bab 1
DESCRIPTION
macTRANSCRIPT
BAB 1
PENGENALAN
1.1 PENGENALAN
ILMEV adalah alat yang dibangun untuk membantu pelajar dalam pembelajaran bagaimana
untuk melaksana pengamiran terhadap domain bukan remeh dalam kalkulus vektor. Kalkulus
vektor dipilih kerana ia adalah genting bagi menyelesai masalah dalam bidang kejuruteraan dan
sains (banyak program pendidikan memerlukan kursus mengenai topik ini) dan matematik yang
terlibat adalah sukar, walaupun untuk pelajar yang berbakat dan terlatih. Banyak masalah dalam
kalkulus vektor tiga dimensi melibatkan pengiraan kamiran fungsi merangkumi medan vektor
pada lengkung, permukaan dan isipadu. Kamiran tersebut boleh disusut kepada kamiran fungsi
skalar terhadap selang, kawasan atau isipadu. Bagaimanapun, penyusutan ini memerlukan
manipulasi yang mendalam melibatkan kalkulus dan algebra. Masalah dua dimensi secara
asasnya lebih mudah untuk diselesai. Secara konsepnya tiga dimensi lebih sukar untuk
diselesaikan kerana kedua-dua kamiran lengkung dan kamiran permukaan dalam tiga dimensi
perlu disusut kepada kamiran lengkung dalam dua dimensi. Penyusutan beberapa jenis kamiran
dilaksana dalam ILMEV.
Apabila penyusutan kamiran skalar selesai, maka kamiran tersebut perlu dinilai semula.
Sistem algebra komputer mengandungi algoritma berkeupayaan tinggi untuk mengira kamiran
tentu satu dimensi secara analitik. Algoritma ini biasanya mengenakan pelbagai penyelesaian
kepada masalah bagi mendapatkan jawapan yang tepat dengan cepat. Jika gagal, maka algoritma
Risch akan digunakan (Geddes, Czapor & Labahn, 1992). Sekiranya algoritma Risch tidak boleh
1
mengira kamiran, maka kamiran yang tepat mungkin tidak wujud. Kamiran ini hanya boleh
dikira secara berangka. Dengan pelaksanaan algoritma secara berulang, algoritma kamiran
terlelar multidimensi boleh dinilai. Malangnya, kamiran multidimensi yang muncul dalam
kalkulus vektor biasanya tidak terlelar kecuali bagi masalah geometri yang sangat mudah.
Satu pemerhatian penting dalam tesis ini ialah dengan mengguna algoritma pengiraan
geometri algebra yang dipanggil Cylindrical Algebraic Decomposition (CAD) mampu
mengurangkan kamiran terhadap rantau dalam dua dan tiga dimensi kepada kamiran terlelar. Ini
membolehkan penyelesaian pelbagai masalah kamiran. Algoritma CAD kini diguna sebagai
sebahagian daripada algoritma untuk melaksana Quantifier Elimination (QE), satu ciri yang tidak
diperlukan dalam algoritma pengamiran. Pelaksanaan “black-box” adalah tidak konsisten dengan
keperluan pembelajaran, jadi dalam ILMEV algoritma ini disusun semula bagi rantau persamaan
kuadratik dan linear. Seterusnya, mampu membangunkan aplikasi-aplikasi yang penting dalam
QE (Weispfenning, 2001). Perluasan kepada rantau yang lebih kompleks dan masalah tiga
dimensi adalah suatu projek berterusan.
Salah satu ciri bagi kalkulus vektor adalah ia berupaya menukar kamiran terhadap isipadu
kepada kamiran terhadap permukaan sempadan bagi rantau dan sebaliknya dengan mengguna
teorem kecapahan. Ia juga berupaya menukar kamiran terhadap permukaan kepada kamiran
terhadap lengkung sempadan bagi permukaan dan sebaliknya dengan mengguna teorem Stokes.
Walaupun tidak termasuk dalam cirri kalkulus vektor, ia juga berupaya menyusut kamiran
lengkung bagi penilaian fungsi pada titik hujung keluk (atau dipanggil teorem kebarangkalian).
Pemerhatian ini adalah penting untuk memahami pelaksanaan kalkulus vektor dan penyediaan
penilaian mudah beberapa kamiran kompleks. Teorem-teorem ini semuanya meyusutkan teorem
asas kalkulus dalam satu dimensi. Untuk dua dimensi, teorem kecapahan dan teorem Stokes
2
disusut kepada teorem Green. Teorem Green akan dilaksanakan dalam ILMEV sebagai projek
yang berterusan.
Malangnya, hasil daripada kalkulus vektor tidak dibentang dalam bentuk yang sesuai
untuk pembangunan alat seperti ILMEV, maka usaha gigih dan pengulangan kajian diperlukan
untuk mencapai tujuan tersebut. Disebabkan kerumitan tersebut, pembangunan ILMEV juga
menuntut kepada pelaksanaan prinsip-prinsip pengajaran dan pembelajaran seperti (interaktiviti,
visualisasi, pengujikajian dan kepelbagaian perwakilan) serta antara muka mesra pengguna.
1.2 GAMBARAN KESELURUHAN SISTEM ALGEBRA KOMPUTER (SAK)
Salah satu perkembangan penting dalam teknik pengiraan untuk empat dekad yang lalu ialah
evolusi dalam sistem algebra komputer (SAK) atau program komputer simbolik matematik.
Sistem ini membenarkan manipulasi secara langsung bagi simbol matematik dan meningkatkan
kemungkinan penyelesaian tepat, bebas ralat dalam masalah yang panjang dan kompleks.
Kebanyakan sistem pada masa kini mempunyai ciri-ciri berangka dan grafik, beserta keupayaan
simbolik dan bahasa pengaturcaraan pengguna, menyediakan persekitaran pengiraan bersepadu
(Wester, t.t.).
