BABIRISAN KERUCUT

Irisan kerucut adalah irisan antara sebuah bidang datar dengan selimut kerucut lingkaran tegak.

A. LINGKARAN

1. Pengertian

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik (himpunan semua titik) yang berjarak sama terhadap sebuah titik tertentu. Titik tertentu itu disebut pusat lingkaran dan jarak yang sama tersebut disebut jari-jari atau radius.

Gambar disamping menunjukkan lingkaran dengan pusat P dan jari-jari r dimana r > 0. Jika r = 0, maka lingkaran tersebut disebut lingkaran titik

2. Persamaan Lingkaran

a. Persamaan lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dan jari-jarinya r adalah:

b. Persamaan lingkaran yang berpusat di P(a, b) dan jari-jarinya r adalah:

Contoh soal:

Carilah persamaan lingkaran jika: 1. pusatnya O(0, 0) dan r = 52. pusatnya P(2, -3) dan r = 10

Jawab:

1. x2 + y2 = r2 x2 + y2 = 25

2. P(2, -3) dimana a = 2, b = -3 dan r = 10, maka :

(x – a)2 + (y – b)2 = r2

(x – 2)2 + (y –(-3))2 = 102

(x – 2)2 + (y +3)2 = 102

(x – 2)2 + (y +3)2 = 100 (disebut bentuk standar/baku)

x2 – 4x + 4 + y2 + 6y + 9 – 100 = 0

x2 + y2 – 4x + 6y – 87 = 0 (disebut bentuk umum)

c. Bentuk umum persamaan lingkaran

x2 + y2 = r2

(x - a)2 + (y – b)2 = r2

P

r

Dari persamaan lingkaran bentuk standar/baku (x – a)2 + (y – b)2 = r2

x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 = r2

x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0

Jadi, diperoleh bentuk umum persamaan lingkaran, yaitu:

dimana titik pusatnya P(-a, -b) dan jari-jarinya r =

Contoh soal:

Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran: x2 + y2 + 2x – 4y + 1 = 0

Jawab :

Bentuk umum : x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0

x2 + y2 + 2x – 4y + 1 = 0

2a = 2 dan 2b = -4

a = 1 b = -2, c = 1

Titik pusat P(-a, -b) P (-1, 2)

r =

=

=

= 2

3. Garis Singgung Pada Lingkaran

a. Persamaan garis singgung lingkaran melalui suatu titik pada lingkaran

1. Persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = r2 di titik (x1, y1) adalah:

2. Persamaan garis singgung pada lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = r2 di titik (x1, y1) adalah:

3. Persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 di titik (x1, y1) adalah:

Contoh soal:

x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0

x1x + y1y = r2

(x1 – a) (x – a) + (y1 – b) (y – b)= r2

x1 x + y1 y + a (x1 + x) + b (y1 + y) + c = 0

a. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran: x2 + y2 = 100 di titik (-6, 8) !

Jawab:

Di titik (-6, 8) x1 = -6 dan y1 = 8pada lingkaran x2 + y2 = 100 r = 10

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah :

x1 x + y1 y = r2

-6x + 8y = 100 atau 3x – 4y + 50 = 0

b. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran : (x – 1)2 + (y – 2)2 = 25 di titik (4, 6) !

Jawab:

Di titik (4, 6) x1 = 4 dan y1 = 6pada lingkaran (x – 1)2 + (y – 2)2 = 25 a = 1, b = 2, r = 5

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah :

(x1 – a) (x – a) + (y1 – b) (y – b)= r2

(4 – 1) (x – 1) + (6 – 2) (y – 2) = 52

3(x – 1) + 4(y – 2) = 25

3x – 3 + 4y – 8 = 25

3x + 4y – 36 = 0 atau 3x + 4y = 36

b. Persamaan garis singgung pada lingkaran melalui suatu titik di luar lingkaran

Diketahui lingkaran x2 + y2 = r2 dan titik P (x1, y1) terletak diluar lingkaran. Garis singgung PQ dan PR dicari dengan cara :1. Mencari persamaan garis PQ yang melalui P(x1, y1), yaitu :

m = gradien garis PQ

2. Nilai m = gradien diperoleh dari garis PQ bersinggungan dengan lingkaran serta diskriminan harus sama dengan 0 (D = 0).

