himpunan matematika diskrit

HIMPUNAN MATEMATIKA DISKRIT

DIAJUKAN UNTUK MEMENUHI SYARAT ndash SYARATTUGAS AKHIR DAN KELULUSAN

MATA KULIAH MATEMATIKA DISKRIT

SEKOLAH TINGGI TEKNOLOGI GARUT

DISUSUN OLEH ZUHRI PATRIA SIREGAR

NPM 1206124

KATA PENGANTAR

Assalamursquoalaikum Warahmatullahi Wabarakatuh

Alhamdulillahirabilrsquoalamin banyak nikmat yang allah berikan tetapi sedikit sekali yang kita ingat Segala puji hanya layak untuk allah tuhan Semesta Alam atas segala Berkat Rahmat Taufik serta Hidayah ndash nya tiada terkira besarnya sehingga Penulis dapat Makalah dan Laporan yang berjudul ldquo Macam ndash Macam Himpunan Matematika Diskrit ldquo

Dalam Penyusunan ndash nya Penulis memeperoleh banyak bantuan dari berbagai Pihak karena itu Penulis mengucapkan banyak terima kasih yang Sebesar ndash besarnya Kepada

Kedua Orang tua dan Segenap Keluarga Penulis yang telah memberikan Dukungan Kasih Sayang dan Kepercayaan yang begitu Besar Dari sanalah Kesuksesan ini Berawal Semoga semua ini bisa memberikan sedikit Manfaat Kebahagiaan dan Menuntun pada Langkah yang lebih baik lagi

Dalam Buku Makalah dan Laporan ini Membahas Mengenai bagaimana cara ndash nya Kita dapat Berhitung dengan Cepat Baik dan Benar Bahkan Kita juga harus Mengetahui Cukup Tahu dan Mengenal betul Ciri ndash ciri dan Macam ndash macam Himpunan Matematika ini Juga Kita diajarkan untuk bisa dan dapat Membedakan mana Bilangan Positif dan Negatif juga sebaliknya mana Bilangan Bulat dan mana yang bukan Bilangan Bulat

Meskipun Penulis berharap isi Makalah dan Laporan ini bebas dari Kekurangan dan Kesalahan namun selalu ada yang Kurang Oleh karena itu Penulis mengharapkan Kritik dan Saran yang membangun agar Makalah dan Laporan ini dapat lebih baik lagi

i

DAFTAR ISI

Kata Pengantar helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellipiDaftar Isi helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellipiiBAB 1 Pendahuluan Matematika Diskrit helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip1

11 Definisi dan Keanggotaan Suatu Himpunan helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip112 Operasi Himpunan helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip5

a Irisan ( Intersection ) helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip5b Gabungan ( Union ) helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip5c Komplemen ( Complement ) helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip5d Selisih ( Different ) helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip6e Beda Setangkup ( Symetric Different ) helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip6f Perkalian Kartesian ( Cartesian Product ) helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip6

13 Prinsip Dualitas helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip7Table 11 Dualitas Teori Matematika Diskrit Himpunan helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip8

BAB 2 Landasan Teori Matematika Diskrit Himpunan helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip921 Teori Himpunan helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip922 Kesamaan Himpunan helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip923 Contoh ndash contoh Himpunan helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip9

a Himpunan ldquo Standard ldquo helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip9b Mendefinisikan Himpunan Bilangan Rasional helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip10

24 Himpunan Bagian ( Subset ) helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip1025 Himpunan Bagian 2 helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip10

a Aturan ndash aturan yang Bermanfaat helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip10b Himpunan Bagian Sejati ( Proper Subset ) helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip10

26 Kardinalitas dari Himpunan helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip1127 Himpunan Kuasa ( Power Set ) helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip1128 Perkalian Kartesian helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip1129 Operasi Terhadap Himpunan helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip11

ii

BAB 3 Kerangka Kerja dan Penelitian Himpunan Matematika helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip1331 Penggambaran Himpunan Menggunakan Diagram Venn helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip13

a Memberikan Contoh Gambaran Himpunan Melalui Diagram Ven helliphelliphelliphelliphellip13b Gambaran Notasi Himpunan Bagian helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip13c Memberikan Contoh Kerangka Kerja Himpunan helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip14d Operasi Himpunan helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip14

1 Irisan ( Intersection ) helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip142 Gabungan ( Union ) helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip153 Komplemen ( Complement ) helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip154 Selisih ( Different ) helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip155 Beda Setangkup ( Symmetiric Different ) helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip16

32 Membuat Tabel Himpunan helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip16a Struktur Himpunan Mahasiswa Teknik Informatika ( A ) helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip16b Tabel Absensi Himpunan Mahasiswa Teknik Informatika ( A ) helliphelliphelliphelliphelliphellip16c Struktur Jadwal Mata Kuliah Himpunan Teknik Informatika ( A ) helliphelliphelliphelliphellip17d Struktur Himpunan Jadwal Kuliah Tiap Semester Teknik Informatika ( A ) hellip18DIAGRAM ( TABEL HIMPUNAN ) helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip18

33 Cara Kerja Menghitung Suatu Himpunan helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip19a Operasi Himpunan helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip19b Definisi Himpunan Matematika helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip19c The Power Set helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip19d The Cartesian Product helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip19e Identitas Himpunan helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip20f Representasi Komputer untuk Himpunan helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip20

BAB 4 HASIL DAN PEMBAHASAN HIMPUNAN MATEMATIKA DISKRIT 41 Pembahasan Prinsip Inklusi ndash Eksklusi helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip21

a Pembahasan Prinsip Inklusi helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip21b Pembahasan Prinsip Eksklusi helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip21

42 Hasil Prinsip Inklusi ndash Eksklusi helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip22a Hasil Prinsip Inklusi helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip22b Hasil Prinsip Eksklusi helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip22

BAB 5 RINGKASAN DAN KESIMPULAN HIMPUNAN MATEMATIKA DISKRIT

51 Ringkasan Penyajian Himpunan ( KEANGGOTAAN HIMPUNAN ) helliphelliphelliphelliphellip2352 Kesimpulan Himpunan Matematika helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip23

DAFTAR PUSTAKA helliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip23

iii

BAB 1 PENDAHULUAN

MATEMATIKA DISKRIT HIMPUNAN

Dalam kehidupan nyata banyak sekali masalah yang terkait dengan data (objek) yang dikumpulkan berdasarkan kriteria tertentu Kumpulan data (objek) inilah yang selanjutnya didefinisikan sebagai himpunan Pada bab awal ini akan dibahas tentang definisi dan keanggotaan suatu himpunan operasi himpunan dari beberapa jenis himpunan

