kalkulus dasar 1.0
TRANSCRIPT
Paradoks Softbook Publisher
0
KALKULUS DASAR
S=∫a
b
√1+ dydx
dx
f ' ( x )= limΔ x →0
f ( x+Δ x )−f ( x)Δ x
Untuk Sekolah Menengah Atas dan Awal Universitas
Sunkar E. Gautama
∑a
b
f (x )≅∫a
b
f ( x )dx+f (b)
2+
f ( a )2
versi 1.0
1
Sunkar E. Gautama© Paradoks Softbook Publisherhttp://paradoks77.blogspot.com For free
2
KALKULUS DASARUntuk Sekolah Menengah Atas dan Universitasversi 1.0
Judul buku : Kalkulus Dasar – Untuk Sekolah Menengah Atas dan Universitas
Edisi : 1.0
Penulis : Sunkar Eka Gautama
Tahun terbit : 2012
1 12
Kata Pengantar
3
Open source:
Buku ini ditujukan untuk disebarkan secara cuma-cuma demi dunia
pendidikan di Indonesia. Tiap orang berhak untuk mencetak atau
mengeditnya, bahkan diperbolehkan membuat buku non-komersial
baru berdasarkan buku ini dengan mencantumkan judul buku yang
menjadi platform, nama pengarang, dan penerbit online Paradoks
Softbook Publisher pada sampul buku Anda.
Dilarang keras mengomersialkan buku ini tanpa izin penerbit!
Penerbit online Paradoks Softbook Publisher
Kritik, saran, koreksi, dan pertanyaan:
http://paradoks77.blogspot.com
Tidak terasa buku ke-dua saya yang berjudul Kalkulus Dasar ini kelar juga.
Menyelesaikan buku ini di sela-sela kuliah dan kerja ternyata cukup sulit. Namun
dilatarbelakangi semangat yang kuat melihat masih cukup minimnya buku-buku
kalkulus dasar yang ditulis berbasis konseptual, akhirnya dalam tempo lima bulan
buku ini bisa diselesaikan. Penyusunan buku berbasis konseptual ini dipilih karena
buku-buku berbasis ikhtisar jarang yang dapat mengantar pembaca mengenal
seluk-beluk materi dalam buku, mengapa ini begini dan mengapa itu begitu. Apalagi
jika bukunya buku matematika, jelaslah matematika akan tampak bagaikan
monster.
Atas terselesaikannya buku ini, penulis berterima kasih kepada segenap
materi-energi yang berkontribusi dalam pembuatan buku ini, khususnya kepada
orangtua penulis, MS Word, Cindy (atas bantuannya mengetikkan beberapa bagian
tulisan), serta saudara Aldytia, Ariansyah, Nur Hidayat, dan Akbar yang sudi
menemani ngopi dan ngobrol di bawah pohon tatkala penulis jenuh,
Alih-alih mengonversi buku ini ke format pdf, berdasarkan ilham yang
didapat penulis memutuskan tetap menggunakan format docx sehingga buku ini
benar-benar open source, boleh dikopi, disunting, dan dicetak semaunya. Hak cipta
adalah bagian tak terpisahkan dari suatu karya, tapi untuk buku saya, hak ciptanya
tidak dilindungi undang-undang – semata-mata untuk pendidikan di Indonesia.
Karena merupakan edisi perdana, penulis memohon maaf atas kesalahan-
kesalahan teknis maupun non-teknis pada buku ini – tolong tidak hanya dimaklumi,
tetapi juga dilaporkan oleh pembaca yang budiman demi kepentingan koreksi buku
ini pada revisi selanjutnya. Akhir kalimat, terima kasih telah menggunakan buku ini.
Salam hangat.
Makassar, Oktober 2012
Penulis
4
Daftar Isi
Kata Pengantar 4
Daftar Isi 5
Pendahuluan 7
1. Himpunan dan Fungsi 8
1.1. Himpunan dan Bilangan 8
1.2. Definisi Fungsi 13
1.3. Beberapa Jenis Fungsi 17
1.4. Operasi pada Fungsi 26
2. Limit 29
2.1. Definisi Limit 29
2.2. Limit Fungsi Aljabar 33
2.3. Teorema Limit 44
2.4. Limit Fungsi Trigonometri 45
2.5. Kontinyuitas Suatu Fungsi 47
3. Turunan 49
3.1. Turunan Fungsi di Suatu Titik 49
3.2. Turunan Fungsi Aljabar 56
3.3. Turunan Fungsi Trigonometri 60
3.4. Turunan Fungsi Komposit dan Aturan Rantai 62
3.5. Turunan Tingkat Tinggi (Orde Tinggi) 65
3.6. Turunan Fungsi Implisit 69
3.7. Turunan Fungsi Pangkat Irasional 69
3.8. Analisis Gradien dan Nilai Ekstrim 70
4. Integral 78
4.1. Integral sebagai Anti-Turunan 78
4.2. Notasi Integral 79
5
4.3. Integral sebagai Luas Daerah di Bawah Kurva 81
4.4. Beberapa Bentuk Integral 85
4.5. Metode Substitusi 88
4.6. Integral Parsial 95
4.7. Integral Fungsi Rasional 101
4.8. Integral Tentu 104
5. Turunan Parsial dan Turunan Berarah 115
5.1. Fungsi n Variabel 115
5.2. Turunan Parsial 117
5.3. Aturan Rantai Fungsi Implisit 119
5.4. Diferensial Total dan Hampiran 123
5.5. Gradien dan Turunan Berarah 126
6. Aplikasi Turunan dan Integral 129
6.1. Aplikasi Turunan 129
6.2. Aplikasi Integral 139
7. Deret Tak Hingga 147
7.1. Deret Tak Hingga 147
7.2. Deret Pangkat 153
7.3. Deret Taylor dan MacLaurin 154
7.4. Turunan dengan Bantuan Deret 155
8. Pengantar Persamaan Diferensial 157
8.1. Konsep Persamaan Diferensial 157
8.2. Persamaan Diferensial Linear Orde Satu 159
8.3. Persamaan Diferensial Linear Orde Dua 159
Daftar Pustaka 164
6
Pendahuluan
Kalkulus diferensial pertama kali dirumuskan oleh Leibniz dan Newton
secara terpisah. Sebelumnya, pada abad ke-19, seorang matematikawan Prancis
bernama Augustin-Louis Cauchy (1789 – 1857) merumuskan konsep limit yang
menjadi dasar dari kalkulus diferensial.
Kalkulus diferensial kemudian berkembang menjadi alat yang luar biasa
dalam pemecahan problem matematis yang sulit dinalarkan secara aritmatika.
Sebagai contoh sederhana, dengan integral kita dapat menghitung volume benda
yang merupakan rotasi dari fungsi f ( x ) dengan batas tertentu. Dengan kalkulus
diferensial sistem-sistem fisis dapat dimodelkan mulai dari momen inersia,
gerak benda yang kompleks, atmosfer bintang, hingga struktur jagat raya.
Belakangan ini, pemodelan matematis semakin rumit sehingga
penyelesaiannya harus dikerjakan dengan bantuan komputer yang kemudian
membuat cabang matematika baru, yakni metode numerik. Baik menggunakan
metode analitik maupun numerik, kalkulus merupakan salah satu senjata
utamanya.
Adapun tujuan yang diharapkan dapat tercapai dengan penyusunan buku
ini bagi pembaca antara lain adalah:
Dengan penyusunan buku berbasis konseptual, diharapkan pembaca
mengetahui dan memahami konsep dan definisi limit, turunan, dan integral.
Dapat menyelesaikan persoalan-persoalan matematis ataupun pemodelan
yang memerlukan bantuan kalkulus diferensial.
Memiliki modal yang cukup mengenai dasar matematis kalkulus untuk
mempelajari ilmu matematika dan ilmu alam pada tingkat lanjut.
Dapat menyelesaikan problem sehari-hari dengan lebih baik menggunakan
analogi kalkulus diferensial.
7
Bab 1 Himpunan dan Fungsi
1. HIMPUNAN DAN BILANGAN
Sebelum membahas lebih jauh mengenai fungsi, ada baiknya kita
mempelajari atau menyegarkan kembali ingatan kita mengenai himpunan dan
bilangan. Mengapa hal ini penting? Yang pertama, fungsi terlibat dengan
himpunan. Fungsi tidak lain adalah aturan pemetaan dari satu himpunan ke
himpunan yang lain. Yang kedua, buku ini adalah buku matematika, jadi jelas
saja isi dari himpunan-himpunan yang akan dibahas adalah bilangan. Jika Anda
mendapati himpunan yang dibahas dalam buku ini berisikan binatang, jangan
khawatir, Anda tidak sedang membaca buku zoologi, ini cuma sekadar pengantar
ke pemahaman matematisnya.
1.1. Definisi Himpunan
Dalam pengertian umum, himpunan tidak lain adalah kumpulan
objek-objek tertentu yang memiliki setidaknya satu kesamaan, yakni syarat
yang diperlukan untuk bisa dimasukkan dalam himpunan tadi. Misalkan
kambing, sapi, dan kerbau dapat dikategorikan sebagai hewan
memamahbiak sebab mereka memenuhi syarat untuk bisa dimasukkan
dalam kelompok hewan memamahbiak karena: mereka memang
memamahbiak. Hal terpenting dalam himpunan ialah tidak boleh ada dua
benda yang sama dimasukkan dua kali. Semua objek-objek dalam himpunan
haruslah berbeda karena jika tidak akan terjadi penggelembungan suara.
Namun dalam lain kasus, kita tidak perlu mempunyai syarat yang
jelas ataukah kita tidak perlu menjelaskan syarat suatu himpunan. Kita
katakan saja himpunan A berisikan tomat, tempe, daging sapi, dan es
campur. Kita cukup mendeklarasikan elemen-elemen suatu himpunan tanpa
8
menjelaskan syaratnya (meskipun ada syarat dibaliknya, misal barang-
barang yang ada di kulkas rumah saya).
Oke, dalam matematika himpunan disimbolkan dengan huruf kapital
semisal A, B, C, dan lain-lain. Objek-objek dalam himpunan (elemen-
elemennya) disimbolkan dengan huruf kecil. Untuk memerikan suatu
himpunan, elemen-elemennya dapat dituliskan dalam tanda kurung
kurawal.
A={1,2,3,4,5 }
B={1,3,5,7 , …}
Atau kita dapat menuliskan deskripsi (syarat) elemen dari suatu
himpunan.
A={x∨1≤ x ≤ 5; x∈Z }
B={x∨x=2 n−1 ;n∈N }
Simbol N , Z , Q, R ,dan C masing-masing menyatakan bilangan asli
(1,2,3,…), bilangan bulat/integer (…,-1,0,1,2,…), bilangan rasional
Q={x∨x=ab
;a , b∈Z , b≠ 0 }, bilangan riil (rasional dan irasional), dan
bilangan kompleks (bilangan riil dan imajiner), sedangkan simbol ∈ dibaca
“elemen dari”. Himpunan juga dapat digambarkan dalam skema berupa area
tertutup yang merepresentasikan himpunan dan di dalamnya terdapat
elemen-elemen dari himpunan yang dimaksud.
Selain mendefinisikan elemen dari suatu himpunan, biasanya
terdapat hubungan antara dua atau lebih himpunan. Hubungan-hubungan
yang mungkin antara lain ialah:
1. Irisan/intersection (∩)
Misalkan himpunan A berisikan hewan-hewan yang dapat terbang
sebagai berikut A = {merpati, elang, lalat, kelelawar} dan himpunan B
berisikan mamalia sebagai berikut B = {anjing, kuda, paus, kelelawar}.
Perhatikan bahwa kelelawar (atau kalelawar ya?) merupakan elemen
dari himpunan A dan B, dengan kata lain himpunan A dan B beririskan di
9
kelelawar, dinotasikan: kelelawar=A ∩B (dibaca: kelelawar sama
dengan A iris B).
2. Gabungan/union (∪)
Misalkan siswa-siswi SMA Putus Harapan (sebut himpunan A) terbagi
menjadi dua jurusan, yakni IPA (himpunan B) dan IPS (himpunan C).
Artinya bila himpunan B digabung dengan himpunan C akan menjadi
himpunan A, dinotasikan: A=B∪C (dibaca: A sama dengan B gabung C).
3. Himpunan bagian/subset (⊂) dan himpunan induk/superset (⊃)
Berkaitan dengan poin nomor 2, bagaimanakah jika SMA Putus Harapan
terbagi menjadi tiga jurusan yakni IPA, IPS, dan bahasa (sebut himpunan
D)? Tidak benar jika kita menuliskan B∪C=A karena A juga berisikan C,
yang benar adalah B∪C∪D=A. Tetapi benar juga jika kita mengatakan
B adalah himpunan bagian (subset) dari A, dinotasikan: B⊂ A (dibaca: B
subset dari A). Ataukah dengan bahasa yang sedikit berbeda kita dapat
mengatakan A adalah himpunan induk (superset) dari B, dinotasikan:
A⊃B (dibaca: A superset dari B).
1.2. Bilangan Riil (Real Number)
Dari penjelasan sebelumnya tentang himpunan, dapat kita tuliskan
N⊂Z⊂Q⊂R⊂C . Sebelum bilangan riil dikonsepkan, orang dulunya
mengira semua panjang dapat dinyatakan dalam bilangan rasional, x=ab
dengan a ,b∈Z , b≠ 0. Tetapi setelah Pythagoras mengemukakan
teoremanya, diketahui bahwa panjang sisi miring segitiga siku-siku dengan
sisi-sisi yang berpenyiku sama dengan 1 ialah √2, yang mana tidak dapat
dinyatakan dalam bentuk rasional. Bilangan-bilangan yang tidak dapat
dibawa dalam bentuk rasional selanjutnya dinamakan bilangan irasional.
Ciri-ciri bilangan irasional ialah bila dituliskan dalam bentuk desimal
menghasilkan bilangan dengan angka di belakang koma tak hingga
panjangnya dan tidak memiliki suatu pola berulang yang tetap. Misalkan
bilangan π=3,14159265358979323846264 … memiliki tak hingga angka di
10
belakang koma yang susunannya tidak memiliki pola. Tetapi bilangan
0.69230769230769230769… bukanlah bilangan irasional meskipun angka
di belakang komanya tak hingga panjangnya karena susunannya memiliki
pola berulang. Terbukti, 0.69230769230769230769… dapat diubah ke
dalam bentuk pecahan yakni 9
13.
Bilangan riil (R) merupakan gabungan dari bilangan rasional dan
bilangan irasional. Bilangan riil didefinisikan sebagai semua [titik] bilangan
yang berada sepanjang garis datar (misal sumbu X).
1.3. Selang (Interval)
Ada tak hingga banyaknya bilangan riil, dan seringkali kita hanya
ingin meninjau bilangan-bilangan riil dalam selang tertentu saja. Suatu
selang biasanya dapat dinyatakan dalam ketaksamaan, semisal a< x<b yang
berarti nilai-nilai x berada di antara a dan b. Selang seperti ini disebut
selang terbuka, dan biasa dinotasikan juga sebagai (a ,b). Adapun selang
semacam a ≤ x≤ b berarti nilai-nilai x dari a hingga b. Selang seperti ini
disebut selang tertutup yang biasa juga dinotasikan sebagai [a , b]. Jadi
dalam selang tertutup batasnya juga dimasukkan dalam himpunan,
sedangkan dalam selang terbuka tidak. Semua elemen yang mungkin dalam
bilangan real dapat dinotasikan sebagai −∞<x<∞ atau (−∞,∞).
Beberapa contoh selang yang mungkin ialah ¿, ¿, (−∞,b), (a ,∞), ¿,
dan ¿. Cobalah Anda terjemahkan maksudnya.
1.4. Koordinat Kartesius
Dalam menggambarkan letak/koordinat suatu titik biasanya
digunakan suatu sistem koordinat. Mengingat nilai input dan hasil output
fungsi dapat dianggap sebagai koordinat, maka titik itu juga dapat
digambarkan dalam sistem koordinat. Salah satu yang paling umum
digunakan ialah koordinat kartesius. Dalam koordinat kartesius terdapat
sumbu-sumbu orientasi arah berupa garis riil yang lurus dan saling tegak
11
X
654321
-1-2-3-4-5-6
X
Y
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
A = (4,3)
B = (-2,-5)
Y
y = f(x)
0
lurus (ortogonal) satu sama lain. Jika kita menggambarkan letak titik dalam
dua dimensi, maka hanya diperlukan dua sumbu (misal X dan Y) untuk
menunjukkan arah atas, bawah, kiri, dan kanan. Begitu pula bila ingin
menggambarkan letak titik dalam tiga dimensi, diperlukan tiga sumbu
orientasi (misal X, Y, dan Z).
Jika terdapat suatu titik A dalam koordinat kartesian dua dimensi,
proyeksi titik A ke sumbu X disebut sebagai nilai komponen x dari titik A
dan proyeksi titik A ke sumbu Y disebut sebagai nilai komponen y dari titik
A sehingga dapat dituliskan letak titik A sebagai A ( x A , y A ). Untuk pemetaan
suatu fungsi, dengan meletakkan nilai-nilai input pada satu sumbu
(misalkan sumbu X) nilai-nilai output diletakkan pada sumbu lainnya
(sumbu Y), maka lokasi pasangan nilai (input-output) dapat diperoleh
dengan menghubungkan komponen x (input) dan komponen y (output)-nya.
Gambar 1.1. Letak titik A = (4,3) dan B = (-2,-5) digambarkan dalam koordinat kartesius 2D (kiri) dan fungsi f(x) yang direpsentasikan sebagai kumpulan titik-titik digambarkan dalam koordinat kartesiuas (kanan).
12
2. DEFINISI FUNGSI
Pernahkah Anda masuk ke kebun binatang atau wahana hiburan?
Biasanya tiket masuknya bervariasi: orang dewasa Rp 100.000,00, di bawah 12
tahun Rp 50.000.00, dan balita gratis. Yeah, ini adalah salah satu bentuk fungsi!
Mungkin Anda juga pernah mendengar rumus kesetaraan massa-energi dari
Einstein, E=m c2, persamaan itu juga merupakan fungsi. Lalu apa bedanya fungsi
dan persamaan? Mari temukan penjelasannya di bawah ini.
2.1. Pemetaan
Pemetaan ialah proses menghubungkan suatu input terhadap
outputnya berdasarkan relasi/syarat/aturan. Jadi hal yang penting dalam
pemetaan adalah input, relasi, dan output. Biasanya kita telah memilki nilai-
nilai input yang jelas, juga telah memiliki relasi yang telah ditentukan.
Dengan memasukkan nilai-nilai input ke dalam mesin pemroses (relasi),
maka keluar nilai outputnya. Dengan begitu kita dapat menghubungkan
nilai-nilai input dengan nilai output yang dihasilkannya, inilah pemetaan!
Himpunan dari nilai-nilai input itu disebut daerah asal (domain), sedangkan
himpunan dari nilai-nilai output disebut daerah hasil (codomain).
Pemetaan dapat digambarkan melalui diagram yang mudah
dimengerti, mudah digambarkan di atas kertas, tetapi cukup menjengkelkan
jika harus digambarkan dengan MS Word. Misalkan pemetaan hewan-
hewan (sebagai input) terhadap makanannya (sebagai output). Jadi
relasinya adalah “memakan”.
13
kuda •
macan tutul •
kambing •
paus biru •
ikan gabus •
kucing hutan •
• kelinci
• rumput
• kril
• ikan mas
• mi instan .rasa soto
memakanAB
Gambar 1.2. Diagram panah yang menggambarkan pemetaan dari A ke B.
Pada diagram di atas terlihat beberapa elemen dari daerah asal
terpetakan lebih dari satu nilai di daerah hasil (contohnya kucing hutan
terpetakan di kelinci dan ikan mas). Begitu pula beberapa elemen dari
daerah asal terpetakan pada nilai yang sama di daerah hasil (misalkan
macan tutul dan kucing hutan sama-sama terpetakan di kelinci). Ada pula
pemetaan di mana tiap elemen dari daerah asal tepat terpetakan pada satu
elemen di daerah hasil, menghasilkan pasangan-pasangan domain-
codomain. Pemetaan semacam ini disebut pemetaan satu-satu.
2.2. Definisi Fungsi
Telah dijelaskan bahwa komponen-komponen utama pemetaan
adalah input (domain), proses (relasi), dan output (codomain). Jika relasinya
berbentuk sedemikian rupa sehingga satu nilai input hanya memiliki satu
nilai output, maka relasi itu disebut fungsi (relasi adalah hipernim dari
fungsi). Meskipun demikian, tetap masih ada kerancuan mengenai definisi
ini jika diterapkan untuk bilangan. Untuk lebih jelas, perhatikan gambar di
bawah ini.
14
••••
••••
••••
••••
••••
••••
••••
••••
a b c d
Gambar 1.3. Macam-macam kemungkinan diagram panah.
Pada gambar di atas, diagram a dan c merupakan pemetaan fungsi,
karena tiap elemen dari daerah asal hanya terpetakan satu kali. Pada
diagram b ada satu titik dari daerah asal yang tidak terpetakan (nol kali) dan
pada diagram d ada satu titik yang terpetakan dua kali, sehingga relasinya
bukanlah fungsi.
Mungkin Anda telah paham tentang syarat fungsi. Berikut beberapa
contoh mana yang fungsi dan mana yang bukan fungsi. Cobalah Anda
temukan mengapa mereka disebut fungsi atau bukan fungsi.
Contoh fungsi:
1. y=x+1
2. y=2 x2+3 x−1
3. If round(x/2) – (x/2) = 0; genap
else; ganjil
Contoh yang bukan fungsi
1. y=√25−x2
2. y= x0
3. Yang guru ke kelompok A, pengusaha ke kelompok B
Sampai sejauh ini fungsi-fungsi yang dibahas hanyalah fungsi satu
variabel, atau dengan bahasa sehari-hari hanya ada satu faktor yang
menjadi syarat pemetaan. Untuk sementara hal ini dianggap cukup.
Meskipun demikian, fungsi banyak variabel tetap akan dibahas pada bab 5.
15
2.3. Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil
Perhatikan grafik fungsi sin x, cos x , x2, dan x3 di bawah ini.
Gambar 1.4. Fungsi genap dan fungsi ganjil.
Jika diperhatikan dengan baik, pada fungsi sin x dan x3 berlaku
f (−x )=−f (x ) (1.1)
Jika memenuhi definisi dari persamaan 1.1, fungsi tersebut
dikategorikan sebagai fungsi ganjil. Sekerang coba perhatikan fungsi cos x
dan x2, diperoleh
f (−x )=f (x ) (1.2)
Jika memenuhi definisi dari persamaan 1.2, fungsi tersebut
dikategorikan sebagai fungsi genap. Pada fungsi genap jelas terlihat sumbu
Y berlaku sebagai cermin, atau kurva di daerah X−¿¿ merupakan
pencerminan dari kurva di daerah X+¿ ¿. Dari definisi ini, buktikanlah
pemangkatan dengan bilangan genap dari semua fungsi riil merupakan
fungsi genap, sedangkan pemangkatan dengan bilangan ganjil tidak
merubah kelas fungsinya.
16
3. BEBERAPA JENIS FUNGSI
Kita telah cukup banyak membahas mengenai fungsi. Berikutnya akan
diberikan beberapa jenis fungsi yang sering muncul dalam keseharian dan ujian
Anda.
3.1. Fungsi Polinom
Fungsi polinom ialah fungsi yang berbentuk
f ( x )=a0+a1 x+a2 x2+…+an xn
Dengan n bilangan bulat non-negatif dan a0 , a1 ,…,an adalah tetapan
riil.
Jika an≠ 0, dikatakan derajat atau orde polinom tersebut adalah n. Jika
n = 0, maka fungsi tersebut menjadi f ( x )=a0 untuk semua nilai x. Fungsi
seperti itu disebut fungsi konstan.
3.2. Fungsi Rasional
Fungsi rasional ialah fungsi yang berbentuk pembagian dua fungsi
polinom, yaitu:
f ( x )=a0+a1 x+a2 x2+…+an xn
b0+b1 x+b2 x2+…+bn xn
Dengan syarat penyebutnya tidak sama dengan nol untuk semua nilai
x (syarat perlu pembilang ≠ 0).
3.3. Fungsi Irasional
Fungsi irasional adalah fungsi yang memuat tanda penarikan akar.
Contohnya f ( x )=x+ 3√ x3−2 x.
3.4. Fungsi Nilai Mutlak
17
Nilai mutlak didefinisikan sebagai
|x|=x; bila x≥ 0
|x|=−x; bila x<0Misalnya |7|=7, |0|=0, dan |−7|=− (−7 )=7.Dari definisi di atas terlihat bahwa untuk setiap bilangan riil x berlaku |x|≥ 0.Salah satu cara mudah untuk membayangkan nilai mutlak ialah jarak
(suatu skalar, tidak memilki arah). |x| adalah jarak x dari titik (0,0), begitu
pula |x−a| ialah jarak antara x dengan a. Dari definisi nilai mutlak ini,
didapati pula sifat nilai mutlak dalam suatu ketaksamaan yakni
|x|<a; berarti – a<x<a (1.3.a)|x|>a; berarti x←a atau x>a (1.3.b)Berikut ini ialah sifat-sifat nilai mutlak dalam operasi aljabar1. |ab|=|a||b|
2. |ab|=|a|
|b|3. |a+b|≤|a|+|b|
Contoh:
1. Selesaikanlah ketaksamaan |x−7|<2!
Jawab:
Mengingat sifat nilai mutlak pada pers. 1.3.a, dapat diperluas menjadi
|f ( x )|<a; berarti – a< f (x )<a, sehingga−2<x−7<2
Tambahkan masing-masing ruas dengan 7, diperoleh
5<x<9
Jadi himpunan penyelesaiannya ada dalam selang (5,9 ).
2. Selesaikanlah ketaksamaan |4 x−8|≥ 12!
18
Jawab:
Mengingat sifat nilai mutlak pada pers. 1.3.b, dapat diperluas menjadi
|f ( x )|≥ a; berarti f ( x ) ≤−a atau f ( x ) ≥ a, sehingga4 x−8 ≤−12 atau 4 x−8 ≥12
Tambahkan masing-masing ruas dengan 8, diperoleh
4 x≤−4 atau 4 x≥ 20
sehingga x≤−1 atau x≥ 5
Jadi himpunan penyelesaiannya ada dalam selang (∞ ,−1 ]∪¿.
3. Selesaikanlah ketaksamaan |4−x|≤ 2!
Jawab:
−2 ≤ 4−x≤ 2
−6 ≤−x ≤−2
Kalikan semua ruas dengan -1 (ingat jika ketaksamaan dikalikan dengan -1 maka
tandanya berbalik, seperti bila 2<4, maka −2>−4).
6 ≥ x≥ 2 atau 2 ≤ x ≤6. Jadi himpunan penyelesaiannya berada dalam selang [2,6].
Setelah mempelajari “operasi” nilai mutlak, sekarang kita akan
membahas fungsi nilai mutlak. Ingatlah kembali bahwa jika ada tanda nilai
mutlak, maka fungsi itu berubah sifatnya pada titik yang ditunjukkan oleh
subfungsi dalam tanda nilai mutlak itu. Misalkan f ( x )=3−2|4 x+2|, maka
fungsi f ( x ) akan berubah sifat di titik 4 x+2=0 atau x=−0,5. Jadi fungsi nilai
mutlak f ( x ) dapat kita pecah menjadi dua bagian, yakni:
f ( x )={−8 x−1 ; jika x ≥−0,58 x+7 ; jika x←0,5
Berikut grafiknya:
19
Gambar 1.5. Grafik fungsi nilai mutlak f ( x )=3−2|4 x+2|.
Satu contoh lagi, misalkan f ( x )=x|x|+|x−3|. Terdapat dua tanda
mutlak, sehingga terdapat dua titik di mana f ( x ) akan berubah sifat. Kedua
titik itu ialah x=0 dan x−3=0 ; x=3. Perhatikan pada subfungsi dalam tanda
mutlak yang pertama, |x|, untuk x<0 maka |x|=−x, sedangkan untuk x≥ 0
maka |x|=x. Cara yang serupa dikerjakan untuk tanda mutlak yang ke-dua,
|x−3|, menghasilkan |x−3|=−x+3 untuk x<3, dan |x−3|=x−3 untuk x≥ 3.
Dengan demikian terdapat tiga selang yang memuat “fungsi baru” yang
berbeda yakni:
f ( x )={ x2+x−3; jika x≥ 3x2−x+3 ; jika 0≤ x<3−x2−x+3 ; jika x<0
3.5. Fungsi Tangga
Fungsi tangga ialah fungsi bilangan bulat terbesar. Jadi, sebelum
membahas fungsi bilangan bulat terbesar, kita bahas terlebih dahulu
“operasi” bilangan bulat terbesar. Ibarat terdapat tangga yang terdiri dari
dua puluh anak tangga di rumah Anda. Dalam hal ketinggiannya, tangga itu
kita anggap sebagai suatu selang dalam garis riil dan ketinggian tiap-tiap
anak tangga itu berada pada nilai bilangan bulat. Jika Anda berada pada
anak tangga ke-tiga, dan melangkahkan kaki maju tetapi ketinggian langkah
kaki Anda hanya sepertiga anak tangga, Anda tidak akan naik ke mana-
mana, melainkan tetap di kedudukan semula. Meskipun Anda mengangkat
20
kaki setinggi setengah, 0,9, atau 0,9999… kali tinggi anak tangga Anda tetap
tidak akan naik. Hal yang analog (tidak persis) terjadi bila Anda turun
tangga. Meskipun Anda hanya melangkah turun 0,001 kali ketinggian anak
tangga saja, Anda pastilah akan turun satu anak tangga.
Dari penggambaran di atas, dapat kita simpulkan dalam operasi
bilangan bulat terbesar (disimbolkan sebagai [|f (a )|] ), hanya dikenal
bilangan-bilangan bulat/integer. Jika f ( a ) bukan bilangan bulat maka [|f (a )|] akan bernilai sama dengan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari
pada f ( a ).
Contohnya kita ambil saja operasi pada konstanta. Bila x=2,2,
terdapat bilangan bulat …, -1,0,1,2 yang lebih kecil dari 2,2, jadi [|2,2|]=2.
Dengan mudah kita ketahui [|1,7|]=1, [|3,5|]=3, [|−4,6|]=−5, dan [|10|]=10.
Secara formal dapatlah kita tuliskan
[|x|]=n jika n ≤ x<n+1
Contoh:
1. Tentukanlah aturan fungsi tangga f ( x )= [|−2 x|] dalam selang −1 ≤ x ≤1
Jawab:
Menurut definisi bilangan bulat terbesar
[|−2 x|]=n jika n ≤−2 x≤ n+1, kalikan dengan −12
pada ketiga ruas diperoleh
−n+12
≤ x≤−n2
.
Agar −1 ≤ x ≤1, pilih n=−2 ,−1,0,1, sehingga
n=−2⟹ 12< x≤ 1⟹ [|−2 x|]=−2⟹ f ( x )=−2
n=−1⟹0< x≤12⟹ [|−2 x|]=−1⟹ f ( x )=−1
n=0⟹−12< x≤ 0⟹ [|−2 x|]=0⟹ f ( x )=0
n=1⟹−1<x≤−12⟹ [|−2 x|]=1⟹ f ( x )=1
21
untuk x=−1⟹ [|−2 x|]=2⟹ f ( x )=2
Jadi aturan fungsinya adalah
f ( x )={−2 ;
12<x≤ 1
−1;0< x≤12
0 ;−12< x≤ 0
1 ;−1<x ≤−12
2 ; x=−1
3.6. Fungsi Trigonometri
Fungsi trigonometri ialah fungsi yang memuat operasi-operasi
trigonometri seperti sinus, kosinus, dan tangen.
Fungsi trigonometri merupakan perkakas dalam mengonversi suatu
sistem koordinat kartesian ke dalam koordinat polar (dengan demikian
menggunakan basis fungsi lingkaran, x2+ y2=r2) atau sebaliknya. Dalam
“ruang” dua dimensi, koordinat kartesius menyatakan posisi suatu titik
dalam jarak proyeksi ke sumbu X (yakni x) dan jarak proyeksi ke sumbu Y
(yakni y) terhadap pusat koordinat, sedangkan dalam sistem koordinat bola,
posisi suatu titik dinyatakan dalam jarak terpendek titik dari pusat
koordinat (dalam ruang datar merupakan garis lurus) yakni r dan sudut
22
Gambar 1.6. Sudut dalam lingkaran dan segitiga menggambarkan hubungan antara koordinat kartesius dan koordinat polar.
yang dibentuk antara sumbu referensi (biasanya X+) dengan r (yaitu θ).
Untuk memperoleh hubungan antara x, y, r, θ dan mengingat sifat
kesebangunan segitiga dibuatlah definisi,
sin θ= sisi dekatsisimiring
= xr
(1.4)
cosθ= sisi hadapansisimiring
= xr
(1.5)
tanθ= sisi dekatsisi hadapan
= sin θcosθ
= xy
(1.6)
Perhatikan segitiga siku-siku pada gambar 1.6, diperoleh sin α=ac
,
padahal cos β=ac
. Mengingat jumlah sudut dalam segitiga planar ialah 180 °
sehingga α=90 °−β maka diperoleh kesimpulan
sin (90 °−θ )=cosθ (1.7.a)
cos (90°−θ )=sinθ (1.7.b)
Mengingat sifat periodesitas fungsi trigonometri, dipenuhi juga
hubungan
sin (90 °+θ )=cosθ (1.7.c)
cos (90°+θ )=sin θ (1.7.d)
Hubungan penting yang lainnya ialah
sin2 θ+cos2θ=1 (1.8)
Yang dapat dibuktikan sebagai x2
r2 + y2
r2 = x2+ y2
r2 = r2
r2 =1.
Selain dinyatakan dalam satuan derajat, besar sudut juga dapat
dinyatakan dalam radian dan jam busur.
