

Masukan integral tertentu fungsi dan output sebuah angka, yang memberikan daerah

antara grafik input dan sumbu x . Definisi teknis dari integral tertentu adalah batas dari

sejumlah bidang persegi panjang, yang disebut penjumlahan Riemann.

Sebuah contoh yang memotivasi adalah jarak perjalanan dalam waktu

tertentu.

Jika kecepatan adalah konstan, perkalian hanya diperlukan, tetapi jika

perubahan kecepatan, maka kita perlu metode yang lebih kuat untuk

menemukan kejauhan. Salah satu metode tersebut adalah untuk perkiraan

jarak yang ditempuh oleh putus waktu ke interval pendek banyak waktu, kemudian

mengalikan waktu yang telah berlalu di masing-masing interval dengan salah satu

kecepatan di interval tersebut, dan kemudian mengambil jumlah (a jumlah Riemann ) dari

perkiraan jarak tempuh pada setiap interval. Ide dasarnya adalah bahwa jika hanya berlalu

waktu singkat, maka kecepatan akan tetap kurang lebih sama. Namun, jumlah Riemann

hanya memberikan perkiraan jarak yang ditempuh. Kita harus mengambil batas semua

jumlah Riemann seperti untuk menemukan jarak yang tepat bepergian.Integrasi dapat

dianggap sebagai tolok area di bawah kurva, didefinisikan oleh f (x), antara dua titik (di sini a

dan b). Jika f (x) pada diagram di sebelah kiri mewakili kecepatan seperti itu bervariasi dari

waktu ke waktu, jarak yang ditempuh (antara waktu diwakili oleh a dan b) adalah luas

daerah yang diarsir s. Untuk perkiraan bahwa area, metode intuitif adalah dengan membagi

jarak antara a dan b menjadi beberapa segmen yang sama, panjang setiap segmen diwakili

oleh Ax simbol. Untuk setiap segmen kecil, kita dapat memilih satu nilai dari fungsi f (x). Call

bahwa h nilai. Maka luas persegi panjang dengan basis Ax dan tinggi h memberikan jarak

(waktu Ax dikalikan dengan kecepatan h) perjalanan di segmen itu. Terkait dengan setiap

segmen adalah nilai rata-rata dari fungsi di atas itu, f (x) = h. Jumlah dari semua persegi

panjang seperti memberikan perkiraan daerah antara sumbu dan kurva, yang merupakan

perkiraan dari total jarak yang ditempuh." Para notasi Leibniz dx dimaksudkan untuk

menyarankan membagi area di bawah kurva ke dalam jumlah tak terbatas persegi panjang,

sehingga Ax lebar mereka menjadi dx sangat kecil. Dalam formulasi dari kalkulus

didasarkan pada batas, nota harus dipahami sebagai operator yang mengambil fungsi

sebagai masukan dan memberikan nomor, daerah itu, sebagai output; dx bukan angka, dan

tidak sedang dikalikan dengan f (x).

Integral tak tentu, atau anti turunan, tertulis.

Fungsi yang berbeda dengan hanya konstan memiliki turunan yang sama, dan oleh

karena itu antiturunan dari sebuah fungsi yang diberikan sebenarnya adalah keluarga fungsi

yang berbeda hanya dengan suatu konstanta. Karena turunan dari fungsi y = x ² + C, di

mana C adalah setiap konstan, adalah y '= 2 x, antiturunan dari yang terakhir diberikan oleh

.        PENGARUH KALKULUS DALAM KEHIDUPAN SEHARI-HARI

Walau beberapa konsep kalkulus telah dikembangkan terlebih dahulu di Mesir,

Yunani, Tiongkok, India, Iraq, Persia, dan Jepang, penggunaaan kalkulus modern dimulai

di Eropa pada abad ke-17 sewaktu Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm

Leibniz mengembangkan prinsip dasar kalkulus. Hasil kerja mereka kemudian

memberikan pengaruh yang kuat terhadap perkembangan fisika.

Aplikasi kalkulus diferensial meliputi perhitung kecepatan dan

percepatan, kemiringan suatu kurva, dan optimalisasi. Aplikasi dari kalkulus

integral meliputi perhitungan luas, volume, panjang busur, pusat massa, kerja, dan tekanan.

Aplikasi lebih jauh meliputi deret pangkat danderet Fourier.

Kalkulus juga digunakan untuk mendapatkan pemahaman yang lebih rinci mengenai

ruang, waktu, dan gerak. Selama berabad-abad, para matematikawan dan filsuf berusaha

memecahkan paradoks yang meliputi pembagian bilangan dengan nol ataupun jumlah dari

deret takterhingga. Seorang filsuf Yunani kuno memberikan beberapa contoh terkenal

seperti paradoks Zeno. Kalkulus memberikan solusi, terutama di bidang limit dan deret tak

terhingga, yang kemudian berhasil memecahkan paradoks tersebut.

TOKOH-TOKOH TERKENAL DALAM BIDANG KALKULUS

James Gregory

James Gregory adalah anak pasangan John Gregory dan Janet Anderson lahir di

sebuah kota kecil, Drumoak, sekitar 15 km dari Aberdeen, Skotlandia. John Gregory adalah

seorang kepala bicara di Drumoak kerana latar belakang pendidikannya dalam bidang

theologi dan lulus dari Universitas St. Andrews. Saudari ibunya, Alexander Anderson adalah

pengedit karya Viete dan pernah menjadi murid Viete selama belajar di Paris. Gregory

adalah anak bongsu yang mempunyai dua orang kakak lelaki bernama Alexander dan

David. Perbezaan umur David dengan Gregory adalah sepuluh tahun.

Beliau mempelajari bidang yang saling melengkapi, matematik dan astronomi, tanpa

kehilangan fokus. Sempat menekuni cahaya dan menggagas, walaupun mentah, dasar-

dasar apa yang kemudian hari dikenal sebagai kalkulus. Bermula sebagai usaha mengira

luas bidang tidak beraturan seperti parabola, hiperbola, namun tidak disangka menjadi celik

bakal kalkulus.

Pierre de Fermat

Pierre Fermat (Perancis: 17 Ogos 1601 atau 1607/8 - 12 Januari 1665) adalah

seorang peguam Perancis di Parlement of Toulouse, Perancis, dan seorang ahli matematik

amatur yang diberikan kredit untuk awal perkembangan yang menyebabkan kalkulus ,

termasuk teknik. Secara khusus, ia diiktiraf untuk penemuan kaedah asal untuk mencari

yang terbesar dan terkecil dari koordinat garis lengkung, yang analog dengan kalkulus

pengkamiran, maka tidak diketahui, dan kajian ke nombor teori. Dia membuat sumbangan

penting untuk analisis geometri, kebarangkalian, dan optik. Ia terkenal untuk Teorem

Terakhir Fermat, yang digambarkan dalam sebuah catatan di margin salinan dari

Diophantus 'Arithmetica.Beliau  dianggap sebagai orang pertama yang menilai integral dari

fungsi general power . Hasilnya sangat membantu Newton dan Leibniz yang selanjutnya

membangunkan teorem fundamental kalkulus.