11 Definisi dan Keanggotaan Suatu Himpunan Himpunan (set) merupakan sekumpulan objek-objek yang berbeda yang dapat

didefinisikan dengan jelas Objek di dalam himpunan dinamakan unsur atau anggota himpunan Keanggotaan suatu himpunan dinyatakan oleh notasi rsquoisinrsquo

Contoh 1 A = x y z x isinA x merupakan anggota himpunan A w notinA w bukan merupakan anggota himpunan A Ada beberapa cara dalam menyatakan himpunan yaitu Mencacahkan anggotanya (enumerasi) Dengan cara ini himpunan tersebut dinyatakan dengan menyebutkan semua anggota himpunannya di dalam suatu kurung kurawal

Contoh 2 Himpunan empat bilangan ganjil pertama A = 1 3 5 7 Himpunan lima bilangan prima pertama B = 2 3 5 7 11 Himpunan bilangan asli yang kurang dari 50 C = 1 2 50 Himpunan bilangan bulat ditulis sebagai hellip -2 -1 0 1 2 hellip Menggunakan simbol standar (baku) Suatu himpunan dapat dinyatakan dalam suatu simbol standar (baku) yang telah diketahui secara umum oleh masyarakat (ilmiah)

Contoh 3 N = himpunan bilangan alami (natural) = 1 2 Z = himpunan bilangan bulat = -2 -1 0 1 2 Q = himpunan bilangan rasional R = himpunan bilangan riil C = himpunan bilangan kompleks U = Himpunan yang universal (semesta pembicaraan)

1

Contoh 4 Misalkan U = 1 2 3 4 5 dan A = 1 3 5 merupakan himpunan bagian dari U

Menuliskan kriteria (syarat) keanggotaan himpunan Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan cara menuliskan kriteria (syarat) keanggotaan himpunan tersebut Himpunan ini dinotasinya sebagai berikut x ⎥ syarat yang harus dipenuhi oleh x

Contoh 5 A adalah himpunan bilangan asli yang kecil dari 10 A = x | x le 10 dan x isinN

atau A = x isinN | x le 10 yang ekivalen dengan A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 M = x | x adalah mahasiswa yang mengambil kuliah matematika diskrit Atau M = x adalah mahasiswa | ia mengambil kuliah matematika diskrit Menggunakan Diagram Venn Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan cara menuliskan anggotanya dalam suatu gambar (diagram) yang dinamakan diagram venn

Contoh 6 Misalkan U = 1 2 7 8 A = 1 2 3 5 dan B= 2 5 6 8 Terkait dengan

masalah keanggotaan suatu himpunan dapat dinyatakan sebagai anggota himpunanl ain

Contoh 7 a Misalkan M = mahasiswa STT Garut

M1 = mahasiswa anggota himatif M2 = mahasiswa anggota HMTI M3 = mahasiswa anggota HMIF Dengan demikian M = M1 M2 M3

b Bila P1= x y P2= x y atau P2=P1 Sementara itu P3= x y maka xisinP1dan ynotinP2 sehingga P1isinP2 sedangkan P1notinP3 tetapi P2isinP3

Jumlah unsur dalam suatu himpunan dinamakan kardinalitas dari himpunan tersebut Misalkan untuk menyatakan kardinalitas himpunan A ditulis dengan notasi n ( A ) atau ⎢ A ⎢

Contoh 8 (i) B = x | x merupakan bilangan prima yang lebih kecil dari 10 atau B = 2 3 5

7 maka B = 4 (ii) A= a a a maka A = 3 Jika suatu himpunan tidak mempunyai anggota dengan kata lain dengan kardinalitas himpunan tersebut sama dengan nol maka himpunan tersebut dinamakan himpunan kosong ( null set ) Notasi dari suatu himpunan kosong adalah empty atau

2

Contoh 9 (i) P = Mahasiswa Teknik Industri STT Garut yang pernah ke Mars maka n ( P )

= 0 Jadi P = empty (ii) A = x | akar persamaan kuadrat x2 + 1 = 0 dan x isin R maka n ( A ) = 0 Jadi A

= (iii) B = dapat juga ditulis sebagai B = empty Jadi B bukan himpunan kosong karena ia memuat satu unsur yaitu himpunan kosong Himpunan A di katakana himpunan bagian ( subset ) dari himpunan B jika dan hanya jika setiap unsur A merupakan unsur dari B Dalam hal ini Bisa di katakan superset dari A Notasi himpunan bagian A sube B atau A sub B

Contoh 10 (i) N sube Z sube R sube C (ii) 2 3 5 sube 2 3 5 Untuk setiap himpunan A berlaku hal ndash hal sebagai berikut

(a) A adalah himpunan bagian dari A itu sendiri ( yaitu Asube A ) (b) Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari A ( emptysube A ) (c) Jika A sube B dan B sube C maka A sube C empty sube A dan A sube A maka empty dan A disebut himpunan bagian tak sebenarnya

( improper subset ) dari himpunan A Pernyataan A sube B berbeda dengan A sub B A sub B A adalah himpunan bagian dari B tetapi A ne B Yang demikian A merupakan himpunan bagian sebenarnya ( proper subset ) dari B

Contoh 11 Misalkan A = 1 2 3 1 dan 2 3 merupakan proper subset dari A Himpunan kuasa ( power set ) dari himpunan A merupakan suatu himpunan yang unsur ndash unsurnya merupakan semua himpunan bagian dari A termasuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri Himpunan kuasa dinotasikan oleh P ( A ) Jumlah anggota ( cardinal ) dari suatu himpunan kuasa bergantung pada cardinal himpunan asal Misalkan kardinalitas himpunan A adalah m maka P ( A ) = 2m Contoh 12 Jika A = x y maka P ( A) = empty x y x y

3Contoh 13

Himpunan kuasa dari himpunan kosong adalah P ( empty ) = empty sementara itu himpunan kuasa dari himpunan empty adalah P ( empty ) = empty empty Pernyataan A sube B digunakan untuk menyatakan bahwa A adalah himpunan bagian ( subset ) dari B yang memungkinkan A = B Dua buah himpunan dikatakan sama jika memenuhi kondisi berikut A A = B jika dan hanya jika setiap unsur A merupakan unsur B dan sebaliknya

setiap unsur B merupakan unsur A B Untuk menyatakan A = B yang perlu dibuktikan adalah A adalah himpunan

bagian dari B dan B merupakan himpunan bagian dari A C Jika tidak demikian maka A ne B atau A = B Ugrave A sube B dan B sube A

Contoh 14 (i) Jika A = 0 1 dan B = x | x ( x ndash 1) = 0 maka A = B (ii) Jika A = 3 5 8 5 dan B = 5 3 8 maka A = B (iii) Jika A = 3 5 8 5 dan B = 3 8 maka A ne B Untuk tiga buah himpunan A B dan C berlaku aksioma berikut

(a) A = A B = B dan C = C (b) Jika A = B maka B = A (c) Jika A = B dan B = C maka A = C

Dua buah himpunan dikatakan ekivalensi jika masing ndash masing mempunyai kardinalitas yang sama Misalkan himpunan A adalah ekivalen dengan himpunan B berarti cardinal dari himpunan A dan himpunan B adalah sama notasi yang digunakan adalah A ~ B

