kalkulus 3 leng
DESCRIPTION
kalkulus 3 lengkapTRANSCRIPT
PERSAMAAN DIFERENSIAL
(KALKULUS III)
Pendahuluan
Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat satu atau lebih dari
satu turunan (derivative) dan digolongkan berdasarkan :
(i) Tipenya, yaitu :
(a) Jika pada persamaan diferensial terdapat hanya satu ubahan (variabel)
bebas, maka persamaan diferensial tersebut disebut persamaan diferensial
biasa.
Contoh :
1.dydx
= x + 5
2.d2 ydx2 + 3
dydx
+ 2y = 0
(b) Jika pada persamaan diferensial terdapat lebih dari satu ubahan (variabel)
bebas, maka persamaan diferensial disebut persamaan diferensial parsial.
Contoh :
1. ∂ Z∂ x = z + x
∂ z∂ y
2.∂2 z∂ x2 +
∂2 z∂ y2 = x2 + y
(ii) Jenis (order)nya, yaitu :
Jenis (order) persamaan diferensial ditentukan oleh jenis tertinggi dari
turunan (derivative) yang terdapat pada persamaan diferensial tersebut.
(iii) Pangkat (degree)nya, yaitu
1
2
Pangkat dari turunan jenis tertinggi yang terdapat pada persamaan diferensial
tersebut, setelah persamaan diferensial itu dibersihkan dari pecahan dan akar
dalam ubahan (variabel) dan turunannya.
Penyelesaian Persamaan Diferensial
y = f(x) dikatakan penyelesaian suatu persamaan diferensial, jika persamaan
diferensial itu tetap memenuhi kalau y dan turunan-turunannya digantikan pada
f(x)
Contoh :
y = c1 cos x + c2 sin x adalah penyelesaian dari persamaan diferensial
d2 ydx2
+ y=0…………………………………………………….(1)
Penyelesaian :
y = c1 cos x + c2 sin x
dydx
= d ¿¿
= -c1 sin x + c2 cos x
d2 ydx2 = d ¿¿
= -c1 sin x - c2 cos x
Jika y dan turun-turunannya digantikan pada persamaan diferensial (1), diperoleh:
-c1 cos x - c2 sin x + c1 cos x + c2 sin x = 0
Sehingga benar bahwa y = c1 cos x + c2 sin x merupakan penyelesaian dari
d2 ydx2 + y = 0
1. Variabel-variabel yang Dapat Dipisahkan
Persamaan Diferensial
M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0 merupakan persamaan diferensial dengan
ubahan terpisah jika dapat dikembalikan ke bentuk.
f1 (x) . g2 (y) dx + f2 (x) . g1 (x) dy = 0 …………………….(1)
×1
y x2
3
Kedua ruas dari (1) dikalikan 1
f 2 ( x ) . g2( y ) diperoleh :
f 1(x)f 2( y ) dx +
g1( y)g2( y) dy = 0
Selanjutnya dengan mengintegralkan kedua ruas diperoleh penyelesaiannya.
Catatan :
1f 2 ( x ) . g2(x) disebut faktor integrasi dari persamaan diferensial……………...(1)
Contoh :
1. Tentukan penyelesaian umum dari :
x3 dx + (y + 1)2 dy = 0
Penyelesaian :
∫ x3 dx + ∫¿¿y + 1)2 dy = ∫0
∫ x3+1
3+1 dx + ∫( y+1)2 d(y+1) = c1
x4
4 + ∫ ( y+1)2+1
2+1 = c
x4
4 + y+13
3 = c
2. Tentukan penyelesaian umum dari :
(x–1)2 ydx + x2 (y+1) dy = 0 ………………….(1)
Penyelesaian :
(x – 1)2 ydx + x2 (y + 1) dy = 0
( x−1 )2
yx 2ydx+x2 ( y+1)
yx2dy=0
( x−1 )2
x2dx+
( y+1 )y
dy=0
4
( x2−2x+1)x2
dx+( yy+ 1
y )dy=0
( x2
x2
−2 xx2
+ 1x2 )dx+(1+ 1
y )dy=0
∫(1−2x+
1
x2 ) dx + ∫(1+ 1y ) dy = ∫0
∫ dx - 2∫ dxx + ∫ x−2
dx + ∫ dy + ∫ dyy = ∫0
x – 2 ln x + x−2+11
−2+1 + y + ln y = c
x – 2 ln x - 1x + y + ln y = c
x - 1x
+ y – ln x2 + ln y = c
x - 1x + y + ln
y
x2 = c
3. Tentukan penyelesaian umum dari 4xdy – ydx – x2dy = 0
Penyelesaian :
4xdy – ydx – x2dy = 0
ydx + (x2 – 4x) dy = 0………………………………….(1)
1
y ( x2−4 x ) , merubah persamaan diferensial (1) menjadi :
dxx (x−4 )
+ dyy
=0
14
.dx
x−4− 1
4.
dxx
+ dyy
=0
dxx−4
−dxx
+4dyy
=0
5
Dengan mengintegralkan diperoleh :
1n (x – 4) – 1n x + 4 ln y = 1n c
x−4x
. y4=c
(x . -4) y4 = cx
4. Tentukan penyelesaian khusus persamaan diferensial
(1 + x3) dy – x2 ydx = 0 untuk x = 1 dan y = 2
Penyelesaian :
Pertama untuk menyelesaikan penyelesaian umum ditentukan dahulu faktor
integrasi. Faktor integrasinya adalah
1
y (1+x3 ) maka persamaan diferensial,
(1 + x3) dy – x2 ydx = 0 menjadi :
dyy
− x2dx1+x3
=0
∫ dy
y−∫ x2
1 . x3=0
∫ dy
y−1
3∫ d (1+x3 )
1 + x3=c1
ln y −1
31n (1+x3 )=c1
3 1n y = 1n (1 + x3) + 3 c1
1n y3 = 1n (1 + x3) + 1n c
y3 = c (1 + x3) …………………………………………..(1)
Dengan mengganti x = 1, y = 2 pada persamaan (1), diperoleh :
y3 = c (1 + 13)
8 = 2 c
6
c = 4
Sehingga diperoleh penyelesaian khusus
y3 = 4 (1 + x3 )
2. Persamaan Diferensial Homogen
Definisi :
f (x) dikatakan homogen pangkat njika f (x, y) = n . f (x, y)
Contoh :
(i) f (x,y) = x4 – x3 y
f (x, y) = (x)4 + (x)3 . (y)
= 4x4 + 4 x3 y
= 4 f (x,y)
Sehingga f (x,y) homogen pangkat 4.
(ii) f (x,y) = e
yx+ tan
yx
f (x, y) = e
λyλx
+ tanλyλx
= e
yx+ tan
yx
= 0 (ey/x – tan
yx )
= 0 f(x,y)
Sehingga f (x,y) homogen pangkat 0.