SAK direka bentuk untuk menyelesai pelbagai masalah telah mendapat perhatian khusus,
diantaranya dikeluarkan oleh Derive, Maple, Mathematica dan Texas Instrument (TI) kalkulator
simbolik seperti T1-89, T1-92 dan Voyage 200. Terdapat juga beberapa pakej matematik,
statistik, pendidikan dan kejuruteraan yang memberi penekanan utama yang biasanya bukan
SAK, tetapi mengandungi enjin simbolik dalam pakej daripada Mathcad, MathView, Matlab,
Scientific Notebook/Workplace dan Symbolic SPICE. SAK dan perisian berkaitan boleh didapati
dalam pelbagai bentuk: komersial, sebagai program percuma untuk kegunaan akademik, sebagai
perkongsian perisian, GNU Copyleft dan sebagai perisian domain awam (Wester, t.t.).
3
Akritas (1989) mendefinisi SAK (atau pengiraan simbolik dan algebra) sebagai
keupayaan komputer untuk memanipulasi ungkapan simbolik matematik berbanding dengan
kaedah berangka, sama seperti melakukan algebra dengan pensil dan kertas. Apabila berurusan
dengan nombor tepat (integer ketepatan terhingga dan nombor nisbah) dan ungkapan simbolik
algebra, SAK mampu membebaskan penyelidik daripada kebimbangan kesilapan berangka
(pemendekkan dan pembundaran) dan sekaligus membantu penyelidik memahami dengan lebih
jelas pemasalahan kajian. Tujuan pengiraan ialah meningkatkan pemahaman. Pemahaman
kadang-kadang diperolehi dengan menilai ungkapan matematik, tetapi dalam kebanyakan kes
hubungan kuantiti dijelaskan melalui kaedah algebra (Akritas, 1989).
SAK telah diguna pakai dalam pelbagai bidang seperti kejuruteraan, perubatan,
bioteknologi, fizik, kimia, robotik dan pendidikan (http://math.unm.edu/~aca). Seperti mana-
mana cabang sains yang lain, sosiologi SAK dibentuk oleh persidangan-persidangan terdahulu,
jurnal-jurnal dan kumpulan penyelidik. Persidangan penyelidikan utama SAK ialah Annual
International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation (ISSAC) dan International
Conference on Applications of Computer Algebra (ACA). Jurnal yang terkenal adalah seperti
Journal of Symbolic Computation (JSC), SIGSAM bulletin (ACM) dan International Journal of
Computer Algebra in Mathematics Education. Terdapat beberapa jurnal dalam bidang yang
berbeza kadang-kadang mengandungi artikel SAK seperti Journal of Theoretical Computer
Science, Journal of Mathematics of Computation, Journal of Computer Physics Communications
dan banyak lagi (Joachim von zur Gathen & Gerhard, 1999).
SAK telah menjadi satu alat pengiraan yang penting pada dekad yang lepas. Walau
bagaimanapun, SAK mempunyai kekurangan dan kekangan. Dalam keadaan-keadaan tertentu,
SAK memberi jawapan yang tidak sesuai, jawapan tidak lengkap, jawapan yang mengelirukan
4
dan juga jawapan yang salah. Selalunya, SAK memberi jawapan tanpa sebarang penjelasan.
Penyelidik perlu menentukan sama ada jawapan betul atau sebaliknya dengan menggunakan
kaedah lain seperti mana dengan menyelesaikan masalah menggunakan pensil dan kertas. SAK
masih di bawah penambahbaikan yang berterusan, potensi berlakunya kesilapan sentiasa
dijangka (Aslaksen, 1999; Bernardin, 1999; Fateman, 2006a, 2006b; Gruntz, 1999; Stoudt, t.t.;
Wester, 1999; Yuzita, 2000b).
Dalam kajian ini, kami membangunkan pakej multimedia simbolik yang dinamakan
sebagai Interactive Learning – Mathematica Enhanced Vector calculus (ILMEV) dengan
bertujuan menambahbaik proses penyelesaian masalah dalam kalkulus dan pelbagai masalah
analisis. Pakej ini meluaskan keupayaan SAK (Mathematica) dalam geometri yang melibatkan
pengiraan analitik kamiran multidimensi dan juga membantu penyelidik dalam membina dan
memahami konsep dan kemahiran matematik, memahami proses penyelesaian masalah
matematik dan penaakulan matematik (Hamzah, Yuzita & Ahmad Faris, 2004).
1.3 LATAR BELAKANG KAJIAN
Latar belakang kajian ini berdasarkan penyelidikan yang dijalankan ke atas pakej analisis vektor
yang terkandung dalam enam SAK yang terkenal iaitu Derive 6, Maple 9, Mathcad 11,
Mathematica 5.2, MuPAD Pro 3.1.1 dan REDUCE 3.8, serta beberapa yang lain seperti Kalkulus
Vektor dan Mathematica (Davis, Porta & Uhl, 1999), General Vector Analysis (GVA) (Qin,
1999) dan vec_calc (Yasskin & Belmonte, 2003).
5
1.4 MULTIMEDIA INTERAKTIF DALAM PENGAJARAN DAN PEMBELAJARAN
MATEMATIK
Penggunaan komputer bagi meningkatkan proses pengajaran dan pembelajaran matematik bukan
lagi satu konsep yang baru. Sejak 1970, terdapat keinginan menjadikan komputer memainkan
peranan penting dalam pendidikan (Waddick, 1994). Contohnya, pembelajaran berbantu
komputer menunjukkan kesan yang ketara dan positif terhadap sikap pengguna dan kandungan
silibus (Roblyer, 1998). Penggunaan komputer berteknologi multimedia menyediakan
persekitaran pengajaran dan pembelajaran yang menarik dan menyeronokkan. Ia telah mengubah
persekitaran pembelajaran tradisional kepada persekitaran pembelajaran berteknologi.