Contoh 15 Misalkan A = 2 3 5 7 dan B = a b c d maka A ~ B sebab A = B

= 4 Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas ( disjoint ) jika keduanya tidak memiliki unsur yang sama Notasi yang digunakan adalah A B Jika dinyatakan dalam bentuk diagram Venn

Contoh 16 Jika A = x | x isin N x lt 10 dan B = 11 12 13 14 15 maka A B

412 Operasi Himpunan

Ada beberapa operasi himpunan yang perlu diketahui yaitu irisan gabungan komplemen selisih dan beda setangkup

a Irisan( intersection )Irisan antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda lsquocap lsquo Misalkan A dan B adalah himpunan yang tidak saling lepas maka A cap B = x | x isinA dan x isinB contoh 1 Misalkan A = 2 3 5 7 11 dan B = 3 6 9 12 maka A cap B = 3 2 Misalkan A adalah himpunan mahasiswi TI STT Garut dan B merupakan

himpunan wanita lanjut usia (50 tahun ke atas) maka A cap B = empty Hal ini berarti A dan B adalah saling lepas atau A B

b Gabungan (union)Gabungan antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda lsquocuplsquo Misalkan A

dan B adalah himpunan maka A cup B = x | x isin A atau x isin B contoh 1 Jika A = 2 3 5 7 dan B = 1 2 3 4 5 maka A cupB = 1 2 3 4 5 7 2 A cupempty = A

c Komplemen (complement)Komplemen dari suatu himpunan merupakan unsur ndash unsur yang ada pada

himpunan universal (semesta pembicaraan ) kecuali anggota himpunan tersebut Misalkan A merupakan himpunan yang berada pada semesta pembicaraan U maka komplemen dari himpunan A dinotasikan oleh A = x | x isin U dan x notinA Contoh 1 1 Misalkan U = 1 2 3 9 jika A = 1 3 7 9 maka A = 2 4 5 6 8 2 jika A = x isin U | x habis dibagi dua maka A= 1 3 5 7 9 Contoh 2 1 A = himpunan mahasiswa STT Telkom 2 B = himpunan mahasiswa yang tinggal di Asrama 3 C = himpunan mahasiswa angkatan 2004 4 D = himpunan mahasiswa yang mengambil matematika diskrit 5 E = himpunan mahasiswa yang membawa motor untuk pergi ke kampus

a) PernyataanSemua mahasiswa STT Garut angkatan 2004 yang membawa motor untuk pergi ke kampus dapat dinyatakan dalam notasi operasi himpunan sebagai berikut (A cap C) cap E

b) PernyataanSemua mahasiswa STT Telkom yang tinggal di asrama dan tidak mengambil matematika diskritdapat dinyatakan dalam notasi operasi himpunan sebagai berikut A cap B cap D

5c) Pernyataan

semua mahasiswa angkatan 2004 yang tidak tinggal di asrama atau tidak membawa motor untuk pergi ke kampusdapat dinyatakan dalam notasi operasi himpunan sebagai berikut C cap (B cup E)

d Selisih ( difference)Selisih antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda lsquondashlsquo Misalkan A dan B adalah himpunan maka selisih A dan B dinotasikan oleh A ndash B = x | x isin A dan x notin B = A cap B Contoh Jika A = 1 2 3 10 dan B = 2 3 5 7 maka A ndash B = 1 4 6 8 9 dan B ndash A = empty

e Beda Setangkup ( Symmetric Difference ) Beda setangkup antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda lsquo oplus lsquo Misalkan A dan B adalah himpunan maka beda setangkup antara A dan B dinotasikan oleh A oplus B = ( A cup B ) ndash ( A cap B ) = ( A ndash B ) cup ( B ndash A ) Contoh 1 Jika A = 2 3 5 7 dan B = 1 2 3 4 5 maka A oplus B = 1 4 7 2 Beda setangkup memenuhi sifat ndash sifat berikut

a) A oplus B = B oplus A ( hukum komutatif ) b) (A oplus B ) oplus C = A oplus ( B oplus C ) ( hukum asosiatif )

f Perkalian Kartesian ( cartesian product ) Perkalian kartesian antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda lsquotimeslsquo Misalkan A dan B adalah himpunan maka perkalian kartesian antara A dan B Dinotasikan oleh A times B = ( a b ) a isin A dan b isin B Contoh 1 Misalkan C = 1 2 3 dan D = a b maka C times D = (1 a) (1 b) (2 a)

(2 b) (3 a) (3 b) 2 Misalkan A = B = himpunan semua bilangan riil makaA times B = himpunan

semua titik di bidang datar Misalkan ada dua himpunan dengan kardinalitas berhingga maka kardinalitas himpunan hasil dari suatu perkalian kartesian antara dua himpunan tersebut adalah perkalian antara kardinalitas masing ndash masing himpunan Dengan demikian jika A dan B merupakan himpunan berhingga maka A times B = A B Pasangan terurut (a b) berbeda dengan (b a) dengan kata lain (a b) ne (b a) Dengan argumen ini berarti perkalian kartesian tidak komutatif yaituA times B ne B times A dimana A atau B bukan himpunan kosong Jika A = empty atau B = empty maka A times B = B times A = empty

6

Hukum ndash hukum yang berlaku untuk operasi himpunan adalah sebagai berikut 1 Hukum identitas

a) A cupempty = A b) A cap U = A

2 Hukum nulldominasia) A cap empty = empty b) A cup U = U

3 Hukum komplemena) A cup A = U b) A cap A = empty

4 Hukum idempotena) A cup A = A b) A cap A = A

5 Hukum involusi(A= A )

6 Hukum penyerapan (absorpsi)a) A cup (A cap B) = A b) A cap (A cup B) = A

7 Hukum komutatifa) A cup B = B cup A b) A cap B = B cap A

8 Hukum asosiatifa) A cup (B cupC) = (A cupB) cupC b) A cap (B cap C) = (A cap B) cap C

9 Hukum distributifa) A cup (B cap C) = (A cup B) cap (A cup C) b) A cap (B cup C) = (A cap B) cup (A cap C)

10 Hukum De Morgana) BAcap = BAcup b) BAcup = BAcap

11 Hukum komplemen a) empty = U b) U = empty

13 Prinsip Dualitas Prinsip dualitas mengemukakan bahwa dua konsep yang berbeda dapat dipertukarkan namun tetap memberikan jawaban yang benar Contoh a AS 1048774 kemudi mobil di kiri depan b Indonesia 1048774 kemudi mobil di kanan depan

7Peraturan 1 di Amerika Serikat

a) mobil harus berjalan di bagian kanan jalan b) pada jalan yang berlajur banyak lajur kiri untuk mendahului c) bila lampu merah menyala mobil belok kanan boleh langsung

2 di Indonesia a) mobil harus berjalan di bagian kiri jalan b) pada jalur yang berlajur banyak lajur kanan untuk mendahului c) bila lampu merah menyala mobil belok kiri boleh langsung