Jenis satuan sudut Sudut lingkaran penuh Keterangan
Derajat 360 ° 1 °=60'=3.600
Radian 2 π rad(rad )=( 2 π
360 )°
Jam busur 24h 1h=60m=3.600s=15 °
23
Gambar 1.7. Grafik fungsi sinus (atas, biru), cosinus (atas, merah), dan tangen (bawah, biru)
Selain itu dikenal pula fungsi cosecan, secan, dan cotangen sebagai
pangkat negatif satu dari fungsi sinus, cosinus, dan tangen atau secara
matematis diperikan sebagai
csc θ= ry= 1
sin θ(1.9)
secθ= rx= 1
cosθ(1.10)
cot θ= cscθsec θ
= xy= 1
tanθ(1.11)
24
Gambar 1.8. Grafik fungsi cosec (biru), sec (merah), dan cotangen (hijau) dalam koordinat kartesian.
Ada pula yang disebut sinus hiperbolik, cosinus hiperbolik, dan
tangen hiperbolik. Perbedaannya ialah bila fungsi trigonometri berbasis
lingkaran, maka fungsi trigonometri hiperbolik berbasis hiperbola,
x2− y2=r 2, di mana dalam kasus ini r juga merupakan jarak dari pusat ke
puncak hiperbola. Perhatikanlah gambar hiperbola x2− y2=4 dibandingkan
dengan lingkaran x2+ y2=4 di bawah ini.
Gambar 1.9. Perbandingan gambar antara hiperbola (kiri) dan lingkaran (kanan) dengan r = 2.
25
Dengan definisi yang hampir serupa dengan fungsi trigonometri
biasa, fungsi trigonometri hiperbolik didefinisikan sebagai:
sinh α= xr
(1.12)
cosh α= xr
(1.13)
tanh α= sinh αcosh α
= xy
(1.14)
Gambar 1.10. Grafik fungsi sinh (biru), cosh (merah), dan tanh (hijau) dalam koordinat kartesian.
4. OPERASI PADA FUNGSI
Tentunya fungsi yang dimaksud di sini adalah fungsi metematis.
Setidaknya terdapat dua macam operasi yang umum pada fungsi, yakni operasi
aljabar dan komposisi fungsi.
4.1. Operasi Aljabar
Fungsi-fungsi dapat saling dijumlahkan, dikurangkan, dikalikan, dan
dibagi untuk memperoleh fungsi baru. Misalkan fungsi u ( x )=3 x+4 dan
26
v ( x )=2 x−1, maka dapat kita peroleh fungsi-fungsi baru yang merupakan
hasil operasi aljabar dari kedua fungsi tadi.
1. Penjumlahan, misal f ( x )=u ( x )+v ( x )=(u+v ) ( x )
u ( x )+v ( x )=(3 x+4 )+ (2 x−1 )=5 x+3
2. Pengurangan (selisih), misal f ( x )=u ( x )−v ( x )=(u−v ) (x )
u ( x )−v ( x )=(3 x+4 )−(2 x−1 )=x+5
3. Perkalian, misal f ( x )=u ( x ) ∙ v (x)=(u∙ v ) ( x )
u ( x )+v ( x )=(3 x+4 ) (2 x−1 )=6 x2+5 x−4
4. Pembagian (rasio), misal f ( x )=u ( x )v ( x )
=( uv ) (x )
u ( x )v ( x )
=(3 x+4 )(2 x−1 )
Selain melakukan operasi aljabar antar dua fungsi atau lebih, kita
juga dapat menjumlahkan, mengurangkan, mengalikan, membagi,
memangkatkan, dan menarik akar suatu fungsi dengan suatu konstanta.
Tentu saja hal ini sangat mudah sehingga penjelasan lebih lanjut dirasa
tidak perlu.
4.2. Fungsi Komposisi
Fungsi komposisi adalah gabungan dua atau lebih fungsi. Agar bisa
dikomposisikan, fungsi-fungsi itu haruslah memiliki satu peubah yang sama
ataukah fungsi yang satu merupakan peubah dari fungsi yang lain. Ibarat
mesin pintal dan mesin tenun, serat diproses dalam mesin pintal menjadi
benang yang kemudian diproses lagi dalam mesin tenun sehingga menjadi
kain.
Sebelum memulai definisi matematikanya lebih lanjut, baiknya kita
simak dulu pemahaman berikut ini.
Nilai-nilai x (bahan mentah) ingin diproses dengan fungsi
y=f ( x )=x2+1 untuk menghasilkan output-output y (bahan baku). Lalu y
akan diproses lagi dengan fungsi z=g ( y )=2 y+3 untuk menghasilkan
output-output z (bahan jadi). Jika kita tidak ingin mempedulikan proses-
27
prosesnya satu demi satu, dapatlah diringkaskan keseluruhan proses itu
dari input x menghasilkan output z, yakni:
z=g ( y )=2 y+3
z=g ( f (x ) )=2 ( x2+1 )+3=2 x2+5
Kita perolehlah ringkasan proses-prosesnya menjadi satu proses dari bahan
mentah menjadi bahan jadi yaitu z=g ( f (x ) )=2x2+5.
Dalam matematika, boleh jadi kita tidak memerlukan penamaan
berbeda untuk bahan mentah dan bahan baku, kita bisa menamakan
keduanya sebagai x. Contohnya lagi diketahui f ( x )=23
x+4 dan g ( x )=x2−2,
maka:
f ( g ( x ) )=23
( x2−2 )+4=23
x2+ 83
g (f ( x ) )=( 23
x+4 )2
−2=49
x2+ 163
x+14
Notasi f ( g ( x ) ) juga biasa dituliskan sebagai ( f ∘ g ) (x ) (dibaca fungsi f
komposisi g) dan notasi g (f ( x ) ) juga biasa dituliskan sebagai ( g∘ f ) (x ). Jelas
bahwa ( f ∘ g ) (x ) tidak mesti sama dengan ( g∘ f ) (x ). Untuk komposisi tiga
fungsi atau lebih aturan yang sama berlaku, juga penulisan f (g ( h ( x ) ) ) dapat
ditulis ( f ∘ g∘h ) ( x ).
4.3. Invers Suatu Fungsi
Jika dipenuhi suatu sifat
( f ∘ f −1 ) (x )=x (1.15.a)
atau
( f−1∘ f ) (x )=x (1.15.b)
Maka f−1(x) disebut sebagai fungsi invers dari f (x). Langkah
pertama yang perlu dilakukan untuk mencari invers dari fungsi satu
28
variabel, semisal y=f (x ) ialah dengan mengubahnya menjadi x=f ( y ).
Setelah itu Anda cukup menukar variabel y menjadi variabel awal, yakni x.
Contohnya fungsi y=f ( x )= 12 x−3
y= 12 x−3
2 x−3= 1y
x= 12 y
+ 32=3 y+1
2 y
Jadi diperoleh x=3 y+1
2 y. Jika kita tukar nama variabelnya, diperoleh
invers dari fungsi y yakni y−1=f −1 ( x )=3x+1
2 x. Berikut akan kita coba
membuktikan teorema pada persamaan 1.15.a dan 1.15.b dengan contoh.
( f ∘ f −1 ) (x )=f ( f−1 (x ) )= 1
2(3 x+12 x )−3
= 1
3+1x−3
=x
( f−1∘ f ) (x )=f −1 ( f (x ) )=3 ( 1
2 x−3 )+1
2( 12x−3 )
=32+ 2x−3
2=x
Bab 2 Limit
29
1. DEFINISI LIMIT
Secara harfiah, limit berarti batas. Dalam matematika, limit dapat
dipandang sebagai batas, nilai yang mendekati (approach). Jika dikaitkan dalam
fungsi, limit fungsi x di a dapat dikata nilai fungsi untuk x mendekati a, sedekat
mungkin, tapi tidak pernah tepat di a.
1.1. Interpretasi Grafik
Pengertian limit fungsi di suatu titik dapat dipahamai dengan
menggunakan grafik. Untuk lebih detilnya, perhatikan langkah-langkah
berikut.
Langkah 1
Tetapkan bilangan positif ε sehingga selisih antara f ( x ) dengan L kurang
dari ε, ditulis |f ( x )−L|<ε atau L−ε<f ( x )<L+ε . Ungkapan ini digambarkan
oleh sabuk horizontal dengan lebar 2ε (batas atas L+ε dan batas bawah
L−ε) seperti pada Gambar 2.1.a.
Langkah 2
Pilihlah bilangan positif δ sehingga selisih antara x dengan a positif tetapi
kurang dari δ, ditulis 0<|x−a|<δ .
|x−a|>0 menunjukkan bahwa x≠ a.
|x−a|<δ atau a−δ <x<a+δ . Ungkapan ini digambarkan oleh sabuk vertikal
dengan lebar 2 δ (batas kanan a+δ dan batas kiri a−δ) seperti pada Gambar
2.1.b.
Langkah 3
Perpotongan antara sabuk horizontal dan sabuk vertikal yang diperoleh
pada kedua langkah di atas membentuk persegi panjang ABCD seperti
diperlihatkan pada Gambar 2.1.c.
Persegi panjang ABCD ini yang digunakan untuk menentukan ada
atau tidak adanya limit fungsi di sekitar x=a sebagai berikut
30
sabuk-horizontal
Jika grafik fungsi f (x) yang berada dalam sabuk-vertikal juga berada
dalam persegi panjang ABCD, maka fungsi f (x) mempunyai limit L
untuk x mendekati a.
Jika grafik fungsi f (x) yang berada dalam sabuk-vertikal tetapi tidak
berada dalam persegi panjang ABCD, maka fungsi f (x) tidak mempunyai
limit untuk x mendekati a.
Gambar 2.1. Grafik fungsi f (x)
Sebagai contoh, perhatikan Gambar 2.2.
1) Fungsi f (x) pada Gambar 2.2.a mempunyai limit L untuk xmendekati a.
Sebab fungsi yang berada dalam sabuk-vertikal dengan lebar 2δ juga
berada dalam persegi panjang ABCD.
2) Fungsi f (x) pada Gambar 2.2.b tidak mempunyai limit untuk x
mendekati a. Sebab ada sebagian fungsi yang berada dalam sabuk-
vertikal dengan lebar 2δ tidak berada dalam persegi panjang ABCD, yaitu
cabang fungsi f (x) yang berada di sebelah kanan garis x=a.
Definisi formal:
31
(a) (b) (c)a+δa−δx=a
sabuk-vertikal
y=f ( x ) , x≠ ay=f ( x ) , x≠ a
(a) limx →a
f ( x )=L (b) limx→ a
f ( x ) tidak aa
Gambar 2.2. Limit fungsi.
limx →a
f (x )=L (2.1)
Berarti untuk setiap ε>0 terdapat nilai δ >0 sedemikian sehingga
|f ( x )−L|<ε dan 0<|x−a|<δ .
Limit Kiri dan Limit Kanan
Telah kita ketahui nilai fungsi f (x) di x=a dapat didekati dari kiri
maupun dari kanan. Nilai limit f (x) untuk x menuju a dari arah kiri (x → a–
atau x < a) disebut limit kiri, sedangkan nilai limit f (x) untuk x menuju a
dari arah kanan (x → a+ atau x > a) disebut limit kanan. Suatu fungsi f (x)
dikatakan memiliki limit di x=a jika dan hanya jika memiliki limit kiri dan
limit kanan dan limit kirinya sama dengan limit kanannya.
Untuk lebih jelasnya, perhatikan gambar di bawah ini:
Gambar 2.3. Limit kiri dan limit kanan. Pada gambar (a) dikatakan fungsi memiliki limit di x = a, sedangkan pada gambar (b) fungsi tidak memiliki limit di x = a.
32
(a) limx →a
f ( x )=L1, limx→ a+¿ f (x )=L2¿
¿,
dan
(b) limx →a
f ( x )=L1, limx→ a+¿ f (x )=L2¿
¿
, dan
Suatu fungsi f (x) dikatakan memiliki limit di x=a jika dan hanya jika
limx→ a−¿ f (x)¿
¿ ada, yakni L–
limx→ a+¿ f (x)¿
¿ ada, yakni L+
limx→ a−¿ f (x)= lim
x →a+¿ f (x)¿¿¿
¿ atau L– = L+
1.2. Pengamatan dari Penghitungan Nilai Fungsi
Pengertian limit fungsi di suatu titik dapat pula dipahami dengan
menghitung langsung nilai-nilai fungsi di sekitar titik yang ditinjau.
Misalkan fungsi f ( x )=2 x+3 ingin diketahui nilai fungsi dan limitnya di x=2.
Nilai fungsi di titik x=2 ialah f (2 )=2 (2 )+3=7.
Nah, bagaimana jika kita ingin mengetahui nilai f ( x ) untuk x menuju
2? Maka dapat dihitung nilai-nilai fungsi di sekitar x=2.
x 1,8 1,9 1,99 1,999 →2,000← 2,001 2,01 2,1 2,2
f ( x ) 6,6 6,8 6,98 6,998 ? 7,002 7,02 7,2 7,4
Dari tabel di atas dapat disimpulkan nilai f (x) semakin mendekati 7
bila x mendekati 2. Dengan demikian dapat dituliskan
limx →2
2 x+3=7
Nah, sekarang kita coba cari nilai dan limit fungsi f ( x )= x2−4x−2
di titik
x=2. Jika dihitung nilai fungsinya diperoleh f (2 )=(2)2−4(2)−2
=00
, suatu bentuk
yang tidak kita ketahui nilainya. Sekarang, kita coba menghitung nilai fungsi
di sekitar x=2.
x 1,8 1,9 1,99 1,999 →2,000← 2,001 2,01 2,1 2,2
f ( x ) 3,8 3,9 3,99 3,999 ? 4,001 4,01 4,1 4,2
Ternyata diperoleh untuk x mendekati 2, f ( x ) akan mendekati 4. Jadi
dapat kita simpulkan limx →2
x2−4x−2
=4.
33
2. Limit Fungsi Aljabar
2.1. Bentuk Tak Hingga dan Tak Tentu
Kita telah tahu bahwa nilai yang paling kecil dalam bilangan (dalam
hal ini bilangan positif) ialah bilangan yang mendekati nol. Lalu, berapakah
atau apakah bilangan yang memiliki nilai terbesar? Sayangnya tidak ada
bilangan seperti itu, karena setiap kita memilih bilangan yang sangat-sangat
besar sekalipun kita tetap akan menemukan bilangan yang lebih besar lagi.
Tak hingga adalah suatu entitas dalam matematika untuk
merepresentasikan nilai yang sangat besar. Penting untuk diingat karena
tak hingga (∞) hanyalah representasi dari bilangan yang sangat besar,
sehingga tak hingga (∞) bukanlah bilangan dalam artian yang sebenarnya.
Misalkan grafik dari y=1x
, maka untuk x menuju 0, y akan terus
membesar ke atas (untuk daerah kanan) dan ke bawah (untuk daerah kiri).
Nah, berapakah nilai y untuk x=0? Jika kita melihat pola bahwa semakin
kecil nilai x (dengan mengabaikan tanda positif dan negatif) maka y akan
semakin besar, maka dapat disimpulkan untuk x=0 maka y=∞.
Gambar 2.4 Limit tak hingga dan limit fungsi di tak hingga.
34
Jika dinyatakan dalam bentuk limit, maka dapat dituliskan
limx→ 0+¿ 1
x=+∞¿
¿
limx→ 0−¿ 1
x=−∞¿
¿
limx →0 |1
x |=∞ (2.2.a)
Tentunya persamaan 2.2.a di atas juga berlaku untuk |ax| dengan a
sembarang bilangan real.
limx →0 |a
x |=∞ (2.2.b)
Berikutnya adalah bentuk tak tentu. Bentuk tak tentu adalah bentuk
matematis seperti 00
. Untuk memastikan sifat tak tentu dari 00
mari simak
pemerian berikut.
a × b=c→cb=a
0 × 0=0 →00=0
1 ×0=0 →00=1
77 × 0=0 →00=77
Itulah yang dimaksudkan bahwa 00
adalah bentuk tak tentu, karena
hasilnya memungkinkan berapa saja. Bisa saja 0, 1, ½, -4, 77, 109, dan
sebagainya. Namun hal ini tidak berarti dalam suatu kasus bentuk 00
memiliki banyak hasil, tidak. Hasilnya hanya satu, hanya saja kita tidak
mungkin mengetahui hasilnya itu yang mana, kecuali jika kita mengetahui
polanya. Ingat pula perkalian suatu bilangan riil dengan bentuk tak tentu
menghasilkan bentuk tak tentu juga.
35
00
× a=0 × a0
=00
Di mana a adalah sembarang bilangan riil. Jadi perkalian antara 00
dangan a menghasilkan 00
. Tapi jangan salah, 00
di ruas kiri nilainya tidak
sama dengan 00
di ruas kanan (kecuali a=1). Seandainya 00
di ruas kiri
nilainya sama dengan k, maka 00
di ruas kanan nilainya adalah a k. Bingung?
Yang jelas karena membingungkan maka bentuk ini perlu dihindari.
Misalkan dalam pembuatan program, persamaan aljabar harus ditulis dalam
bentuk yang paling sederhana, untuk mencegah munculnya bentuk tak
tentu. Penjelasan lebih lanjut dapat Anda baca pada bagian 2.2.
Selain 00
, beberapa bentuk tak tentu lainnya yang umum dikenal ialah
∞−∞ , ∞∞
, dan 0 × ∞. Perhatikan persamaan 2.2.b.
limx →0
ax=∞ ; lim
x→ 0
bx=∞
Dengan a dan b sembarang bilangan positif. Dengan mengurangkan
keduanya diperoleh
limx →0 ( a
x−b
x )=∞−∞
Dapat kita saksikan bahwa bentuk ∞−∞ lazimnya menghasilkan
bentuk limx →0 ( a
x−b
x )=limx → 0
a−bx
=± ∞ bila a ≠ b, dan bila a=b diperoleh
limx →0 ( a
x−b
x )=0. Jadi masih tak tentu berapakah nilai ∞−∞ itu kecuali kita
mengetahui nilai a dan b.
Untuk bentuk ∞∞
jika kita menggunakan kembali asumsi di atas,
diperoleh
36
limx →0
axbx
=∞∞
=ab
Kembali didapatkan bahwa kita tak bisa menentukan berapakah nilai
∞∞
itu selama kita tidak mengetahui nilai a dan b. Sekarang untuk bentuk
0 × ∞, dalam bentuk limit dapat dituliskan sebagai
limx →0 (x ×
ax )=0 × ∞=a
Diperoleh 0 × ∞=a padahal a adalah sembarang bilangan positif yang
kita pilih (berlaku juga untuk bilangan negatif), lagi-lagi tak tentu. Selain
bentuk-bentuk tak tentu yang telah disebutkan di atas terdapat beberapa
lagi bentuk-bentuk tak tentu lain yang pada dasarnya berasal dari bentuk
tak tentu yang telah dijelaskan di atas.
Ngomong-ngomong, selain bentuk tak hingga dan tak tentu, terdapat
juga bentuk tak terdefinisi dalam matematika. Yang paling populer adalah
bentuk 0√0. Asumsikanlah 0√0=k , sehingga k 0=0. Jelaslah k bukan bilangan
yang terdefinisi dalam matematika, karena semua bilangan real (bahkan
bilangan kompleks) jika dipangkatkan nol hasilnya pastilah satu.
2.2. Limit Fungsi Aljabar di Suatu Titik
Dalam menyelesaikan persoalan limit fungsi aljabar, biasanya dapat
diselesaikan dengan substitusi langsung. Misalkan limx →2
x2+3, langsung saja
substitusikan nilai x=2 dalam f ( x )=x2+3 yang menghasilkan
f (2 )=(2)2+3=7. Seperti yang dijelaskan pada subbab 1, untuk fungsi
kontinyu, bila x→ a maka pastilah f (x)→f (a).
Meskipun bentuk seperti ini lebih lazim, tapi sayangnya dalam ujian
sangat jarang ada soal yang bisa diselesaikan dengan mudah seperti ini.
Terdapat kasus-kasus di mana suatu fungsi nampak tidak kontinyu di suatu
titik karena substitusi nilai x pada titik itu menghasilkan f ( a )=00
atau
37
bentuk-bentuk tak tentu lainnya. Sialnya, yang seperti inilah yang sering
muncul dalam soal ujian Anda. Oleh karena itu diperlukan suatu metode
untuk mengetahui “pola lain” dari fungsi f (x) dengan metode aritmatika
atau manipulasi aljabar agar dapat mengidentifikasikan nilai pasti dari
bentuk tak tentu tadi (tentunya ini penting untuk meningkatkan nilai Anda
di kelas).
Metode yang dimaksudkan di atas adalah metode pemfaktoran.
Tentu saja ini kabar buruk bagi yang nilai aljabarnya merah. Oleh karena itu
di sini akan diberikan contoh-contoh yang sederhana.
Misalkan suatu fungsi f ( x )= x2−4x−2
. Berapakah nilai f (2)? Jika kita
lakukan substitusi langsung diperoleh
f (2 )=(2)2−4(2)−2
=00
Ya, sebuah bentuk tak tentu. Karena menghasilkan bentuk tak tentu
00
untuk x = 2, dapat dipastikan bahwa f (x) sendiri mengandung bentuk tak
tentu jika x = 2. Jika kita teliti, penyebut x−2 menghasilkan 0 untuk x = 2,
maka kita dapat berasumsi terdapat perkalian nol juga pada pembilangnya.
Ternyata benar, jika kita faktorkan,
f ( x )= x2−4x−2
=( x+2 )(x−2)
(x−2)= (x+2 ) ×
(x−2)(x−2)
Dengan menggunakan bantuan teorema limit diperoleh
limx →2
x2−4x−2
=limx →2
( x+2 )× limx→ 2
(x−2)(x−2)
Jadi bentuk 00
yang terkandung dalam f (x) untuk x = 2 ialah (x−2)(x−2)
yang nilainya pastilah sama dengan satu. Dengan demikian bentuk limx →2
x2−4x−2
dapat kita ubah menjadi limx →2
( x+2 ). Jika disubstitusikan x = 2 diperoleh
limx →2
( x+2 )=2+2=4.
38
Jadi intinya adalah bagaimana kita mengubah fungsi itu ke bentuk
lain dengan manipulasi aljabar agar hasil fungsi di titik yang dimaksud tidak
menghasilkan bentuk tak tentu.
Contoh:
1. Hitunglah limx→ 4
x2+42
!
Jawab:
Substitusi secara langsung.
limx→ 4
x2+42
=42+42
=10
2. Hitunglah limx →0
x2−8 xx2+2 x
!
Jawab:
Jika disubstitusi secara langsung akan menghasilkan bentuk 00
, oleh karena itu
lakukan pemfaktoran pada pembilang dan penyebutnya.
limx →0
x2−8 xx2+2 x
=limx→ 0
x (x−8)x (x+2)
= limx →0
(x−8)(x+2)
¿ 0−80+2
=−4
3. Hitunglah limx→−2
x3+8x2−4
!
Jawab:
Faktorkan pembilang dan penyebutnya.
limx→−2
x3+8x2−4
¿ limx→−2
( x2−2 x+4 )(x+2)( x+2 )(x−2)
= limx →−2
( x2−2 x+4 )(x−2)
¿(−2)2−2 (−2 )+4
(−2−2)=−4
−4=1
39
4. Hitunglah limx→ 4
√ x−2x−4
!
Jawab:
Ingat bentuk aljabar (a+b ) (a−b )=a2−b2. Faktorkanlah penyebutnya.
limx→ 4
√ x−2x−4
=limx→ 4
√x−2(√x+2 )(√ x−2)
=limx → 4
1√ x+2
limx→ 4
√ x−2x−4
= 1√4+2
= 14
5. Hitunglah limx →3
x2−x−6x−3
!
Jawab:
Faktorkanlah pembilangnya.
limx →3
x2−x−6x−3
=limx→ 3
( x+2 )(x−3)x−3
=limx→ 3
(x+2 )
limx →3
x2−x−6x−3
=3+2=6
6. Hitunglah limx →0
√4+x−√4−xx
!
Jawab:
Kalikan pembilang dan penyebutnya dengan faktor lawan pembilang.
limx →0
√4+x−√4−xx
¿ limx→ 0
√4+x−√4−xx
× √4+x+√4−x√4+x+√4−x
¿ limx→ 0
(4+x )−(4−x)x (√4+x+√4−x)
=limx →0
2 xx (√4+x+√4−x)
¿ limx→ 0
2(√4+x+√4−x )
= 2
√4+√4=1
2
2.3. Limit fungsi aljabar di tak hingga
Telah dibahas di atas mengenai limit fungsi di suatu titik. Yang kita
tulis x→ a. Nah, bagaimana jika titik yang dimaksud adalah nilai x yang
sangat besar, atau yang paling besar yang mungkin ada? Itulah yang
40
dimaksud dengan limit fungsi di tak hingga. Disebut limit karena “titik” tak
hingga itu tidak benar-benar terdefinisi, tetapi dapat kita dekati dengan nilai
yang teramat besar. Selain untuk meramalkan nilai fungsi pada nilai yang
sangat besar (apakah terus naik atau turun ataukah malah konstan), limit
fungsi di tak hingga juga penting dalam analisis deret tak hingga.
Oke, agar lebih jelas, langsung saja kita tinjau dua contoh berikut.
Yang pertama adalah fungsi f ( x )=x2−2x. Jika kita sustitusi x dengan suatu
nilai yang semakin besar diperoleh f (x) yang semakin besar pula. Jadi kita
dapat berasumsi bahwa bila x menuju tak hingga maka f (x) juga menuju tak
hingga. Selain menggunakan substitusi langsung, dapat pula kita amati saja
bentuk fungsinya. Untuk nilai yang sangat besar, jelaslah x2−2 x≈ x2. Dengan
demikian untuk nilai x yang sangat besar (juga untuk bilangan negatif
karena [–a]2 = a2) diperoleh pendekatan f (x)≈ x2 yang jelas bahwa f (x) naik
sebanding dengan x2. Dengan demikian dapat dituliskan
limx→ ∞
x2−2 x=+∞
Nah, bagaimana dengan fungsi f ( x )=2 x2−2x2 ? Berapa f ( x ) untuk
x→ ∞? Untuk memudahkan, fungsi di atas dapat kita ubah bentuknya
menjadi f ( x )=2− 2
x2 . Perhatikan untuk |x|≫ maka 2
x2 akan semakin kecil
menuju nol. Dengan demikian untuk x→ ± ∞ maka 2
x2→ 0 sehingga
diperoleh
limx→ ±∞
2 x2−2x2 = lim
x →± ∞2− 2
x2 =2−0=2
Berikut grafiknya:
41
Gambar 2.5
Grafik fungsi f ( x )=x2−2x dan
f ( x )=2 x2−2x2
.
Jadi untuk x menuju tak hingga f ( x ) akan menuju 2. Bagaimana,
apakah Anda sudah terbayang triknya? Ya, triknya adalah membuat
penyebutnya mendekati satu dengan membagi pembilang dan penyebut
dengan variabel berpangkat tertinggi dari variabel pembilang. Oke, untuk
itu saya berikan satu contoh lagi.
Contoh:
1. Carilah nilai limx→ ∞
5 x3+2 x−2x3−x2+8
!
Jawab:
Pangkat tertinggi dari variabel x pada penyebutnya adalah 3, maka bagilah
pembilang dan penyebut dengan x3.
42
limx→ ∞
5 x3
x3 + 2 xx3 − 2
x3
x3
x3− x2
x3+ 8
x3
=limx→ ∞
5+ 2x2 −
2x3
1−1x+ 8
x3
=5+0−01−0+0
=5
Jadi, limx→ ∞
5 x3+2 x−2x3−x2+8
=5.
2. Carilah nilai limx→ ∞
x3−x−63 x 4−6 x2 !
Jawab:
Pangkat tertinggi dari variabel x pada penyebutnya adalah 4, maka bagilah
pembilang dan penyebut dengan x4.
limx→ ∞
x3
x4 −xx4 −
6x4
3 x4
x4−6 x2
x4
= limx →∞
1x− 1
x3 −6x4
3− 6x2
=limx→ ∞
1x−0−0
3−0=lim
x→ ∞
13 x
=0
Jadi, limx→ ∞
x3−x−63 x 4−6 x2 =0.
3. Carilah nilai limx→ ∞
x3+x−6x2−4 x+12
!
Jawab:
Pangkat tertinggi dari variabel x pada penyebutnya adalah 2, maka bagilah
pembilang dan penyebut dengan x2.
limx→ ∞
x+ 1x− 6
x2
1−4x+ 12
x2
= limx →∞
x+0−01−0+0
=limx → ∞
x=∞
Jadi limx→ ∞
x3+x−6x2−4 x+12
=∞.
4. Carilah nilai limx→−∞
x3+x−6x2−4 x+12
!
43
Jawab:
Serupa dengan contoh nomor 3,
limx→−∞
x=−∞
Jadi limx→−∞
x3+x−6x2−4 x+12
=−∞.
5. Carilah nilai limx→−∞
2x2+3 xx2−4
!
Jawab:
limx→−∞
2x2+3 x
x2−4= lim
x →−∞
2+ 3x
1−4
x2
=2
Jadi, limx→−∞
2 x2+3 xx2−4
=2,
Dari contoh-contoh di atas, dapat diperoleh kesimpulan bahwa limit
fungsi aljabar yang berbentuk fungsi pembagi di tak hingga dapat memiliki
hasil:
a. Jika pangkat tertinggi variabel pembilang lebih besar daripada pangkat
tertinggi variabel penyebut, maka | limx→ ±∞
f ( x)|=∞.
b. Jika pangkat tertinggi variabel pembilang lebih kecil daripada pangkat
tertinggi variabel penyebut, maka limx→ ±∞
f (x )=0.
c. Jika pangkat tertinggi variabel pembilang sama dengan pangkat tertinggi
variabel penyebut, maka limx→ ∞
f (x)=a dengan a∈R .
2.4. Sifat Asimtotik Fungsi
Asimtot? Nama yang aneh… Apa sih asimtot itu? Untuk merangsang
pemikiran Anda, coba perhatikan lagi gambar 2.5, dan gambar di bawah ini.
44
Asimtot tegak, datar, dan miring dari suatu fungsi merupakan representasi dari limit tak hingga dan limit di tak hingga.
Perhatikanlah gambar 2.6.a, terlihat kurva y=x
x−2 memiliki bentuk
nyaris lurus, yakni tegak pada x = 2 dan datar pada y = 1. Andaikan kita bisa
menggambarkan kurva tersebut dengan interval yang besar dan dilihat dari
jarak jauh maka akan teramati kurva y= xx−2
seperti tanda tambah. Garis x
= 2 disebut asimtot tegak dan garis y = 1 disebut asimtot datar pada kurva
y= xx−2
.
Sekarang perhatikan gambar 2.6.b, terlihat kurva y= x3+8x2−4
memiliki
bentuk nyaris lurus, yakni tegak pada x = 2 dan miring pada garis y = x. Garis
x = 2 disebut asimtot tegak dan garis y = x disebut asimtot miring pada
kurva y=x3+8x2−4
.
Jika ditilik lebih jauh, maka diperoleh kaitan bahwa asimtot tegak
tidak lain adalah manifestasi dari bentuk limit tak hingga yang bukan di
45
tak hingga dan asimtot datar adalah manifestasi dari bentuk limit di tak
hingga yang bukan tak hingga pada ketentuan pada bagian 2.3.b dan 2.3.c,
yakni bila pangkat tertinggi variabel pembilang lebih kecil atau sama
daripada pangkat tertinggi variabel penyebut. Adapun bila sesuai dengan
ketentuan 2.3.a, dengan syarat pangkat tertinggi variabel pembilang hanya
lebih tepat satu dibandingkan pangkat tertinggi variabel penyebut, akan
diperoleh asimtot miring.
Coba perhatikan fungsi y=x
x−2, untuk x = 2 diperoleh bentuk limit
tak hingga, inilah asimtot tegaknya. Untuk x≫, x−2 ≈ x sehingga untuk x
menuju tak hingga limx→ ∞
xx−2
= xx=1, inilah asimtot datarnya. Sekarang untuk
fungsi y=x3+8x2−4
, bila x = 2, diperoleh bentuk limit tak hingga, inilah asimtot
tegaknya. Bila x≫, x3+8 ≈ x3 dan x2−4 ≈ x2, sehingga untuk x≫,
x3+8x2−4
≈x3
x3 ≈ x . Nah, garis y = x inilah asimtot miringnya. Patut diingat, kurva
akan “bergerak” semakin mendekati asimtot tetapi tidak akan berpotongan
dengan asimtotnya.
46
3. Teorema Limit
Dari penjelasan sebelum-sebelumnya dapat disimpulkan beberapa
teorema-teorema limit. Berikut adalah beberapa teorema limit yang umum
dikenal.
1. Jika f ( x )=k (fungsi konstan), maka limx →a
f (x )=k untuk sembarang a∈R .
2. Jika f ( x )=x (fungsi identitas), maka limx →a
f (x )=a untuk sembarang a∈R .
3. a) limx →a
{f ( x )+g(x )}=limx →a
f (x )+limx→ a
g (x)
Dengan kata lain limit jumlah fungsi-fungsi sama dengan jumlah masing-
masing limit fungsi.
b) limx →a
{f ( x )−g( x)}=limx → a
f (x)−limx → a
g(x )
Dengan kata lain limit selisih fungsi-fungsi sama dengan selisih masing-
masing limit fungsi.
4. limx →a
k ∙ f ( x )=k ∙ limx → a
f ( x )
Limit hasil kali suatu fungsi dengan konstanta sama dengan hasil kali
konstanta dengan limit fungsi itu.
5. a) limx →a
{f ( x ) ∙ g(x )}=limx →a
f (x) ∙ limx →a
g(x )
Limit hasil kali fungsi-fungsi sama dengan hasil kali masing-masing limit
fungsi.
b) limx →a
f ( x )g ( x )
=limx→ a
f ( x )
limx →a
g ( x )
Limit hasil bagi fungsi-fungsi sama dengan hasil bagi masing-masing limit
fungsi.
6. a) limx →a
{f ( x)}n={limx → af (x)}n
Limit fungsi pangkat n sama dengan pangkat n dari limit fungsi itu.
b) limx →a
n√ f (x )=n√ limx→ a
f (x ) ; untuk limx →a
f (x )≥ 0 untuk n genap.
Limit akar pangkat n dari suatu fungsi sama dengan akar pangkat n dari
limit fungsi itu, asalkan limit fungsinya tidak negatif untuk n genap.
47
4. Limit Fungsi Trigonometri
Pada bagian sebelumnya telah dipelajari cara menyelesaikan problem
limit fungsi aljabar. Nah, sekarang saatnya untuk mempelajari limit fungsi
trigonometri. Ada tiga bentuk yang sering muncul mengenai limit fungsi
trigonometri, yakni limx →0
sin x , limx →0
cos x, dan limx →0
tan x.
