Calculus Purcell

𝑃𝐹 = 𝑒 𝑃𝐿

dengan 𝑒 disebut eksentrisitas.

0 < 𝑒 < 1 Elips

𝑒 = 1 Parabola

𝑒 > 1 Hiperbola

𝑃𝐹 = 𝑃𝐿

𝑥 − 𝑝 2 + 𝑦 − 0 2 = 𝑥 + 𝑝 2 + 𝑦 − 𝑦 2

𝑦2 = 𝑥 + 𝑝 2 − 𝑥 − 𝑝 2

𝑦2 = 𝑥2 + 2𝑝𝑥 + 𝑝2 − (𝑥2 − 2𝑝𝑥 + 𝑝2) Maka diperoleh persamaan umum untuk parabola

𝑦2 = ± 4 𝑝 𝑥

𝑥2 = ± 4 𝑝 𝑦

𝑦2 = ± 4 𝑝 𝑥, 𝑥2 = ± 4 𝑝 𝑦

𝑃𝐹 = 𝑒 𝑃𝐿

𝑥 − 𝑎𝑒 2 + 𝑦 − 0 2 = 𝑒 𝑥 −𝑎

𝑒

2

+ 𝑦 − 𝑦 2

𝑦2 = 𝑒2 𝑥 −𝑎

𝑒

2

− 𝑥 − 𝑎𝑒 2

𝑦2 = 𝑒2𝑥2 − 2𝑎𝑒𝑥 + 𝑎2 − (𝑥2 − 2𝑎𝑒𝑥 + 𝑎2𝑒2)

𝑦2 = − 1 − 𝑒2 𝑥2 + 𝑎2(1 − 𝑒2)

Maka diperoleh persamaan umum untuk irisan kerucut(dengan 𝑐 = 𝑎𝑒):

𝑥2

𝑎2+

𝑦2

𝑎2 1 − 𝑒2= 1

Persamaan standar:

𝑥2

𝑎2+𝑦2

𝑏2= 1

dengan 𝑏 = 𝑎 1 − 𝑒2,

𝑐 = 𝑎𝑒 dan

𝑏2 + 𝑐2 = 𝑎2

Persamaan standar:

±𝑥2

𝑎2−𝑦2

𝑏2= 1

dengan 𝑏 = 𝑎 𝑒2 − 1, 𝑐 = 𝑎𝑒, dan 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2 Asimtot:

𝑦 = ±𝑏

𝑎𝑥

𝑃𝐹 = 𝑒|𝑃𝐿|

𝑃𝐹′ = 𝑒 𝑥 +𝑎

𝑒

𝑃𝐹 = 𝑒𝑎

𝑒− 𝑥

Elips 𝑃𝐹′ + 𝑃𝐹 = 2𝑎

Hiperbola

𝑃𝐹′ − |𝑃𝐹| = 2𝑎

Parametric equations

𝑥 = 𝑓 𝑡 , 𝑦 = 𝑔 𝑡 , 𝑡 in 𝐼

Istilah-istilah (dengan 𝐼 = [𝑎, 𝑏]):

Parameter 𝑡

Titik awal 𝑥 𝑎 , 𝑦 𝑎

Titik akhir (𝑥 𝑏 , 𝑦 𝑏 ) Kurva sederhana vs tak-sederhana

Kurva tertutup vs tak-tertutup

Eliminasi parameter kemudian sketsa grafik dari:

𝑥 = 𝑡2 + 2𝑡, 𝑦 = 𝑡 − 3, −2 ≤ 𝑡 ≤ 3

Dari persamaan untuk 𝑦, diperoleh:

𝑥 = 𝑦 + 3 2 + 2 𝑦 + 3 = 𝑦2 + 8𝑦 + 15

⟹ 𝑥 + 1 = 𝑦 + 4 2

𝑥 = 𝑎 cos 𝑡 , 𝑦 = 𝑏 sin 𝑡 , 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋

What do we have?

cos 𝑡 =𝑥

𝑎, sin 𝑡 =

𝑦

𝑏

Ingat bahwa sin2 𝑡 + cos2 𝑡 = 1. Maka

𝑥2

𝑎2+𝑦2

𝑏2= 1

Jadi persamaan parameter diatas akan membentuk elips, atau lingkaran ketika 𝑎 = 𝑏.

Lingkaran/Elips

sin2 𝑡 + cos2 𝑡 = 1 ⟺ 𝑥

𝑎

2

+𝑦

𝑏

2

= 1

Hiperbola

sec2 𝑡 − tan2 𝑡 = 1 ⟺ 𝑥

𝑎

2

−𝑦

𝑏

2

= 1

cosh2 𝑡 − sinh2 𝑡 = 1 ⟺ 𝑥

𝑎

2

−𝑦

𝑏

2

= 1

animasi

Misal 𝑥 = 𝑓(𝑡), 𝑦 = 𝑔(𝑡), dan 𝑓, 𝑔 continuously differentiable dengan 𝑓′ 𝑡 ≠ 0. Maka

𝑑𝑦

𝑑𝑥=𝑑𝑦/𝑑𝑡

𝑑𝑥/𝑑𝑡

Contoh: 𝑥 = 5 cos 𝑡 , 𝑦 = 4 sin 𝑡 , 0 < 𝑡 < 3

⟹ 𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑑𝑦𝑑𝑡𝑑𝑥𝑑𝑡

=4 cos 𝑡

−5 sin 𝑡= −

4

5cot 𝑡

⟹ 𝑑2𝑦

𝑑𝑥2=𝑑𝑦′

𝑑𝑥=

𝑑𝑦′

𝑑𝑡𝑑𝑥𝑑𝑡

=

45csc2 𝑡

−5 sin 𝑡 = −

4

25csc3 𝑡

Hitung

𝑦3

1

𝑑𝑥

jika 𝑥 = 2𝑡 − 1 dan 𝑦 = 𝑡2 + 2.

𝑦3

1

𝑑𝑥 = (𝑡2 + 2)2

1

2 𝑑𝑡 = 2𝑡3

3+ 2𝑡

1

2

=26

3