John Wallis

John Wallis ( 23 November   1616  - 28 Oktober   1703  ) adalah ahli matematik Inggeris yang

berperanan dalam perkembangan kalkulus . Beliau juga mencipta simbol untuk bilangan tak

terhingga. Asteroid   31982 Johnwallis  dinamakan dari namanya. John Brehaut Wallis lahir

di Ashford, Kent , anak ketiga daripada Reverend John Wallis dan Joanna Chapman.

John Wallis dilahirkan di Ashford pada 22 November 1616, dan meninggal dunia di Oxford

pada 28 Oktober, 1703. Beliau mendapat pendidikan di sekolah Felstead, dan satu hari

dalam cuti beliau, apabila lama lima belas tahun, dia berlaku untuk melihat sebuah buku

aritmetik di tangan saudaranya dan melanda dengan rasa ingin tahu pada tanda-tanda

ganjil dan simbol dalam itu dia meminjam buku ini.beliau dalam dua minggu, dengan

bantuan adiknya, telah menguasai subjek ini. Oleh  Kerana ,ia bertujuan bahawa dia harus

menjadi seorang doktor, beliau dihantar ke Emmanuel College, Cambridge, sementara ada

dia memelihara satu ` perbuatan'' pada doktrin peredaran darah yang dikatakan telah kali

yang pertama di Eropah yang menjadi teori ini telah secara terbuka dikekalkan di dalam

Al Minat beliau, bagaimanapun, tertumpu kepada matematik.

Sir Isaac Newton

Isaac Newton, ilmuwan paling besar dan paling berpengaruh yang pernah hidup di

dunia, lahir di Woolsthrope, Inggeris, tepat pada hari Krismas tahun 1642, bertepatan tahun

dengan wafatnya Galileo. Seperti halnya Nabi Muhammad. Beliau lahir sesudah ayahnya

meninggal. Di masa yang sama dia sudah menunjukkan kecekapan yang nyata di bidang

mekanik dan teramat cekap menggunakan tangannya. Walaupun anak dengan otak yang

cemerlang, Ibunya mengeluarkannya dari sekolah dengan harapan anaknya boleh jadi

petani yang baik.  Untungnya ibu boleh dipujuk, bahawa bakat utamanya tidak terletak di

situ. Pada umurnya lapan belas dia masuk Universiti Cambridge. Di sinilah Newton secara

kilat menyerap apa yang kemudian terkenal dengan ilmu pengetahuan dan matematik dan

dengan cepat pula mula melakukan penyelidikan sendiri. Antara usia dua puluh satu dan

dua puluh tujuh tahun dia sudah meletakkan dasar-dasar teori ilmu pengetahuan yang pada

gilirannya kemudian mengubah dunia.

Pertengahan abad ke-17 adalah tempoh pembenihan ilmu pengetahuan. Penemuan

teropong bintang berhampiran permulaan abad itu telah merombak seluruh pendapat

mengenai ilmu perbintangan. Ahli falsafah Inggeris Francis Bacon dan ahli falsafah Perancis

Rene Descartes kedua-duanya berseru kepada saintis seluruh Eropah agar tidak lagi

menyandarkan diri pada kuasa Aristotle, melainkan melakukan percubaan dan kajian atas

dasar titik tolak dan keperluan sendiri. Apa yang dikemukakan oleh Bacon dan Descartes,

sudah dipraktikkan oleh si hebat Galileo. Penggunaan teropong bintang, penemuan baru

untuk penyelidikan astronomi oleh Newton telah merevolusionerkan penyelidikan bidang itu,

dan yang dilakukannya di sektor mekanik telah menghasilkan apa yang kini terkenal dengan

sebutan "Undang-undang gerak Newton" yang pertama.

Saintis besar lain, seperti William Harvey, penemu ehwal peredaran darah dan

Johannes Kepler penemu tata gerak planit-planit di seputar matahari, mempersembahkan

maklumat yang sangat mendasar bagi kalangan cendikiawan. Walau begitu, ilmu

pengetahuan murni masih merupakan kegemaran para intelektual, dan masih belum dapat

dibuktikan - apabila digunakan dalam teknologi - bahawa ilmu pengetahuan dapat

mengubah pola dasar kehidupan manusia sebagaimana diramalkan oleh Francis Bacon.

Walaupun Copernicus dan Galileo sudah menyepak ke pinggir beberapa anggapan

menyimpang tentang pengetahuan purba dan telah menyuguhkan pengertian yang lebih

genah mengenai alam semesta, namun tak ada satu pokok pikiran pun yang terumuskan

dengan teliti yang mampu memesongkan tumpukan pengertian yang gurem dan tak

berdasar seraya menyusunnya dalam suatu teori yang membolehkan berkembangnya

ramalan-ramalan yang lebih ilmiah. Tak lain dari Isaac Newton-lah orangnya yang sanggup

menyuguhkan kumpulan teori yang terangkum rapi dan meletakkan batu pertama ilmu

pengetahuan moden yang kini arusnya jadi anutan orang.

Newton sendiri agak ogah-ogahan menerbitkan dan mengumumkan penemuan-

penemuan. Gagasan dasar sudah disusunnya jauh sebelum tahun 1669 tetapi banyak teori-

teorinya baru diketahui awam bertahun-tahun selepas itu. Penerbitan pertama ciptaannya

adalah menyangkut penjungkir-balikan anggapan lama tentang hal-ehwal cahaya. Dalam

serentetan percubaan yang teliti, Newton mendapati fakta bahawa apa yang lazim disebut

orang "cahaya putih" sebenarnya tak lain dari campuran semua warna yang terkandung

dalam pelangi dan ia pun dengan sangat hati-hati melakukan analisa tentang akibat-akibat

hukum pemantulan dan pembiasan cahaya. Berpegang pada hukum ini pada tahun 1668 -

merancang dan sekaligus membina teropong refleksi pertama, model teropong yang

dipergunakan oleh sebahagian terbesar penyelidik bintang-kemintang saat ini. Penemuan

ini, selari dengan hasil-hasil yang diperolehinya di bidang percubaan optik yang sudah

diperagakannya, dipersembahkan olehnya kepada lembaga penyelidik kerajaan Inggeris

berumur dua puluh sembilan tahun.

Kejayaan Newton di bidang optik saja mungkin sudah memadai untuk mendudukkan

Newton pada urutan senarai buku ini. Sementara itu masih ada penemuan-penemuan yang

kurang penting di bidang matematik tulen dan di bidang mekanik. Persembahan terbesarnya

di bidang matematik adalah penemuannya tentang "kalkulus integral" yang mungkin

dipecahkannya tatkala ia berumur dua puluh tiga atau dua puluh empat tahun. Penemuan ini

merupakan hasil karya terpenting di bidang matematik moden. Bukan semata bagaikan

benih yang daripadanya tumbuh teori matematik moden, tetapi juga perabot tak dapat

dielakkan yang tanpa penemuannya itu kemajuan pengetahuan moden yang datang

menyusul merupakan hal yang mustahil. Biarpun Newton tidak berbuat sesuatu apapun lagi,

penemuan "kalkulus integral"-nya saja sudah memadai untuk membawa beliau ke tangga

tinggi dalam senarai urutan buku ini.