4.1. Limit Fungsi Sinus
Sebelumnya ingat kembali definisi dari sinus sudut pada segitiga
siku-siku, yakni sisi di depan sudut dibagi dengan sisi miring (hipotenusa).
Untuk memudahkan, perhatikan gambar di bawah ini.
Gambar 2.7 Sinus, cosinus, dan tangen dari sudut polar.
Ambillah garis yang menghubungkan pusat lingkaran ke sembarang
titik di keliling lingkaran (jari-jari) semisal OD dan OE yang membentuk
sudut tertentu terhadap sumbu X (garis OC). Lalu tariklah garis yang tegak
lurus OC menuju titik pada keliling lingkaran pada pertemuan garis jari-jari,
seperti garis AD dan BE. Untuk garis BE (BE), diperoleh
48
BE=r sin θ
Dan busur CE (CE) panjangnya tidak lain adalah
CE=θ × r
dengan θ dalam satuan radian (untuk θ dalam derajat, panjang busur
lingkaran adalah θ
360°2 πr). Perhatikan bahwa jika diambil θ≪ hingga
menuju nol. Maka panjang garis BE akan makin mendekati panjang busur
CE, sehingga untuk θ≪ dapat kita dekati BE≈ CE.
r sin θ ≈ θ r
sin θ ≈ θ
Dengan demikian untuk limit θ menuju nol diperoleh
limθ → 0
sin θ=θ (2.3)
Dari hasil ini dapat pula diperoleh
limθ → 0
sin θθ
=limθ →0
θsin θ
=θθ=1 (2.4)
4.2. Limit Fungsi Cosinus
Untuk fungsi cosinus, jika θ≪ diperoleh panjang garis OB akan
mendekati panjang garis OC = OE, yakni r. Dengan demikian untuk θ≪
diperoleh:
cosθ=OBOE
≈rr
≈ 1
Dengan demikian limit cosθ untuk θ menuju nol ialah
limθ → 0
cosθ=1 (2.5)
Berdasarkan hasil ini dapat pula diperoleh
limθ → 0
1−cosθθ
=limθ →0 ( 1
θ− cosθ
θ )=limθ → 0 ( 1
θ−1
θ )limθ → 0
1−cosθθ
=limθ →0
cos θ−1θ
=0 (2.6)
4.3. Limit Fungsi Tangen
49
Seperti halnya limit fungsi sinus, mengingat definisi dari tangen
adalah sisi dekat dibagi dengan sisi miring, maka dangan pemilihan θ <<
diperoleh BE≈ CE dan OB akan mendekati panjang jari-jari r. Dengan
demikian untuk limit θ menuju nol berlaku:
limθ → 0
tan θ=θ (2.7)
Dari hasil ini kembali dapat pula diperoleh
limθ → 0
tan θθ
=limθ → 0
θtanθ
=θθ=1 (2.8)
5. Kontinyuitas Suatu Fungsi
Dalam suatu selang tertentu, suatu fungsi dapat saja memiliki nilai untuk
setiap masukan nilai riil dalam selang. Namun ada kalanya pada satu atau lebih
titik dalam selang yang dipilih, fungsi itu tidak memiliki nilai (tak terdefinisi).
Untuk hal-hal semacam itu dikatakanlah ada fungsi yang kontinyu dan ada fungsi
yang tidak kontinyu.
5.1. Fungsi kontinyu
Sebelum berbicara mengenai fungsi kontinyu, baiknya kita terlebih
dahulu menelaah makna dari kontinyu. Kontinyu merupakan kata serapan
(adaptasi) yang berasal dari bahasa Inggris yakni continue yang berarti
sinambung, menerus. Jadi sesuatu yang kontinyu adalah sesuatu yang
sinambung, tidak terputus(diskrit). Dengan begitu dapatlah kita katakan
fungsi kontinyu adalah fungsi yang grafiknya terus bersinambung, tidak
terputus dalam selang tertentu. Sebenarnya ini adalah implikasi dari semua
x=[ a ,b ] ; x∈ R terpetakan oleh f (x) yang berarti f (x) kontinyu dalam
selang [ a , b ]. Jika f (x) kontinyu dalam selang (−∞,∞) maka dikatakan f (x)
kontinyu di semua “tempat”.
5.2. Fungsi tidak kontinyu (diskontinyu)
Kebalikan dengan fungsi yang kontinyu, fungsi dikatakan tidak
kontinyu dalam suatu selang x=[ a ,b ] ; x∈ R bila satu atau lebih nilai x tidak
50
terpetakan oleh fungsi f (x). Dalam definisi ini jelas bila f (x) diskontinyu
dalam selang [ a , b ] maka f (x) juga tidak kontinyu dalam selang (−∞,∞)
karena [a , b]⊂(−∞ ,∞) 1.
5.3. Ketidakkontinyuan yang dapat dihapuskan
Apa itu ketidakkontinuan yang dapat dihapuskan? Suatu fungsi f (x)
dikatakan tidak kontinyu jika f (x) tidak terdefinisi setidaknya pada satu
titik dalam selang tertentu, misalkan di x = a dengan a∈R .
f (a)=∅
Tetapi bila f (x) memiliki limit di x→ a, dengan kata lain limit kiri
sama dengan limit kanannya, maka ketidakkontinyuan fungsi f (x) di titik
x=a dikatakan dapat dihapuskan. Mengapa dapat dikatakan dihapuskan?
Untuk mudahnya perhatikan gambar fungsi diskontinyu dan fungsi
diskontinyu yang ketidakkontinyuannya dapat dihapuskan.
1 Asumsikan x = 109, maka x
x−2=1,0000000002≈ 1. Jelas untuk x menuju tak hingga maka hasilnya
akan semakin dekat dengan 1.
51
Gambar 2.8 Ketidakkontinyuan fungsi di suatu titik (x = 2)
Kurva f ( x )= xx−2
digambarkan dengan warna merah dan kurva
f ( x )= x2−4x−2
digambarkan dengan warna biru. Kedua fungsi sama-sama tidak
kontinyu di titik x=2, tetapi pada fungsi f ( x )= x2−4x−2
ketidakkontinyuannya
dapat dihapuskan karena memiliki nilai limit di titik x=2. Perhatikan pula
grafik f ( x )= x2−4x−2
yang secara kasat mata terlihat tidak terputus dalam
selang yang diberikan.
Bab 3 Turunan
1. TURUNAN FUNGSI DI SUATU TITIK
Dari apa yang terlihat, turunan (derivatif) dapat dianggap sebagai suatu
operasi matematis yang menyatakan interpretasi nilai sebuah faktor dari faktor
lain yang berdimensi lebih besar (ordenya turun satu). Karena faktor yang
berdimensi kecil itu merupakan suatu ‘titik’ pada dimensi yang lebih besar,
maka turunan erat hubungannya dengan limit. Namun demikian, pemahaman di
atas hanyalah pernyataan berdasarkan hal-hal praktis yang nampak pada
operasi turunan. Secara formal, turunan dapat didefinisikan sebagai perubahan
nilai fungsi terhadap perubahan nilai input untuk selang yang sangat kecil
(menuju nol).
Misalkan suatu fungsi y=f (x ) yang terdefinisi pada selang tebuka I yang
memuat semua bilangan riil. Bila nilai x berubah dari x = x1 ke x = x2, maka nilai
52
fungsi juga akan berubah dari y1=f (x1) ke y2=f (x2). Dengan demikian
perubahan nilai fungsi terhadap perubahan nilai x didefinisikan sebagai:
y2− y1
x2−x1
=f ( x2)−f (x1)
x2−x1
Jika dipilih nilai x2 yang mendekati x1, maka secara matematis
didefinisikan perbandingan ini ialah
limx2 → x1
f ( x2 )−f (x1)x2− x1
Asal limitnya ada.
Dengan substitusi x2=x1+∆ x, yang bila x2→ x1 mengakibatkan ∆ x →0,
maka turunan pertama fungsi f di titik x=x1 dapat dituliskan dalam bentuk:
f ' ( x1 )= lim∆x →0
∆ y∆ x
= lim∆x → 0
f ( x1+∆ x)−f (x1)∆ x
Jika limitnya ada, dikatakan fungsi f mempunyai turunan di x=x1.
Sebaliknya jika limitnya tidak ada, dikatakan f tidak terturunkan di x=x1, dimana
Δ yΔ x
disebut hasil bagi diferensial.
Turunan pertama suatu fungsi y=f ( x ) dapat dinotasikan dengan notasi
dari Newton dan Lagrange yakni f ' ( x ) ,
ddx
f ( x ) atau notasi Leibniz yakni
dydx .
Sedangkan nilai turunan di suatu titik tertentu (misalnya di x=x1) dinotasikan
dengan f ' (c ) atau
dydx
|x=c. Notasi d yang berseliweran itu merupakan singkatan
dari kata derivative, yang berarti turunan.
Adapun teorema turunan, jika fungsi f mempunyai turunan di x=a , yaitu
f (a ) , maka fungsi f kontinu di x=a , namun kebalikan teorema ini tidak
berlaku. Penjabaran yang lebih sederhana dari turunan akan diberikan dalam
pembahasan selanjutnya.
1.1. Interpretasi Dari Turunan
53
Turunan fungsi di suatu titik dapat diartikan sebagai gradien dari
suatu garis singgung pada kurva, kecepatan sesaat, percepatan dan lain
sebagainya. Turunan sebagai gradien garis sangat penting untuk dipahami
karena sebenarnya dari situlah konsep turunan berasal.
A. Turunan Sebagai Gradien Garis dalam Selang Titik
Masih ingat definisi gradien? Ya, secara sederhana gradien atau trend
dapat diterjemahkan sebagai kemiringan. Gradien garis (m) berarti skala
kemiringan dari suatu garis dalam selang tertentu (dari x1 ke x2) yang
diberikan dalam:
m= Δ yΔ x
=y2− y1
x2−x1(3.1)
Mengingat y=f (x ), dan mendefinisikan x2=x1+ Δ x, persamaan 3.1
dapat kita tulis ulang menjadi
m=f ( x1+Δ x )−f (x1)
Δ x
Untuk fungsi linear y=ax+b, tentunya memiliki gradien yang tetap di
semua selang sepanjang garis, karena nisbah Δ yΔ x
akan selalu konstan
bagaimana pun pemilihan selang Δ x-nya. Perhatikan gradien garis dari
fungsi y=ax+b dengan sembarang pemilihan nilai x, yaitu x1 dan x2.
m=y2− y1
x2−x1
=(a x2+b)−(a x1+b)
x2−x1
=a(x2−x1)
x2−x1
=a
Lihat? Berapa pun pemilihan nilai x1 dan x2, gradien garis dari fungsi
linear selalu sama di setiap selang yang dipilih.
Lalu bagaimana dengan fungsi kuadrat, fungsi kubik, fungsi
trigonometri, dan fungsi-fungsi lainnya yang non-linear? Fungsi-fungsi
seperti itu membentuk suatu kurva sehingga jelas gradien (kemiringan)
setiap selang di sepanjang kurva tidaklah sama. Untuk itu, dibuatlah selang-
selang kecil dan dihitung gradien dari selang-selang kecil tersebut.
Mengingat gradien dari fungsi non-linear bisa saja berbeda di setiap selang
54
bahkan titik, maka mari kita membuat selang yang kecilnya bukan main,
seperti titik. Well, ini memang terdengar ekstrim, tetapi dengan konsep limit
pada bab sebelumnya, dapat kita hitung gradien garis untuk selang satu titik
Mengingat ukuran dari titik ialah nol, maka Δ x haruslah menuju nol.
Akhirnya, dapat kita tulis persamaan gradien dengan selang Δ x → 0 yaitu:
m=Δ yΔ x
= limΔ x → 0
f (x+ Δ x )−f (x)Δ x
Karena telah mereduksi persamaan garis menjadi “persamaan titik”,
gradien pada persamaaan 3.1 di atas disebut turunan. Turunan tidak hanya
bekerja dari dimensi satu ke dimensi nol, melainkan bekerja untuk
sembarang dimensi n menjadi dimensi n – 1.
Secara geometri, turunan fungsi f di titik x=c , dinotasikan sebagai
f ' (c ) menyatakan gradien garis singgung m pada kurva y=f ( x ) di titik
(c , f (c )) , di mana garis singgung m tidak sejajar sumbu-y.
Gradien garis singgung g di titik c adalah
mg= limΔx→0
ΔfΔx
= limΔx→ 0
f (c+Δx )−f (c )Δx
Dan persamaan garis singgungnya dirumuskan dengan:
y=f '(c )(x−c )+ f (c )
Adapun garis normal, yaitu garis yang tegak lurus dengan garis
singgung melewati titik c dapat dicari persamaannya dengan mengingat
perkalian gradien garis yang tegak lurus sama dengan -1.
y= −1f ' (c )
( x−c )+ f (c )
Contoh:
1. Suatu kurva dengan persamaan fungsi f ( x )=2 x2+7 , carilah persamaan
garis singgung di titik x=2 !
Jawab:
55
Sebelumnya, periksa terlebih dahulu apakah kurva f ( x ) kontinu di titik
x=2.
f ( x )=2(2 )2+7=15
f ' ( x )=(2)2 x=4 x
f ' (2)=4 (2)=8 , fungsi f memiliki turunan di titik 2, berarti f kontinu di
titik x=2 .
Persamaan garis singgungnya adalah:
y=f '(c )(x−c )+ f (c )
y=8( x−2)+15⇔ y=8 x−1
Adapun persamaan garis normalnya adalah:
y=−18
x−1
B. Turunan Sebagai Kecepatan Sesaat dan Percepatan
Jika s( t ) suatu fungsi waktu dalam t, maka s '( t ) menyatakan kecepatan
sesaat dari perubahan s pada saat t, sedangkan s ''( t )menyatakan percepatan,
yaitu perubahan kecepatan v pada saat t. Jika s( t ) menyatakan jarak yang
ditempuh suatu benda pada suatu garis lurus, maka kecepatan saat t
dinyatakan dengan
v ( t )=s '( t )= limΔt →0
ΔsΔt
= limΔx→0
s( t +Δt )−s ( t )Δt
Sedangkan pada percepatan dapat dinyatakan dengan
a ( t )=v '( t )=s ''( t )= limΔt→ 0
ΔvΔt
= limΔx→0
v ( t+Δt )−v ( t )Δt
Contoh:
56
1. Gerak sebuah benda yang jatuh dari langit memenuhi persamaan
s=10t2+8t +3 , dengan s dan t masing-masing dinyatakan dalam meter dan
detik Tentukanlah persamaan kecepatan benda, kecepatan benda pada saat
t=5 detik dan percepatannya!
Jawab:
Persamaan kecepatan benda adalah
v ( t )=s '( t )= limΔt →0
ΔsΔt
= limΔx→0
s( t +Δt )−s ( t )Δt
= limΔx→ 0
(10( t+ Δt )2+8( t+ Δt )+3 )−(10 ( t )2+8 t+3)Δt
=10 t +8
Kecepatan benda saat t=5 detik adalah:
v (5 )=10 (5 )+8=58 m/s
Percepatan benda adalah:
a ( t )=v '( t )= limΔx→0
v ( t +Δt )−v ( t )Δt
= limΔx→ 0
(10( t+ Δt )+8 )−(10( t )+8 )Δt
=10 m/s2
2. Misalkan sebuah fungsi f ( x )=4 x+16 , carilah f ' (4 ) !
Jawab:
f ' (3)= limΔx →0
f ( 4+ Δx)−f ( 4 )Δx
= limΔx→ 0
(4 (4+Δx )+16)−( 4( 4 )+16 )Δx
= limΔx→0
4 ΔxΔx
=4
3. Suatu fungsi g( x )=3 x2+6 x+8 , carilah turunan pertama dan nilai turunan
pertama untuk x=2
Jawab:
f ' (c )= limΔx →0
f (c+Δx )−f (c )Δx
57
= limΔx→ 0
(3 (c+Δx )2+6 (c+Δx )+8)−(3c2+6 c+8)Δx
= limΔx→ 0
(3 c2+6cΔx+3 ( Δx )2+6 c+6 Δx+8 )−(3 c2+6c+8)Δx
= limΔx→ 0
6 cΔx+3 ( Δx)2+6 ΔxΔx
= limΔx→ 0
6 c+3 Δx+6
=6 c+6
f ' (2)=6(2)+6=18
4. Misalkan sebuah fungsi f ( x )=3 x2+5 , carilah f ' (2)dan f ' (c ) !
Jawab:
a)f ' (3)= lim
Δx →0
f (3+ Δx)−f (3 )Δx
= limΔx→ 0
(3 (2+Δx )2+5 )−(3 (2 )2+5)Δx
= limΔx→0
12 Δx+3 Δx2
Δx=12
b)f ' (c )= lim
Δx →0
f (c+Δx )−f (c )Δx
f ' (c )= limΔx →0
(3(c+Δx )2+5 )−(3c2+5)Δx
f ' (c )= limΔx →0
(3c2+6cΔx+3( Δx )2+5 )−(3c2+5)Δx
f ' (c )= limΔx →0
6 c+3 Δx
f ' (c )=6 c
f ' (2)=6(2)=12 , sama dengan hasil sebelumnya.
5. Carilah turunan fungsi f ( x )=(2 x+1)2!
Jawab:
f '( x)= lim∆ x →0
(2 [ x+∆ x ]+1 )2−(2 x+1)2
∆ x
58
f '( x)= lim∆ x →0
( [ 2 x+2 ∆ x ]+1 )2−(2 x+1)2
∆ x
f '( x)= lim∆ x →0
( [2 x+2∆ x ]2+2 [ 2x+2∆ x ]+1)−(2 x+1)2
∆ x
f '( x)= lim∆ x →0
( [4 x2+8 x ∆ x+4(∆ x)2 ]+[ 4 x+4 ∆ x ]+1)−(4 x2+4 x+1)∆ x
f ' ( x )= lim∆ x →0
8 x ∆ x+4 ∆ x+4 (∆ x )2
∆ x= lim
∆ x→ 08 x+4+4 ∆ x
f ' ( x )=8 x+4
Hasil yang sama diperoleh dengan mengubah bentuk f (x) menjadi 4 x2+4 x+1
f '( x)= lim∆ x →0
(4 [ x+∆ x ]2+4 [x+∆ x ]+1)−(4 x2+4 x+1)∆ x
f '( x)= lim∆ x →0
(4 x2+8 x ∆ x+4(∆ x)2+4 x+4 ∆ x+1)−(4 x2+4 x+1)∆ x
f '( x)= lim∆ x →0
8 x ∆ x+4 ∆ x+4(∆ x)2
∆ x
f ' ( x )=8 x+4
2. TURUNAN FUNGSI ALJABAR
2.1. Turunan Fungsi Berbentuk a xn
Fungsi-fungsi aljabar pada dasarnya berbentuk f(x) = axn, dengan a
dan n suatu konstanta. Jika n = 0, maka fungsi itu akan tereduksi menjadi
f(x) = a, yang disebut sebagai fungsi konstan. Jika dan n = 1, fungsi f(x) akan
tereduksi menjadi f(x) = ax, yang disebut fungsi linear, dan fungsi linear
dengan a = 1 akan menjadi fungsi identitas, f(x) = x. (Keterangan: untuk
fungsi polinom, nilai n yang paling tinggi pada fungsi disebut orde suatu
fungsi, misalkan f ( x )=3 x3+8 x−6 memiliki orde 3. Semua fungsi berorde
satu disebut fungsi linear, termasuk fungsi konstan).
59
A. Turunan Fungsi Konstan
Diberikan fungsi f(x) = a. Turunan fungsi f(x) ialah
f ' ( x )= limΔ x →0
f ( x+Δ x )−f ( x)Δ x
f ' ( x )= limΔ x →0
x+Δ x−xΔ x
= limΔ x →0
Δ xΔ x
f ' ( x )=1 (3.2)
B. Turunan Fungsi Linear
Turunan dari fungsi yang berbentuk f(x) = ax ialah:
f ' ( x )= limΔ x →0
f ( x+Δ x )−f ( x)Δ x
f ' ( x )= limΔ x →0
a ( x+Δ x )−axΔ x
f ' ( x )= limΔ x →0
ax+a Δ x−axΔ x
= limΔ x →0
a Δ xΔ x
f ' ( x )=a (3.3)
Perhatikan fungsi f(x) = ax dapat kita urai menjadi f ( x )=a × g ( x ), di
manag ( x )=x, yaitu fungsi konstan yang turunannya telah kita ketahui
dari pembahasan sebelumnya. Jadi didapatkan turunan dari perkalian
suatu skalar dengan suatu fungsi sama dengan perkalian suatu skalar
dengan turunan suatu fungsi: ddx
a . g ( x )=a .ddx
g (x). (3.4)
C. Turunan Fungsi axn
Turunan dari fungsi yang berbentuk f(x) = axn ialah:
f ' ( x )= limΔ x →0
f ( x+Δ x )−f ( x)Δ x
f ' ( x )= limΔ x →0
a ( x+Δ x )n−axn
Δ x
Menggunakan deret binomial Newton
(a+b )n=¿
an+an−1 b+n(n−1)
2!an−2 b2+
n (n−1 )(n−2)3 !
an−2b2+…+nabn−1+bn
60
Diperoleh:
f ' ( x )= limΔ x →0
a {xn+nxn−1 Δ x+n(n−1)
2 !x
n−2
( Δ x)2+…+( Δ x)n}−axn
Δ x
f ' ( x )= limΔ x →0
a Δ x {nxn−1+n (n−1)
2 !x
n−2
Δ x+…+nx (Δ x)n−2+( Δ x)n−1}Δ x
f ' ( x )= limΔ x →0
a {nxn−1+n(n−1)
2 !x
n−2
Δ x+…+nx ( Δ x)n−2+(Δ x)n−1}f ' ( x )=anxn−1 (3.5)
2.2. Turunan dari Penjumlahan, Pengurangan, Perkalian, dan Pembagian
Fungsi
Suatu fungsi dapat berupa penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan
pembagian dari dua atau lebih fungsi satu suku. Turunan dari fungsi-fungsi
itu akan kita temukan dalam penjabaran di bawah ini.
A. Turunan Jumlah dan Selisih Fungsi-Fungsi
Misalkan fungsi f ( x )=u ( x )+v (x)
f ' ( x )= limΔ x →0
f ( x+Δ x )−f ( x)Δ x
f ' ( x )= limΔ x →0
{u ( x+Δ x )+v ( x+Δ x ) }−{u ( x )+v (x )}Δ x
f ' ( x )= limΔ x →0
u ( x+ Δ x )−u ( x )Δ x
+ limΔ x → 0
v (x+Δ x )−v (x )Δ x
f ' ( x )=u' ( x )+v ' (x)
Dengan cara yang sama diperoleh turunan dari selisih fungsi
f ( x )=u ( x )−v (x ) ialah f ' ( x )=u' ( x )−v ' (x ). Jadi dapat dituliskan
(u+v )'=u'+v ' dan (u−v )'=u'−v ' . (3.6)
B. Turunan Perkalian Fungsi
Misalkan fungsi f ( x )=u ( x ) ∙ v (x)
61
f ' ( x )= limΔ x →0
f ( x+Δ x )−f ( x)Δ x
f ' ( x )= limΔ x →0
u ( x+ Δ x ) ∙ v ( x+Δ x )−u ( x ) ∙ v (x)Δ x
f ' ( x )= limΔ x →0
u ( x+ Δ x ) ∙ v ( x+Δ x )−u ( x+Δ x ) ∙ v (x )+u ( x+Δ x ) ∙ v (x)−u ( x ) ∙ v (x )Δ x
f ' ( x )= limΔ x →0
{v ( x ) u ( x+Δ x )−u ( x )Δ x
+u (x+Δ x ) v ( x+ Δ x )−v (x)Δ x }
f ' ( x )= limΔ x →0
v ( x )lim
Δ x→ 0u ( x+ Δ x )−u ( x )
Δ x
+ limΔ x →0
u ( x+Δ x )lim
Δ x → 0v ( x+ Δ x )−v (x)
Δ x
f ' ( x )=u' ( x ) ∙ v (x )+u(x) ∙ v ' (x)
Atau biasa dituliskan (uv )'=u' v+uv ' . (3.7)
C. Turunan Pembagian Fungsi
Turunan suatu pembagian fungsi dapat kita cari dari hasil yang telah
kita dapatkan dalam turunan perkalian fungsi, mangingat pembagian
adalah invers dari perkalian. Misalkan suatu fungsi f ( x )=u ( x )v ( x )
maka
u ( x )=f ( x ) ∙ v (x), sehingga diperoleh:
u' (x )=f ' ( x )× v (x )+ f (x )× v ' (x)
f ' ( x )× v ( x )=u' (x )−f ( x)× v ' (x )
Dengan mensubstitusi nilai f(x) pada ruas kanan
f ' ( x )× v ( x )=u' (x )−u (x)v (x)
× v ' (x )
f ' ( x )× v ( x )=u' ( x ) ∙ v ( x )−u (x) ∙ v ' (x)v (x )
f ' ( x )=u' ( x ) ∙ v ( x )−u (x) ∙ v ' (x)
{v (x )}2
Atau biasa dituliskan ( uv )
'
=(u ’v – uv ’)
v2 . (3.8)
62
Berikut diberikan rangkuman rumus-rumus sederhana untuk menghitung
turunan fungsi yang mudah dihafal dan digunakan sebagaimana yang telah
didapatkan sebelumnya.
1. Turunan fungsi konstan.
Jika f ( x )=c , c suatu konstanta, maka f ' ( x )=0 ; ∀ x∈ℜ
2. Turunan fungsi identitas.
Jika f ( x )=x , maka f ' ( x )=1 ; ∀ x∈ℜ
3. Turunan fungsi pangkat.
Jika f ( x )=xn, maka f ' ( x )=n . xn−1 ; n∈Z+ ; x≠0
4. Aturan jumlah.
Jika f dan g adalah fungsi-fungsi terdiferensialkan, maka
( f +g ) '( x )= f '( x )+g ' (x )
5. Aturan selisih.
Jika f dan g adalah fungsi-fungsi terdiferensialkan, maka
( f −g )' (x )= f ' ( x )−g '( x )
6. Aturan hasil kali
Jika f dan g adalah fungsi-fungsi terdiferensialkan, maka
( f⋅g) '( x )=f ' (x ) g (x )+ f ( x ) g '( x )
Atau biasa dinyatakan u⋅v
dydx
=u ' v+uv '
7. Aturan hasil bagi.
Jika f dan g adalah fungsi-fungsi terdiferensialkan dengan g( x )≠0 , maka
( fg )
'
( x )=f ' ( x ) g( x )−f ( x ) g '( x )
( g( x ))2
Atau biasa dinyatakan
uv
dydx
=u ' v−uv '
v2
8. Rumus turunan untuk fungsi trigonometri
Jika f ( x )=sin x , maka f ' ( x )=cos x
63
Jika f ( x )=cos x , maka f ' ( x )=−sin x
Jika f ( x )=tan x , maka f ' ( x )=sec2 x
3. TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI
3.1. Turunan Fungsi Sinus
Misalkan diketahui fungsi f ( x )=sin x , turunan fungsi f (x) terhadap x
ialah:
f ' ( x )= limΔ x →0
f ( x+Δ x )−f ( x)Δ x
f ' ( x )= limΔ x →0
sin ( x+Δ x )−sin xΔ x
Dengan mengingat kembali perubahan bentuk trigonometri,
sin(a+b)=sin acosb+cosa sin b, dapat kita lakukan substitusi:
f ' ( x )= limΔ x →0
sin x cos Δ x+cos x sin Δ x−sin xΔ x
f ' ( x )= limΔ x →0 {sin x (cos Δ x−1 )
Δ x+cos x
sin Δ xΔ x }
f ' ( x )=sin x ∙ limΔ x →0
(cos Δ x−1 )Δ x
+cos x ∙ limΔ x→ 0
sin Δ xΔ x
Dari teori limit yang telah diberikan pada bab 2, khususnya pada
bagian limit fungsi trigonometri telah dibuktikan
limΔ x →0
(cos Δ x−1 )Δ x
=0 dan limΔ x →0
sin Δ xΔ x
=1
Dengan mensubstitusikan nilai di atas, terakhir diperoleh
f ' ( x )=sin x ∙0+cos x ∙1
Jadi, dapat disimpulkan:
ddx
sin x=cos x (3.9)
3.2. Turunan Fungsi Cosinus
64
Misalkan diketahui fungsi f ( x )=cos x, turunan fungsi f (x) terhadap x
ialah:
f ' ( x )= limΔ x →0
f ( x+Δ x )−f ( x)Δ x
f ' ( x )= limΔ x →0
cos (x+Δ x )−cos xΔ x
Dengan mengingat kembali perubahan bentuk trigonometri,
cos (a+b)=cos acosb−sin a sin b, dapat kita lakukan substitusi:
f ' ( x )= limΔ x →0
cos x cos Δ x−sin x sin Δ x−cos xΔ x
f ' ( x )= limΔ x →0 {cos x (cos Δ x−1 )
Δ x−sin x
sin Δ xΔ x }
f ' ( x )=cos x ∙ limΔ x → 0
(cos Δ x−1 )Δ x
+sin x ∙ limΔ x→ 0
sin Δ xΔ x
f ' ( x )=cos x ∙ 0−sin x ∙1
Jadi, dapat disimpulkan:
ddx
cos x=−sin x (3.10)
3.3. Turunan Fungsi Tangen
Misalkan diketahui fungsi f ( x )=tan x, turunan fungsi f (x) terhadap x
ialah dengan mudah dicari berdasarkan aturan turunan fungsi pembagi,
mengingat tan x= sin xcos x
.
f ' ( x )=u' ( x ) v (x )−u ( x ) v '( x)v ( x)2
f ' ( x )= (cos x ) (cos x )−(sin x ) (−sin x )cos2 x
f ' ( x )= cos2 x+sin2 xcos2 x
f ' ( x )= 1
cos2 x=sec2 x
Jadi, dapat disimpulkan:
65
ddx
tan x=sec2 x (3.11)
4. TURUNAN FUNGSI KOMPOSIT DAN ATURAN RANTAI
Misalkan fungsi f terturunkan di x dan fungsi g terturunkan di f ( x )
maka fungsi komposisi ( g∘ f ) dapat diturunkan di x, sehingga
Jika y ( x )=( g∘ f )(x ), maka
y '( x )=( g∘ f )' ( x )=( g( f ( x ))) '=g '( f ( x ))( f '( x ))
Rumus di atas disebut aturan rantai yang dapat dituliskan dengan singkat
sebagai:
dydx
=dydu
dudx
(3.12.a)
Pembuktian sederhana untuk teorema ini ialah misalkan fungsi y
merupakan fungsi dari u, y=f (u), sedangkan u sendiri merupakan fungsi dari x,
u=g (x) yang keduanya terdefinisi dalam interval I demikian sehingga
∆ u=g ( x+∆ x )−g(x )
∆ y=f (u+∆ u )−f (u )=f ( g ( x+∆ x ) )−f (g ( x ))
Jadi dalam bentuk diferensial
dydx
= lim∆ x→ 0
∆ y∆ x
= lim∆ x→ 0
∆ y∆ u
∙∆ u∆ x
Mengingat u=g (x), maka dengan ∆ x →0 otomatis ∆ u→ 0 sehingga
dydx
= lim∆u → 0
∆ y∆ u
∙ lim∆x → 0
∆ u∆ x
=dydu
dudx
Atau untuk fungsi komposit yang terdiri dari beberapa sub fungsi, aturan
rantai dapat diperpanjang lagi.
dydx
=dydu
×dudv
×…×dzdx
(3.12.b)
66
Contoh:
1. Tentukan turunan fungsi y=(8 x3−4 x)8
Jawab:
Misalkan 8 x3−4 x=u, sehingga y=u8 dan dudx
=2 x−4
ddx
(8 x3−4 x )8=(2 x−4 ) ddu
u8=8 (2 x−4 ) u7=8(2 x−4)(8 x3−4 x )7
dydx
=dydu
dudx
ddx
(8 x3−4 x )8=8(8 x3−4 x )7 (2 x−4)
2. Tentukan turunan fungsi berikut ini!
a. y=6 x2+9 x−3
b.y=2 x+1
3 x+2
c. y=2 cos x−x3
d. y=6 cos (5−2 x )
Jawab:
a. y=6 x2+9 x−3 , maka y '=12 x+9
67
Tips:
Untuk fungsi berbentuk f ( x )= {u(x) }n maka turunan fungsi f ( x ) terhadap x ialah
f ' ( x )=n {u (x ) }n−1u' (x).
b. Misalkan u=2 x+1 dan v=3 x+2
y '=u ' v−uv '
v2
y '=2(3 x+2)−(2 x+1 )3
(3 x+2)2
y '= 1
(3 x+2 )2
c. y=2cos x−x3
sehingga y '=2(−sin x )−(3 )x2
=−2sin x−3 x2
d. y=6 cos(5−2 x)
Anggap w=5−2x , sehingga dwdx
=−2
y '=dydx
= dydw
dwdx
=(−6 sin w ) (−2 )=12sin w
y '=12 sin(5−2 x )
3. Tentukanlah turunan dari fungsi lingkaran, y=√a2−x2 terhadap x!
Jawab:
ddx
(a2−x2 )12= d
dxu
12=2 x
ddu
u12
ddx
(a2−x2 )12=2 x (−1
2u
−12 )= −x
√a2−x2
Dengan kata lain dydx
=−xy
Jika diambil bagian positifnya saja dan a = 5, grafiknya menggunakan Matlab
ialah sebagai berikut:
68
5. TURUNAN TINGKAT TINGGI (ORDE TINGGI)
Turunan suatu fungsi, yang juga merupakan suatu fungsi masih dapat
diturunkan lagi asalkan memenuhi syarat-syarat turunan, yaitu masih memiliki
faktor yang akan diturunkan. Turunan kedua fungsi f didefinisikan sebagai
turunan dari fungsi turunan pertama, dan seterusnya.
Turunan kedua fungsi f dinotasikan dengan y '' ;
d2 ydx2
; f ''( x ) atau D
2x y .
Atau turunan ke-n fungsi f dinotasikan dengan y(n ) ;
dn ydxn
; f (n)( x ) atau D
nx y ..
