BAB 2 IRISAN KERUCUT

Penerbit Erlangga

KompetensiDasar

Menerapkan konsep lingkaran. Menerapkan konsep parabola. Menerapkan konsep elips. Menerapkan konsep hiperbola.

A. Pengertian Irisan Kerucut

Irisan kerucut adalah sebuah kurva yang diperoleh dengan memotong suatu kerucut lingkaran tegak dengan suatu bidang datar. Irisan kerucut dapat berupa lingkaran, parabola, elips, dan hiperbola.

Irisan kerucut yang membentuk (a) lingkaran, (b) parabola, (c) elips, dan (d) hiperbola.

B. LINGKARAN

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik tertentu yang digambarkan pada bidang Cartesius.

Jarak yang sama disebut jari-jari lingkaran

dan titik tertentu disebut pusat lingkaran.

1. Persamaan Lingkaran a. Persamaan Lingkaran yang Berpusat

di O(0, 0)

Gambar 3.2 diatas memperlihatkan lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dan jari-jari r pada sebuah bidang Cartesius.

Misalkan titik A(x, y) adalah sembarang titik yang terletak pada lingkaran. Titik A′(x, 0) adalah proyeksi titik A pada sumbu X sehingga ΔOA′A merupakan segitiga dengan siku-siku di A′.

Dengan menerapkan teorema Pythagoras pada ΔOA′A, diperoleh:

sadfa dsfa

Karena A(x, y) sembarang titik pada lingkaran, maka persamaan x2 + y2 = r2 berlaku untuk semua titik A(x, y) yang terletak pada lingkaran. Dengan demikian persamaan lingkaran dengan pusat O(0, 0) dan jari-jari r adalah:

Contoh

b. Persamaan Lingkaran yang Berpusat di pusat P(a, b)

Gambar diatas adalah lingkaran yang berpusat di P(a, b) dan berjari-jari r. Misalkan A(x, y) adalah sembarang titik yang terletak pada lingkaran dan AP adalah jari-jari lingkaran.

Dengan menerapkan Teorema Pythagoras diperoleh hubungan:

Karena titik A(x, y) sembarang, maka persamaan (x – a)2 + (y – b)2 = r2 berlaku untuk semua titik A(x, y) yang terletak pada lingkaran. Dengan demikian persamaan lingkaran dengan pusat P(a, b) dan jari-jari r adalah:

Contoh

c. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran

C. Parabola

Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang datar yang mempunyai jarak yang sama terhadap suatu titik tertentu dan suatu garis tertentu.

Titik tersebut disebut titik api atau (fokus) dan garis tersebut disebut garis arah atau (direktris).

Garis yang melalui titik fokus dan tegak lurus direktris disebut sumbu simetri.

Sedangkan segmen garis yang dibatasi oleh parabola, tegak lurus sumbu simetri, dan melalui fokus disebut lactus rectum.

Perhatikan Gambar disamping, Dari gambar dapat diketahui: • titik A dan B terletak pada parabola • titik P adalah puncak parabola • titik F adalah titik fokus • titik g adalah garis arah (direktris), dan • titik l merupakan sumbu simetri parabola Jarak dari titik A ke garis g dan titik fokus adalah sama. Begitu juga halnya dengan titik B.

a. Persamaan Parabola yang Berpuncak di O(0, 0)

Keterangan mengenai parabola diringkas dalam tabel disamping

Contoh

Tentukan persamaan parabola yang titik fokusnya (4, 0) dan persamaan direktrisnya x = –4. Tentukan pula panjang lactus rectumnya.

Jawab: Buat sketsa parabola dengan diketahui: p = 4

parabola terbuka ke kanan. Dari sketsa terlihat bahwa parabolanya

merupakan parabola horizontal yang terbuka

ke kanan, persamaannya adalah: y2 = 4px.

Karena p = 4 maka persamaannya menjadi

y2 = 16x. Panjang lactus rectum (LR) = 4p = 4 · 4 = 16.

b. Persamaan Parabola yang Berpuncak di P(a, b)

Persamaan parabola yang berpuncak di (a, b) diperoleh dengan menggeser grafik parabola yang berpuncak di (0, 0).