Leonhard Euler 1707-1783

Di abad ke-17 Switzerland punya seorang

matematik usa dan ahli fizik yang teramat bijak

dan saintis terkemuka sepanjang masa. Orang itu

Leonhard Euler. Hasil karyanya mempengaruhi

penggunaan semua bidang fizik dan di banyak

bidang kejuruteraan.

Hasil matematik dan sains Euler betul-betul tak

masuk akal. Dia menulis 32 buku lengkap, banyak

diantaranya terdiri dari dua jilid, beratus-ratus

artikel tentang matematik dan ilmu

pengetahuan. Orang bilang, kumpulan tulisan-

tulisan ilmiahnya terdiri daripada lebih 70

jilid! Kegeniusan Euler memperkayakan hampir segala segi matematik murni dan matematik

siap pakai, dan sumbangannya terhadap matematik fizik hampir tak ada batasnya untuk

kegunaan.Euler khusus ahli menunjukkan bagaimana hukum-hukum umum mekanik, yang

telah dirumuskan di abad sebelumnya oleh Isaac Newton, boleh digunakan dalam jenis

situasi fizik tertentu yang berlaku berulang kali. Misalnya, dengan menggunakan hukum

Newton dalam hal gerak cecair, Euler sanggup mengembangkan persamaan

hydrodinamika. Juga, melalui analisa yang teliti tentang kemungkinan gerak dari barang

yang kekar, dan dengan penggunaan prinsip-prinsip Newton. Dan Euler berkemampuan

mengembangkan sejumlah pendapat yang sepenuhnya menentukan gerak dari barang

kekar.  Dalam amalan, tentu saja, objek benda tidak selamanya mesti kekar. Kerana itu,

Euler juga membuat sumbangan penting tentang teori keanjalan yang menjabarkan

bagaimana benda padat dapat berubah bentuk melalui penggunaan tenaga luar.

Euler juga menggunakan bakatnya dalam hal analisa matematik tentang permasalahan

astronomi, khusus menyangkut soal "tiga-badan" yang berkaitan dengan masalah

bagaimana matahari, bumi, dan bulan bergerak di bawah gaya berat mereka masing-masing

yang sama.  Masalah ini suatu masalah yang jadi pemikiran untuk abad ke-21 - belum

sepenuhnya diselesaikan. Kebetulan, Euler satu-satunya saintis terkemuka dari abad ke-18

yang (secara tepat, seperti belakangan terbukti) menyokong teori gelombang cahaya.

Buah fikiran Euler yang berhamburan tak henti itu sering menghasilkan titik tolak buat

penemuan matematik yang boleh membuat seseorang masyhur. Misalnya, Joseph Louis

Lagrange, ahli fizik matematik Perancis, berjaya merumuskan serentetan formula ("formula

Lagrange") yang punya makna teori penting dan boleh digunakan menyelesaikan pelbagai

masalah mekanik. Formula dasarnya diketemukan oleh Euler, kerana itu sering disebut

formula Euler-Lagrange. Matematik Perancis lain, Jean Baptiste Fourier, umumnya

dianggap berjasa dengan penemuan teknik matematiknya, terkenal dengan gelaran analisa

Fourier. Di sini pun, rumus dasarnya pertama diketemukan oleh Leonhard Euler, dan

dikenali dengan gelaran formula Euler-Fourier. Mereka mendapati penggunaan yang luas

dan beraneka macam di bidang fizik, termasuk akustik dan teori elektromagnet.

Dalam urusan matematik, Euler khusus tertarik di bidang kalkulus, formula

pengkamiran, dan ketidakterbatasan suatu jumlah. Sumbangannya dalam bidang ini,

walaupun amat penting, terlampau teknikal dipaparkan di sini. Sumbangannya di bidang

variasi kalkulus dan terhadap teori tentang kekompleksan jumlah merupakan dasar dari

semua perkembangan seterusnya di bidang ini. Kedua topik itu punya liputan luas dalam

bidang penggunaan kerja amalan saintifik, sebagai tambahan arti penting di bidang

matematik tulen.Formula Euler,, menunjukkan adanya hubungan antara fungsi trigonometri

dan jumlah imaginer, dan boleh digunakan mencari logaritma tentang jumlah negatif. Ini

merupakan satu daripada formula yang paling luas digunakan dalam semua bidang

matematik. Euler juga menulis sebuah textbook tentang geometri analisis dan membuat

sumbangan penting dalam bidang geometri pengkamiran dan geometri biasa.

Walaupun Euler punya kesanggupan yang hebat untuk penemuan-penemuan

matematik yang membolehkannya melakukan amalan-amalan ilmiah, dia hampir punya

kelebihan setara dalam bidang matematik tulen.Malangnya, sumbangannya yang begitu

banyak di bidang teori jumlah, tetapi tidak begitu banyak yang boleh dipaparkan di sini. Euler

juga orang baru yang bekerja di bidang topologi, sebuah cabang matematik yang punya arti

penting di abad ke-20.

Akhirnya, Euler memberi sumbangan penting buat sistem lambang jumlah matematik

masa kini. Misalnya, dia bertanggung jawab untuk kegunaan umum huruf Greek untuk

menerangkan nisbah antara keliling lingkaran terhadap diameternya. Dia juga

memperkenalkan banyak sistem tanda yang berpadanan yang kini umum dipakai di bidang

matematik.

Euler lahir tahun 1707 di Basel, Switzerland. Dia diterima masuk Universiti Basel tahun 1720

tatkala umurnya baru mencapai tiga belas tahun. Mula-mula dia belajar teologi, tetapi akan

pindah ke mata pelajaran matematik. Dia peroleh gelar sarjana dari Universiti Basel pada

umur tujuh belas tahun dan tatkala umurnya baru dua puluh tahun dia terima undangan dari

Catherine I dari Rusia untuk menyertai dalam Akademi Sains di St. Petersburg. Di umur dua

puluh tiga tahun dia jadi mahaguru fizik di sana dan ketika umurnya dua puluh enam tahun

dia menggantikan korsi ketua matematik yang tadinya diduduki oleh seorang matematikus

masyhur Daniel Bernoulli. Dua tahun kemudian penglihatan matanya hilang sebelah, namun

dia meneruskan kerja dengan kapasiti penuh, menghasilkan artikel-artikel yang cemerlang.

Tahun 1741 Frederick Yang Agung dari Prusia memujuk Euler agar meninggalkan Russia

dan memintanya bergabung ke dalam Akademi Sains di Berlin. Dia tinggal di Berlin selama

dua puluh lima tahun dan kembali ke Rusia tahun 1766. Tak lama sesudah itu kedua

matanya tak boleh melihat lagi. Bahkan dalam keadaan tertimpa musibah macam ini,

tidaklah menghentikan penyelidikannya. Euler mempunyai kemampuan menakjubkan dalam

hal mental geometri, dan hingga dia tutup usia (tahun 1783 di St. Petersburg - kini bernama

Leningrad - pada umur tujuh puluh enam tahun), dia terus mengeluarkan kertas kerja kelas

tinggi di bidang matematik. Euler kawin dua kali dan punya tiga belas anak, lapan

diantaranya mati muda.

