KKKaaalllkkkuuullluuusss dddeeennngggaaannn MMMaaapppllleee sebuah cara baru belajar Kalkulus dengan komputer Oleh : Rosihan Ari Yuana ii Daftar Isi DAFTAR ISI ........................................................................................................................................II DAFTAR GAMBAR........................................................................................................................ IV DAFTAR TABEL...............................................................................................................................V DAFTAR LAMPIRAN.................................................................................................................... VI KATA PENGANTAR.................................................................................................................... VII PENGENALAN MAPLE..................................................................................................................9 PENGENALAN IDE MAPLE................................................................................................................9 BEKERJA DENGAN WORKSHEET MAPLE ......................................................................................10 OPERASI DASAR ARITMATIK MAPLE................................................................................12 OPERATOR DASAR ARITMATIK .....................................................................................................12 TINGKAT PRESEDENSI .....................................................................................................................13 ASSIGNMENT......................................................................................................................................14 FUNGSI (PEMETAAN)...................................................................................................................15 PENDEFINISIAN FUNGSI...................................................................................................................15 EVALUASI FUNGSI ...........................................................................................................................18 GRAFIK FUNGSI................................................................................................................................20 FUNGSI IMPLISIT ..............................................................................................................................32 FUNGSI GENAP DAN FUNGSI GANJIL.............................................................................................35 OPERASI ALJABAR FUNGSI.............................................................................................................37 KOMPOSISI FUNGSI..........................................................................................................................40 FUNGSI INVERS.................................................................................................................................41 MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI INVERS......................................................................................43 PENDEKATAN FUNGSI DENGAN INTERPOLASI .............................................................................44 SOAL-SOAL LATIHAN.......................................................................................................................47 LIMIT FUNGSI .................................................................................................................................52 PERHITUNGAN LIMIT DENGAN FUNCTION ...................................................................................56 CALCULUS1 STUDENT PACKAGE UNTUK LIMIT.............................................................................58 KEKONTINUAN.................................................................................................................................66 APLIKASI