kalkulus lanjut 001

17
SISTEM KOORDINAT Pierre Fermat dan Rene Decartes telah memperkenalkan sistem koordinat yang sekarang kita kenal dengan sistem koordinat kartesius atau siku-siku. Dasar pemikiran kedua orang Prancis ini ialah untuk menunjukkan kedudukan titik P pada bidang dengan dua bilangan (x,y). Setiap bilangan itu menggambarkan jarak dari dua sumber yang tegak lurus sesamanya. Y P(x,y) 0 X Memberikan jarak berarah dari dua sumbu yang tegak lurus bukanlah jalan satu-satunya untuk menunjukkan kedudukan suatu titik pada bidang. Cara lainnya ialah menggunakan koordinat kutub. Koordinat Kutub Dengan menggambar sebuah lingkaran yang berpusat di titik O dan P sebagai perpotongan antara sebuah lingkaran, r adalah jari-jari lingkaran dari θ adalah satu sudut antara sinar dan sumbu kutub maka (r,θ) dinamakan sepasang koordinat kutup dari titik P. 1

Upload: gold-dayona

Post on 30-Jul-2015

661 views

Category:

Education


9 download

TRANSCRIPT

Page 1: Kalkulus lanjut 001

SISTEM KOORDINAT

Pierre Fermat dan Rene Decartes telah memperkenalkan sistem koordinat

yang sekarang kita kenal dengan sistem koordinat kartesius atau siku-siku. Dasar

pemikiran kedua orang Prancis ini ialah untuk menunjukkan kedudukan titik P

pada bidang dengan dua bilangan (x,y). Setiap bilangan itu menggambarkan jarak

dari dua sumber yang tegak lurus sesamanya.

Y

P(x,y)

0 X

Memberikan jarak berarah dari dua sumbu yang tegak lurus bukanlah jalan

satu-satunya untuk menunjukkan kedudukan suatu titik pada bidang. Cara lainnya

ialah menggunakan koordinat kutub.

Koordinat Kutub

Dengan menggambar sebuah lingkaran yang berpusat di titik O dan P

sebagai perpotongan antara sebuah lingkaran, r adalah jari-jari lingkaran dari θ

adalah satu sudut antara sinar dan sumbu kutub maka (r,θ) dinamakan sepasang

koordinat kutup dari titik P.

P(r,θ)

r

O

1

Page 2: Kalkulus lanjut 001

Hubungan dengan Koordinat Kartesius

Y

P(x,y)

r P(r,θ)

y

0 x X

Cos θ = xr

x = r Cos θ

Sin θ = yr

y = r Sin θ

r = √ x2+ y2 r2=x2+ y2

Tg θ = yx

θ=arc tg yx

2

Page 3: Kalkulus lanjut 001

Contoh

Tentukan koordinat kartesius dari titik(4 ,34π ) !

Peny :

Jika (r,θ) = (4 ,34π )

Maka x=¿ r Cos θ y = r Sin θ

= 4 cos34π ¿4 sin

34π

= 4 cos 540°

4 = 4 sin

540°4

= 4 cos 135° = 4 sin 135°

= 4 .(−12

√2) = 4 .12

√2

= -2√2 = 2√2

Jadi (x,y) = (-2√2 , 2√2)

Tentukan koordinat kutub dari titik (-3, -√3 )

Peny :

Jika (x,y) = (-3, -√3 )

maka

3

Page 4: Kalkulus lanjut 001

r2= x2+ y2

= (−3)2+(−√3)2

= 9 + 3

= 12

r = 2√3

tg θ =yx

= −√3−3

...........................kuadran III

= 13√3

θ = arc tg( 13

√3) θ = 180°+30°

θ=210 °

Jadi (r,θ) = (2√3 , 2100 )

PERSAMAAN KUTUB

a. Persamaan kutub untuk garis

θ°=0 θ°=12π

(θ−θ° ¿

θ°

r=d

cos (θ−θ°)r= dcosθ

r=d

sin θ

4

Page 5: Kalkulus lanjut 001

b. Persamaan kutub untuk lingkaran

θ°

r=2acos(θ−θ°) r=2acosθ r=2a sinθ

c. Persamaan kutub sebuah Konik (elips, parabola, atau hiperbola)

θ°

r=ed

1+eCos (θ−θ°) r=

ed1+eCosθ r=

ed1+eSin θ

Elips (e < 1)

Parabola (e = 1)

Hiperbola (e > 1)

GRAFIK PERSAMAAN KUTUB

Selain grafik persamaan kutub yang berupa garis lingkaran dari konik

terdapat juga grafik persamaan kutub yaitu kardioid, limason, lemniskart, dan

mawar. Walaupun bentuk grafiknya rumit namun persamaannya tetap sederhana

kalau digunakan persamaan kutub.

5

Page 6: Kalkulus lanjut 001

Sifat simetris dapat membantu menggambarkan sebuah grafik. Berikut

ini ada beberapa pengujian kesimetrisan yang berguna dalam koordinat kutub.

a. Grafik persamaan kutub simetri terhadap sumbu x, yaitu sumbu kutub dari

perpanjangannya kekiri. Apabila θ diganti dengan –θ akan menghasilkan

persamaan yang sama.

b. Grafik persamaan kutub simetri terhadap sumbu y, maka tetap akan

menghasilkan persamaan yang sama (apabila θ diganti dengan π−θ)

c. Grafik persamaan kutub simetri terhadap titik asal apabila r diganti dengan

–r menghasilkan persamaan yang sama.

