irisan kerucut mat

PERSAMAAN LINGKARAN

Hal.: 2 IRISAN KERUCUT Adaptif

Persamaan Lingkaran


LINGKARAN DIDEFINISIKAN SEBAGAI HIMPUNAN TITIK TITIK YANG BERJARAK TETAP TERHADAP TITIK TERTENTU, DIMANA TITIK TERTENTU TERSEBUT DISEBUT SEBAGAI PUSAT LINGKARAN DAN JARAK YANG TETAP DISEBUT JARI - JARI

Persamaan lingkaran


o

r

Persamaan Lingkaran


Persamaan LingkaranPersamaan Lingkaran Berpusat di Persamaan Lingkaran Berpusat di Titik O(0,0) dan Berjari-jari rTitik O(0,0) dan Berjari-jari r

Persamaan Lingkaran Berpusat di Persamaan Lingkaran Berpusat di Titik P(a,b) dan Berjari-jari rTitik P(a,b) dan Berjari-jari r

Persamaan Lingkaran


o

rT (x,y)

OT = r

x + y = r2 2 2

( x2 - x1 ) + ( y2 - y1 ) = r

2 2

( x - 0 ) + ( y - 0 ) = r

2 2X

Y


Persamaan Lingkaran


Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik O (0,0) dan :

a. berjari-jari 2b. melalui titik (3,4)

Soal Latihan

Persamaan lingkaran


P (a,b )

r T (x,y)

PT = r

(x-a) + (y-b) = r2 22

( x2 - x1 ) + ( y2 - y1 ) = r

2 2

( x - a ) + ( y - b ) = r

2 2

OX

Y


Persamaan Lingkaran


Tentukan persamaan lingkaran jika :a. Berpusat di titik P (3,2) dan berjari-jari 4 b. Berpusat di titik Q (2,-1) dan melalui titik R(5,3)

Soal Latihan

Persamaan lingkaran


ELIPS


Elips

Indikator

1. Menjelaskan pengertian elips.

2. Menentukan unsur-unsur elips.

3. Menentukan persamaan elips

4. Melukis grafik persamaan ellips

Kompetensi dasar:3. Menerapkan konsep elips

Standar Kompetensi

Menerapkan konsep irisan kerucut dalam memecahkan masalah.


Elips

Indikator

1. Menjelaskan pengertian elips.

2. Menentukan unsur-unsur elips.

3. Menentukan persamaan elips.

4. Melukis grafik persamaan elips.


Elips

Pengertian Elips

Elips adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang datar yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu yang diketahui adalah tetap (konstan).


Perhatikan Gambar Elips

Elips

Unsur-unsur pada elips:

1.F1 dan F2 disebut fokus.

Jika T sembarang titik pada elips maka TF1 + TF2 = 2a, F1F2 = 2c, dengan 2a > 2c.

2. A1A2 merupakan sumbu panjang (mayor)= 2a. B1B2 merupakan sumbu pendek (minor) = 2b, karena itu a > b.

b

B1

a

T

A2

E

D

A1

B2

(0,-b)

(0,b)

F1 F2 P (c, 0) (- c, 0)

K

L

Lanjut

Unsur-unsur elips


Elips

Lanjutan Elips

3. Latus Rectum yaitu segmen garis yang dibatasi elips, tegak lurus sumbu mayor dan melalui fokus (DE dan KL), panjang Latus Rectum

DE = KL =

4. Titik pusat (P) yaitu titik potong sumbu mayor dengan sumbu minor.

5. Titik puncak elips yaitu titik A1, A2, B1, B2.

a

b22


Elips

1. Persamaan Elips yang berpusat di O(0,0)Persamaan Elips : TF1 + TF2 = 2a

+ = 2a

= 2a - Mengkuadratkan ruas kiri dan kanan sehingga diperoleh ……

)0,(1 aA )0,(2 aA

),0(1 bB

),0(2 bB

),( yxT

(a2- c2) x2 + a2y2 = a2(a2-c2) . . . (i), jika titik T pada titik puncak pada sumbu minor (0,b) maka diperoleh … . b2 =a2 – c2 . . . . (ii)

22)( ycx 22)( ycx 22)( ycx 22)( ycx

Persamaan (ii) disubstitusikan ke persamaan (i) sehingga diperoleh:

Persamaan Elips

12

2

2

2

b

y

a

x


Elips

Contoh

Tentukan persamaan elips dengan titik puncak (13,0) dan fokus F1(-12, 0) dan F2(12,0).