LIMIT................................................................................................................................70 SOAL-SOAL LATIHAN......................................................................................................................76 TURUNAN..........................................................................................................................................80 FUNGSI TERDIFERENSIAL................................................................................................................83 FUNCTION DIFF UNTUK TURUNAN.................................................................................................84 CALCULUS1 STUDENT PACKAGE UNTUK TURUNAN.....................................................................85 ATURAN RANTAI (CHAIN RULE) ....................................................................................................89 TURUNAN IMPLISIT..........................................................................................................................93 TURUNAN ORDE TINGGI .................................................................................................................94 iii TURUNAN PARSIAL..........................................................................................................................96 TEOREMA ROLLE.............................................................................................................................98 TEOREMA NILAI RATA-RATA...................................................................................................... 101 APLIKASI TURUNAN..................................................................................................................... 103 SOAL-SOAL LATIHAN................................................................................................................... 124 INTEGRAL...................................................................................................................................... 129 INTEGRAL TENTU.......................................................................................................................... 129 INTEGRAL TAK TENTU................................................................................................................. 135 CALCULUS1 STUDENT PACKAGE UNTUK INTEGRAL.................................................................. 136 MENCARI INTEGRAL TENTU DENGAN METODE PENDEKATAN.............................................. 146 INTEGRAL LIPAT........................................................................................................................... 150 PENERAPAN INTEGRAL ................................................................................................................ 151 SOAL-SOAL LATIHAN................................................................................................................... 171 DAFTAR PUSTAKA..................................................................................................................... 177 LAMPIRAN..................................................................................................................................... 178 DAFTAR INDEKS......................................................................................................................... 189 CONTACT PERSON:................................................................................................................... 