kalkulus lanjut 001
TRANSCRIPT
SISTEM KOORDINAT
Pierre Fermat dan Rene Decartes telah memperkenalkan sistem koordinat
yang sekarang kita kenal dengan sistem koordinat kartesius atau siku-siku. Dasar
pemikiran kedua orang Prancis ini ialah untuk menunjukkan kedudukan titik P
pada bidang dengan dua bilangan (x,y). Setiap bilangan itu menggambarkan jarak
dari dua sumber yang tegak lurus sesamanya.
Y
P(x,y)
0 X
Memberikan jarak berarah dari dua sumbu yang tegak lurus bukanlah jalan
satu-satunya untuk menunjukkan kedudukan suatu titik pada bidang. Cara lainnya
ialah menggunakan koordinat kutub.
Koordinat Kutub
Dengan menggambar sebuah lingkaran yang berpusat di titik O dan P
sebagai perpotongan antara sebuah lingkaran, r adalah jari-jari lingkaran dari θ
adalah satu sudut antara sinar dan sumbu kutub maka (r,θ) dinamakan sepasang
koordinat kutup dari titik P.
P(r,θ)
r
O
1
Hubungan dengan Koordinat Kartesius
Y
P(x,y)
r P(r,θ)
y
0 x X
Cos θ = xr
x = r Cos θ
Sin θ = yr
y = r Sin θ
r = √ x2+ y2 r2=x2+ y2
Tg θ = yx
θ=arc tg yx
2
Contoh
Tentukan koordinat kartesius dari titik(4 ,34π ) !
Peny :
Jika (r,θ) = (4 ,34π )
Maka x=¿ r Cos θ y = r Sin θ
= 4 cos34π ¿4 sin
34π
= 4 cos 540°
4 = 4 sin
540°4
= 4 cos 135° = 4 sin 135°
= 4 .(−12
√2) = 4 .12
√2
= -2√2 = 2√2
Jadi (x,y) = (-2√2 , 2√2)
Tentukan koordinat kutub dari titik (-3, -√3 )
Peny :
Jika (x,y) = (-3, -√3 )
maka
3
r2= x2+ y2
= (−3)2+(−√3)2
= 9 + 3
= 12
r = 2√3
tg θ =yx
= −√3−3
...........................kuadran III
= 13√3
θ = arc tg( 13
√3) θ = 180°+30°
θ=210 °
Jadi (r,θ) = (2√3 , 2100 )
PERSAMAAN KUTUB
a. Persamaan kutub untuk garis
θ°=0 θ°=12π
(θ−θ° ¿
θ°
r=d
cos (θ−θ°)r= dcosθ
r=d
sin θ
4
b. Persamaan kutub untuk lingkaran
θ°
r=2acos(θ−θ°) r=2acosθ r=2a sinθ
c. Persamaan kutub sebuah Konik (elips, parabola, atau hiperbola)
θ°
r=ed
1+eCos (θ−θ°) r=
ed1+eCosθ r=
ed1+eSin θ
Elips (e < 1)
Parabola (e = 1)
Hiperbola (e > 1)
GRAFIK PERSAMAAN KUTUB
Selain grafik persamaan kutub yang berupa garis lingkaran dari konik
terdapat juga grafik persamaan kutub yaitu kardioid, limason, lemniskart, dan
mawar. Walaupun bentuk grafiknya rumit namun persamaannya tetap sederhana
kalau digunakan persamaan kutub.
5
Sifat simetris dapat membantu menggambarkan sebuah grafik. Berikut
ini ada beberapa pengujian kesimetrisan yang berguna dalam koordinat kutub.
a. Grafik persamaan kutub simetri terhadap sumbu x, yaitu sumbu kutub dari
perpanjangannya kekiri. Apabila θ diganti dengan –θ akan menghasilkan
persamaan yang sama.
b. Grafik persamaan kutub simetri terhadap sumbu y, maka tetap akan
menghasilkan persamaan yang sama (apabila θ diganti dengan π−θ)
c. Grafik persamaan kutub simetri terhadap titik asal apabila r diganti dengan
–r menghasilkan persamaan yang sama.
KARDIOID
Persamaannya r=a±bcosθ
r=a±b sinθ
a , b konstanta yang positif. Grafik dikatakan limason khusus atau kardioid
apabila a = b.
LEMNISKART
Persamaannya r2=±acos 2θ
r2=±a sin 2θ
MAWAR
Persamaannya r=acosnθ
6
r=acosnθ
Grafik persamaan kutub merupakan kurva-kurva berbentuk bunga
mawar. Banyaknya daun mawar itu adalah n apabila n ganjil dan 2n
apabila n genap.