Semua penemuan Euler boleh saja dibuat orang bahkan andai kata dia tidak pernah

hidup di dunia ini. Walaupun saya fikir, kriteria yang layak digunakan dalam masalah ini

adalah mengajukan soalan-soalan: apa yang akan terjadi pada dunia moden apabila dia

tidak pernah berbuat apa-apa? Dalam kaitan dengan Leonhard Euler jawabnya tampak jelas

sekali: pengetahuan moden dan teknologi akan jauh tertinggal di belakang, hampir tak

terbayangkan, tanpa adanya formula Euler, rumus-rumusnya, dan kaedah. Sekilas

pandangan melirik indeks textbook matematik dan fizik akan menunjukkan penjelasan-

penjelasan ini sudut Euler (gerak benda keras) kemantapan Euler (deret tak terbatas)

keseimbangan Euler (hydrodinamika); keseimbangan gerak Euler (dinamik objek keras)

formula Euler (pembolehubah kompleks ) penjumlahan Euler (rentetan tak ada batasnya),

curve polygonal Eurel (keseimbangan pengkamiran); pendapat Euler tentang kepelbagaian

fungsi (keseimbangan pengkamiran sebahagian); transformasi Euler (rentetan tak terbatas);

hukum Bernoulli-Euler (teori elastisitis); formula Euler- Fourier (rangkaian trigonometris);

keseimbangan Euler-Lagrange (variasi kalkulus, mekanik) dan formula Euler-Maclaurin

(kaedah penjumlahan) itu semua melibatkan sebahagian yang penting saja.

Dari sudut ini, pembaca mungkin bertanya-tanya kenapa Euler tidak dapat tempat lebih

tinggi dalam senarai urutan buku ini. Alasan utama ialah, walaupun dia dengan cemerlang

dan berjaya menunjukkan betapa hukum-hukum Newton boleh dilaksanakan, Euler tak

pernah mencari prinsip-prinsip ilmiah sendiri. Itu sebabnya mengapa tokoh-tokoh seperti

Becquerel, Rontgen, dan Gregor Mendel, yang masing-masing mencari dasar baru

fenomena dan prinsip saintifik, ditempatkan di urutan lebih atas ketimbang Euler. Tetapi,

bagaimanapun juga, sumbangan Euler terhadap, dunia ilmu, terhadap bidang kejuruteraan

dan matematik, bukan alang kepalang besarnya.

Roberval

Beliau adalah seorang tokoh matematik asal Perancis. Nama aslinya adalah Gilles

Personne, dilahirkan pada tanggal 8 Agustus 1602 di Roberval Perancis. Selanjutnya tempat

kelahirannya ini menyatu dengan nama aslinya menjadi  Gilles Personne de Roberval –

Gilles Personne dari  Roberval. Gilles Roberval mulai belajar matematik sejak berumur 14

tahun. Beliau berkeliling ke seluruh pelososk Perancis menemui para ilmuwan pada

jamannya Untuk menopang hidupnya bekerja sebagai guru matematik. Beliau mengajar

matematik di daerah yang dikunjungi, dan mendiskusikan matematik lanjut dengan para

dosen matematik di tempat itu. Sebut saja yang ia temui, misalnya Fermat, Mersenne,

Claude Hardy, Mydorge, Etienne Pascal, dan Blaise Pascal.

Pada tahun  1632 Robervalm pada usia 30 tahun, diangkat menjadi professor

falsafah di  Collège Gervais di Paris. Dua tahun kemudian beliau diangkat Ketua Jurusan

matematik di  Collège Royale. Jabatan ini sangat kompetitif dan dikehendaki Roberval harus

bersaing secara berkala untuk kembali menduduki jabatan itu. Beliau selalu diminta

mengajukan masalah matematik yang harus diselesaikan oleh pesaingnya. Beliau berhasil

menduduki posisi tersebut hingga akhir hayat. Pada tahun 1655 beliau diangkat sebagai

Ketua Gassendi matematik..  Roberval merupakan salah seorang tokoh yang

mengembangkan teori-teori integral. Ia menemukan cara menghitung integral berhingga dari

Sin x, meneliti tentang sikloida, serta menghitung panjang busur sipral (pegas). Beliau juga

dikenal sebagai penemu kurva-kurva dalam bidang datar dan salah satu penggagas cara

menemukan garis singgung sebuah kurva.

Method yang ditemukan untuk menentukan garis singgung ini membawa dirinya menjadi

salah seorang pelopor geometri kinetik. Hingga kini kita mengenalnya dengan istilah Metode

Roberval.

Masalah garis singgung sebuah kurva sudah dibahas sejak jaman Archimedes.

Robervel mencuba membahasnya  dari 1630 hingga 1640. Secara kebetulan Format juga

mempelajarinya. Belakang hari akan terjadi sedikit gesekan anatar kedua orang ini.

Walaupun, sesungguhnya mereka menggunakan pendekatan yang berbeza. Kemudian

akan dipelajari oleh Leibniz dan Newton.

Roberval menggunakan Gerak sesaat dalam menentukan garis singgung sebuah

kurva. Ia menggambarkan sebuah benda yang bergerak sepanjang kurva yang dibahas.

Dengan perkataan lain, kurva itu merupakan sebuah lintasan yang dibuat oleh sebuah

benda yang bergerak. Setiap titik pada kurva merupakan representasi posisi benda pada

saat itu. kerana itu, setiap titik pada kurva dapat digambarkan vektor posisinya. Garis

singgung di titik yang bersangkutan merupakan resultan dari vektor-vektor posisi itu. 

Ambil sebagai contoh garis singgung pada parabola seperti disajikan pada Gambar dibawah

Pada Gambar  ini, sebuah kurva parabola yang dijalani oleh sebuah ”benda titik” yang vektor

posisinya adalah V1 dan V2. Pada saat di P posisi ’benda titik’ yang sedang bergerak itu

adalah V1 sebagai baris hubung antara titik P dan fukus parabola, serta V2 sebagai garis

yang tegak luruk dengan sumbu Y (direktriknya). Garis singgung di titik P adalah V = V1 +

V2.Dengan metode ini Roberval dapat menentukan garis singgung dalam beberbagai kurva

termasuk eliips dan sikloida. Namun, generalisasinya yang suka diperoleh. Metode Fermat

yang menggunakan pendekatan Limit terbukti lebih baik. Namun demikian, Gilles Personne

Roberval dapat dipandang sebagai peletak dasarnya. Selain di bidang matematik, ia juga

bergerak dalam fisik. Ia menemukan neraca yang kini dikenal sebagai neraca Roberval.

Pada prinsipnya neraca ini terdiri atas dua lengan yang berpungsi agar piring timbangan

tetap mendatar

KEGUNAAN KALKULUS

Bidang pembinaan

  Pelbagai cabang matematik digunakan bagi memastikan

pembinaan roller coaster adalah selamat dan mengikut spesifikasi yang telah ditetapkan.

