hiperbola - the ideas exchangeeduideas.weebly.com/uploads/4/7/4/4/4744396/m17__hiperbola.pdf ·...

33
Hiperbola Minggu 17

Upload: vuhanh

Post on 31-Jan-2018

272 views

Category:

Documents


2 download

TRANSCRIPT

Page 1: Hiperbola - The Ideas Exchangeeduideas.weebly.com/uploads/4/7/4/4/4744396/m17__hiperbola.pdf · BentukAsas Hiperbola: Dua Parabola. Hiperbola Bagi sebarang titik P yang berada pada

Hiperbola

Minggu 17

Page 2: Hiperbola - The Ideas Exchangeeduideas.weebly.com/uploads/4/7/4/4/4744396/m17__hiperbola.pdf · BentukAsas Hiperbola: Dua Parabola. Hiperbola Bagi sebarang titik P yang berada pada

Definisi Hiperbola

• Lokus bagi suatu titikyang bergerak dengansyarat nisbah jaraknyadari suatu titik tetap(fokus) kepada jarakdari suatu garis tetap(direktriks) adalah suatupemalar yang > 1 ialahsuatu hiperbola.

• The locus of a point which moves in such a way that the ratio of its distance from a fixed point (focus) and from a fixed straight line (directrix) is a constant greater than 1 is a hiperbola.

Page 3: Hiperbola - The Ideas Exchangeeduideas.weebly.com/uploads/4/7/4/4/4744396/m17__hiperbola.pdf · BentukAsas Hiperbola: Dua Parabola. Hiperbola Bagi sebarang titik P yang berada pada

Persamaan Hiperbola

• S adalah fokus

• ZL adalah direktrix

• A adalah titik padahiperbola

• O adalah titik tengahAA’

• SA = e.AZ (e>1)

• P juga berada atashiperbola

L

NP(x, y)

A’OZAS

Page 4: Hiperbola - The Ideas Exchangeeduideas.weebly.com/uploads/4/7/4/4/4744396/m17__hiperbola.pdf · BentukAsas Hiperbola: Dua Parabola. Hiperbola Bagi sebarang titik P yang berada pada

Persamaan Hiperbola

• SA= e.AZ (e>1)

• SA’=e.A’Z

• SA’-SA=e(A’Z-AZ)

• (OS+a)-(OS-a)=e(A’Z-AZ)

• 2a=e[(a+OZ)-(a-OZ)]

• 2a=2e.OZ

• OZ=a/e (Ingat)

L

NP(x, y)

A’OZAS

Page 5: Hiperbola - The Ideas Exchangeeduideas.weebly.com/uploads/4/7/4/4/4744396/m17__hiperbola.pdf · BentukAsas Hiperbola: Dua Parabola. Hiperbola Bagi sebarang titik P yang berada pada

Persamaan Hiperbola

• (OS-a)=SA

• (OS-a)=eAZ

• OS-a=e(a-OZ)

• OS=a+e(a-a/e)

• OS=a+ae-a

• OS=ae (Ingat)

L

NP(x, y)

A’OZAS

Page 6: Hiperbola - The Ideas Exchangeeduideas.weebly.com/uploads/4/7/4/4/4744396/m17__hiperbola.pdf · BentukAsas Hiperbola: Dua Parabola. Hiperbola Bagi sebarang titik P yang berada pada

Persamaan Hiperbola

• PS = e.PN (e>1)

• PS2=e2PN

L

NP(x, y)

A’OZAS

1,1

11

11

11

22

22

222

2

2

2

2

22

2

2

2

22

2

2

2

22222

2222222

2222222

2

2

222222

2

222

eabb

y

a

x

ea

y

a

x

ea

y

a

x

eayex

axeyeax

aaexxeyeaaexx

e

a

e

axxeyeaaexx

e

axeyaex

Page 7: Hiperbola - The Ideas Exchangeeduideas.weebly.com/uploads/4/7/4/4/4744396/m17__hiperbola.pdf · BentukAsas Hiperbola: Dua Parabola. Hiperbola Bagi sebarang titik P yang berada pada

Definisi Alternatif

• Hiperbola adalah set semua titik pada satah dengansyarat perbezaan antara jarak titik kepada dua titiktetap (fokus) adalah suatu pemalar.

