irisan kerucut dan koordinat kutub
DESCRIPTION
IRISAN KERUCUT DAN KOORDINAT KUTUBTRANSCRIPT
IRISAN KERUCUT IRISAN KERUCUT
DANDAN KOORDINAT KOORDINAT
KUTUBKUTUB
I.1 DEFINISI DAN BAGIAN I.1 DEFINISI DAN BAGIAN IRISAN KERUCUTIRISAN KERUCUT
• Irisan KerucutIrisan Kerucut adalah perpotongan atau irisan antara bidang lengkung kerucut lingkaran tegak dengan bidang datar.
• Irisan KerucutIrisan Kerucut terbagi empat, yaitu :– Berbentuk lingkaran– Berbentuk parabola– Berbentuk elips– Berbentuk hiperbola
Definisi Irisan KerucutDefinisi Irisan Kerucut
(yang berbentuk parabola, elips, dan hiperbola)
Irisan Kerucut Irisan Kerucut adalah tempat kedudukan titik-titik yang perbandingan jaraknya ke titik tertentu dengan jaraknya ke garis tertentu mempunyai nilai tetap.
keterangan:• Titik tertentu = titik api (fokus)• Garis tertentu = garis arah (direktriks)• Nilai perbandingan tetap = eksentrisitas (e)
I.2 PARABOLAI.2 PARABOLA
• Definisi
ParabolaParabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya ke suatu titik tertentu sama dengan jaraknya ke garis tertentu.
Bentuk Umum Persamaan Parabola yang Berpuncak di Titik Pusat (0,0)
1. y2 = 4px parabola terbuka ke kanan
2. y2 = -4px parabola terbuka ke kiri
3. x2 = 4py parabola terbuka ke atas
4. x2 = -4py parabola terbuka ke bawah
Keterangan :
p > 0
p = jarak fokus ke titik puncak parabola
RUMUS y2=4px y2=-4px x2=4py x2=-4py
Koordinat fokus (p,0) (-p,0) (0,p) (0,-p)
Garis arah x = -p x = p y = -p y = p
Sumbu simetri y = 0 y = 0 x = 0 x = 0
Titik Latus Rectum (p,2p)
(p,-2p)
(-p,2p)
(-p,-2p)
(2p,p)
(-2p,p)
(2p,-p)
(-2p,-p)
Panjang Latus Rectum 4p 4p 4p 4p
F(p,0)
direktriks x= -p
x
y
(p,2p)
(p,-2p)
PARABOLA y2 = 4px
F(-p,0)
direktriks x= p
x
y
(-p,2p)
(-p,-2p)
PARABOLA y2 = -4px
PARABOLA x2 = 4py
x
y
direktriks y = -p
0
F(0,p)
(2p,p)(-2p,p)
PARABOLA x2 = -4py
x
direktriks y = p
0
F(0,-p)
(2p,-p)(-2p,-p)
y
Persamaan Garis Singgung dan Normal Parabola di Suatu Titik
Kedudukan garis dan parabola ditentukan oleh nilai diskriminan D
D > 0 garis memotong parabola di 2 titik berbeda D = 0 garis menyinggung parabola D < 0 garis tidak memotong dan menyinggung
Persamaan Garis Singgung dan Normal Parabola di Titik (x1,y1)
Parabola Persamaan Garis Singgung
Persamaan Garis Normal
y2 = 4px
y2 = -4px
x2 = 4py
x2 = -4py
yy1 = 2p(x+x1)
yy1 = -2p(x+x1)
xx1 = 2p(y+y1)
xx1 = -2p(y+y1)
Ditentukan dari persamaan garis singgung
y – y1 = m(x-x1)
(m = kebalikan negatif m pada persamaan garis singgung)
I.3 ELIPSI.3 ELIPS
• Definisi
Elips Elips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu mempunyai nilai yang tetap.