Contoh soal :

Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 4, melalui titik (0, 3).Jawab:

y – y1 = m (x – x1)P(x1, y1)

R

Q

O

Titik (0, 3) terletak diluar lingkaran x2 + y2 = 4, karena 02 + 32 – 4 = 9 – 4 = 5 > 0

Persamaan garis singgung melalui titik (0, 3) adalah:

y – y1 = m(x – x1) y – 3 = m (x – 0) y = mx + 3 x2 + y2 = 4 x2 + (mx + 3)2 = 4 x2 + m2x2 + 6mx + 9 – 4 = 0 (1 + m2)x2 + 6mx + 5 = 0

Syarat persinggungan untuk persamaan (1 + m2)x2 + 6mx + 5 = 0 adalah D = 0, dimana D = b2 – 4ac.

b2 – 4ac = 0 (6m)2 – 4 (1 + m2) (5) = 0 36m2 – 20 – 20m2 = 0 16m2 = 20

m = =

m = atau m =

Untuk m = y = x + 3 dan

m = y = x + 3

Jadi persamaan garis singgungnya : y = x + 3 atau y = x + 3

c. Persamaan garis singgung pada lingkaran dengan gradien m

Persamaan garis singgung pada lingkaran dengan gradien m dapat dicari dengan cara:

1. Misalkan persamaan garis singgungnya y = mx + k2. Nilai k dicari dengan melihat syarat D = 0, agar garis y = mx + k

bersinggungan dengan lingkaran

Contoh soal:

Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 9 yang bergradien 2.

Jawab:

Misal persamaan garis singgungnya y = mx + k,

untuk m = 2, maka y = 2x + kx2 + y2 = 9x2 + (2x + k)2 = 9x2 + 4x2 + 4xk + k2 = 95x2 + 4kx + k2 – 9 = 0

Syarat bersinggungan D = 0 b2 – 4ac = 0

(4k)2 – 4 (5) (k2 – 9) = 0 16k2 – 20k2 + 180 = 0 -4k2 = -180 k2 = 45 k = k = atau k =

Jadi, persamaan garis singgungnya : y = 2x + atau y = 2x

1. Persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = r2 dengan gradien m adalah:

2. Persamaan garis singgung pada lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = r2 dengan gradien m adalah:

3. Persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 dengan gradien m adalah:

Syarat : Dua buah garis tegak lurus jika m1 . m2 = -1Dua buah garis Sejajar jika m1 = m2

Untuk contoh soal diatas, persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 9, r = 3 dan m = 2 dapat diselesaikan, yaitu:

y = mx y = 2x y = 2x

Jadi persamaan garis singgungnya : y = 2x + atau y = 2x

Latihan soal

1. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat O dan berjari-jari 7 !

2. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat O dan melalui titik (-4, -3) !

3. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat (-6, 6) dan berjari-jari 2 !

4. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 10 dititik (-3, -1) !

5. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 25 yang tegak lurus garis 4x – 3y = 6 !

6. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 5, melalui titik (4, -3) !

7. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 – 4x – 2y + 4 = 0 !

8. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 – 25 = 0 yang sejajar garis x – 2y + 2 = 0 !

9. Tentukan persamaan lingkaran berpusat di (2, 4) dan menyinggung garis 3x + 4y – 2 = 0 !

y = mx

y – b = m(x – a)

y + b = m(x + a)

10. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran (x – 2)2 + (y + 3)2 = 25 di titik T(5, 1) !