7
(iii) f (x,y) = x5 + xy tidak homogen, sebab :
f (x, y) = (x)5 + (x) . (y)
= 55 + 5 xy
= n f (x,y)
Definisi :
Persamaan diferensial M(x, y) dx + N(x,y) dy = 0 disebut homogen jika M(x,y) dan N(xy) keduanya homogen dengan pangkat yang
sama
Teorema :
Jika f(x,y), homogen pangkat n
Maka f(x,y) = xn . f(v) dengan v =
yx
Bukti :
f(x,y) homogen pangkat n
Sehingga f (x, y) = n . f (x,y)
Jika dipilih =
1x , maka
f (1 ,yx )= 1
xnf (x , y )
f (x,y) = xn . f (1 ,
yx )
f (x,y) = xn . f(v) dengan v =
yx
Teorema:
M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0 adalah persamaan diferensial homogen.M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0 dapat dikembalikan ke dalam persamaan
diferensial dengan variabel terpisah dengan penggantian y = vx atau vy
8
Bukti:
Diadakan substitusi y = v x
dy = vdx + xdv
Sehingga M(x,y) dx + N (x,y) dy = 0 menjadi
xn . M1 (v) dx + xn . (N1 (v) [vdx + xdv] = 0
M1 (v)dx + v . N1 (v) dx + xN1 (v) dv = 0
[M1(v) + v . N1(v)] dx + x . N1 (v) dv = 0
dxx
+N1 (v )
M 1( v )+v . N 1(v )dv=0
Persamaan diferensial di atas merupakan persamaan diferensial dengan variabel
terpisah. Penyelesaian umumnya diperoleh dengan mengintegralkan dan
kemudian mengganti kembali v dengan
yx .
Contoh :
1. Tentukan penyelesaian umum dari
2xy dx – (x2 – y2) dy = 0 …………………………………(1)
Penyelesaian :
M(x,y) = 2 xy
M(x, y) = 2 . 2xy = 2 M(x,y)
N(x,y) = -(x-2 – y2)
N (x, y) = -[(x)2 – (y)2]
= -[2 x2 - 2 y2]
= 2 . [-(x2 – y2)]
= 2 N(x,y)
M(x,y) dan N(x,y) keduanya homogen dengan pangkat sama, sehingga
persamaan diferensial (1) adalah homogen. Diadakan penggantian y = vx,
persamaan diferensial (1) menjadi :
2x2vdx – (x2 – v2x2) (vdx + xdv) = 0
9
dxx
+ v2−1v (1+v2 )
dv=0
dxx
−dvv
+ 2vdv
1+v2=0
1n
x(1+v2 )v
=1 n c
x2 + y2 = cy
2. Tentukan penyelesaian umum dari persamaan diferensial
(x3 + y3) dx – 3 xy2 dy = 0 …………………………………(1)
Penyelesaian :
Persamaan (1) adalah homogen pangkat 3.
Dengan penggantian y = vx, dy = v dx + x dv diperoleh :
(x3 + v3 x3) dx – 3 x3 v2 (vdx + xdv) = 0
(1 + 2 v3) dx – 3 v2 xdv = 0
Dengan faktor integrasi
1
x (1−2v3 ) , persamaan menjadi :
dxx
− 3v2 dv1−2v3
=0
Selanjutnya diintegralkan dan dengan penggantian kembali v =
yx diperoleh
penyelesaian umum x3 – 2y3 = cx
3. Persamaan Diferensial Linier
Persamaan diferensial jenis satu disebut linier jika ubahan tak bebas dan
turunannya berpangkat satu. Bentuk persamaan diferensial jenis satu linier
adalah :
dydx
+ y . P ( x )=Q ( x ) ……………………………..(1)
10
Berikut ini disajikan cara-cara menentukan penyelesaian umum persamaan
diferensial jenis satu linier, yaitu :
(i) Cara Bernoulli
dydx
+ y . P( x )=Q ( x ) ……………………………...(1)
Dengan transformasi y = uv,
dydx
=udvdx
+vdudx persamaan diferensial
(1) menjadi :
u [ dv
dx+v . P( x )]+v .
dudx
= Q ( x )……………………(2)
selanjutnya ditentukan v sedemikian hingga
dvdx
+v . P (x )=0
dvv
+P (x )dx=0
1n v = -∫ P(x) dx
v=e−∫ P(x )dx
Dari persamaan diferensial (2), diperoleh :
e−∫ P( x ) dx du
dx. Q ( x )
du = e∫ P( x ) dx
. Q ( x ) dx
u = ∫ e∫ P (x )dx.Q( x )dx+c
Sehingga penyelesaian umum dari (1) adalah : y = u v
y = [∫ e∫ P (x ) dx
. Q ( x ) dx+c ] . e∫P (x ) dx
11
(ii) Cara Lagrange
dydx
+ y . P( x )=Q ( x )…………………………………(1)
Persamaan diferensial diredusir, yaitu dengan memberi nilai
dydx
+ y . P ( x )=0
dyy
=−P( x )dx
ln y=−∫P ( x ) dx+1n c
y = c . e−∫ P( x ) dx
Selanjutnya dianggap
y = c (x) .e−∫ P( x ) dx
……………………………(2)
Memenuhi persamaan diferensial (1)
y = c (x) . e−∫ P( x ) dx
1n y = 1n c (x) - ∫ P (x) dx
1y
dydx
= 1c ( x )
.d [c ( x ) ]
dx−P ( x )
dydx
+ y . P ( x ) yc ( x )
.d [ c ( x ) ]
dx
Sehingga
vc ( x )
.d [c ( x )]
dx=Q ( x )
c ( x ) e−∫ P (x ) dx
cx.
d [ c ( x ) ]dx
=Qx
12
d [ c (x )]=e∫ P ( x ) dx. Q ( x ) dx
c (x) = ∫ e∫ P (x ) dx. Q ( x ) dx+k
Sehingga penyelesaian umumnya.
y = [∫ e∫P (x )dx
Q( x )dx+k ]e−∫P ( x )dx
Dapat dilihat bahwa dengan menggunakan cara-cara di atas, diperoleh
penyelesaian yang sama.
Contoh :
dydx
− yx=x
Dengan Cara Bernoulli
y '+Py=Q P dan Q adalah fungsi dari x
Penyelesaian :
dydx
− yx=x (P=−1
x,Q=x)
Dengan Rumus : y = e∫ Pdx [e∫Pdx Q dx+c ] y = e ln x [∫e−ln x . xdx+c ]
= e ln x [∫ e−ln x xdx+c ]
= x [∫ eln x−1
. x dx+c ]= x [∫ x−1 . x dx+c ]= x [∫ dx+c ]
y = x [ x+c ]
y = x2 + xc
× y
13
Jadi, y = x2 + cx
Dengan Cara Lagrange :
dydx
− yx=x
Penyelesaian :
dydx
− yx=0
dydx
= yx
dyy
=dxx
Didapat :
∫ dyy
=∫ dxx
ln y = ln x + ln C
c sebagai fungsi dari x
atau y = c(x) .x
ln y = ln c(x) +ln x
Diferensial ke x :
1y
dydx
= 1c( x )
.dc ( x )
dx+ 1
x
dydx
= yc( x )
.dc ( x )
dx+ y
x
dydx
− yx=
c ( x ) . xc ( x )
.dc (x )
dx= x
y = cx
14
x .
dc ( x )dx
=x
Maka d c(x) = dx
dc ( x )dx
=1→∫ dc (x )=∫dx
c ( x )=x+c
4. Persamaan Diferensial Eksak
Persamaan Diferensial
M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 …………………………………(1)
Merupakan diferensial eksak jika ruas kiri merupakan diferensial total.
Dengan demikian ada u(x,y) sedemikian hingga
∂u∂ x
=M ( x , y ) dan∂u∂ y
=N ( x , y )
Teorema :
Bukti :
(i) Akan dibuktikan jika M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 eksak maka
∂ M∂ y
=∂ N∂ x
Bukti :
M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 eksak, maka ada u(x,y) sedemikian hingga :
∂u∂ x
=M ,∂2 u
∂ y ∂ x=∂ M
∂ y
Persamaan diferensial M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 adalah eksak
jika dan hanya jika
∂ M∂ y
=∂ N∂ x
15
∂u∂ y
=N ,∂2 u
∂ x∂ x=∂ N
∂ x
Karena
∂2u∂ y ∂ x
= ∂2 u∂ x ∂ y
, maka∂ M∂ y
=∂ N∂ x
(ii) Akan dibuktikan jika ada u(x,y) sedemikian hingga :
∂u∂ x
=M,
∂u∂ x
=N maka M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 adalah eksak.