191 iv Daftar Gambar Gambar 2-1. Tampilan IDE Maple ....................................................................................................10 Gambar 4-1. Grafik fungsi f(x) = 2x-1...............................................................................................22 Gambar 4-2. Grafik fungsi y = sin(x) .................................................................................................25 Gambar 4-3. Grafik fungsi y=sin(x) dan y=cos(x) ............................................................................26 Gambar 4-4. Menu option properti grafik..........................................................................................27 Gambar 4-5. Grafik fungsi dari data diskrit.......................................................................................28 Gambar 4-6. Grafik fungsi dari data diskrit dengan style=POINT.................................................28 Gambar 4-7. Grafik fungsi f(x,y) = sin(x) cos(y) ...............................................................................29 Gambar 4-8. Grafik fungsi r = 1 + sin(t) dalam koordinat polar.....................................................31 Gambar 4-9. Grafik 2 216 x y + = .....................................................................................................33 Gambar 4-10. Grafik ( ) ( )22 2 2 22 25 x y x y + = .........................................................................34 Gambar 4-11. Grafik ( ) ( )+ = 22 2 2 22 25 x y x yyang diperbaiki .............................................35 Gambar 4-12. Grafik fungsi y = x2......................................................................................................36 Gambar 4-13. Grafik fungsi y = x3......................................................................................................37 Gambar 4-14. Grafik f(x)=sin(x) dan inversnya................................................................................44 Gambar 4-15. Grafik pendekatan f(x) dengan Spline derajad 1. .....................................................46 Gambar 5-1. Grafik( ) ( ) ( ) 3 / 1 f x x x = dan garis singgungnya........................................73 Gambar 5-2. Garis singgung f(x) = sin(x)+1 di titik x=1..................................................................74 Gambar 6-1. Grafik y=x4+3x3-2x2+6 beserta turunannya.................................................................81 Gambar 6-2. Grafik y= 4x3+9x2-4x memotong sumbu x di 3 titik................................................82 Gambar 6-3. Grafik y = 3x3-4xbeserta turunannya.........................................................................83 Gambar 6-4. Grafik f(x)=x4-3x2+1 dan titik yang bergradien nol ................................................ 100 Gambar 6-5. Visualisasi teorema nilai rata-rata pada f(x)=sin(x)+cos(x) dalam selang [0,5] ... 103 Gambar 6-6. Grafik posisi, kecepatan, dan percepatan partikel ................................................... 106 Gambar 6-7. Grafik f(x) = x3-3x2+1 pada selang [- , 4] .............................................................. 110 Gambar 6-8. Grafik fungsi f(x) = x-2 sin(2x).................................................................................. 112 Gambar 6-9. Grafik fungsi f(x) = x2/3 (6-x)1/3.................................................................................. 114 Gambar 6-10. Grafik fungsi f(x) = 0.25x4-2x3+4x2......................................................................... 115 Gambar 6-11. Grafik fungsi f(x) = x/(x2+4) pada interval [-6,6] .................................................. 117 Gambar 6-12. Grafik fungsi f(x) = 2x3 x4..................................................................................... 118 Gambar 6-13. Grafik S() pada interval [0.5, 1.2]......................................................................... 124 Gambar 7-1. Visualisasi Jumlahan Riemann untuk f(x)=sin(x) dengan 20 partisi pada [0,5].. 132 Gambar 7-2. Visualisasi Jumlahan Riemann untuk f(x)=sin(x) dengan 50 partisi pada [0,5].. 132 Gambar 7-3. Visualisasi metode trapezoid dengan 10 partisi....................................................... 149 Gambar 7-4. Plot kurva y=x2 dan y=2x-x2..................................................................................... 152 Gambar 7-5. Plot kurva= +2/ 1 y x xdan= 4y x x ........................................................... 154 Gambar 7-6. Plot kurva y2=3x+7 dany=x-2................................................................................... 