Hasil dari pergeseran tersebut, didapat: • Titik puncak O(0, 0) menjadi P(a, b) • Titik fokus F(p, 0) menjadi Fp(a + p, b) • Direktris x = –p menjadi x = –p + a • Sumbu simetri y = 0 menjadi y = b • Persamaan y2 = 4px menjadi (y – b)2 =

4p(x – a)

Agar mudah dipahami, secara umum persamaan parabola dengan puncak P(a, b) terangkan dalam tabel berikut.

Contoh Tentukan persamaan parabola yang berpuncak di (2, 4) dan fokus (–3, 4).

Jawab:

Diketahui P(2, 4) dan titik fokus F(–3, 4).

Dengan cara membuat sketsa grafik parabola, maka jenis parabolanya adalah parabola mendatar yang terbuka ke kiri.

Diketahui: P(a, b) = P(2, 4) dan F(a – p, b) = F(–3, 4).

maka diperoleh: a = 2, b = 4, dan a – p = –3

a – p = –3

⇔ 2 – p = –3

⇔ p = 5

Sehingga persamaannya adalah:

(y – b)2 = –4p(x – a)

⇔ (y – 4)2 = –4 · 5(x – 2)

⇔ y2 – 8y + 16 = –20(x – 2)

⇔ y2 – 8y + 16 = –20x + 40

⇔ y2 + 20x – 8y – 24 = 0

c. Persamaan Garis Singgung Melalui Satu Titik pada Parabola

Contoh

d. Persamaan Garis Singgung Parabola yang Bergradien m

1. Tentukan persamaan garis singgung parabola y2 = 8x yang bergradien 2.

Jawab: Parabola y2 = 8x y2 = 4px

⇔ 4p = 8 ⇔ p = 2Maka persamaan garis singgungnya adalah: y = mx + m= 2 dan p = 2

⇔ y = 2x + 1

D. Elips

Elips adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang datar yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu yang diketahui adalah tetap (konstan).

Dua titik tertentu itu disebut fokus atau titik api (F1 dan F2), jarak F1 dan F2 adalah 2c, dan jumlah jarak tetap adalah 2a (a > 0).

Unsur-unsur pada elips: i. F1 dan F2 disebut fokus. Jika T adalah sembarang titik pada

elips maka TF1 + TF2 = 2a. F1F2 = 2c, dengan 2a > 2c. ii. A1A2 merupakan sumbu panjang (sumbu mayor) yang

panjangnya sama dengan jarak tetap yaitu 2a. B1B2 merupakan sumbu pendek (sumbu minor) yang panjangnya sama dengan 2b. Karena itu a > b.

iii. Lactus rectum yaitu segmen garis yang dibatasi elips, tegak lurus sumbu mayor, dan melalui fokus (DE dan KL) panjang lactus rectum

iv. Titik pusat (P) yaitu titik potong sumbu mayor dengan sumbu minor.

v. Titik puncak elips yaitu titik A1, A2, B1, dan B2

1. Persamaan Elips yang Berpusat di O(0, 0)

2. Persamaan Elips yang Berpusat di Titik P(m, n)

3. Bentuk Umum Persamaan ElipsPersamaan elips memiliki bentuk umum:

4. Persamaan Garis Singgung Elips i. Persamaan Garis Singgung Melalui Titik

(x1, y1) pada Elips

ii. Persamaan Garis Singgung dengan gradien p

D. Hiperbola

Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang datar yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu adalah tetap.

Kedua titik tertentu disebut fokus (titik api). Jika titik fokus hiperbola adalah F1 dan F2 dan

titik pada hiperbola adalah T, maka |F1T – F2T | = 2a dengan a > 0 dan 2a < F1F2.

1. Persamaan Hiperbola dengan Pusat O(0, 0)

Contoh

2. Persamaan Hiperbola dengan Pusat P(m, n)

3. Persamaan Garis Singgung Hiperbolai. Persamaan Garis Singgung Melalui Titik (x1, y1)

pada Hiperbola Persaman garis singgung hiperbol a , di titik

T(x1, y1) yaitu:

ii. Persamaan Garis Singgung Hiperbola dengan gradien p