Sebaliknya, pembelajaran interaktif juga bukan satu pendekatan pedagogi baru. Kira-kira 25
ratus tahun lalu, Socrates telah mengguna pendekatan ini ketika sesi soal jawab bagi
mengalakkan pemikiran yang kreatif di kalangan pelajarnya. Kini, multimedia interaktif
digunakan secara meluas melalui pendekatan Socrates (Murphy, 2002).
Dalam kajian ini, dua ciri utama interaktif yang dicadang oleh Center for Excellence in
Education (CEE) terbitan (1998) digabung dalam pelaksanaan ILMEV:
i. Kaedah dan hasil dipersembah dalam bentuk non-linear. Pengguna boleh mengawal
langkah atau kaedah tertentu yang dimasukkan dalam langkah berturut-turut dengan
mengklik butang tertentu seperti butang “compute”, untuk melaksanakan pengiraan.
Semua langkah-langkah tersebut telah diprogram lebih awal.
ii. Pengguna mempunyai kawalan dengan membuat pilihan yang sesuai seperti memilih
butang (contoh, butang ∬Ω
❑
dA) dalam menu utama yang terdiri daripada beberapa
butang lain (contoh, butang ∫C
❑
ds ,∫C
❑
F ∙t ds ,∫C
❑
F ∙ n ds¿¿. Bagaimanapun, program
6
tersebut mempunyai perlindungan dan perlu mengekalkan kawalan apa yang boleh dan
tidak boleh di input oleh pengguna.
Laman web Learning Without Frontier (LWF) (2002) mentakrif interaktiviti sebagai
proses maklum balas bagi pertukaran maklumat antara dua pihak atau lebih (contoh, pengguna
dan ILMEV) dalam persekitaran komunikasi dan pembelajaran. Maras (t.t.) mentakrif
interaktiviti sebagai cara teknologi multimedia memaparkan maklumat dalam persekitaran yang
tertentu. Persekitaran ini adalah satu persekitaran “trial and error” yang mempunyai navigasi
mesra pengguna. Kami membangunkan persekitaran ILMEV dengan menerapkan konsep
tersebut.
Clark dan Graig (Murphy, 2002) mentakrif interaktiviti sebagai keupayaan untuk
memberi maklum balas tepat yang bermanfaat. Sistem mestilah direka bentuk mengikut
keperluan bagi membolehkan ia memberi reaksi kepada keperluan pengguna. Sistem juga mesti
mempunyai keupayaan untuk mengenal pasti tindakan pengguna dan mampu menterjemah dan
bertindak balas atau mengikut keperluan pengguna. Duchastel (Murphy, 2002) menambah
bahawa proses penterjemahan ini adalah sangat sukar kerana ia merupakan satu proses yang
kompleks. Dalam kes ini, ILMEV mengguna semua keupayaan penting yang wujud dalam SAK
(Mathematica) bagi menyediakan maklum balas yang sewajarnya (seperti formula pengamiran
vektor yang sesuai) dan beberapa penambahan untuk melaksana tugas pengiraan tertentu.
Interactive Learning System (ILS) merupakan istilah yang diguna pakai melitupi pelbagai
situasi pembelajaran di mana pertukaran pengetahuan atau maklumat berlaku di antara rakan
komunikasi. Sistem yang mengintegrasi penggunaan pelbagai teknologi pengajaran dirujuk
sebagai sistem pembelajaran multimedia. ILS terdiri daripada tiga komponen asas: populasi
pelajar, sistem penyampaian dan bahan pedagogi yang membentuk asas pembelajaran. Sistem
7
yang memudahkan pembelajaran interaktif mestilah boleh bertindak balas, mengikut keadaan
dan dinamik dengan merujuk kepada kedua-dua keperluan populasi pelajar dan mekanisme
pemindahan pengetahuan yang digunakan (Barker, 1990).
Multimedia ditakrif sebagai gabungan teks, grafik, suara, animasi, imej pegun dan video
yang dihantar oleh komputer atau peranti elektronik (cetakan CEE, 1998; Educational Resources
Multimedia ’94 Catalog, 1994). NCSU (1999) mentakrif multimedia sebagai interaksi komputer
dengan manusia melibatkan teks, grafik, suara dan video. Biasanya, konsep hiperteks juga turut
diterapkan. Oleh itu, kita boleh merujuk multimedia interaktif sebagai multimedia yang
membenarkan kawalan oleh pengguna. Dengan kata lain, multimedia interaktif mentakrif
kandungan dan konteks maklumat, pendidikan dan hiburan yang boleh dicapai, dimanipulasi dan
diterjemah oleh pengguna. Persekitaran multimedia interaktif merupakan persekitaran yang
dinamik. Persekitaran dan proses berubah mengikut situasi, kandungan pembelajaran dan
keperluan individu (Giardina, 1992). Wilson (1992) merujuk kepada multimedia interaktif
sebagai alat dan aktiviti yang membolehkan perbentangan maklumat diintegrasi secara elektronik
dan membenarkan pengguna mengawal pelbagai jenis maklumat mengguna dalam pelbagai
format tertentu seperti video, imej pegun, teks, grafik, animasi, suara, nombor dan data. Dalam
kajian ini, kami berharap pengalaman pengguna dalam mengguna multimedia interaktif dalam
ILMEV melalui pembelajaran kendiri menerusi aktiviti seperti penjelajahan, manipulasi dan
pengujikajian akan menghasilkan keputusan daripada pelbagai perspektif.