Pertama sekali terdapat penggunaan ilmu kalkulus dalam pembinaan roller coaster.

Pembinaan akan dimulakan dengan membuat cetakan biru (blue print), yang dihasilkan

berdasarkan pelbagai persamaan matematik terutamanya fungsi kubik untuk  cerun keatas

ataupun kebawah yang terkandung dalam trek roller coaster. Di samping itu, adalah penting

untuk mempunyai cetakan biru reka-bentuk roller coaster yang akan dibina bagi

memudahkan pekerja pembinaan

mengenalpasti jenis bahan serta

kuantiti bahan, dari segi pecahan dan

saiz. Dalam konteks ini ilmu kalkulus

sebenarnya diaplikasikan

bagi menetukan persamaan

yang tepat bagi mewakili setiap segmen rollercoaster.

           Proses menentukan persamaan setiap satu segmen roller coaster ini adalah penting

bagi menentukan setiap persamaan dapat dikaitkan kepada segmen seterusnya  dengan

tepat supaya keduanya bertemu dengan lancar. Konsep ini lebih mudah difahami dengan

menggunakan contoh. Apabila terdapat dua fungsi kubik yang bersambung, kedua-duanya

haruslah bersifat “continuous” dan boleh dibezakan pada tempat pertemuan jika tidak para

penumpang  akan mengalami perubahan kecerunan yang tajam atau mengejut pada titik

pertemuan di antara dua fungsi kubik tadi dan ini juga boleh mengakibatkan kegelinciran

gerabak roller coaster. Iaitu suatu keadaan yang berbahaya kepada keselamatan

penumpang. Ini secara langsung menunjukkan kepentingan ilmu matematik iaitu kalkulus

dalam  pembinaan roller coaster bagi menjamin keselamatan para penumpangnya.

Bidang Agama

Memang Kalkulus identik dengan angka karena setiap materi

kalkulus tak akan lepas dari angka. Namun jika kita pikirkan lagi dan mengintegrasi-

interkoneksikan antara kalkulus dengan kehidupan kita maka kita akan akan mendapatkan

banyak hal yang sangat berharga bagi diri kita untuk menjalani hidup ini. Mempelajari

Kalkulus ( khususnya terntang penerapan kalkulus dalam menghitung volume benda ) dapat

memberikan pemahaman kepada kitra tentang konsep menentukan pilihan dalam menjalani

kehidupan ataupun kebimbangan pada saat memutuskan suatu hal ( perkara ). Sebagai

contoh adalah ketika kita mempelajari atau mengerjakan soal tentang volume menggunakan

penghitungan “integral” baik yang diputar mengelilingi sumbu x ataupun sumbu y, kita dapat

menghitungnya menggunakan beberapa cara yang ada seperti cakram, cincin ataupun kulit

tabung. Seperti contoh soal di bawah ini :

Hitunglah volume sebuah benda yang terbentuk apabila daerah R yang dibatasi kurva x=y2 ,

y=2, x=0; dan di putar mengelilingi garis y=2!

Soal di atas dapat kita kerjakan menggunakan Metode Kulit Tabung ataupun

menggunakan Metode Cincin.Sehingga dari contoh di atas kita dapat mengambil sebuah

nilai filosofi atau secara tidak langsung contoh di atas dapat ,memberikan kita suatu

pemahaman bahwa dalam berbuat kebaikan itu penuh pilihan karena kebaikan itu bukan

hanya satu hal. Bukanlah menghadapkan wajahmu ke arah timur dan barat itu suatu

kebajikan, akan tetapi Sesungguhnya kebajikan itu ialah beriman kepada Allah, hari

Kemudian, malaikat-malaikat, kitab-kitab, nabi-nabi dan memberikan harta yang dicintainya

kepada kerabatnya, anak-anak yatim, orang-orang miskin, musafir (yang memerlukan

pertolongan) dan orang-orang yang meminta-minta; dan (memerdekakan) hamba sahaya,

mendirikan shalat, dan menunaikan zakat; dan orang-orang yang menepati janjinya apabila

ia berjanji, dan orang-orang yang sabar dalam kesempitan, penderitaan dan dalam

peperangan. mereka Itulah orang-orang yang benar (imannya); dan mereka Itulah orang-

orang yang bertakwa.

Namun dalam mengerjakan soal di atas kita tidak serta diberikan berbagai pilihan

Metode untuk menyelesaikannya tapi juga harus sangat-sangat teliti dalam menentukan

Metode yang akan digunakan. Jangan karena kita suka pada satu Metode misalkan Metode

Cincin maka kita mengerjakan suatu soal dengan Metode Cincin walupun soal itu lebih

mudah di kerjakan menggunakan Metode Kulit Tabung misalnya. Penentuan ini sangatlah

penting karena ketika kita salah dalam menentukan Metode yang digunakan maka kita akan

kesulitan sendiri dalam menghitungnya ini sama dengan halnya dalam memutuskan suatu

hal kita harus berhati-hati dan bersikap adil janganlah pilih kasih sehingga kita dapat

mengambil nilai filosofi lain yaitu bahwa harus berhati-hati dalam memutuskan suatu hal dan

bersikaplah adil serta bijaksana dalam memutuskan. Wahai orang-orang yang beriman,

jadilah kamu orang yang benar-benar penegak keadilan, menjadi saksi Karena Allah biarpun

terhadap dirimu sendiri atau ibu bapa dan kaum kerabatmu. jika ia[361] Kaya ataupun

miskin, Maka Allah lebih tahu kemaslahatannya. Maka janganlah kamu mengikuti hawa

nafsu Karena ingin menyimpang dari kebenaran. dan jika kamu memutar balikkan (kata-

kata) atau enggan menjadi saksi, Maka Sesungguhnya Allah adalah Maha mengetahui

segala apa yang kamu kerjakan.

Bidang Pendidikan

Meningkatkan minat baca

Percayakah anda bahwa mempelajari kalkulus dapat men ingkatkan

minat baca ? Jika anda tidak percaya, wah sayang banget tuh.Baiklah

sedikit penjelasan tentang itu, ketika kita mempelajari kalkulus maka

secara alamiah kita akan mengalami banyak kesulitan-kesulitan, nah

beranngkat dari sinilah kalimat di atas muncul. Dengan kata lain bahwa

kesulitan yang kita dapat akan memberikan makna tersendiri karena

dengan itu semua maka rasa penasaran yang mendalam akan muncul. Oleh kareana itu

ketika kita merasakan penasaran maka secara otomatis akan ada ussaha dari dalam diri kita

untuk melakukan hal-hal yang dapt membantu menghilangkan rasa penasaran itu dan salah

satunya adalah banyak membaca buku kalkulus, jadi kita akan membaca terus buku itu

sampai kita mengerti dan dapat menghilangkan rasa penasaran. Sehingga kerana

kebiasaan membaca buku itulah jadi akan tertanam dalam diri kita hobi membaca itu.