B. PARABOLA

1. Pengertian

Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik tertentu dan sebuah garis tertentu. Titik tertentu tersebut disebut fokus dan garis tersebut dinamakan direktriks. Jika titik P(x, y) terletak pada parabola, maka berlaku PQ = PF dan VF = VR.Perhatikan gambar berikut:

dimana: F disebut titik focus,V disebut titik puncakGaris l disebut sumbu simetrisGaris g disebut direktriksGaris PS disebut lotus rectum (garis yang sejajar direktriks atau tegak lurus sumbu simetri dan merupakan tali busur terpendek)

2. Grafik Persamaan Parabola

1. Persamaan parabola dengan puncak di V(a, b) dan focus F(a + p, b):

memiliki: - sumbu simetri: garis y = b- persamaan direktriksnya : x = a - p- untuk p > 0 parabola terbuka ke kanan- untuk p < 0 parabola terbuka ke kiri- panjang lotus rectum =

FV

S

PQ

R l

g

(y – b)2 = 4p(x – a).. V

X

Y

O

X=a-p

lF(a+p, b)

g

2. Persamaan parabola dengan puncak di O(0, 0) dan focus F(p, 0):

memiliki: - sumbu simetri: sumbu x- persamaan direktriksnya : x = - p- untuk p > 0 parabola terbuka ke kanan- untuk p < 0 parabola terbuka ke kiri- panjang lotus rectum =

Contoh soal :

1. Tentukan persamaan parabola yang puncaknya O(0, 0), fokus F(3, 0)

Jawab :

F(3, 0) p = 3 ; p > 0 parabola terbuka ke kananPersamaannya : y2 = 4px

y2 = 4 (3) xy2 = 12x

2. Jika diketahui persamaan parabola y2 – 6y – 8x + 25 = 0, tentukan :a. Titik puncaknya d. Persamaan sumbu simetrib. Titik fokus e. Panjang lotus rectumc. Persamaan direktriks f. Sketsa grafiknya

Jawab:

y2 – 6y – 8x + 25 = 0 y2 – 6y + 9 = 8x – 25 + 9y2 – 6y + 9 = 8x – 16 (y – 3)2 = 8(x – 2) a = 2 ; b = 34p = 8 p = 2

a. Titik puncaknya V(a, b) = V(2, 3)b. Titik fokus F(a+p, b) = F(2+2, 3) = F(4, 3)c. Persamaan direktriksnya: x = a – p = 2 – 2 = 0 atau x = 0d. Persamaan sumbu simetri: y = b y = 3e. Panjang lotus rectum = = 8f. Sketsa grafiknya:

y2 = 4px

. X

Y

-p

X=-p

F(p, 0)

g

p

O

.. . .y2 – 6y – 8x + 25 = 0

X

Y

V y=3F(4,3)

(2,3)-3

X=0

0

3. Garis Singgung Pada Parabola

a. Persamaan garis singgung pada parabola : y2 = 4px di titik (x1, y1) adalah:

b. Persamaan garis singgung pada parabola (y – b)2 = 4p(x – a) di titik (x1, y1) adalah :

Contoh soal:

Diketahui persamaan parabola y2 = 8x. Tentukan persamaan garis singgungnya di titik P(2, -4).

Jawab:y2 = 8x 4p = 8x p = 2P (2, -4) berarti x1 = 2 dan y1 = -4Persamaan garis singgungnya : y1 y = 2p(x + x1)

-4y = 2 (2) (x + 2)-4y = 4x + 84x + 4y + 8 = 0 atau x + y + 2 = 0

Latihan soal1. Tentukan fokus dan direktris parabola y2 = 4x !2. Tentukan titik fokus, direktris, panjang lotus rectum dan gambar grafiknya dari

persamaan parabola y2 = 12x !3. Tentukan puncak, fokus dan persamaan direktris parabola (y + 1)2 = -12(x – 1) !4. Tentukan puncak, fokus dan persamaan direktris parabola (x - 2)2 = -8(y + 2) !5. Tentukan puncak, fokus dan persamaan direktris parabola x2 + 20y – 60 = 0  !6. Tentukan persamaan garis singgung parabola y2 = 4x di titik (1, 2)  !7. Tentukan persamaan garis singgung parabola x2 – 2x – 8y + 9 = 0

melalui titik (6, -4)  !8. Tentukan persamaan garis singgung parabola y2 = 4x yang sejajar