Bentuk Umum Persamaan Elips yang Berpusat di Titik (0,0)
22222
222222
2
2
2
2
222222
2
2
2
2
c+b=a dan b>a
ba=yb+xa
vertikal) elips1=a
y+
b
x2.
ba=ya+xb
atau
)horisontal elips1=b
y+
a
x1.
berlaku
(
(
RUMUS ELIPS HORISONTAL ELIPS VERTIKAL
Titik puncak
Titik sb pendek
Fokus
Panjang sb pjg
Panjang sb pdk
e
Direktriks
Panjang LR
Titik LR
(-a,0) dan (a,0)
(0,-b) dan (0,b)
(-c,0) dan (c,0)
2a
2b
c/a
x=-a/e dan x=a/e
2b2/a
LR1 : (-c,-b2/a) dan (-c,b2/a)
LR2 : (c,-b2/a) dan (c,b2/a)
(0,-a) dan (0,a)
(-b,0) dan (b,0)
(0,-c) dan (0,c)
2a
2b
c/a
y=-a/e dan y=a/e
2b2/a
LR1 : (b2/a,-c) dan (-b2/a,-c)
LR2 : (b2/a,c) dan (-b2/a,c)
ELIPS HORISONTAL
F1(-c,0) F2(c,0)
x= -a/e x= a/e
A2(a,0)A1(-a,0)
B2(0,b)
B1(0,-b)
x
y
ELIPS VERTIKAL
F1(0,c)
F2(0,-c)
x= -a/e
x= a/e
A2(0,a)
A1(0,-a)
B2(b,0)B1(-b,0) x
y
0
Persamaan Garis Singgung dan Normal Elips di Titik (x1,y1)
Elips Persamaan Garis Singgung
Persamaan Garis Normal
Sama dengan perhitungan PGN
pada parabola
1=a
yy+
b
xx1=
a
y+
b
x
1=b
yy+
a
xx1=
b
y+
a
x
21
21
2
2
2
2
21
21
2
2
2
2
I.4 HIPERBOLAI.4 HIPERBOLA
• Definisi
Hiperbola Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu mempunyai nilai yang tetap.
Bentuk Umum Persamaan Hiperbola yang Berpusat di Titik (0,0)
222
222222
2
2
2
2
222222
2
2
2
2
b+a=c
ba=xa-yb
vertikal) hiperbola1=b
x-
a
y2.
ba=ya-xb
atau
)horisontal hiperbola1=b
y-
a
x1.
berlaku
(
(
RUMUS HIPERBOLA HORISONTAL
HIPERBOLA VERTIKAL
Titik puncak
Fokus
Titik sb minor
Panjang sb mayor
Panjang sb minor
e
Direktriks
Panjang LR
Titik LR
Pers. Asimtot
(-a,0) dan (a,0)
(-c,0) dan (c,0)
(0,-b) dan (0,b)
2a
2b
c/a
x=-a/e dan x=a/e
2b2/a
LR1 : (-c,-b2/a) dan (-c,b2/a)
LR2 : (c,-b2/a) dan (c,b2/a)
y=(-b/a)x dan y=(b/a)x
(0,-a) dan (0,a)
(0,-c) dan (0,c)
(-b,0) dan (b,0)
2a
2b
c/a
y=-a/e dan y=a/e
2b2/a
LR1 : (-b2/a,c) dan (b2/a,c)
LR2 : (-b2/a,-c) dan (b2/a,-c)
y=(-a/b)x dan y=(a/b)x
Bentuk Siku Empat Dasar HiperbolaBentuk Siku Empat Dasar Hiperbola
• Tentukan titik puncak A1 dan A2
• Tentukan titik sumbu minor B1 dan B2
• Gambarkan siku empat dasar yang melalui titik-titik tersebut seperti gambar berikut :
A1 A2
B2
B1
Hiperbola horisontal
B1 B2
A2
A1
Hiperbola vertikal
HIPERBOLA HORISONTAL
B2
B1
A1 A2
x = -a/e x = a/e
F1 F2
y = (b/a) x
y = - (b/a) x
HIPERBOLA VERTIKAL
y = (a/b) x
A2
A1
B1 B2
y = -a/e
y = a/e
F1y = - (a/b) x
F2
Persamaan Garis Singgung dan Normal Hiperbola di Titik (x1,y1)
Hiperbola Persamaan Garis Singgung
Persamaan Garis Normal
Sama dengan perhitungan PGN
pada parabola
1=b
xx-
a
yy1=
b
x-
a
y
1=b
yy-
a
xx1=
b
y-
a
x
21
21
2
2
2
2
21
21
2
2
2
2
I.5 TRANSLASI SUMBUI.5 TRANSLASI SUMBU
Penyederhanaan Persamaan Hiperbola Penyederhanaan Persamaan Hiperbola Dengan Metode TranslasiDengan Metode Translasi Kelompokkan variabel x dan y di ruas kiri dan
konstanta di ruas kanan.
Keluarkan koefisien x2 dan y2 sehingga menjadi k1(x2+ax) dan k2(y2+by).