Jawab:

Diketahui pusat elips O(0,0)Titik puncak (13,0) a = 13Titik fokus (-12,0) dan (12,0) c = 12

Sumbu utama adalah sumbu X, sehingga persamaannya:

125169

1513

22

2

2

2

2

yx

atauyx


Elips

1)()(

2

2

2

2

b

ny

a

mx

2.Persamaan elips yang bertitik pusat P (m,n)

a. Persamaan elips dengan titik pusat (m, n):

b. Sumbu utamanya (sumbu) y = n,

dengan panjang 2a dan sumbu minornya adalah sumbu x = n, dengan panjang 2b.

3.Titik fokus F1(m-c, n) dan F2( m + c, n )

4. Titik puncak A(m-a, n) dan B ( m + a, n )

5. Panjang lactus rectum (LR) = dengan 222 cab a

b22

O

B

C

D

P(m,n)

X= m

X

Y

A F1F2

m


Elips

Contoh:Tentukan persamaan elips dengan fokus F1(1,3) dan F2(7,3) dan

puncaknya (10,3).

Fokus (1,3) dan (7,3) = m-c = 1, m + c = 7 dengan eliminasi diperoleh m=4 dan c= 3Pusat P (m,n) = P (4,3) m = 3Puncak(10,3) m + a= 10 a= 6 b2 = a2 –c2 = 62 - 32 = 36 - 9 = 27Sumbu utama y=3, sehingga persamaan elips menjadi:

Jawab:

127

)3(

36

)4(1

27

)3(

6

)4( 222

2

2

yx

atauyx


Elips

022 EDyCxByAx

Bentuk umum persamaan elips

Persamaan elips memiliki bentuk umum:

Hubungan antara persamaan dengan

persamaan adalah sebagai berikut:

022 EDyCxByAx

1)()(

2

2

2

2

b

ny

a

mx

022 EDyCxByAx

Jika A > B, maka A = a2, B = b2, C=-2a2m, D= -2b2n, E= a2m2 + b2n2- a2b2

Jika A < B, maka A = b2, B = a2, C=-2b2m, D= -2a2n, E= a2m2 + b2n2- a2b2


Elips

Contoh:

Tentukan titik pusat dan fokus dari elips yang memiliki persamaan 4x2+ 9y2 -16x+ 18y -11=0.

Jawab:

Diketahui persamaan elips: 4x2+ 9y2 -16x+ 18y -11=0.A=4, B= 9, C= -16, D=18, E= -11b2 = A = 4 b = 2A2 = B = 9 a = 3

C = -2 b2m D= -2a2m C2= a2 –b2 = 9 -4 = 5-16=-2. 4. m 18= -2. 9.n C = -16= -8m 18= -18n 2= m -1 = nPusat P(m,n) P(2, -1)FokusF2(m-c, n)=F2 dan F2(m+c, n)=F2 )1,52( )1,52(


Elips

Persamaan garis singgung melalui titik (x1, y1) pada elips

ataub

yy

a

xx1

21

21

1. Untuk persamaan elips persamaan garis

singgung yang melalui (x1, y1) pada elips tersebut adalah:

12

2

2

2

b

y

a

x

221

21

2 bayyaxxb

2. Untuk persamaan elips persamaan garis singgung yang melalui (x1, y1) pada elips tersebut adalah:

1)()(

2

2

2

2

b

ny

a

mx

21

21 ))(())((

b

nyny

a

mxmx


Elips

Persamaan garis singgung dengan gradien p

12

2

2

2

b

y

a

xPada elips atau ,adalah 222222 bayaxb

y= p 222 bpax

Untuk elips dengan persamaan:

Persamaan garis singgungnya adalah:

y - n = p(x-m)

1)()(

2

2

2

2

b

ny

a

mx

222 bpa


ElipsContoh:

,12128

22

yx

Tentukan persamaan garis singgung elips berikut.

a. pada titik (4, 3)

b. pada titik(5,-3)

Jawab:

,19

)2(

18

)1( 22

yx

a. Diketahui :

(4,3) x1 = 4 dan y1= 3 Persamaan garis singgung:

,12128

22

yx

121

21

b

yy

a

xx


Elips

121

3

28

4

yx

177

yx

7 yx

b. Diketahui: pusat (m, n) = (1, -2)

( 5, -3) y1 = -3

Persamaan garis singgung:

19

)2(

18

)1( 22 yx

danx 51

1))(())((

21

21

b

nyny

a

mxmx


Elips

19

)23(

18

)1)(15(

x

19

)2(

18

)1(4

yx

19

)2(

9

)1(2

yx

9)2()1(2 yx

132 yx


Parabola

Persamaan parabola berpuncak 0(0,0) y2 = 4pxa.Puncak (0,0)b. Sumbu semetri = sumbu xc. Fokusnya F(p,0)d. Direktriknya x = -p

(0,0) X

d:X=-P

F(P,0)

Y

•••


Parabola

Persamaan parabola yang bepuncak 0(0,0) dan Fokus di F(-p,0) adalah Y2 = -4px

X

Y

(0,0) F(P,0)

d:X=-P

••••


Parabola

Persamaan parabola yang bepuncak 0(0,0) dan Fokus di F(0,p) adalah x2 = -4py

X

Y

•

•

•

F(0,p)

(0,0)d:y=-P


Parabola

Persamaan parabola yang bepuncak 0(0,0) dan Fokus di F(0,-p) adalah x2 = -4py

X

Y

•

•

•

F(0,-p)

(0,0)

d: y=p


Parabola

Contoh:1.Dari parabola-parabola berikut tentukan koordinat fokus,persamaan sumbu semetri,persamaan direktris dan panjang lactus rectum a. y2 = 4x c. x2 = -8y b. y2 = -12x d. x2 = 6yJawab:a. y2 =4px y2 = 4x, maka p = 1 Parabola ini merupakan parabola horizsontal ysng

terbuka ke kanan. (i) Koordinat titik fokus F(p,0) F(1,0) (ii) Sumbu semetri berimpit dengan sumbu X, maka persamaanya y = 0 (iii) Persamaan direktris: x = -p x = -1 (iv) Panjang lactus rectum (LR) = 4p = 4 . 1 = 4


Parabola

b. y2 =-p4x y2 = -12x, maka 4p = 12 p = 3 Parabola ini merupakan parabola horizsontal yang

terbuka ke kiri (i) Koordinat titik fokus F(-p,0) F(-3,0) (ii) Sumbu semetri berimpit dengan sumbu X, maka persamaanya y = 0 (iii) Persamaan direktris: x = -p x = 3 (iv) Panjang lactus rectum (LR) = 4p = 4 . 3= 12

c. x2 = -p4y x2 = -8y, maka 4p = 8 p = 2 Parabola ini merupakan parabola horizsontal ysng terbuka ke bawah (i) Koordinat titik fokus F(0,-p) F(0,-2) (ii) Sumbu semetri berimpit dengan sumbu y, maka persamaanya x = 0 (iii) Persamaan direktris: y = p y = 2 (iv) Panjang lactus rectum (LR) = 4p = 4 . 2 = 8 d. Untuk latihan


Parabola

Persamaan parabola berpuncak P(a,b) (y – b)2 = 4p(x – a)

x•

•

•

•O(0,0) F(p,0)

••

•

y

P(a,b)

Fp(a+p,b)

a

•

•a. Titik puncak P(a,b)

b. Titik fokus F(a+p,b)

c. Direktris x = -p+a

d. Sumbu semetri y = b

e.


Parabola

Contoh:Diberikan persamaan parabola 3x – y2 + 4y + 8= 0Tentukan : a. Titik puncak c. Direktris b. Titik fokus d. Sumbu semetri

Jawab:Ubah persamaan parabola ke persamaan umum: 3x – y2 + 4y + 8= 0 y2 - 4y = 3x + 8 y2 - 4y + 4 = 3x + 8 + 4 (y – 2)2 = 3x + 12 (y – 2)2 = 3(x + 4)Didapat persamaan parabola (y – 2)2 = 3(x + 4) yaitu parabola mendatar yang terbuka ke kanan.


Parabola

Dari persamaan tersebut diperoleh: a. Titik puncak P(-4,2) b. 4p = 3 maka p = Titik Fokus F(a+p,b)

c. Persamaan direktris :

d. Sumbu semetrinya : y = 2

4

3

)2,4

34( F

)2,4

13(F

4

34

44

3

x

apx

xO(0,0)

P(-4,2)F

y


Parabola

Soal untuk latihan:a.Tentukan persaaman parabola yang

berpuncak di (2,4) dan fokusnys (-3,4)

b.Tentukan persamaan Parabola yang titik fokusnya F(2-3) dan persamaan didertrisnya y = 5


Persamaan garis singgung parabola

A. Persamaan garis singgung parabola melaluhi titik A(x1,y1)

yy1 = 2p(x+x1)

x

y

•

•A(x1,y1)