garis 3x + 2y = 8  !9. Tentukan persamaan parabola yang berpuncak pada titik (2, 3) dan persamaan

direktris x = -1  !10. Tentukan persamaan parabola dengan titik puncak di (2, 3), sumbu simetri sejajar

sumbu Y dan melalui titik (3, 4)  !11. Diketahui parabola dengan persamaan y2 = 7x, tentukan titik fokus, persamaan

direktris, panjang lotus rectum dan gambar grafiknya !12. Tentukan koordinat titik puncak, titik focus, dan persamaan direktris parabola yang

persamaannya y2 – 6x + 8y + 4 = 0 !13. Tentukan persamaan garis singgung parabola y2 = 12x yang melalui titik (3, -6) !14. Tentukan persamaan garis singgung parabola x2 = 16y yang melalui titik (4, 1) !15. Tentukan persamaan garis singgung parabola (y – 1)2 = 4(x + 2) di titik (2, 5) !

y1 y = 2p(x + x1)

(y1 – b) (y – b) = 2p{(x1 – a) + (x - a)

C. ELIPS

1. Pengertian

Ellips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap titik tertentu, selalu tetap, dua titik itu disebut fokus.

Pada ellips disamping, jika P(x, y) terletak pada ellips maka P F1 + P F2 = 2a (tetap).

F1 dan F2 disebut fokus ellips O disebut pusat ellips Titik A, B, C dan D disebut puncak ellips AB dan DC adalah sumbu simetri AB disebut sumbu mayor dan DC disebut sumbu

minor AB = 2a dan DC = 2b, maka F1 F2 = 2c dimana

c2 = a2 – b2

2. Persamaan Elips

a. Persamaan ellips yang pusatnya O(0, 0), sumbu mayor (AB) = 2a dan sumbu minor (DC) = 2b adalah:

dimana a > b, a dan b positifsumbu simetrinya adalah sumbu x dan sumbu yF1(-c, 0) dan F2(c, 0), dimana Titik puncaknya: A(-a, 0), B(a, 0), C(0, b) dan D(0, -b)

Contoh soal:

Diketahui ellips : , tentukan:

1. koordinat pusat, fokus, puncak2. panjang sumbu mayor dan minor

Jawab:

a2 = 25 a = 5

b2 = 9 b = 3 = = 4

1. koordinat pusat: O(0, 0), fokus: F1(-c, 0) F1(-4, 0)F2(c, 0) F2(4, 0)

koordinat puncak: A(-a, 0), B(a, 0), C(0, b), D(0, -b)

A(-5, 0), B(5, 0), C(0, 3), D(0, -3)

2. panjang sumbu mayor = 2a = 2 (5) = 10

panjang sumbu minor = 2b = 2 (3) = 6

A B

C

D

F1 F2

P(x,y)

O

b. Persamaan ellips yang pusatnya (p, q), sumbu mayor = 2a dan sumbu minor = 2b adalah:

Sumbu simetrinya: x = p dan y = q

Fokusnya : F1(p – c, q) dan F2(p + c, q)

Puncaknya : A(p-a, q),  C(p, q+b)B(p+a, q), D(p, q-b)

Contoh soal:

Diketahui persamaan ellips: , tentukan:

a. koordinat pusat, fokus dan puncakb. panjang sumbu mayor, minor dan sumbu simetri

Jawab:

a = 5, b = 4, c = 3, q = -2

c =

a. koordinat pusat: (p, q) = (3, -2)

koordinat fokus: F1(p – c, q) = F1(0, -2) F2(p + c, q) = F2(6, -2)

koordinat puncak : A(p – a, q) = A(-2, 2) B(p + a, q) = B(8, -2) C(p, q + b) = C(3, 2) D(p, q – b) = D(3, -6)

b. panjang sumbu mayor = 2a = 2 . 5 = 10panjang sumbu minor = 2b = 2 . 4 = 8sumbu simetri: x = p x = 3

y = q y = -2

3. Garis Singgung Pada Elips

a. Persamaan garis singgung di titik (x1, y1) pada ellips adalah:

b. Persamaan garis singgung di titik (x1, y1) pada ellips

adalah:

c. Persamaan garis singgung di titik (x1, y1) di luar ellips dapat dicari

dengan menggunakan diskriminan atau garis kutub, yaitu: untuk

ellips

d. Persamaan garis singgung dengan gradien m pada ellips

adalah:

Contoh soal:

1. Tentukan persamaan garis singgung di titik (3, 0) pada ellips

Jawab:

Titik (3, 0) x1 = 3 dan y1 = 0

a2 = 9 dan b2 = 4

Persamaan garis singgung di titik (3, 0)

3x = 9 x = 3

Jadi persamaan garisnya adalah x = 3

2. Diketahui persamaan ellips . Tentukan persamaan garis singgung

yang bergradien –2 !

Jawab:

a2 = 4 dan b2 = 2

m = -2 m2 = (-2)2 = 4Persamaan garis singgungnya adalah: y = mx

y = -2x

y = -2x

y = -2x 3

y = mx

y = -2x + 3 dan y = -2x - 3

Latihan soal

1. Tentukan persamaan garis singgung pada ellips di titik (0, 2) !

2. Tentukan persamaan garis singgung pada ellips , di titik yang

absisnya 0 !

3. Tentukan persamaan garis singgung pada ellips dengan m = 2 !

4. Tentukan persamaan ellips dan koordinat F1 dan F2, jika diketahui P(0, 0), a = 5 dan b = 3, jika sumbu panjang sejajar sumbu X !

5. Ellips mempunyai sumbu panjang sejajar sumbu Y. Jika P(3, 2), a = 13 dan c = 5, maka tentukan persamaan dan panjang lotus rectum !

6. Tentukan persamaan garis singgung pada ellips

di titik (9, 4) !

7. Tentukan persamaan garis singgung pada ellips yang bergradien –2 !

8. Tentukan persamaan ellips dengan pusat (0, 0), focus (3, 0) dan (-3, 0) serta panjang sumbu mayor 10 !

9. Tentukan persamaan ellips yang puncaknya (0, 6) dan (0, -6) serta fokusnya (0, 4) dan (0, -4) !

10. Tentukan persamaan garis singgung pada ellips di titik (-2, 1) !

D. HIPERBOLA

1. Pengertian

Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik dimana selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu selalu tetap. Dua titik tersebut disebut fokus.

Pada hiperbola terletak P dan Q, maka PF2 – PF1 = QF1 – QF2 = 2a (tetap).

F1 dan F2 disebut focus A dan B disebut titik puncak O disebut pusat hiperbola Sumbu X disebut sumbu real

(nyata) Sumbu Y disebut sumbu imajiner Garis k dan l disebut asimtot (garis

yang melalui pusat dan tidak memotong hiperbola).

2. Grafik Persamaan Hiperbola

a. Persamaan hiperbola yang pusatnya O(0, 0) dan sumbu X sebagai sumbu nyata adalah :

A BO

D

QP

F1 F2X

Y

lk

dimana a dan b adalah positif

Puncaknya A(-a, 0) dan B(a, 0) Fokusnya F1(-c, 0) dan F2(c, 0) Pada sumbu x (sumbu real),

panjang AB = 2a Pada sumbu y (sumbu imajiner),

panjang CD = 2b Koordinat titik C(0, b) dan D(0, -b), dimana

dari AB = 2a; F1 F2 = 2c didapat b2 = c2 – a2

Jarak (fokus) F1 F2 = 2c

Persamaan asimtot: y = dan y = -

Grafik hiperbola terbuka ke kanan dan ke kiri

b. Persamaan hiperbola yang pusatnya (p, q) dan sumbu nyata sejajar sumbu X adalah

Puncak A(p – a, q) dan B(p + a, q) Fokus F1(p – c, q) dan F2(p + c, q) Persamaan sumbu nyata : y = q Persamaan sumbu imajiner : x = p

Persamaan asimtotnya : y – q = (x – p)

dan y – q = - (x – p)

c2 = a2 + b2, grafik hiperbola terbuka ke kanan dan ke kiri

c. Persamaan hiperbola yang pusatnya O(0, 0) dan sumbu Y sebagai

sumbu nyata adalah , berlaku :