Lebih Dewasa

Penjelasan untuk yang satu ini hampir hampir sama dengan

penjelasan dari segi keagamaan. Jadi ketika kita

mempelajari kalkulus kita selalu dituntut untuk dapat

mancari cara terbaik untuk mengerjakan soal, karena jika

salah cara dalam mengerjkannya, mkaka akan banyak

kesulitanm yang menghampiri kita. Sehingga berangkat dari

hal itulah secara tidak langsung mempelajari kalkulus dapat membuat kita loebih dewasaa

untuk memandang kerhidupan karena jika kita salah jalan maka kita akan rugi sendiri.

Meningkatkan

gairah belajar

Dalam hal ini, sepertinya sudah sangttlah jelas bahawa mempelajari kalkulus dapat

meningkatkan minta/gairah belajar pada diri seseorang. Sebagi penjelasan, ketika kita

mempelajari kalkulus dan mendapatkan kesulitan yangsecara lamiah muncul, jika kita

menyadarinya (sadar) maka akan timbul dalam hati kita suatu kata hati “ko saya ga bisa ya,

padahal yang lain bisa”, sehingga dengan demikian akan muncul usaha yang kita lakukan

untuk lebih baik dan yang pastikan dengan selalu belajar (mempelajarinya)

Meningkatkan kreatifitas dalam komunikasi

Dalam hal ini yang dimaksudkan meningkatkan kreatifitas dalam komunikasi adalah

lebih kepada sang pendidik. Dalam memberikan materi yang diajarkan dalam kalkulus

seorang pendidik dituntut untuk lebih kreatif lagi dalam menyampaikan materi yang akan

disampaikan hal ini dikarenakan tingkat kesulitan kalkulus yang menurut rata-rata pelajar

adalah cukup tinggi sehingga seorang pendidik dalam menyampaikan diharuskan untuk

dapat membuat suasana lebih enjoy atau mengasyikan dan salah satu caranya adalah

seorang pendidik diharuskan memiliki keaktifan dalam komunikasi atau singkatnya seorang

pendidik harus labih kreatif dalam menyampaikan materi ajarnya.

Bidang Sosial

Salah satu manfaat mempelajari kalkulus dalam kehidupan sosial

adalah mempererat silaturahmi antar individu. Di atas sudah dijelaskan

bahwa ketika kita mempelajari kalkulus maka sudah secara alamiah

kita akan banyak mengalami kesulitan, sehingga dari hal ini pula

(dengan ketidaktahuan) maka kita akan selalu bertanya kepada teman

yang lebih tahu daripada kita, sehingga akan terjalin suatu komunikasi

antara kita dengan teman yang kita tanya tadi sebagai proses

keakraban. Dari sini sudah jelas akan terjalin suatu hubungan yang

akrab dan dapat mempererat silaturahmi antar individu tersebut . lalu manfat lain kalkulus

dalam bidang social selain mempererat silahturahmi antar individu adalah dalam aplikasi

lansung dalam masyarakat, misalkan penerapan dalam penghitungan warisan, zakat dan

sebagainya.

D. Bidang Politik

Selain dari ke-3 bidang di atas, ternyata mempelajari kalkulus pun

memberikan manfaat dalam bidang politik bagi yang

mempelajarinya. Jika kita mendengar kata politik maka sudah

tentu yang terbesit dalam hal yang kotor yang berbau siasat

namun perlu kita pahami bahwa tak semuanya politik itu kotor.

Untuk bidang politik yang akan kita ambil adalah manfaat kalkulus

dalam merencanakan suatu siasat. Dengan mmpelajari kalkulus

mka kita diajarkan untuk dapat mensiasati soal-soal yang sulit untuk dikerjakan agar menjadi

lebih mudah dalam pengerjaannya dehingga kita harus malkukan segala cara untuk, bisa

mensiasatinya. Sebagai contoh :

Tentukan. ∫( x2 – x ∕ x + 1) dx.

Untuk mengerjakan soal di atas kita dituntut untuk dapat mensiasati soal itu dengan

mengubah soal itu menjadi lebih mudah . Soal di atas akan lebih mudah dikerjakan jika soal

diubah menjadi :

∫ (x -2) dx + 2 ∫ (1 ∕ x + 1) dx.

Sehingga sudah jelas bahwa dalam soal itu kita dituntuk untuk menghalalkan segala cara

agar soal . ∫( x2 – x ∕ x + 1) dx. berubah menjadi ∫ (x -2) dx + 2 ∫ (1 ∕ x + 1) dx. Jadi mmemang

ada benarnya jika mempelajari kalkulus maka kitapun akan mendapatkan manfaatnya dalam

bidang politik . Kalkulus adalah ilmu yang sangat berguna/ bermanfaat, dengan mempelajari

kalkulus banyak manfaat selain mahir menghitung, lebih teliti yang akan kita dapatkan . Oleh

karena itu, sudah sepantasnyalah mulai saat ini kita mengubah perspektif kita terhadap

kalkulus. Kita ubah pandangan kita yang menganggap kalkulus adalah pelajaran yang sulit

dan hanya membuat kepala pusing dengan menganggap kalkulus adalah pelajaran yang

mengasyikan dan menyenangkan, Seperti yang telah dijelaskan dalam pembahasan,

manfaat lain selain mahir menghitung, lebih teliti dari mempelajari kalkulus antara lain:

menambah pemahaman dalam menjalani hidup, lebih berhati-hati dalam memutuskan suatu

hal (adil), meningkatkan minat baca, meningkatkan semangat belajar, jadi lebih dewasa,

mempererat silaturahmi antar individu dan masih banyak lagi yang lainnya

seperti:meningkatkan kesqabaran, istiqhamah. Oleh karena itu, kalkulus itu asyik jadi jangan

anggap kalkulus itu seekor monster yang menyeramkan dan ganas.

B. Penyelesaian Masalah (40%)

Tempoh : 8 Mac 2014 – 5 April 2014

Kalkulus mempunyai aplikasi yang luas dalam bidang-bidang sains, ekonomi, dan teknikal; serta dapat menyelesaikan pelbagai masalah yang tidak dapat diselesaikan dengan algebra asas. Anda dikehendaki menyelesaikan dua masalah yang berkaitan dengan aplikasi pembezaan dan pengamiran. Huraikan setiap langkah dalam penyelesaian masalah tersebut.

MASALAH 1 :

Terdapat sebuah silinder yang mempunyai isipadu yang tetap. Tunjukkan bahawa jumlah luas permukaan bagi silinder tersebut adalah minimum apabila tinggi silinder bersamaan dengan diameter bagi tapaknya.

MASALAH 2:

Lakarkan graf bagi dan d i atas paksi yang sama dengan menggunakan perisian GSP . Seterusnya, cari isipadu bagi bongkah yang terjana apabila kawasan yang dilingkungi oleh kedua-dua persamaan tersebut

diputarkan pada paksi .

Malasah 1

Terdapat sebuah silinder yang mempunyai isipadu yang tetap. Tunjukkan bahawa jumlah luas

permukaan bagi silinder tersebut adalah minimum apabila tinggi silinder bersamaan dengan diameter

bagi tapaknya.