Secara umum turunan ke-n didefinisikan sebagai:
f (n)( x )=limh→0
f (n−1 )( x+h)−f (n−1)( x )h
Misalkan untuk fungsi f ( x )=2 x4, maka
f ' ( x )=8 x3
f ''( x )=24 x2
f '''( x )=48 x
f iv( x )=48
69
Pada bagian terdahulu telah dibahas mengenai turunan fungsi komposisi,
antara lain yang berbentuk perkalian fungsi f ( x )=u ( x ) ∙ v (x). Bila fungsi seperti
ini diturunkan sekali, menghasilkan bentuk
f ' ( x )=(uv) '=u' v+uv '
Jika f '( x) diturunkan sekali lagi terhadap x, menghasilkan turunan ke-dua
yang berbentuk
f ' ' (x )=(u' v+u v ' )'=u' ' v+u' v '+u ' v '+u v' '
f ' ' (x )=u' ' v+2u' v '+uv ' ' (3.13)
Jika diteruskan ke turunan ke-tiga, pola yang sama memberikan
f ' ' ' (x)= (u' ' v+2 u' v '+uv ' ' ) ' dan diperoleh
f ' ' ' ( x )=u ' ' ' v+3u ' ' v+3 u' v ' '+uv ' ' ' (3.14)
Apakah pola ini mengingatkan Anda pada sesuatu?
....
Bukan, Anda tidak melupakan cucian Anda, yang saya maksud adalah, ya!
Deret binomial Newton! Jika telah lupa, di sini diingatkan sekali lagi deret
binomial Newton adalah deret ekspansi dari bentuk (a+b)n.
(a+b)n=an+nan−1 b+n (n−1 )
2 !an−2 b2+
n (n−1 )(n−2)3 !
an−3 b3+… (3.15)
Jika n bilangan bulat positif, kita dapat mengingat koefisien tiap suku
menggunakan segitiga Pascal yang telah diajarkan saat SMP.
11 1
1 2 11 3 3 1
1 4 6 4 1
... dan seterusnya.
Tentu saja karena orde dari turunan selalu bilangan bulat, maka dengan
mudah kita dapat mengingat koefisien-koefisiennya dari segitiga Pascal. Metode
turunan tingkat tinggi ini disebut aturan Leibniz.
dn
dxn {u ( x ) ∙ v ( x ) }=dn udxn v+n
dn−1 udxn−1
dvdx
+n (n−1)
2 !dn−2udxn−2
d2vdx2 +… (3.16)
70
Misalkan kita disuruh pak guru mencari turunan ke-lima dari fungsi
f ( x )=x2 sin x. Jika kita terapkan aturan Leibniz dengan menamakan u=sin x dan,
v=x2 diperoleh
d9
dx9 f ( x )=uv ∙ v+5 uiv ∙ v'+10 u' ' ' ∙ v ' '+10 u' ' ∙ v ' ' '+5 u' ∙ v iv +u ∙ vv
Ingatlah turunan ke-tiga, ke-empat, dan seterusnya dari u=x2 adalah nol,
dan turunan fungsi sinus dan cosinus akan berulang setiap empat orde (dengan
kata lain turunan ke-empat, ke-delapan, dst dari sin x ialah sin x), maka
didapatkan
d5
dx5 f (x)=(cos x )( x2 )+5(sin x ) (2 x )+10 (−cos x )(2)+0+0+0
d5
dx5 (x2 sin x)=x2 cos x+10 x sin x−20 cos x
71
Catatan:
f ( x ) → f ' ( x ) → f ' ' ( x )→ f ' ' ' (x)→ f iv (x)
sin x→ cos x →−sin x→−cos x→ sin x
Contoh:
1. Gerak rotasi suatu roda memenuhi persamaan θ=5 t2+4 t +3 , dengan θ dan
t masing-masing dinyatakan dalam radian dan detik. Tentukanlah persamaan
kecepatan sudut roda dan percepatan sudutnya!
Jawab:
Persamaan kecepatan benda adalah
ω ( t )=s '( t )= limΔt →0
ΔθΔt
= limΔx→0
θ( t +Δt )−θ( t )Δt
= limΔx→ 0
(5( t+ Δt )2+4 ( t+Δt )+3)−(5( t )2+4 t +3 )Δt
=5 t +4 rad s-1
Percepatan sudut roda adalah:
α ( t )=ω' ( t )= limΔx→ 0
ω ( t+ Δt )−ω( t )Δt
= limΔx→ 0
(5( t+ Δt )+4 )−(5( t )+4 )Δt
=5 rad s-2
2. Tentukan turunan pertama, kedua dan ketiga dari fungsi
f ( x )=6 x4+3 x3+x+8 !
Jawab:
f ( x )=6 x4+3 x3+x+8
f ' ( x )=24 x3+9 x2+1
f ''( x )=72 x2+18 x
f '''( x )=144 x+18
3. Tentukan turunan ke-dua, ke-tiga dan ke-empat dari f ( x )=sin xdan
f ( x )=cos x!
Jawab:
72
a) f(x) = sin x b) f(x) = cos x
f’(x) = cos x f’(x) = -sin x
f’’(x) = -sin x f’’(x) = -cos x
f’’’(x) = -cos x f’’’(x) = sin x
fiv(x) = sin x fiv(x) = cos x
Dibuktikan bahwa tiap empat orde turunan, fungsi sin x dan cos x akan
kembali ke bentuk awalnya.
4. Carilah turunan ke-sembilan dari f ( x )=3 x cos x!
Jawab:
Namakan u=cos x dan, v=3 x. Turunan orde yang lebih tinggi dari satu dari v
pastilah nol, sehingga menyisakan:
d9
dx9(3 xcos x )=(sin x ) (3 x )+9 (cos x )(3)
d9
dx9(3 xcos x )=3x sin x+27 cos x
73
Tips:
Agar tidak bingung, pilih v(x) yang habis jika terus diturunkan, misal 3x sudah
menjadi nol pada turunan ke-dua. Berbeda dengan cos x yang tak bisa habis
berapa kali pun diturunkan.
6. TURUNAN FUNGSI IMPLISIT
Suatu fungsi yang dinyatakan dalam bentuk y=f ( x ) , maka fungsi ini
selalu dapat dinyatakan dalam bentuk F ( x , y ) yakni f ( x )− y=0 . Sebaliknya
tidak semua fungsi yang dinyatakan dalam bentuk F ( x , y ) dapat diubah ke
dalam bentuk y=f ( x ) , misal √4 x2−x− y=0 .
Fungsi yang dinyatakan dalam bentuk y=f ( x ) disebut fungsi eksplisit,
sedangkan fungsi yang dinyatakan dalam bentuk F ( x , y ) disebut fungsi implisit.
Fungsi eksplisit merupakan bagian dari grafik fungsi implisitnya.
Dalam mendiferensialkan fungsi implisit, setiap suku diturunkan
terhadap x. Contoh pada persamaan x2+ y2=9 , turunan pertamanya adalah:
ddx
( x2 )+ ddx
( y2 )= ddx
(9)
2 x+2 ydydx
=0
dydx
=− xy
; y≠0
7. TURUNAN FUNGSI PANGKAT RASIONAL
Sudah dibuktikan sebelumnya pada uraian yang lalu bahwa untuk n
bilangan bulat sembarang berlaku:
Jika y=xn, maka y '=n. xn−1
, dengan n bilangan bulat.
Sekarang akan diperluas untuk n berupa bilangan rasional sembarang.
Karena n rasional, maka n dapat dituliskan sebagai p
q , dengan p dan q
bilangan bulat dan q>0. Jika y=xn=xp
q, maka y
q=x p , dan dengan turunan
implisit diperoleh:
74
qyq−1 dydx
=px p−1
dydx
= pq
x p−1
yq−1= p
qx p−1
( x p/q )q−1= p
qx p−1
x p−p/q
dydx
= pq
x p−1−p+ p/q= pq
x p/q−1=n. xn−1
Dari penurunan rumus diatas didapatkan bahwa
Jika y=xn , maka y '=n. xn−1
, dengan n bilangan real.
Contoh:
1. Suatu fungsi dirumuskan f ( x )=6 x3 /2+x1 /2−3, tentukanlah turunan pertama
fungsi f !
Jawab:
Berdasarkan teorema tadi maka dapat digunakan rumus ddx
( xn )=n . xn−1 .
f ' ( x )=( 23 )6x
32−1
+( 12 ) x
12−1
−(0)3
f ' ( x )=4 x12+ 1
2x
−12 =4√ x+ 1
2√x
8. Analisis Gradien dan Nilai Ekstrim
Telah dibahas pada subbab 1 bahwa turunan pertama suatu fungsi adalah
interpretasi langsung dari gradien fungsi itu. Jika Anda sudah lupa dengan
definisi gradien, di sini diingatkan kembali bahwa gradien adalah kemiringan
garis dalam suatu selang atau titik tertentu. Pada fungsi konstan dan fungsi linier
gradien garisnya konstan di sepanjang garis, sedangkan pada kurva dengan
persamaan orde dua atau lebih memiliki gradien yang berubah-ubah pada setiap
titik. Jadi jika perubahan gradien terjadi di setiap titik, maka gradien suatu titik
sama saja dengan gradien garis singgung garis pada titik tadi. Pada subbab ini
75
akan dijelaskan bagaimana mengetahui sifat-sifat (properties) dari grafik
menggunakan turunan.
8.1. Nilai Ekstrim dan Titik Belok
Analisis langsung dari gradien adalah mengetahui kecenderungan
kurva naik atau turun. Jika kurva (atau suatu selang pada kurva) naik, maka
jelaslah gradien pada daerah itu positif, sedangkan jika kurva turun maka
gradiennya pastilah negatif.
Gambar 3.1.
Perhatikan gambar di atas (jika tidak keberatan). Mengingat m=∆ y∆ x
,
maka bila ∆ y>0 (naik) maka m>0. Sebaliknya bila ∆ y<0 (turun) maka m<0
. Pada selang ab diperoleh ∆ y yang menurun (m < 0), pada titik 0 ∆ y=0 (m
= 0), dan pada selang cd diperoleh ∆ y yang menanjak (m > 0). Jadi dengan
mengetahui turunan pertama suatu fungsi (yang tidak lain gradien garis)
dapat diketahui kemonotonan selang kurva itu naik, turun, atau tidak naik
maupun turun (datar).
a. Jika f ' ( x )>0 maka m>0 (monoton naik)
b. Jika f ' ( x )=0 maka m=0 (tetap/stasioner)
c. Jika f ' ( x )<0 maka m<0 (monoton turun)
76
Titik di mana gradien garis singgungnya sama dengan nol disebut titik
titik stasioner. Jika titik stasioner ini mempunyai nilai maksimal (dalam
daerah lokal), maka titik itu disebut juga titik maksimum. Sebaliknya jika
titik stasionernya mempunyai nilai minimal (dalam daerah lokal), maka
titik itu disebut juga titik minimum. Jika titik stasioner itu bukan nilai
maksimal atau minimal pada daerah lokal, maka titik stasioner itu disebut
titik belok. Bagaimana cara membedakan titik maksimum, titik minimum
dan titik belok? Caranya adalah dengan mengamati gradien lokal di sebelah
kiri dan kanan titik stasioner. Mudahnya adalah dengan memperhatikan
gambar berikut:
Gambar 3.2. Titik minimum, titik masimum, dan titik belok.
Jelas bukan? Pada gambar titik stasionernya berada pada x = 0, tapi
definisi ini berlaku di mana pun letak titik stasioner. Jika dikalimatkan
definisinya kira-kira seperti ini:
a. Jika daerah lokal di sebelah kiri titik stasioner monoton turun dan di
sebelah kanannya monoton naik, maka titik stasioner itu adalah titik
minimum.
b. Jika daerah lokal di sebelah kiri titik stasioner monoton naik dan di
sebelah kanannya monoton turun, maka titik stasioner itu adalah titik
maksimum.
c. Jika daerah lokal di sebelah kiri titik stasioner monoton naik dan di
sebelah kanannya monoton naik, atau daerah lokal di sebelah kiri titik
77
monoton naik
Kiri naik kanan turuntitik maksimum
Turunan pertama di suatu titik. monoton turun
stasioner Kiri turun kanan naik
titik minimum
Kiri turun kanan turun atau kiri naik kanan naiktitik belok
ekstremum
stasioner monoton turun dan di sebelah kanannya monoton turun maka
titik stasioner itu adalah titik belok.
Titik maksimum dan titik minimum disebut juga ekstremum atau
titik balik karena merupakan titik dengan nilai tertinggi atau terendah pada
daerah/selang lokal. Mungkin cukup pusing untuk mengingat istilah istilah
di atas, oleh karena itu sebaiknya mengamati definisi-definisi di atas dalam
bentuk bagan (chart).
8.2. Interval Naik, Interval Turun, dan Kecekungan
Pada bagian 8.1. selalu disebutkan “selang lokal” atau “daerah lokal”,
apa sih maksudnya? Mengapa harus secara lokal, tidak secara keseluruhan?
Pertanyaan di atas akan dijawab pada bagian ini. Pada dasarnya tidak ada
kewajiban bagi semua kurva untuk hanya memiliki satu titik stasioner.
Lebih detail, fungsi orde dua (pangkat tertinggi dari variabelnya adalah
dua) memiliki satu titik stasioner, fungsi orde tiga memiliki dua titik
stasioner, fungsi orde empat memiliki tiga titik stasioner, dan seterusnya.
Ya, tentu saja fungsi linear (orde nol dan satu) tidak memiliki titik stasioner.
78
Nah, oleh karena suatu kurva bisa saja memiliki lebih dari satu titik
stasioner, makanya dalam penjelasan sebelumnya diberikan embel-embel
selang lokal atau daerah lokal.
Gambar 3.3. Grafik fungsi f ( x )=x3−4 x.
Misalkan fungsi f ( x )=x3−4 x memiliki persamaan gradien
m=f ' ( x )=3 x2−4. Ingat pada titik stasioner gradiennya adalah nol, dengan
demikian dengan mudah kita peroleh absis dari titik stasionernya ialah:
3 x2−4=0
x2=43
→ x=±√ 43
Jadi titik stasionernya ada dua (karena fungsinya orde tiga), yakni
pada x1=−√ 43
dan x2=√ 43
. Untuk mencari koordinat lengkapnya, masukkan
saja nilai-nilai x itu ke dalam f ( x ), diperoleh:
y1=(−√ 43 )
3
−4 (−√ 43 )=−√ 64
27+√ 64
3=√64 √9−√64
√27=√576−√64
√27= 16
√27
79
Dengan cara yang serupa diperoleh y2=−16
√27 . Dengan demikian
koordinat titik stasioner dari fungsi f ( x )=x3−4 x adalah (−√ 43
,16√27 ) dan
(√ 43
,− 16√27 ). Jadi terdapat tiga interval pada kurva fungsi f ( x ) yakni:
a. Selang x←√ 43
atau (∞ ,−√4/3) , f ( x ) monoton naik.
b. Selang −√ 43<x<√ 4
3 atau (−√4 /3 ,√4 /3), f ( x ) monoton turun.
c. Selang x>√ 43
atau (√4 /3 , ∞), f ( x ) monoton naik.
Dengan demikian, jika kita mempertanyakan status titik stasioner di
(−√ 43
,16√27 ), maka titik stasioner itu adalah titik balik maksimum,
meskipun di sebelah kanan titik x=−√ 43
tidak monoton turun, melainkan
naik lagi di titik x=√ 43
, tetapi turunnya gradien pada daerah lokal
(−√4 /3 ,√4 /3) sudah cukup untuk menjadikan titik (−√ 43
,16√27 ) sebagai
titik balik maksimum dalam selang (−∞,√4 /3). Hal yang serupa berlaku
pada titik (√ 43
,− 16√27 ) yang merupakan titik balik minimum dalam selang
(−√4 /3 , ∞).
Nah, sekarang kita akan membahas kecekungan kurva. Kurva yang
berbentuk parabola dan sejenisnya tentunya memiliki bentuk cekung.
Berikut definisi kecekungan kurva secara formal.
a. Jika m=f ' (x) naik dalam selang I, maka grafik fungsi f (x) dikatakan
cekung ke atas dalam selang I.
b. Jika m=f ' (x) turun dalam selang I, maka grafik fungsi f (x) dikatakan
cekung ke bawah dalam selang I.
80
Oke, sebenarnya pemahamannya cukup sederhana, jika grafik f (x)
melengkung ke atas pada selang tertentu, maka ia cekung ke atas.
Sebaliknya jika f (x) melengkung ke bawah, maka ia cekung ke bawah.
Perhatikan lagi gambar 3.2, pada gambar (a) kurva monoton (dari selang
x=(−∞ , ∞)) cekung ke atas, sedangkan pada gambar (b) cekung ke bawah.
Terlihat jelas untuk kurva yang monoton cekung ke atas parabolanya
menghadap ke atas, sedangkan kurva yang monoton cekung ke bawah
parabolanya menghadap ke bawah. Untuk kurva yang memiliki lebih dari
satu titik stasioner tentu saja memungkinkan memiliki kecekungan yang
berubah-ubah pada selang tertentu. Misalkan untuk fungsi f ( x )=x3−4 x
(lihat gambar 3.3), kurvanya cekung ke bawah dalam selang (−∞,0) dan
cekung ke atas dalam selang (0 , ∞).
Nah, jika dikaitkan dengan diferensial mengingat kecekungan adalah
perubahan kemiringan, maka kecekungan dapat dinyatakan dalam
kecekungan=∆ m∆ x
=dmdx
(3.17.a)
Padahal kemiringan/gradien, m, adalah perubahan ketinggian
m=dydx
Berarti kecekungan adalah turunan ke-dua dari fungsi y=f (x ).
kecekungan=d2 ydx2 =f ' ' (x) (3.17.b)
Jadi jika f ' ' (x ) bernilai positif, maka f (x) cekung ke atas, jika f ' ' (x ) bernilai
negatif, maka f (x) cekung ke bawah, sedangkan jika f ' ' ( x )=0, maka f (x)
linear.
Satu hal lagi yang melibatkan kecekungan suatu grafik fungsi, yaitu
untuk menganalisis titik stasioner yang merupakan titik balik (ekstremum)
dan yang merupakan titik belok. Misalkan titik stasioner suatu fungsi f (x)
berada pada x=a. Ternyata diperoleh hubungan sebagai berikut.
81
a. Jika kecekungan fungsi f (x) di x<a tidak berubah di x>a (tetap cekung
ke atas, [+]), maka titik stasioner a adalah titik balik minimum.
b. Jika kecekungan fungsi f (x) di x<a tidak berubah di x>a (tetap cekung
ke bawah, [-]), maka titik stasioner a adalah titik balik maksimum.
c. Jika kecekungan fungsi f (x) di x<a mengalami perubahan (dari cekung
ke atas menjadi cekung ke bawah atau sebaliknya) di x>a, maka titik
stasioner a adalah titik belok.
Cobalah Anda selidiki bahwa bila f (x) memiliki titik stasioner di x=a,
maka f ' ' (a )=0.
82
83
Analisis
Analisis Grafik Fungsi f dan Grafik Fungsi Turunannya
Berikut ini adalah contoh grafik intensitas spesifik dari radiasi benda hitam pada suhu tertentu berdasarkan model Planck yakni
f ( x )=I (λ)=2 πh c2
λ5
1exp (hc / λkT )−1
Sumbu X merupakan panjang gelombang dan sumbu Y menyatakan intensitas spesifik tiap-tiap panjang gelombang.
Sedangkan di bawah ini merupakan grafik dari fungsi f ' (x).
Analisislah hubungan antara grafik suatu fungsi dan grafik turunannya serta turunkanlah persamaan gradiennya.
Bab 4 Integral
1. INTEGRAL SEBAGAI ANTI-TURUNAN
Jika f ' (x) merupakan turunan dari dari f (x), maka f (x) merupakan
integral dari f ' (x). Misalkan fungsi f ( x )=4 x3+3 x2−8 x−10, turunan dari f (x)
ialah
f ' ( x )=12 x2+6 x−8
Jika kita gunakan algoritma untuk mencari turunan dari suatu fungsi
polinom (xn):
a. Untuk setiap suku, pangkat dari variabel yang diturunkan dikalikan dengan
konstantanya.
b. Untuk setiap suku, pangkat dari variabel dikurangi satu.
Jadi, untuk mengintegralkan suatu fungsi polinom, kita harus membalik
algoritmanya menjadi:
a. Untuk setiap suku, pangkat dari variabel yang diintegralkan ditambah satu.
b. Untuk setiap suku, pangkat dari variabel (yang telah ditambah satu) menjadi
pembagi dari konstantanya.
Ingatlah untuk suatu proses balik (invers), urutan algoritma juga dibalik.
Dengan menerapkan algoritma ke-2 pada f '( x) semestinya diperoleh f (x). Kita
coba:
Integral f’(x) terhadap x = 12
2+1x2+1+ 6
1+1x1+1− 8
0+1x0+1=4 x3+3 x2−8 x.
Ternyata diperoleh hasil yang sedikit berbeda, suku terakhir f (x), yakni -
10, tidak muncul pada integral dari f '( x). Mengapa? Perhatikan lagi saat f (x)
diturunkan terhadap x, suku ke-empat yang merupakan konstanta (tidak
memiliki variabel x) terturunkan menjadi nol, dengan demikian, saat f '( x)
84
diintegralkan suku ke-empat tidak muncul kembali. Coba perhatikan beberapa
fungsi polinom di bawah ini!
g ( x )=4 x3+3 x2−8 x
h ( x )=4 x3+3x2−8 x−14
u ( x )=4 x3+3 x2−8 x+53
Jika ketiga fungsi di atas diturunkan, hasilnya akan sama dengan turunan
dari fungsi f ( x )=4 x3+3 x2−8 x−10, yakni f ' ( x )=4 x3+3x2−8 x . Untuk mengetahui
fungsi mana yang dimaksud sebagai fungsi yang terturun sebagai f ' (x) perlu
diketahui suatu nilai dan hasil pemetaan nilai itu dari fungsi f (x). Jika tidak, maka
kita tak dapat mengetahui fungsi yang menurunkan f ' (x) karena kita tak dapat
mengetahui konstanta apa yang terturunkan menjadi nol. Jadi kita tulis saja
integral dari 4 x3+3 x2−8 x−10 terhadap x ialah 4 x3+3 x2−8 x+C , di mana C
merupakan suatu konstanta riil. Integral seperti ini disebut integral tak tentu.
Jadi, bentuk seperti ∫1du=∫ du sekalipun hasilnya belum tentu sama
dengan u, jadi kita tuliskan ∫ du=u+C .
2. NOTASI INTEGRAL
Integral merupakan lawan (invers) dari turunan, sehingga notasinya pun
dibuat sedemikian sehingga menjadi lawan dari notasi integral. Jika pada turunan
diberikan notasi berbentuk pembagi, semisal d/dx, maka notasi integral
berbentuk pengali, semisal dx.
Notasi turunan fungsi x:ddx
f (x) atau dydx
Notasi integral fungsi x: ∫ f (x )dx atau ∫ y dx
Ya, Anda akan melihat notasi khusus pada operasi integral berupa simbol
S (dari kata sum, penjumlahan) yang digayakan seperti halnya penambahan
simbol “d” pada operasi turunan. Itu adalah notasi baku dari integral, meskipun
85
hanya dengan menuliskan f ( x ) dx sudah cukup bagi kita untuk mengetahui bahwa
yang dimaksud ialah integral dari f ( x ) terhadap x.
Keuntungan matematis dari penulisan notasi turunan dan integral
seperti itu dapat Anda saksikan pada contoh dibawah ini:
“Integral terhadap x dari turunan terhadap x dari fungsi f ( x ) ialah fungsi
f ( x )itu sendiri”.
∫( ddx
f ( x ))dx=∫ d ( f (x))=f ( x )
Lihat? Anda cukup mengalikan notasi dx dengan notasi 1/dx sehingga
menjadi 1. Perhatikan lagi contoh yang kedua.
u=32
x2 ;dudx
=3 x
du=3 xdx
∫ du=∫3 x dx ;u=32
x2+C
Jadi notasi turunan dan integral seperti itu memudahkan pemahaman
dan penulisan persamaan. Untuk keperluan praktis, integral dari fungsi f ( x ) juga
lazim dituliskan F ( x ), namun penulisan ini sebaiknya dihindari kecuali memang
diberikan keterangan untuk itu.
Tidak hanya untuk fungsi polinom, untuk semua fungsi matematis juga
berlaku hal yang sama, sesuai dengan teorema fundamental kalkulus.
Jika suatu fungsi f ( x ) terintegralkan di suatu titik menjadi F ( x ), maka
turunan dari F ( x )ialah f ( x ).
Misalkan turunan dari fungsi sin x ialah cos x , dengan demikian
∫cos xdx=sin x+C
Turunan dari fungsi cos x ialah – sin(x), dengan demikian
∫sin x dx=−cos x+C
Contoh:
86
1. Carilah ∫ 4 x2+12 x+9 dx!
Jawab:
Dengan menggunakan algoritma pada bab 4 bagian 1, diperoleh:
∫ 4 x2+12 x+9 dx=4( 13
x3)+12( 12
x2)+9 x+C
∫ 4 x2+12 x+9 dx=43
x3+6 x2+9 x+C
2. Carilah ∫ 4 x2+12 x+9 d (2 x+3)!
Jawab:
Perhatikan bahwa nilai pengintegrasi(integran)-nya ialah 2 x+3, jadi kita harus
mengintegralkan fungsi f ( x )=4 x2+12 x+9 terhadap 2 x+3, bukan terhadap x
atau yang lain.
∫ 4 x2+12 x+9 d (2 x+3 )=∫ (2 x+3 )2 d (2 x+3 )=13
(2 x+3 )3+C
3. Carilah ∫ x2+ax+a2da!
Jawab:
Perhatikan integrannya ialah a, karena x saling bebas dengan a (x bukan fungsi
dari a dan sebaliknya a bukan fungsi dari x) maka x dapat dianggap sebagai
konstanta.
∫ x2+ax+a2da=a x2+12
a2 x+ 13
a3+C
3. INTEGRAL SEBAGAI LUAS DAERAH DI BAWAH KURVA
Masih ingat tentang operator sumasi sigma ( )? Ya, sumasi sigmaΣ
dipergunakan untuk menghitung jumlah diskret dari hasil suatu fungsi. Misalkan
∑n=1
5
2 x, merupakan jumlah dari hasil pemetaan fungsi f ( x )=2 x untuk daerah asal
87
dari n = 0 hingga n = 5. Penting untuk diingat daerah asal dari sumasi sigma
hanyalah bilangan bulat.
∑n=0
5
2 x=2 (1 )+2 (2 )++2 (3 )++2 ( 4 )++2 (5 )=30
Perhatikan lagi bahwa sumasi sigma dari fungsi f ( x ) merupakan jumlah
dari segmen-segmen segi empat dengan lebar satu satuan dan panjang sama
dengan hasil fungsi dari nilai tengah segmen segi empat itu. Perhatikan gambar di
bawah ini untuk lebih jelasnya.
Gambar 4.1. Grafik f ( x )=2 x
Jadi operator sumasi sigma dapat digunakan untuk menghitung luas di
bawah kurva f ( x )dengan batas-batas yang ditentukan. Tentu saja untuk fungsi
non-linear, hasil luasan yang diperoleh hanyalah pendekatan. Bagaimana agar
luasan yang diperoleh bisa sedekat mungkin dengan aslinya? Jawabannya ialah
dengan memperkecil lebar segmen-segmen yang dibuat (kita sebut Δ x). Misalkan
luas daerah di bawah kurva f ( x )=x2+1 dari x = 1 hingga x = 3. Kita akan ambil
Δ x=0,5, sehingga diperoleh empat segmen-segmen segi empat sebagai berikut:
88
Derah x Nilai tengah x (xi)Hasil fungsi nilai
tengah x (yi)
Luas segmen ke-I
(Δ x × y i)
0,75 – 1,25 1,00 2,00 1,00
1,25 – 1,75 1,50 3,25 1,625
1,75 – 2,25 2,00 5,00 2,50
2,25 – 2,75 2,50 7,25 3,625
2,75 – 3,25 3,00 10,0 5,00
Jumlah 13,75
Jadi diperoleh luas daerah di bawah kurva f ( x )=x2+1 dengan Δ x=0,5
ialah 13,75 satuan luas. Metode penghitungan luas dengan segmen-segmen segi
empat seperti ini disebut penjumlahan Riemann. Bandingkan jika diambil
Δ x=1, diperoleh
∑n=1
3
x2+1=( 12+1 )+ (22+1 )+(32+1)=17
Ternyata hasilnya berbeda cukup jauh, tentulah hasil yang diperoleh
dengan Δ x=0,5 lebih akurat, tapi itupun masih berupa pendekatan. Bagaimana
cara untuk memperoleh hasil yang eksak? Untuk memperoleh hasil yang eksak
Δ x sekecil mungkin hingga mendekati nol. Ternyata hal ini bersesuaian dengan
definisi integral tentu.
∫a
b
f (x )dx=[F (x )]ab=F( x)|x=b−F (x )|x=a=F (b )−F(a)
Dengan F ( x )=∫ f ( x )dx .
Jadi integral tentu f ( x ) terhadap x dari a hingga b merupakan jumlah dari
luas segmen-segmen segi empat dengan lebar segmen Δ x → 0 dan tinggi hasil
fungsi dari xnilai tengah lebarnya dari x=a hingga x=b.
Dengan bahasa komputasi, dapat dibuat algoritma integral tentu seperti
di bawah ini:
a. Deklarasikan rentang x dan inkremen (Δ x )
Misal: x=(1: 0,0001:3)
89
Maksudnya x ialah matriks baris (barisan bilangan) dengan batas bawah = 1,
inkremen = 0,0001, dan batas atas = 3.
b. Deklarasikan fungsi y=f (x )
y=x .2+1
Maksudnya y adalah matriks baris (barisan bilangan) yang nilainya yi = xi2 + 1.
c. Hitung luas segmen dengan rumus Li=Δ x× y i
L=0,0001.∗y
d. Jumlahkan semua Li.
Luas = sum(L)
Hmmm… kira-kira seperti itu. Inkremen dapat diperkecil hingga menuju
nol.
Nah, sekarang kita coba menghitung luas daerah dibawah kurva dengan
metode analitik yakni dengan menggunakan rumus yang telah diperoleh.
Luas=∫1
3
x2+1dx=[ x3
3+x+C]
1
3
=( 33
3+3+C)−( 1
2+1+C)=12−
32=10
12
Perhatikan bahwa konstanta C menjadi lenyap, itulah yang menyebabkan
integral ini disebut integral tentu. Diperoleh juga luas daerah dibawah kurva
f ( x )=x2+1 dari x = 1 hingga x = 3. Ini adalah hasil yang eksak, bukan sekedar
pendekatan.
Hal penting lainnya dari kemiripan konsep antara sumasi sigma dan
integral (sebagai luas daerah di bawah kurva) ialah kita dapat persamaan diskret
(operasi sumasi) ke persamaan kontinyu (operasi integral) dan sebaliknya. Tentu
saja pengubahan ini hanya menghasilkan suatu pendekatan, namun biasanya
sangat baik untuk sekedar perkiraan.
90
Penting!
Jangan melanjutkan mengerjakan soal-soal integral sebelum memahami definisi
dan makna matematis dari konsep integral dengan baik..
Coba perhatikan lagi gambar 4.1 yang menggambarkan grafik dan
diagram/histogram dari fungsi f ( x )=2 x . Nilai ∫1
n
2 x dx merupakan luas daerah di
bawah kurva dari x=0 hingga x=5, sedangkan jika kita jumlah menggunakan
sumasi sigma, maka batasnya adalah dari x=−0,5 hingga x=5,5, ada tambahan
setengah segi empat paling kiri dan setengah segi empat paling kanan. Jadi, agar
dapat menyetarakannya dengan integral, kita harus membuang bagian-bagian itu
yang besarnya (0,5×1) dikali dengan ketinggian segi empat, yakni f (0) dan f (5)
sehingga bersisa
∑x=0
5
f (x )−f (0 )
2−
f (5 )2
Dengan demikian kita dapat menyetarakan operasi integral dan sumasi
sigma dalam pendekatan
∫a
b
f (x )dx ≅∑x=a
b
f ( x)−f (a )
2−
f (b )2
(4.1.a)
atau
∑x=a
b
f (x )≅∫a
b
f ( x)dx+f (a )
2+
f (b )2
(4.1.b)
Patut untuk diingat relasi ini hanyalah suatu pendekatan (aproksimasi)
saja, namun untuk persamaan linear, nilainya memang benar-benar sama. Silakan
pembaca membuktikan bahwa relasi di atas benar-benar sama hanya untuk
persamaan yang linear.
4. BEBERAPA BENTUK INTEGRAL
Berikut ini beberapa bentuk integral yang lazim disertai penjabarannya,
silakan disimak.
4.1. Integral Fungsi Polinom
Seperti yang sudah disinggung pada bagian sebelumya, integral fungsi
polinom dapat didefinisikan sebagai berikut:
91
∫ a xn dx= an+1
xn+1+C (4.2)
Operasi integral juga memenuhi sifat-sifat sebagai berikut
1. Sifat komutatif
∫ f ( x )+g (x)dx=∫ f (x)dx+∫ g(x )dx
2. Sifat asosiatif terhadap perkalian skalar
∫ kf (x ) dx=k∫ f (x )dx ; dengan k suatu skalar
Sedangkan yang perlu diperhatikan,
∫ 1f ( x )
dx ≠1
∫ f (x ) dx
4.2. Integral Bentuk ex dan 1/x
Dari definisi bilangan natural,
e=limn→ ∞ (1+ 1
n )n
(4.3)
Dapat kita ekspansikan dengan deret binomial Newton
( x+a )n=xn+ n1 !
xn−1 a+n (n−1 )
2 !xn−2 a2+
n (n−1 )(n−2)3 !
xn−3 a3+…=∑k=0
n
(nk )xk an−k
(4.4)
diperoleh
ex= limn→ ∞ (1+ 1
n )nx
=1+ nx1!n
+nx (nx−1 )
2 !n2 +nx (nx−1 )(nx−2)
3! n3 +… (4.5)
dengan menjamin n>> (menuju tak hingga),
(1+ 1n )
n
=1+ nx1 !n
+(nx )2−nx
2 !n2 +(nx)3−3 (nx)2+2nx
3 !n3 +… (4.6)
Karena n>>, maka (nx)2 – nx dapat dianggap sama dengan (nx)2, begitu
pula (nx)3 – 3(nx)2 + 2nx ≈ (nx)3. Akhirnya didapatkan bentuk
ex= limn→ ∞ (1+ 1
n )nx
=1+ x1!