Bukti :
∂u∂ x
=M ( x , y )
u( x , y )=∫M ( x , y ) dx+c ( y )
Diturunkan ke y
∂u∂ x
=∂[∫ M ( x , y )dx ]
∂ y+
∂ [ c ( y ) ]∂ y
=N ( x , y )
Sehingga
∂[c ( y )]∂ y
=N (x , y )−∂ [∫ M ( x , y )dx ]
∂ y
c ( y )=∫ N ( x , y )−
∂ [∫M ( x , y )dx ]∂ y
dy+k
c (y) hanya bergantung pada y, sehingga
N ( x , y )−∂ [∫M ( x , y )dx ]
∂ y , tidak bergantung pada x maka
∂[ N ( x , y ) ]∂ x
−∂[ M ( x , y )dx ]
∂ x ∂ y=0
∂ N∂ x
−∂ M∂ y = 0
∂ N∂ x
=∂ M∂ y
16
Cara penyelesaian persamaan diferensial eksak seperti pada bukti teorema di
atas.
Contoh :
1. Tentukan penyelesaian umum persamaan diferensial :
(x2 – y) dx + (y2 – x) dy = 0 ………………………………...(1)
Penyelesaian :
P = x2 – y ; Q = y2 – x
∂ P∂ y
=−1;
∂Q∂ x
=−1
∂ P∂ y
= ∂Q∂ x = - 1 → maka persamaan (1) adalah persamaan
diferensial eksak
P =
∂ P∂ x
=x2− y; Q =
∂ F∂ y
= y2−x
Maka : f (x,y) = ∫( x2− y ) dx+c ( y )
f (x,y) =
13
x3−xy+c ( y )
Sehingga
∂ F∂ y
=∂[ 1
3x3−xy+dc( y ) ]
∂ y= y2−x
= - x +
∂c ( y )∂ y
= y2−x
∂c ( y )∂ y
= y2−x+ x
= y2
c(y) = ∫ y2 dy
17
=
13
y3+c1
Jadi, persamaan umum → f (x,y) =
13
x3−xy+ 13
y3=c1atau
f (x,y) = x3 – 3xy + y3 ≠ c
2. Tentukan penyelesaian umum persamaan diferensial :
(x2 – y) dx – xdy = 0 ……………………………………(1)
Penyelesaian :
P = x2 – y ; Q = – x
∂ P∂ y
=−1;
∂Q∂ x
=−1
∂ P∂ y
= ∂Q∂ x = - 1 → maka persamaan (1) adalah persamaan
diferensial eksak
P =
∂ F∂ x
=x2− y; Q =
∂ F∂ y
=−x
Maka : f (x,y) = ∫( x2− y ) dx+c ( y )
f (x,y) =
13
x3−xy+c ( y )
Sehingga
∂ F∂ y
=∂[ 1
3x3−xy+c( y ) ]
∂ y=−x
- x +
∂c ( y )∂ y
=−x
∂c ( y )∂ y
=−x+ x
= 0
18
c(y) = ∫0 dy
= c1
Jadi, persamaan umum → f (x,y) =
13
x3−xy=c1
5. Faktor Integrasi
Jika persamaan M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0……………………..(1)
Bukan persamaan diferensial eksak maka (1) perlu dikalikan faktor integrasi
f sehingga (1) menjadi eksak.
f M(x,y) dx + f N(x,y) dy = 0 ………………………………..(2)
Sehingga
∂ M∂ y
=∂ N∂ x
f∂ M∂ y
+M∂ f∂ y
=f∂ N∂ x
+N∂ f∂ x ……………………….....(3)
(i) Jika f adalah bentuk dalam x saja, maka
∂ f∂ y = 0 sehingga (3) menjadi :
f . [ ∂ M∂ y
−∂ N∂ x ]=N
dfdx
dff
=[ ∂ M∂ y
−∂ N∂ x ]
Ndx
f =e∫
∂m∂ y
−∂ N∂X
Ndx
19
(ii)Jika f merupakan bentuk dalam y saja, maka
∂ f∂ x
=0 sehingga persamaan
(3) menjadi.
f . [∂ N∂ x
−∂ M∂ y ]=M
dfdy
dff
=[ ∂ N∂ x
−∂ M∂ y ]
Mdx
f = e
∫ ∂ m∂ x
−∂ m∂ y
Mdx
Contoh :
1. Selidikilah bahwa (x2 + y2 + x) dx + xy dy = 0 bukan eksak.
Kemudian tentukan faktor integrasi f sehingga persamaan diferensial
tersebut menjadi eksak.
Penyelesaian :
M(x,y) = x2 + y2 + x ; N(x,y) = xy
∂ M∂ y
=∂( x2+ y2+x )
∂ y=2 y
;
∂ N∂ x
=∂( xy )∂ x
= y
∂ M∂ y
≠∂ N∂ x
Persamaan diferensial di atas bukan eksak.
∂ M∂ y
−∂ N∂x
N=∂ y− y
xy= y
xy=1
x
Faktor integrasinya f(x) = e∫
∂m∂ y
−∂ N∂X
Ndx
20
= e∫ 1
xdx
= eln x
= x
f M(x,y) dx + f N(x,y) dx = 0
x(x2 + y2 + x) dx + x(x,y) dy = 0
(x3 + xy2 + x2 ) dx + x2y dy = 0
P = x3 + xy2 + x2 ; Q = x2y
∂u∂ x = P = x3 + xy2 + x2
u = ∫( x3+xy2+x2 )dx+φ( y )
=
x4
4+ x2
2y2+ x3
3+φ ( y )
Diturunkan ke y
∂u∂ y
=∂ ( x4
4+ x2
2y+ x3
3 )∂ y
+∂ (∅ )∂ y
=x2 y
x2y +
∂(φ)∂ y
=x2 y
∂(φ)∂ y
=x2 y−x2 y=0
φ=cSehingga
x4
4+ x2 y
2
2
+ x3
3=c
2. Tentukan penyelesaian umum persamaan diferensial
(2xy4 ey + 2xy3 + y) dx + (x2 y4ey – x2y2 – 3x) dy = 0
21
Penyelesaian :
M(x,y) = 2xy4 ey + 2xy3 + y
N(x,y) = x2 y4 ey – x2y2 – 3x
∂ M∂ y
≠∂ N∂ x
Faktor integrasinya f(y) = e∫
∂ M∂ y
−∂ N∂ x
Mdy
= e∫ 1
ydy
= e−4 ln y
=
1
y4
Dengan faktor integrasi f (x) = 1
y4 persamaan diferensial menjadi :
(2 xe y+ 2xy
+ 13 ) dx+(x2 e y− x2
y2−3 x
y1 ) dy=0
Yang merupakan persamaan diferensial eksak.