KARDIOID

Persamaannya r=a±bcosθ

r=a±b sinθ

a , b konstanta yang positif. Grafik dikatakan limason khusus atau kardioid

apabila a = b.

LEMNISKART

Persamaannya r2=±acos 2θ

r2=±a sin 2θ

MAWAR

Persamaannya r=acosnθ

6

Page 7: Kalkulus lanjut 001

r=acosnθ

Grafik persamaan kutub merupakan kurva-kurva berbentuk bunga

mawar. Banyaknya daun mawar itu adalah n apabila n ganjil dan 2n

apabila n genap.

Contoh Soal

Limason :

r = 1 – 2 cos θ

misal

θ=0→r=1−2cos0 °=1−2 (1 )=−1

θ=π2→r=1−2 cos90 °=1−2 ( 0 )=1

θ=2 π3→r=1−2cos 120°=1−2 (−1/2 )=2

θ=3 π4→r=1−2 cos135 °=1−2(−1

2√2)=2,4

θ=5 π6→r=1−2cos150 °=1−2(−1

2√3)=2,7

θ=π→r=1−2cos180 °=1−2 (−1 )=3

θ=7 π6→r=1−2cos210 °=1−2(−1

2√3)=2,7

θ=5 π4→r=1−2 cos225 °=1−2(−1

2√2)=2,4

θ=4 π3→r=1−2cos 240°=1−2 (−1/2 )=2

θ=3 π2→r=1−2 cos270 °=1−2 (0 )=1

7

Page 8: Kalkulus lanjut 001

Lemniskart :

r2=8 cos2θ

Penyelesaian :

Misal :

θ=0→r 2=8 cos2 (0 )=8cos0 °=8 (1 )=8→r=√8=±2,8

θ=π12→r2=8 cos2( π12 )=8 cos 30°=8( 1

2√3)=4√3→r=±2,6

θ=π6→r2=8 cos2( π6 )=8 cos 60°=8( 1

2 )=4→r=±2

θ=π4→r2=8 cos2( π4 )=8 cos 90 °=8 (0 )=0→r=0

8

Page 9: Kalkulus lanjut 001

Mawar

r=4cos 2θ

Penyelesaian :

Misal :

θ=0→r=4 cos0 °=4 (1 )=4

θ=π12→r=4 cos 2( π12 )=4 cos30 °=4( 1

2√3)=2√3

θ=π6→r=4 cos 2( π6 )=4 cos60 °=4( 1

2 )=2

9

Page 10: Kalkulus lanjut 001

θ=π4→r=4 cos 2( π4 )=4 cos90 °=4 (0 )=0

Dst ...

Soal :

1. Tentukan koordinat kartesius dari titik (16 , 34π ) !

2. Tentukan koordinat kutub dari titik (6 , 6) !

3. Tentukan koordinat kutub dari titik (0 , 25) !

4. Tentukan koordinat kartesius dari titik (8, 34π ) !

5. Tentukan koordinat kutub dari titik (-5 , 5) !

10

Page 11: Kalkulus lanjut 001

Kunci Jawaban :

1. Jika (r , θ )=¿(16 , 34π )

Maka :

x= r Cos θ y = r Sin θ

= 16 cos34π ¿16 sin

34π

= 16 cos 540°

4 = 16 sin

540°4

= 16 cos 135° = 16 sin 135°

= 16 .(−12

√2) = 16 .12

√2

= -8√2 = 8√2

Jadi (x,y) = (-8√2 , 8√2)

2. Jika (x,y) = (6 , 6)

maka

r2= x2+ y2

= (6)2+(6)2

= 36 + 36

= 72

r = √72

11

Page 12: Kalkulus lanjut 001

= 6√2

tg θ =yx

= 66

.......................kuadran I

= 1

θ = arc tg (1 )

θ = 45°

Jadi (r,θ) = (6√2 , 45 ° )

3. Jika (x,y) = (0 , 25)

maka

r2= x2+ y2

= (0)2+(25)2

= 0 + 625

= 625

r = √625

= 25

tg θ =yx

= 250

= ∞

θ = arc tg (∞ )

θ = 90°

Jadi (r,θ) = (25 , 90 ° )

4. Jika (r , θ )=¿(8 , 34π )

12

Page 13: Kalkulus lanjut 001

Maka :

x= r Cos θ y = r Sin θ

= 8 cos34π ¿8 sin

34π

= 8 cos 540°

4 = 8 sin

540°4

= 8 cos 135° = 8 sin 135°

= 8 .(−12

√2) = 8 .12

√2

= -4√2 = 4√2

Jadi (x,y) = (-4√2 , 4√2)

5. Jika (x,y) = (-5 , 5)

maka

r2= x2+ y2

= (−5)2+(5)2

= 25 + 25

= 50

r = √50

= 5√2

tg θ =yx

= 5

−5

= −1 ..................kuadran IV

θ = arc tg (−1 )

13

Page 14: Kalkulus lanjut 001

θ = 180°−45 °

= 135°

Jadi (r,θ) = (5√2, 135 ° )

Daftar Pustaka

1. Panggabean, A.B. 2008. Kalkulus. Yogyakarta:Graha Ilmu.

14

Page 15: Kalkulus lanjut 001

2. Dra.Lusiana, M.Pd dan Dra. Hj. Farahdiba, M.Pd.2009. Diktat Kalkulus

Lanjutan. Palembang:Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan

Universitas PGRI Palembang.

15