+ x2
2!+ x3
3 !+ x4
4 !+… (4.7)
Dengan bentuk deret di atas, dengan mudah dapat kita tentukan
turunan dari ex yakni:
92
ex ddx
=0+1+ x1 !
+ x2
2!+ x3
3 !+… (4.8)
Whoiila, ternyata diperoleh turunan dari ex adalah ex juga. Dengan
demikian diperoleh
∫ ex dx=ex+C (4.9)
Misalkan kita pilih persamaan awal y = ex, sehingga dy/dx = ex. Jadi
diperoleh persamaan diferensial
dydx
= y (4.10)
∫ 1y
dy=∫ dx (4.11.a)
∫ 1y
dy=x (4.11.b)
Lihat kembali persamaan awal kita y = ex, dengan demikian x = ln y.
Substitusi nilai x ini ke dalam persamaan (4.11.b) menghasilkan
∫ 1y
dy=ln y (4.12)
4.3. Bentuk-bentuk Integral Baku
Dalam berbagai problem matematis, biasanya terdapat berbagai
bentuk integral fungsi. Berikut beberapa di antaranya.
∫ k du=ku+C (4.13)
∫undu= 1n+1
un+1+C ;n≠−1 (4.14)
∫ 1u
du=ln|u|+C ;n ≠−1 (4.15)
∫ eu du=en+C (4.16)
∫ au du= an
ln a+C (4.17)
∫sin u du=cosu+C (4.18)
∫cos udu=−sinu+C (4.19)
∫ sec2u du= tan u+C (4.20)
93
∫ sec u tan udu=sec u+C (4.21)
∫ csc2u du=−cot u+C (4.22)
∫ cscu cot u du=−csc u+C (4.23)
∫ tan u du=−ln∨cosu∨¿+C ¿ (4.24)
∫cot u du=ln∨sin u∨¿+C ¿ (4.25)
∫ sec u du=ln ¿ sec u+ tanu∨¿+C ¿ (4.26)
∫ cscu du=−ln¿csc u+cotu∨¿+C ¿ (4.27)
∫ 1
√a2−u2du=sin−1( u
a )+C (4.28)
∫ 1
u√u2−a2du=1
asec
−1
¿¿ (4.29)
∫ 1
a2+u2du=1
atan−1( u
a )+C (4.30)
Beberapa pembuktian dan/atau pembahasan tentang bentuk-bentuk
di atas akan diberikan pada bagian-bagian selanjutnya.
5. METODE SUBSTITUSI
Untuk memudahkan pekerjaan integral-mengintegralkan, kita dapat
melakukan metode substitusi. Tercermin dari namanya, metode substitusi ialah
metode dengan menukar suatu suku/bagian dengan suku lain dan setelah itu
dilakukan substitusi balik. Berikut beberapa metode substitusi yang dikenal.
5.1. Substitusi Suku yang Diintegralkan
Misalkan suatu fungsi f ( x )=g (h ( x )), maka integral dari fungsi f (x)
∫ f (x )dx=∫ g (h )h '(x )
dh (4.31)
Contohnya ∫ x (x2+5)10dx dapat kita substitusi nilai x2+5=u sehingga
integral tadi menjadi berbentuk ∫ xu10dx . Ingat u=x2+5 sehingga dudx
=2 x
94
atau du=2 xdx atau dx= 12 x
du. Substitusikan nilai dx dalam integral
sehingga fungsi u dapat diintegralkan.
∫ xu10dx=∫ xu10( 12 x
du)=12∫u10 du
¿ 12
111
u11+C
Substitusi balik nilai u=x2+5 menjadi
∫ x (x2+5)10dx= 122
( x2+5 )11+C
Jika kita hanya melihat susunan seperti pada aturan 4.31 di atas,
tentukan terlebih dahulu
f ( x )=x (x2+5)10
h ( x )=x2+5
g (h )=xh10
Diperoleh h' ( x )=2x sehingga:
∫ f (x )dx=∫ g (h )h ' ( x )
dh+C=∫ xh10
2xdh=1
21
11h11+C
Dengan substitusi balik fungsi h(x), didapatkan
∫ x (x2+5)10dx= 122
( x2+5 )11+C
Contoh
1. Carilah ∫ 17 x+9
dx
Jawab:
Misalkan u=7 x+9, du=7d x atau dx=du7
∫ 17 x+9
dx=∫ 1u
du7
=17
ln|u|+C
Substitusi kembali nilai u,
95
Tips:
Untuk semua bentuk f ( x )=1u
dengan
u=ax+b, hasil integralnya pastilah
berbentuk f ( x )= 1
u'ln¿u∨¿+C ¿.
Nilai u’ ini biasa disebut turunan
dalam.
∫ 17 x+9
dx=17
ln ¿7 x+9∨¿+C ¿
2. Carilah ∫(4 x−11)ndx
Jawab:
Misalkan u=4 x−11, du=4 dx atau dx=du4
∫(4 x−11)ndx=∫ un du4
= un+1
4(n+1)+C
3. Carilah ∫ x
cos2 x2dx!
Jawab:
Perhatikan bahwa 1
cos2 x2=sec2 x2
. Ingat bentuk baku∫ sec2u du=tan u+C.
Misalkan u = x2, du = 2x dx, sehingga
∫ x sec2 x2dx=∫ 12 x
x sec2u du=12
tan u+C=12
tan x2+C
4. Carilah ∫ x (4 x2−11)n dx
Jawab:
Misalkan u=4 x−11, du=8 x dx atau dx= du8 x
∫ x (4 x2−11)n dx=∫ xun du8 x
= un+1
8(n+1)+C=
(4 x−11)n+1
8 (n+1)+C
Bagaimana jika ∫ x (4 x3−11)n dx? Bisakah diselesaikan dengan substitusi?
96
Tips:
Untuk fungsi berbentuk seperti di atas dengan polinom dalam kurung berderajat satu,
integralnya dapat dilakukan dengan cara biasa (pangkat di tambah satu lalu koefisien
dibagi dengan pangkat di tambah satu) kemudian menmambahkan turunan dalamnya
sebagai pembagi.
5. Carilah ∫ 2 x−4
x2−4 x+8dx!
Jawab:
Misalkan u=x2−4 x+8, du=2 x−4 dx atau dx= du2 x−4
∫ 2 x−4u
dx=∫ 2 x−4u
du2 x−4
=∫ duu
= ln ¿u∨¿+C= ln ¿ x2−4 x+8∨¿+C ¿¿
6. Buktikanlah bahwa ∫ ax dx= ax
ln a+C!
Jawab:
Pilih suatu nilai k sehingga a = ek, dimana e bilangan natural sehingga bentuk
integral menjadi:
∫ ekx dx
Substitusi u = kx, du = k dx atau dx = du/k.
∫ eu duk
= eu
k+C
Ingatlah kembali a = ek, dengan demikian k = ln a. Substitusikan nilai k dan
substitusi balik nilai u sehingga diperoleh hasil akhir
∫ ekx dx= ekx
ln a+C= ax
ln a+C
5.2. Substitusi Integran
Substitusi variabel pengintegrasi (integran) dapat digunakan untuk
mempermudah mencari hasil integral dari suatu fungsi. Agar lebih jelas,
baiknya kita memulai dengan contoh, misalnya ∫sin3 x dx.
∫sin3 x dx=∫sin2 x ∙ sin xdx
Mengingat sin2 x+cos2 x=1,
∫sin3 x dx=∫ (1−cos2 x )∙ sin x dx
97
∫sin3 x dx=∫sin x dx+∫ cos2 x ∙ sin xdx
Di sini kita substitusi variabel pengintegrasinya, yakni sin x dx menjadi
−d (cos x ), mengingat∫sin x dx=−cos x+C . Atau secara lebih detail
ddx
cos x=−sin x⟹−d (cos x )=sin xdx
Oke? Mari kita lanjutkan!
∫sin3 x dx=∫sin x dx−∫cos2 x d (cos x )
∫sin3 x dx=cos x−13
cos3 x+C
Jadi lebih mudah kan?
Penting untuk dicatat metode ini sebaiknya tidak digunakan jika hasil
pemecahan menghasilkan suku dengan pangkat yang sama (misal
∫sin2 x dx=−∫sin x d (cos x )). Jelasnya akan dibahas pada bagian contoh.
5.3. Substitusi dengan Bantuan Trigonometri
Terkadang, suatu fungsi teramat sulit bahkan mustahil dikerjakan
dengan cara-cara substitusi yang telah diberikan sebelumnya. Eits… jangan
menyerah dulu, kemungkinan fungsi itu dapat diintegralkan dengan
bantuan trigonometri. Fungsi yang dapat diintegralkan dengan substitusi
trigonometri biasanya ialah fungsi-fungsi yang mengandung persamaan
lingkaran, contohnya ∫ ( x2+ y2 )−32 dy .
Pertama-tama, ingatlah relasi antara x dan y dalam dalil Pythagoras
dan trigonometri yakni y=x tan θ dan r=√x2+ y2. Nah, sekarang mulailah
substitusi, y=x tan θ sehingga dy=x sec2θ dθ.
∫ ( x2+ y2 )−32 dy=∫ x sec2θ dθ
( x2+x2 tan2θ )32
98
Catatan:
Anggap cos x=u, maka
∫cos2 x d (cos x )=∫u2 du=13
u3+C
Ingatlah bahwa sin2 α+cos2 α=1. Jika kedua ruas dibagi dengan cos2 α
menghasilkan tan2 α+1=sec2 α (Ingat lagi bahwa 1
cosα=sec α). Dengan
demikian x2 tan2θ+x2=x2 sec2θ sehingga:
x∫ sec2θ dθ
( x2 sec2θ )32
=x∫ sec2 θ dθx3 sec3 θ
= 1x2∫ cosθ dθ
Selanjutnya diperoleh
∫ ( x2+ y2 )−32 dy= 1
x2sin θ+C
Lakukan substitusi balik sin θ= yr= y
√ x2+ y2 , akhirnya diperoleh:
∫ ( x2+ y2 )−32 dy= 1
x2
y
√x2+ y2+C
Bagaimana? Cukup mudah kan?
Yang penting di sini ialah jika kita melakukan substitusi dengan
menggunakan trigonometri dan dalil Pythagoras, maka kita harus
melakukan substitusi balik dengan perangkat dan ketentuan yang sama.
Bagaimana jika yang ditanya ialah ∫ ( x2+ y2 )−32 dx? Melihat kesesuaian
dengan hasil sebelumnya, dapat dipastikan hasilnya ialah 1
y2
x
√x2+ y2+C .
Cobalah Anda mencari langkah-langkah matematisnya sebagai latihan.
Beberapa bentuk integral dengan substitusi trigonometri yang sudah
baku antara lain sebagai berikut.
A. Bentuk arcus sinus dan arcus cosinus
Bentuk integral yang memuat arcus sinus dan arcus cosinus adalah
yang berbentuk sebagai berikut:
∫ 1
√a2−u2du=sin−1( u
a )+C (4.32)
∫ 1
√a2−u2du=−cos−1( u
a )+C (4.33)
99
Oke, kita akan membuktikannya di sini. Untuk memudahkan
pemahaman, ganti nama variabelnya menjadi
∫ 1
√a2−x2dx=∫ (a2−x2 )
−12 dx
Ingatlah hubungan trigonometri pada segitiga siku-siku, untuk bentuk
arcus cosinus, lakukan substitusi x=a cosθ, sehingga dx=−a sin θ dθ.
∫ ( a2−a2cos2θ )−1
2 (−a sin θ ) dθ=∫ (a2 [1−cos2θ ] )−1
2 (−a sin θ ) dθ
Mengingat relasi trigonometri sin2 θ+cos2θ=1, maka
−∫ (a2sin2θ )−12 (a sin θ )d θ=−∫ a sin θ
a sin θdθ=−θ+C
Substitusi balik x=a cosθ sehingga diperoleh
∫ 1
√a2−x2dx=−cos−1( x
a )+C
Untuk pembuktian arcus sinus, untuk memudahkan pemahaman ganti
variabelnya menjadi ∫ 1
√a2− y2dy dan lakukan substitusi y=a sin θ.
Langkah selanjutnya ditinggalkan sebagai latihan.
B. Bentuk arcus tangen
Bentuk integral yang memuat arcus tangen adalah yang berbentuk
sebagai berikut:
∫ 1
a2+u2du=1
atan−1( u
a )+C (4.34)
Untuk membuktikannya, lakukan substitusi u=a tan θ, sehingga
du=a sec2θ dθ.
∫ 1a2+u2 du=∫ a sec2θ
a2+a2 tan2 θdθ=∫ a sec2θ
a2 (1+tan 2θ )dθ
Mengingat relasi trigonometri tan2θ+1¿ sec2θ
∫ 1a2+u2 du=∫ asec2 θ
a2 sec2θdθ=1
a∫dθ=θ
a+C
100
Lakukan substitusi balik θ=tan−1(ua ).
∫ 1
a2+u2du=1
atan−1( u
a )+C
Contoh
1. Carilah ∫ a2sin θ
√a2+b2−2ab cosθdθ!
Jawab:
Bentuk integral di atas terlihat rumit, namun jika kita merubah integrannya akan
menjadi sangat mudah. Seperti penjelasan sebelumnya sin θ dθ dapat kita ubah
menjadi −d (cosθ). Karena a dan b independen (saling bebas) terhadap variabel
integran, a dan b dapat kita keluarkan dari operasi integral.
−a2∫ (a2+b2−2 ab cos θ )−1
2 d (cosθ)
Substitusi u=a2+b2−2 ab cosθ, sehingga du=−2 ab d (cos θ) atau d (cosθ )=−du2 ab
.
a2∫u−12 1
2abdu= a2
2ab2 u
12+C
Jadi, ∫ a2sin θ
√a2+b2−2ab cosθdθ=a
b√a2+b2−2 ab cosθ+C
2. Carilah ∫ 1
√9−x2dx dalam bentuk arcus sinus dan arcus cosinus!
Jawab:
Perhatikan bentuk integralnya, diperoleh a=√9=3 , sehingga
∫ 1
√92−x2dx=sin−1( x
3 )+C
∫ 1
√92−x2dx=−cos−1( x
3 )+C
3. Carilah ∫ 1
25+9 x2dx!
Jawab:
Suku x2 memiliki koefisien 9, sehingga kita ubah bentuk fungsinya terlebih
dahulu.
101
∫ 1
25+9 x2dx=1
9∫1
25 /9+x2dx
akhirnya diperoleh a=√ 259
=53
sehingga:
∫ 1
25+9 x2dx= 3
45tan( 3x
5 )+C
6. INTEGRAL PARSIAL
Beberapa bentuk integral tak dapat diselesaikan dengan metode
substitusi biasa. Untuk itu dapat digunakan metode substitusi ganda atau yang
lebih dikenal sebagai pengintegralan parsial.
Ingat kembali bentuk turunan dari perkalian fungsi:
ddx
(uv )=vdudx
+udvdx
Lakukan pengintegralan terhadap x di kedua ruas.
uv=∫ vdudx
dx+∫ udvdx
dx
uv=∫ v du+∫ u dv
Akhirnya diperoleh
∫u dv=uv−∫ vdu (4.35)
Dan untuk integral tentu
∫a
b
u dv=[ uv ]ab−∫
a
b
v du (4.36)
Jadi pengintegralan parsial membolehkan kita menukar masalah ∫u dv
menjadi ∫ v du. Keberhasilan metode ini tergantung pada pemilihan u dan dv
yang tepat. Jadi jika dengan satu pemilihan tidak berhasil, cobalah menukar nilai
u dan dv, atau mencoba kombinasi lainnya.
102
Contoh:
1. Carilah integral dari sin2 x terhadap x!
Jawab:
∫sin2 x dx=∫sin x sin x dx dapat kita pecah dalam bentuk u dv dimana u = sin x
dan dv = sin x dx. Dengan demikian diperoleh du = cos x dx dan v = -cos x.
∫sin2 x dx=sin x (−cos x )−∫−cos x cos x dx
∫sin2 x dx=−sin x cos x+∫ cos2 xdx
Tambahkan kedua ruas dengan ∫sin2 x dx sehingga menjadi:
∫sin2 x dx+∫ sin2 x dx=−sin x cos x+∫ cos2 x dx+∫ sin2 x dx
Mengingat sifat integral yang distributif terhadap penjumlahan,
∫ ( f (x )+g (x)) dx=∫ f (x )dx+∫ g(x )dx dan sifat trigonometri sin2 x + cos2 x = 1,
diperoleh
2∫ sin2 x dx=−sin x cos x+∫sin2 x+cos2 xdx
∫sin2 x dx=12
(−sin x cos x+∫1 dx )
∫sin2 x dx=12
( x−sin x cos x )+C
Sekarang coba kita gunakan substitusi integran.
∫sin2 x dx=−∫sin x d (cos x )=−sin xcos x+C
Wah, ternyata hasilnya berbeda. Jadi sebaiknya kita tidak menggunakan
substitusi integran jika dihasilkan bentuk trigonometri dengan pangkat yang
sama.
2. Hitunglah nilai ∫ ln x dx!
103
Petunjuk:
Ingatlah jika u=a x2+bx+c, maka dudx
=2 a+b atau d u=2a+b dx.
Jika d u=2a+b dx, maka ∫ du=∫2 a+b dx atau u=a x2+bx+C .
Anda perlu berlatih melakukannya dengan cepat.
Jawab:
Pilih u=ln x dan dv=dx, sehingga du=1x
dx dan v=x.
∫udv=uv−∫ vdu
∫ ln x dx=x ln x−∫ x1x
dx=x ln x−x+C
3. Carilah ∫ csc x dx
Jawab:
Untuk mengintegralkan bentuk ini, diperlukan sedikit manipulasi aljabar sebagai
berikut:
∫ csc x d x=∫ csc xcsc x+ tan xcsc x+ tan x
dx
∫ csc x dx=∫ csc2 x+csc x tan xcsc x+ tan x
dx
Pilih u=csc x+ tan x sehingga du=−(csc x cot x+csc2 x ) dx, lalu lakukan substitusi
∫ csc x dx=−∫ duu
=−ln|u|+C
Substitusi balik nilai u,
∫ csc x dx=− ln|csc x+ tan x|+C
4. Selesaikanlah ∫ sec3 x dx!
Jawab:
∫ sec3 x dx=∫ sec x sec2 x dx
Pilih u=sec x sehingga du=sec x tan x dx dan dv=sec x x dx sehingga
v=∫ sec x x dx=tan x. Diperoleh
∫ sec3 x dx ¿ sec x tan x−∫ tan2 x sec x dx
¿ sec x tan x−∫ ( sec2 x−1 ) sec xdx
¿ sec x tan x−∫ sec3 x dx+∫ sec x dx
¿ sec x tan x−∫ sec3 x dx+∫ sec x dxsec x+tan xsec x+tan x
104
¿ sec x tan x−∫ sec3 x dx+∫ sec x dxsec x+tan xsec x+tan x
¿ sec x tan x−∫ sec3 x dx+∫ sec x tan x+sec2 xsec x+ tan x
dx
Gunakan substitusi integran, diperoleh sec x tan x+sec 2 x dx=d (sec x+ tan x),
sehingga:
∫ sec3 x dx ¿ sec x tan x−∫ sec3 x dx+ln|sec x+ tan x|+C
2∫ sec3 x dx ¿ sec x tan x+ln|sec x+ tan x|+C
∫ sec3 x dx ¿ 12
sec x tan x+ 12
ln|sec x+tan x|+C
5. Hitunglah nilai ∫ ex sin x dx!
Jawab:
Pilih u=sin x dan dv=ex dx, sehingga du=cos x dx dan v=ex.
∫udv=uv−∫ vdu
∫ ex sin x dx=ex sin x−∫ ex cos xdx (i)
Eh, ternyata masih tidak bisa diselesaikan. Coba parsialkan lagi suku kedua ruas
kanan. Pilih u=cos x dan dv=ex dx, sehingga du=−sin x dx dan v=ex.
∫ ex cos x dx=ex cos x+∫ex sin xdx (ii)
substitusi (ii) ke (i)
∫ ex sin x dx=ex sin x−ex cos x−∫ex sin xdx
∫ ex sin x dx=12
ex
(sin x−cos x )+C
6. Sudah dari dulu Acok ingin menyatakan cintanya kepada Rina. Suatu ketika ia
membulatkan tekadnya menembak Rina, Rina malah memberikan soal dan
mengatakan jika Acok berhasil menjawabnya dengan benar maka ia akan
menerima Acok sebagai kekasihnya. Berikut soal yang diberikan Rina kepada
Acok:
105
∫ dx
x2√4−x2
Cobalah untuk memecahkan soal di atas dan beritahukanlah jawabannya pada
Acok agar dia bisa diterima.
Jawab:
Substitusi x=2 sin θ sehingga dx=2cos θ dθ
∫ dx
x2√4−x2¿∫ 2cosθ dθ
4 sin2θ√4−4sin2 θ
¿∫ 2 cosθ dθ
4 sin2θ√4 (1−sin2θ)
¿∫ 2 cosθ dθ
4 sin2θ ∙2cosθ
¿∫ dθ
4 sin2θ=1
4∫csc2 θ dθ
¿−14
cot θ+C
mengingat sin θ= x2
, maka cosθ=√1−sin2θ sehingga cot θ= cosθsinθ
=√1−x2/ 4x /2
.
Lakukan substitusi balik diperoleh
∫ dx
x2√4−x2=−√1−x2 /4
2 x+C
Jadi kita telah menyelesaikan soalnya. Satu-satunya permasalahan yang tersisa
adalah bagaimana cara memberitahukan jawabannya kepada Acok.
7. Dalam pemrograman, pemodelan populasi, dan fisika statistik sering muncul
persamaan yang memuat bentuk faktorial. Permasalahannya faktorial dari suatu
bilangan (n) sangatlah besar, lebih besar daripada nn/2. Oleh karenanya, biasanya
nilai-nilai itu dinyatakan dalam logaritmanya. Dengan menggunakan bantuan
relasi sumasi sigma dan integral pada bagian sebelumnya, carilah pendekatan
nilai ln n! yang tidak memuat operasi faktorial.
Jawab:
106
Berdasarkan aturan logaritma, ln (a× b ×c ×… )=ln a × ln b × ln c× … . Mengingat
definisi faktorial x !=x × ( x−1 ) × ( x−2 ) × …× 1, maka diperoleh
ln n!=ln n × ln(n−1)× ln(n−2)× …× ln 1=∑i=1
n
ln i
Jika digambarkan dalam grafik, diperoleh hasil sebagai berikut:
Kita gunakan relasi sumasi dan integral, diperoleh
∑x=1
n
ln x≈∫1
n
ln x dx+ln (1 )
2+
ln (n )2
Dengan menggunakan integral parsial, diperoleh ∫ ln x dx=x ln x−x+C, sehingga:
∑x=1
n
ln x≈ (n ln n−n )− ( ln 1−1 )+ ln (1 )2
+ln (n )
2
∑x=1
n
ln x≈ (n ln n−n )+1+ln (n )
2=(n+ 1
2 ) ln n−n+1
Akhirnya diperoleh
ln n !≈ (n+ 12 ) ln n−n+1
Contoh soal nomor 4 dan 5 menunjukkan beberapa bentuk fungsi tidak
selesai diintegralkan jika diparsialkan sekali. Dalam kasus ∫ ex sin x dx, butuh dua
tahap. Nah, bagaimana jika fungsi tadi memerlukan lebih dari dua tahap? Apakah
ada cara yang lebih mudah daripada mengintegralkannya secara parsial?
Sepengetahuan saya ada beberapa cara lain, seperti ekspansi deret, namun kita
belum akan membahas integral dengan ekspansi deret. Jadi untuk sementara,
107
kita tetap akan mengerjakan integral dari fungsi-fungsi yang "bandel" itu dengan
metode parsial. Meskipun demikian, ada model penyelesaian yang lebih praktis
untuk fungsi yang membutuhkan tahap pengintegralan parsial lebih dari sekali.
∫u v dx=u v1−u ' v1+u ' ' v2−… (4.37)Di mana u dan v merupakan fungsi dari x dengan u' turunan pertama dari
u, u'' turunan kedua dari u, dan seterusnya serta v1=∫ v dx, v2=∫ v1 dx dan
seterusnya. Misalkan ∫2 x2cos 2 x dx, ambil u=2 x2 dan v=cos2 x, diperoleh.
u=2 x2 → v1=12
sin 2 x
u '=4 x → v2=−14
cos2 x
u ' '=4 → v3=−18
sin 2 x
u' ' '=0 → v4=1
16cos2 x
Jadi, ∫2 x2cos 2 x dx=x2 sin2 x−(−x cos2 x )+(−12
sin 2 x)+C
Bagaimana? Meskipun sebenarnya tidak mempermudah operasi
matematisnya, tetapi proses pengintegralan menjadi singkat, praktis, dan tidak
membuat kita menjadi bingung.
7. INTEGRAL FUNGSI RASIONAL
Fungsi rasional ialah fungsi yang merupakan hasil bagi dua fungsi
polinom. Adapun fungsi rasional sejati ialah fungsi rasional yang derajat
pembilangnya lebih kecil daripada derajat penyebutnya. Semua fungsi rasional
sejati dapat diintegralkan, dan untuk fungsi rasional yang lebih kompleks akan
lebih mudah jika dipecah menjadi sejumlah pecahan-pecahan yang lebih
sederhana. Pemecahan ini biasa disebut dekomposisi.
108
7.1. Kasus untuk Faktor Linear yang Berlainan
Contoh, menentukan ∫ 3 x−1
x2−x−6dx. Mula-mula kita faktorkan
terlebih dahulu fungsinya menjadi:
3 x−1
x2−x−6= 3 x−1
( x+2 )(x−3)
Perhatikan penyebutnya merupakan dua faktor yang berbeda. Untuk
faktor linear yang berlainan kita dekomposisikan dalam bentuk
3 x−1( x+2 )(x−3)
= Ax+2
+ Bx−3
Nah, permasalahannya ialah mencari nilai A dan B yang sesuai.
Dengan mengalikan kedua ruas dengan ( x+2 )(x−3) diperoleh
3 x−1=A ( x−3 )+B (x+2)
3 x−1=Ax−3 A+Bx+2 B
3 x−1=( A+B ) x+(2 B−3 A)
Perhatikan ruas kiri dan kanan yang mengandung variabel x dan
yang tidak, lalu persamakan. Diperoleh
( A+B ) x=3 x ; A+B=3 ; A=3−B
2 B−3 A=−1
Cari nilai A dan B
2 B−3 (3−B )=−1; B=85
A=3−B ; A=75
Akhirnya diperoleh bentuk lengkap dekomposisi
3 x−1( x+2 )(x−3)
= 7 /5x+2
+ 8/5x−3
Dengan mudah dapat kita integralkan
∫ 3 x−1( x+2 )(x−3)
dx=75∫
1x+2
dx+ 85∫
1x−3
dx
∫ 3 x−1( x+2 )(x−3)
dx=75
ln ¿ x+2∨¿+ 85
ln ¿x−3∨¿+C ¿¿
109
7.2. Kasus untuk Faktor Linear yang Berulang
Kasus untuk faktor linear yang berulang, misalnya f ( x )= x
x2−6 x+9,
jika difaktorkan akan menjadi f ( x )= x( x−3 )(x−3) yang memiliki faktor
berulang. Dekomposisi dari fungsi rasional seperti itu berbentuk
x
(x−3)2= A
(x−3)+ B
(x−3)2
Setelah kedua ruas dikalikan (x−3)2 diperoleh
x=A ( x−3 )+B
Misalkan kita mensubstitusi nilai x = 3, diperoleh B = 3. Dan jika
mensubstitusi x = 0 diperoleh 0 = -3A + B atau A = 1. Dengan demikian
fungsi f ( x ) berubah bentuk menjadi
f (x)= 1(x−3)
+ 3
(x−3)2
Sehingga
∫ x
(x−3)2dx=∫ 1
(x−3)dx+∫ 3
(x−3)2dx
∫ x
(x−3)2dx=ln ¿ x−3∨¿− 3
x−3+C ¿
Contoh:
Carilah ∫ 3 x2−8 x+13( x+3 )(x−1)2 dx!
Jawab:
110
Bentuk fungsi di atas mengandung tiga faktor penyebut, satu berbeda sedangkan
yang kedua dan yang ketiga identik (faktor berulang). Dengan demikian, bentuk
dekomposisinya dapat kita gabungkan antara bentuk faktor linear tunggal dan
faktor linear berulang yaitu:
3 x2−8 x+13( x+3 )(x−1)2=
A( x+3 )
+ B( x−1)
+ C(x−1)2
Setelah bentuk pecahannya dihilangkan diperoleh
3 x2−8 x+13=A( x−1)2+B ( x+3 )(x−1)+C ( x+3 )
Jika kita substitusikan nilai x = 1, x = -3, dan x = 0 didapatkan
8 = 4C, sehingga C = 2.
64 = 16A, sehingga A = 4
13 = A – 3B + 3C, sehingga B = -1
∫ 3 x2−8 x+13( x+3 )(x−1)2 dx=∫ 4
( x+3 )dx−∫ 1
( x−1)dx+∫ 2
(x−1)2 dx
∫ 3 x2−8 x+13( x+3 )(x−1)2 dx=4 ln ¿ x+3∨¿− ln¿∨n sehingga B=−1 kannilai x=1 , x=3 ,dan x=0 didapatkan da sedangkan yang keduadan yangketiga identik ¿¿¿
7.3. Kasus untuk Faktor Kuadrat Tunggal
Kasus untuk faktor kuadrat tunggal, misalnya f ( x )= 6 x2−3x+1( 4 x+1 )(x2+1)
.
Perhatikan faktor kuadrat x2+1. Dekomposisi fungsi ini berbentuk
6 x2−3 x+1(4 x+1 )(x2+1)
= A4 x+1
+ Bx+Cx2+1
Setelah pecahannya dihilangkan akan berbentuk
6 x2−3 x+1=A(x2+1)+(Bx+C )(4 x+1)
Jika kita substitusikan nilai x = -¼, x = 0, dan x = 1 menghasilkan
616
+ 34+1=17
16A, sehingga A = 2
1=2+C , sehingga C = -1
111
4=4+ (B−1 )5, sehingga B = 1
Akhirnya dapat kita peroleh integralnya
∫ 6 x2−3 x+1(4 x+1 )(x2+1)
dx=∫ 24 x+1
dx+∫ x−1x2+1
dx
¿∫ 24 x+1
dx+∫ x
x2+1dx−∫ 1
x2+1dx
¿ 12
ln|4 x+1|+12
ln ¿ x2+1∨¿−tan−1 x+C ¿
7.4. Kasus untuk Faktor Kuadrat yang Berulang
Kasus untuk faktor kuadrat berulang, misalnya f ( x )=6 x2−15 x+22( x+3 )(x2+2)2 .
Perhatikan ada faktor kuadrat yang berulang di situ, yakni
(x¿¿2+2)(x¿¿2+2)¿¿. Dekomposisi yang cocok ialah
6 x2−15 x+22( x+3 )(x2+2)2 = A
x+3+ Bx+C
x2+2+ Dx+E(x2+2)2
Jika dicari dengan benar, akan didapatkan nilai A = 1, B = -1, C = 3, D
= -5 dan E = 0. Integralnya ialah:
∫ 6 x2−15 x+22( x+3 )(x2+2)2 dx=∫ 1
x+3dx+∫−x+3
x2+2dx+∫ −5 x
(x2+2)2 dx
¿∫ 1x+3
dx−∫ x
x2+2dx+3∫ 1
x2+2dx−5∫ x
(x2+2)2dx
¿ ln ¿ x+3∨¿−12
ln ¿ x2+2∨¿+ 3
√2tan−1 x
√2+ 5
21
(x2+2)2+C ¿¿
8. INTEGRAL TENTU
Sebelumnya, kita telah membahas mengenai integrasi fungsi matematis
yang hasilnya memberikan suatu konstanta tidak diketahui. Telah disinggung
juga konstanta itu hanya dapat diketahui, atau dieliminir jika daerah asal fungsi
112
diketahui, semisal [ a , b ]. Beberapa definisi dan teorema dalam integral tentu ialah
sebagai berikut.
1. Jika suatu fungsi f terdefinisi pada [ a , b ] maka lim|P|→0
∑i=1
n
f (wi)Δ x i=L jika dan
hanya jika untuk setiap bilangan positif ε terdapat bilangan positif δ sehingga
untuk setiap partisi P= {x0 , x1 , x2 , …, xn } pada [ a , b ] dengan ‖P‖<δ , berlaku
|∑i=1
n
f (wi)Δ x i−L|<ε.
2. Jika f fungsi yang terdefinisi pada [ a , b ] dan lim|P|→0
∑i=1
n
f (wi)Δ x i ada, maka limit
tersebut dinamakan integral tentu (integral Riemann) fungsi f pada [ a , b ].
Selanjutnya f dikatakan integrable pada [ a , b ] dan integralnya ditulis ∫a
b
f (x )dx
. Jadi ∫a
b
f (x )dx= lim‖P‖→0
∑i=1
n
f (wi) Δ xi.
3. Jika f integrable pada [ a , b ], maka dipenuhi hubungan ∫a
b
f (x )dx=−∫b
a
f (x )dx.
Dan jika a=b maka ∫a
b
f (x )dx=∫a
a
f (x )dx=0.
Perlu diketahui juga teorema fundamental kalkulus yaitu:
Jika f integrable pada [ a , b ] dan F suatu anti-turunan dari f pada [ a , b ] (
F ' ( x )=f (x) untuk setiap x∈ [ a , b ]), maka
∫a
b
f (x )dx=F (b )−F(a) (4.38)
Beberapa aplikasi integral tentu antara lain untuk menghitung panjang
kuva, luas daerah di bawah kurva, dan volum benda putar.