Contoh Soal
Limason :
r = 1 – 2 cos θ
misal
θ=0→r=1−2cos0 °=1−2 (1 )=−1
θ=π2→r=1−2 cos90 °=1−2 ( 0 )=1
θ=2 π3→r=1−2cos 120°=1−2 (−1/2 )=2
θ=3 π4→r=1−2 cos135 °=1−2(−1
2√2)=2,4
θ=5 π6→r=1−2cos150 °=1−2(−1
2√3)=2,7
θ=π→r=1−2cos180 °=1−2 (−1 )=3
θ=7 π6→r=1−2cos210 °=1−2(−1
2√3)=2,7
θ=5 π4→r=1−2 cos225 °=1−2(−1
2√2)=2,4
θ=4 π3→r=1−2cos 240°=1−2 (−1/2 )=2
θ=3 π2→r=1−2 cos270 °=1−2 (0 )=1
7
Lemniskart :
r2=8 cos2θ
Penyelesaian :
Misal :
θ=0→r 2=8 cos2 (0 )=8cos0 °=8 (1 )=8→r=√8=±2,8
θ=π12→r2=8 cos2( π12 )=8 cos 30°=8( 1
2√3)=4√3→r=±2,6
θ=π6→r2=8 cos2( π6 )=8 cos 60°=8( 1
2 )=4→r=±2
θ=π4→r2=8 cos2( π4 )=8 cos 90 °=8 (0 )=0→r=0
8
Mawar
r=4cos 2θ
Penyelesaian :
Misal :
θ=0→r=4 cos0 °=4 (1 )=4
θ=π12→r=4 cos 2( π12 )=4 cos30 °=4( 1
2√3)=2√3
θ=π6→r=4 cos 2( π6 )=4 cos60 °=4( 1
2 )=2
9
θ=π4→r=4 cos 2( π4 )=4 cos90 °=4 (0 )=0
Dst ...
Soal :
1. Tentukan koordinat kartesius dari titik (16 , 34π ) !
2. Tentukan koordinat kutub dari titik (6 , 6) !
3. Tentukan koordinat kutub dari titik (0 , 25) !
4. Tentukan koordinat kartesius dari titik (8, 34π ) !
5. Tentukan koordinat kutub dari titik (-5 , 5) !
10
Kunci Jawaban :
1. Jika (r , θ )=¿(16 , 34π )
Maka :
x= r Cos θ y = r Sin θ
= 16 cos34π ¿16 sin
34π
= 16 cos 540°
4 = 16 sin
540°4
= 16 cos 135° = 16 sin 135°
= 16 .(−12
√2) = 16 .12
√2
= -8√2 = 8√2
Jadi (x,y) = (-8√2 , 8√2)
2. Jika (x,y) = (6 , 6)
maka
r2= x2+ y2
= (6)2+(6)2
= 36 + 36
= 72
r = √72
11
= 6√2
tg θ =yx
= 66
.......................kuadran I
= 1
θ = arc tg (1 )
θ = 45°
Jadi (r,θ) = (6√2 , 45 ° )
3. Jika (x,y) = (0 , 25)
maka
r2= x2+ y2
= (0)2+(25)2
= 0 + 625
= 625
r = √625
= 25
tg θ =yx
= 250
= ∞
θ = arc tg (∞ )
θ = 90°
Jadi (r,θ) = (25 , 90 ° )
4. Jika (r , θ )=¿(8 , 34π )
12
Maka :
x= r Cos θ y = r Sin θ
= 8 cos34π ¿8 sin
34π
= 8 cos 540°
4 = 8 sin
540°4
= 8 cos 135° = 8 sin 135°
= 8 .(−12
√2) = 8 .12
√2
= -4√2 = 4√2
Jadi (x,y) = (-4√2 , 4√2)
5. Jika (x,y) = (-5 , 5)
maka
r2= x2+ y2
= (−5)2+(5)2
= 25 + 25
= 50
r = √50
= 5√2
tg θ =yx
= 5
−5
= −1 ..................kuadran IV
θ = arc tg (−1 )
13
θ = 180°−45 °
= 135°
Jadi (r,θ) = (5√2, 135 ° )
Daftar Pustaka
1. Panggabean, A.B. 2008. Kalkulus. Yogyakarta:Graha Ilmu.
14
2. Dra.Lusiana, M.Pd dan Dra. Hj. Farahdiba, M.Pd.2009. Diktat Kalkulus
Lanjutan. Palembang:Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan
Universitas PGRI Palembang.
15