Penyelesaian Katakan S adalah isipadu silinder dan tetap. Maka,

S=π r2h

S=π ( A2 )2

h

S= π A2h

4

A2= 4Sπ h………..

A =22√ Sπ 1

√h

= 22√ Sπ h−¿❑

12 ¿

Katakan D adalah jumlah permukaan silinder tersebut. Maka,

D=2π r2+2πr h

D=2π ( A2 )2

+2 π ( A2 )hD= π A

2

2+πAh

D= π2 ( 4 Sπh )+π h¿

D=2Sh

+2√Sπ h12❑

dDdh

=−2S

h2+2√Sπ ( 1

2√h )¿−2 S

h2+√Sπ ¿

Apabila A mempunyai nilai yang tetap,dDdh

=0

−2S

h2+√ πS( 1

√h )=0

√πS ( 1

√h )=2S

h2

( h2

√h )= 2S√ πS

h32=2√S

√π ……………

h√h=2√S√π

h= 2√S√π √h

h=2√ Sπ h A2= 4S

π h

ஃh=A A=2√ SxhdDdh

=−2S

h2+√ πS( 1

√h )¿−2Sh−2+√Sπ ¿

d2Dd h2 =4 S h−3+√Sπ ¿

=4 S h−3+√Sπ ( 12h

❑❑2

3 )¿

4S4Sπ

−√Sπ ( 1

2×2√ S√π ) dari ……..2 h

32=2√S

√π

h3=4Sπ

= π−√Sπ ( π4 √ S )

= π−π4

= 3π4

(positive)

Oleh itu is jumlah luas permukaan bagi silinder tersebut adalah, S minimum apabila tinggi, h silinder

bersamaan dengan diameter, D bagi tapaknya.

MASALAH 2:

Lakarkan graf bagi dan d i atas paksi yang sama dengan menggunakan perisian GSP . Seterusnya, cari isipadu bagi bongkah yang terjana apabila

kawasan yang dilingkungi oleh kedua-dua persamaan tersebut diputarkan pada paksi

.

PENYELESAIAN MASALAH 2

Rujuk graf di bawah

1. Mencari titik persilangan persamaan elips dengan paksi-x dan paksi-y

Persamaan umum elips adalah x2

a2 + y2

b2 =1, untuk pusat elips di koordinat (0, 0).

Persamaan elips: x2

9+ y

2

4=1

Bagi y=0,

x2

9+0=1

x2=9x=−3 atau x=3

Bagi x=0,

0+ y2

4=1

y2=4y=−2 atau y ¿2

2. Mencari titik persilangan garis lurus dengan paksi-x dan paksi-y

Persamaan garis lurus: 3y = -2x+6

Bagi y=0,0=−2x+6x=3

Bagi x=0,3 y=0+6y=2

3. Mencari isipadu kisaran V pada paksi-y

Isipadu kisaran V = VA(Isipadu kisaran elips) – VB (Isipadu kisaran garis lurus)

Formula untuk isipadu kisaran pada paksi-y adalah,

V y=π∫a

b

x2dy

Untuk elips, tukarkan persamaan elips dalam sebutan x.x2

9+ y

2

4=1

x2=9(1− y2

4 )Isipadu elips VA,

V A=π∫a

b

x2dy

V A=π∫0

2

9(1− y2

4 )dyV A=9 π∫

0

2

1− y2

4dy

V A=9 π [ y− y3

12 ]0

2

V A=9 π [2− 23

12−(0−0)]

V A=9 π [2− 812 ]

V A=9 π [2−23 ]

V A=9 π [ 43 ]

V A=12π unit3

Untuk garis lurus, tukarkan juga bentuk persamaan kepada sebutan x.3 y=−2 x+6

x=6−3 y2

Isipadu kisaran garis lurus VB,

V B=π∫a

b

x2dy

V B=π∫0

2

( 6−3 y2 )

2

dy

V B=π4∫

0

2

(36−36 y+9 y2 )dy

V B=π4

[36 y−18 y2+3 y3 ]02

V B=π4

[36 (2 )−18 (22 )+3 (23 )−(0−0+0 ) ]

V B=π4

[72−72+24 ]

V B=π4

[ 24 ]

V B=6 π unit3

Isipadu kisaran V,V=V A−V B

V=12 π−6 πV=6π unit3

RUMUSAN

Melalui tugasan ini saya dapat mempelajari tentang cara-cara mengajar kalkulus

dengan terperinci lagi di sekolah nanti.Saya juga dapat mengetahui teknik-teknik mengira

secara effektif dan berkesan. Sebagai seorang guru Matematik, saya perlu mengaplikasikan

konsep dan kemahiran dalam pengajaran dan pembelajaran harian. Secara tidak

langsungnya saya juga dapat mengetahui cara melukis graf dengan menggunakan GSP

dekat lebih lagi.

Di sini saya telah mempelajari sejarah serta penerokaan tentang kalkulus.Saya juga

dapat mencari tokoh-tokoh kalkulus serta sumbangan mereka dalam bidang

matematik.Saya dapat memperluaskan ilmu tentang bidang kalkulus ini dengan terperici.

Saya juga dapat mengetahui aplikasi pembezaan dan pengamiran dalam kalkulus.Saya

dapat tahu cara-cara pengiraan dengan menggunakan pelbagai bahan sumber dan buku-

buku serta sesawang bagi mencari maklumat tentang penggiraan kalkulus

Oleh itu, sebagai guru kita harus menambah ilmu dalam pelbagai bidang bagi

memperluaskan ilmu yang sedia ada untuk membimbing murid.

REFLEKSI

Saya DEVARANI A/P KALI 820826-14-5868 dari Matematik Ambilan Khas Februari Pertama sekali saya sangat bersukur kerana dapat menyiapkan tugasan ini dengan jayanya. Apa yang dapat saya gambarkan semasa menerima tugasan ini ialah halangan-halangan yang terpaksa saya hadapi sama ada dari segi kewangan,masa serta sumber.Namun setelah diberi penerangan daripada oleh pensyarah Matematik Pn.Salmiah , saya dapat memahami serta memudahkan saya untuk merangka setiap proses untuk melaksanakan tugasan ini.Kalkulus adalah cabang ilmu matematik yang merangkumi had, terbitan, sayaran,dan deret tak terhingga. Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaimana geometri adalah ilmu mengenai bentuk dan algebra adalah ilmu mengenai pengerjaan untuk memecahkan persamaan serta aplikasinya.Kalkulus mempunyai aplikasi yang luas dalam