Puncaknya A(0, a) dan B(0, -a) Fokusnya F1(0, c) dan F2(0, -c)

Persamaan asimtotnya x = y dan

x = - y

Grafik terbuka ke atas dan ke bawah

d. Persamaan hiperbola yang pusatnya (p, q) dan sumbu nyata sejajar

sumbu Y adalah , berlaku :

Puncak A(p, q+a) dan B(p, q-a) Fokus F1(p, q+c) dan F2(p, q-c) Persamaan asimtotnya:

xa

by x

a

by

X

Y

C(0, b)

D(0, -b)

B(a, 0)A(-a, 0)

F1(-c, 0) F2(c, 0)..

dimana a dan b adalah positif dan terdapat :

Asimtot

Asimtot

B

A

(p, q)

.

.F2

F1

O

x – p = (y – q) dan

x – p = - (y – q)

c2 = a2 + b2

Sumbu nyata : x = p Sumbu imajiner: y = p

e. Hiperbola Ortogonal

Hiperbola orthogonal adalah hiperbola yang kedua asimtotnya saling tegak lurus, dan diperoleh jika a = b. Persamaan hiperbola orthogonal:1. x2 – y2 = a2, untuk sumbu nyatanya sumbu X dan pusat O(0, 0)2. y2 – x2 = a2, untuk sumbu nyatanya sumbu Y dan pusat O(0, 0)

3. Garis Singgung Pada Hiperbola

1. Persamaan garis singgung di titik (x1, y1) pada hiperbola adalah:

2. Persamaan garis singgung di titik (x1, y1) pada hiperbola

adalah :

3. Persamaan garis singgung di titik (x1, y1) pada hiperbola adalah:

Latihan soal

1. Diketahui hiperbola: , maka

a. a2 = … b2 = … c2 = … c = …b. Koordinat pusatnya adalah ….c. Koordinat puncaknya adalah ….d. Koordinat fokusnya adalah ….e. Persamaan sumbu nyata adalah ….f. Persamaan sumbu imajiner adalah ….g. Persamaan asimtotnya adalah ….h. Grafiknya:

2. Diketahui hiperbola: 16y2 – 9x2 – 144 = 0

a. 16y2 – 9x2 – 144 = 0

b. a2 = … b2 = … c2 = … c = …c. Koordinat pusatnya adalah ….d. Koordinat puncaknya adalah ….e. Koordinat fokusnya adalah ….f. Persamaan sumbu nyata adalah ….g. Persamaan sumbu imajiner adalah ….h. Persamaan asimtotnya adalah ….i. Grafiknya:

3. Tentukan persamaan hiperbola yang sumbu nyatanya sumbu X, salah satu puncaknya (0, 4) dan jarak dua fokusnya = 6 satuan. Tentukan juga koordinat puncak dan fokus yang lain, pusat, persamaan sumbu nyata dan imajiner serta asimtotnya !

4. Diketahui hiperbola : 16x2 – 9y2 + 64x + 18y – 89 = 0, ,maka :

a. Diubah menjadi bentuk:

b. a2 = … b2 = … c2 = … c = …c. Koordinat pusatnya adalah ….d. Koordinat puncaknya adalah ….e. Koordinat fokusnya adalah ….f. Persamaan sumbu nyata adalah ….g. Persamaan sumbu imajiner adalah ….h. Persamaan asimtotnya adalah ….i. Grafiknya:

5. Sebuah hiperbola dengan asimtot y = x dan titik puncaknya (0, -4). Tentukan asimtot

dan puncaknya yang lain, pusatnya, persamaan sumbu nyata dan imajiner serta persamaan hiperbolanya !