Prinsip dualitas pada kasus diatas adalahKonsep kiri dan kanan dapat dipertukarkan pada kedua negara tersebut sehingga peraturan yang berlaku di Amerika Serikat menjadi berlaku pula di Inggris(Prinsip Dualitas pada Himpunan) Misalkan S adalah suatu kesamaan (identity) yang melibatkan himpunan dan operasi ndash operasi seperti cup cap dan komplemen Jika S merupakan kesamaan yang berupa dual dari S maka dengan mengganti cup rarr cap cap rarr cup empty rarr U U rarr empty sedangkan komplemen dibiarkan seperti semula maka operasi ndash operasi tersebut pada kesamaan S juga benar

Tabel 11 Dualitas dari Hukum Aljabar Himpunan

NO KETERANGAN

1 Hukum identitas A cupempty = A

DualnyaA cap U = A

2 Hukum nulldominasiA cap empty = empty Dualnya

A cup U = U

3 Hukum komplemen A cup A = U

DualnyaA cap A= empty

4 Hukum idempoten A cup A = A

DualnyaA cap A = A

5 Hukum penyerapan A cup (A cap B) = A

DualnyaA cap (A cup B) = A

6 Hukum komutatif A cup B = B cup A

DualnyaA cap B = B cap A

7 Hukum asosiatif A cup (B cup C) = (A cup B) cupC

DualnyaA cap (B cap C) = (A cap B) cap C

8 Hukum distributif A cup (B cap C)=(A cup B) cap (A cup C)

DualnyaA cap (B cup C) = (A cap B) cup (A cap C)

9 Hukum De MorganBAcup = A cap B

DualnyaBAcap = A cup B

10 Hukum 01 empty= UDualnya

U = empty8

BAB 2 LANDASAN TEORI


Meski sekilas berbeda akan kita lihat bahwa logika matematika dan teori himpunan berhubungan sangat erat Definisi himpunan ( set ) adalah kumpulan obyek ndash obyek tidak urut ( unordered ) atau berbeda Obyek dalam himpunan disebut elemen atau anggota ( member ) Himpunan yang tidak berisi obyek disebut himpunan kosong ( empty set ) Universal set berisi semua obyek yang sedang dibahas Contoh S = a e i o u U = himpunan semua huruf

21 Teori Himpunan Himpunan Kumpulan dari objek (ldquoelemenrdquo) yang berbeda Hal semacam ini dibagi

menjadi 4 Bagian diantaranya aisinA ldquoa adalah elemen dari Ardquoldquoa adalah anggota dari Ardquo anotinA ldquoa bukan elemen dari Ardquo A = a1 a2 hellip an ldquoA mengandung helliprdquoUrutan dari penyebutan elemen tidak

berpengaruh Seberapa sering elemen yang sama disebutkan tidakberpengaruh

22 Kesamaan Himpunan Himpunan A dan B dikatakan sama jika dan hanyajika keduanya memiliki elemen

yang tepat sama Contoh A = 9 2 7 - 3 B = 7 9 - 3 2 rarr A = B A = anjing kucing kudaB = kucing kuda tupai anjing rarr A 5 B A = anjing kucing kudaB = kucing kuda anjing anjing rarr A = B

23 Contoh ndash contoh Himpunan a Himpunan ldquoStandardrdquo

1 Bilangan CacahN = 0 1 2 3 hellip 2 Bilangan Bulat Z = hellip -2 -1 0 1 2 hellip 3 Bil Bulat Positif Z+ = 1 2 3 4 hellip 4 Bil Riil R = 473 -12 π hellip 5 Bil Rasional Q = 15 26 -38 15 hellip(definisi yg tepat akan dibahas

kemudian) 6 A = empty ldquohimpunan kosonghimp Nolrdquo 7 A = z Catatan zisinA tapi z ne z 8 A = b c c x d 9 A = x yCatatan x y isinA tapi x y ne x y 10 A = x | P(x)ldquohimpunan semua x sedemikian hingga P(x)rdquo

11 A = x | xisinN and x gt 7 = 8 9 10 hellipldquonotasi pembentuk himpunanrdquo

9b Sekarang kita bisa mendefinisikan himpunan bilanganrasional Q

1 Q = ab | aisinZ and bisinZ+Atau Q = ab | aisinZ and bisinZ and bne0 2 Bagaimana dengan bilangan riil RR = r | r adalah bilangan riil Belum ada cara

lain untuk menyatakannya dengan lebih baik

24 Himpunan Bagian ( Subset ) A sube B ldquoA adalah himpunan bagian dari BrdquoA sube B jika dan hanya jika setiap elemen

dari A adalah juga elemen dari BYang bisa diformalkan sebagai A sube B hArr forallx ( xisinA rarr xisinB ) Contoh

1 A = 3 9 B = 5 9 1 3 A B rarr Benar 2 A = 3 3 3 9 B = 5 9 1 3 A B rarr Benar 3 A = 1 2 3 B = 2 3 4 A B rarr Salah

25 Himpunan Bagian Ke 2 a Aturan ndash aturan yang bermanfaat

1 A = B hArr(A sube B) and (B sube A) 2 empty sube A untuk sebarang himpunan A 3 A sube A untuk sebarang himpunan A 4 (A sube B) and(B sube C) rArr A sube C (lih Diagram Venn)

b Himpunan Bagian Sejati ( proper subset ) 1 A sub B ldquoA adalah himp bagian sejati dari Brdquo 2 A sub B hArrforallx (xisinA rarr xisinB) and existx (xisinB and xnotinA) atau A sub B hArrforallx (xisinA rarr

xisinB) and ￢forallx (xisinB rarr xisinA)

CB

A

10

26 Kardinalitas dari Himpunan Jika suatu himpunan memiliki n buah anggota yang berlainan n isinN kita menyebut S sebagai himpunan berhingga dengan kardinalitas n contoh A = Mercedes BMW Porsche |A| = 3 B = 1 2 3 4 5 6 |B| = 4 C = 5 |C| = 0 D = x5N | x 5 7000 |D| = 7001 E = x5N | x 5 7000 E tak berhingga

27 Himpunan Kuasa ( Power Set ) 2A atau P(A) ldquopower set dari Ardquo2A = B | B sube A (mengandung semua himpunan bagian dari A ) contoh 2A = empty x y z x y x z y z x y z A = empty2A = emptyCatatan |A| = 0 |2A| = 1Kardinalitas dari power set | 2A | = 2|A| Bayangkan setiap elemen didalam A memiliki saklar ldquoONOFFrdquo Setiap konfigurasi yang mungkin dari saklar didalam Aberkores pondensi dengan

satu elemen didalam 2A Untuk A yang memiliki 3 elemen terdapat 2_2_2 = 8 elemen di dalam 2A

28 Perkalian Kartesian Suatu n ndash tupelo berurutan (ordered n ndash tuple ) ( a1 a2 a3 hellip an ) adalah sebuah

koleksi berurut dari objek ndash objek Dua buah n ndash tupelo berurut ( a1 a2 a3 hellip an ) dan ( b1 b2 b3 hellip bn ) disebut sama jika dan hanya jika keduanya memiliki elemen ndash elemen yang tepat sama dalam urutan yang juga sama yakni ai = bi untuk 1 lei len

