model matematika sacr penyebaran virus hepatitis c

8/17/2019 Model Matematika Sacr Penyebaran Virus Hepatitis c

1/44

MODEL MATEMATIKA SACR PENYEBARAN VIRUS HEPATITIS C

PADA PENGGUNA NARKOBA SUNTIK

Disusun oleh:

Zul!"#i$%&'%&()

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

*URUSAN MATEMATIKA

+AKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI PADANG

&'%,


2/44

BAB I

PENDAHULUAN

A- L!.!# Bel!/!n0

Hepatitis merupakan penyakit yang menyerang organ hati manusia.

Di sini hati atau liver mengalami peradangan sehingga membuat fungsi

hati, yang sebagai tempat penyaring racun-racun dalam darah, menjadi

terganggu. Dengan terganggunya fungsi hati tersebut, maka terganggu pula

fungsi organ yang lain, sehingga membuat kesehatan seseorang akan

hancur secara keseluruhan. Akibat lainnya adalah hati menolak darah yang

mengalir sehingga tekanan darah menjadi tinggi dan pecahnya pembuluh

darah. Penyebab kerusakan fungsi hati atau liver ini bisa karena seseorang

mengkonsumsi alkohol secara berlebihan atau karena termakan racun yang

membebani kerja liver dan mengakibatkan fungsi hati menjadi rusak.

Tetapi, pada kebanyakan kasus, hepatitis disebabkan oleh virus yang

ditularkan penderita hepatitis. Ada macam virus hepatitis yang dinamai

sesuai abjad. !elima virus itu adalah virus hepatitis A "#HA$, virus

hepatitis % "#H%$, virus hepatitis & "#H&$, virus hepatitis D "#HD$ dan

virus hepatitis ' "#H'$. #irus-virus ini terus berkembang dan bahkan

diperkirakan sedikitnya masih ada ( virus lagi yang dapat menyebabkan

hepatitis.

)alah satu penyakit hepatitis yang sangat berbahaya adalah

hepatitis &, karena penyakit hepatitis & dapat menjadi kronis dan


3/44

menimbulkan cirrhosis dan lalu kanker hati. Hepatitis & adalah salah satu

jenis penyakit hepatitis yang menginfeksi organ hati. Hepatitis &

disebabkan oleh virus hepatitis & "H$. H pertama kali ditemukan

pada tahun *++, dan menjadi penyebab kasus hepatitis A% "non-A

non-%$ pasca transfusi. amun pada tahun *+, penyakit ini dikenal

sebagai kasus-kasus pasca transfusi. H merupakan jenis virus /A dari

0 keluarga Flaviviridae genus Hepacivirus "Dir1en PP 2P3 !ementrian

!esehatan, 04*0$.

Hepatitis & seringkali tidak memberikan gejala, namun infeksi

kronis dapat menyebabkan parut "eskar$ pada hati, dan setelah menahun

menyebabkan sirosis. Dalam beberapa kasus, orang yang mengalami

sirosis juga mengalami gagal hati, kanker hati, atau pembuluh yang sangat

membengkak di esofagus dan lambung, yang dapat mengakibatkan

perdarahan hingga kematian. )eseorang terutama terkena hepatitis &

melalui kontak darah, penggunaan narkoba suntik, peralatan medis yang

tidak steril, dan transfusi darah. )ekira *(45*4 juta orang di dunia

menderita hepatitis &. Para ilmu6an mulai meneliti H pada tahun

*+4-an, dan memastikan keberadaan virus tersebut pada tahun *++.

#irus Hepatitis & merupakan virus paling berbahaya bila

dibandingkan dengan virus hepatitis yang lainnya, karena 47-47

penderita terinfeksi dapat berkembang menjadi infeksi menahun dan

berkelanjutan menjadi hepatitis kronik. Hepatitis & merupakan penyebab


4/44


5/44

Hepatitis & melalui penggunaan narkoba suntik tergolong cukup besar.

