analisis model penyebaran penyakit hepatitis b dalam tubuh dengan mengaplikasikan...

ADLN – PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS AIRLANGGA

SKRIPSI ANALISIS MODEL PENYEBARAN… RESA ARDEO KUSUMA

ANALISIS MODEL PENYEBARAN PENYAKIT HEPATITIS B DALAM

TUBUH DENGAN MENGAPLIKASIKAN KONTROL OPTIMAL

SKRIPSI

RESA ARDEO KUSUMA

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS AIRLANGGA

SURABAYA

2016


SKRIPSI ANALISIS MODEL PENYEBARAN… RESA ARDEO KUSUMA i

ANALISIS MODEL PENYEBARAN PENYAKIT HEPATITIS B DALAM

TUBUH DENGAN MENGAPLIKASIKAN KONTROL OPTIMAL

SKRIPSI

RESA ARDEO KUSUMA

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS AIRLANGGA

SURABAYA

2016


SKRIPSI ANALISIS MODEL PENYEBARAN… RESA ARDEO KUSUMA ii


SKRIPSI ANALISIS MODEL PENYEBARAN… RESA ARDEO KUSUMA iii


SKRIPSI ANALISIS MODEL PENYEBARAN… RESA ARDEO KUSUMA iv

PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI

Skripsi ini tidak dipublikasikan, namun tersedia di perpustakaan dalam

lingkungan Universitas Airlangga, diperkenankan untuk dipakai sebagai referensi

kepustakaan, tetapi pengutipan harus seizin penulis dan harus menyebutkan

sumbernya sesuai kebiasaan ilmiah. Dokumen skripsi ini merupakan hak milik

Universitas Airlangga.


SKRIPSI ANALISIS MODEL PENYEBARAN… RESA ARDEO KUSUMA v


SKRIPSI ANALISIS MODEL PENYEBARAN… RESA ARDEO KUSUMA vi

KATA PENGANTAR

Alhamdulillahirabbil’alamin. Segala puji syukur penulis panjatkan kepada

Allah SWT karena hanya dengan rahmat dan karunia-Nya, sehingga skripsi yang

berjudul “Analisis Model Penyebaran Penyakit Hepatitis B Dalam Tubuh Dengan

Mengaplikasikan Kontrol Optimal”ini dapat diselesaikan dengan baik. Shalawat

serta salam bahagia semoga senantiasa tercurahkan kepada junjungan kita, Nabi

Besar Muhammad SAW, pemimpin sekaligus suri tauladan yang paling baik bagi

kehidupan umat manusia.

Ucapan terima kasih disampaikan kepada :

1. Universitas Airlangga yang telah memberikan kesempatan kepada penulis

untuk menuntut ilmu.

2. Direktorat Jendral Pendidikan Tinggi Kementerian Pendidikan dan

Kebudayaan yang telah memberikan Beasiswa Bidik Misi.

3. Badrus Zaman, S.Kom., M.Cs. selaku Ketua Departemen Matematika

Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga.

4. Dr. Mohammad Imam Utoyo,M.Si selaku KoordinatorProgram Studi S1

Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga.

5. Dr. Windarto, M.Si selaku dosen wali yang selalu memberikan masukan

inspirasi dalam perkuliahan dan selaku dosen pembimbing II yang senantiasa


SKRIPSI ANALISIS MODEL PENYEBARAN… RESA ARDEO KUSUMA vii

penuh kesabaran, ketelitian, keramahan, dalam memberikan bimbingan berupa

ilmu, arahan, waktu, serta semangat.

6. Dr. Fatmawati, M.Si selaku dosen pembimbing I yang senantiasa penuh

kesabaran, ketelitian, keramahan, dalam memberikan bimbingan berupa ilmu,

arahan, waktu, serta semangat.

7. Dr. Mohammad Imam Utoyo, M.Si selaku dosen penguji I dan Abudullah

Jaelani, S.Si, M.Si selaku dosen penguji II yang telah memberi saran yang

membangun.

8. Seluruh dosen di Universitas Airlangga, lebih khususnya di Departemen

Matematika yang telah menyampaikan ilmunya tanpa pamrih dan tak kenal

lelah.

9. Yang tercinta Ibu saya Kusmawati dan Nenek saya Soeniah serta Adik tercinta

sayaArdino Putra Pramudiayang selalu memberikan dukungan, semangat, doa

dan kasih sayangnya.

10. Akbar, Alif, Fahrul, Robert, Sri Wigantono, Syifaul Janan, Tuhfatul Janan,

dan Zainul Millah yang merupakan teman kos.

11. Adi, Ajeng, Alfian, Baim, Cakra, Dewi, Ellyza,Fandi, Firdha, Ghanda, Ibnu,

Rizki Fajar, Rima, Sri, Tiar, Tito, dan Ubaid yang telah mengajarkan arti

sahabat selama ini.

12. Teman-teman seperjuangan mahasiswa Matematika angkatan 2012 atas

dukungan dan kebersamaannya selama ini.