8
1.5 PERMASALAHAN KAJIAN
Dalam kajian ini, kami menumpukan perhatian pada kedua-dua bidang yang berikut:
1.5.1 Geometri dua dimensi (2D): Pengiraan Analitik Kamiran Multidimensi
Terdapat beberapa pengiraan penting dan visualisasi daripada analisis yang sukar dilaksana
dalam semua SAK seperti pengiraan kamiran terhadap lengkung, permukaan dan isipadu dan
menggunakan kamiran multidimensi hasil teorem kebarangkalian, teorem Green, teorem Stokes
dan teorem kecapahan. Kesukaran utama dalam mencari panjang, kawasan dan isipadu beserta
dengan kuantiti fizik seperti kerja, jisim, fluk dan pusat jisim ialah geometri. Penerangan dan
pemahaman tentang geometri adalah penghalang utama, namun terdapat masalah algebra yang
sukar, walaupun geometri tersebut telah difahami. SAK harus mampu dilaksana dengan kawasan
geometri dalam dua atau tiga dimensi dalam bentuk ketaksamaan. Sebagai contoh, jadikan Fi (x,
y, z), 1 < i < k sebagai fungsi licin, di mana k ialah integer positif dan kemudian tentukan set
Si = {(x, y, z) Fi (x, y, z) 0 }
Set Si adalah tertutup bukan terbuka kerana mengguna berbanding >. Bagaimanapun, set
terbuka dan set tertutup mesti difahami oleh SAK.
Persilangan dan kesatuan dua set diterangkan seperti berikut:
Si Sj = {(x, y, z) Fi (x, y, z) 0 Fj (x, y, z) 0 } ,
Si Sj = {(x, y, z) Fi (x, y, z) > 0 Fj (x, y, z) 0 } ,
yang mana bermaksud “and” dan bermaksud “or” (Steinberg, 1999). SAK mesti berupaya
untuk mengendali persilangan rawak dan kesatuan set. Dalam kajian ini, kami hanya akan
melihat persilangan tertutup set n, di mana n ialah integer positif.
Apabila fungsi Fi adalah polinomial, maka set yang dinyatakan di atas dipanggil semi
algebra. Set tersebut telah dikaji dengan meluas, secara teori dan pengiraan. Hoon Hong, Richard
9
Liska dan Stanly Steinberg telah menulis kajian (Hong, Liska & Steinberg, 1997a) dan artikel
teknikal (Hong, Liska & Steinberg, 1997b) menerangkan aplikasi teori kestabilan melibatkan set
tersebut. Aplikasi ini menggunakan algoritma yang dipanggil Quantifier Elimination Partial
Cylindrical Algebraic Decomposition (QEPCAD) (Collins & Hong, 1991) yang mengambil
pernyataan yang dibuat daripada kesamaan dan ketaksamaan polinomial, hubungan logik, dan
pengkuantiti, dan menghasilkan formula logik setara bebas pengkuantiti dan pembolehubah
kuantiti. Satu kesimpulan daripada kajian tersebut ialah Cylindrical Decomposition memainkan
peranan penting dalam masalah geometri dan algoritma bagi melakukan Cylindrical
Decomposition adalah diperlukan sekurang-kurangnya untuk kelas set yang diterang oleh fungsi
asas transcendental (Steinberg, 1999). Dalam kajian ini, kami tidak berminat dalam QE secara
langsung, tetapi menumpukan pada Cylindrical Algebraic Decomposition (CAD) yang
merupakan sebahagian daripada algoritma QEPCAD.
Bagi menyelesaikan masalah ini, kami memerlukan program pemodelan geometri yang
terbaik. Terdapat beberapa SAK komersial seperti Mathematica, T1-92 dan Voyage 2000, yang
mampu menjalankan beberapa permodelan geometri tetapi hanya memadai untuk contoh yang
mudah. SAK ini memahami persilangan dan kesatuan set yang ditakrif oleh ketaksamaan
polinomial dalam bentuk P(x, y) > 0 dan P(x, y) 0. Bagaimanapun, tidak terdapat SAK
komersial yang mengandungi algoritma untuk melakukan Cylindrical Decomposition selain
daripada QEPCAD (Hong, Liska & Steinberg, 1997a; Steinberg, 1999) dan REDLOG
(Dolzmann, 1997). Sesetengah SAK mengandungi beberapa alat asas yang diperlukan bagi
menyelesaikan masalah tersebut dengan campur tangan pengguna. ILMEV mampu
melaksanakan pengiraan dan visualisasi pelbagai masalah pengamiran geometri mudah secara
automatik dan dengan itu, meminimumkan campur tangan pengguna. ILMEV juga membantu
10
pengguna dalam memahami masalah dengan memaparkan penerangan dan langkah-langkah
yang diambil bagi mendapatkan penyelesaian. Seperti yang dinyatakan sebelum ini, rantau
ditakrif oleh persamaan polinomial dipanggil semi algebra dalam geometri algebra. Tahap rantau
itu ialah tahap tertinggi persamaan polinomial yang mentakrif rantau tersebut. Kebanyakan
rantau yang diguna dalam kejuruteraan dan sains adalah rantau tahap 1 atau 2. Dalam kajian ini,
kami akan menumpukan pada penyelesaian rantau tahap 1 atau 2.
1.5.2 Teknik Penyelesai Masalah Matematik
Dalam kajian ini, kami turut memberi perhatian kepada teknik-teknik penyelesaian masalah
matematik bagi membantu dalam bidang-bidang berikut (Khairina Atika, 2004; Noor Aini, 2004;
Yuzita 2000a; Yuzita et al., 2002 & Zawiyah, 2006):
1.5.2.1 Kemahiran dan Konsep Matematik
Kursus matematik tradisional menekankan pembelajaran matematik melalui latih tubi, hafalan
dan penguasaan kaedah secara manual bagi menyelesaikan masalah. Walaupun keadaan ini boleh
membangunkan insane bijak matematik tetapi tidak membantu bagi pemahaman mendalam dan
subtansif bagi membina kemahiran dan konsep matematik (Kimmins & Bouldin, 1996). Kita
sering berjumpa pelajar yang menghafal formula-formula, teorem-teorem dan hokum-hukum
dalam matematik tanpa memahami konsep sebenar di sebalik formula-formula, teorem-teorem
dan hokum-hukum tersebut. Pelajar tersebut mampu menghafal dan menyelesaikan masalah
matematik tetapi tidak memahami konsep matematik tersebut. Pelajar ini kemudiannya akan
menghadapi kesukaran dalam menyelesaikan masalah dalam kehidupan harian dan kursus lain
yang melibatkan matematik (Tengku Zawawi, 2002).