• Bentuk piawai hiperbola berpusat pada asalan:

• Bercabang kiri & kanan

• Bercabang atas & bawah 1

1

2

2

2

2

2

2

2

2

b

x

a

y

b

y

a

x

Page 8: Hiperbola - The Ideas Exchangeeduideas.weebly.com/uploads/4/7/4/4/4744396/m17__hiperbola.pdf · BentukAsas Hiperbola: Dua Parabola. Hiperbola Bagi sebarang titik P yang berada pada

Bentuk Asas Hiperbola: Dua Parabola

Page 9: Hiperbola - The Ideas Exchangeeduideas.weebly.com/uploads/4/7/4/4/4744396/m17__hiperbola.pdf · BentukAsas Hiperbola: Dua Parabola. Hiperbola Bagi sebarang titik P yang berada pada

Hiperbola

Bagi sebarang titik P yang

berada pada hiperbola,

d2 – d1 adalah pemalar

(lihat ilustrasi GSP)

Dalam contoh ini, titik

asalan adalah pusat

hiperbola. Pusat ialah titik

tengah antara titik-titik

fokus.

F1 F2

d1

d2

P

Page 10: Hiperbola - The Ideas Exchangeeduideas.weebly.com/uploads/4/7/4/4/4744396/m17__hiperbola.pdf · BentukAsas Hiperbola: Dua Parabola. Hiperbola Bagi sebarang titik P yang berada pada

1. Garis melalui titik-titik fokus

bersilang dengan hiperbola

pada bucu-bucu (V)

2. Segmen yang

menyambungkan bucu-bucu

ialah paksi merentas lintang

hiperbola.

3. Pusat hiperbola terletak pada

titik tengah paksi merentas

lintang.

F F

V V

C

Hiperbola

Page 11: Hiperbola - The Ideas Exchangeeduideas.weebly.com/uploads/4/7/4/4/4744396/m17__hiperbola.pdf · BentukAsas Hiperbola: Dua Parabola. Hiperbola Bagi sebarang titik P yang berada pada

F F

V V

C

4. Garis-garis berputus adalah

asimptot (asymptote)

hiperbola.

5. Asimptot melalui pusat

hiperbola.

Hyperbolas

Page 12: Hiperbola - The Ideas Exchangeeduideas.weebly.com/uploads/4/7/4/4/4744396/m17__hiperbola.pdf · BentukAsas Hiperbola: Dua Parabola. Hiperbola Bagi sebarang titik P yang berada pada

(c, 0)(-c, 0)

F1 F2(-a, 0) (a, 0)

A1A2

B (0, b)

B (0, -b)

Bentuk Piawai Persamaan HiperbolaBerpusat di (0, 0) & Fokus pada paksi x

Persamaan hiperbolaberpusatkan (0, 0) dgnFokus pada x-axis:

x2

a2

y2

b2 1

Panjang paksi merentas lintangialah 2a.Panjang paksi konjugatialah 2b.Bucu-bucu ialah (a, 0) dan(-a, 0).Fokus ialah (c, 0) and (-c, 0).

Page 13: Hiperbola - The Ideas Exchangeeduideas.weebly.com/uploads/4/7/4/4/4744396/m17__hiperbola.pdf · BentukAsas Hiperbola: Dua Parabola. Hiperbola Bagi sebarang titik P yang berada pada

Titik fokus terletak pada paksi y

F1(0, c)

F2(0, -c)

A1(0, a)

A2(0, -a)

B2(b, 0)B1(-b, 0)

Persamaan hiperbolaBerpusat di (0, 0) dan fokuspada paksi y

y2

a2

x2

b2 1

Panjang paksi merentas lintang = 2a.Panjang paksi konjugat = 2b.Bucu-bucu (0, a) & ( 0, -a).Fokus (0, c) & (0, -c).

Page 14: Hiperbola - The Ideas Exchangeeduideas.weebly.com/uploads/4/7/4/4/4744396/m17__hiperbola.pdf · BentukAsas Hiperbola: Dua Parabola. Hiperbola Bagi sebarang titik P yang berada pada

Nyatakan kordinat bucu-bucu, titik-titik fokus , panjang paksimerentas lintang dan konjugat, serta persamaan asimptot hiperbola.

x2

4

y2

16 1

a = 2 and b = 4.Panjang paksi merentas lintang,2a = 4Panjang paksi konjugat,2b = 8Bucu-bucu ialah (2, 0), (-2, 0):

c2 = a2 + b2

= 4 + 16= 20

c 20 c 2 5

Kordinat titik-titik fokus

(2 5,0) and (2 5,0).

Persamaan asimptot

2 2 .