8leh sebab itu, pembahasan mengenai penyebaran virus hepatitis & sangat

penting untuk diperhatikan.

penyakit "carrier $ "!eeling dan

Pejman, 044$. Pada umumnya, model ini dapat diterapkan pada

penyebaran virus Hepatitis &, karena seorang yang terinfeksi "acute


6/44

infection$ virus Hepatitis & bisa berkembang menjadi Hepatitis kronik

maupun akan sembuh dengan sendirinya "meskipun dengan persentase

yang kecil$.

8leh karena itu, pada makalah ini akan dibahas mengenai

pembentukan dan analisa model matematika terhadap penyebaran virus

Hepatitis &.


7/44

0.


8/44

C


9/44

Problem Dunia NyataProblem Matematika Membuat Asumsi

Solusi Dunia NyataInterpretasi Model

Formulasi Persamaan/Pertidaksamaan

Analisis/Penyelesaian Persamaan

Pengujian Model


10/44

*


11/44

pertumbuhan biomasa rumput laut gracillaria dengan carrying capacity

bergantung 6aktu.

Adapun tujuan penyusunan model menurut susanta dan soedijono "*++(

*.;$ adalah, guna

a


12/44

Deinisi )

Persamaan diferensial parsial "PDP$ adalah suatu persamaan yang memuat

turunan parsial dari satu variabel terikat terhadap lebih dari satu variabel

bebas.

"/oss, *++0$

Con.oh &:

∂2u

∂ x2

+∂

2u

∂ y2+

∂2

u

∂ z2

=0

%erdasarkan kelinearan, persamaan diferensial dapat dibagi

menjadi dua, yaitu persamaan diferensial linear dan persamaan diferensial

non linear, seperti yang didefinisikan sebagai berikut

Deinisi 3

)uatu persamaan diferensial linear orde-n, dalam variabel terikat y dan

variabel bebas x, adalah suatu persamaan yang berbentuk

a0 ( x ) d

n y

d xn

+a1( x ) d

n−1 y

d xn−1 +⋯+an−1 ( x )

dy

dx+ an ( x ) y=b ( x)

dimanaa

0≠ 0

.

"/oss, *++($

Persamaan diferensial biasa dikatakan linear jika memenuhi tiga

kondisi berikut "/oss, *++($

*. Turunan atau variabel terikatnya berpangkat satu.

0. Tidak mengandung perkalian antara variabel terikat dengan turunannya.

(. Tidak mengandung fungsi transeden dalam variabel terikat maupun

turunannya.

Con.oh ):


13/44

d2 x

d y2+

dx

dy−2 x=0

Persamaan diferensial yang tidak termasuk kriteria persamaan

diferensial linear disebut persamaan diferensial nonlinear.

Con.oh 3:

d2 y

d x

2+ y

dy

dx+ 6 y=0

&- Sis.e1 Pe#s!1!!n Die#ensi!l

)ebanyak n persamaan diferensial yang saling terkait akan

membentuk suatu sistem yang disebut dengan sistem persamaan

diferensial. )istem persamaan diferensial juga dapat dikelompokkan

berdasarkan bentuk persamaannya, yaitu sistem persamaan diferensial

linear dan sistem persamaan diferensial nonlinear. Definisinya akan

dijelaskan sebagai berikut

Deinisi ,

Diberikan )istem persamaan diferensial linear orde satu berikut

d x

dt =´ x= A x+b (t ) ,

Dimana A adalah matriks koefisien berukuran n x n dan b(t )

fungsi kontinu. )istem tersebut dinamakan sistem persamaan diferensial


14/44

linear orde satu. 1ika b ( t )=0 maka sistem dikatakan homogen dan jika

b(t )≠ 0 maka sistem dikatakan nonhomogen.

"Perko, *++CC4$

Deinisi 4

)istem persamaan diferensial nonlinear orde satu dinyatakan sebagai

berikut´ x=f (t , x)

dengan x=(

x1(t )

x2(t )

⋮

xn(t )) , dan

f 1 (t , x1 , … , xn)n

t , x1

, … , x¿¿¿¿ ⋮

f 2(¿f n(t , x1 , … , xn)¿¿)f ( t , x )=¿

jika f (t , x) fungsi nonlinear pada x1 , … , xn maka sistem disebut

sebagai sistem persamaan diferensial nonlinear.