6. Tentukan persamaan garis singgung pada hiperbola 4x2 – 5y2 = 20 dititik yang absisnya 5 !

7. Tentukan persamaan garis singgung pada hiperbola 16(x – 4)2 – 25(y – 2)2 = 400 yang sejajar garis x + y = 0 !

8. Tentukan persamaan garis singgung pada hiperbola di titik (14, 2) !

A. Pilih salah satu jawaban yang paling benar !

1. Hiperbola mempunyai fokus …

a. (3 + , 5) dan (3 - , 5) d. (3 + , 5) dan (3 - , 5)b. (3 + , 5) dan (3 - , 5) e. (3 + , 5) dan (3 - , 5)c. (3 + , 5) dan (3 - , 5)

2. Dari persamaan no. 1, hiperbola tersebut mempunyai pusat di …a. (3, 4) d. (5, 4)b. (4, 3) e. (4, 5)c. (25, 6)

3. Jarak kedua puncak hiperbola adalah …

a. 6 d. 9b. 7 e. 10c. 8

4. Persamaan asimtot dari hiperbola pada soal no. 3 adalah …

a. y = dan y = d. y = dan y =

b. y = dan y = e. y = dan y =

c. y = dan y =

5. Persamaan hiperbola bila puncaknya di (3, 3) dan (3, -1) serta salah satu fokusnya di (3, 5) adalah …

a. d.

b. e.

c.

6. Jarak kedua focus hiperbola adalah …

a. 2 d. 4b. 2 e. 2c. 3

7. Persamaan garis singgung hiperbola yang tegak lurus garis

4x + 3y – 7 = 0 adalah …

a. y = d. y =

b. y = e. y =

c. y =

8. Hiperbola yang memiliki koordinat puncak (0, 3) dan (0, -3) serta fokus (0, 5) dan (0, -5) mempunyai persamaan …

a. d.

b. e.

c.

9. Hiperbola dengan persamaan 9x2 – 16y2 – 18x – 64y – 199 = 0 mempunyai pusat …a. (-1, -2) d. (2, 1)b. (1, -2) e. (-2, -1)c. (1, 2)

10. Persamaan asimtot hiperbola pada no. 9 tersebut adalah

a. y + 2 = (x – 1) dan y + 2 = - (x – 1)

b. y + 2 = (x – 1) dan y + 2 = - (x – 1)

c. y + 4 = (x – 1) dan y + 4 = - (x – 1)

d. y + 1 = (x – 2) dan y + 1 = - (x – 2)

e. y + 3 = (x – 1) dan y + 3 = - (x – 1)

11. Persamaan garis singgung hiperbola yang melalui titik (3 , -4) adalah …

a. x + 2y = 1 d. 4x + 2y = 1

b. 3x + 2y = 1 e. x + 2y = 1

c. 4x - 2y = 1

12. Persamaan garis singgung hiperbola yang bergradien –4 adalah …

a. y = -4x d. y = -4x

b. y = -4x e. y = -4x

c. y = -4x

13. Persamaan garis singgung hiperbola x2 – 4y2 = 12 dan melalui titik (1, 4) adalah …

a. 83x + 22y – 126 = 0 d. x + y + 3 = 0

b. 83x - 22y – 126 = 0 e. x - y – 3 = 0

c. 83x + 22y + 126 = 0

14. Persamaan garis singgung hiperbola bergradien m adalah …

a. y = x d. y = mx

b. y = y e. y = mx

c. y = my

15. Persamaan direktriks hiperbola adalah …

a. 3 d. 3

b. 3 e. 3

c. 3

B. Kerjakan soal-soal di bawah ini !

1. Diketahui hiperbola : , tentukan :

a. Koordinat pusat d. Persamaan sumbu nyata g. Jarak (fokus) F1 dan F2

b. Koordinat puncak e. Persamaan sumbu imajiner h. Grafiknya

c. Koordinat focus f. Persamaan asimtot

2. Diketahui hiperbola: , tentukan :

a. Koordinat pusat d. Persamaan sumbu nyata g. Grafiknya

b. Koordinat puncak e. Persamaan sumbu imajiner

c. Koordinat focus f. Persamaan asimtot

3. Tentukan persamaan garis singgung hiperbola yang melalui titik (3 , -4)!

4. Tentukan persamaan garis singgung hiperbola yang sejajar garis y = 2x – 1 !