Ada (x,y) = c1 sehingga
∂ μ∂ x
=2 xe y+ 2 xy
+ 1
y3
= ∫(2 xe y+
2 xy
+1
y3 ) dx+∅ ( y )
∂ μ∂ x
= x2 e y− x2
y2−3 x
y 4+ d∅
dy=x2 e y− x2
y2−3 x
y 4
Sehingga :
22
d∅dy
=0
= c dengan c konstanta
Dengan demikian penyelesaian umumnya :
x2 cy +
x2
y+ x
y3+c2=c1
x2 ey +
x2
y+ x
y3=c
Teorema :
Jika M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 homogen pangkat n dan Mx + Ny ≠ 0
Maka
1Mx+ Ny [M(x,y) dx + N(x,y) dy] = 0 adalah eksak
1Mx+ Ny disebut faktor integrasi
Bukti :
1Mx+ Ny
(Mdx+Ndy )=0
MMx+ Ny
dx+ NMx+Ny
dy=0
∂( MMx+Ny )∂ y
=( Mx+Ny ) ∂ M
∂ x−M (x
∂ M∂ y
+ N+ y∂ N∂ y )
( Mx+Ny )2
∂( MMx+Ny )∂ y =
Ny∂ M∂ y
−MN−My∂ N∂ y
( Mx+Ny )2
23
∂( NMx+Ny )∂ y
=( Mx+Ny ) ∂ N
∂ x−N (M +∂ M
∂ y+ y
∂ N∂ y )
( Mx+Ny )2
=
Mx∂ M∂ x
−MN−Nx∂ M∂ X
( Mx+Ny )2
∂( MMx+Ny )∂ y
−∂( N
Mx+Ny )∂ x
=N (nM )−M (nN )
(Mx+Ny )2=0 , sehingga
1Mx+ Ny
( M (x , y ) dx+N ( x , y ) dy )=0 eksak.
Contoh :
Tentukan penyelesaian umum persamaan :
(x4 + y4) dx – xy3 dy = 0 …………………………………….(1)
Penyelesaian :
x4 + y4 dan – xy3 homogen pangkat 4, faktor integrasinya
1
( x4+ y4 ) x−( xy3 ) y= 1
x5
Persamaan (1) menjadi ( 1
x+ y4
x5 )dx− y3
x4dy=0
yang merupakan persamaan
diferensial eksak.
Ada (x,y) = c1 sedemikian sehingga
∂u∂ x
=1x+ y 4
x5
24
= ln x -
14+ y4
x 4+∅ ( y )
Diturunkan ke y
∂u∂ y
=− y3
x4+ d∅
dy=− y3
4
Sehingga :
d∅dy
=0⇔∅=c2
Dengan demikian penyelesaian umumnya adalah
ln x –
14
.y4
x4+c2=c1
ln x −1
4.
y4
x4=c
6. Soal-Soal Latihan
6.1. Variabel-Variabel yang Dapat Dipisahkan
1. x2 ( y+1 ) dx+ y2 ( x−1 ) dy=0
2. dydx
= 4 yx ( y−3)
3. x(2y-3)dx – (x2+1¿dy=0
4. x2 ( y2−1 ) dx+√x3+1 = 0
5. dydx
ex− y
6.2. Persamaan difrensial homogen
1. x dy – x dx - √ x2− y2 dx = 0
2. (2x + 3y) dx + (y-x) dy = 0
3. (x + y) dy + (x-y) dx = 0
4. x2 dy+( y2−xy ) dx=0
25
5. (x2 + y2) dy – y2 dx = 0
6.3. Persamaan Diferensial Linier
1. dydx
+2 xy=4 x
2. xdydx
= y+x3+3 x2−2 x
3. ( x−2 ) dydx
= y+2 ( x−2 )3
4. dydx
+ ycot x=¿5 ecos x ¿
5. dydx
+ y=2+2 x
6.4. Persamaan Diferensial Eksak
1. (4x3y3 – 2xy) dx + (3x4y2 – x2) dy = 0
2. 3e3xy – 2x dx + e3x dy = 0
3. [ cos y+ y cos x ] dx + [ sin x−x sin y ] dy = 0
4. (2x3 + 3y) dx + (3x + y – 1) dy = 0
5. y(x – 2y) dx – x2 dy = 0
6.5. Faktor Integrasi
1. x dx + y dy = ( x2 + y2 ) dx
2. ( 2y – 3x ) dx + x dy = 0
3. (x-y2) dx + 2xy dy = 0
4. (3 x2+ y2 ) dx−2xy dy=0
5. y dx- x dy = 0
7. Rangkuman
Penyelesaian Persamaan Diferensial
26
v = f (x) dikatakan penyelesaian suatu perencanaan diferensial, jika
persamaan diferensial itu tetap memenuhi kalau y dan turun-turunannya
digantikan pada f(x).
A. Variabel-variabel yang Dapat Dipisahkan
Persamaan Diferensial
M(x,y) dx + N (x,y) = 0 merupakan persamaan diferensial dengan
ubahan terpisah jika dapat dikemabalikan ke bentuk
f1 (x) . g2 (y) dx + f2 (x) . g1 (x) dy = 0 …………………..(1)
Kedua ruas dari (1) dikalikan
1f 2 ( x ) . g2 ( y ) diperoleh :
f 1 (x )f 2 ( y )
dx+g1 ( y )g2 ( y )
dy=0
Selanjutnya dengan mengintegralkan kedua ruas diperoleh
penyelesaiannya.
B. Persamaan Diferensial Homogen
f(x) dikatakan homogen pangkat n jika f (x . y) = n . f (x,y).
Jika f(x,y) homogen pangkat n, maka f(x,y) = xn . f(v) dengan v =
yx (x,y)
homogen pangkat n, sehingga f (x, y) = n . f(x,y).
C. Persamaan Diferensial Linier
Persamaan diferensial jenis satu disebut linier jika ubahan tak
bebas dan turunannya berpangkat satu. Bentuk persamaan diferensial
jenis satu linier adalah.
dydx
+ y . P( x )=Q( x )…………………………………..(1)
Berikut ini disajikan cara menentukan penyelesaian umum
persamaan diferensial jenis satu linier, yaitu :
a. Cara Bernoulli
27
y=¿
b. Cara Lagrange
y=¿
e∫ P (x ) dx ). y=∫e∫ P( x )dx
Q (x )dx+k
D. Persamaan Diferensial Eksak
Persamaan Diferensial
M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 ……………………………..(1)
Merupakan diferensial eksak jika ruas kiri merupakan diferensial
total. Dengan demikian ada u(x,y) sedemikian hingga.
Teorema :
Persamaan diferensial M(x,y) dx + N(x,y)dy = 0 adalah eksak jika dan
hanya jika
∂ M∂ y
=∂ N∂ x
E. Faktor Integrasi
Jika persamaan M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 ………………(1)
Bukan persamaan diferensial eksak maka (1) perlu dikalikan faktor
integrasi f sehingga (1) menjadi eksak.