29 Operasi terhadap Himpunan Penggabungan Union AcupB = x | xisinA or xisinB Contoh A = a b B = b c d A cup B = a b c d Irisan Intersection A cap B = x | xisinA and xisinB Contoh A = a b B = b c d AcapB = b Dua buah himpunan disebut disjoint jika irisan dari keduanya adalah himpunan kosong A cap B = empty Perbedaan ( pengurangan ) antara dua himpunan A danB adalah suatu himpunan yang memiliki elemen ndash elemen Matematika Diskrit Kuliah ndash 2 18 didalam A yang bukan elemen B A ndash B = x | xisinA and xnotinB Contoh A = a b B = b c d A ndash B = a Komplemen dari himpunan A adalah himpunan yang mengandung semua elemen dalam semesta pembicaraan yang tidak ada di dalam A A = U ndash A Contoh

U = N B = 250 251 252 hellip B = 0 1 2 hellip 248 249

11Bagaimana membuktikan Acup(BcapC) = (AcupB)cap(AcupC)Cara I xisinAcup(BcapC) hArrxisinA or xisin(BcapC) hArrxisinA or (xisinB and xisinC) hArr(xisinA or xisinB) and (xisinA or xisinC) (hukum distributif untuk logika matematika) hArrxisin(AcupB) and xisin(AcupC) hArrxisin(AcupB)cap(AcupC) Cara II Menggunakan tabel keanggotaan 1 berarti ldquox adalah anggota dari himpunan inirdquo dan 0 berarti ldquox adalah bukan anggota dari himpunan inirdquo

A B C BcapC Acup(BcapC) AcupB AcupC (AcupB)cap(AcupC)

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 1 0

0 1 0 0 0 1 0 0

0 1 1 1 1 1 1 1

1 0 0 0 1 1 1 1

1 0 1 0 1 1 1 1

1 1 0 0 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

12

BAB 3 KERANGKA KERJA DAN PENELITIANMATEMATIKA DISKRIT HIMPUNAN

31 Penggambaran Himpunan Menggunakan Diagram Ven a Misalkan U = 1 2 7 8 A = 1 2 3 5 dan B = 2 5 6 8

Diagram Venn ndash nya

b Notasi Himpunan Bagian Asube B atau A sub B

13c Misalkan A = 2 3 5 7 dan B = a b c d maka A ~ B sebab A

= B = 4Duahimpunan A dan B dikatakansalinglepas (disjoint) jikakeduanyatidakmemilikiunsur yang samaNotasi yang digunakanadalah A B Jikadinyatakandalambentukdiagram Venn adalah sebagai berikut

Contoh JikaA= x|xisinN xlt10 dan B=11 12 13 14 15 maka A iquestB

d Operasi Himpunan1 Irisan ( Intersection )

A cap B=xorxisin A dan xisinB Jika dinyatakan dalam bentuk diagram Venn adalah

A = 1 2 3 4 dan B = 2 4 6 8 A cap B = 2 4

U

A B

142 Gabungan ( Union )AcupB=xorxisin A atau xisinB Jika dinyatakan dalam bentuk diagram Venn adalah

3 Komplement ( complement ) A=xorxisinU dan xnotin A

Jika dinytakan dalam bentuk diagram Venn adalah

4 Selisih ( difference ) A ndash B=xorxisin A dan xnotinB =A cap B

155 Beda Setangkup ( Symmetiric Difference )

AoplusB=(AcupB)ndash ( A cap B)=(A ndash B)cup(B ndash A)

32 Membuat Tabel Himpunan a Struktur Himpunan Mahasiswa Teknik Informatika ( A )

NO KETERANGAN

1 Mhs = M1 M2 M3 helliphelliphelliphellip Mn 2 Mk = Mk1 Mk2 Mk3 helliphelliphelliphellip Mkn

3 Dosen = D1 D2 D3 helliphelliphelliphelliphellip Dn 4 Hari = Senin Selasa Rabu Kamis Jumrsquoat Sabtu Minggu 5 Jam = 08 09 10 11 12 13 14 15 16 helliphelliphellip Dst

6 Ruang = 01 02 03 04 05 06 helliphelliphellip Dst

7 Semester = S1 S2 S3 S4 S5 helliphelliphellip Sn

b Tabel Absensi Himpunan Mahasiswa Teknik Informatika ( A )

NO NAMA MAHASISWA

123456

7

8 `

9

1016

c Struktur Jadwal Mata Kuliah Himpunan Teknik Informatika ( A )

Semester NO Mata Kuliah Dosen Ruang Kelas

Semester 1 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Semester 2 1

2

3

4

5

6

17d Struktur Himpunan Jadwal Kuliah Tiap Semester

Teknik Informatika ( A )

DIAGRAM ( TABEL HIMPUNAN )

Semester 1

NO Mata Kuliah Ruang Kelas Hari Dosen Ruang Jam

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Semester 2


1

2

3

4

1833 Cara Kerja Menghitung suatu Himpunan

a Operasi Terhadap Himpunan Contoh (example ) a N = 0 1 2 3 hellip = Himpunan Bilangan Natural b Z = hellip -3 -2 -1 0 1 2 3 hellip = Himpunan Bilangan Bulat( Integer) c Z+= 1 2 3 hellip = Himpunan IntegerPositif d Q =p qorpisinZ qisinZ qne 0 = Himpunan Bilangan Rasional e R = Himpunan Bilangan nyata ( RealNumbers) f A dan B himpunan g AcupB=xorxisin Aor xisinB h A cap B = x | x isinA and x isin B jika AcapB = maka A dan B disebut

disjoint i A=xorxnotin A =U ndash A di manaU=universal set j A oplusB = x | x isinA oplusx isinB oplus= xor

b Definisi a A dan B merupakan Himpunan b A = Bjika dan hanya jika Elemen ndash Elemen A sama dengan Elemen ndash

Elemen B c A subeBjika dan hanya jika tiap elemen A adalah ElemenB jugaforallx (x isin A

rarrx isinB) catatan subeA dan A subeA d A subBjika AsubeB dan A neB e |A| = ndi mana A Himpunan Berhingga ( Finite Set) (Himpunan A berisi

n obyek yang berbeda) disebut banyaknya anggota ( Cardinality) dari A

c The Power Set S adalah himpunan berhingga dengan n anggotaMaka power set dari S ndash

dinotasikan P(S) ndash adalah himpunandari semua subsetdari S dan |P(S)| = 2n Contoh S = a b c P ( S ) = a b c a b a c b c a b c

d The Cartesian ProductA dan B adalah himpunan maka A Χ B = (a b)| a isin A andb isinB Contoh A = 1 2 B = p q A XB = (1 p) (1 q) (2 p) (2 q) ordered pairs Selanjutnya hellipA XA XA = (1 1 1) (1 1 2) (1 2 1) (1 2 2) A XA XA = (1 1 1) (1 1 2) (1 2 1) (1 2 2) (2 1 1) (2 1 2) (2 2 1) (2 2 2) ordered triples