. Ti.i/ E/uili2#iu1Titik ekuilibrium merupakan titik tetap yang tidak berubah

terhadap 6aktu. )ecara matematis, titik ekuilibrium didefinisikan sebagai

berikut

Deinisi &-5 "9iggins, *++4$


15/44

Diberikan sistem persamaan diferensial x=f(x). itik disebut titik

ekuilibrium dari Sistem x=f(x)!ika memenu"i f(x)=#.

Con.oh &-6

Diberikan sistem persamaan diferensial

{ ´ x1= x1 x2+ x1´ x2=2 x12− x2


16/44

2 x12− x2=0

2− x2=0

x2=2

Diperoleh titik ekuilibrium "-*,0$

)ehingga diperoleh dua titik kesetimbangan yaitu "4,4$ dan "-*,0$.

BAB III

PEMBAHASAN

A. +o#1ul!si Mo"el M!.e1!.i/!

)ecara umum, istilah hepatitis berarti peradangan hati yang

disebabkan virus, bahan kimia, obat-obatan dan alkohol. amun,


17/44


18/44

menggunakan jarum suntik secara bersama-sama akan lebih berisiko untuk

terinfeksi hepatitis &.

Penderita hepatitis & berada dalam fase akut sekitar C-*4 minggu.

)ebagian besar penderita infeksi akut akan berkembang menjadi kronis,

sedangkan sebagian kecil akan sembuh dengan sendirinya ataupun

meninggal. Penderita hepatitis & akut yang berkembang menjadi kronis

akan mengalami sirosis hati "pengerasan hati$ dalam 6aktu *-04 tahun

atau dapat pula menjadi kanker hati setelah 04-(4 tahun, atau akan

meninggal. Hampir semua kematian dari penderita Hepatitis &

berhubungan dengan komplikasi sirosis dan kanker hati, sehingga

kematian karena infeksi virus hepatitis & sangat kecil.

menghilangkan

virus hepatitis & dari dalam tubuh dengan sendirinya. )edangkan individu


19/44

yang termasuk dalam subpopulasi recovered adalah individu yang telah

benar-benar sembuh atau 45 terbebas dari virus hepatitis &.individu yang

mengalami sirosis maupun kanker hati dapat dikatakan telah terbebas dari

virus hepatitis &.

=ntuk mempermudah proses memodelkan penyebaran virus

Hepatitis & khususnya pada pengguna narkoba melalui jarum suntik,

diperlukan asumsiasumsi. %erikut asumsi-asumsi yang digunakan

*. Populasi penduduk bersifat konstan dan tertutup, artinya

bah6a pertambahan atau pengurangan populasi terjadi hanya

karena rekrutmen dan kematian, dimana laju rekrutmen sama

dengan laju kematian,

0. Populasi bersifat homogen, artinya bah6a setiap orang

memiliki resiko yang sama untuk tertular virus dan frekuensi

pengggunaan jarum suntik secara bersama-sama "tidak steril$

adalah konstan,

(. :ndividu yang belum terserang penyakit masuk ke dalam kelas

susceptible,

;. !ematian akibat terinfeksi virus hepatitis & diabaikan, hanya

terjadi kematian alami pada setiap subpopulasi.

$. penyakit menular melalui kontak langsung antara individu

Susceptible dengan individu Acute infection dan atau individu

%"ronic carrier dengan melalui penggunaan jarum suntik yang

tidak steril,

C. individu pada kelas Acute &nfection dapat mengalami

perkembangan infeksi menjadi pemba6a "kronis$ yang

kemudian masuk menjadi individu %"ronic carrier , namun ada


20/44

sebagian kecil yang langsung sembuh masuk ke dalam kelas

'ecovered ,. individu yang telah sembuh dari penyakit Hepatitis &, tidak

akan tertular lagi dan menjadi kebal terhadap virus Hepatitis &.