1 1y x and y x

Page 15: Hiperbola - The Ideas Exchangeeduideas.weebly.com/uploads/4/7/4/4/4744396/m17__hiperbola.pdf · BentukAsas Hiperbola: Dua Parabola. Hiperbola Bagi sebarang titik P yang berada pada

y2

25

x2

9 1

c2 = a2 + b2

= 25 + 9= 34

c 34

Kordinat titik-titik fokus

(0, 34) and (0, 34).

Persamaan asimptot ialah

5 5 .

3 3y x and y x

a = 5 and b = 3.Panjang paksi merentas lintang2a = 10Panjang paksi konjugat2b = 6Bucu-bucu ialah (0, 5) and (0, -5):

Page 16: Hiperbola - The Ideas Exchangeeduideas.weebly.com/uploads/4/7/4/4/4744396/m17__hiperbola.pdf · BentukAsas Hiperbola: Dua Parabola. Hiperbola Bagi sebarang titik P yang berada pada

(h, k)

Pusat ialah (h, k).

Bila paksi merentas lintang menegak, tidak berpusat di (0, 0). Persamaan umum

(y k)2

a2

(x h)2

b2 1

Paksi merentas lintang selari dengan paksiy dan panjangnya 2a unit.Paksi konjugat selari dengan paksi x danpanjangnya 2b unit.

Kecerunan asimptot and .a a

b b

Page 17: Hiperbola - The Ideas Exchangeeduideas.weebly.com/uploads/4/7/4/4/4744396/m17__hiperbola.pdf · BentukAsas Hiperbola: Dua Parabola. Hiperbola Bagi sebarang titik P yang berada pada

Jika paksi merentaslintang mendatar:

(x h)2

a2

(y k)2

b2 1

Paksi merentas lintang selari denganpaksi x dan panjangnya 2a unit.Paksi konjugat selari dengan paksiy dan panjangnya 2b unit.

Kecerunan asimptot and .b b

a a

Page 18: Hiperbola - The Ideas Exchangeeduideas.weebly.com/uploads/4/7/4/4/4744396/m17__hiperbola.pdf · BentukAsas Hiperbola: Dua Parabola. Hiperbola Bagi sebarang titik P yang berada pada

Penyelesaian

1332c

3b 2,a

3k -1,h

19

1

4

3

36)1(4)3(9

22

22

22

xy

xy

Page 19: Hiperbola - The Ideas Exchangeeduideas.weebly.com/uploads/4/7/4/4/4744396/m17__hiperbola.pdf · BentukAsas Hiperbola: Dua Parabola. Hiperbola Bagi sebarang titik P yang berada pada

Huraikan hiperbola berikut

• Paksi merentas lintang adalah menegak

• Pusat ialah (-1, 3)

• a = 2 unit, bucu terletak di (-1, 5) & (-1, 1)

• Asimptot melalui titik (-1, 3), kecerunan = 2/3, -2/3

• Fokus terletak unit di atas dan di bawah pusat,

• Kordinat titik-titik fokus diberikan oleh

36)1(4)3(9 22 xy

13

)133,1(),133,1(

Page 20: Hiperbola - The Ideas Exchangeeduideas.weebly.com/uploads/4/7/4/4/4744396/m17__hiperbola.pdf · BentukAsas Hiperbola: Dua Parabola. Hiperbola Bagi sebarang titik P yang berada pada

Mencari Persamaan Hiperbola

Pusat ialah (-2, 3), maka h = -2 and k = 3.Paksi merentas lintang selari dengan paksi y,panjangnya 10 unit, maka a = 5.Paksi konjugat selari dengan paksi x,panjangnya 6 unit, maka b = 3.

Bucu-bucu ialah (-2, 8) and (-2, -2).

(y k)2

a2

(x h)2

b2 1

Bentuk Piawai

c2 = a2 + b2

= 25 + 9= 34

c 34

Kordinat titiki-titik fokus

(2, 3 34 ) and (2, 3 34).