19e Identitas himpunan

Contoh Buktikan hukum De Morgan A cap B=AcupB BuktiA cap B = x | x notin (A cap B) = x | not ( x isin (A cap B) ) = x | not ( (x isin A) and (x isin B) ) = x | (x notin A) or (x notin B) = x | (x isinA) or(x isinB) = x | x isin(AcupB )

f Representasi Komputer untuk HimpunanU = Universal Setberhingga S = Himpunan

Maka xisin S dinyatakan dengan bit ldquo 1 rdquo dan x notin S dinyatakan dengan bit ldquo 0 rdquo Contoh U = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 S = 1 3 5 7 9 S direpresentasikan dengan 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 Contoh 2 U = semua Huruf Kecil S = a e i o u Representasinya 1000100010 0000100000 10000 0

20BAB 4

HASIL DAN PEMBAHASANHIMPUNAN MATEMATIKA DISKRIT

41 Pembahasan ( Prinsip Inklusi ndash Eksklusi ) a Pembahasan Prinsip Inklusi

| A cup B | = | A | + | B | ndash | A cap B | | A cup B cup C | = | A | + | B | + | C | ndash|A cap B | ndash | A cap C | ndash | B cap C| + | A cap B cap C| |A cupB cupC cupD| = | A | + | B | + | C | + |D| ndash|A cap B | ndash | A cap C | ndash | A cap D| ndash|B cap C | ndash | B cap D | ndash | C cap D| + | A cap B cap C | + | A cap B cap D| + | A cap C cap D | + | B cap C cap D| ndash | A cap B cap C cap D| ContohRosen Halaman 456 no7 Dari survei terhadap 270 orang di dapatkan hasil sbb 1 64 Suka Donat 2 94 Suka Bolu 3 58 Suka Kacang 4 26 Suka Donat dan Bolu 5 28 Suka Donat dan Kacang 6 22 Suka Bolu dan Kacang 7 14 Suka Ketiga jenis Makanan tersebut

b Pembahasan Prinsip Eksklusi Berapa orang tidak suka makan semua jenis makanan yang disebutkan di atas A = orang yang suka donat B = orang yang suka bolu C = orang yang suka kacang |A cupB cupC| = |A| + |B| + |C| ndash|A capB| ndash|A capC| ndash | B cap C| + | A cap B cap C| = 64 + 94 + 58 ndash26 ndash28 ndash22+ 14 = 154 Jadi mereka yang tidak suka ketiga jenis makanan tersebut ada sebanyak 270 ndash154 = 116 orang jenis sayur

2142 Hasil ( Prinsip Inklusi ndash Eksklusi )

a Hasil Prinsip Inklusi

1 64 suka Donat 2 26 suka Donat dan

Bolu 3 94 suka Bolu 4 28 suka Donat dan

Kacang 5 14 suka Ketiga

Jenis Makanan Tersebut

6 22 suka Bolu dan Kacang

7 58 suka Kacang

b Hasil Prinsip Eksklusi



Kacang 5 14 suka Ketiga Jenis

Makanan Tersebut 6 22 suka Bolu dan

Kacang 7 58 suka Kacang

KETERANGAN RUMUS

Yang tidak suka Makanan =270 ndash 24 ndash 12 ndash 60 ndash 14 ndash 14 ndash 8 ndash 22 = 116

a + b + d + e = 64 b + c + e + f = 94d + e + f + g = 58 b + e = 26 d + e = 28 e + f = 22 e = 14

22BAB 5

RINGKASAN DAN KESIMPULANHIMPUNAN MATEMATIKA DISKRIT

RINGKASAN PENYAJIAN HIMPUAN ( Keanggotaan Himpunan ) a Untuk menyatakan keanggotaan dapatmenggunakan simbol isin b Untuk menyatakan bukan keanggotaandapat menggunakan simbol notin c Contoh d A = 1 2 3 4 5 6 isinA notinA e Anggota himpunan dapat berupahimpunan lain

A = 3 4 5 B = 1 2 3 4 5 6 A isinB

f x = x | x adalah himp bilangan positif lebihkecil dari 5 g sehingga dapat ditulisx = x | x isin P x lt 5 h x adalah bil rasional dapat ditulisx = ab | a b isin Z b ne 0

KESIMPULAN Dari contoh ndash contoh yang diberikan maka dapat kita simpulkan bahwa

Setiap ekspresi logis dapat ditransformasikan ke dalam ekspresi ekivalen dalam teori himpunan dan begitu pula sebaliknya

DAFTAR PUSTAKA

1 informatikasteiitbacid ( Rinaldi Munir ) 2 matematikadiskritblogspotcom ( 201211 ) Teori Himpunan Matematika Diskrit 3 besmartunyacid ( mod resource view ) php Matematika Diskrit 4 matematikadiskritblogspotcom ( 201211 ) Teori Himpunan Matematika Diskrit 5 httpsunmtidung13gnomiocom ( mod resource view ) 6 https unmtidung 13 gnomiocom ( mod resource view ) 7 wwwslidesharenet ( Kuliah Kita Matematika diskrit amp Himpunan Matematika )

23

KATA PENGANTAR

Assalamursquoalaikum Warahmatullahi Wabarakatuh

Alhamdulillahirabilrsquoalamin banyak nikmat yang allah berikan tetapi sedikit sekali yang kita ingat Segala puji hanya layak untuk allah tuhan Semesta Alam atas segala Berkat Rahmat Taufik serta Hidayah ndash nya tiada terkira besarnya sehingga Penulis dapat Makalah dan Laporan yang berjudul ldquo Macam ndash Macam Himpunan Matematika Diskrit ldquo

Dalam Penyusunan ndash nya Penulis memeperoleh banyak bantuan dari berbagai Pihak karena itu Penulis mengucapkan banyak terima kasih yang Sebesar ndash besarnya Kepada

Kedua Orang tua dan Segenap Keluarga Penulis yang telah memberikan Dukungan Kasih Sayang dan Kepercayaan yang begitu Besar Dari sanalah Kesuksesan ini Berawal Semoga semua ini bisa memberikan sedikit Manfaat Kebahagiaan dan Menuntun pada Langkah yang lebih baik lagi

Dalam Buku Makalah dan Laporan ini Membahas Mengenai bagaimana cara ndash nya Kita dapat Berhitung dengan Cepat Baik dan Benar Bahkan Kita juga harus Mengetahui Cukup Tahu dan Mengenal betul Ciri ndash ciri dan Macam ndash macam Himpunan Matematika ini Juga Kita diajarkan untuk bisa dan dapat Membedakan mana Bilangan Positif dan Negatif juga sebaliknya mana Bilangan Bulat dan mana yang bukan Bilangan Bulat