Persamaan parabola melaluhi titik A(x1,y1) di sajikan pada tabel berikut

Persamaan Parabola Persamaan Garis singgung

y2 = 4px yy1 = 2p(x+x1)

y2 = -4px yy1 = -2p(x+x1)

x2 = 4py xx1 = 2p(y+y1)

x2 = -4py xx1 = -2p(y+y1)

(y – b)2 = 4p(x – a) (y-b)(y1-b)=2p(x+x1-2a)

(y – b)2 = -4p(x – a) (y-b)(y1-b)=-2p(x+x1-2a)

(x– a)2 = 4p(y – b) (x-a)(x1-a)=2p(y+y1-2b)

(x– a)2 = -4p(y – b) (x-a)(x1-a)=-2p(y+y1-2b)



Contoh:1. Tentukan persamaan garis singgung parabola y2 = 8x di

titik (2,4) jawab : y2 = 8x 4p = 8 p = 2 Titik A(x1,y1) A(2,4) Persamaan garis singgungnya adalah yy1 = 2p(x+x1)

y.4 = 2.2(x+2) 4y = 4(x+2) y = x+2



2. Tentukan persamaan garis singgung parabola

(x+1)2 = -3(y-2) pada titik (2,-1)

Jawab :

a = -1 , b = 2, x1 = 2 dan y1 = 1

(x+1)2 = -3(y-2)

-4p = -3

p =

Persamaan garis singgung parabola di titik A(2,-1) adalah

(x - a)(x1 - a) = -2p(y + y1 - 2b)

(x +1)(2 +1) = -2. (y - 1 – 2.2)

(x + 1)(3) =

6(x + 1) = - 3(y – 5)

2(x + 1) = -(y – 5)

2x + 2 = -y + 5

y = -2x + 3

4

3

4

3

)5(2

3 y



B.Persamaan garis singgung parabola yang bergradien m

Persamaan parabola Persamaan garis singgung

y2 = 4px y = mx +

y2 =- 4px y = mx -

x2 = 4py y = mx – m2p

x2 = -4py y = mx + m2p

(y – b)2 = 4p(x – a) (y – b) = m(x – a) +

(y – b)2 = -4p(x – a) (y – b) = m(x – a) -

(x– a)2 = 4p(y – b) (y – b) = m(x – a) – m2p

(x– a)2 = -4p(y – b) (y – b) = m(x – a) + m2p

m

p

m

p

m

p

m

p



Contoh:1.Tentukan persamaan garis singgung parabola y2 = 8x yang kergradien 2 Jawab: Parabola y2 = 8x 4p = 8 p = 2 Maka persamaan garis singgungnya adalah: y = mx + y = 2x + 1

m

p



2. Tentukan persamaan garis singgung parabola (y + 5)2 = -8(x – 2) yang bergradien 3 Jawab : Parabola (y + 5)2 = -8(x – 2) -4x = -8 p = 2 Puncak P(2,-5) Jadi persamaan garis singgungnya adalah y – b = m(x – a) – y + 5 = 3(x – 2) – 3y + 15 = 9(x – 2) -2 3y + 15 = 9x – 20 9x – 3y + 35 = 0 y = 3x -

m

p

3

2

3

35


Hiperbola

A.Hiperbola adalah kedudukan titik-titik pada bidang datar yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu adalah tetap. Kedua titik tertentu di sebut fokus(titik apai). xa

b

x

y

•• •• •0

Y =

Y =

BA

xa

b

F(C,0)F’(-C,0)

A.Persamaan Hiperbola Pusat(0,0)

N

12

2

2

2

b

y

a

x

a. Pusat O(0,0)

b. Fokus F’(-C,0) dan F(C,0)

c. Puncak A(-a,0) dan B(a,0)

d. Sumbu semetri

- Sumbu Utama sumbu x

- Sumbu sekawan adalah sumbu y

e. Sumbu nyata AB = 2a

f. Sumbu imajiner MN = 2b

KM

LE

D

g. Asimtot , y = + xa

b


Hiperbola

xab

x

y

•

•

•

•

•

0

Y =

Y = B

Axa

b

F(0,C)

F’(0,-C)