1

9

2

25

322

xy

Page 21: Hiperbola - The Ideas Exchangeeduideas.weebly.com/uploads/4/7/4/4/4744396/m17__hiperbola.pdf · BentukAsas Hiperbola: Dua Parabola. Hiperbola Bagi sebarang titik P yang berada pada

Mengungkapkan Persamaan dalam Bentuk Am

9(y - 3)2 - 25(x +2)2 = 2259(y2 - 6y + 9) - 25(x2 + 4x + 4) = 225

9y2 - 54y + 81 - 25x2 - 100x - 100 = 225-25x2 + 9y2 - 100x - 54y + 81 - 100 = 225

-25x2 + 9y2 - 100x - 54y - 244 = 0

Persamaan dalam bentuk am

1

9

2

25

322

xy

Page 22: Hiperbola - The Ideas Exchangeeduideas.weebly.com/uploads/4/7/4/4/4744396/m17__hiperbola.pdf · BentukAsas Hiperbola: Dua Parabola. Hiperbola Bagi sebarang titik P yang berada pada

Mencari Persamaan Hiperbola

• Cari persamaan hiperbola yang berpusat dititik (2, -3) jika salah satu bucunya terletakpada titik (6, -3) dan salah satu titik fokusnyaialah titik (-3, -3).

Page 23: Hiperbola - The Ideas Exchangeeduideas.weebly.com/uploads/4/7/4/4/4744396/m17__hiperbola.pdf · BentukAsas Hiperbola: Dua Parabola. Hiperbola Bagi sebarang titik P yang berada pada

Hiperbola berpusat di titik (2, -3). Salah satu bucunyaialah titik (6, -3), salah satu titik fokus ialah titik (-3, -3).

Pusat ialah (2, -3), h = 2, k = -3.

Jarak pusat ke bucu ialah 4 unit, a = 4.Jarak pusat ke titik fokus ialah 5 unit, c = 5.

Gunakan Teorem Pythagoras untuk mencari b

b2 = c2 - a2

= 25 - 16= 9

b = ± 3

(x h)2

a2

(y k)2

b2 1

(x 2)2

42

(y 3)2

32 1

(x 2)2

16

(y 3)2

9 1

Bentuk Piawai

Page 24: Hiperbola - The Ideas Exchangeeduideas.weebly.com/uploads/4/7/4/4/4744396/m17__hiperbola.pdf · BentukAsas Hiperbola: Dua Parabola. Hiperbola Bagi sebarang titik P yang berada pada

Contoh Latihan

• Nyatakan kordinat titik-titik bucu, fokus, panjang paksi merentas lintang, paksi konjugatserta persamaan asimptot bagi hiperbola yang mempunyai persamaan

4x2 - 9y2 + 32x + 18y + 91 = 0.

Page 25: Hiperbola - The Ideas Exchangeeduideas.weebly.com/uploads/4/7/4/4/4744396/m17__hiperbola.pdf · BentukAsas Hiperbola: Dua Parabola. Hiperbola Bagi sebarang titik P yang berada pada

4x2 - 9y2 + 32x + 18y + 91 = 0(4x2 + 32x ) + (- 9y2 + 18y) + 91 = 0

4(x2 + 8x + ____) - 9(y2 - 2y + _____) = -91 + _____ + _____16 1 64 -9

4(x + 4)2 - 9(y - 1)2 = -36(x 4)2

9

( y 1)2

4 1

(y 1)2

4

(x 4)2

9 1

4x2 - 9y2 + 32x + 18y + 91 = 0

Page 26: Hiperbola - The Ideas Exchangeeduideas.weebly.com/uploads/4/7/4/4/4744396/m17__hiperbola.pdf · BentukAsas Hiperbola: Dua Parabola. Hiperbola Bagi sebarang titik P yang berada pada

(y 1)2

4

(x 4)2

9 1

)13(-4ialah fokustitik -Titik

1394 c

1)- (-4,dan 3) (-4,ialah bucu titik -Titik

1k -4,h

kerana 1) (-4, titik pada beradaPusat

6 konjugat paksi Panjang

4 lintang merentas paksi Panjang

3b 2,a

Page 27: Hiperbola - The Ideas Exchangeeduideas.weebly.com/uploads/4/7/4/4/4744396/m17__hiperbola.pdf · BentukAsas Hiperbola: Dua Parabola. Hiperbola Bagi sebarang titik P yang berada pada

Sifat Hiperbola Berpusat Di (0, 0)

– Kedua-dua sebutan x dan y dikusaduakan

– Sebutan pemalar ialah 1

– Persamaan sentiasa melibatkan operasi (-)

– a2 adalah penyebut (denominator) yang pertama

– c2 = a2 + b2

– c = jarak dari pusat ke titik fokus

– a = jarak dari pusat ke bucu (pada paksi

merentas lintang)

Page 28: Hiperbola - The Ideas Exchangeeduideas.weebly.com/uploads/4/7/4/4/4744396/m17__hiperbola.pdf · BentukAsas Hiperbola: Dua Parabola. Hiperbola Bagi sebarang titik P yang berada pada

Sifat Hiperbola Berpusat Di (0, 0)

– b = jarak dari pusat titik tengah sisi segiempattepat yang digunakan untuk melakarkanasimptot.