Salah satu sebab kenapa ini berlaku kerana pelajar tidak didedahkan kepada konsep
pembelajaran matematik yang lain seperti interativiti, visualisasi, pengujikajian dan kepelbagaian
11
perwakilan yang melibatkan penggunaan elemen multimedia seperti simbol, berangka, grafik,
teks dan suara. Konsep yang disebut di atas adalah penting untuk meningkatkan minat pelajar
dalam pembelajaran matematik dan juga membantu mereka dalam memahami konsep matematik
dan membina kemahiran (Khairina Atika, 2004; Noor Aini, 2004). Sebagai contoh, imej
mengaktifkan proses minda seperti pandangan hubungan spatial, kefahaman intuitif proses
kompleks atau pemerhatian corak, dan apabila membayangkan imej, ia dapat membantu pelajar
dalam proses pemahaman. Dalam kata lain, pelajar boleh mengguna imej sebagai perantara
untuk berfikir dengan melihat gambaran tersebut
(http://www.gwdg.de/~cals/CAR/CAR26/node13.html).
Pembelajaran boleh dicapai melalui proses penterjemahan konsep atau idea pelbagai
peringkat. Visualisasi pula menyediakan penterjemahan hasil pengujikajian pelbagai nilai input,
untuk membantu pelajar dalam proses kognitif. Walau bagaimanapun, pendekatan ini membawa
kepada beberapa kesukaran kepada pelajar kerana mereka perlu memperolehi dua kemahiran:
pemahaman konsep matematik dan sintaks dan arahan SAK (Schwardmann, 2004; Tintarev,
1999). Dalam kajian ini, kami membangunkan ILMEV bagi membantu pelajar memahami
konsep matematik dan membina kemahiran tanpa pelajar perlu memberi perhatian kepada
sintaks dan arahan SAK.
Kepelbagaian penyampaian digunakan bagi melihat objek daripada pelbagai perspektif.
Contohnya, pengguna boleh meneroka kepelbagaian perwakilan dalam bentuk simbolik,
berangka, teks, grafik, suara, animasi dan imej pegun mewakili fungsi tanpa menumpukan pada
aspek pengiraan sahaja. Mendedahkan pengguna pada kepelbagaian penyampaian adalah penting
kerana kelebihan pedagogi melihat topik daripada pelbagai perspektif dan model fungsi yang
wujud daripada situasi lain sering timbul dalam bentuk grafik dan berangka berbanding dalam
12
bentuk simbolik (National Council of Teachers of Mathematics (NCTM), 1989). Hakikat SAK
mampu menyediakan persekitaran yang sesuai bagi membangunkan kepelbagaian penyampaian
adalah aset yang penting buat ILMEV (Goldenberg & Paul, 1995).
1.5.2.2 Proses Penyelesaian Masalah Matematik
Belajar menyelesaikan masalah ialah elemen utama dalam pembelajaran matematik. Kebanyakan
pelajar lebih menumpukan perhatian pada aspek pengiraan bagi masalah berkaitan tanpa
memahami proses atau kaedah penyelesaian masalah (New Zealand Math, 2003). Kajian yang
dijalankan oleh Third International Mathematical and Science Study (TIMSS) menunjukkan
kebanyakan pengajar matematik di Amerika Syarikat memberi lebih perhatian pada aspek
pengiraan berbanding membangunkan pemahaman pada perkara yang diajar (National Center for
Educational Statistics (NCES), 1996). Kebanyakan pengajar lebih bersedia memberi masalah
yang mudah untuk diselesaikan yang melibatkan nombor yang mudah dikira berbanding masalah
“realistik” atau “kehidupan sebenar” yang lebih sukar untuk diselesai kerana melibatkan nombor
kompleks dan sukar untuk ditangani (Kimmins & Bouldin, 1996).
Dengan mengguna SAK, penumpuan tidak lagi perlu kepada kesukaran dalam melakukan
pengiraan matematik. Masalah yang tidak dapat diselesaikan sebelum ini kerana kerumitan
pengiraan, sekarang dapat diselesaikan dengan mengguna SAK. Permasalahan akan lebih mudah
difahami dan ditangani apabila dilihat daripada pelbagai perspektif berbanding penumpuan
kepada aspek pengiraan sahaja. Sudah menjadi kebiasaan kita menerima hasil pengiraan dan
hujah sebagai sesuatu yang benar. Hanya segelintir daripada kita sanggup mengesahkan
kebenaran jawapan tersebut melalui kaedah pengiraan yang lebih panjang (Khairina Atika, 2004;
Noor Aini, 2004).
13
SAK membebaskan kita daripada kerja manual dan berulang-ulang supaya penumpuan
lebih kepada membina pemahaman dan penyelesaian melalui pengiraan alternatif. Kini lebih
mudah menunjukkan kesangsian dan mempersoal kesahihan pengiraan (Khairina Atika, 2004;
Noor Aini, 2004). Di alaf baru ini, proses pembelajaran dalam matematik dan sains perlu
bergerak daripada proses pembelajaran berasaskan hafalan ke proses pembelajaran berasaskan
pemahaman. Dalam kajian ini, kami ingin membangun ILMEV bagi membantu penyelesaian
masalah matematik dengan memberi tumpuan kepada pelbagai masalah yang mudah kepada
masalah yang realistik.