8.1. Luas Daerah yang dibatasi Kurva
Pada definisi integral sebelumnya telah disinggung integral tentu
∫a
b
f (x )dx sebagai luas daerah yang dibatasi oleh kurva f ( x ), sumbu X, garis
113
x=a dan x=b. Oleh karena itu pada subbab 8.1. ini hanya akan diperinci
untuk daerah yang dibatasi dua kurva dan luas daerah untuk fungsi
x=f ( y ). Untuk lebih jelasnya, perhatikan gambar berikut ini.
Gambar 4.2. Luas daerah yang dibatasi dua kurva (yang diraster) dapat ditentukan dengan integral.
Luas daerah yang dibatasi kurva f (x), g(x ), garis x=a, dan x=b
(daerah yang diraster) jelas adalah luas daerah dibawah kurva f (x) pada
selang [ a , b ] dikurangi luas daerah dibawah kurva g(x ) pada selang [ a , b ],
sehingga:
Luas=A=∫a
b
f (x )dx−∫a
b
g (x)dx=∫a
b
[ f ( x )−g(x) ]dx (4.39)
Bagaimana dengan luas daerah yang dibatasi kurva x=f ( y ) dan
x=g( y) dalam selang [ c , d ]? Prinsipnya sama saja, bedanya Cuma
mempertukarkan variabel bebas dan variabel terikat pada fungsi dan
integrannya sehingga
Luas=A=∫c
d
f ( y )dy−∫c
d
g( y )dy=∫c
d
[ f ( y )−g( y )] dy (4.40)
Mudah bukan?
Contoh
1. Hitunglah luas daerah yang dibatasi kurva f ( x )=3 x2+10 x dan g(x )=x2−8!
Jawab:
Mula-mula tentukan dulu titik potong antara f (x)=3 x2+10 x dan g(x )=x2−8,
yaitu titik yang termuat dalam f ( x ) maupun g(x ).
114
f ( x )=g ( x ) →3 x2+10 x=x2−8
Diperoleh persamaan 2 x2+10 x+8=0 atau bila disederhanakan menjadi
x2+5 x+4=0, yang akar-akarnya x=1 dan x=4. Dengan demikian, batas
integrasinya ialah x=1 dan x=4.
A=∫1
4
[ f ( x )−g(x )] dx=∫1
4
[ (3 x2+10 x )−( x2−8 ) ]dx
A=∫1
4
x2+5 x+4 dx=[ x3
3+
5 x2
2+4 x ]
1
4
=4646
−416
=1412
satuan
2. Hitunglah luas daerah yang dibatasi kurva y2=4 x dan 4 x−3 y=4!
Jawab:
Gambar dari kurvanya ialah sebagai berikut:
Perhatikan bentuk daerahnya, ada yang di atas garis x = 0 dan ada yang di bawah
garis x = 0. Dengan demikian, kita tidak bisa menghitung luas dengan
mengintegralkannya terhadap x, tetapi harus diintegralkan terhadap y. Kita ubah
fungsi-fungsi di atas menjadi fungsi x terhadap y, x=f ( y ) menghasilkan
x1=3 y+4 dan x2=y2
4.
Cari titik potong:
3 y+44
= y2
4→ y2−3 y−4=0
Akar-akar persamaan di atas ialah y=−1 dan y=4.
Luas daerahnya ialah
A=∫−1
4
( 3 y+44
−y2
4 )dy=14 [ 3 y2
2+4 y−
y3
3 ]−1
4
=12524
satuan
3. Hitunglah luas daerah yang dibatasi kurva y=sin x dan sumbu-X dalam selang
[0,2 π ]!
Jawab:
Luas daerah yang dibatasi kurva:
115
A=∫0
2 π
sin xdx= [−cos x ]02 π
Jika kita langsung mensubstitusikan batas-batasnya diperoleh:
A=(−cos2 π )−(−cos 0 )=−1+1=0
Lho, masa sih luasnya nol? Nah, ini dia perkara dalam menghitung hasil integral
fungsi trigonometri (carilah penjelasannya!). Untuk itu perlu diakali dengan
mengingat sifat linear dari integral
∫0
2 π
sin xdx=∫0
π /2
sin xdx+∫π /2
π
sin x dx+ ∫π
3 π /2
sin xdx+ ∫3 π /2
2 π
sin x dx
Diperoleh hasil
[−cos x ]0π /2+ [−cos x ]π /2
π + [−cos x ]π3 π /2+ [−cos x ]3 π /2
2 π =1+1+1+1=4
Jadi, luas area yang dibatasi kurva y=sin x dan sumbu-X dalam selang [0,2 π ] = 4.
8.2. Volume Benda Putar
Integral dapat juga digunakan untuk menghitung volum dari benda
putar seperti kerucut, tabung, dan bangun lain yang lebih rumit, selama
masih berupakan benda putar. Prinsipnya ialah dengan membagi benda
putar tadi menjadi segmen-segmen kecil lalu dijumlahkan. Berdasarkan
bentuk segmennya, terdapat dua metode untuk menghitung volume benda
putar yaitu metode irisan tabung (pembelahan secara melintang, sering
juga disebut metode cincin) dan metode kulit tabung (pembelahan secara
radial).
Pertama kita akan membahas metode cincin, untuk itu perhatikan
gambar berikut.
116
Gambar 4.3. Menentukan volume benta putar dengan metode cincin.
Jika kurva y=f (x ) diputar terhadap sumbu X akan menghasilkan
suatu bangun ruang menyerupai tabung. Dengan membagi selang [ a , b ]
menjadi n segmen yang berjarak sama, yakni ∆ x , diperoleh irisan-irisan
tabung dengan ketebalan ∆ x dan jejari lingkaran alas f ( wi ), dengan
w i=xi−1+x i
2. Makin banyak jumlah irisan (n>>) makin kecil pula nilai ∆ x
sehingga bentuk segmen akan semakin mendekati tabung (jejari alas dan
tutupnya sama).
Menggunakan definisi volum tabung ialah luas lingkaran dikali
dengan tingginya diperoleh elemen volum tiap segmen
∆ V i=π {f (w i )}2∆ x
Jumlahan Riemann untuk volum seluruh bangun ialah
∑i=1
n
∆ V i=∑i=1
n
π {f ( wi ) }2∆ x
Jika ∆ x →0, maka volum bangun itu ialah
V=π lim∆ x→ 0
∑i=1
n
{f ( wi )}2∆ x
117
V=π∫a
b
{ f (x ) }2 dx (4.41)
Dengan cara yang sama, jika kurva diputar terhadap sumbu Y, maka
volum benda putar yang terbentuk ialah
V=π∫a
b
{ f ( y ) }2dy (4.42)
Berikutnya ialah metode kulit tabung. Prinsipnya ialah bangun
dibelah secara radial sehingga terbentuk pipa-pipa dengan ketebalan ∆ x ,
jejari x, dan tinggi h=f (x). Perhatikan gambar pipa di bawah ini.
Gambar 4.4. Menentukan volume benta putar dengan metode kulit tabung.
Volum pipa ialah
V=( π r22−π r1
2) h=π (r22−r1
2 )hV=π (r2+r1 ) (r 2−r1 ) h
V=2 π ( r2+r1
2 ) (r2−r1 )h
Rumusan ini dapat ditulis menjadi
V=2 π r h∆ r (4.43)
118
dengan r= jejari rata−rata=( r2+r1
2 ) dan ∆ r=(r2−r1 ).
Dengan membagi selang [ a , b ] menjadi n segmen yang berjarak sama,
yakni ∆ x , diperoleh pipa-pipa dengan ketebalan ∆ x dan jejari rata-rata
f ( wi ), dengan w i=xi−1+x i
2. Makin banyak jumlah irisan (n>>) makin kecil
pula nilai ∆ x sehingga bentuk segmen akan semakin mendekati pipa
(ketinggian pada bagian dalam dan luarnya sama).
Menggunakan definisi volum pipa seperti pada persamaan 4.43
diperoleh volum tiap segmen
∆ V i=2π w i f ( wi ) ∆ x
Jumlahan Riemann untuk volum seluruh bangun ialah
∑i=1
n
∆ V i=∑i=1
n
2 π wi f ( wi ) ∆ x
Jika ∆ x →0, maka volum bangun itu ialah
V=2 π lim∆ x→ 0
∑i=1
n
w i f (w i) ∆ x
V=2 π∫a
b
x f (x)dx (4.44)
Untuk pemutaran terhadap sumbu Y juga serupa, akhirnya akan
diperoleh
V=2 π∫a
b
y f ( y )dy (4.45)
8.3. Panjang Kurva
Bagaimana cara menghitung panjang kurva? Caranya didasari
dengan teorema yang sangat klasik, teorema Pythagoras. Dalam “ruang”
dua dimensi, rumus Pythagoras mendefinisikan panjang garis lurus yang
menghubungkan dua titik.
r2=x2+ y2 (5.46)
119
Δx
Δy
Δx
Δr
Δs
di mana r ialah panjang garis lurus, x panjang selisih komponen sumbu X,
dan y panjang selisih komponen sumbu Y. Jika garisnya garis lurus, tentu
saja nilai yang diperoleh dengan persamaan 5.46 merupakan nilai yang
eksak, tapi bagaimana jika kurvanya tidak lurus, melainkan melengkung
kesana-kemari? Seperti biasa, kita akan memotong kurva dalam segmen-
segmen kecil sehingga teorema Pythagoras bisa diterapkan pada segmen-
segmen tadi karena dalam selang yang sangat kecil, segmen kurva dapat
dipandang sebagai garis lurus.
Gambar 4.5. Panjang kurva dihitung menggunakan dalil Pythagoras.
Panjang setiap segmen ialah
( ∆ si )2≅ ( ∆ ri )
2=( ∆ x i )2+ (∆ y i )
2 (4.47)
Makin kecil segmen, maka ∆ si akan makin mendekati ∆ r i. Jika
diambil y=f (x ) dan ∆ x seragam, maka ∆ y i= y i+1− y i=f ( x+∆ x )−f (x). Bila
disubstitusikan dalam persamaan 4.47 menghasilkan
( ∆ ri )2=(∆ x )2+( f (x+∆ x )−f (x ))2
(∆ ri )2
(∆ x )2=
(∆ x )2
(∆ x )2+( f ( x+∆ x )−f (x)
∆ x )2
Jika dilakukan pembelahan hingga ∆ x →0, akan menghasilkan limit
yang menjadikan suku ke-dua ruas kanan sebagai turunan f ( x ) terhadap
x .
lim∆ x→ 0
(∆ r i)2
(∆ x )2= lim
∆x →0
( ∆ x )2
( ∆ x )2+ lim
∆ x→ 0( f (x+∆ x )−f (x )
∆ x )2
120
Akibat dari limit ini, nilai ∆ r∆ x
menjadi sama dengan ∆ s∆ x
sehingga
( dsdx )
2
=1+( ddx
f ( x ))2
Akhirnya diperoleh panjang kurva y=f (x ) dengan batas [ a , b ] ialah
s=∫a
b
√1+( dydx )
2
dx
Dari persamaan 4,47 dapat diturunkan bentuk diferensialnya yakni:
ds2=dx2+dy2 (4.48)
Persamaan 4.48 disebut juga kuadrat elemen garis. Dalam bentuk
lain persamaan 4.48 dapat ditulis sebagai
( dsdt )
2
=( dxdt )
2
+( dydt )
2
s=∫a
b
√( dxdt )
2
+( dydt )
2
dt (4.49)
Jika persamaan kurvanya adalah y=f (x ) dengan batas [ a , b ], suku di
ruas kanan persamaan 4.49 dikalikan dengan dtdx
dxdt
, diperoleh
s=∫a
b √( dtdx )
2[( dxdt )
2
+( dydt )
2]dtdxdt
s=∫a
b
√1+( dydx )
2
dx (4.50)
Diperoleh hasil yang sama dengan sebelumnya. Sebaliknya, jika
persamaan kurvanya adalah x=f ( y ) dengan batas [ c , d ], suku di ruas
kanan persamaan 4.49 dikalikan dengan dtdy
dydt
, diperoleh
s=∫c
d
√1+( dxdy )
2
dy (4.51)
8.4. Luas Selimut Benda Putar
121
Kita telah mengenal benda putar dan juga mengetahui cara
menghitung panjang kurva. Berbekal rumus-rumus yang telah diperoleh,
dapat dihitung luas selimut dari benda putar.
Pertama-tama bayangkanlah Anda mengiris-iris benda putar tegak
lurus sumbu putar (Misalkan benda putar berdasarkan sumbu X) dengan
ketebalan yang seragam, yakni ∆ x . Dengan demikian, diperoleh tabung-
tabung pipih dengan tinggi ∆ x , lebar ∆ r i dan jejari sekitar y i=f (x i).
Tentunya untuk kurva yang meliuk-liuk jejari tabungnya tidak seragam,
tetapi dengan memilih ∆ x yang sangat kecil maka kesalahan juga dapat
dibuat sangat kecil. Dengan menggunakan analogi luas selimut tabung,
diperoleh:
luas segmen=2π × ( jari− jari )×(lebar segmen)
luas segmen=2π × ∆ ri× y i
Dimana ∆ r i=√∆ x2+∆ y i2 (ingat ∆ xseragam). Dengan mengingat
pembahasan pada bagian 8.3 mengenai panjang kurva, maka diperoleh
luas selimut tiap segmen adalah
2 π ×√∆ xi2+∆ y i
2 × y i=2π × y i √1+∆ y i
2
∆ x2 ∆ x
Dengan demikian sehingga luas total selimut benda putar untuk x=a
hingga x=b adalah
A=2 π∫a
b
y √1+( dydx )
2
dx (4.52)
122
123
Problem:
Menghitung Luas Permukaan dan Volume Kerucut Terpancung
Carilah luas permukaan dan volume dari kerucut terpancung seperti gambar di bawah ini.
Tinggi benda t=8 cm, jari-jari lingkaran alas R1=10cm dan jari jari lingkaran tutup R2=6cm.
124
Problem:
Toricelli’s Trumpet dan Painter’s Paradox
Toricelli’s Trumpet atau Gabriel’s Horn adalah bentuk geometri yang dibentuk dengan memutar kurva y = 1/x dengan batas x = 1 hingga x menuju tak hingga.
y=1x
; x=¿
Hasil pemutaran itu akan membentuk permukaan dua dimensi dalam dimensi tiga. Dengan menggunakan kalkulus, dapat diperoleh volume dan luas permukaan dari terompet Toricelli.
V=π∫a
b
y2 dx
V=π∫1
b1x2 dx=π [−1
x ]1
b
=π (1−1b )
A=2 π∫a
b
y √1+( dydx )
2
dx
A=2 π∫1
b √1+ 1x4
xdx>2π∫
1
b √1x
dx=2π ln b
Nah, jika diambil nilai b ∞, diperoleh volume dan luas permukaan dari Terompet Toricelli
V= limb →∞
π (1−1b )=π (1−0 )=π
A> limb→ ∞
2 π ln b=∞
Ternyata diperoleh volume dari Terompet Toricelli berhingga, yakni π, tetapi luas permukaannya tak hingga. Lho, kok bisa?
Painter’s ParadoxSeandainya Terompet Toricelli itu eksis, maka terompet itu hanya bisa
menampung cat sebanyak π satuan volume, padahal panjang(dalam)-nya tak hingga! Kira-kira jika tetes-tetes cat dituang ke dalam terompet dengan kelajuan v, kapan ia sampai ke dasar? Kapan terompet akan penuh — mengingat kedalaman Terompet Toricelli tak hingga? Tapi bagaimanapun kita bisa pastikan terompet akan penuh mengingat volumenya berhingga.
Berikutnya lagi adalah, Terompet Toricelli hanya mampu menampung cat sebanyak π satuan volume, tetapi karana luasnya tak hingga, apakah kita perlu tak hingga banyaknya cat untuk mengecat permukaannya?
Cobalah menjelaskannya!
Bab 5Turunan Parsial dan Turunan
Berarah
1. Fungsi n Variabel
Sebelumnya kita telah mempelajari turunan dan integral dari fungsi satu
variabel, yakni y=f (x ), x=f ( y ), dan sebagainya. Nyatanya, dalam kehidupan
banyak pula permasalahan tidak hanya melibatkan satu variabel, melainkan
lebih. Fungsi yang melibatkan dua variabel disebut fungsi dua variabel, fungsi
yang melibatkan tiga variabel disebut fungsi tiga variabel, dan seterusnya.
Biasanya fungsi yang memuat lebih dari dua variabel sudah dapat dikatakan
fungsi banyak variabel.
Seperti halnya fungsi satu variabel, penulisan fungsi dapat diperjelas
dengan menuliskan variabel-variabelnya dalam kurung, misal V merupakan
fungsi dari x, y, dan z, dapat dituliskan V=f (x , y , z ) atau V (x , y , z ). Secara
umum dapat dituliskan fungsi n variabel sebagai
u=f (x1 , x2 …, xn) (5.1)
Contoh fungsi banyak variabel misalnya fungsi gelombang yakni
y ( x , t )=A sin(kx−ωt )
Atau misalkan tabung yang direbahkan di bidang datar lalu diisi air, maka
fungsi volum terhadap jejari tabung (r), panjang tabung (l), dan ketinggian air (t)
ialah
V (r , l ,t )=l×2 π−2(cos−1 t−r
r )2π
π r2+(t−r)r sin(cos−1 t−rr )
Dan beragam fungsi lainnya lagi. Jika digambarkan dalam grafik, fungsi
satu variabel dapat digambarkan dalam dua dimensi, yakni satu sumbu untuk
variabel dan satu sumbu untuk hasil fungsi. Untuk fungsi dua variabel butuh
ruang tiga dimensi untuk menggambarkannya, yakni dua sumbu untuk variabel
125
2
2 Y2
X
dan satu sumbu untuk hasil fungsi. Demikian seterusnya fungsi n variabel hanya
dapat digambarkan dalam n + 1 dimensi. Namun demikian gambar grafik tiga
dimensi dapat diproyeksikan agar dapat digambarkan di atas kertas.
Contoh:
1. Gambarkan grafik fungsi z=f (x , y )=x−2 y+3!
Jawab:
Jika x = 0 dan z = 0, y=1,5
Jika y = 0 dan z = 0, x=−3
Jika x = 0 dan y = 0, z=3
Grafiknya dalam proyeksi
2. Gambarkanlah grafik dari fungsi z=√4−x2− y2
Jawab:
Fungsi z=√4−x2− y2 tidak lain adalah persamaan [permukaan] bola berjejari 2,
x2+ y2+z2=4, sehingga grafiknya seperti berikut ini.
126
2. Turunan Parsial
2.1. Definisi Turunan Parsial
Dari pembahasan pada subbab 1, diketahui fungsi dua variabel,
misalkan f (x , y ) memiliki dua variabel. Lalu apa makna dari turunannya?
bagaimana cara kita menurunkannya? Tentunya karena memiliki dua
variabel, ada dua kemungkinan turunannya yakni terhadap x dan terhadap
y. Turunan parsial fungsi f terhadap x di setiap titik (x,y) dinotasikan dengan
D x didefinisikan sebagai:
D x f ( x , y )= lim∆ x→ 0
f ( x+∆ x , y )−f (x , y )∆ x
(5.2)
Apabila limitnya ada. Dengan cara yang sama turunan parsial fungsi f
terhadap y di setiap titik (x,y) dinotasikan dengan D y didefinisikan sebagai:
D y f ( x , y )= lim∆ y → 0
f ( x , y+∆ y )−f (x , y)∆ y
(5.3)
Apabila limitnya ada. Selain notasi di atas, beberapa notasi yang sering
digunakan untuk menyatakan turunan parsial misal untuk z=f (x , y ) antara
lain
D x f ( x , y )=∂x f (x , y )= f , x ( x , y )=∂ f∂ x
=∂ z∂ x
D y f ( x , y )=∂y f ( x , y )=f , y (x , y )= ∂ f∂ y
= ∂ z∂ y
Dalam ilmu matematika biasanya lebih banyak digunakan notasi
D x f ( x , y ) dan f , x ( x , y ) yang lebih ringkas, sedangkan dalam fisika dan ilmu
terapan lain lebih banyak digunakan notasi Leibniz ∂ f∂ x
atau ∂ z∂ x
yang
penulisannya lebih ribet (sebaiknya tidak digunakan jika tinta pulpen
hampir habis) tetapi maknanya lebih kentara apalagi jika sudah berkaitan
dengan persamaan diferensial yang rumitnya bikin pusing.
2.2. Turunan Parsial n Variabel
Telah diberikan penjelasan pada bagian 2.1. mengenai turunan parsial
pada fungsi dua variabel. Tentunya untuk fungsi lebih dari dua variabel (n
127
variabel) dapat dikenakan hal yang sama. Andaikan diberikan fungsi n
variabel dari x1, x2, x3, …, xn dengan persamaan
u=f (x1 , x2 , x3 , …, xn)
Bila turunan-turunan parsialnya ada, turunan-turunan parsialnya
diberikan oleh
∂u∂ x1
=f , x1 ,∂ u∂ x2
=f , x2 ,∂ u∂ x3
=f ,x 3 ,…,∂ u∂ xn
=f , xn (5.4)
Jadi, untuk fungsi tiga variabel dari x, y, z, yang persamaan fungsinya
diberikan oleh
u=f (x , y , z )
Maka turunan-turunan parsialnya adalah
∂ u∂ x
= f , x ,∂ u∂ y
=f , y ,∂ u∂ z
= f , z
Untuk menghitung fungsi turunan parsialnya dapat digunakan metode
yang telah dibahas pada bagian 2.1. Misalkan turunan parsial terhadap x
yakni f , x, maka variabel y dan z dianggap sebagai konstanta. Demikian pula
f , y dan f , z dapat diperoleh dengan cara serupa.
2.3. Turunan Parsial Orde Tinggi
Seperti halnya turunan fungsi satu variabel, turunan parsial fungsi n
variabel juga dapat diturunkan beberapa kali (turunan orde tinggi).
Misalkan fungsi u=f (x , y , z ) dapat diturunkan parsial terhadap x, y, dan z,
maka f , x , f , y dan f , z merupakan turunan parsial orde pertama. Bila f , x , f , y
dan f , z masih dapat diturunkan lagi (terhadap variabel yang sama atau
berbeda), semisal f , xx atau f , yz, maka f , xx dan f , yz disebut turunan parsial
orde dua.
u, xx=f , xx=∂
∂ x ( ∂u∂ x )=∂2u
∂ x2
u, yz=f , yz=∂∂ z ( ∂u
∂ y )= ∂2 u∂ y ∂ z
128
u, xyz=f , xyz=∂
∂ z { ∂∂ z ( ∂ u
∂ y )}= ∂3 u∂ x∂ y ∂ z
dan seterusnya…
Proses demikian tidak lain merupakan proses menurunkan fungsi
secara parsial berturut-turut terhadap variabel-variabel yang dimaksud.
3. Aturan Rantai Fungsi Implisit
3.1. Aturan Rantai I
Kita telah membahas aturan rantai pada bab 3, yakni pada bagian
turunan fungsi komposisi satu variabel. Jika fungsi z merupakan fungsi dua
variabel, z=f (x , y ) yang mempunyai turunan parsial ∂ z∂ x
dan ∂ z∂ x
, di mana x
dan y sendiri dapat dinyatakan sebagai fungsi satu variabel x=x (t) dan
y= y (t) maka z=F (t) dapat didiferensialkan terhadap t, yang diberikan
oleh
dzdt
=∂ z∂ x
dxdt
+ ∂ z∂ y
dydt
(5.5)
Mengingat x dan y sama-sama merupakan fungsi dari t, maka biasanya
aturan rantai ini dapat dituliskan menjadi
dz= ∂ z∂ x
dx+ ∂ z∂ y
dy (5.6)
Aturan rantai jenis pertama ini berlaku pula untuk z fungsi lebih dari
dua variabel.
3.2. Aturan Rantai II
Pada bagian 3.1. telah dielaskan aturan rantai bila sub-fungsi dari
fungsi n-variabel (dalam kasus sebelumnya ialah fungsi x(t) dan y(t))
merupakan fungsi satu variabel. Bagaimana bila sub-fungsinya juga
memiliki lebih dari satu variabel? Andaikan fungsi fungsi z merupakan
fungsi dua variabel, z=f (x , y ) mempunyai turunan parsial ∂ z∂ x
dan ∂ z∂ x
, di
129
mana x dan y sendiri merupakan fungsi dua variabel x=x (r , t) dan
y= y (r ,t ) yang juga memiliki turunan parsial pertama di (r,t), maka
z=F (r , t) dapat didiferensialkan secara parsial terhadap r dan t yang
diberikan oleh
∂ z∂ r
= ∂ z∂ x
∂ x∂ r
+ ∂ z∂ y
∂ y∂ r
(5.7)
∂ z∂ t
= ∂ z∂ x
∂ x∂ t
+ ∂ z∂ y
∂ y∂t
(5.8)
Rumus aturan rantai ke-dua di atas juga dapat dikembangkan untuk
fungsi n variabel, di mana masing-masing variabel bebasnya (sub-fungsi)
juga merupakan fungsi m variabel.
3.3. Aturan Rantai pada Fungsi Implisit
Telah dibahas pada bab 3, fungsi implisit merupakan fungsi yang tidak
dapat dinyatakan dalam bentuk y=f (x ) dan di sini akan diperjelas. Dari
bentuknya, fungsi implisit satu variabel (misal y fungsi dari x) dapat
dipandang sebagai fungsi dua variabel dalam bentuk F ( x , y )=0. Ambillah
fungsi implisit x y3+x2=4 y , dapat kita bentuk F ( x , y )=0 sebagai
x y3+x2−4 y=0. Dengan demikian dapat digunakan aturan rantai jenis
pertama
∂ F∂ x
dxdx
+ ∂ F∂ y
dydx
=d (0 )dx
(5.9)
Mengingat dxdx
=1, maka dihasilkan rumus:
dydx
=−∂ F /∂ x∂ F /∂ y
(5.10)
Atau bila dianggap x fungsi dari y dihasilkan rumus:
dxdy
=−∂ F /∂ y∂ F /∂ x
(5.11)
Contoh:
130
1. Diketahui u=x2 y+ y2 z−z2 x, dengan x=t , y=t2, dan z=t 3. Tentukanlah dudt
sebagai fungsi t!
Jawab:
Setelah dicari, diperoleh:
∂ u∂ r
=2 xy−z2,
∂u∂ y
=x2+2 yz, ∂ u∂ z
= y2+2 xz
dxdt
=1, dydt
=2 t, dzdt
=3 t2
Dengan menerapkan aturan rantai pertama dihasilkan
dudt
¿ ∂ u∂ x
dxdt
+ ∂ u∂ y
dydt
+ ∂u∂ z
dzdt
¿ {2 (t ) ( t2 )−(t3 )2} (1 )+ {t 2+2 (t 2 ) ( t3 )} (2 t )+ {(t2)2+2 ( t ) ( t3 )} (3 t )2
¿ (2 t3−t6 )+ (2t 3+4 t6 )+( 3 t6−6 t6 )
¿4 t3
2. Jarak antara dua titik di bidang datar 2 dimensi (R2) diberikan oleh rumus
Pythagoras, r2=x2+ y2, sehingga elemen garis dalam koordinat kartesian
mengambil bentuk ds2=dx2+dy2. Carilah persamaan elemen garis dalam
koordinat polar!
Jawab:
Jika dilakukan transformasi koordinat kartesian (x,y) ke dalam koordinat polar
(r,θ), diperoleh kaitan:
x=r cosθ
y=rsin θ
Dengan menggunakan aturan rantai I
ds2=dx2+dy2={( ∂ x∂ r )
2
dr2+( ∂ x∂θ )
2
dθ2}+{( ∂ y∂ r )
2
dr2+( ∂ y∂θ )
2
dθ2}ds2={( ∂ x
∂ r )2
+( ∂ y∂r )
2}dr2+{( ∂ x∂ θ )
2
+( ∂ y∂θ )
2}dθ2
131
Dengan mudah didapatkan nilai ∂ x∂r
=cos θ, ∂ x∂ θ
=−rsin θ, ∂ y∂ r
=sin θ, ∂ x∂ θ
=r cosθ .
Bila disubstitusi pada persamaan di atas diperoleh
ds2={cos2θ+sin2 θ }dr2+{r2 sin2 θ+r2 cos2 θ }dθ2
Mengingat relasi trigonometri cos2θ+sin2θ=1, maka elemen garis dalam
koordinat polar dua dimensi ialah
ds2=dr 2+r 2dθ2
3. Diketahui u=ln √x2+ y2, dengan x=r e t dan y=r e−t . Tentukanlah ∂ u∂ r
dan ∂ u∂ t
!
Jawab:
Diperoleh ∂ u∂ x
= x
x2+ y2 dan ∂u∂ y
= y
x2+ y2 , serta
∂ x∂r
=et,
∂ x∂ t
=r e t,
∂ y∂ r
=e−t, dan
∂ x∂ t
=−r e−t
Mengingat aturan rantai II
∂ u∂ r
=∂u∂ x
∂ x∂ r
+ ∂ u∂ y
∂ y∂ r
∂ u∂ t
=∂u∂ x
∂ x∂t
+ ∂ u∂ y
∂ y∂ t
diperoleh:
∂ u∂ r
= xx2+ y2 e t+ y
x2+ y2 e−t= x et+ y e−t
x2+ y2 e t
∂ u∂ t
= xx2+ y2 r e t+ y
x2+ y2 (−ℜ¿¿−t)=r ( xe t− y e−t )
x2+ y2 et ¿
4. Misalkan fungsi f ( x , y , z )=x2 e y+z− y cos(x−z)=0 mendefinisikan z secara
implisit sebagai fungsi x dan y. Tentukanlah ∂ z∂ x
dan ∂ z∂ y
!
Jawab:
Pandang f ( x , y , z ) sebagai F (x , y ).
∂ z∂ x
=−∂ F /∂ x∂ F /∂ z
=2x e y+ z+ y sin(x−z )x2e y+ z− y sin (x−z)
132
∂ z∂ y
=−∂ F /∂ y∂ F /∂ z
=x2e y+ z−cos(x−z)
x2 e y+z− y sin(x−z )
4. Diferensial Total dan Hampiran
Andaikan u=f (x , y) adalah fungsi yang dapat dideferensialkan di (x , y ),
dan andaikan pula dx dan dy adalah variabel yang menyatakan perubahan nilai
variabel bebas x dan y. Diferensial total dari variabel terikat u ditulis du
didefinisikan sebagai
du=∂ u∂ x
dx+ ∂ u∂ y
dy (5.12)
Sekarang kita akan berbicara tentang perubahan nilai fungsi (misal untuk
fungsi dua peubah) bila variabel x dan y mengalami perubahan masing-masing
sebesar ∆ x dan ∆ y . Dengan demikian, perubahan nilai u yang bersesuaian
dengan perubahan nilai ∆ x dan ∆ y tadi ialah
∆ u=∆ f (x0 , y0)=f ( x0+∆ x , y0+∆ y )−f ( x0, y0 ) (5.13)
133
Kasus:
Mencari Lokasi Harta KarunPada suatu hari, Ambo menemukan amplop berisi kertas tua di lemari peninggalan kakeknya. Ternyata kertas itu berisikan petunjuk mengenai harta karun! Tetapi pada kertas itu hanya tertera deretan angka sebagai berikut.
Setelah meneliti sejenak, Ambo menemukan di bagian dalam amplop tertulis simbol-simbol aneh bin nggak jelas seperti berikut:
u=∂x ( y3+2 x) ;∫u dx⟹2=7Tolong bantulah Ambo memecahkan misteri ini untuk menemukan lokasi harta karun. Ia mungkin akan membagi hartanya denganmu!
Nah, di sini akan ditunjukkan hubungan antara perubahan nilai fungsi
dengan diferensial total fungsi itu. Bila ∆ x dan ∆ y cukup kecil, maka dipenuhi
hubungan
u ( x+∆ x , y )+u ( x , y+∆ y )≅ u (x+∆ x , y+∆ y )+u ( x , y ) (5.14.a)
Hal ini dengan mudah dibuktikan kebenarannya bila kita menggunakan
fungsi polinomial, semisal u=a xm+b yn. Mengingat untuk α ≪ ,(α+β )m≈ αm+βm.
Persamaan 5.14.a di atas dapat kita ubah bentuknya menjadi
u ( x+∆ x , y+∆ y )−u ( x , y ) ≅ u ( x+∆ x , y )−u ( x , y )+u ( x , y+∆ y )−u ( x , y )
∆ u ≅u ( x+∆ x , y )−u ( x , y )
∆ x∆ x+
u (x , y+∆ y )−u ( x , y )∆ y
∆ y
∆ u ≅ ∂ u∂ x
∆ x+ ∂u∂ y
∆ y (5.14.b)
Dapat disaksikan bahwa perubahan nilai fungsi ∆ u bisa didekati
menggunakan diferensial total selama perubahan nilai variabel-variabel
bebasnya (dalam hal ini ∆ x dan ∆ y) cukup kecil, sehingga dapat didekati
dengan dx dan dy (Ingatlah kembali definisi turunan, yaitu perubahan nilai
fungsi dalam selang ∆ x ,∆ y →0).
du ≈ ∆ f (x0 , y0)≈∂ f (x0 , y0)
∂ x∆ x+
∂ f (x0, y0)∂ y
∆ y
Seandainya ∆ x dan ∆ y cukup kecil, maka nilai ini dapat menggantikan dx
dan dy dengan hasil yang cukup mendekati.
Untuk memahami diferensial total sebagai hampiran lebih jauh, mari
perhatikan contoh berikut. Misalkan z=f (x , y )=2 x3−x y2+3 y . Hitunglah ∆ z dan
dz bila ( x , y ) berubah dari (2,3) ke (2,01, 3,02).
∆ z ¿ f ( x0+∆ x , y0+∆ y )−f ( x0 , y0 )=f (2,01,3,02 )−f (2 ,3 )
¿ {2 (2,01 )3−(2,01 ) (3,02 )2+3(3,02)}− {2 (2 )3−(2 ) (3 )2+3(3)}¿−0,030802
Jika kita turunkan z secara parsial diperoleh ∂ z∂ x
=6 x2− y2 dan
∂ z∂ y
=−2 xy+3, sehingga
134
dz ≈∂ z∂ x
∆ x+ ∂ z∂ y
∆ y={6 (2 )2−(3 )2 }(0,01)+{−2 (2 ) (3 )+3 }(0,02)
≈−0,03
Diperoleh bahwa dz merupakan hampiran yang cukup baik untuk ∆ z.