13. Semua pihak yang tidak dapat Penyusun sebutkan seluruhnya yang telah

membantu dalam penyusunan skripsi.


SKRIPSI ANALISIS MODEL PENYEBARAN… RESA ARDEO KUSUMA viii

Penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat sebagai bahan

pustaka dan penambah informasi khususnya bagi mahasiswa Universitas

Airlangga. Penulis menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini, kemungkinan

masih terdapat kekurangan sehingga saran dan kritik yang membangun sangat

diharapkan untuk penulisan berikutnya.

Surabaya, 22 April 2016

Resa Ardeo Kusuma


SKRIPSI ANALISIS MODEL PENYEBARAN… RESA ARDEO KUSUMA ix

Resa Ardeo Kusuma, 2016, Analisis Model Penyebaran Penyakit Hepatitis B

Dalam Tubuh dengan Mengaplikasikan Kontrol Optimal. Skripsi ini dibawah bimbingan Dr. Fatmawati, M.Si.dan Dr. Windarto, M.Si. DepartemenMatematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Airlangga, Surabaya.

ABSTRAK

Hepatitis B adalah penyakit yang disebabkan oleh virus Hepatitis B suatu anggota famili Hepadnavirus. Penyakit ini dapat menyebabkan kematian jika tidak ditangani secara serius. Penyakit ini dapat dicegah dengan cara pemberian obat antiviral. Ada beberapa macam jenis obat antiviral, salah satu jenis obat antiviral Hepatitis B adalah Entecavir. Penyebaran penyakit Hepatitis B dalam tubuh telah dikaji dalam berbagai bidang, salah satunya bidang matematika yaitu menggunakan model matematika. Dalam skripsi ini dilakukan analisis model matematika penyebaran penyakit Hepatitis B tanpa dan dengan adanya pengobatan antiviral. Model matematika penyebaran penyakit Hepatitis B tanpa pengontrol mempunyai dua titik setimbang yaitu titik setimbang non endemik dan titik setimbang endemik . Selain itu, dapat ditentukan besaran Basic Reproduction Ratio yang merupakan tolak ukur terjadinya endemic penyakit Hepatitis B pada model matematika penyebaran penyakit Hepatitis B tanpa pengontrol. Titik setimbang non endemik bersifat stabil asimtotis jika . Titik setimbang endemik akan ada dan cenderung stabil asimtotis jika . Pada model matematika penyebaran penyakit Hepatitis B dengan pengontrol, dapat ditentukan profil pengontrol optimal menggunakan Prinsip Maksimum Pontryagin. Hasil simulasi numerik menunjukkan bahwa pemberian kontrol cukup efektif untuk meminimalkan jumlah sel hepatosit dengan biaya minimal. Kata Kunci :Model matematika, hepatitis B, obat antiviral, kestabilan, kontrol

optimal.


SKRIPSI ANALISIS MODEL PENYEBARAN… RESA ARDEO KUSUMA x

Resa Ardeo Kusuma, 2016, The Analysis of Hepatitis B Disease Model in a

Human Body by Applying Optimal Control. This undergraduate thesis is under the advisors of Dr. Fatmawati, M.Si. dan Dr. Windarto, M.Si. Department of Matematics, Faculty of Science and Technology, UniversitasAirlangga, Surabaya.

ABSTRACT

Hepatitis B is a disease caused by Hepatitis B virus as family of Hepadnavirus. This type of disease may cause death if it does not handle seriously. Hepatitis B could be prevented by giving the antiviral medicine. There are several types of antiviral medication. One type of the antiviral for Hepatitis B is Entecavir. Several branch of science have studied about the spread of hepatitis B. By using a mathematical model, the dynamic of Hepatitis B could be learned.

In this undergraduate thesis, we analyzes a mathematical model of Hepatitis B spread. The model has two equilibria, namely disease free equilibrium and endemic equilibrium . In addition, Basic Reproduction Ratio ( ) which is a measure of endemic hepatitis B of the model could be determined. The disease free equilibrium is asymptotically stable if . The endemic equilibrium tend to asymptotically stable if . We also determined profile of optimal control (in the form of antiviral medicine) by using Pontryagin Maximum principle. The result of numerical simulation shows that applying of antiviral treatment is effective for minimizing amount of the infected hepatocytes cell with minimal cost.

Keywords: Mathematical model, hepatitis B, antiviral medicine, stability,optimal control.