1.5.2.3 Penaakulan Matematik
Penaakulan matematik diguna oleh pelajar bagi menganalisis situasi matematik dengan
membentuk andaian, mendapatkan pembuktian, membangunkan hujah dan akhirnya,
menghasilkan keputusan atau penyelesaian. Dalam usaha mencari penyelesaian, pelajar membuat
andaian dan keputusan berdasarkan nilai input yang diterima. Keputusan yang dibuat adalah
hasil daripada proses penaakulan (Ministry of Education, Malaysia 1998, 2002). Terdapat dua
jenis penaakulan: penaakulan induktif dan penaakulan deduktif. Dalam penaakulan induktif,
keputusan dibuat berdasarkan contoh yang tepat. Keputusan ini dipanggil andaian atau tekaan
yang tepat. Andaian ini boleh menjadi benar atau sebaliknya. Dalam penaakulan deduktif,
keputusan dibuat berdasarkan fakta yang terbukti dan peraturan logik. Dengan mengguna fakta
yang terbukti bagi contoh yang tepat, pelajar boleh menghasilkan keputusan dan penyelesaian
yang betul (Ministry of Education, Malaysia 1998).
Penaakulan dan pembuktian matematik merupakan aspek yang penting dalam matematik.
Dalam menyelesaian masalah matematik, adalah sangat penting untuk mempunyai sikap ingin
tahu dengan bertanya soalan seperti “Adakah jawapan munasabah?”, “Adakah ia betul?”,
14
“Adakah ia unik”, “Kenapa saya fikir saya mendapat penyelesaian yang betul?”, “Adakah
terdapat penyangkal?”. Soalan seperti ini dapat membantu kita untuk berfikir secara logik dan
kritis dalam proses penaakulan sama ada untuk menerima penyelesaian atau sebaliknya
(Khairina Atika, 2004; Noor Aini, 2004). Bagaimanapun, kebanyakan SAK pada masa kini
hanya mampu memberi penyelesaian tanpa penjelasan bagaimana penyelesaian tersebut
diperolehi. Pengguna perlu menentukan sama ada jawapan tersebut betul atau sebaliknya dengan
mengguna cara lain seperti menyelesaikan mengikut langkah-langkah masalah menggunakan
pensil dan kertas. Dalam kajian ini, kami ingin membangunkan ILMEV yang boleh memaparkan
langkah-langkah dalam mendapatkan penyelesaian bagi membantu dalam proses penaakulan.
1.5.2.4 SAK dan Teknologi Multimedia
Teknologi multimedia menyediakan persekitaran yang merangsangkan dalam pengajaran dan
pembelajaran matematik. Teknologi ini mengalakkan penerokaan, ekspresi kendiri dan perasaan
memiliki dengan membenar pengguna memanipulasi komponen tersebut. Persekitaran
pembelajaran multimedia yang aktif memupuk komunikasi, kerjasama dan usaha sama antara
pengajar dan pelajar. Hasilnya, multimedia menjadikan pembelajaran itu merangsangkan,
menarik dan menyeronokkan (Khairina Atika, 2004; Lamb, 1992; Noor Aini, 2004).
Satu kajian telah dijalankan di Taiwan (Ma, 1994) bagi membandingkan pengajaran
multimedia yang diubah suai dengan pengajaran tradisional terhadap pencapaian dan
kepercayaan penyelesaian masalah matematik. Semasa kajian dijalankan, pelajar dalam
persekitaran multimedia memberi lebih perhatian kepada bahan pengajaran daripada pelajar
dalam kelas tradisional, tanpa mengira jantina. Ini mencerminkan atau membuktikan bahawa
kepekaan dan penambahbaikan persekitaran pembelajaran meningkatkan sifat ingin tahu dan
minat untuk menyelesaikan masalah. Oleh itu, penyampaian multimedia disarankan sebagai alat
15
bantuan kepada pembelajaran matematik tradisional. Salah satu matlamat dalam kajian ini adalah
untuk mengintegrasi teknologi multimedia dalam pembangunan ILMEV bagi meningkatkan
minat pengguna kepada matematik.
1.6 OBJEKTIF KAJIAN
Objektif kajian ini adalah berdasarkan masalah kajian yang telah dinyatakan dalam bahagian 1.5:
1.6.1 Geometri 2D: Pengiraan Analitik Kamiran Multidimensi
Salah satu daripada banyak pengiraan asas dan visualisasi daripada analisis yang sukar dilakukan
dalam semua SAK ialah untuk mengira kamiran terhadap lengkung, permukaan dan isipadu dan
untuk mengunakan kamiran multidimensi hasil teorem kebarangkalian, teorem Green, teorem
Stokes dan teorem kecapahan. Dalam kajian ini, kami akan mengilustrasi kedua-dua program
pemodelan geometrik dan algoritma Cylindrical Algebraic Decomposition (CAD) bagi set
algebra tahap terendah yang diperlukan bagi menjadikan SAK lebih berguna kalkulus, dan
seterusnya untuk menyelesaikan pelbagai masalah analisis.
1.6.2 Teknik Penyelesaian Masalah Matematik
Mengajar matematik adalah tugas yang sukar. Setiap pelajar mempunyai satu set pengalaman
dan kebolehan yang tersendiri untuk menyelesaikan tugas tertentu (Souviner, 1989). Dalam
kajian ini, kami memperkenalkan beberapa kaedah pengajaran bagi membantu pengguna dalam:
i. memahami konsep matematik dan membina kemahiran, ii. proses penyelesaian masalah dan iii.
membina penaakulan matematik. Bagaimanakah alat pembelajaran seperti ILMEV dapat
membantu? Apakah konsep yang perlu digunakan dalam gaya pengajaran?. Ini adalah antara isu-
isu yang menarik perhatian kami. Kami memutuskan untuk menggunakan konsep pedagogi
berikut dalam pembangunan ILMEV bagi mencapai objektif ini:
16
i. Interaktiviti, visualisasi dan pengujikajian.
SAK sangat dinamik dengan membenarkan pembentukan penyampaian interaktif dan
pegujikajian pelbagai nilai input dengan berkesan. Visualisasi seperti bentuk grafik,
animasi dan imej pegun, digabungkan dengan kesan bunyi dan pertuturan dalam ILMEV
menjadikan topik lebih mudah difahami. Pengguna juga digalakkan untuk meneroka
kemudahan dalam ILMEV seperti mengklik butang-butang yang bersesuaian.
ii. Kepelbagaian penyampaian
Kepelbagaian penyampaian dalam bentuk elemen multimedia seperti simbolik, berangka,
teks, grafik, bunyi, animasi dan imej pegun diguna dalam mengambarkan persembahan
daripada pelbagai perspektif. Sebagai contoh, pengguna digalakkan untuk meneroka
kepelbagaian penyampaian fungsi tanpa menumpukan pada aspek angka sahaja.