f M(x,y) dx + f N(x,y) dy = 0 ……………………..(2)
Sehingga
∂ M∂ y
=∂ N∂ x
f =e∫
∂m∂ y
−∂ N∂X
Ndx
28
8. Soal dan Pembahasan Persamaan Diferensial
8.1. Variabel-Variabel yang Dapat Dipisahkan
1.x2 ( y+1 ) dx+ y2 ( x−1 ) dy=0
Penyelesaian :
x2 ( y+1 ) dx+ y2 ( x−1 ) dy=0❑ ×
1( y+1 )(x−1)
x2 ( y+1 ) dx( y+1 )(x−1)
+ y2 ( y+1 )dx
( y+1 )(x−1) = 0
∫ x2
x−1dx+∫ y2
y+1dy=∫ 0
∫ x2
x− x2
1dx+∫ y2
y+ y2
1dy=∫0
∫ x−x2 dx+ y+ y2 dy=∫0
12
x2−13
x3+ 12
y2+ 13
y3=c
12(x¿¿2+ y2)+ 1
3(−x3+ y3 )=c ¿
2. dydx
= 4 yx ( y−3)
Penyelesaian :
29
4y dx = x(y-3)dy
x2 ( y+1 ) dx+ y2 ( x−1 ) dy=0❑ ×
1( y )(x )
4 y( y )
dx−x ( y−3)
( y )(x )dy=0
∫ 4x
dx –∫ y−3y
dy =∫0
4∫ dxx
dx –∫ yy−3
ydy =∫0
4 ln x−¿y −∫ 3y
dy=∫ 0
4 ln x−¿y −3∫ dyy
=∫ 0
4 ln x−¿y −3 ln y = c
Ln x4
y3− y=0
x4
y3− y=0
3.x(2y-3)dx – (x2+1¿dy=0
Penyelesaian :
x (2 y−3 )−( x2+1 )=0❑ ×
1(2 y−3)(x2+1)
x (2 y−3 )dx
(2 y−3)(x2+1)dx +
(x2+1)(2 y−3)(x2+1)
dy = 0
∫ x
(x2+1)dx+∫ dy
(2 y−3) = ∫0
Dimana :
Q= x2+1 v= 2y-3
dq= 2x dx dv = 2 dy
30
dx = dq2 x
dy = dv2
∫ x
x2+1dx+ dy
2 y−3=∫ 0
∫ xQ
.dQ2 x
+∫ 1v
.dv2
=∫0
12∫
dQ2 x
+ 12∫
dvv
=∫0
12
ln Q+¿ 12
ln v=ln c ¿
ln Q12 +ln v
12=ln c
ln Q12 . v
12=ln c
Q12 . v
12=c
(x2+1)12 . ¿¿
4. x2 ( y2−1 ) dx+√x3+1 = 0
Penyelesaian :
x2 ( y2−1 ) dx+√ x3+1=0❑ ×
1
( y2−1 ) . x3+1
x2 ( y2−1 )( y2−1 ) .√x3+1
dx+ √ x3+1( y2−1 ) . x3+1
dy=0
x2
√x3+1dx+ y
( y2−1 )dy=0
x2
(x3+1)12
dx+ y( y2−1 )
dy=0
Misal :
Q=(x3+1) v= y2−1
dQ=3 x2 dx dv=2 y dy
31
dx= dQ
3 x2 dy= dv2 y
∫ x2
Q12
.dQ3 x2 +∫ y
v.
dv2 y
=∫0
13∫
dQ
Q12
+ 12∫
dvv
=∫0
13
Q12 +¿ 1
2ln v=¿∫0¿¿
13
.2Q12 +¿ 1
2ln v=¿c ¿¿
23
.2 Q12 +¿ 1
2ln v=¿c ¿¿
23√ x3+1+ 1
2ln ( y2−1 )=¿ c¿
5. dydx
ex− y
Penyelesaian :
dydx =
ex
e y
ex dx=e y dy
∫ ex dx−¿∫ e y dy ¿= ∫0
ex−e y=c
8.2. Persamaan Difrensial Homogen
1. x dy – x dx - √ x2− y2dx = 0
Penyelesaian :xdy – y dx - √ x2− y2dx = 0
[-y -√ x2− y2 ] dx + x dy = 0
[y + √ x2− y2 ] dx – x dy = 0
32
M (x,y) = y + √ x2− y2
M (ƛx,ƛy) = λy + √ λ2(x2− y2)
= λy + λ √ x2− y2
= λ (y + √ x2− y2
= λ M (x,y)
N (x,y) = -x
N (λx, λy) = - (λx)
= λ N (x,y)
Dimana : y = vx
dv = v dx + x dv
( y+√x2 – y2 )dx−x dy=0
[vx + √ x2 – (v x2)] dx – x (vdx + xdv) = 0
[vx + √ x2 – v2 x2] dx – vx dx – x2 dv = 0
√ x2(1 – v2)dx – x2 dv = 0
x √1−¿ v2dx−x2 dv=0❑ ×
1
(√1−v2) (x2)¿
x √1−¿v2
(√1−v2 )(x2)dx− x2
(√1−v2)(x2)dv=0¿
Rumus dasar :
∫ x
x2dx−∫ dv
√1−v2=∫0 rumus dasar
∫ 1
√1−x2dx=sin−1 x+c
∫ dxx
−∫ dv
√1−v2=∫0
ln x−sin−1 v=c
ln x−sin−1( yx )=c
2. (2x + 3y) dx + (y-x) dy = 0
33
Penyelesaian :
M (x,y) = 2x + 3y
M (λx,λy) = λ2 . x [(λx) + (λy)]
= [λ2 (x + y)]
= λ2
N (x,y) = y – x
N (λx,λy) = [(λx) - (λy)]
= [λ2 (x + y)]
= λ2
M (x,y) = N (x,y) homogen
Dimana :
y = vx, dv = v dx + x dv
Maka :
(2x + 3y) dx + (y - x) dy = 0
2x + 3 (vx) dx + (vx – x) = 0
2x + 3 vx dx + (vx – x) (v dx + x dv) = 0
2x + 3 vx dx + v2 x dx + vx2 dv – vx dx – x2 dv = 0
dx (2x + 3 vx + v2 x – vx) + dv (vx2 – x2) = 0
dx (2x + 2 vx + v2 x) + dv (vx2 – x2) = 0
x (2+2 v+v2 ) dx+ x2 (v−1 ) dv=0❑ ×
1( 2+2v+v2 )(x2)
x (2+2 v+v2 ) dx
(2+2 v+v2 )( x2)+
x2 (v−1 )dv
(2+2v+v2) (x2)=0
∫ x
x2dx+∫ v−1
2+2 v+v2dv=∫ 0
∫ dxx
+∫ v−1
2+2 v+v2dv=∫ 0
Dimana:
v−1
1+(v+1)2= A
1+ Bv+C
(v+1)2
v – 1 = A (v+1)2 + Bv + C (1)
34
v – 1 = A (v2 + 2v + 1) + Bv + C
v – 1 = Av2 + 2 Av + A + Bv + C
v – 1 = Av2 + 2 v (A + B) + (A + C)
v – 1 = Av2 + v (2A + B) + (A + C)
Av2 = 0
A = 0
v (2A + B) = v - 1
2A + B = -1
2 (0) + B = -1
B = -1
A + C = 0
0 + C = 0
C = 0
Maka :
v−1
(v+1)2+1= −2
v+1+1
Sehingga :
∫ dxx
+∫ v−1
( v+1 )2+1dv=∫0
∫ dxx
+∫ −2v+1
dv+∫dv=∫ 0
ln x−2∫ dvv+1
+v=c
ln x−2 ln v+1+v=c
ln x−2 ln( yx+1)+( y
x )=c
ln x−ln( yx+1)
2
+( yx )=c
ln x−ln( y2
x2 +1)+( yx )=c
35
lnx
y2
x2 +1
+ yx=c
lnx
y2
x2 + x2