155 Gambar 7-7. Kurva y=x2 untuk x=04 diputar pada sumbu x................................................... 158 Gambar 7-8. Kurva y=x2 untuk x=0 4 diputar pada sumbu y................................................. 158 Gambar 7-9. Daerah yang dibatasi kurva y=6x-x2 dan y=x ......................................................... 159 Gambar 7-10. Daerah antara kurva y=6x-x2 dan y=x diputar pada sumbu x ............................. 160 Gambar 7-11. Daerah di bawah kurva= y x untuk x=0 2 .................................................. 162 Gambar 7-12. Daerah yang dibatasi kurva y=x2, y=3x2, dan y=3................................................ 163 v Daftar Tabel Tabel 4-1. Operator dasar aritmatika..................................................................................................12 Tabel 5-1. Fungsi-fungsi transenden dalam Maple ..........................................................................17 Tabel 6-1. Aturan dalam pencarian limit ...........................................................................................59 Tabel 6-2. Aturan limit terkait untuk fungsi transenden...................................................................60 Tabel 7-1. Aturan dalam mencari turunan.........................................................................................86 Tabel 7-2. Aturan turunan fungsi transenden....................................................................................87 Tabel 8-1. Aturan teknik pengintegralan ........................................................................................ 137 Tabel 8-2. Aturan pengintegralan terkait dengan bentuk fungsi dasar ........................................ 138 vi Daftar Lampiran Lampiran 1. Option plot dua dimensi.............................................................................................. 178 Lampiran 2. Option Plot Tiga Dimensi........................................................................................... 183 vii Kata Pengantar Puji syukur penulispanjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa karena hanya ataslimpahanrahmatdankaruniaNyapenulisdapatmenyelesaikanbukuKalkulus denganMapleinidengansebaik-baiknya.Penyusunanbukuinimerupakanupaya kami untuk ikut serta meningkatkan kualitas pendidikan bangsa Indonesia, terutama bidang Matematika. Matematika seringkali dianggap suatu hal yang menakutkan di kalangan siswa sekolahkarenaidentikdenganbanyakrumus,harusselalubergelutdenganangka, perhitunganyangsangatrumitbahkanseringkalidirasasangatabstraksehingga dirasa kurang ada manfaatnya dalam kehidupan sehari-hari.Padahal tidak demikian halnya. Matematika merupakan suatu ilmu sains yang sangat menarik dan banyak sekali manfaatnya dalam kehidupan sehari-hari di sekitar kita.ApabilaseseorangmenguasaiMatematikamakaiaakanmenguasaibanyak pengetahuandiluarMatematikaitusendiri.HalinidikarenakanMatematika merupakan mother of science yang di dalamnya melatih seseorang untuk berpikir logis, kritis dan dinamis. SebagaisalahsatuupayauntukmembuatMatematikasebagaisuatuhalyang menarik adalah mengkaitkannya dengan teknologi. Dengan menggunakan teknologi, pembelajaran Matematika dapat dilakukan dengan mudah, selain itu kita tidak perlu direpotkan lagi dengan perhitungan matematis secara manual yang terkadang kurang teliti atau kurang akurat. Maplemerupakansuatusoftwareyangkemampuannyatidakhanyasebagai alathitung(toolforcomputing)sepertihalnyakalkulatortanganbiasa,namunlebih jauh dari itu Maple juga dapat digunakan sebagai alat pembelajaran (tool for learning), khususnya Matematika. Dengandasardiatasitulah,mengapabukuinipenulisbuat.Bukuini memfokuskanbagaimanamenggunakanMaplesebagaialathitungdanalat pembelajaran Matematika khususnya Kalkulus. Untukdapatmempergunakanbukuini,disarankanparapembaca mempergunakanminimalMaple7,karenadidalambukuiniakandibahaspula beberapa perintah atau paket yang tidak terdapat dalam Maple sebelum rilis 7. Harapanpenulisdenganhadirnyabukuiniadalahsemakintertariknyaminat masyarakatterutamasiswasekolahdalammempelajariMatematikakhususnya