Pengguna membina pemahaman tentang kemahiran dan konsep matematik melalui proses
menghubungkan maklumat baru dengan yang lama atau sedia ada. Pengguna dapat melihat
hubung kait antara penyampaian sekiranya mereka dapat melihat kaedah maklumat dibentuk
dalam penyampaian tersebut dan kemudiannya, mampu menghasilkan penyampaian yang lain
dan sebagainya (Santos & Manuel, 2000). Penyelidikan ke atas sekumpulan pelajar yang
melakukan tatacara berangka, grafik dan simbolik dalam persekitaran berbeza mendapati bahawa
kebanyakan pelajar mampu menghubungkan antara penyampaian (Kimmins & Bouldin, 1996).
Memahami proses penyelesaian masalah dianggap sebagai komponen penting dalam
pendidikan matematik (National Council of Teachers of Mathematics (NCTM), 1980, 1989).
Tetapi hakikatnya, mengajar dan melatih pelajar aspek pengiraan dan menghafal penyelesaian
masalah bagi tujuan peperiksaan telah menjadi tumpuan dan fokus dalam pengajaran dan
17
pembelajaran (Tengku Zawawi, 2002). Dengan itu, salah satu matlamat ILMEV ialah membantu
pengguna dalam aspek penyelesaian masalah matematik dengan menumpukan kepada:
i. memahami proses penyelesaian masalah berbanding aspek pengiraan dan hafalan
kaedah penyelesaian masalah sahaja,
ii. menyelesaikan masalah “realistik” berbanding terhad kepada “penyelesaian
terbaik” (Kimmins, 1995).
Masalah “realistik” melibatkan pelbagai nilai input (nombor kecil atau besar) yang boleh
ditangani oleh SAK secara berkesan dengan ketepatan yang tinggi.
Beberapa masalah berkaitan matematik sama ada rujukan dalam buku teks atau
kehidupan sebenar menunjukkan penaakulan matematik adalah penting dalam memahami aspek
matematik. Mereka yang terlibat dalam bidang yang berkaitan dengan matematik secara tidak
langsung terlibat dalam penaakulan matematik. Bagaimanakah penaakulan matematik digunakan
dalam ILMEV? Adakah pelajar bersedia untuk mempelajari penaakulan matematik? Adakah
pengajar bersedia untuk mengajar? ILMEV diharap dapat membantu pengajar dalam
memperkenalkan penaakulan matematik dalam kelas dan memotivasi pelajar untuk
bereksperimen dengan pelbagai nilai input supaya mereka dapat membentuk andaian dan
mengguna penaakulan induktif. Mereka juga digalakkan berfikir secara logik dan kritis apabila
menyelesaikan masalah dengan memvisualisasi, menguji dengan pelbagai nilai dan memerhati
langkah dalam mendapatkan penyelesaian.
Kaedah pengajaran mengguna teknologi multimedia seperti teks (perkataan dan nombor),
audio (kesan bunyi, muzik dan pertuturan) dan visual (imej pegun dan animasi) memberi kesan
positif terhadap proses pengajaran berbanding kaedah tradisional menggunakan pensil dan
kertas. Kini, multimedia interaktif digunakan dalam pembangunan perisian pendidikan kerana
18
terbukti ianya lebih dinamik, menyeronokkan, berkesan dan mampu menarik perhatian pengguna
(Herrington & Oliver, 2001). Matlamat projek ini adalah untuk mengintegrasi teknologi
multimedia ke dalam pembangunan ILMEV bagi mengalakkan kepelbagaian penyampaian
dalam pengajaran dan pembelajaran dan seterusnya meningkatkan minat pengguna dalam
matematik.
1.7 PERSOALAN KAJIAN
Berdasarkan objektif yang dinyatakan di atas, persoalan berbangkit yang perlu dijawab dalam
kajian ini ialah (Yaacob, Steinberg & Wester, 2005a, 2005b):
i. Apakah jenis algoritma yang diperlukan untuk mengira kamiran umum dua
dimensi secara berkesan dan bolehkah program tersebut menerangkan langkah-
langkah untuk melakukannya?
ii. Bagaimanakah membantu pengguna menggunakan SAK (Mathematica) dalam
ILMEV tanpa mempelajari sintak-sintaks yang berkaitan?
iii. Bagaimanakah ILMEV perlu berinteraksi dengan pengguna (interaktiviti,
letakkan syarat atau sekatan jika ada dan apabila perlu, mesej ralat mesej
cadangan)?
iv. Bagaimanakah konsep pedagogi digunakan, iaitu, interaktiviti, visualisasi dan
pengujikajian, bagi membantu pengguna dalam menyelesaikan masalah
matematik?
v. Bagaimanakah mengintegrasi elemen multimedia seperti teks, matematik, grafik
(plot mudah dan animasi) dan bunyi bagi mendidik dan merangsang pengguna?