Camkanlah sekali lagi perhitungan hampiran ini hanya berguna untuk
perubahan nilai yang kecil. Semakin besar perubahannya, semakin besar pula
galat yang diperoleh.
Contoh:
1. Seandainya Anda perlu mengetahui nilai √4,5 dan √26, tetapi Anda lupa
membawa kalkulator (atau mungkin tidak tahu cara menggunakan kalkulator
ilmiah). Bagaimanakah cara untuk mendapatkan hampiran nilai √4,5 dan √26?
Jawab:
Kita dapat menuliskan persamaannya sebagai y=√x=x12 . Bila dipandang x
berubah dari 4 ke 4,5 (dx = 0,5) maka y berubah dari √4 ke √4+dy (4 dan 25 kita
pilih sebagai x0 karena telah diketahui dengan pasti akarnya).
dydx
=12
x−12 atau dy= 1
2√ xdx.
dy= 12√4
(0,5 )=18
Jadi √4,5 ≈√4+dy=2,125
Dengan cara yang serupa diperoleh
√26 ≈√25+ 12√25
(1 )=5,1
Jika dibandingkan dengan nilai yang diperoleh dari kalkulator, √4,5=2,1213 …
dan √26=5,0990 … .
Perhatikan rumus hampiran √ x+ 1
2√ x(∆ x ) merupakan dua suku pertama dari
ekspansi binomial √ x+∆ x.
( x+∆ x )12=x
12+ 1
2x
−12 ∆ x+
( 12 )(−1
2 )2 !
x−3
2 (∆ x )2+…
Well, banyak jalan menuju Roma…
135
2. Acok ditugaskan oleh guru matematikanya membuat balok dari karton dengan
ukuran panjang 20 cm, lebar 15 cm, dan tinggi 10 cm. Jika penggaris yang
digunakan Acok untuk mengukur memiliki nilai skala terkecil 1 mm, hitunglah
volume balok yang dibuat Acok dan kesalahan terbesar yang mungkin. Jangan
lupa laporkan pada pak satpam penulisan ilmiah dari hasil pengukuran Anda.
Jawab:
Volume balok dapat dinyatakan dalam fungsi tiga variabel V=xyz . Dengan
demikian, volume balok (tanpa galat) adalah V= (20 ) (15 ) (10 )=3000cm3.
Kesalahan pengukuran volume terjadi karena kesalahan pengukuran panjang,
lebar, dan tinggi, yakni lebih kurang setengah dari nilai skala terkecil
|∆ x|,|∆ x|,|∆ x|≤ 0,5 mm. Kesalahan pengukuran maksimumnya ialah:
du ≈∂ V∂ x
∆ x+ ∂ V∂ y
∆ y+ ∂ V∂ z
∆ z= yz ∆ x+xz ∆ y+xy ∆ z
du≈ (15 ) (10 ) (0,05 )+(20 ) (10 ) (0,05 )+(20 ) (15 ) (0,05 )=32,5 cm3
Kesalahan relatifnya ialah ±32,53000
=±1,08 %. Dengan demikian, dapat kita
laporkan pada pak satpam volume balok tadi ialah V= (3000± 32,5 ) cm3.
5. Gradien dan Turunan Berarah
5.1. Gradien
136
Problem:
Ketidakpastian pengukuran
Hitung ketidakpastian maksimum hambatan total dari dua resistor yang disusun paralel, di mana R1=100 Ω dan R1=200 Ω, dengan toleransi kedua resistor masing-masing 5%.Petunjuk:Rumus hambatan total untuk rangkaian resistor yang disusun paralel adalah1R
= 1R1
+ 1R2
+…+ 1Rn
Misalkan f (x , y ) adalah fungsi dua variabel x dan y , dan mempunyai
turunan-turunan parsial f , x ( x , y ) dan f , y (x , y), maka gradien f yang
dinyatakan dengan ∇ f (x , y) = grad f (baca: del f ) didefinisikan sebagai
berikut
∇ f ( x , y )=f x ( x , y )i+f y ( x , y ) j
Dimana i = <1,0> dan j = <0,1> masing-masing menyatakan vektor
satuan yang searah sumbu x dan sumbu y .
Demikian pula dengan fungsi tiga variabel, misalkan f (x , y , z) adalah
fungsi tiga variabel dari x, y , dan z, dan mempunyai turunan-turunan
parsial f , x ( x , y , z ), f , y ( x , y , z ), dan f , z (x , y , z ), maka gradien f yang
dinyatakan dengan ∇ f (x , y , z ) = grad f didefinisikan sebagai berikut
∇ f ( x , y , z )=f x ( x , y , z ) i+ f y ( x , y , z ) j+ f z ( x , y , z ) k
Dimana i = <1,0,0>, j = <0,1,0>, dan k = <0,0,1> masing-masing
menyatakan vektor satuan yang searah sumbu x, sumbu y , dan sumbu z.
Dengan notasi diferensial
∇= ∂∂ x
i+ ∂∂ y
j+ ∂∂ z
k
Gradien f menjadi
∇ f ( x , y , z )=∇ • f ( x , y , z ) ∇ f ( x , y , z )=∂ f
∂ xi+ ∂ f
∂ yj+ ∂ f
∂ zk (5.15)
Contoh:
1. Jika f ( x , y )=3 x2 y+2 x y3, hitunglah gradien f di titik (-1,2)
Jawab:
Dari f ( x , y )=3 x2 y+2 x y3, diperoleh:
f , x ( x , y )=6 xy+6 y2 f , y ( x , y )=3x2+4 x y2
Menurut definisi gradien f di sembarang titik diberikan oleh
∇ f ( x , y )= (6 xy+6 y2 )i+(3 x2+4 x y2 ) j
Sehingga gradien f di titik (-1,2) diberikan oleh
137
∇ f (−1,2 )=[6 (−1 ) (2 )+6 (2)2 ] i+ [3(−1)2+4 (−1)(2)2 ] j=12 i−13 j
5.2. Turunan Berarah
Misalkan x dan y adalah fungsi dua variabel dari x dan y , dan
mempunyai turunan parsial f , x( x , y ) dan f , y (x , y). Misalkan pula P(x , y)
titik di R2, dan u=u1i+u2 j adalah sebuah vektor satuan. Maka turunan
berarah f di titik P(x , y) dalam arah vektor u ditulis Du f (x , y)
didefinisikan oleh
Du f ( x , y ) ¿u •∇ f ( x , y )
¿(u¿¿1i+u2 j)• ¿¿
¿u1 f , x ( x , y )+u2 f , y (x , y )
Misalkan x, y dan z adalah fungsi tiga variabel dari x, y dan z, dan
mempunyai turunan parsial f , x( x , y , z ), f , y (x , y , z ) danf , z(x , y , z). Misalkan
pula P(x , y , z) titik di R3, dan u=u1i+u2 j+u3 k adalah sebuah vektor satuan.
Maka turunan berarah f di titik P(x , y , z) dalam arah vektor u ditulis
Du f (x , y , z ) didefinisikan oleh
Du f ( x , y , z ) ¿u •∇ f ( x , y , z )
¿(u¿¿1i+u2 j+u3 k )•( f , x ( x , y , z ) i+ f , y ( x , y , z ) j+ f , z( x , y , z )k)¿
¿u1 f x ( x , y , z )+u2 f y ( x , y , z )+u3 f z( x , y , z )
138
Bab 6 Aplikasi Turunan dan Integral
1. Aplikasi Turunan
Beberapa contoh aplikasi turunan ialah untuk menghitung kecepatan dan
percepatan sesaat, limit fungsi yang menghasilkan bentuk tak tentu, masalah-
masalah ekstremum dan lain-lain.
1.1. Kecepatan dan Percepatan Sesaat
Misalkan bahwa benda P bergerak sepanjang lintasan yang
berbentuk garis lurus. Gerak benda demikian disebut sebagai gerak lurus.
Ketika t detik, benda P menempuh panjang lintasan (juga disebut jarak) s
meter terhadap titik asal O. Panjang lintasan s dapat dinyatakan dalam
fungsi waktu t sebagai s=f (t ), seperti diperlihatkan pada gambar di bawah
ini.
s=f (t )
O
139
Titik acuan t detik
t=0
Gambar 6.1.
Penting untuk diketahui bahwa meskipun benda bergerak sepanjang
lintasan garis lurus tetapi s=f (t ) tidaklah harus berbentuk linear.
Misalkan pada waktu t detik, benda P berada pada f (t). Setelah ∆ t
detik kemudian, yaitu pada (t +∆ t) detik, benda P berada pada f (t+∆ t).
Dengan adanya pertambahan waktu sebesar ∆ t akan mengakibatkan
pertambahan panjang lintasan sebesar ∆ s, dan pertambahan panjang
lintasan itu ditentukan oleh ∆ s=f (t +∆ t )−f (t). Masalah ini dapat
divisualisasikan melalui gambar berikut ini.
Pertambahan panjang lintasan
∆ s=f (t +∆ t )−f (t)
Pertambahan waktu
Gambar 6.2.
Kecepatan
Kecepatan rata-rata gerak benda P dalam interval waktu ∆ t detik
ditentukan oleh
Δ sΔt
=f (t+∆ t )−f (t)
∆ t
Kecepatan sesaat gerak benda P pada waktu t detik diperoleh dari
proses pelimitan kecepatan rata-rata ketika ∆ t mendekati nilai nol.
Dengan demikian, kecepatan sesaat itu ditentukan dengan proses
limit sebagai
140
t (t +∆ t)∆ t
lim∆t →0
Δ sΔt
= lim∆t → 0
f (t+∆ t )−f ( t)∆t
=dsdt
=dfdt
Kecepatan gerak dari suatu benda biasanya dilambangkan dengan
v (t) dalam satuan m/detik, sehingga hubungan antara panjang lintasan dan
kecepatan dapat dituliskan sebagai berikut.
v (t )=dsdt
(6.1)
Hubungan di atas menunjukkan bahwa kecepatan gerak dari sebuah
benda merupakan turunan pertama dari panjang lintasan s terhadap
waktu t . Dengan perkataan lain, kecepatan sesaat adalah laju perubahan
panjang lintasan s terhadap waktu t . Besar atau nilai skalar dari kecepatan
pada waktu t detik disebut laju dan laju dideefinisikan sebagai nilai mutlak
kecepatan. Jadi,
Laju pada waktu t=|v (t)|=|dsdt |
Berdasarkan teorema fungsi naik, fungsi turun, dan fungsi stasioner,
tingkah laku lintasan s (bertambah, berkurang, atau tetap) dapat diamati
dengan memeriksa tanda-tanda dari v (t) (positif, negatif, atau nol) dalam
suatu interval waktu tertentu. Hubungan tingkah laku s dengan v (t) dapat
diungkapkan sebagai berikut.
Misalkan panjang lintasan s sebagai fungsi waktu t ditentukan oleh
s=f (t ) dalam interval waktu t dan v (t )=dsdt
ada untuk setiap nilai t dalam
interval itu.
1. Jika v (t )=dsdt
>0 untuk t∈T , makas naik pada interval T
Arti fisis dari s naik adalah benda bergerak dengan bergerak dengan
nilai panjang lintasan s yang semakin bertambah.
2. Jika v (t )=dsdt
<0 untuk t∈T , maka s turun pada interval T
Arti fisis dari s turun adalah benda bergerak dengan bergerak dengan
nilai panjang lintasan s yang semakin berkurang.
141
3. Jika v (t )=dsdt
=0 untuk t∈T , maka s stasioner pada interval T
Arti fisis dari s stasioner adalah benda tidak bergerak atau diam
sesaat.
Percepatan
Misalkan bahwa kecepatan gerak dari sebuah benda juga merupakan
fungsi waktu atau v (t) berubah terhadap t . Laju perubahan kecepatan
terhadap waktu disebut percepatan dari gerak benda tersebut. Percepatan
pada waktu t detik biasanya dilambangkan dengan a (t) dengan satuan
m/detik2. Dengan demikian, hubungan antara percepatan dengan kecepatan
dan percepatan dengan panjang lintasan dapat ditentukan sebagai berikut.
a=dvdt
= ddt ( ds
dt )=d2 sdt 2 (6.2)
Hubungan di atas menunjukkan bahwa percepatan gerak benda
merupakan turunan pertama dari kecepatan v terhadap waktu t atau
turunan kedua dari panjang lintasan s terhadap waktu t.
Dengan menggunakan pemikiran yang sama seperti halnya dalam
hubungan tingkah laku s dengan v (t), hubungan tingkah laku kecepatan v
dengan percepatan a (t) dapat diungkapkan sebagai berikut.
Misalkan kecepatan v sebagai fungsi waktu tditentukan oleh v=v ( t)
dalam interval waktu T dan a (t )=dvdt
ada untuk setiap nilai tdalam interval
itu.
1. Jika a (t )=dvdt
>0 untuk t∈T , maka v naik dalam interval T
Arti fisis v naik adalah benda bergerak dengan nilai kecepatan v yang
semakin bertambah atau benda bergerak dipercepat.
2. Jika a (t )=dvdt
<0 untuk t∈T , maka v turun dalam interval T
Arti fisis v naik adalah benda bergerak dengan nilai kecepatan v yang
semakin berkurang atau benda bergerak diperlambat.
142
3. Jika a (t )=dvdt
−0 untuk t∈T , maka v stasioner dalam interval T
Arti fisis v naik adalah benda bergerak dengan nilai kecepatan v yang
tetap atau benda bergerak tidak dipercepat maupun diperlambat.
Selanjutnya, tingkah laku laju benda |v| dapat ditentukan dengan
mengamati tanda-tanda dari v dan a secara bersamaan sebagai berikut.
1. Jika v dan a bertanda sama (v<0 dan a<0 atau v>0 dana>0), maka laju
benda |v| naik atau bertambah.
2. Jika v dan a berlainan tanda (v<0 dan a>0 atau v>0 dana<0), maka laju
benda |v| turun atau berkurang.
1.2. Aturan l’Hopital
Turunan fungsi di suatu titik dapat diartikan sebagai gradien dari
suatu garis singgung pada kurva, kecepatan sesaat, percepatan dan lain
sebagainya. Turunan sebagai gradien garis sangat penting untuk dipahami
karena sebenarnya dari situlah konsep turunan berasal.
Di dalam kajian tentang limit, berlaku sebuah teorema yang
mengatakan sebagai berikut.
Jika limx →a
f ( x )=A dan limx →a
g ( x )=B, makalimx →a
f (x)g(x )
=limx →a
f (x )
limx → a
g(x )= A
B
Dengan catatan bahwa limx →a
g ( x )=B ≠ 0
Teorema tersebut menjadi tidak berlaku apabila limx →a
f ( x )=0 dan
limx →a
g ( x )=0 atau
limx →a
f ( x )=± ∞ dan limx →a
g ( x )=¿±∞ ¿
143
Jika limx →a
f ( x )=0 dan limx →a
g ( x )=0, maka bentuk limx → a
f (x)
limx → a
g(x ) disebut
bentuk tak-tentu 00
pada x=a. Sedangkan jika limx →a
f ( x )=± ∞ dan
limx →a
g ( x )=¿±∞ ¿, maka limx → a
f (x)
limx → a
g(x ) disebut bentuk tak-tentu
∞∞
pada x=a.
Dengan demikian, bentuk tak-tentu 00
dan ∞∞
dapat didefinisikan
sebagai berikut.
Misalkan f (x) dan g(x ) fungsi-fungsi yang mempunyai limit di seitar
x=a.
Jika limx →a
f ( x )=0 dan limx →a
g ( x )=0, maka bentuk limx →a
f (x)g(x ) dinamakan
bentuk tak-tentu 00
pada x=a.
Jika limx →a
f ( x )=± ∞ dan limx →a
g ( x )=¿±∞ ¿, maka bentuk limx →a
f (x)g(x ) dinamakan
bentuk tak-tentu ∞∞
pada x=a.
Cara menghitung bentuk tak-tentu dari limit fungsi, yaitu dengan
menggunakan teknik perhitungan manipulasi aljabar. Misalnya:
Limit fungsi aljabar yang berbentuk 00
, teknis perhitungannya dengan
menggunakan metode pemfaktoran.
Contoh:
limx →1
x2−1x−1
=limx →1
( x−1 )(x+1)( x−1)
=limx →1
(x+1 )=1+1=2
Limit fungsi trigonometri yang berbentuk 00
, teknis perhitungannya
dengan menggunakan manipulasi aljabar dan bantuan rumus.
Contoh:
144
limx →0
sin 3 xx
=limx→ 0
3sin 3 x
3 x=3 lim
x →0
sin 3 x3 x
=3 (1 )=3
Limit fungsi aljabar yang berbentuk ∞∞
, teknis perhitungannya dengan
menggunakan pembagian pangkat tertinggi dari penyebut.
Contoh:
limx→ ∞
3 x+12 x−4
=¿ limx →∞
3+ 1x
2−4x
=3+02−0
=32¿
Dalam subbab ini akan diperkenalkan teknik lain untuk menghitung
limit fungsi yang berbentuk tak tentu menggunakan bantuan turunan yang
dikenal sebagai Teorema L’Hôpital. Teorema ini pertama kali
diperkenalkan oleh seorang ahli matematika dari Perancis yang bernama
Guillaume Francois L’Hôpital (1661-1707).
145
Contoh:
Hitunglah limit-limit fungsi berikut ini.
a. limx →1
x2−1x−1
b. limx →0
sin 3 xx
c. limx→ ∞
3 x+12 x−4
Jawab:
a. Bentuk limx →1
x2−1x−1
merupakan bentuk tak-tentu 00
pada x=1
limx →1
x2−1x−1
= limx →1
2 x1
=2 (1 )=2
b. Bentuk limx →0
sin 3 xx
merupakan bentuk tak-tentu 00
pada x=0
limx →0
sin 3 xx
=limx→ 0
3 cos3 x1
=3 (1)
1=3
c. Bentuk limx→ ∞
3 x+12 x−4
merupakan bentuk tak-tentu ∞∞
pada x mendekati ∞
146
Teorema L’Hôpital:
Misalkan f (x) dan g(x ) adalah fungsi-fungsi yang diferensiabel pada setiap titik dalam interval terbuka I .
Jika g' (x)≠ 0 untuk setiap x≠ a pada I dan jika limx →a
f (x)g(x )
mempunyai bentuk tak-
tentu 00
atau ∞∞
pada x=a, maka
limx →a
f (x)g(x )
=limx→ a
f ' (x )g' (x)
Dengan catatan bahwa limx →a
f '(x )g' (x )
ada.
Dalam hal limx →a
f '(x )g' (x )
masih mempunyai bentuk tak-tentu, maka proses perhitungan
diteruskan dengan menggunakan turunan kedua limx →a
f (x)g(x )
=limx→ a
f ' ' (x)g' '( x)
, . . . ,
limx→ ∞
3 x+12 x−4
= limx →∞
32=3
2
1.3. Masalah Ekstremum Fungsi
Telah dibahas pada bab 3 mengenai ekstremum suatu fungsi. Titik
stasioner suatu fungsi y=f (x ) terdapat pada nilai x yang memenuhi
f ' ( x )=0Juga telah dibahas bahwa titik stasioner itu dapat berupa titik maksimum, titik minimum, atau sekadar titik belok. Menggunakan uji turunan ke-dua yang juga telah dibahas pada bab 3 diketahui1. Bila f ' ' ( x )>0, maka titik stasioner itu merupakan nilai minimum.2. Bila f ' ' ( x )<0, maka titik stasioner itu merupakan nilai maksimum.3. Bila f ' ' ( x )=0, maka titik stasioner itu bukan niai ekstrim.Berikutnya kita akan membahas nilai ekstrim suatu fungsi, yakni nilai maksimum atau nilai minimum suatu fungsi dalam selang lokal. Jika f ( x ) memiliki titik stasioner dalam suatu selang, maka pastilah titik stasioner itu merupakan nilai ekstrim (maksimum atau minimum). Adapun bila f ( x ) tidak memiliki titik stasioner, f ( x ) dapat saja memiliki nilai ekstrim dalam selang tertutup. Misalkan f ( x )=2 x+3 merupakan fungsi linear sehingga tidak punya titik stasioner. Tetapi bila kita memilih suatu selang tertutup [2,5], maka kita dapatkan nilai maksimum fungsi f ( x ) dalam selang [2,5] ialah f (5 )=13 dan titik minimumnya ialah f (2 )=7. Jadi dapat dikatakan 2 dan 5 ialah titik-titik kritis (minimum dan maksimum) dari fungsi f (x). Jadi bila f (a) merupakan nilai ekstrim dalam interval I, maka a 147
x
y
adalah titik kritisnya. Dengan demikian terdapat tiga kemungkinan titik-titik kritis itu yakni:1. Titik ujung dari selang I.2. Titik stasioner dari f (x), di mana f ' (a )=03. Titik singular dari f (x), di mana f ' (a) tidak ada.Dalam subbab ini akan ditunjukkan bagaimana menemukan nilai ekstrim (maksimum dan minimum) dan titik-titik kritis (titik yang memetakan nilai ektrim) suatu fungsi yang biasa (atau mungkin terkadang) muncul dalam kehidupan sehari-hari.Contoh, misalkan Pak Alejandro ingin memasang pagar kawat sepanjang 150 m berbentuk seperti pada gambar. Agar luas total daerah yang dipagari maksimum, tentukanlah panjang dan lebar kawat.
Syarat yang diberikan dalam permasalahan ini adalah panjang total kawat, yakni 2 x+3 y=150 m atau y=50−2
3x. Yang
ingin dimaksimalkan di sini adalah luas daerah yang dipagari, sehingga kita harus mancari fungsi dari luas yang tidak lain adalah:A=xy=x (50−2
3x)=50 x−2
3x2
Untuk memaksimalkan luas, x haruslah memenuhi A'=dAdx
=0.50−4
3x=0; x=37,5
148
Dan diperoleh pula y=50−23
(37,5 )=25. Luas maksimumnya A=xy=937,5 m2.
Contoh:
1. Jumlah dua bilangan sama dengan 40. Tentukanlah hasil kali bilangan itu yang
terbesar.
Jawab:
Misalkan bilangan-bilangan itu x dan y, sehingga x+ y=40 atau y=40−x
Misalkan hasil kali kedua bilangan itu u, maka u ( x )=x (40−x )=40 x−x2 dengan
0 ≤ x≤ 40. Nilai x maksimal jika u ' ( x )=0
40−2 x=0 atau x=20
Karena u' ' (20 )=−2 (negatif), maka menurut uji turunan ke-dua nilai ekstrim ini
ialah nilai maksimum. Akhirnya diperoleh u=xy=40 (20 )−20=400.
2. Sehelai karton berbentuk persegi dengan
panjang rusuk 9 cm. Pada keempat sudutnya
akan digunting persegi yang berukuran sama
sehingga membentuk sebuah jaring-jaring.
Selanjutnya karton tersebut dilipat sedemikian
rupa sehingga menghasilkan balok tanpa tutup
seperti pada gambar. Tentukanlah volume
kotak yang paling besar yang dapat dibuat.
Jawab:
Jika jaring-jaring itu dilipat, akan menghasilkan persegi panjang dangan panjang
dan lebar 9−2 x dan tinggi x, sehingga volume kotak dapat diberikan dalam
persamaan
V (x )=(9−2 x ) (9−2 x ) x=4 x3−36 x2+81 x
Dengan nilai x yang memenuhi berada dalam selang [0 ,92 ]. Syarat untuk
memaksimalkan atau meminimalkan V ialah mencari nilai x yang memenuhi
V ' (x )=0.
149
x
x
9 cm
9 cm
12 x2−72 x+81=0
3 (4 x2−24 x+27 )=0
3 (2 x−4 )(2 x−9)=0
Jadi diperoleh nilai ekstrim x=32
dan x=92
yang keduanya terletak dalam selang
[0 ,92 ]. Untuk mengetahui mana yang memberikan nilai maksimum, kita dapat
langsung menyubstitusikan nilai-nilai ekstri tadi atau kita dapat melakukan uji
turunan ke-dua.
V ' ' ( x )=24 x−72
Diperoleh untuk x=32
, V ' ' ( x )=−36 dan untuk x=92
V ' ' (x )=36. Dari teorema
sebelumnya diketahui ekstrim maksimum memiliki nilai turunan ke-dua < 0 pada
titik itu dan ekstrim minimum memiliki nilai turunan ke-dua > 0 pada titik itu.
Dengan demikian diperoleh nilai x yang dimaksud adalah x=32
, dan volumenya
V ( 32 )=54 cm3
2. Aplikasi Integral
Integral memiliki banyak aplikasi di berbagai bidang. Selain untuk
menentukan panjang kurva, luas daerah, dan volum benda putar seperti yang
telah dibahas sebelumnya, integral juga digunakan untuk menentukan pusat
massa benda, menghitung momen inersia, pemodelan pertumbuhan populasi,
dan banyak lagi. Berikut beberapa masalah-masalah fisika yang memerlukan
operasi integral.
2.1. Menentukan Pusat Massa Benda
Turunan fungsi di suatu titik dapat diartikan sebagai gradien dari
suatu garis singgung pada kurva, kecepatan sesaat, percepatan dan lain
sebagainya. Turunan sebagai gradien garis sangat penting untuk dipahami
karena sebenarnya dari situlah konsep turunan berasal.
150
Interaksi antar materi seringkali merupakan interaksi banyak titik
materi. Pada sistem banyak titik, selain terdapat gaya eksternal (Fe) juga
terdapat gaya internal (Fij) antar titik-titik dalam benda. Untuk itu
diperkenalkan pusat massa, di mana gaya aksi yang diberikan ke setiap titik
materi dipandang sama dengan gaya aksi yang diberikan pada pusat massa
suatu sistem materi tunggal. Contoh sederhananya saat kita melempar bola
ke atas, sebenarnya semua titik pada materi mendapatkan gaya aksi yang
besarnya kita sebut Fi. Namun akan lebih sederhana jika kita menganggap
bola itu sebagai satu titik materi saja, yakni pada pusat massanya.
Pusat massa suatu benda ialah titik di mana gaya internal pada
sistem massa sama dengan nol. Untuk benda simetris yang homogen, letak
pusat massa tentulah berada tepat di tengah-tengah benda. Lalu, bagaimana
untuk benda yang tidak simetris?
Ambillah persamaan gaya yang bekerja pada sistem banyak titik
∑i
F ie+∑
i∑j ≠i
F ij=d2
d t 2∑i
mir=F
Jika kita mengambil suatu titik di mana gaya internalnya nol,
diperoleh
d2
d t 2 ∑i
mi r i=∑i
F ie=Fe
Titik itu haruslah mewakili keseluruhan sistem secara makroskopis,
sehingga notasi sumasi di ruas kiri menjadi lenyap. Titik itulah yang kita
sebut sebagai pusat massa, yang berjarak R dari sembarang pemilihan
kerangka acuan.
∑i
mi r i=∑i
mi R
R=∑
i
mi r i
∑i
mi
= 1M
∑i
mi r i
Akhirnya diperoleh
Md2 Rd t2 =Fe
151
X
Y
Z
Di sini akan dibahas cara menentukan pusat massa benda homogen.
Pendekatannya dapat dilakukan dengan dua cara yaitu diskret dan kontinu.
Misal untuk gambar di bawah ini.
Jika kubus-kubus kecil penyusunnya memiliki rusuk 4 cm dan massa
m, di manakah letak pusat massa benda itu? Kita akan menghitungnya
bagian-demi bagian dan parameter demi parameter (x, y, z).
kubus pertama (paling kiri)
r1(x,y,z) = (2,2,2)
kubus ke-dua (tengah)
r2(x,y,z) = (2,6,2)
kubus ke-tiga (depan)
r3(x,y,z) = (6,6,2)
kubus ke-empat (atas)
r4(x,y,z) = (2,6,6)
Karena semua kubus kecil memiliki massa yang sama, m, maka pusat
massanya, R ialah:
R x=∑
i
mi r xi
∑i
mi
=2m+2 m+6 m+2mm+m+m+m
=3
R y=∑
i
mi r yi
∑i
mi
=2m+6m+6 m+6 mm+m+m+m
=5
152
Gambar 6.3. Bangun ruang yang tersusun dari empat kubus.
R z=∑
i
mir zi
∑i
mi
=2 m+2m+2 m+6 mm+m+m+m
=3
Akhirnya diperoleh R = (3,5,3).
Contoh tadi adalah untuk benda yang bisa didekati dengan metode
diskret. Bagaimana dengan pelat berbentuk segitiga siku-siku?
Gambar 6.4.
Untuk benda semacam ini kita dapat memecahnya menjadi segmen-
segmen kecil lalu dijumlahkan (jumlahan Riemann). Berbicara tentang
penjumlahan Riemann artinya kita akan bersinggungan dengan integral.
Dalam bentuk integral, persamaan pusat massa dapat dituliskan
R= 1M ∫r dm
Di mana dm ialah elemen massa, atau massa dari tiap-tiap segmen. Di
sini kita mendefinisikan massa jenis σ (massa per satuan luas), yakni σ=MA
. Karena luas segitiga di atas ialah ½ a.b, maka:
σ=2 Mab
→ M=σab2
Mengingat segitiga siku-siku dapat kita nyatakan dalam persamaan
garis y(x) = mx = bx/a, diperoleh luas tiap segmen yang berbentuk segi
empat (dA) tidak lain adalah dx × y(x) sehingga elemen massa
dm=σ dA=σ y ( x )dx
Sekarang kita sudah bisa memulai menghitung pusat massa segitiga.
153
R x=1M∫0
a
x dm
R x=1M∫0
a
x σ y ( x )dx
R x=1M∫0
a
x σba
x dx= σbaM
∫0
a
x2 dx
R x=σbaM [ x3
3 ]0
a
=σ a2 b3 M
Substitusi kembali M=σab2
, akhirnya diperoleh
R x=23
a
Akhirnya ketemu juga, tapi itu baru absisnya, belum ordinatnya. Cara
mencari Ry serupa, hanya saja Anda harus mengubah fungsinya menjadi x(y)
= ay/b. Perhatikan bahwa panjang segmen bukanlah x(y), melainkan
a−x ( y )=a(1− yb ), lalu integrasikan terhadap y, nanti akan diperoleh bentuk
R y=1M∫0
b
y d m
Ingatlah yang merupakan massa luasan segitiga bukanlah x ( y )
melainkan a−x ( y ), sehingga:
R y=1M
∫0
b
y σa(1− yb )dx=σa b2
6 M
Pada akhirnya pusat massanya ialah
R=( 23
a ,13
b)
2.2. Menentukan Momen Inersia Benda
Momen inersia atau momen kelembaman (I) merupakan besran fisis
yang menunjukkan kecenderungan benda untuk berputar. Momen inersia
analog dengan massa pada gerak translasi. Benda dengan momen inersia
kecil berarti benda itu mudah diputar, sebaliknya momen inersia besar
154
berarti benda itu sulit diputar (memerlukan gaya yang lebih besar untuk
mulai berputar). Mengingat ini buku matematika, maka penjelasan fisis
mengenai momen inersia tidak akan dibahas secara rinci di sini, dengan
demikian langsung saja dinyatakan momen inersia suatu partikel titik pada
suatu sumbu putar ialah:
I=m r2
Dengan m massa partikel dan r jarak partikel ke sumbu putar.
Jelaslah momen inersia benda bergantung terhadap massa dan jaraknya
terhadap sumbu putar. Tidak hanya itu, momen inersia merupakan tinjauan
setiap partikel dan jaraknya, sehingga untuk benda makroskopik (terdiri
dari banyak partikel), besarnya momen inersia dinyatakan dalam
I=∑i=1
n
mi ri2=∫
a
b
x2dm
Jadi momen inersia juga bergantung pada bentuk geometri benda.
Misalkan sebuah batang homogen dengan panjang L dan massa M akan
diputar dengan poros di ujung batang, berapakah momen inersianya?
Ingatlah bahwa tiap titik pada batang memiliki jarak yang berbeda
terhadap sumbu putar. Oleh karena itu kita iris-iris batang sejajar sumbu
putar setipis mungkin hingga tiap irisan memiliki ketebalan sebesar titik.
Dengan demikian diperoleh segmen-segmen dengan massa tiap segmen
sama, yakni dm (disebut juga elemen massa) dan jarak dari sumbu putar x i.
Gambar 6.5.
155
Mengingat jarak ke sumbu putar hanya bergantung terhadap sumbu
X, maka elemen sumbu Y dan Z dapat diabaikan sehingga dapat digunakan
definisi massa per satuan panjang, λ.
M=λ L dan dm=λ dx
I=∫0
L
x2dm
Substitusi nilai dm dengan λ dx agar dapat diintegralkan.
I=∫0
L
λ x2 dx=13
λ x3|x=0
x=L
=13
λ L3
Substitusi balik nilai M=λ L, sehingga diperoleh I=13
M L2.
Jadi telah kita dapatkan momen inersia batang homogen yang
diputar pada ujungnya. Bagaimana jika batang diputar dengan sumbu
melalui tengah batang? Caranya serupa, hanya bila pada kasus sumbu di
ujung batang kita integralkan dari x = 0 ke x = L, maka bila sumbu di tengah
batang kita integralkan dari x = -L/2 ke x = L/2.
I= ∫−L/2
L/2
λ x2 dx= 13
λ x3|−L/2
L/2
=13
λ {L3
8−(−L3
8 )}= 112
λ L3
Substitusikan lagi M=λ L, diperoleh I=112
M L2.
Gambar 6.6.
Contoh:
1. Carilah momen inersia cakram bermassa M dan jari-jari R yang diputar pada
sumbu tegak lurus penampangnya melalui pusat cakram.
156
Problem:
Momen Inersia Bola Pejal Homogen
Sebuah bola pejal (tidak berongga) homogen mempunyai massa M dan jari-jari R. Carilah momen inersia bola terhadap sumbu yang melalui pusat bola, misal sumbu Z.
Tips: Bola dapat dibelah-belah tegak lurus sumbu Z menjadi pelat-pelat dengan ketebalan menuju nol dan jejari .Momen inersia pelat homogen ialah sehingga momen inersia elemen pelat .
(Jawab: )
Teorema Sumbu Sejajar
Teorema sumbu sejajar menyatakan:“Momen inersia benda tegar terhadap sumbu yang sejajar dengan sumbu yang melalui pusat massa benda tegar adalah senilai dengan momen inersia terhadap sumbu yang melalui pusat massanya ditambah hasil kali antara massa benda dengan kuadrat jarak dari kedua sumbu sejajar itu (l)”.