Kalkulus.Selainitu,denganadanyabukuinidiharapkanparapengajarjugadapat melakukan inovasi dalam mengajarkan konsep Kalkulus. Demi kesempurnaan buku ini, penulis sangat mengharapkan kritik, saran, dan masukandariparapembacayangdapatdisampaikanmelaluiemail viii rosihanari@gmail.com.Selainmenggunakanemail,parapembacadapatjuga berdiskusi menggunakan Yahoo Messenger dengan id penulis adalah rosihanari. B Ba ab b 1 1 Pengenalan Maple Maplemerupakansalahsatusoftwareaplikasiyangdapatdigunakanuntuk perhitungan matematika dan sains. Beberapa kelebihannya antara lain bahwa Maple dapatdigunakanuntukmenyelesaikanpersoalan-persoalandalambidang matematika seperti aljabar, kalkulus, matematika diskrit, numerik dan masih banyak lagiyanglain.SelainitudalamMaplejugatersediafasilitasuntukmembuatgrafik baikduadimensimaupuntigadimensi.Grafikyangdihasilkandapatdipindahke dalam dokumen lain.KelebihanMapleyanglainadalahdapatmendukungpemrograman.Dengan demikian, program dalam bentuk fungsi-fungsi baru untuk penggunaan yang bersifat khusus dapat dibuat. Perintah-perintahdasarMaplesangatsederhanadanmudahdipahamioleh penggunapemulasekalipun,sehinggaMaplecocokdigunakantidakhanyauntuk komputasisainsmelainkanjugadapatdimanfaatkanuntukprosespemahamandan pembelajaranmatema-tikasertasains.Denganprosesperhitungandanvisualisasi grafikdalamMapleakandapatmemudahkansiswadalammemahamikonsep-konsep dasar matematika. MapledibuatdandikembangkanolehWaterlooMapleinc.Mapledapatdiinstal dalam komputer bersistem operasi Windows maupun Macintosh.Pengenalan IDE Maple Pengenalan IDE Maple Pengenalan IDE Maple Pengenalan IDE Maple DalamsubbabiniakandiperkenalkanIDE(IntegratedDevelopmentEnvironment)atau lingkungan dari Maple. Gambar 3-1 menunjukkan tampilan lingkungan Maple. 10Pengenalan Maple Gambar 3-1. Tampilan IDE Maple SecaragarisbesarlingkunganMapleterdiridarimenuutama,toolbar,danjuga worksheet. Bagian worksheet inilah nantinya digunakan untuk menuliskan perintah-perintah Maple untuk perhitungan matematika.DalamMaplejugaterdapatfasilitaspaletteuntukmemudahkanpenggunadalam menuliskanperintahmaupunsimbol-simbolmatematis.Beberapajenispaletteyang tersedia adalah symbol palette, expression palette, dan matrix palette.Symbolpalettedigunakanuntukmenuliskansimbol-simbolmatematika,expression palettedigunakanuntukmemudahkandalammenuliskanekspresimatematika misalnya integral, deret sigma, bentuk akar dan sebagainya, sedangkan matrix palette digunakan untuk memudahkan pengguna dalam menuliskan matriks. Sebagai dokumentasi, perintah-perintah yang telah dituliskan dalam worksheet dapat disimpan ke dalam file. Secara default, ekstensi file worksheet yang disimpan adalah *.mws (maple worksheet). Untuk proses penyimpanan worksheet langkahnya adalah sebagai berikut: 1.Klik menu FILE pada menu utama 2.Klik submenu SAVE atau SAVE AS.. 3.Arahkanfoldertempatfileworksheetakandisimpandanberinamafile worksheetnya pada bagian FILE NAME 4.Klik OK Bekerja dengan Worksheet Maple Bekerja dengan Worksheet Maple Bekerja dengan Worksheet Maple Bekerja dengan Worksheet Maple Sepertiyangtelahdijelaskansebelumnyabahwaworksheetadalahtempat dituliskannyaperintah-perintahMaple.PerintahMapledituliskandisebelahkanan dari tanda prompt (>). Kalkulus dengan Maple11 Sebagai contoh, misalkan akan dicari hasil penjumlahan 3+4, maka perintah Maplenya adalah: > 3+4; SelanjutnyatekanENTER.SetelahtombolENTERditekan,makadibawahperintah tersebut akan tampak hasil output penjumlahan kedua bilangan yaitu 7. Perhatikanperintahyangtelahdiberikan,khususnyapadaakhirdariperintahyang diberikan tanda titik koma (;). Apabila di bagian akhir perintah tidak diberikan tanda titik koma, maka akan terjadi kesalahan yang ditandai dengan munculnya pesan Warning, premature end of input. Selaintandatitikkoma,dapatpuladiberikantandatitikdua(:).Apabiladiakhir perintahdiberikantandatersebut,makahasiloutputperintahtidakditampilkan, namun hanya disimpan di dalam memori komputer. Selain dengan menuliskan perintah atau ekspresinya langsung,dapat juga digunakan expression palette. Cara penggunaannya adalah: 1.Klik VIEW pada menu utama 2.Pilih PALETTES 3.BeritandacekpadaEXPRESSIONPALETTE.Setelahituakanmunculpalette yang di dalamnya tersedia beberapa jenis ekspresi matematika. 