SESI PENGAJIAN SEMESTER 7 (KOHORT 1 )

PROGRAMPROGRAM PENSISWAZAHAN GURU SEKOLAH RENDAH ( PPGSR )

KURSUS PENGAJIAN MATEMATIK

NAMA NO. KAD PENGENALAN NO.MATRIKFREADY FOOK LIEW 810216125457 CT10210213

TUGASAN TUGASAN INDIVIDU

TAJUK JAWAB SEMUA SOALAN 1 HINGGA 8

NAMA PENSYARAH DR. CHIN KIN ENG @ SPORTY CHIN

Tugasan Asas Matematik Diskrit (TQ40103)

TQ40103

ASAS MATEMATIK DISKRIT

1. (a) Tunjukkan bahawa propositions dan adalah setara secara logik.

Penyelesaian:

=

P qBBPP

BPBP

PPBB

BPBB

BPBB

(b) Tunjukkan bahawa dan adalah setara secara logik.

Penyelesaian:

≡

p q rBBBBPPPP

BBPPBBPP

BPBPBPBP

BPPPBPPP

BBBBBBPP

BBBBBPBP

BBBBBPPP

BBBBBPPP

2. (a) Bina jadual kebenaran untuk yang berikut:

(i)

P qBBPP

BPBP

PBPB

PBBB

(ii)

P qBBPP

BPBP

PPBB

PBBP

(iii)

p q

BBPP

BPBP

PPBB

BPBB

BBBP

BBBB

(iv)

p qBBPP

BPBP

PPBB

BPBB

BBBP

BPBP

(v)

p q

BBPP

BPBP

PPBB

BPPB

PBBP

BBBB

(vi)

p Q

BBPP

BPBP

PPBB

PBPB

BPPB

BPPB

BBBB

3. Senaraikan ahli-ahli untuk setiap set berikut:

(i)

=

(ii)

Jika , maka

Tetapi, =

Kerana

(iii)

(iv)

Jika dan , maka

Tetapi, =

kerana

4. Set semesta, U = {1, 2, 3, . . . , 9, 10}, biar A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 2, 4, 8}, C = {1, 2, 3, 5, 7} dan D = {2, 4, 6, 8}. Tentukan setiap berikut:

Penyelesaian:

(i)

= {1,2,3,4,5,8}

∴ = {1,2,3,5}

(ii)

= {1,2}

∴ = {1,2,3,4,5}

(iii)

= {4,6,8,9,10} dan = {1,3,5,7,9,10}

∴ = {1,3,4,5,6,7,8,9,10}

(iv)

= {2}

∴ = {1,3,4,5,6,7,8,9,10}

5. (a) Dengan menggunakan induksi matematik, buktikan:

Untuk semua integer n tak negatif.

Penyelesaian:

P( )= 1 + 2 + 22 + ... + 2n = 2n+1 – 1

P(0) = 20 = 20+1 – 1

Nilai di kedua-dua belah persamaan adalah sama, iaitu 1 apabila n = 0.

P(k) = 1 + 2 + 22 + ... + 2k = 2k+1 – 1

P(k + 1)= 1 + 2 + 22 + ... + 2k + 2k+1 = 2k+1+1 – 1

Gantikan “1 + 2 + 22 + ... + 2k” dalam P(k + 1) dengan 2k+1 – 1 dan ungkapan di kiri menjadi,

P(k + 1)= 2k+1 – 1 + 2k+1

= 2 . 2k+1 – 1

= 2k+1+1 – 1

Terbukti ungkapan sebelah kiri sama dengan ungkapan di kanan.

(b) Tunjukan bahawa jika n ialah satu integer positif,

(1) P(1) = 1 = 1(1+1)

2Maka, 1=1 ...adalah benar dan sudah diuji

(2) P(k) = 1 + 2 +... + k = k (k+1)

2 ...andaian

(3) P(k + 1) = 1 + 2 + ... + k + (k + 1) = (k+1 )[(k+1)+1]

2

Maka, 1 + 2 + ... + k + (k + 1) = (k+1 )[(k+1)+1]

2

= k (k+1 )

2 +(k+1)

= k (k+1 )+2(k+1)

2

= (k+1 )¿¿

6. Untuk setiap hubungan pada set {1, 2, 3, 4}, tentukan sama ada ia adalah refleksif, simetrik, anti simetrik atau transitif.

(i) {(2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (3, 4)}

Anti simetrik : (2,4) dan (3,4) tidak mempunyai pasangan (4,2) dan

(4,3)

(ii) {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}

Simetrik : (1,2), (2,1)

(iii) {(2, 4), (4, 2)}

Simetrik : (2,4), (4,2)

(iv) {(1, 2), (2, 3), (3, 4)}

Anti Simetrik: (1,2), (2,3), (3,4)

(v) {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}

Reflektif : (1,1), (2,2), (3,3), (4,4)

(vi) {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 4)}

Transitif: (1,3), (3,4), (1,4)

7. Lukiskan graf, nyatakan graf yang digunakan, untuk mewakili laluan penerbangan setiap hari yang mempunyai empat penerbangan dari Boston ke Newark, dua penerbangan dari Newark ke Boston, tiga penerbangan dari Newark ke Miami, dua penerbangan dari Miami ke Newark, satu penerbangan dari Newark ke Detroit, dua penerbangan dari Detroit ke Newark, tiga penerbangan dari Newark ke Washington, dua penerbangan dari Washington to Newark, dan satu penerbangan dari Washington ke Miami dengan

Directed Multigraph

(i) satu edge antara vertices yang mewakili Bandar-bandar tersebut mempunyai penerbangan antara mereka (dalam mana-mana arah).

Washington

Boston Newark Miami

Detroit

Washington

Miami

DetroitBoston

Newark

(ii) satu edge antara vertices yang mewakili Bandar-bandar untuk setiap penerbangan yang beroperasi antara mereka (dalam mana-mana arah).

(iii) satu edge antara vertices yang mewakili Bandar-bandar untuk setiap penerbangan yang beroperasi antara mereka (dalam mana-mana arah), tambah satu loop khas untuk satu lawatan bersiar-siar yang berlepas dan mendarat di Miami.

(iv) satu edge dari suatu vertex yang mewakili satu Bandar di mana satu penerbangan bermula dan berakhir pada vertex yang mewakili Bandar di mana penerbangan tersebut berakhir.

Washington

Miami

Detroit

Boston

Newark

Washington

DetroitBoston

Newark

Pseudograph

Miami

Washington

Miami

DetroitBoston

Newark

Directed Graph

8. Jelaskan maksud istilah-istilah matematik berikut:

(i) Pokok (tree)

Pokok ialah satu sejenis graf ringkas yang tidak berarah dan menghubungkan ke setiap titik (vertex) secara tidak berkitar (bukan simple circuit) atau berbilang tepi (edges) antara dua vertex. Graf Pokok juga tidak mempunyai loop.

Contohnya:

(ii) Pokok binary (binary tree)

Pokok binary ialah graf yang di mana vertex dalamannya mengandungi dua dan hanya dua kanak-kanak.

Contohnya:

Pokok Binari

(iii) Isomorphism

Dalam matematik diskrit, isomorphism merujuk kepada persamaan sifat yang dimiliki oleh dua graf atau lebih secara pemetaan matematik. Dua graf mungkin tidak sama bentuk tetapi mempunyai pemetaan yang sama dianggap memiliki sifat isomorphic.

Contohnya

de

cb

a

E D

CB

A

CB

D A

CB

D A