B. Persamaan Hiperbola

N

12

2

2

2

b

x

a

y

a. Pusat O(0,0)

b. Fokus F’(0,-C) dan F(0,C)

c. Puncak A(0,-a) dan B(0,a)

d. Sumbu semetri

- Sumbu Utama sumbu y

- Sumbu sekawan adalah sumbu x



K

M

LE

D

g. Asimtot , y = + xa

b

atau b2y2 – a2x2 = a2b2


Hiperbola

Contoh :1.Tentukan persamaan hiperbola jika titik fokusnya F’(-13,0) dan F(13,0) dengan puncak (-5,0) dan (5,0) Jawab : Pusat (0,0) a = 5 , c = 13 b2 = c2 – a2 = 132 – 52

= 169 – 25 = 144 Sumbu utama sumbu X, maka persamaan hiperbolanya adalah:

114425

122

2

2

2

2

yx

b

y

a

x


Hiperbola

2.Diketahui persamaan hiperbola dari

Jawab :

dan

Pusat(0,0)

Puncak(-a,0)=(-4,0) dan (a,0) = (4,0)

1416

22

yx

4161416

222

aayx 242 bb

222020416222 cbac

)0,22()0,()0,52()0,( CdancFokus

Persamaan xytota ab:sin

xy3

2 dan

4

2y


Hiperbola

A. Persamaaan Hiperbola dengan pusat P(m,n)

xab

x

y

• •• • •

0

Y =

Y =

BA

xa

b

F(C,0)F’(-C,0)

N

1)()(

2

2

2

2

b

ny

a

mx

a. Pusat P(m,n)

b. Fokus F’(m-C,0) dan F(m+C,0)

c. Puncak A(m-a,0) dan B(m+a,0)

d. Sumbu semetri

- Sumbu Utama sumbu y = n

- Sumbu sekawan adalah y = m



KM

LE

D

g. Asimtot , y-n = + (x - a) xa

b

P


Hiperbola

Contoh:1. Tentukan persamaan hiperbola jika titik fokus F’(-2,-3) dan F(8,-3) dan

titik puncaknya (7,-3) Jawab: fokus F’(-2,-3) dan F(8,-3) Jarak pusat ke fokus c = 8 – 3 = 5 Puncak (7,3) Jarak pusat dengan puncak a = 7 – 3 = 4 b2 = c2 – a2 = 52 – 42 = 25 – 16 = 9 Jadi persamaan hiperbola adalah

atau

9(x-3)2 – 16(y+3)2 = 144 9x2 – 16y2 – 54x -96y – 207 = 0

)3,3(2

)3(3,

2

82

pusat

19

3

16

322

yx


Hiperbola

2. Tentukan titik pusat,titik fokus, titik puncak, panjang lactus rectum

dan persamaan asimtotnya dari

Jawab:

Titik pusat (4,-1)

1

225

1

64

4 22

yx

1

225

1

64

4 22

yx

8642 aa

152252 bb

1728922564222 cbac

)1,21()1,174()1,13()1,174( danFokus

tusPanjangLac4

225

8

225.22 2

a

brectum

48

151: xyAsimtot


Persamaan Garis Singgung Hiperbola

Persamaan garis singgung hiperbola melelaluiT(x1,y1)

Persamaan garis singgung

di titik T(x1,y1) yaitu


121

21

b

yy

a

xx

1)()(

2

2

2

2

b

ny

a

mx

12

2

2

2

b

x

a

y1

21

21

b

xx

a

yy

12

2

2

2

b

y

a

x

di titik T(x1,y1) yaitu 1))(())((

21

21

b

nyny

a

mxxx

1)()(

2

2

2

2

b

mx

a

ny 1))(())((

21

21

b

mxmx

a

nyny di titik T(x1,y1) yaitu


Contoh 1 :

Tentukan persamaan garis singgung pada hiperbola

pada titik (9, -4)1

29

22

yx

PERSAMAN GARIS SINGGUNG HIPERBOLA

Jawab

Persamaan garis singgung Hiperbola

12

2

2

2

b

y

a

xdi titik T(x1,y1) yaitu 1

21

21

b

yy

a

xx

Jadi persamaan garis singgungnya : 12

4

9

9

yx

atau x + 2y = 1


Persamaan garis singgung Hiperbola

Contoh 2Tentukan persamaan garis singgung hiperbola 1

12

)3(

36

)2( 22

yx

Pada titik (-4, -3)

Jawab :

Persamaan garis singgung hiperbola 1)()(

2

2

2

2

b

ny

a

mx


112

)3)(33(

36

)2)(24(

yxJadi persamaan garissinggungnya :

1))(())((

21

21

b

nyny

a

mxxx

106

)2( x

62 x

x = - 4

irisan kerucut mat

Documents