REGRESI LINEAR

Dalam praktek sering kali kita hendak mengetahui hubungan antara dua variabel, misalnya hubungan antara tekanan-suhu (p vs T), diameter-Gaya tarik maksimum (d vs F), dll.

Untuk mendapatkan suatu persamaan antara dua variabel x dan y, mula-mula kita mengumpulkan data (x,y). Misalnya x menyatakan diameter dan y gaya tarik maksimum, maka kita mempunyai data :

masing-masing pasangan bebas dan x serta y didefinisikan pada ruang sampel yang sama yaitu kumpulan data yang sedang diselidiki. Kemudian semua data tersebut digambar pada sistem koordinat tegak lurus, hasilnya disebut diagram titik atau diagram pencar atau scatter diagram

nn yxyxyxyx ,,...........,,,,,, 332211

Dari diagram tersebut dapat diketahui apakah ada hubungan dan bila ada, apakah hubungan tersebut linear atau non linear.

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40

Absis (sb x)

Ord

inat

(sb

y)

0

10

20

30

40

50

60

0 10 20 30 40

Absis (sb x)

Ord

inat

(sb

y)

0

5

10

15

20

25

30

35

0 10 20 30 40

Absis (x)

Ord

inat

(sb

y)

Gambar 1. Tidak Ada Hubungan Gambar 2. Non Linear

Gambar 3. Linear

Dalam bab ini kita batasi kepada hal yang linear saja dan untuk mendapatkan garis lurus yang paling baik, kita gunakan metode kuadrat terkecil.

Misal persamaan tersebut adalah : Dimana x variabel bebas dan y variabel tidak bebas.

Gambar 4. Regresi Linear xbay

Dari gambar 4, ada beda d1 antara ordinat ,yaitu :

(pada x = x1, atau ber absis sama)

Beda tersebut disebut deviasi atau simpangan, mungkin positif atau negatif dan untuk menjadikan semua positif diambil kuadratnya.

Misal S adalah jumlah kuadrat deviasi, maka :

)(11

11

xbaydyyd

ydany1

111 xbayd

223

22

21 ........... nddddS

2233

222

211 )(...........)()()( nn xbayxbayxbayxbayS

Untuk mendapatkan garis lurus paling baik, harus meminimumkan S, sehingga :

dan

Dari persamaan tersebut dapat diringkas menjadi : atau

0)(2........)(2)(2)(2 332211

nn xbayxbayxbayxbayas

0)(.2........)(.2)(.2)(.2 333222111

nnn xbayxxbayxxbayxxbayxbs

0as 0

bs

ii xbany .

2iiii xbxayx

xbany .

2xbxayx

Nilai a da b dari kedua persamaan tersebut dapat dicari dengan determinan atau substitusi :

Dengan demikian kita memperoleh garis kuadrat terkecil yang dalam hal ini disebut garis regresi y pada x.Garis ini menunjukkan hubungan antara y dan x, dan dapat dipakai untuk menaksir y apabila nilai x diketahui

Selain garis regresi y pada x, juga ada garis regresi x pada y yang diperoleh jika y variabel bebas dan x variabel tidak bebas.

Persamaannya adalah : x = c + dy

22

2

)(..xxn

yxxxya

22 )(

..xxnyxyxnb

22

2

)(..yyn

yxyyxc

22 )(..yynyxyxnd

Jadi kita memperoleh persamaan x pada y yang menunjukkan hubungan antara x dan y dan dapat dipakai untuk menaksir x, apabila nilai y diketahui.

Contoh :Dari uji tarik besi beton di Laboratorium Uji Bahan Teknik

Mesin Politeknik Negeri Semarang didapat data sbb. :

Ditanyakan :a. Gambar diagram pencar !b. Cari persamaan garis

gaya tarik maksimum (F) terhadap diameter besi beton (d) !

c. Taksir gaya maksimum (F), apabila direncanakan d besi beton = 40 (mm) !