4.Pilih ekspresi a+b (penjumlahan) dan selanjutnya Maple akan menampilkan > (%?+%?); 5.Tanda%?adalahtempatmenuliskanoperandyangakandijumlahkan.Isilah tanda %? pertama dengan 3. Tekan tombol TAB untuk pindah ke tanda %? kedua dan isilah dengan 4. Selanjutnya tekan ENTER Selain perintah untuk perhitungan matematika, dapat pula diberikan teks yang tidak akandiprosesolehMaple.Untukmembuatteks,caranyaadalahdenganmengklik tombol bertuliskan T pada toolbar. Selanjutnya teks yang diinginkan dapat dituliskan. Sedangkan untuk mengembalikan ke bentuk prompt (>) kembali, klik tombol prompt(di sebelah kanan tombol T pada toolbar). 12Operasi Dasar Aritmatik Maple B Ba ab b 2 2 Operasi Dasar Aritmatik Maple SebelummembahaslebihlanjutpenggunaanMapleuntukkeperluanperhitungan kalkulus,terlebihdahuludiberikanpenjelasanmengenaioperasidasararitmatik dalamMaple.Pembahasanhalinimeliputioperatordasararitmatik,tingkat presedensi operator aritmatik dan assignment (pemberian nilai pada variabel).Operator Dasar Aritmati Operator Dasar Aritmati Operator Dasar Aritmati Operator Dasar Aritmatik kk k Tabel4-1menjelaskanbeberapaoperatordasararitmatikyangseringdigunakan dalam Maple. Operator-operatoryangdisajikandalamtabeltersebutdapatdikombinasikansatu samalain.Sebagaicontohmisalkanakandicarihasilperhitungan3+4*(-2)-4/2. Perintah Maplenya adalah: > 3+4*(-2)-4/2; yangakandihasilkan7.Kenapa7?Mengapatidak9?Jawabanpertanyaanini terkaitdengantingkatpresedensidarioperatoraritmatikyangakandibahasberikut ini. Tabel 4-1. Operator dasar aritmatika OperatorMaknaContoh +Penjumlahan> 3+7; (akan dihasilkan 10) -Pengurangan> 3-7; (akan dihasilkan 4) *Perkalian> 3*7; (akan dihasilkan 21) /Pembagian> 12/3; (akan dihasilkan 4) ^ atau **Pangkat> 2^3;atau > 2**3; (keduanya akan menghasilkan 8) modModulo (sisa hasil bagi) > 6 mod 4;(akan menghasilkan 2) Kalkulus dengan Maple13 Tingkat Presedensi Tingkat Presedensi Tingkat Presedensi Tingkat Presedensi Tingkatpresedensidarisuatuoperatormenunjukanprioritasoperator dikerjakan/dievaluasi.Semakintinggitingkatpresedensioperatormakaoperator tersebutlebihdiprioritaskanuntukdikerjakanlebihdahulu.Berikutinidisajikan urutantingkatpresedensioperatoraritmatikmulaidaritertinggisampaiterendah (mulai dari kiri). (^, **), (*,/), (+,-), mod Operator-operator yang ada dalam kurung memiliki tingkat presendensi yang sama, misalnya^dengan**,+dengan-.Apabiladalamsuatuperintahoperasiaritmatik Maple terdapat beberapa operator yang memiliki tingkat presedensi yang sama, maka akan didahulukan operasi yang melibatkan operator yang terletak di sebelah kirinya. Misalnya operasi yang telah diberikan sebelumnya yaitu > 3+4*(-2)-4/2; Dalamoperasiyangdiberikandiatas,operator*dan/memilikitingkatpresedensi yang lebih tinggi daripada + dan -, sehingga * dan / dikerjakan lebih dahulu daripada +dan-.Namun,diantaraoperator*dan/manakahyangakandikerjakanMaple lebih dahulu? Seperti yang terlihat pada operasi tersebut, bahwa * terletak di sebelah kiri dari /, maka 4*(-2) dikerjakan lebih dahulu kemudian 4/2. Setelah kedua operasi dikerjakan dan diperoleh hasilnya yaitu 8 dan 2 barulah operasi + dan dikerjakan. Dalamhalinioperasi+dikerjakanlebihdahulukarenaterletakdisebelahkiri pengurangan,sehingga3+(-8)dikerjakanlebihdahuludanhasilnyabarulah dikurangkan dengan 2 atau -5-2. Dengan demikian diperoleh hasil 7. Tingkatpresedensisuatuoperatordapatdinaikkan,misalnyaoperatorpenjumlahan dapatdiubahuntuklebihdiprioritaskandaripadaperkalian.Untukmenaikkan tingkatpresedensisuatuoperatordapatdilakukandenganmenambahkantanda kurung. Misalnya > (3+4)*((-2)-4)/2; Darioperasiiniakandihasilkan21.Dalamoperasitersebut,operasipenjumlahan lebih diprioritaskan daripada perkalian dan pembagian, demikian pula untuk operasi pengurangannya.Akantetapioperasipenjumlahanlebihdidahulukandaripada pengurangannya karena terletak di sebelah kiri pengurangan. 