%erikut ini didefinisikan variabel dan parameter yang digunakan

dalam

model penyebaran virus hepatitis & melalui jarum suntik disajikan dalam

Tabel * berikut

Tabel *. #ariabel dan parameter yang digunakan

Simbol Deenisi

S(t) %anyaknya individu susceptible

A(t) %anyaknya individu acute infection

%(t) %anyaknya individu c"ronic carrier

'(t) %anyaknya individu recovered

(t) %anyaknya individu dalam populasi

laju rekrutmen individu yang selanjutnya masuk menjadi

individu susceptible! 3aju infeksi

k rata-rata laju penggunaan jarum suntik yang tidak steril

ba Peluang transmisi akibat adanya kontak antara individu

susceptible dengan individu acute infection

bc Peluang transmisi akibat adanya kontak antara individu

susceptible dengan individu c"ronic carrier " laju kematian alami

σ 1 tingkat perpindahan individu acute infection menjadi

individu c"ronic carrier

σ 2 tingkat perpindahan individu c"ronic carrier menjadi

individu recovered


21/44

# proporsi acute infection yang menjadi c"ronic carrier

$%& #' proporsi acute infection yang sembuh total "masuk

kompartemen recovered $

%erdasarkan karakteristik penyebaran penyakit dan masalah yang

diasumsikan, dapat dibentuk skema penyebaran hepatitis & pada pengguna

narkoba suntik seperti berikut

%erdasarkan diagram alir diatas dapat dideskripsikan hal-hal yang

mempengaruhi proses penyebaran penyakit Hepatitis & terutama pada

pengguna narkoba suntik

""

!B

A(ute

Ine(tionSus(eptibl

e

(1− ρ)σ 1 ρ σ 1

""

σ 2

)*roni(

(arrier

+e(o,ered


22/44

a. Perubahan banyaknya individu susceptible terhadap 6aktu

Pertambahan banyaknya individu kelas susceptible dipengaruhi

oleh adanya recruitment atau bertambahnya pengguna narkoba suntik per

satuan 6aktu " $. )ementara itu, pengurangan banyaknya individu

dipengaruhi oleh kematian alami dari individu susceptible per satuan

6aktu " *S $ dan banyaknya individu susceptible yang terinfeksi Hepatitis &

per satuan 6aktu " +S $. 8leh karena itu diperoleh persamaan diferensial

berikut I

dS(t )dt

=B− λ S ( t )−µS (t )(3.1)

3aju infeksi per satuan 6aktu dipengaruhi oleh laju kontak yang

berupa penggunaan>peminjamaan alat suntik secara bersama-sama dengan

frekuensirata-rata tertentu ", $, oleh individu susceptible dengan individu

acute infection (ba A( t ) N (t )) dan atau individu c"ronic carrier

(bc C (t ) N (t )) )ecara matematis dapat dinyatakan sebagai berikut

λ (t )=(ba A (t ) N ( t )+bc C (t ) N (t ))

b. Perubahan banyaknya individu Acute infection terhadap 6aktu


23/44

:ndividu susceptible yang mulai terinfeksi virus hepatitis & per satuan

6aktu " +S $ mempengaruhi pertambahan populasi acute infection.

%anyaknya individu yang mati alami per satuan 6aktu " *A$ dan

banyaknya individu yang berubah menjadi individu c"ronic infection per

satuan 6aktu "- A$ mempengaruhi pengurangan populasi acute infection.

)ehingga diperoleh persamaan diferensial berikut

dA ( t )dt

= λS ( t )− ρσ 1 A ( t )−(1− ρ ) σ 1 A ( t )−µA ( t )

¿ λS (t )−σ 1 A (t )−µA (t )(3.2)

c. Perubahan banyaknya individu c"ronic carrier terhadap 6aktu

)elanjutnya, individu yang terinfeksi akut "acute infection$ virus

hepatitis & cukup lama akan berkembang menjadi kronis "c"rinic carrier $,

laju perkembangan per satuan 6aktu " A) ini akan mempengaruhi

bertambahnya populasi c"ronic carrier . Populasi c"ronic carrier

berkurang karena adanya kematian alami individu c"ronic carrier per

satuan 6aktu " *% $ dan adanya individu c"ronic carrier yang bebas dari

virus Hepatitis & per satuan 6aktu "- /% $. Didapat persmaan diferensial

berikut

dC (t )d (t )

= ρσ 1 A ( t )−σ 2

C ( t )− μC ( t )(3.3)

d. Perubahan banyaknya individu recovered terhadap 6aktu

:ndividu acute infection yang telah sembuh total "(01)- A$ dan

individu c"ronic carrier yang bebas dari virus hepatitis & "- /% $ akan

masuk sebagai populasi recovered akan menambah populasi recovered .