Lengkapi kuadrat x2+ax dan y2+by dengan menambahkan kuadrat setengah koefisien x dan y.
Sederhanakan persamaan sehingga konstanta di ruas kanan menjadi 1.
Translasikan u = x + a dan v = y + b.
Contoh :
4x2 – 9y2 – 16x + 72y – 164 = 0
4x2 – 16x– 9y2 + 72y = 164
4(x2 – 4x) – 9(y2 – 8y) = 164
4(x2 – 4x + 4) – 9(y2 – 8y + 16) = 164 + 16 – 144
4(x-2)2 – 9(y-4)2 = 36
(x-2)2 (y-4)2
9 4
Translasi u = x – 2 dan v = y – 4
= 1
u2 v2
9 4=1 merupakan persamaan hiperbola horisontal
I.6 ROTASI SUMBUI.6 ROTASI SUMBU
Penyederhanaan Suatu Persamaan Grafik Penyederhanaan Suatu Persamaan Grafik AxAx2 2 + Bxy + Cy+ Bxy + Cy2 2 + Dx + Ey + F = 0 Setelah Rotasi+ Dx + Ey + F = 0 Setelah Rotasi
Gunakan substitusix = u cos θ – v sin θ
y = u sin θ + v cos θ
denganB
C-A=2θcot
Contoh :3x2 + 10 xy + 3y2 + 8 = 0A= 3, B = 10, C = 3, D = 8Cot 2θ = (A-C)/B
(3-3)/10 = 0Tg 2θ = ∞2θ = 900
θ = 450
Sin θ = sin 450 = ½√2 Cos θ = cos 450 = ½√2
x = u cos θ – v sin θx = ½√2 u – ½√2 v = ½√2 (u-v)
y = u sin θ + v cos θy = ½√2 u + ½√2 v = ½√2 (u+v)
3x2 + 10 xy + 3y2 + 8 = 0↔ 3[½√2 (u-v)]2 + 10 [½√2 (u-v)][ ½√2 (u+v)] + 3[½√2 (u+v)]2 + 8 = 0
↔ 3[½(u-v)2] + 10 [½(u2-v2)]+3[½(u+v)2]+8 = 0
↔ 3/2 (u-v)2 + 3/2 (u+v)2 + 5 (u2 – v2) + 8 = 0
↔ 3/2u2 – 3uv + 3/2v2 + 3/2u2 + 3uv + 3/2v2 + 5u2 – 5v2 + 8 = 0↔ 8u2 – 2v2 = -8
↔ v2/4 – u2/1 = 1 (hiperbola vertikal)
I.7 SISTEM KOORDINAT KUTUBI.7 SISTEM KOORDINAT KUTUB
• Titik Dalam Koordinat Kutub
(r,θ)
(-r,θ) (r,-θ)
(-r,-θ)
θ
Keempat titik tersebut adalah pasangan koordinat pasangan koordinat kutub.kutub.
• Menentukan Persamaan Cartesian dari Grafik Persamaan KutubGunakan substitusi persamaan-persamaan :Gunakan substitusi persamaan-persamaan :
• Menggambarkan Grafik Persamaan Kutub
Gantikan persamaan kutub ke persamaan Gantikan persamaan kutub ke persamaan CartesianCartesian
xx22 + y + y22 = r = r22
x = r cos x = r cos θθy = r sin y = r sin θθ
I.8I.8 GRAFIK PERSAMAAN KUTUBGRAFIK PERSAMAAN KUTUB
Persamaan Kutub
Persamaan Cartesian
Garis r = d / cos θ
r = d / sin θ
x = d
y = d
Lingkaran r = 2a cos θ
r = 2a sin θ
Pusat (a,0), jari-jari = a
(x-a)2 + y2 = a2
Pusat (0,a) , jari-jari = a
x2 + (y-a)2 = a2
Konik r = ed / (1 + e cos θ)
r = ed / (1 + e sin θ)
d memotong sumbu x
d memotong sumbu y
0<e<1 elips
e = 1 parabola
e > 1 hiperbola
I.9 KALKULUS DENGAN KOORDINAT I.9 KALKULUS DENGAN KOORDINAT KUTUBKUTUB
• Rumus kemiringan garis singgung di θ pada r = f(θ)
θ cos )θ(' f θsin )θf(-
θsin )θ(' f θ cos )θf(=m
+
+
d2)](f[2
1A
• Luas bidang pada koordinat kutub
• Persamaan garis singgung di kutub dapat ditentukan dengan menyelesaikan persamaan f(θ) = 0