x2
+ yx=c
lnx
y2+x2
x2
+ yx=c
lnx3
y2+ x2 + yx=c
3. (x + y) dy + (x-y) dx = 0
Penyelesaian :M (x,y) = x + y
M (λx,λy) = λ2 . x [(λx) + (λy)]
= [ λ2 (x + y) ]
= λ2 M (x,y)
N (x,y) = x – y
N (λx,λy) = [(λx) – (λy)]
= λ2 (x-y)
= λ2 N (x,y)
Dimana :
y = vx, dv = v dx + x dv
Maka :
(x + y) dy + (x - y) dx = 0
(x + vx) dy + (x – vx) dx = 0
(x + vx) (v dx + x dv) + (x – vx) dx = 0
xv dx + x2 dv + v2x dx + vx2 dv + (x – vx) dx = 0
dx (xv – xv + v2x + x) + dv (x2 + vx2) = 0
(v2x + x) dx + (x2 + vx2) dv = 0
36
x ( v2+1 ) dx+x2 (1+v ) dv=0❑ ×
1
(v2+1) ( x2 )
x ( v2+1 ) dx
( v2+1 ) ( x2 )+
x2 (1+v ) dv
(v2+1 ) ( x2 )=0
∫ x
x2dx+∫ 1+v
v2+1dv=∫ 0
∫ dxx
+∫ 1+v
v2+1dv+∫ v
v2+1=∫ 0
Misal : Q = v2 + 1
dQ = 2v dv
dv = dQ2 v
Rumus dasar : ∫ 1
1+x2dx=tan−1 x+c
ln x+ tan−1 v+∫ vx
.dQ2 v
=∫0
ln x+ tan−1 v+12∫
dQQ
=∫ 0
ln x+ tan−1 v+12
ln Q=c
ln x+ tan−1( yx )+1
2ln (v2+1 )=c
ln x+ tan−1( yx )+1
2ln(( y
x )2
+1)=c
ln x+ tan−1( yx )+1
2ln( y2
x2 +1)=c
ln x+ tan−1( yx )+1
2ln( y2+x2
x2 )=c
4. x2 dy+( y2−xy ) dx=0
Penyelesaian :M (x,y) = x2
M (λx, λy) = λx2
37
= λ2 M (x,y)
N (x,y) = (y2 – xy)
N (λx, λy) = [(λy2) – (λx)]
= λ2 N (x,y)
Dimana :
y = vx, dy = vdx + xdv
x2dy + (y2 – xy) dx = 0
x2 (v dx + x dv) + ((vx)2 – x (vx)) dx = 0
x2v dx + x3 dv + v2 x2 dx – vx2 dx = 0
x2v dx – vx2 dx + v2x2 dx + x3dv = 0
v2 x2 dx+x3dv=0❑ ×
1( v2 ) ( x3)
v2 x2 dx( v2 ) ( x3 )
+ x3 dv( v2 ) ( x3 )
=0
∫ x2
x3 dx+∫ dvv2 =∫ 0
∫ dxx
+∫ dv
v2=∫0
ln x+∫v−2dv=∫ 0
ln x+ 11+(−2)
v−2+1=c
ln x−v−1=c
ln x−1v=c
ln x− 1yx
=c
ln x− xy=c
38
5. (x2 + y2) dy – y2 dx = 0
Penyelesaian :M (x,y) = x2 + y2
M (λx, λy) = λ2. x [(λx) + (λy)]
= [λ2 (x+y)]
= λ2 M (x,y)
N (x,y) = y2
N (λx, λy) = λ2y
= λ2 N (x,y)
Dimana :
y = vx, dy = v dx + x dv
(x2 + y2) dy – y2 dx = 0
x2 + (vx)2dy – (vx)2 dx = 0
x2 + v2x2 (v dx + x dv) + v2x2 dx = 0
x2 v dx + x3 dv + v3x2 dx + v2x3 dv – v2x2 dx = 0
dx (x2v + v3x2 – v2x2) + dv (x3 + v2x3) = 0
x2 (v + v3 – v2) dx + x3 (1 + v2) dv = 0
atau
x2 ( v3−v2+v ) dx+x3 (1+v2 )=0❑ ×
1( v3−v2+v ) x3
x2 ( v3−v2+v ) dx
( v 3−v2+v ) x3+
x3 (1+v2) dv
(v 3−v2+v ) x3=0
dxx
+(1+v2)
v ( v2−v+1 )dv=0
∫ dxx
+∫ (1+v2 )v [ ( v−1 ) (v−1 ) ]
dv=∫0
dxx
+∫ (1+v2)v (v−1 )2
dv=c
Dimana :
∫ 1+v2
( v3−v2+v )dv= 1+v2
v ( v2−v+1 )= 1+v2
v (v−1 )2
39
1+v2
v (v−1)2=Av
+ B(v−1 )
+ C(v−1 )2
= A (v−1 )2+B v (v−1 )+C(v)
v (v−1)2
1 + v2 = A (v−1 )2 B v (v−1 )+C .v
1 + v2 = A (v2 – 2v + 1) + Bv2 – B + Cv
1 + v2 = Av2 – 2 Av + A + Bv2 – B + Cv
1 + v2 = v2 (A + B) + v (-2A – B + C) + A
8.3. PersamaanDiferensial Linier
1. dydx
+2 xy=4 x
Penyelesaian:
dydx
+P ( x ) y=Q ( x )
dydx
+2 xy=4 x
P ( x )=2x Q=4 x
Rumus dasar : y=e−∫ pdx [∫e∫
pdx.Qdx+c]
y=e−∫2xdx [∫e∫
2 xdx.4 x dx+c ]
¿e− x2 [∫ ex2
.4 x dx+c ] misalu=x2 , du=2 x dx , dx= du2 x
¿e− x2[∫eu.4 x
du2 x
+c ]¿e− x2 [2∫e
udu+c ]
¿e− x2 [2 eu+c ]
40
¿e− x2 [2 ex2
+c ]
¿e− x2+x2
+C1e− x2
y=2e0+C1e− x2
→C=C1 e−x2
y=2+C
2. xdydx
= y+x3+3 x2−2 x
Penyelesaian:
xdydx
= y+x3+3 x2−2x
xdydx
− y=x3+3 x2−2 x
xdydx
− y=x3+3 x2−2x
❑ ×1x
dydx
− yx=x2+3 x−2
dydx
+P ( x ) y=Q(x )
P=−1x
Q=x2+3 x−2
Rumus : y=e−∫ pdx [∫e∫
pdx. Qdx+c]
y=e∫ 1
xdx [∫e
∫−1x
dxx2+3 x−2 dx+c ]
¿e ln x [∫e−ln x ( x2+3x−2 ) dx+C ]
y=x [∫ 1x
( x2+3 x−2 ) dx+C ]
41
¿ x [∫( x2+3 x−2x )dx+C ]
y=x [ 12
x2+3 x−2 ln x+C ]y=1
2x3+3 x2−2 ln x+C
3. ( x−2 ) dydx
= y+2 ( x−2 )3
Penyelesaian:
( x−2 ) dydx
= y+2 ( x−2 )3
❑ ×
1x−2
(x-2)dy = [ y+2 ( x−2 )3 ]dx
dydx
+P (x) y=Q ( x )
Rumus : y=e−∫ pdx [∫e∫
pdx.Q dx+c ]
y=e1
x−2dx [e∫ −1
x−2 (2 x )2dx+C ]¿e ln x−2 [e−ln x−22 ( x−2 )2 dx+C ]
¿ x−2[∫ 1x−2
2 ( x−2 )2 dx+C ] ¿ x−2[∫ 2 ( x−2 )2
x−2dx+C ]
¿ x−2 [∫2 x−4 dx+C ]
¿ x−2 [ x2−4 x+C1 ]
42
¿ x3−6 x2+8 x+C1 (x−2 )
¿ x3−6 x2+8 x+C →C=C1 ( x−2 )