Meskipun Penulis berharap isi Makalah dan Laporan ini bebas dari Kekurangan dan Kesalahan namun selalu ada yang Kurang Oleh karena itu Penulis mengharapkan Kritik dan Saran yang membangun agar Makalah dan Laporan ini dapat lebih baik lagi

i

DAFTAR ISI










ii












iii

BAB 1 PENDAHULUAN








1













2








3Contoh 13




















5c) Pernyataan








6



















NO KETERANGAN


DualnyaA cap U = A


A cup U = U




DualnyaA cap A = A












U = empty8























CB

A

10










0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 1 0

0 1 0 0 0 1 0 0

0 1 1 1 1 1 1 1

1 0 0 0 1 1 1 1

1 0 1 0 1 1 1 1

1 1 0 0 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

12










A = 1 2 3 4 dan B = 2 4 6 8 A cap B = 2 4

U

A B








NO KETERANGAN






NO NAMA MAHASISWA

123456

7

8 `

9

1016



Semester 1 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Semester 2 1

2

3

4

5

6




Semester 1


1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Semester 2


1

2

3

4















20BAB 4












7 58 suka Kacang







KETERANGAN RUMUS



22BAB 5



A = 3 4 5 B = 1 2 3 4 5 6 A isinB




DAFTAR PUSTAKA


23

DAFTAR ISI










ii












iii

BAB 1 PENDAHULUAN








1













2








3Contoh 13




















5c) Pernyataan








6



















NO KETERANGAN


DualnyaA cap U = A


A cup U = U




DualnyaA cap A = A












U = empty8























CB

A

10










0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 1 0

0 1 0 0 0 1 0 0

0 1 1 1 1 1 1 1

1 0 0 0 1 1 1 1

1 0 1 0 1 1 1 1

1 1 0 0 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

12










A = 1 2 3 4 dan B = 2 4 6 8 A cap B = 2 4

U

A B








NO KETERANGAN






NO NAMA MAHASISWA

123456

7

8 `

9

1016



Semester 1 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Semester 2 1

2

3

4

5

6




Semester 1


1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Semester 2


1

2

3

4















20BAB 4












7 58 suka Kacang







KETERANGAN RUMUS



22BAB 5



A = 3 4 5 B = 1 2 3 4 5 6 A isinB




DAFTAR PUSTAKA


23












iii

BAB 1 PENDAHULUAN








1













2








3Contoh 13




















5c) Pernyataan








6



















NO KETERANGAN


DualnyaA cap U = A


A cup U = U




DualnyaA cap A = A












U = empty8























CB

A

10










0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 1 0

0 1 0 0 0 1 0 0

0 1 1 1 1 1 1 1

1 0 0 0 1 1 1 1

1 0 1 0 1 1 1 1

1 1 0 0 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

12










A = 1 2 3 4 dan B = 2 4 6 8 A cap B = 2 4

U

A B








NO KETERANGAN






NO NAMA MAHASISWA

123456

7

8 `

9

1016



Semester 1 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Semester 2 1

2

3

4

5

6




Semester 1


1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Semester 2


1

2

3

4















20BAB 4












7 58 suka Kacang







KETERANGAN RUMUS



22BAB 5



A = 3 4 5 B = 1 2 3 4 5 6 A isinB




DAFTAR PUSTAKA


23

BAB 1 PENDAHULUAN








1













2








3Contoh 13




















5c) Pernyataan








6



















NO KETERANGAN


DualnyaA cap U = A


A cup U = U




DualnyaA cap A = A












U = empty8























CB

A

10










0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 1 0

0 1 0 0 0 1 0 0

0 1 1 1 1 1 1 1

1 0 0 0 1 1 1 1

1 0 1 0 1 1 1 1

1 1 0 0 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

12










A = 1 2 3 4 dan B = 2 4 6 8 A cap B = 2 4

U

A B








NO KETERANGAN






NO NAMA MAHASISWA

123456

7

8 `

9

1016



Semester 1 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Semester 2 1

2

3

4

5

6




Semester 1


1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Semester 2


1

2

3

4















20BAB 4












7 58 suka Kacang







KETERANGAN RUMUS



22BAB 5



A = 3 4 5 B = 1 2 3 4 5 6 A isinB




DAFTAR PUSTAKA


23













2








3Contoh 13




















5c) Pernyataan








6



















NO KETERANGAN


DualnyaA cap U = A


A cup U = U




DualnyaA cap A = A












U = empty8























CB

A

10










0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 1 0

0 1 0 0 0 1 0 0

0 1 1 1 1 1 1 1

1 0 0 0 1 1 1 1

1 0 1 0 1 1 1 1

1 1 0 0 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

12










A = 1 2 3 4 dan B = 2 4 6 8 A cap B = 2 4

U

A B








NO KETERANGAN






NO NAMA MAHASISWA

123456

7

8 `

9

1016



Semester 1 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Semester 2 1

2

3

4

5

6




Semester 1


1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Semester 2


1

2

3

4















20BAB 4












7 58 suka Kacang







KETERANGAN RUMUS



22BAB 5



A = 3 4 5 B = 1 2 3 4 5 6 A isinB




DAFTAR PUSTAKA


23








3Contoh 13




















5c) Pernyataan








6



















NO KETERANGAN


DualnyaA cap U = A


A cup U = U




DualnyaA cap A = A












U = empty8























CB

A

10










0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 1 0

0 1 0 0 0 1 0 0

0 1 1 1 1 1 1 1

1 0 0 0 1 1 1 1

1 0 1 0 1 1 1 1

1 1 0 0 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

12










A = 1 2 3 4 dan B = 2 4 6 8 A cap B = 2 4

U

A B








NO KETERANGAN






NO NAMA MAHASISWA

123456

7

8 `

9

1016



Semester 1 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Semester 2 1

2

3

4

5

6




Semester 1


1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Semester 2


1

2

3

4















20BAB 4












7 58 suka Kacang







KETERANGAN RUMUS



22BAB 5



A = 3 4 5 B = 1 2 3 4 5 6 A isinB




DAFTAR PUSTAKA


23











5c) Pernyataan








6



















NO KETERANGAN


DualnyaA cap U = A


A cup U = U




DualnyaA cap A = A












U = empty8























CB

A

10










0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 1 0

0 1 0 0 0 1 0 0

0 1 1 1 1 1 1 1

1 0 0 0 1 1 1 1

1 0 1 0 1 1 1 1

1 1 0 0 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

12










A = 1 2 3 4 dan B = 2 4 6 8 A cap B = 2 4

U

A B








NO KETERANGAN






NO NAMA MAHASISWA

123456

7

8 `

9

1016



Semester 1 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Semester 2 1

2

3

4

5

6




Semester 1


1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Semester 2


1

2

3

4















20BAB 4












7 58 suka Kacang







KETERANGAN RUMUS



22BAB 5



A = 3 4 5 B = 1 2 3 4 5 6 A isinB




DAFTAR PUSTAKA


23