14Operasi Dasar Aritmatik Maple Assignment Assignment Assignment Assignment Prosesassignmentmerupakanpemberiannilaipadasuatuvariabeluntukdisimpan pada alamat tertentu pada memori komputer yang suatusaat dapat digunakan atau dipanggilkembali.Nilaiyangdiassignpadasuatuvariabeldapatberupakonstanta maupun berasal dari suatu operasi. Sintaks untuk assignment dalam Maple adalah > variabel := nilai; Sebagai contoh, berikut ini diberikan beberapa perintah assignment pada Maple. > a := 5;> b := -34; > c := 2*a+b; Perintahpertamaberfungsiuntukmengassignvariabeladengannilai5.Perintah keduauntukmengassignvariabelbdengan34,sedangkanyangperintahketiga mengassign variabel c yang nilainya merupakan hasil operasi 2a+b yaitu-24. Kalkulus dengan Maple15 B Ba ab b 3 3 Fungsi (pemetaan) Dalammatematika,suatufungsi(pemetaan)didefinisikansebagaisuaturelasidari himpunanAkehimpunanByangdalamhalinisetiapanggotadariAdirelasikan dengantepatsatuanggotaB.Apabiladinyatakandalamnotasi,misalkanfadalah suatu fungsi yang memetakan himpunan A ke B, maka notasinya adalahB A f :Pendefinisian Fungsi Pendefinisian Fungsi Pendefinisian Fungsi Pendefinisian Fungsi Salah satu contoh fungsi adalah( ) 4 3 + = x x f . Fungsitersebutmemetakanbilanganrealkebilanganrealjuga.Selanjutnya, bagaimana cara mendefinisikan fungsidalam Maple? Dalam Maple, fungsi di atas dapat didefinisikan dengan cara: > f := (x) -> 3*x+4; Sintaks secara umum untuk mendefinisikan suatu fungsi dalam Maple adalah sebagai berikut: > nama_fungsi := (variabel) -> operasi; BerikutinibeberapacontohbagaimanamendefinisikanfungsikedalamMaplebaik fungsi satu variabel atau lebih. Contoh: Definisikan fungsi-fungsi berikut ini ke dalam Maple! 1.( ) 5 10 f x x = 16Fungsi (pemetaan) 2.( )23 2 7 g x x x = + +3.( )2 1, 0, 0x xf xx x >= 4.( ) 2 3 g x x = 5.( )4 31xh xx= 6.( )2, 2 g x y xy x = +7.( )3 2 2 3, 4 2 5 8 h x y x x y xy y = + +8.( )2, f x y x y xy = + Penyelesaian: 1.> f := (x) -> 5*x-10; 2.> g := (x) -> -3*x^2 + 2*x + 7; 3.> f := (x) -> piecewise(x>0,2*x-1,x g := (x) -> sqrt(2*x-3); atau > g := (x) -> (2*x-3)^(1/2); 5.> h := (x) -> (4*x-3)/(x-1); 6.> g := (x,y) -> 2*x*y+x^2; 7.> h := (x,y) -> 4*x^3 2*x^2*y + 5*x*y^2 + 8*y^3; 8.> f := (x,y) -> abs(x-y) + x*y^2; Selain bentuk fungsi-fungsi seperti yang telah diberikan, dalam kalkulus dikenal juga beberapabentukfungsitransendensepertifungsilogaritma,eksponensial, trigonometri dan hiperbolik. Tabel 5-1 menjelaskan bagaimana mendefinisikan fungsi-fungsi tersebut dengan Maple. Kalkulus dengan Maple17 Catatan:khusus untuk fungsi-fungsi trigonometri nilai x adalah dalam radian. Selanjutnya akan diberikan contoh bagaimana mendefinisikan fungsi dengan bentuk transenden menggunakan Maple. SintaksMakna a^x Eksponensial ax, a konstan surd(x,n)Pangkat pecahan (x1/n), n bilangan bulat. exp(x) Eksponensial ex, e bilangan natural ln(x) Logaritma natural log[n](x) Logaritma bilangan pokok n,n bilangan asli log10(x) Logaritma bilangan pokok 10 sin(x) Sinus x cos(x) Cosinus x tan(x) Tangen x csc(x) Cosecan x sec(x) Secan x cot(x) Cotangen x sinh(x) Sinus hiperbolik x cosh(x) Cosinus hiperbolik x tanh(x) Tangen hiperbolik x csch(x) Cosecan hiperbolik x sech(h) Secan hiperbolik x coth(x) Cotangen hiperbolik x Tabel 5-1. Fungsi-fungsi transenden dalam Maple 18Fungsi (pemetaan) Contoh:Definisikan fungsi-fungsi berikut ini dalam Maple: 1.( )13x xf x e= +2.( ) ( ) ( )2sin 1 sin g x x x x = + 3.( ) ( ) ( )2 23 ln 2 log f x x x x = + + 4.( ) ( ) ( ) ( )2 2, log sin 5 sinh g x y x xy = Penyelesaian: 1.> f := (x) -> 3^x + exp(x-1); 2.> g := (x) -> x*sin(x+1)-sin(x)^2; 3.> f := (x) -> 3*x^2 + ln(x^2+2)-log10(x); atau > f := (x) -> 3*x^2 + ln(x^2+2)-log[10](x); 4.g := (x,y) -> log[2](sin(x-5)^2)-sinh(x*y); Evaluasi Fungsi Evaluasi Fungsi Evaluasi Fungsi Evaluasi Fungsi Misalkansudahdiketahuisuatufungsi( ) f x ,selanjutnyadapatdicarinilaifungsi untuk x tertentu. Sebagai contoh diberikan fungsi( )23 1 f x x x = + dan akan dicari nilai fungsi untuk x=1 atau f(1). Dari perhitungan manual diperoleh( ) 1 f = 12 + 3.1 1 = 3.Mapledapatmendukungprosesevaluasifungsi(mencarinilaifungsi).Selanjutnya akandiberikanbeberapacontohbagaimanamengevaluasifungsimenggunakan Maple. Contoh: DenganmenggunakanMapletentukannilaifungsiberikutinipadatitikyang diberikan. 