19
1.8 KEPENTINGAN KAJIAN
Hopper (1988) menulis bahawa penggunaan komputer yang berjaya bermakna terdapat manfaat
sebenar dalam mengguna komputer berbanding kaedah lain. Thornborough (1990) menyatakan
selari dengan falsafah asal komputer menyediakan peningkatan dalam pembelajaran dan perlu
ada manfaat yang ketara dalam penggunaanya. Penyelidikan yang dilakukan oleh Abd. Razak,
Abd. Rashid, Abdullah & Puteh (1996) menunjukkan minat pelajar kepada matematik di
Malaysia berkait rapat dengan gaya persembahan pengajar. Walau bagaimanapun, perubahan
dalam pengajaran dan pembelajaran matematik berdasarkan teknologi multimedia terkini akan
menjadi sia-sia melainkan pengajar dan pelajar bersedia untuknya (Cheney, 1997). Diharapkan
pelajar, pengajar, penyelidik dan individu lain memperolehi manfaat daripada ILMEV seperti
yang dinyatakan di bawah:
i. Diharap ILMEV dapat memperkaya pemahaman pelajar dalam asas matematik
dan kaedah-kaedah yang diguna dalam penyelesaian masalah matematik melalui
paparan langkah-langkah penyelesaian dan penggunaan grafik yang meluas.
ii. ILMEV membenarkan pelajar bereksperimen dengan pelbagai nilai input bagi
meluaskan pemahaman mengenai proses penyelesaian masalah.
iii. Rasa ingin tahu dan minat pelajar dalam menyelesaikan masalah matematik boleh
ditingkatkan melalui kemudahan yang disedia oleh ILMEV.
iv. Pelajar boleh bekerja mengikut kehendak sendiri dan mereka akan menerima
maklum balas berterusan daripada ILMEV.
v. Pelajar menimba pengalaman praktikal apabila menggunakan kaedah yang
dikemukakan bagi menyelesaikan permasalahan dalam kalkulus vektor.
20
vi. Dalam kelas, ILMEV mengalakkan pelajar berinteraksi, bekerjasama dan saling
membantu dalam menyelesaikan masalah dan pelajar yang ketinggalan masih
boleh terus melakukan tugas selepas kelas. Ini akan mewujudkan suasana kelas
yang lebih santai dan membantu dalam mengurangkan masalah ketinggalan
apabila pelajar tidak hadir ke kelas kerana masalah kecemasan seperti sakit.
1.9 SKOP KAJIAN
Skop kajian dinyatakan dalam bab 3. Pengamiran multidimensi dan kalkulus vektor melibatkan
kamiran skalar satu, dua dan tiga dimensi, sifat kamiran pasti, kamiran fungsi skalar pada
lengkung, kamiran fungsi skalar terhadap lengkung, medan vektor, kamiran permukaan dalam
dua dan tiga dimensi dan kamiran isipadu. Kami menyusun atur pelbagai jenis teorem kamiran
dan teorem penyusutan supaya memudahkan diterjemah kepada algoritma komputer.
1.10 METODOLOGI KAJIAN
Metodologi kajian dinyatakan seperti dalam Rajah 1.1. Fasa kajian awal, fasa definisi dan fasa
implementasi dibincang secara terperinci dalam bab 6: Metodologi kajian. Garisan putus-putus
dalam Rajah 1.1 menunjukkan proses ulangan dalam mencari penyelesaian yang optimum.
Fasa Kajian Awal
Fasa Definisi
Fasa Implementasi
Prototaip ILMEV (Versi 1.0)
Rajah 1.1
Struktur pembangunan ILMEV
21
1.11 ORGANISASI KAJIAN
Tesis ini terdiri daripada tujuh bahagian utama. Bab satu menyediakan pengenalan yang mudah
dan ringkas bagi topik penting yang akan dibincang secara terperinci dalam bab berikutnya. Ia
membincangkan latar belakang kajian, multimedia interaktif dalam pengajaran dan pembelajaran
matematik, permasalahan kajian, objektif kajian, persoalan kajian, kepentingan kajian, skop
kajian dan metodologi kajian.
Bab dua ialah ulasan literasi mengenai kajian ini. Latar belakang mengenai pakej atau
perisian kalkulus vektor sedia ada seperti General Vector Analysis (GVA), Vector Calculus &
Mathematica dan vec_calc dibincang. Teori pembelajaran berdasarkan komputer seperti teori
behaviorisme, teori kognitif dan teori humanisme diterangkan. Latar belakang SAK termasuk
definisi, sejarah dan penggunaan dalam pelbagai bidang turut dibincangkan.
Bab tiga membincangkan secara terperinci mengenai skop kajian, seperti pengamiran
multidimensi dan kalkulus vektor yang melibatkan kamiran skalar dalam satu, dua dan tiga
dimensi, sifat kamiran pasti, kamiran fungsi skalar pada lengkung, kamiran fungsi skalar
terhadap lengkung, medan vektor, kamiran permukaan dua dan tiga dimensi dan kamiran
isipadu.
Fokus bab empat pula kepada penyelesaian masalah pengamiran geometri mudah dan
penjelasan mengenai langkah-langkah penyelesaian yang diperolehi secara automatik. Algoritma
bagi melaksanakan tugas ini ialah CAD dan program pemodelan geometri. Kami turut
membincangkan tentang fungsi lain bagi sistem seperti dialog interaktif dan pemplotan.
Bab lima membincangkan stuktur model fungsian sistem ILMEV. Konsep model ILMEV
seperti interaktiviti, visualisasi dan pengujikajian juga dibincangkan dalam bab ini.
22
Bab enam menjelaskan metodologi kajian yang diguna dalam pembangunan ILMEV
yang terdiri daripada tiga fasa. Ia menerangkan secara terperinci fasa kajian awal, fasa definisi
dan fasa implementasi.
Bab terakhir terdiri daripada cadangan dan kesimpulan kajian ini yang merangkumi
kekuatan ILMEV, cadangan penambahbaikan, implikasi kajian dan cadangan kajian pada masa
hadapan.
1.12 KESIMPULAN
ILMEV dibangunkan bagi membantu pengguna dalam pembelajaran matematik seperti
pengiraan umum kamiran dua dimensi secara automatik, mengintegrasi elemen multimedia ke
dalam gaya pengajaran dan pembelajaran, meningkatkan pemahaman terhadap konsep
matematik dan seterusnya, membangunkan kemahiran matematik. Proses penyelesaian masalah
matematik menjadi lebih menarik dan mudah dengan menggunakan konsep pedagogi seperti
interaktiviti, visualisasi dan pengujikajian.
23