6



















NO KETERANGAN


DualnyaA cap U = A


A cup U = U




DualnyaA cap A = A












U = empty8























CB

A

10










0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 1 0

0 1 0 0 0 1 0 0

0 1 1 1 1 1 1 1

1 0 0 0 1 1 1 1

1 0 1 0 1 1 1 1

1 1 0 0 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

12










A = 1 2 3 4 dan B = 2 4 6 8 A cap B = 2 4

U

A B








NO KETERANGAN






NO NAMA MAHASISWA

123456

7

8 `

9

1016



Semester 1 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Semester 2 1

2

3

4

5

6




Semester 1


1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Semester 2


1

2

3

4















20BAB 4












7 58 suka Kacang







KETERANGAN RUMUS



22BAB 5



A = 3 4 5 B = 1 2 3 4 5 6 A isinB




DAFTAR PUSTAKA


23






NO KETERANGAN


DualnyaA cap U = A


A cup U = U




DualnyaA cap A = A












U = empty8























CB

A

10










0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 1 0

0 1 0 0 0 1 0 0

0 1 1 1 1 1 1 1

1 0 0 0 1 1 1 1

1 0 1 0 1 1 1 1

1 1 0 0 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

12










A = 1 2 3 4 dan B = 2 4 6 8 A cap B = 2 4

U

A B








NO KETERANGAN






NO NAMA MAHASISWA

123456

7

8 `

9

1016



Semester 1 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Semester 2 1

2

3

4

5

6




Semester 1


1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Semester 2


1

2

3

4















20BAB 4












7 58 suka Kacang







KETERANGAN RUMUS



22BAB 5



A = 3 4 5 B = 1 2 3 4 5 6 A isinB




DAFTAR PUSTAKA


23


U = empty8























CB

A

10










0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 1 0

0 1 0 0 0 1 0 0

0 1 1 1 1 1 1 1

1 0 0 0 1 1 1 1

1 0 1 0 1 1 1 1

1 1 0 0 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

12










A = 1 2 3 4 dan B = 2 4 6 8 A cap B = 2 4

U

A B








NO KETERANGAN






NO NAMA MAHASISWA

123456

7

8 `

9

1016



Semester 1 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Semester 2 1

2

3

4

5

6




Semester 1


1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Semester 2


1

2

3

4















20BAB 4












7 58 suka Kacang







KETERANGAN RUMUS



22BAB 5



A = 3 4 5 B = 1 2 3 4 5 6 A isinB




DAFTAR PUSTAKA


23












CB

A

10










0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 1 0

0 1 0 0 0 1 0 0

0 1 1 1 1 1 1 1

1 0 0 0 1 1 1 1

1 0 1 0 1 1 1 1

1 1 0 0 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

12










A = 1 2 3 4 dan B = 2 4 6 8 A cap B = 2 4

U

A B








NO KETERANGAN






NO NAMA MAHASISWA

123456

7

8 `

9

1016



Semester 1 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Semester 2 1

2

3

4

5

6




Semester 1


1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Semester 2


1

2

3

4















20BAB 4












7 58 suka Kacang







KETERANGAN RUMUS



22BAB 5



A = 3 4 5 B = 1 2 3 4 5 6 A isinB




DAFTAR PUSTAKA


23

10










0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 1 0

0 1 0 0 0 1 0 0

0 1 1 1 1 1 1 1

1 0 0 0 1 1 1 1

1 0 1 0 1 1 1 1

1 1 0 0 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

12










A = 1 2 3 4 dan B = 2 4 6 8 A cap B = 2 4

U

A B








NO KETERANGAN






NO NAMA MAHASISWA

123456

7

8 `

9

1016



Semester 1 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Semester 2 1

2

3

4

5

6




Semester 1


1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Semester 2


1

2

3

4















20BAB 4












7 58 suka Kacang







KETERANGAN RUMUS



22BAB 5



A = 3 4 5 B = 1 2 3 4 5 6 A isinB




DAFTAR PUSTAKA


23




0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 1 0

0 1 0 0 0 1 0 0

0 1 1 1 1 1 1 1

1 0 0 0 1 1 1 1

1 0 1 0 1 1 1 1

1 1 0 0 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

12










A = 1 2 3 4 dan B = 2 4 6 8 A cap B = 2 4

U

A B








NO KETERANGAN






NO NAMA MAHASISWA

123456

7

8 `

9

1016



Semester 1 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Semester 2 1

2

3

4

5

6




Semester 1


1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Semester 2


1

2

3

4















20BAB 4












7 58 suka Kacang







KETERANGAN RUMUS



22BAB 5



A = 3 4 5 B = 1 2 3 4 5 6 A isinB




DAFTAR PUSTAKA


23

12










A = 1 2 3 4 dan B = 2 4 6 8 A cap B = 2 4

U

A B








NO KETERANGAN






NO NAMA MAHASISWA

123456

7

8 `

9

1016



Semester 1 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Semester 2 1

2

3

4

5

6




Semester 1


1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Semester 2


1

2

3

4















20BAB 4












7 58 suka Kacang







KETERANGAN RUMUS



22BAB 5



A = 3 4 5 B = 1 2 3 4 5 6 A isinB




DAFTAR PUSTAKA


23






A = 1 2 3 4 dan B = 2 4 6 8 A cap B = 2 4

U

A B








NO KETERANGAN






NO NAMA MAHASISWA

123456

7

8 `

9

1016



Semester 1 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Semester 2 1

2

3

4

5

6




Semester 1


1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Semester 2


1

2

3

4















20BAB 4












7 58 suka Kacang







KETERANGAN RUMUS



22BAB 5



A = 3 4 5 B = 1 2 3 4 5 6 A isinB




DAFTAR PUSTAKA


23








NO KETERANGAN






NO NAMA MAHASISWA

123456

7

8 `

9

1016



Semester 1 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Semester 2 1

2

3

4

5

6




Semester 1


1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Semester 2


1

2

3

4















20BAB 4












7 58 suka Kacang







KETERANGAN RUMUS



22BAB 5



A = 3 4 5 B = 1 2 3 4 5 6 A isinB




DAFTAR PUSTAKA


23

9

1016



Semester 1 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Semester 2 1

2

3

4

5

6




Semester 1


1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Semester 2


1

2

3

4















20BAB 4












7 58 suka Kacang







KETERANGAN RUMUS



22BAB 5



A = 3 4 5 B = 1 2 3 4 5 6 A isinB




DAFTAR PUSTAKA


23




Semester 1


1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Semester 2


1

2

3

4















20BAB 4












7 58 suka Kacang







KETERANGAN RUMUS



22BAB 5



A = 3 4 5 B = 1 2 3 4 5 6 A isinB




DAFTAR PUSTAKA


23















20BAB 4












7 58 suka Kacang







KETERANGAN RUMUS



22BAB 5



A = 3 4 5 B = 1 2 3 4 5 6 A isinB




DAFTAR PUSTAKA


23








7 58 suka Kacang







KETERANGAN RUMUS



22BAB 5



A = 3 4 5 B = 1 2 3 4 5 6 A isinB




DAFTAR PUSTAKA


23



22BAB 5



A = 3 4 5 B = 1 2 3 4 5 6 A isinB




DAFTAR PUSTAKA


23

himpunan matematika diskrit

Data & Analytics