Buktikanlah kebenaran teorema ini dan cari pula momen inersia bola pejal di atas bila sumbu putarnya digeser sejauh dari pusat bola.
Z
Y
y
z R
Jawab:
Bayangan cakram dibelah menjadi cincin-cincin konsentris (sepusat) dangan
ketebalan seragam dr dan jarak dari pusatnya ri. Anggap sumbu putar itu adalah
sumbu Z, massa cakram ialah
M=σA=σπ R2
Sekarang bayangkan cincin-cincin itu dibentangkan seperti pita, maka luas tiap
segmen ialah panjang kali lebarnya yakni dA=(2 πr )(dr ). Dengan demikian
elemen massanyadm=σ dA=σ 2 πr dr
I=∫0
R
r2 dm=∫0
R
r2 σ 2 πr dr= 24
σπ r 4|0
R
=12
σπ R4
Substitusi balik M=σπ R2, diperoleh I=12
M R2.
Catatan:
Mengapa elemen luas cincin bisa dimodelkan dengan pita persegi panjang ialah karena
lebar cincin yang sangat kecil, sehingga bisa diluruskan. Jika tetap digunakan rumus luas
segmen lingkaran diperoleh
d A i=π (ri+12−ri
2 )Mengingat ri+1=ri+dr , maka diperoleh ri+1
2−r i2=(ri+dr )2−ri
2=2 r i dr+dr 2. Karena dr
sangat kecil, maka 2 ri dr+dr2≅ 2 ri dr , sehingga elemen luasnya 2 π ri dr , hasil yang
sama dengan sebelumnya.
157
Bab 7 Deret Tak Hingga
1. Deret Tak Hingga
Sebelumnya perlu diberikan ulang definisi deret ialah jumlahan suku-
suku dengan pola(fungsi) tertentu. Jika suku ke-n dari deret dinyatakan dalam
un, maka jumlahan dari deret itu adalah:
158
Sn=∑n=0
m
un atau∑n=1
m+1
un (7.1)
Bentuk mana yang digunakan tergantung bagaimana suku dihitung,
apakah dimulai dari nol ataukah dari satu. Tidak ada ketentuan mana yang lebih
benar meskipun secara formal biasanya penghitungan dimulai dari suku
pertama. Tetapi Anda tidak boleh terlalu terobsesi dengan ketentuan seperti itu,
karena dalam beberapa bahasa pemrograman (seperti C++) melakukan
penghitungan mulai dari suku ke-0. Lagipula, keduanya tidak memiliki
perbedaan yang berarti.
Fungsi dari un dapat berbentuk apa saja. Yang paling sederhana ialah
fungsi un=a+bn (dengan a dan b konstanta) yang disebut deret aritmatika dan
fungsi un=a rn (dengan a dan r konstanta) yang disebut deret geometri.
Nah, sekarang saatnya kita beralih ke deret tak hingga. Misalkan suatu
bola ping-pong dijatuhkan dari ketinggian 1 meter dan terus memantul
setengah dari ketinggian sebelumnya. Panjang lintasan yang ditempuh oleh bola
ping-pong tadi dapat dituliskan dalam deret
x=1+ 12+ 1
4+ 1
8+ 1
16+…+ 1
2n
dengan n = 0, 1, 2, 3, .... Untuk meringkas penulisan, deret di atas dapat
dituliskan dalam bentuk notasi sumasi,
x=∑n=0
∞
( 12 )
n
Yang penting untuk diketahui ialah apakah x memiliki limit nilai tertentu
(konvergen) ataukah nilainya menjadi tak hingga akibat penjumlahan suku yang
tak hingga jumlahnya (divergen). Untuk itu, dapat dilakukan beberapa uji antara
lain uji deret geometri, uji limit, uji jumlah terbatas, uji integral, uji deret orde p,
dan uji hasil bagi mutlak.
1.1. Uji Deret Geometri
Untuk deret di atas misalnya, merupakan deret geometri yang
berbentuk
159
Sm=a+ar+ar2+a r3+…+a rm−1=∑n=0
m−1
a rn (7.2)
dengan a suatu konstanta, r rasio, n pangkat dari rasio yang
berkaitan dengan suku dari deret tersebut, dan Sm ialah jumlah dari deret
sebanyak m suku atau hingga suku ke-m–1 (dikurangi satu karena
penghitungan suku dimulai dari satu, sedangkan penghitungan rasio
dumulai dari 0). Jumlahan dari deret Sm dapat dicari dengan langkah
sebagai berikut.
Sm−r Sm=( a+ar+ar2+ar3+…+ar m−1 )−( ar+ar2+ar3+a r 3+…+a rm )
Sm(1−r )=a−arm
Sehingga diperoleh jumlahan deret geometri ialah
Sm= a1−r
− a rm
1−r=
a (1−r m )1−r
(7.3)
Perhatikan bila |r|≥ 1 maka limn → ∞
rn=∞ sehingga Sm → ±∞ untuk m →∞
, dengan kata lain Sm divergen. Sebaliknya bila |r|<1 maka limn → ∞
rn=0
sehingga Sm= a1−r
untuk m →∞, dengan kata lain Sm konvergen.
Nah, sekarang kita coba uji kekonvergenan deret x menggunakan uji
deret geometri. Dengan mudah ditentukan nilai a = 1 dan r = 1/2, sehingga
untuk m=∞ diperoleh
x= 1
1−12
=2
Dari hasil ini dapat diperoleh ketentuan kekonvergenan dari deret
geometri ialah
Jika |r|<1, maka ∑n=1
∞
un konvergen
Jika |r|≥ 1, maka ∑n=1
∞
un divergen
1.2. Uji Limit
160
Uji limit dapat digunakan untuk deret tak hingga yang dapat
diselesaikan dengan metode limit yakni:
Jika ∑n=1
∞
un konvergen, maka limn → ∞
un=0.
Jika limn → ∞
un ≠ 0, maka ∑n=1
∞
un divergen.
Misalkan ∑n=1
∞n2−23 n2+n
. Dengan melakukan uji limit diperoleh
limn → ∞
un= limn→ ∞
n2−23n2+n
=limn→ ∞
1− 2
n2
3+ 1n
=13
Dengan demikian ∑n=1
∞n2−23 n2+n
merupakan deret divergen.
Penting untuk dicamkan bahwa "jika ∑n=1
∞
un konvergen, maka
limn → ∞
un=0" tidak berarti "Jika limn → ∞
un=0, maka ∑n=1
∞
un konvergen". Artinya
meskipun limn → ∞
un=0 bisa saja deret itu divergen, tetapi suatu deret hanya
mungkin konvergen jika limn → ∞
un=0. Dengan demikian uji limit hanya sah
untuk membuktikan suatu deret adalah divergen dan tak dapat digunakan
untuk menyatakan suatu deret adaah konvergen.
1.3. Uji Jumlah Terbatas
Uji deret geometri dan uji limit merupakan beberapa pengujian yang
dapat dilakukan untuk mengetahui kekonvergenan suatu deret yang tidak
begitu rumit (rumit dalam artian tertentu). Beberapa deret tidak dapat diuji
dengan dua metode sebelumnya, namun tetap dapat kita ketahui
kekonvergenannya dengan uji jumlah terbatas. Uji jumlah terbatas ialah
pembandingan jumlahan suatu deret yang ingin diuji dengan deret lain
yang lebih mudah diuji kekonvergenannya. Untuk itu membuktikan suatu
deret konvergen mesti dipilih deret konvergen pembanding yang memiliki
161
jumlahan yang lebih besar untuk membuktikan deret yang diuji konvergen.
Sebaliknya untuk membuktikan deret yang dijuji divergen mestilah dipilih
deret divergen pembanding yang jumlahannya lebih kecil. Jadi patut dicatat
uji jumlah terbatas digunakan hanya untuk membuktikan suatu deret ialah
konvergen atau divergen, tetapi suatu deret yang belum terbukti
konvergen/divergen belum tentu divergen/konvergen. Contoh yang paling
umum dalam pengujian model ini ialah deret harmonik.
S=1+ 12+1
3+ 1
4+…=∑
n=1
∞1n
Jelas bahwa deret harmonik bukanlah deret geometri (tidak
memiliki rasio yang tetap) sehingga tidak dapat diuji dengan uji deret
konvergen. Jika dilakukan uji limit, meskipun sekilas terlihat bahwa nilai
limn → ∞
un=0, tetapi jika diuji maka nilai ∑n=1
m
un tidak memiliki limit di sembarang
titik (lihat kembali ketentuan uji limit). Jadi sampai di sini masih ada
keraguan apakah deret harmonik konvergen atau divergen. Nah, sekarang
mari kita lakukan uji jumlah terbatas.
Dipilih deret pembanding Z=1+12+ 1
2+ 1
2+ 1
2+… yang jelas
merupakan deret divergen. Jika deret Z ini dikembangkan, dapat berbentuk
seperti Z=1+12+( 1
4+ 1
4 )+( 18+ 1
8+ 1
8+ 1
8 )+( 116
+…+ 116 )+…. Sekarang mari
kita persamakan
S=1+ 12+1
3+ 1
4+ 1
5+ 1
6+ 1
7+ 1
8+ 1
9…>1+ 1
2+ 1
4+ 1
4+ 1
8+ 1
8+ 1
8+ 1
8+ 1
16+…
Jelas bahwa deret harmonik (S) memiliki jumlahan yang lebih besar
daripada deret Z. Mengingat Z sendiri divergen, maka jelaslah S juga
divergen.
1.4. Uji Integral
162
Uji integral menggunakan kaitan antara sumasi sigma dan integral
pada dasarnya ialah serupa (meskipun tak persis sama). Berikut ialah
ketentuan uji integral.
∑n=2
m
un≤∫1
∞
u ( x )dx ≤∑n=1
m−1
un
Misalkan f suatu fungsi kontinu, positif, dan tidak naik pada selang
[1, ∞ ] dan un=f (x ) untuk semua n bilangan bulat positif, maka deret tak
hingga ∑n=1
∞
un konvergen jika dan hanya jika ∫1
∞
f (x )dx konvergen. Dengan
kata lain bila luas daerah dibawah kurva un=f (x ) dalam selang ¿ berhingga,
maka deret itu konvergen. Sebaliknya bila luas daerah dibawah kurva tak
hingga, maka deret itu divergen.
Contoh dari deret ∑n=1
∞
e−n dapat diperoleh ∫1
∞
e−x dx=[−e− x+C ]1∞
.
Luasannya ialah (−e−∞ )−(−e−1 )=1e
, berhingga, sehingga deret ∑n=1
∞
e−n
konvergen.
1.5. Uji Deret Orde-p
Uji deret orde-p (atau dikenal juga dengan deret zeta Riemann)
merupakan generalisasi dari deret harmonik. Deret zeta Riemann
berbentuk
ζ (p)=∑n=1
∞
( 1n )
p
(7.4)
Jadi deret harmonik tidak lain ialah ζ (1) yang mana nilainya tak
hingga. Deret orde-p lainnya yang terkenal ialah deret Basel, tak lain ialah
ζ (2). Menurut teorema ini
Apabila p ≤1, maka deret-p adalah deret divergen.
Apabila p>1, maka deret-p adalah deret konvergen.
Seperti halnya uji deret geometri, uji deret-p juga dapat digunakan
dalam uji jumlah terbatas.
163
Contoh:
1. Periksalah apakah deret ∑n=1
∞2 n2+5
n3 konvergen atau divergen!
Jawab:
Deret di atas dapat kita pecah menjadi jumlahan dari dua deret yaitu
∑n=1
∞2n2+5
n3 =∑n=1
∞2n+∑
n=1
∞5n3
Perhatikan bahwa 2∑n=1
∞1n+5∑
n=1
∞1n3 >∑
n=1
∞1n
, padahal ∑n=1
∞1n
merupakan deret
harmonik yang divergen. Jadi dengan menggunakan uji jumlah terbatas dan uji
deret orde-p, jelas bahwa ∑n=1
∞2 n2+5
n3 juga divergen.
2. Periksalah apakah deret ∑x=1
∞
x e− x konvergen atau divergen!
Jawab:
Menggunakan uji integral, gunakan metode substitusi dengan u=x dan
dv=e−x dx.
∫1
∞
x e−x dx=[−e−x ( x+1 )+C ]1∞
Dengan menggunakan dalil l’Hopital diperoleh limx→ ∞
x+1
ex= lim
x →∞
1
e x=0.
Diperoleh luasan daerah di bawah kurva
0−(−e−1 (1+1 )+C )=2e
, berhingga, sehingga deret ∑x=1
∞
x e− x konvergen.
3. Tentukanlah apakah deret ∑i=0
∞
(−1)i konvergen atau divergen!
Jawab:
Sn=u0+u1+u2+u3+…+un=1−1+1−1+…+(−1 )n Jika diperhatikan, deret di atas merupakan deret berganti tanda, yang besar
mutlaknya sama (yakni 1). Deret yang berbentuk seperti ini biasa disebut deret
164
flip-flop. Jika suku-suku dalam deret tadi dijumlahkan, maka akan ada dua
kemungkinan yakni Sn=0 jika n = ganjil atau Sn=1 jika n = genap.
Tetapi semenjak n=∞, maka kita tak tahu n itu genap atau ganjil. Setidaknya dari
dua kemungkinan yang ada cukup untuk memastikan deret tersebut konvergen2.
1.6. Uji Hasil Bagi Mutlak
Uji hasil bagi mutlak serupa tapi tak sama dengan uji deret geometri,
keduanya sama-sama menguji rasio suatu deret, namun uji hasil bagi
mutlak ini lebih general. Menurut teorema ini, misalkan ∑n=0
∞
un suatu deret
yang suku-sukunya tidak nol, dan misalkan
limn → ∞
|un+1||un|
= ρ (7.5)
Jika ρ<1, maka deret konvergen
Jika ρ>1, maka deret divergen
Jika ρ=1, maka pengujian tidak dapat memberikan kepastian
2. Deret Pangkat
Sebelumnya kita telah menyinggung tentang deret geometri yang
berbentuk ∑n=0
∞
arn, jika deretnya tak hingga dengan r meupakan rasio dari deret.
Bila rasio itu tidak berbentuk bilangan, melainkan suatu variabel, maka deret
tadi dapat dinyatakan dalam
∑r=0
∞
C r ( x−a )r+q (7.6.a)
Jika dipilih a = q = 0, dapat dituliskan
∑r=0
∞
C r xr (7.6.b)
Deret seperti itu disebut juga deret pangkat (power series). Semua fungsi
dapat dinyatakan dalam deret pangkat, yakni2 Di sini digunakan fungsi satu variabel terhadap x, namun pemaknaan sesungguhnya berlaku untuk fungsi terhadap variabel apapun.
165
f ( x )=∑r=0
∞
Cr ( x−a )r+q
Ekspansi ke dalam bentuk deret ini dapat menggunakan deret Taylor-
Mac Laurin, deret Fourier (untuk fungsi periodik), dan deret Laurent (untuk
fungsi kompleks). Selanjutnya kita hanya akan membahas deret Taylor dan Mac
Laurin secara lebih mendalam pada subbab 3.
3. Deret Taylor dan Mac Laurin
Deret Taylor ialah deret pangkat yang berbentuk
∑n=0
∞ f n ( a )n !
(x−a)n (7.7)
dengan f n ( a ) adalah turunan ke-n dari f . Atau jika dituliskan bentuk
panjangnya
S=f (a)+ f '(a)(x−a)+f ' '(a)
2!(x−a)2+
f ' ' ' (a)3 !
(x−a)3+… (7.8)
Deret Mac Laurin tidak lain ialah deret Taylor dengan a = 0. Dengan
demikian dapat dituliskan formulasi deret Mac Laurin.
S=f (0 )+ f ' (0 ) x+f ' ' (0 )
2 !x2+
f ' ' ' (0 )3 !
x3+… (7.9)
Berikut beberapa deret Mac Laurin fungsi-fungsi yang sering digunakan.
ex=∑n=0
∞xn
n !=1+ x+ x2
2 !+ x3
3 !+ x4
4 !+… (7.10)
sin x=∑n=0
∞ (−1)n x2n+1
(2n+1 ) !=x− x3
3 !+ x5
5!− x7
7 !+… (7.11)
cos x=∑n=0
∞ (−1)n x2n
(2n )!=1− x2
2!+ x4
4 !− x6
6!+… (7.12)
sinh x=∑n=0
∞x2n+1
(2n+1 ) !=x+ x3
3 !+ x5
5 !+ x7
7 !+… (7.13)
cosh x=∑n=0
∞x2 n
(2 n )!=1+ x2
2 !+ x 4
4 !+ x6
6 !+… (7.14)
166
Deret Taylor dan Mac Laurin merupakan alat yang sangat penting dalam
bidang komputasional, karena umumnya dalam problem-problem tertentu
tidaklah perlu mengetahui bagaimana bentuk fungsi akhirnya, melainkan
berapa nilai akhirnya. Tentunya dengan script/algoritma yang sama, beragam
nilai awal bisa dimasukkan untuk memperoleh nilai akhir yang ingin diketahui,
jadi jelas bentuk fungsi akhirnya (biasa disebut solusi khusus) menjadi tidak
penting.
Nah, lalu apa perbedaan penggunaan antara deret Taylor dan deret Mac
Laurin? Pada dasarnya deret Mac Laurin adalah bentuk reduksi dari deret
Taylor dan memang tidak ada perbedaan yang signifikan kecuali deret Taylor
lebih teliti dibanding deret Mac Laurin (jika dilakukan pemotongan suku) dan
deret MacLaurin lebih sederhana sehingga lebih mudah dihitung. Perbedaan
ketelitian ini karena pada deret Taylor, nilai suatu fungsi di titik tertentu dapat
didekati dari sembarang titik, sedangkan pada deret MacLaurin nilai fungsi
pada satu titik selalu didekati dari nol.
Misalnya kita ingin menghitung nilai sin 0,26 π . Telah diketahui secara
pasti sin 0,25 π=12√2. Jadi kita dapat mencari nilai sin 0,26 π menggunakan deret
Taylor dengan titik awal pendekatan, a=0,25 π dan pemotongan hingga empat
suku misalnya, hasilnya akan lebih akurat dibanding menggunakan deret Mac
Laurin dengan pemotongan suku yang sama
4. Turunan dengan Bantuan Deret
Misalkan suatu fungsi f ( x )= sin xx
ingin dicari turunannya, maka kita
dapat mengembangkan sin x dalam bentuk deret sehingga:
f ( x )= sin xx
= xx− x3
3! x+ x5
5 ! x− x7
7 ! x+…
f ( x )=1− x2
3 !+ x4
5 !− x6
7 !+…
167
f '( x)=−2 x3!
+ 4 x3
5 !−6 x5
7 !+ 8 x7
9 !+…
f ' ( x )=−x3
+ x3
5 ×3 !− 6 x5
7 ×5 !+ x7
9× 7 !+…=∑
n=0
∞ (−1)n+1 x2n+1
(2 n+3)∙ (2 n+1 ) !
Cukup mudah kan?
Contoh:
1. Nyatakanlah fungsi f ( x )=1−xn
1−x dalam bentuk deret dan cari pula turunan fungsi
f ( x ) (juga dalam bentuk deret)!
Jawab:
1=( 1+x+x2+x3+…+xn−1 )−( x+x2+ x3+…+xn−1)
1= (1−x ) (1+x+x2+ x3+…+xn−1)+xn
1−xn
1−x=1+ x+x2+x3+…+xn−1
1−xn
1−x=∑
i=0
n−1
x i
Adapun turunannya dapat menggunakan turunan fungsi pembagi, namun di sini
akan dicari dalam bentuk deret.
f ( x )=1+x+x2+x3+…+xn−1
Dengan amat mudah diperoleh
f '( x)=1+2 x+3 x2+4 x3+…+(n−1)xn−2=∑i=0
n−2
(i+1) x i
168
Bab 8 Pengantar Persamaan Diferensial
1. Konsep Persamaan Diferensial
Saat kita ingin mempelajari persamaan diferensial (PD), pastinya kita
harus sudah memahami kalkulus diferensial. Di sini akan saya mulai dengan
fungsi y (x )=C ekx. Turunan fungsi y terhadap x ialah y '=Ck ekx. Dengan
demikian kita memperoleh hubungan
169
Problem:
Kejanggalan Deret Binomial Newton
Jika fungsi f ( x )= 11−x
diubah menjadi deret tak hingga menggunakan metode
binomial Newton diperoleh
(1−x )−1=1+ (−1 ) (1 ) (−x )+ (−1 ) (−2 )2!
(1 )(−x)2+…
(1−x )−1=1+ x+x2+x3+…Jika kita substitusi nilai x = 0,5, diperoleh hasil yang sesuai
(1−0,5 )−1=2=1+ 12+ 1
4+ 1
8+…
Tetapi bila disubstitusikan nilai x = 5, diperoleh hasil yang jauh berbeda, (1−5 )−1=−0,25, sedangkan 1+5+52+53+…=∞. Manakah yang benar? Mengapa hal ini bisa terjadi?
y '−ky=0
Whoiila!! Ini adalah contoh dari persamaan diferensial. Persamaan di
atas bernilai benar bila y=C ekx. Mengingat hanya fungsi berbentuk
eksponensiallah yang turunannya sama dengan fungsi awalnya, maka kita dapat
yakin y (x )=C ekx merupakan solusi tunggal dari PD
y '−ky=0.
Sekarang bila kita menggunakan fungsi y ( x )=C1 sin (kx ), maka turunan
pertamanya y '=C1 k cos (kx ) dan turunan keduanya, y ' '=−C1 k2 sin (kx ). Dari
fungsi awal dan turunan ke-duanya, dapat diperoleh hubungan
y ' '+k2 y=0
Ini juga contoh dari persamaan diferensial orde dua (orde menandakan
turunan tertinggi yang terdapat dalam PD). Jadi PD di atas benar jika
y=C1 sin (kx ), dengan demikian y=C1 sin (kx ) merupakan salah satu solusi dari
PD tadi. Kok salah satu? Ya karena terdapat solusi lain yang mungkin, yakni
y ( x )=C2cos ( kx ). Turunan ke-dua dari y=C2 cos (kx ) ialah y ' '=−C2k2 cos ( kx ) yang
bila di substitusikan juga memenuhi PD
y ' '+k2 y=0. Jadi PD itu memiliki dua solusi. Mengingat sifat linear operasi
diferensial terhadap penjumlahan dan pengurangan,
(u ( x )+v ( x )+w ( x )+…) '=u ' ( x )+v ' ( x )+w ' ( x )+…
Maka kedua solusi yang mungkin itu dapat kita gabungkan menjadi
y=C1 sin (kx )+C2 cos (kx ). Jika solusi sebenarnya dari suatu problem hanya
memuat suku sinus saja, maka C2 sama dengan nol, begitu pula sebaliknya. Jadi
solusi dari PD y ' '+k2 y=0 ialah fungsi yang berbentuk y=C1 sin (kx )+C2 cos (kx ).
Kemudian bila kita mengambil fungsi y=C1 sinh (kx ), yang turunan ke-
duanya ialah y ' '=C1 k2 sinh (kx ), maka diperoleh hubungan:
y ' '−k2 y=0
Seperti pada contoh sebelumnya, PD ini juga terpenuhi untuk y=C2 cosh ( kx ),
sehingga solusi dari PD y ' '−k2 y=0 ialah y=C1 sinh (kx )+C2 cosh (kx ).
170
Persamaan diferensial orde satu sebenarnya dapat dengan mudah
diperoleh solusinya, antara lain yang memiliki bentuk seperti ini:
dydx
−a=0
Di mana a suatu konstanta. Dengan mudah diperoleh ∫ dy=∫ a dx atau y =
ax. Dengan pembuktiaan terbalik (seperti metode sebelum-sebelumnya), ini
terjadi karena jika y = ax maka y’ = a, sehingga y’ – a = 0.
Sekarang yang agak lebih rumit, kita akan cari solusi dari PD
4 y '−sin x=2 x.
4dydx
=sin x+2 x
∫ 4 dy=∫ (sin x+2 x ) dx y= 1
4( x2−cos x )+C
Hore!!! Kita dapat deh solusinya. Solusi seperti itu dinamakan solusi
umum, karena menyisakan suatu konstanta (C) yang tidak kita ketahui nilainya.
Bila kita telah mengetahui syarat-syarat batas dari problemnya, misalkan
syarat awal y (0 )=0, maka dapat diketahui konstanta integrasinya,
0=14
(02−cos 0 )+C atau C=14
Dengan demikian diperoleh fungsi y=14
( x2−cos x+1 ) sebagai solusi
khususnya.
2. Persamaan Diferensial Linear Orde Satu
Telah disebutkan sebelumnya bahwa orde suatu persamaan diferensial
merupakan turunan tertinggi yang dimuat dalam persamaan diferensial itu.
Secara umum, PD linier berbentuk
yn+a1 ( x ) yn−1+a2 ( x ) yn−2+…+an−1 ( x ) y'+an ( x ) y=k ( x ) (8.1)
Dengan demikian PD linear orde satu dapat kita tuliskan sebagai
dydx
+P ( x ) y=Q(x ) (8.2)
171
Jika kedua ruas dikalikan dengan e∫ P( x)dx, sehingga
e∫ P( x)dx ∙dydx
+e∫P (x)dx ∙ P ( x ) y=e∫ P (x)dx ∙Q(x)
Perhatikan bahwa ruas kiri merupakan turunan dari y e∫P (x)dx sehingga
ddx
( y e∫ P( x)dx)=e∫P (x)dx ∙ Q(x )
Akhirnya kita peroleh formulasi untuk solusi dari PD linier orde satu
y=e−∫P (x)dx {∫ (e∫P (x)dx
∙ Q(x )) dx } (8.3)
3. Persamaan Diferensial Linear Orde Dua
Persamaan diferensial linear orde dua dapat kita golongkan menjadi PD
linear orde-2 homogen dan PD linear orde dua tak homogen. Disebut homogen
bila nilai k ( x )=0 dan disebut tidak homogen bila k (x)≠ 0.
y ' '+a1 y '+a2 y=0 (8.4)
y ' '+a1 y '+a2 y=k (x )≠ 0 (8.5)
Terlebih dahulu akan kita bahas mengenai PD homogen orde-2. Untuk
menyelesaikan PD homogen orde dua digunakan persamaan bantu. PD
homogen orde-2 dapat kita tuliskan kembali dalam bentuk
D2 y+a1 Dy+a2 y=0
Seperti halnya yang telah dijelaskan pada subbab 8.1, bila turunan suatu
fungsi dikurangkan dengan fungsinya sama dengan nol, maka fungsi itu pastilah
berbentuk eksponensial. Jadi, di sini kita berasumsi y berbentuk erx.
D2 y+a1 Dy+a2 y=D 2erx+a1 D erx+a2 erx=0
r2 erx+a1r erx+a2erx=0
(r2+a1 r+a2 )erx=0 (8.6)Agar ruas kiri menjadi nol, maka r2+a1r+a2 haruslah bernilai nol. Dengan
demikian perlu dicari akar-akar (pembuat nol) dari persamaan r2+a1r+a2.
Persamaan ini disebut juga persamaan bantu. Telah kita tahu bahwa persamaan
172
kuadrat dapat memiliki dua akar berbeda, dapat juga hanya memiliki satu akar
(akar-akarnya kembar), atau dua akar yang saling kompleks. Jika akar-akar dari
persamaan bantu tadi kita namakan r1 dan r2, maka solusi umum dari PD
homogen orde-2 memiliki tiga macam penyelesaian yakni:
1. Jika persamaan bantu memiliki dua akar rill berlainan, r1 ≠ r2 maka solusi
umumnya y=C1 er 1 x+C2 er2 x.
2. Jika persamaan bantu memiliki akar kembar, r1 maka solusi umumnya
y=C1 er 1 x+C1 xer1 x.
3. Jika persamaan bantu memiliki akar-akar kompleks yang saling konjugat,
r1,2=α ± βi maka solusi umumnya y=C1 eαx cos βx+C2eαx sin βx .
Sekarang bagaimana bila persamaan diferensialnya tidak homogen
(k ( x ) ≠ 0 )? Misalkan y ' '− y '−2 y=x2+3 x−2. Pertama-tama kita cari terlebih
dahulu solusi homogennya, yakni solusi dari y ' '− y '−2 y=0. Kita peroleh
persamaan bantu r2−r−2=0, sehingga r1=2 dan r2=−1. Dengan begitu
diperoleh solusi homogennya,
yh=C1 e2 x+C2 e−x
Untuk solusi non-homogennya, bentuknya bergantung pada k ( x ). Untuk
lebih jelasnya, perhatikan beberapa bentuk k ( x ) yang mungkin.
1. Jika k ( x )=bn xn+…+b1 x+b0, gunakan y p=Bn xn+…+B1 x+B0.
2. Jika k ( x )=b eax, gunakan y p=B eax.
3. Jika k ( x )=b cosax+c sin ax, gunakan y p=B cos ax+C sin ax.
4. Jika k ( x ) memuat bentuk yang merupakan solusi homogen dari PD, kalikan
penyelesaian yang digunakan dengan x atau suatu pangkat dari x.
Berdasarkan kriteria di atas, maka dapat kita pilih solusi non-
homgennya, y p=A x2+Bx+C , dengan demikian y p' =2 Ax+B dan y p
' '=2 A .
Substitusikan solusi non-homogen ini ke dalam persamaan homogen
menghasilkan
2 A−(2 Ax+B )−2 ( A x2+Bx+C )=x2+3 x−2
Kumpulkan suku-suku dengan variabel x yang berpangkat sama,
173
−2 A x2+(−2 A−2B ) x+ (2 A−2C−B )=x2+3 x−2
Dengan menyamakan koefisien dari x2 , x , dan1 diperoleh
−2 A=1 → A=−12
−2 A−2 B=3→ B=−1
2 A−2 C−B=−2→ C=1
Akhirnya diperoleh y p=−12
x2−x+1. Solusi akhir (masih berupa solusi
umum) dari PD y ' '− y '−2 y=x2+3 x−2 ialah:
y= yh+ y p=C1e2 x+C2 e− x−12
x2−x+1
Contoh:
1. Carilah solusi dari persamaan diferensial xdydx
= y+xy!
Jawab:
PD di atas dapat diselesaikan dengan mengintegralkan secara langsung
xdydx
= y (1+x )
∫ dyy
=∫ (1+ x )x
dx
ln y=ln x+x+C
y=e ln x . ex . eC
Mengingat sifat logaritma, a loga x=x dan eC sebagai suatu konstanta C, maka
solusi dari PD di atas ialah y=Cx ex.
2. Carilah solusi dari persamaan diferensial 2 ( y−4 x2 ) dx+x dy=0!
Jawab:
Dengan membagi kedua ruas dengan dx, PD di atas dapat kita ubah menjadi
xdydx
+2 y=8 x2 atau
dydx
+ 2x
y=8 x yang merupakan PD linear orde-1. Dengan
demikian dapat kita tentukan P ( x )=2x
dan Q ( x )=8 x.
174
e∫ P ( x )=e∫ 2
xdx=e2 ln x=e ln x2
=x2
Solusi PD linear orde-1, y=e−∫P (x)dx {∫ (e∫P (x)dx
∙ Q(x )) dx }y= 1
x2 {∫ ( x2 ∙8 x ) dx }= 1
x2 {∫8 x3dx }= 1
x2(2 x4+C )
Akhirnya diperoleh y=2 x2+C x−2.
3. Carilah solusi dari PD homogen y ' '−8 y '+16 y=0!
Jawab:
Persamaan bantunya ialah r2−8 r+16=0 atau (r−4 ) (r−4 )=0sehingga memiliki
dua akar kembar, yakni r1=r2=4. Solusinya ialah
y=C1 e4 x+C2 x e4 x
4. Carilah solusi dari PD non-homogen y ' '−7 y '+10 y=6 e5 x!
Jawab:
Persamaan bantunya ialah r2−7 r+10 yang akar-akarnya berbeda, yakni r1=2
dan r2=5. Solusi homogennya
yh=C1 e2 x+C2 e5 x
Perhatikan bahwa k (x) mengandung suku yang merupakan solusi homogen (e5 x )
, sehingga berdasarkan aturan yang ke-empat, kita modifikasi dengan
menggunakan pengali x.
y p=C3 xe5 x
Substitusikan ke dalam persamaan diferensial
(C ¿¿3x e5 x) ' '−7(C ¿¿3 xe5 x )' +10C3 xe5 x=6 e5 x¿¿
(25 C3 x e5 x+10 C3 e5 x)−8 (5C3 xe5 x+C3e5 x )+12C3 x e5x=6e5 x
Yang ekivalen dengan 3 C3 e5x=6 e6 x
Jadi diperoleh C3=2. Solusi akhir dari PD y ' '−7 y '+10 y=6 e5 x ialah
y= yh+ y p=C1e2 x+C2 e5 x+2 x e5 x
175
DAFTAR PUSTAKA
176
Bondan, Alit, Kalkulus Lanjut, penerbit Graha Media, Yogyakarta, 2007
Prayudi, Kalkulus Lanjut Fungsi Banyak Variabel & Penerapannya, penerbit
Graha Ilmu, Yogyakarta, 2009
Purwanto, H., Indriani, G., dan Dayanti, E., Kalkulus, penerbit Ercontara Rajawali,
Jakarta, 2005
Redaksi Kawan Pustaka, Rangkuman Rumus Matematika, Fisika dan Kimia SMA,
penerbit PT Kawan Pustaka, Jakarta, 2005
Sukino, Matematika untuk SMA kelas XII jilid 3A, penerbit Erlangga, Jakarta, 2007
Team Dosen Matematika Unhas, Matematika Dasar I, penerbit Jurusan
Matematika FMIPA UNHAS, Makassar, 2009
______, Matematika Dasar II, penerbit Jurusan Matematika FMIPA UNHAS,
Makassar, 2009
Thobirin, Kalkulus Integral [online]
Wirodikromo, Sartono, Matematika untuk SMA kelas XI jilid 4, penerbit Erlangga,
Jakarta, 2007
Kredit Pengolah Gambar:
Graphsight Junior v.1.0
MATLAB r2009b
MS Paint version 6.1
177
178
179
180
Kalkulus DasarSunkar E. Gautama
Paradoks Softbook Publisher