)ementara, individu recovered yang mati secara alami akan mengurangi

populasi recovered . Diperoleh persamaan diferensial berikut


24/44

dR(t )dt

=(1− ρ ) σ 1 A ( t )+ σ 2

C (t )−µR ( t )(3.4)

%erdasarkan deskripsi di atas dan dari persamaan "(.*$ 5 "(.;$

maka penyebaran penyakit Hepatitis & pada pengguna narkoba suntik

dapat dimodelkan dalam bentuk sistem persamaan diferensial nonlinear

orde satu seperti berikut

dS(t )

dt =B− λ S (t )−µ S (t )

dA ( t )dt

= λS ( t )−σ 1 A ( t )−µ A ( t )(3.5)

dC (t )d (t )

= ρσ 1 A ( t )−σ 2

C ( t )− μC (t )

dR(t )dt =(1− ρ ) σ 1 A ( t )+ σ 2 C (t )−µ R (t )

dengan laju infeksi per satuan 6aktu adalah

λ (t )=(ba A (t ) N ( t )+bc C (t ) N (t ))

%erdasarkan asumsi pertama, jumlah populasi total konstan>tetap,

sehingga

N (t )=S ( t )+ A (t )+C (t )+ R ( t )(3.6)

)elanjutnya dengan mendiferensialkan persamaan "(.C$, diperoleh

d

d (t ) N (t )=

d

d ( t ) (S (t )+ A (t )+C (t )+ R ( t ) )


25/44


26/44

Dengan λ ( t )=(ba

A (t ) N ( t )

+bcC (t ) N (t )) , dan s ( t )+a ( t )+c ( t )+r (t )=1

%. Ti.i/ E/uili2#iu1

Titik (s2a2c2r) merupakan titik-titik ekuilibrium dari )istem "(.$ jika

memenuhi persamaands

dt +

da

dt +

dc

dt +

dr

dt =0 . Titik-titik ekuilibrium dari sistem

"(.$ disajikan dalam teorema berikut

Teo#e1! )-&-%-

(i) 3ika 4=# 2 maka sistem (5.6) memiliki titik ekuilibrium bebas penyakit yaitu

E0= (s , a , c , r )=(1,0,0,0)

.

.

(ii) 3ika 47#2 maka sistem (5.6) memiliki titik ekuilibrium endemik

E1=( s , a , c , r )

dengan

ŝ= (σ 1+ μ)

k

(ba+bc ρ σ 1(σ 2+ μ) )

â=

μ(k (ba+bc ρ σ 1( σ 2+ μ) )−(σ 1+ μ ))k (ba+ bc ρ σ 1(σ 2+ μ ) )( σ 1+ μ)


27/44

ĉ= ρ σ

1

(σ 2+ μ) â

r̂=( σ 2+ (1− ρ ) μ ) σ 1

μ ( σ 2 + μ) â

%ukti

)istem "(.$ akan mencapai titik ekuilibrium jika

ds(t )dt

=da (t )

dt =

dc( t )dt

=dr (t )

dt =0 , maka )istem "(.$ dapat ditulis

B

N − λs− μs=0

μ− λs− μs=0(3.8)

λs−σ 1 a− μa=0(3.9)

ρ σ 1 a−σ 2 c− μc=0(3.10)

(1− ρ ) σ 1

a+σ 2

c − μr =0(3.11)

Dengan λt =k (ba a+bc c )

"i$ 1ika α =0 , maka dari persamaan "(.*4$ diperoleh

σ

(¿¿ 2+ μ)c=0 ρ σ 1 a−¿


28/44

σ

(¿¿ 2+ μ) c=0

−¿

c=0 (3.12)

%erdasarkan persamaan "(.*0$ diperoleh c = #. 1ika a = # dan c = #, maka dari

persamaan "(.$ diperoleh

μ−( λ+ μ)s=0

μ−(k (ba a+bc c )+ μ)s=0

μ− μs=0

s=1(3.13)

dan dari persamaan "(.**$ diperoleh

(1− ρ ) σ 1

a+σ 2

c − μr =0

− μr =0

r=0(3.14)

8leh karena itu diperoleh titik ekuilibrium bebas penyakit

E0= (s , a , c , r )=(1,0,0,0)

. 1adi terbukti bah6a jika a = # 2 maka sistem "(.$

memiliki titik ekuilibrium bebas penyakit yaitu E

0= (s , a , c , r )=(1,0,0,0)

.