bidang-bidang sains, ekonomi, dan teknikal serta dapat menyelesaikan pelbagai masalah yang tidak dapat diselesaikan dengan algebra asas.Kalkulus mempunyai dua cabang utama, iaitu kalkulus pembezaan dan kalkulus sayaran yang saling berhubungan melalui teorem asas kalkulus. Pelajaran kalkulus adalah pintu gerbang menuju pelajaran matematik lain yang lebih tinggi, yang khusus mempelajari fungsi dan limit, yang secara umum dinamakan analisis matematik.Sepanjang proses saya menyiapkan kerja kursus ini,saya dapati bahawa setiap yang saya pelajari selama ini bukan mudah untuk difahami. Sebagai contoh, sebelum ini sayakurang memahami tentang Kalkulus dan kepentinganya pendidikan Matematik yang terdapat dalam matematik. Namun begitu setelah saya mengkaji serta mencari maklumat mendalam tentang perkara tersebut bagi tugasan ini, saya dapat memahami subjek inidengan lebih mendalam.Kalkulus mempunyai aplikasi yang luas dalam bidang-bidang sains, ekonomi, dan teknikal serta dapat menyelesaikan pelbagai masalah yang tidak dapat diselesaikan dengan algebra asas. Kalkulus mempunyai dua cabang utama, iaitu kalkulus pembezaan dan kalkulus sayaran yang saling berhubungan melalui teorem asas kalkulus. Pelajaran kalkulus adalah pintu gerbang menuju pelajaran matematik lain yang lebih tinggi, yang khusus mempelajari fungsi dan limit, yang secara umum dinamakan analisis matematik.Sesungguhnya pada hari ini, kalkulus dan lanjutannya dalam analisis matematik telah berkembang luas. Ahli ekonomi menggunakan kalkulus untuk meramal trend secara menyeluruh.Ahli Osianografi menggunakan kalkulus untuk merumus teori mengenai arus lautan dan ahli kaji cuaca menggunakannya untuk menghurai aliran udara pada lapisan atas atmosfera.

Hasil daripada tugasan yang telah dilakukan, banyak pengetahuan baru yang saya dapati.Sebagai seorang guru saya juga difahamkan bahawa pembezaan dan pengamiran sangat penting dalam pedidikan terutama dalam matapelajaran matematik. Saya juga menyedari bahawa terdapat banyak aplikasi pembezaan dan pengamiran dalam kehidupan seharian.Contohnya seperti memenuhkan kolam bilik mandi,litar elektrik dansebagainya.Seterusnya pembezaan dan pengamiran juga boleh diaplikasikan dalam pekerjaan seperti dalam bidang sains,matematik perniagaan dan sebagainaya.Sepanjang menyiapkan kerja kursus pendek ini, saya tidak merasakan terlaluterbeban kerana saya telah membahagikan beberapa topik untuk setiap ahli bagi memudahkan tugasan. Malahan, cara ini dapat saya lihat dengan positifnya betapa pentingnya setiap ahli memberikan kerjasama yang amat tinggi untuk menghasilkan sebuah kerja kursus yang terbaik. Sesungguhnya, tidaklah kerja kursus ini dapat dihasilkan jika tidak melalui sebarang halangan dan kekangan. Bagi saya,sepanjang menyiapkan kerja kursusini, saya mempunyai sedikit masalah. Masalah yang paling utama ialah pengurusan masa.Hal ini kerana terdapat beberapa tugasan lain yang turut perlu dihantar pada waktu yang sama.Selain itu, saya mempunyai masalah untuk mencari bahan rujukan buku. Hal ini kerana buku-buku yang terdapat di perpustakaan amat terhad. Selain itu, saya juga menukar-nukarkan bahan maklumat sesama sendiri dalam memantapkan lagi kerja kursus yang dijalankan saya dan ahli kumpulan mengalami sedikit kepahitan dalam mencari maklumat.Walaupun sepanjang proses melaksanakan tugasan ini saya terpaksa berkorbansama ada dari segi masa, tenaga, kewangan dan sebagainya, saya tetap berpuas hati kerana hasil kerja keras saya dapat juga saya menyiapkan tugasan ini. Akhir kata, saya begitu bersyukur serta gembira kerana dapat juga saya siapkan kerja kursus ini dengan jayanya walaupun pelbagai halangan terpaksa saya hadapi sepanjang proses melaksanakan tugasan.Saya berharap kerja kursus ini telah memenuhi kehendakan soalan. Terima kasih.

“ GURU PEMBINA BANGSA DAN NEGARA ”

BIBLIOGRAFI

BUKU :

BUKUHalijah Osman, Hamidah Abd Hamid, Khamisah Jafar, Madihah Khalid, Munira Ismail(2000),Kalkulus dan Geometri Analisis Penerbit Universiti Teknologi Malaysia SkudaiZaini Mahbar, Siti Hajar Mohd Idris (1993)

Kalkulus untuk penuntut ekonomi dan pengurusan, Kuala Lumpur, Dewan Bahasa Dan Pustaka. Abu Bakar Haji Musa (1998)

Kalkulus Awalan Kuala Lumpur, Penerbit Universiti PutraMalaysia.Lau Too Kya (1998)

Kalkulus Asas Shah Alam, Biro Teks Institut Teknologi MARA.Salas Hille Etgen (1999).

Oneand Several Variables CalculusUnites States of America:Library pof Congress Cataloging-in-Publication-DataErnest F.Haeussler,JR.Richards S.Paul.(1996).

Introductory Mathematical Anaylysi UnitesStates Of America: Prentice-HallFrancis .(1998).

Business Mathematics and Statistics.Britian. Ashford Colour PressWong Sin Mong. Pendekatan Cara Baru Federal

Matematika Tambahan Tulen.KualaLumpur. Federal Publications. Robert A. Adams. (1999) ISBN 978-0-201-39607-2   Calculus: A complete course . Albers, Donald J.; Richard D. Anderson and Don O. Loftsgaarden, ed.

(1986) Undergraduate Programs in the Mathematics and Computer Sciences: The 1985-1986 Survey , Mathematical Association of America No. 7,

John L. Bell: A Primer of infinitesimal Analysis , Cambridge University Press, 1998. ISBN 978-0-521-62401-5 . Uses synthetic differential geometry and nilpotent infinitesimals

Florian Cajori  , "The History of Notations of the Calculus." Annals of Mathematics , 2nd Ser., Vol. 25, No. 1 (Sep., 1923), pp. 1-46.

Leonid P. Lebedev and Michael J. Cloud: "approximating Perfection: a Mathematician 's Journey into the World of Mechanics, Ch. 1: The Tools of Calculus ", Princeton Univ. Press, 2004

Cliff Pickover  . (2003) ISBN 978-0-471-26987-8   Calculus and Pizza: A Math Cookbook for the Hungry Mind .

Michael Spivak  . (Sept 1994) ISBN 978-0-914098-89-8   Calculus .Publish or Perish publishing.

Silvanus P. Thompson  and Martin Gardner . (1998) ISBN 978-0-312-18548-0   Calculus Made Easy .

Mathematical Association of America  . (1988) Calculus for a New Century; A Pump, Not a Filter , The Association, Stony Brook, NY. ED 300 252.

Thomas / Finney. (1996) ISBN 978-0-201-53174-9   Calculus and Analytic geometry 9th , Addison Wesley.

Weisstein, Eric W. "Second Fundamental Theorem of Calculus." From MathWorld-A Wolfram Web Resource.

BAHAN BUKAN BUKU : Calculus. Dirujuk pada Ogos 17, 2011 darihttp://www.analyzemath.com/calculus.html

Applications of Differential

Equations. Dirujuk pada Ogos 17, 2011 darihttp://www.analyzemath.com/calculus/Differential_Equations/applications.html