– Jika sebutan x2 ialah sebutan pertama, hiperbolaadalah melintang

– Jika sebutan y2 ialah sebutan pertama, hiperbolaadalah menegak.

Page 29: Hiperbola - The Ideas Exchangeeduideas.weebly.com/uploads/4/7/4/4/4744396/m17__hiperbola.pdf · BentukAsas Hiperbola: Dua Parabola. Hiperbola Bagi sebarang titik P yang berada pada

Rumusan Sifat-Sifat Penting Hiperbola

Persamaan Pusat Titik-titik Fokus PersamaanAsimptot

Bucu-bucu Arah paksimerentas

lintang

(x – h)2 _ (y – k)2

a2 b2

(h, k) (h – c, k) &(h + c, k)

y – k = +/- (b/a) (x – h)

(h +a, k) & (h – a, k)

Melintang

(y – k)2 _ (x – h)2

a2 b2

(h, k) (h, k – c) &(h, k + c)

(c = a2 + b2 )

y – k = +/- (a/b) (x – h)

(h, k + a) &

(h, k – a)

Menegak

= 1

= 1

Page 30: Hiperbola - The Ideas Exchangeeduideas.weebly.com/uploads/4/7/4/4/4744396/m17__hiperbola.pdf · BentukAsas Hiperbola: Dua Parabola. Hiperbola Bagi sebarang titik P yang berada pada

Latihan 1

Tuliskan persamaan bentuk piawai bagihiperbola144y2 – 25x2 – 576y – 150x = 3249.

Seterusnya, cari kordinat pusat, bucu-bucu, titik-titikfokus dan persamaan asimptot. Lukiskan grafhiperbola tersebut dan asimptot-asimptotnya.

Page 31: Hiperbola - The Ideas Exchangeeduideas.weebly.com/uploads/4/7/4/4/4744396/m17__hiperbola.pdf · BentukAsas Hiperbola: Dua Parabola. Hiperbola Bagi sebarang titik P yang berada pada

Penyelesaian

Write the standard form of the equation of the hiperbola144y2 – 25x2 – 576y – 150x = 3249. Then find the coordinates of the center, the vertices, the foci, and the equation of the asymptotes. Graph the hiperbola and the asymptotes.

144(y2 – 4y + o) – 25(x2 + 6x + o) = 3249 + 144(o) + 25(o)

144(y2 – 4y + 4) – 25(x2 + 6x + 9) = 3249 + 144(4) + 25(9)

144(y – 2)2 – 25(x + 3)2 = 3600

(y-2)2 _ (x + 3)2

25 144= 1

Center: (-3, 2) a = 5 so the vertices are (-3, 7) and (-3, -3)

a2 + b2 = c2

25 + 144 = c2

c = 13

The foci are (-3, 15) and (-3, -11).

Page 32: Hiperbola - The Ideas Exchangeeduideas.weebly.com/uploads/4/7/4/4/4744396/m17__hiperbola.pdf · BentukAsas Hiperbola: Dua Parabola. Hiperbola Bagi sebarang titik P yang berada pada

Penyelesaian

Asymptotes have the formula y = +/- a/b x and we have center (-3, 2) and slopes +/-5/12.

y – 2 = 5/12 (x + 3) y – 2 = -5/12 (x + 3)

y – 2 = (5/12) x + 15/12 y – 2 = (-5/12) x + -15/12

y = (5/12) x + 13/4 y = (-5/12) x + 3/4

Page 33: Hiperbola - The Ideas Exchangeeduideas.weebly.com/uploads/4/7/4/4/4744396/m17__hiperbola.pdf · BentukAsas Hiperbola: Dua Parabola. Hiperbola Bagi sebarang titik P yang berada pada

Latihan 2

Cari kordinat bagi bucu-bucu dan titik-titik fokus serta kecerunanasimptot setiap hiperbola berikut. Seterusnya, lakarkanhiperbola tersebut.

1) x2 _ y2

9 49

2) 25x2 – 4y2 = 100

= 1

1)Vertices: (-3, 0) (3, 0) Foci: (-58, 0) ( 58, 0) Slope = +/-7/3

2)Vertices: (-2, 0) (2, 0) Foci: ( 29, 0) (-29, 0) Slope = +/-5/21)2)