29/44

)elanjutnya, jika 47# "disimbolkan dengan â $, maka dari persamaan

"(.*4$ diperoleh

ρ σ 1

â−σ 2

ĉ− μ ĉ=0

ρ σ 1 â=(σ 2+ μ) ĉ

ĉ=

ρ σ 1

(σ 2+ μ)

â(3.15)

%erdasarkan persamaan "(.*$ diperolehĉ=

ρ σ 1

(σ 2+ μ)

â. 1ika 47# dan

ĉ= ρ σ

1

(σ 2+ μ)

â., maka dari persamaan "(.+$ diperoleh

λ ŝ−σ 1

â− μ â=0

k (ba â+bc ĉ ) ŝ−(σ 1− μ) â=0

k (ba â+bc ĉ= ρ σ 1(σ 2+ μ) â) ŝ−(σ 1− μ) â=0

(k (ba â+ bc ĉ= ρ σ

1

( σ 2+ μ) â) ŝ−( σ 1− μ)) â=0(3.16)

!arena 47# , maka persamaan "(.*C$ menjadi

k (ba â+bc ĉ= ρ σ 1( σ 2+ μ ) â) ŝ−( σ 1− μ)=0


30/44

k

(ba â+bc ĉ=

ρ σ 1

( σ 2+ μ ) â

) ŝ=( σ 1− μ)

ŝ= (σ 1− μ )

k (ba+bc ρ σ 1(σ 2+ μ) )(3.17)

dan dari persamaan "(.**$ diperoleh

(1− ρ ) σ 1

â+σ 2

ĉ− μ r̂=0

(1− ρ ) σ 1

â+σ 2

ρ σ 1

(σ 2+ μ)

â− μ r̂ =0

(1− ρ ) σ 1

â+σ 2

ρ σ 1

(σ 2+ μ)

â= μ r̂

Diperoleh

(1− ρ ) σ 2+ μ

ρ(σ 2+ μ)

r̂=¿$

σ 1

â "(.*$

)ehingga diperoleh titik ekuilibrium endemik E

1=( s , a , c , r )

. Dengan

s , a , c , r seperti pada persamaan "(.*$, "(.C$, "(.*$ dan "(.*$. 1adi terbukti

bah6a , 1ika 47# maka sistem "(.$ memiliki titik ekuilibrium endemik

E1=( s , a , c , r )

. dengan

ŝ= (σ 1− μ )

k

(ba+bc

ρ σ 1

(σ

2

+ μ) )


31/44

ĉ= ρ σ

1

(σ 2+ μ)

â

( 1− ρ ) σ 2+ μ

ρ(σ 2+ μ)

r̂=¿$

σ 1

â

C- Bil!n0!n Re7#o"u/si D!s!# 8 R09

%ilangan reproduksi dasar merupakan harga harapan dari suatu kasus baru

"sekunder$ yang disebabkan oleh individu yang terinfeksi "kasus primer$ dalam

suatu populasi individu rentan. 1ika '# 8 penyakit tidak menyerang populasi,

namun jika '#

9 maka penyakit sangat mungkin untuk menyebar.