4. dydx
+ ycot x=¿5ecosx ¿
Penyelesaian:
dydx
+P ( x ) y=Q(x )
dydx
+ ycot x=¿5 ecos x ¿
P ( x )=cot xQ=¿5 ecos x¿
Rumus :y=e−∫ pdx [∫e∫
pdx. Q dx+c ]
¿e−∫ cot x dx [∫ e∫
cot x dx5ecos x dx+c ]
¿e ln sin x [∫ eln sin x
5ecos x dx+c ]
¿ 1sin x [∫ sin x5ecosx dx+C ] → misal u=cos x , du=−sin x dx
¿ 1sin x [∫ sin x5 eu du
−sin x+C ]
¿ 1sin x [−∫5 eu du+C ]
¿ 1sin x
[−5ecos x du+C1 ]
¿ 1sin x
+C1
sin x
¿ −5ecos x
sin x+C → C=
C1
sin x
43
5. dydx
+ y=2+2 x
Penyelesaian:
dydx
+P ( x ) y=Q(x )
dydx
+ y=2+2 x
y '+Py=Q
P=1 ,Q=2+2 X
Rumus : y=e−∫ pdx [∫e∫
pdx. Q dx+c ]
y=e−∫dx [∫ e∫
dx2+2 xdx+c ]
y=e−x [∫ex(2+2 x)dx+c ]
y=e−x [∫2 ex+(e x 2 x)dx+c ]
y=e−x [2 x ex+c ]
y=2 xe− x+x+c
y=2 xe(0)+c
y=2 x (1)+c
y=2 x+c
8.4. Persamaan Diferensial Eksak
1. (4x3y3 – 2xy) dx + (3x4y2 – x2) dy = 0
44
Penyelesaian :
P = 4x3y3 – 2xy Q = 3x4y2 – x2
∂ P∂ y
= ∂(4 x3 y3−2 xy )
∂ y
∂ Q∂ x
= ∂(3 x4 y2−x2)
∂ x
= 12x3y2 – 2x = 12x3y2 – 2x
∂ P∂ y
= ∂ Q∂ x
(eksak)
P = ∂ u∂ x
4x3y3 – 2xy = ∂ u∂ x
∂ u = 4x3y3 – 2xy ∂ x
∫ du = 4x3y3 – 2xy dx
U = x4y3 –x2y + c (y).............(1)
Q = ∂u∂ y
3x4y2 – x2 = ∂u∂ y
3x4y2 – x2 = ∂¿¿
0 = d (c ( y ))
dy
∫0 dy = ∫ d c ( y )
c = c(y)
Kembali ke persamaan 1 :
U = x4y3 x2y + c(y)
U = x4y3 – x2y + c
2. 3e3xy – 2x dx + e3x dy = 0
Penyelesaian : P = 3e3xy – 2x Q = e3x
45
∂ P∂ y
= 3e3x ∂ Q∂ x
= 3e3x
∂ P∂ y
= ∂ Q∂ x
(eksak)
P = ∂ u∂ x
3e3xy – 2x = ∂ u∂ x
∂ u- (3e3xy – 2x) ∂x
∫ du= ∫(3 e3 x y−2 x ) dx
Misal : u = 3x
du = 3dx
dx = du3
u = ∫3 e3 x y dx−∫ 2 x dx
u = ∫3 eu . ydu3
- ∫2 x dx
u = ∫ eu . y du - ∫2 x dx
u = eu . y – x2 + c (y)
u = e3x. y – x2 + c (y)...........(1)
Q = ∂u∂ y
e3x = ∂¿¿
e3x = e3x + ∂ c ( y)
∂ y
0 =∂ c ( y)
∂ y
∫0 dy = ∫ d c ( y ) c = c(y) Kembali ke persamaan 1 :
u = e3xy – x2 + c(y)
u = e3xy - x2 + c
3. [ cos y+ y cos x ] dx + [ sin x−x sin y ] dy = 0
46
Penyelesaian: M = cos y + y cos x N = sin x – x sin y
∂ M∂ y
= ∂¿¿= ∂¿¿
= -sin y + 1 cos x = cos x – 1 sin y
= -sin y + cos x = cos x – sin y
∂ M∂ y
≠∂ N∂ x
(tidak eksak)
4. (2x3 + 3y) dx + (3x + y – 1) dy = 0
Penyelesaian : P = 2x3 + 3y Q = 3x + y – 1
∂ P∂ y
= ∂(2 x3+3 y )
∂ y=3
∂Q∂ x
= ∂(3 x+ y−1)
∂ x = 3
∂ P∂ x
= ∂ Q∂ x
(eksak)
P = ∂ u∂ x
2x3 + 3y = ∂ u∂ x
∂u = 2x3 + 3y ∂ x
∫ du = ∫2 x3+¿¿ 3y dx
u = 24
x4 + 3xy + c(y)
u = 12
x4 + 3xy + c(y)
Q = ∂u∂ y
3x + y -1 = ∂¿¿
3x + y – 1 = 3x + ∂ c ( y)
∂ y
y – 1 = ∂ c ( y)
∂ y
47
∫ d c ( y ) = ∫ y−1 dy
c(y) = 12
y2 – y + c
Kembali ke persamaan 1
u = 12
x4 + 3xy + c(y) =...................1
u = 12
x4 + 3xy + 12
y2 – y + c
5. y(x – 2y) dx – x2 dy = 0
Penyelesaian :
(xy – 2y2) dx – x2 dy = 0
P = xy – 2y2 Q = x2
∂ P∂ y
= ∂( xy−2 y2 )
∂ y= x – 4y
∂ Q∂ X
= ∂(x2)
∂ x = 2x
∂ P∂ y
≠∂ Q∂ x
(tidak eksak)
8.5. Faktor Integrasi
1. x dx + y dy = ( x2 + y2 ) dx
Penyelesaian :
x – x2 – y2 dx + y dy = 0
M = x – x2 – y2 N = y
∂ M∂ y
= ∂(x – x2 – y2)
∂ y
∂ N∂ x
= y
∂ x
= -2y = 0
48
∂ M∂ y
≠ ∂ N∂ x
( tidak eksak )
Faktor integrasi f(x) = e∫
∂m∂ y
−∂ N∂X
Ndx
=e∫−2 y−0
ydx
= e∫−2 dx
f(x) = e∫−2 x
f.M ( x,y ) + f.N ( x,y ) = 0
e-2x ( x-x2-y2 ) dx + e-2x (y) dy = 0
xe-2x– x2e-2x - y2e-2x dx + y e-2xdy = 0
P = x e -2x – x2e-2x – y2e-2x
∂ P∂ y
= ∂(x e−2x−x2 e−2 x− y2 e−2 x)
∂ y=¿ye-2x
Q = ye-2x
∂ Q∂ y
= ∂( ye−2 x)
∂ y=¿ye-2x
∂ P∂ y
= ∂ Q∂ y
( eksak )
P = ∂ U∂ y
xe-2x – x2e-2x – y2e-2x = ∂ U∂ y
∂U = xe-2x – x2e-2x – y2e-2x∂x
∫ du = ∫ xe-2x – x2e-2x – y2e-2x dx ………….. (1)
49
Dimana :
∫ xe-2x = u . v - ∫ v .du
Misal : u = x du = 1
dv = e-2x
v ∫ dv = Q = -2x
dQ = -2
= ∫ e-2x dx
= ∫ eQ.∂ Q−2
= −12
eQ
= −12
e-2x
= x . 12
e-2x- ∫ - 12
e-2x dx
= 12
xe-2x + 12
∫ e-2x dx
= 12
x e−2 x+ 12∫e−2 x dx
∫ x2 e−2 x dx → misal : u = x2 du = 2 x
Dv = e−2 x v = ∫ e−2 x dx
= −12
e−2 x