SKRIPSI ANALISIS MODEL PENYEBARAN… RESA ARDEO KUSUMA xi

DAFTAR ISI

Halaman

LEMBAR JUDUL ........................................................................................... i

LEMBAR PERNYATAAN ............................................................................. ii

LEMBAR PENGESAHAN NASKAH SKRIPSI ............................................ iii

LEMBAR PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI ........................................ iv

SURAT PERNYATAAN TENTANG ORSINALITAS..................... ............ v

KATA PENGANTAR..................... ................................................................ vi

ABSTRAK ....................................................................................................... viii

ABSTRACT ..................................................................................................... ix

DAFTAR ISI.. .................................................................................................. x

DAFTAR TABEL ............................................................................................ xii

DAFTAR GAMBAR ....................................................................................... xiii

DAFTAR LAMPIRAN .................................................................................... xiv

BAB I PENDAHULUAN ............................................................................... 1

1.1. Latar Belakang ............................................................................. 1

1.2. Rumusan Masalah ........................................................................ 3

1.3. Tujuan .......................................................................................... 4

1.4. Manfaat ....................................................................................... 4

1.5. Batasan Masalah.......................................................................... 4

BAB II TINJAUAN PUSTAKA ..................................................................... 5

2.1. Virus Hepatitis B .......................................................................... 5

2.2. Hepatitis B .................................................................................... 6

2.3. Sistem Persamaan Differensial ................................................... 7


SKRIPSI ANALISIS MODEL PENYEBARAN… RESA ARDEO KUSUMA xii

2.4. Basic Reproduction Number ............................................... 9

2.5. Kestabilan Sistem Linear ............................................................ 10

2.6. Kriteria Routh-Hurwitz .............................................................. 12

2.7. Masalah Kontrol Optimal ............................................................ 14

2.8. Prinsip Maksimum Pontryagin .................................................... 15

BAB III METODOLOGI PENELITIAN ....................................................... 18

BAB IV PEMBAHASAN ............................................................................... 20

4.1. Model Matematika Penyebaran Penyakit Hepatitis B Dalam

Tubuh Tanpa Kontrol Optimal ..................................................... 20

4.1.1. Titik Setimbang Model .................................................... 23

4.1.2. Analisis Kestabilan Titik Setimbang ............................... 25

4.1.2.1 Kestabilan Asimtotis Lokal Titik Setimbang

Bebas virus 26

4.1.2.2 Kestabilan Asimtotis Lokal Titik Setimbang

Endemik 28

4.2. Model Matematika Penyebaran Penyakit Hepatitis B dengan

Kontrol Optimal ........................................................................... 31

4.2.1Simulasi Numerik ............................................................... 36

BAB V PENUTUP .......................................................................................... 42

5.1 Kesimpulan .................................................................................. 42

5.2 Saran ............................................................................................. 43

DAFTAR PUSTAKA ...................................................................................... 44

LAMPIRAN


SKRIPSI ANALISIS MODEL PENYEBARAN… RESA ARDEO KUSUMA xiii

DAFTAR TABEL

Nomor Judul Tabel Halaman

4.1 Variabel dan parameter dalam model matematika

penyebaran penyakit Hepatitis B dalam tubuh 20

4.2 Nilai awal untuk bidang fase 28

4.3 Nilai parameter model matematika penyebaran penyakit

Hepatitis B 28

4.4 Keterangan parameter-parameter tambahan pada model

matematika penyakit Hepatitis B dalam tubuh dengan

pemberian obat antiviral 30

4.5 Perbandingan jumlah populasi sel hepatosit sehat pada

waktu akhir pengamatan 37

4.6 Perbandingan jumlah populasi sel hepatosit terinfeksi

pada waktu akhir pengamatan 38

4.7 Perbandingan jumlah populasi virus Hepatitis B di kapsid


4.8 Perbandingan jumlah populasi virus Hepatitis B di virion



SKRIPSI ANALISIS MODEL PENYEBARAN… RESA ARDEO KUSUMA xiv

DAFTAR GAMBAR

Nomor Judul Gambar Halaman

4.1 Diagram transmisi penyebaran penyakit Hepatitis B di

dalam tubuh

21

4.2 Grafik bidang fase populasi sel hepatosit sehat

terhadap populasi sel hepatosit terinfeksi pada model

matematika penyebaran penyakit Hepatitis B untuk titik

setimbang 29

4.3 Dinamika populasi sel hepatosit sehat 36

4.4 Dinamika populasi sel hepatosit terinfeksi 37

4.5 Dinamika populasi Virus Hepatitis B di kapsid 38

4.6 Dinamika populasi Virus Hepatitis B di virion 39

4.7 Grafik kontrol 40


SKRIPSI ANALISIS MODEL PENYEBARAN… RESA ARDEO KUSUMA xv

DAFTAR LAMPIRAN

Nomor Judul Lampiran

1. Perhitungan Titik Setimbang Bebas Virus

2. Perhitungan Titik Setimbang Endemik

3. Pencarian Persamaan KarakteristikPada Titik Setimbang Bebas

Virus

4. Pencarian Persamaan KarakteristikPada Titik Setimbang Endemik

5. Kode Program Maple Grafik Bidang Fase pada Titik Setimbang

Endemik

6. Program MATLAB untuk Model Penyebaran Penyakit Hepatitis B

tanpa Pengontrol

7. Skrip M-File toolbox DOTcvp pada MATLAB untuk Model

Penyebaran Penyakit Hepatitis B dengan Pengontrol

analisis model penyebaran penyakit hepatitis b dalam tubuh dengan mengaplikasikan...

Documents