Penentuan bilangan reproduksi dasar " '#$ digunakan metode next

generation matrix dari )istem "(.$. Pada model ini, kelas terinfeksi adalah acute

infection dan c"ronic carrier , sehingga persamaan diferensial yang digunakan

sebagai berikut

da

dt

= λs−σ 1

a− μa

dc

dt = ρσ

1a−σ

2c− μc

maka diperoleh

=[ λs0 ]=[k (ba a+bc c ) s0 ]


32/44

Dan

! =[ ρ σ 1 a+ μa

− ρσ 1a+ σ

2c+ μc ]

!emudian dan ! dilinierisasi. Hasil masing-masing linierisasinya adalah

" =[kba s k bc s0 0 ]dan# =[ σ 1+ μ 0− ρ σ 1

σ 2+ μ]

)elanjutnya akan dicari # −1

# −1=

1

(σ 1+ μ) (σ 2+ μ ) [σ

2+ μ 0

ρ σ 1

σ 1+ μ]

¿

[

1

(σ 1+ μ) (σ 2+ μ )σ

2

+ μ 0

1

( σ 1+ μ ) (σ 2 + μ) ρ σ 1

1

( σ 1+ μ ) (σ 2+ μ) σ 1+ μ

]¿[

1

(σ 1+ μ) ❑0

ρ σ 1

(σ 1+ μ) (σ 2+ μ)1

( σ 2+ μ )1]

Diperoleh next generation matrix berikut

$ = " # −1=[kba s k bc s0 0 ][ 1

(σ 1+ μ)❑0

ρ σ 1

(σ 1+ μ ) (σ 2+ μ )1

( σ 2+ μ ) 1](3.19)

Pada a6al kemunculan virus dalam populasi, hampir semua individu rentan

terhadap penyakit, sehingga nilai s pada persamaan "(.*+$ dapat didekati


33/44

menggunakan titik ekuilibrium s saat bebas penyakit. Dengan mensubtitusi

persamaan "(.*($ ke dalam persamaan "(.*+$, diperoleh

$ = " # −1=[ kba

(σ 1+ μ )+

k bc ρ σ 1

( σ 1 + μ) (σ 2+ μ)k bc s

( σ 2+ μ )0 0

]


34/44

(ii) 3ika R

0>1

maka titik ekuilibrium bebas penyakit

E0= (s , a , c , r )=(1,0,0,0)

tidak stabil.

%ukti

)istem "(.$ didefinisikan sebagai

f 1 (s , a , c , r )=µ− λs−µs

f 2(s , a , c , r )= λs−σ

1a−µa

f 3 ( s , a , c , r )= ρσ

1a−σ

2c−µc

f 4 (s , a , c , r )=(1− ρ)σ

1a+σ

2c−µr

Dengan λt =k (ba a+bc c )


35/44

−k (ba a+bc c )− μ−kba s

−kbc s0

k (ba a+ bc c )kba s−σ 1− μ

kbc s

¿0 0 ρσ

1 −σ

2− μ

0 0 1− ρ ¿ σ ¿ ¿1 ¿ ¿¿ ¿ ¿ ¿

¿ ¿

"(.0*$

Akan ditunjukkan bah6a jika R

0


36/44

ilai eigen dari matriks ( E0 ) , dapat dicari dengan menentukan

d't (& ( E0 )−() )=0 , dengan ( adalah nilai eigen dan & adalah matriks

identitas. )ehingga diperoleh

d't (& ( E0 )−() )=0

− μ−(

−kba−kbc

0

0

kba−σ 1− μ−( kbc

¿0 0 ρσ

1 −σ

2− μ−(

0 0 1− ρ ¿ σ ¿ ¿1 ¿ ¿=0

¿ ¿ ¿ ¿¿

kba−σ 1− μ−( kbc

0

ρσ 1

−σ 2− μ−( 0

1− ρ

¿¿ σ ¿ ¿ 1¿ ¿=0 ¿¿ ¿ ¿

−( μ +( )¿

−( μ+ ( ) (− μ−( ) (kba−σ 1− μ−( ) (−σ 2− μ−( )− ρσ 1 kbc ¿=0


37/44

σ 1+ μ

−kba−(¿)( − ρσ 1 kbc −kba (σ 2+ μ)+( σ 2+ μ) (σ 1+ μ)=0(3.22)( 2+¿

( μ+( )2 ¿

Persamaan "(.00$ dapat ditulis menjadi

( 2+*1 ( +*2=0(3.23)

( μ+( )2 ¿

Dengan

*1=−kba (σ 2+ μ)+ (σ 1+ μ)

*2=− ρσ

1kbc−kba (σ 2+ μ )+(σ 2+ μ ) ( σ 1+ μ )