Penyelesaian :a. Gambar diagram pencar :

b. Persamaan garis gaya tarik maksimum (F) terhadap diameter besi beton (d) dapat dicari dari persamaan :

dan

0

200

400

600

800

1000

1200

0 5 10 15

Diameter --> d (mm)

Gay

a Ta

rik --

> F

(N)

xbany .2xbxayx

Variabel a da b dapat dicari sbb. (buat tabel) :

Dengan memasukkan nilai-nilai pada tabel ke dalam kedua persamaan tersebut didapatkan hasil sebagai berikut :

Sehingga persamaan F thd d F = -96,54762 + 90,47619. d

22 )(..ddnFdFdnb

2d

c. Menaksir gaya maksimum (F), apabila direncanakan d besi beton = 40 (mm)

Persamaan F thd d telah didapat yaitu :F = -96,54762 + 90,47619. d

Sehingga apabila d besi beton = 40 (mm), F dapat dicari:

F = -96,54762 + 90,47619. dF = -96,54762 + 90,47619 x 40F = 3522,5 (N)

Jadi apabila direncanakan d besi beton = 40 (mm), maka dapat ditaksir F = 3.522,5 (N)

Korelasi

Pada pembahasan sebelumnya dari bab ini telah dibahas tentang persoalan regresi mengenai penaksiran variabel tidak bebas jika variabel bebasnya diketahui.

Korelasi adalah ukuran mengenai hubungan antara dua variabel tersebut (bebas dan tidak bebas).

Apabila pada diagram pencar semua titik terletak pada garis lurus (gambar 3), kita katakan ada korelasi sempurna antara x dan y. Jika tidak ada hubungan sama sekali antara x dan y gambar 1), kita katakan x dan y tidak berkorelasi. Jika pada diagram pencar semua titik terletak dekat dengan satu garis lurus maka korelasi adalah linear. Korelasi dalam hal ini ada 2 hal (bisa positif, bisa negatif).

Korelasi positif : apabila x dan y naik (Gambar 5)Korelasi negatif : apabila x naik tetapi y turun (Gambar 6) Y Y

X X Gambar 5 Gambar 6Kuat tidaknya hubungan antara x dan y, diukur dengan

suatu nilai yang disebut Koefisien Korelasi (r), dengan nilai antara -1 dan +1( dapat ditulis -1 ≤ r ≤ 1 )

r = 1 , hubungan x dan y sempurna dan positif(mendekati nilai 1, hubungan sangat kuat & positif)

r = -1, hubungan x dan y sempurna dan negatif(mendekati nilai -1, hubungan sangat kuat &

negatif)r = 0 , hubungan x dan y sangat lemah atau tidak ada hub.

Selain variabel x, ada juga faktor lain yang mempengaruhi nilai y.

Untuk menghitung besarnya kontribusi x terhadap naik turunnya nilai y, dihitung dengan Koefisien Penentuan (coefficient of determinant) KPKP = r²

Contoh : Untuk r = 0,9 KP = (0,9)² = 0,81 = 81% Artinya besar sumbangan var x terhadap naik

turunnya y = 81%, sedang 19% karena faktor lain

Koefisien Korelasi ( r ), dapat dihitung dengan rumus : atau

dan

Contoh :Tabel berikut menyatakan hubungan antara F dan d pada

hasil pengujian uji tarik

Hitung koefisien korelasinya !

2222 )(..)(.

..

YYnXXn

YXXYnr

22 . yx

xyr

XXx

YYy

Penyelesaian :

Angka-angka dalam tabel masukkan dalam rumus berikut,

Maka didapatkan nilai r = 0,9879

22 . yx

xyr

Buat tabel sebagai berikut :

no d [mm] F [N/mm2]

1 4 75362 6 150723 8 301444 10 471005 12 678246

1. GBR DIAGRM PNCR2. PRS GRISNYA.3. F MAK UTK D 25MM4. KORELASINYA