1.( ) 2 3 f x x = , pada x = -3 Kalkulus dengan Maple19 2.( )23 4 g x x x = + , pada x = 5 3.( )2 , 13 , 1x xf xx x >= + , pada x = 0 4.( ) ( ) ( ) , cos 2sin f x y x x y = + + , pada x = 2.3 dan y = 1 Penyelesaian: 1.> f := (x) -> 2*x-3; > f(-3); hasil dari perintah tersebut diperoleh( ) 3 f adalah 9. 2.> g := (x) -> x^2 3*x + 4; > g(5); hasil( ) 5 gakan diperoleh 14. 3.> f := (x) -> piecewise(x>1,x-2,x f(0); Nilai( ) 0 fberdasarkan perhitungan tersebut diperoleh 3 4.> f := (x,y) -> cos(x)+2*sin(x+y); > f(2.3, 1); dengan menggunakan Maple diperoleh nilai( ) 2.3, 1 fadalah-0.9817674095. BeberapakasusevaluasifungsidalamMapledarifungsiyangtelahdidefinisikan sebelumnyaterkadangtidakmemberikanhasilsepertiyangdiharapkan(hasil tampilan hanya dalam bentuk simbolik).Sebagai gambaran, diberikan contoh fungsi ( ) ( ) ( ) sin cos f x x x = + , dan akan dievaluasi nilai fungsi tersebut pada x=2.Apabila digunakan perintah Maple seperti di bawah ini, > f := (x) -> sin(x) + cos(x); > f(2); 20Fungsi (pemetaan) makaMapleakanmenghasilkan( ) ( ) sin 2 cos 2 + .Disininilai( ) sin 2 dan( ) cos 2masing-masingtidakdihitung nilainya (dalam numerik), sehingga nilai fungsi( ) 2 fmasihdinyatakandalamsimbol.Kasussemacaminimunculkarenanilaixbukan dalambentukfloatingpoint.Untukmenyatakannilaixdalamfloatingpoint,caranya dengan menambahkan digit desimal pada nilai x yang akan dievaluasi. Dengan demikian perintah( ) 2 f ;diubah menjadi( ) 2.0 f ; Halitubukansatu-satunyacarauntukmenghindarimunculnyahasilperhitungan dalam bentuk simbol. Cara lain adalah dengan memberikan perintah evalf() seperti yang ditunjukkan di bawah ini. > f := (x) -> sin(x) + cos(x); > evalf(f(2)); Tingkatpresisi(digit)hasilperhitunganMapledapatdiatur.SecaradefaultMaple menampilkan hasil perhitungan dalam 10 digit presisi. Hal ini tampak pada soal no. (4)daricontohsebelumnyayaitudarihasil0.9817674095.Untukmengubahdigit presisi perintahnya adalah > Digits := n; dengan n adalah bilangan asli Perintahdiatasdiberikansebelumoperasiperhitungandilakukan.Misalnyauntuk hasilperhitungansoalno.(4)akanditampilkandalam7digitpresisi,maka perintahnya: > Digits := 7; > f := (x,y) -> cos(x)+2*sin(x+y); > f(2.3, 1); dan diperoleh hasil 0.9817674 Grafik Fu Grafik Fu Grafik Fu Grafik Fungsi ngsi ngsi ngsi SalahsatukelebihanMaple adalahtersedianya fasilitasuntuk membuat grafik suatu fungsibaikberdimensi2maupun3,sertafungsiparametrik.Selainitu,grafikjuga dapatdisajikandalambentukkoordinatkutub(polar).Efek-efekanimasijugadapat diberikan pada grafik supaya lebih menarik. Kalkulus dengan Maple21 Grafik Fungsi 2 Dimensi Diberikansuatufungsi( ) y f x = ,apabilafungsiiniakandibuatdibuatgrafiknya menggunakanMaple,makadigunakanperintahplotdengansintaksperintahnya adalah: > plot(f(x), x=a..b , option1, option2, ...); denganx=a..badalahbatasnilaixuntukgrafikyangakandibuatpadaselang[a,b]. Sedangkanparameteroptionadalahpropertiasesorisgrafik.Optioninibersifat optional (tidak harus dituliskan). BerikutinibeberapacontohpenggunaanperintahMapleuntukmembuatgrafik fungsi dalam 2 dimensi: Contoh:Gambarlah grafik fungsi-fungsi di bawah ini: 1.2 1 y x = , untuk x [-3, 3] 2. 23 7 y x x = + , untuk x [-10,10]3.( ) ( ) sin 2cos y x x = + , untuk x [-5,8] 4. 2 , 13 , 1x xyx x >= + , untukx [0, 7] Penyelesaian: 1.> plot(2*x-1, x = -3..3); cara lain dapat dilakukan dengan mendefinisikan fungsinya terlebih dahulu. > f := (x) -> 2*x-1; > plot(f(x),x=-3..3); dari perintah tersebut diperoleh grafik seperti pada Gambar 5-1 22Fungsi (pemetaan) Gambar 5-1. Grafik fungsi f(x) = 2x-1 keduacarayangtelahdiberikandapatjugadilakukanpadacontoh-contoh berikutnya. 2.> plot(x^2-3*x+7,x=-10..10); 3.> plot(sin(x)+2*cos(x),x=-5..8); 4.> plot(piecewise(x>1,x-2,x