%erdasarkan persamaan "(.00$, diperoleh nilai eigen yaitu(

1 dan(

2 dengan

( 1=(

2=− μ

. !arena * bernilai positif, maka bagian real dari kedua nilai eigen

tersebut adalah negatif. )ementara untuk nilai eigen yang lainnya, akan digunakan

kriteria /outh-Hur6itJ untuk melihat tipe kestabilan dari persamaan karakteristik

( 2+*1 ( +*2=0(3.24)

Persamaan*

1=−kba (σ 2+ μ)+ (σ 1+ μ) dapat dinyatakan menjadi

*1=− R

0 (σ 2+ μ )+( σ 1+ μ)b❑ (σ 2+ μ )

ba

+(σ 2+ μ )+ (σ 1+ μ)


38/44

ba (σ 2+ μ)+bc ρ σ 1¿

¿ba (σ 2+ μ )+bc ρ σ 1+ba ( σ 2+ μ)+( σ 1+ μ )+bc ρ σ 1

ba ( σ 2+ μ )+bc ρ σ 1 R

0 (σ 2+ μ)+ (σ 1+ μ ) ba+( σ 2+ μ)¿¿−¿¿

)elanjutnya persamaan*

2=− ρσ

1kbc−kba (σ 2+ μ )+(σ 2+ μ ) ( σ 1+ μ ) dapat

dinyatakan menjadi

*2=−( R

0+1)( σ 2+ μ ) (σ 1+ μ)

Dengan R

0=k (

ba

(σ 1+ μ)+

bc ρ σ 1

( σ 2+ μ) (σ 1+ μ ))

Apabila diketahui R

00

dan*

2


39/44

BAB IV

PENUTUP

3-% Kesi17ul!n

Pada makalah ini telah dibahas mengenai model penyebaran virus

Hepatitis & pada pengguna narkoba khususnya melalui jarum suntik. Adapun

kesimpulan yang dapat diambil dari pembahasan model ini yaitu


40/44

;.*.*


41/44

â=

μ

(k

(ba+bc

ρ σ 1

(σ

2

+ μ) )

−(σ 1+ μ )

)k (ba+ bc ρ σ 1(σ 2+ μ ) )( σ 1+ μ)

ĉ= ρ σ

1

(σ 2+ μ) â

r̂=( σ 2+ (1− ρ ) μ ) σ 1

μ ( σ 2 + μ) â

;.*.(


42/44

untuk jangka 6aktu yang lama, populasi penderita hepatitis & akan

semakin berkurang atau bahkan menghilang sehingga virus tidak ada lagi

dalam populasi.

)ementara itu, pada saat R

0>1

titik ekuilibrium bebas penyakit tidak

stabil dan titik ekuilibrium endemik stabil asimtotik lokal. Hal ini

menunjukkan bah6a untuk jangka 6aktu tertentu, virus Hepatitis & akan

tetap ada.

;.*. %erdasarkan hasil simulasi, terlihat bah6a semakin tinggi frekuensi

penggunaan jarum secara bersama-sama pada pengguna narkoba suntik,

maka penderita hepatitis & akut dan kronis dan individu yang bebas dari

hepatitis & semakin meningkat, sedangkan banyaknya individu rentan

akan semakin menurun. Peningkatan dan penurunan banyaknya individu

sebanding dengan frekuensi penggunaan jarum suntik secara bersama-

sama.


43/44

DA+TAR PUSTAKA

Anton, Ho6ard. "044($. Al!abar :inear ;lementer "Alih %ahasa /efina

:ndriasari$, 1akarta 'rlangga

Diekmann, 8 dan Heesterbeek. "0444$. irus.

!ementrian !esehatan /:

Dont6i et al. "04*4$. ? >scihub.org>A1):/>PD>04*4>*>A1):/-*-*-;*-;C.pdf pada *+

ovember 04*(, 1am 4C(4

Driessche and 9atmough. "0440$. /eproduction numbers and sub-threshold

endemic eLuilibria for compartmental models of disease transmission.


44/44

!retJschmar, < and 9iessing, 3. "044;$.

model matematika sacr penyebaran virus hepatitis c

Documents