∫ x2 e−2 x dx=u . v+∫ v . du
¿ x2−12
e−2 x−∫−12
e−2 x . 2x dx
¿−12
x2 e−2 x+ 12∫ e−2x .2 x dx …………….. (2)
Dimana :
50
∫ e−2 x dx=u . v−∫v du
= 2 x .12
e−2 x−∫−12
e−2x . 2 x dx → misal : u = 2x , du = 2
= −xe−2 x+∫e−2 x dx dv = e−2 x
= −xe−2x−12
e−2 xv = ∫ e−2 x dx
= −12
e−2 x
Kembali ke persamaan (2)
∫ x2 e−2 x dx=u . v−∫ v . du
= x2 .−1
2e−2 x−∫−1
2e−2x .2x
= −12
x2e−2 x+ 12 (−xe−2 x−1
2e−2 x )+c
= −12
x2e−2 x−12
xe−2 x−14
e−2 x+c
Jadi,
∫ du=∫ xe−2x−x2 e−2 x− y2 e−2 x dx
u=−12
xe−2 x−14
e−2 x−(−12
x2 e−2 x−12
xe−2 x− 14
e−2 x)+c12
y2 e−2x+c ( y )
u=−12
xe−2 x−14
e−2 x+12
x2 e−2 x+ 12
e−2 x+ 14
e−2 x+12
y2e−2 x+c( y)
u=12
x2 e−2 x+12
y2e−2 x+c( y)
Q = ∂u∂ y
y e−2 x=∂( 1
2x2 e−2 x+ 1
2y2 e−2x+c ( y ))
∂ y
y e−2 x= y e−2 x+∂( y )∂ y
C(y) = c
51
Jadi , 12
x2e−2 x+ 12
y2 e−2 x+c
2.( 2y – 3x ) dx + x dy = 0
Penyelesaian :M=∂ y−3x N = x
∂ M∂ y
=∂(2 y−3x )
∂ y∂ N∂ x
=∂ (x)∂ x
= 2 = 1
∂ M∂ y
≠∂ N∂ x
( tidak eksak )
Faktorintegrasif ( x )=e
∫∂ M∂ y
− ∂ N∂ x
dx
N
= e∫ 2−1
xdx
= e∫ dx
x
= e ln x
F(x) = x
f. M (x,y)dx + f.N (x,y) dy = 0
X ( 2y – 3x )dx + x (x) dy = 0
2 xy -3x2 dx + x2dy = 0
P = 2xy- 3x2 Q = x2
∂ P∂ y
=∂ (2 xy−3 x2)
∂ y∂ Q∂ x
=∂ (x2)
∂ x
= 2x = 2x
∂ P∂ y
=∂ Q∂ x
( eksak )
P = ∂ u∂ x
∂ xy−3 x2=∂ u∂ x
∂ u=2xy−3x2 ∂ x
52
∫ du=∫2 xy−3 x2 dx
u=x2 y−x3+c ( y )
Q= ∂u∂ y
x2=∂(x2 y−x3+c ( y ))
∂ y
x2=x2+∂ c ( y )
∂ y
∂ c ( y )=0 ∂ y
d c(y) = ∫ 0 dy
c (y) = c
kembali ke persamaan,
u=x2 y−x3+c ( y )
u=x2 y−x3+c
3. (x-y2) dx + 2xy dy = 0
Penyelesaian :M=x− y2 N=∂ xy
∂ M∂ y
=∂¿¿ ∂ N∂ x
=∂ (2 xy )
∂ x
= -2y = 2y
∂ M∂ y
≠∂ N∂ x
( tidak eksak )
Faktor integrasinya f(x) = e∫
∂ M∂ y
−∂ N∂ x
Ndx
= e∫−2 y−2 y
2 xydx
= e∫−4 y
xdx
= e∫−2
xdx
53
= e−2 ln x
f(x) = 1
x2
f. M (x,y) dx + f.N (x,y) dy = 0
1
x2( x− y2 ) dx+ 1
x2(2 xy ) dy=0
( 1x− y2
x2 )dx+ 2 yx
dy=0
M=( 1x− y2
x2 ) N=2 yx
∂ M∂ y
=∂( 1
x− y2
x2 )
∂ y
∂ N∂ x
=∂ (2 y)
x
= −2 y
x2 = −2 y
x2
∂ M∂ y
=∂ N∂ x
( eksak )
M=∂ u∂ x
1x− y2
x2 =∂ u∂ x
∂ u= 1x− y2
x2 ∂ x
∫ du=∫ 1x− y2
x2 dx
u=∫ 1x
dx−∫ y2
x2 dx
u=ln x−∫ y2 x−2 dx
¿ lnx− 1−2+1
x−2+1 y2
u=ln x+ y2
x+c ( y)……………….(1)
N= ∂ u∂ y
54
∂ yx
=∂¿¿
∂ yx
=∂ yx
−∂ c ( y )
∂ y
∂ c ( y )=0 ∂ y
∫ d c ( y )=∫0 dy
c ( y )=c
Jadi, u=lnx+ y2
x+c
4. (3 x2+ y2 ) dx−2xy dy=0
Penyelesaian :
M=3 x2+ y2
∂ M∂ y
=∂(3 x2+ y2)
∂ y
= 2y
N = -2xy
∂ N∂ x
=∂ (−2 xy )
∂ x
= -2y
∂ M∂ y
≠∂ N∂ x
( tidak eksak )
Faktor integrasi nyaf ( x )=e
∫∂ M∂ y
− ∂ N∂ x
N
= e∫ 2 y+2 y
−2 xy
= e∫ 4 y
−2 xy
= e∫−2
x
= e−2 ln x
55
f(x) = 1
x2
fM (x , y ) dx+ fN (x , y ) dy=0
1
x2( 3x2+ y2 ) dx+ 1
x2(−2 xy ) dy=0
3 x2+ y2
x2 dx−2 xyx2 dy=0
3+ y2
x2 dx−2 yx
dy=0
∫ du=∫3+ y2
x2 dx
u=3 x+ y2 x−2dx
u=3 x− y2 .1
−2+1x−2+1+c ( y )
u=3 x− y2
x+c ( y )
Q= ∂ u∂ y
−2 yx
=−2 yx
+∂ c ( y )
∂ y
∂ c ( y )=0 ∂ y
∫ d c ( y )=∫0 dy
C(y) = c
Jadi,
u=3 x− y2
x+c ( y )
u=3 x− y2
x+c
5. y dx- x dy = 0
Penyelesaian : M = y
56
∂ M∂ y
=∂( y)∂ y
=1
N= -x
∂ N∂ y
=∂ (−x)
∂ x=−1
∂ M∂ y
≠∂ N∂ y
(tidak eksak)
Faktor integrasinya f(x) = e∫
ӘMӘy
−ӘNӘx
Ndx
= e∫ 1−(−1 )
−xdx
= e∫ 2
−xdx
= e−2 ln x
= 1
x2
f.M (x,y) dx + f.N (x,y) dy = 0
1
x2. y dx+ 1
x2. (−x ) dy=0
y
x2 dx + (−x )
x2 dy=0
y
x2 dx + (−1)
xdy=0
∫ du=∫ y
x2dx
u= y + x−2 dx
u= -y .1
−2+1x−2+1+c ( y )
u= yx+c( y)
Q = ∂ y∂ x
1x=1
x+
∂ c ( y )∂ y
∂c(y)= 0 ∂y
57
∫ d c ( y )=¿∫0 dy ¿C(y) = c
Jadi,
u= y
x2+c ( y )
u= yx+c
Sumber Pustaka
Ayres, Franj, Jr. 1985. Persamaan Differensial. Erlangga. Jakarta.
Chotim, M, Cholid. 1983. Matematika untuk Perguruan Tinggi (Vektor dan Persamaan Differensial). Bina Ilmu Offset. Surabaya.
Purcell, Edwin, dale, Varberg 1984. Kalkulus dan Geometri Analitis. Jilid 2. Ed. 3 Erlangga, Jakarta.
Salusu, A. 2003. Kalkulus Lanjutan. Ed. 1. Rineka Cipta. Surabaya.