69512457 model matematika untuk penyakit sifilis
TRANSCRIPT
Model Matematika Untuk Penyakit Sifilis
Sumber : Jurnal F. A. Milner dan R. Zhao
“ Modifikasi A New Mathematical Model Of Syphilis”
Abstract
In USA there is National Plan to Eliminate Syphilis from the USA in
October 1999. In order to reach this goal, a good understanding of the
transmission dynamics of the disease is necessary. Based on a SIRS model
Breban et al. provided some evidence that supports the feasibility of the plan
proving that no recurring outbreaks should occur for syphilis. We study in
this work a syphilis model that includes partial immunity and vaccination.
This model suggests that a backward bifurcation very likely occurs for the
real-life estimated epidemiological parameters for syphilis. This may explain
the resurgence of syphilis after mass treatment. Our models suggest that the
development of an effective vaccine, as well as health education that leads to
enhanced biological and behavioral protection against infection in high-risk
populations, are among the best ways to achieve the goal of elimination of
syphilis in the USA.
Keywords: backward bifurcation, partial immunity, vaccination, syphilis
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Sifilis adalah penyakit menular manusia, ditularkan hampir selalu melalui
hubungan seksual, yang disebabkan oleh spirochete Treponema pallidum
subspesies pallidum, dan pertama kali diakui di Eropa barat setelah
Columbus kembali dari Amerika pada tahun 1500. T. pallidum subspesies
pallidum milik keluarga Spirochaetaceae (spirochetes), atau bakteri
berbentuk spiral, dan terkait dengan treponema patogen lain yang
menyebabkan penyakit non kelamin. T. pallidum mempunyai banyak variasi
mulai dari yang panjangnya 6 hingga 15𝜇 m dan diameternya 0.2 𝜇 m.
Sifilis adalah penyakit multistage yang berkembang, bila tidak diobati,
dari primer ke sekunder dan, akhirnya infeksi tersier. Kekebalan parsial
diperoleh perawatan dan pengobatan sifilis. Ini adalah penyakit yang cukup
membahayakan masyarakat karena, jika tidak diobati, dapat mengakibatkan
berbagai penyakit jantung dan neurologis serta hasil kehamilan yang
merugikan, seperti kelahiran mati dan penyakit sifilis bawaan dari lahir.
Selain itu, diperkirakan bahwa 15% dari kebutaan adalah karena sifilis pada
tahun 1900, ketika penyakit ini masih tak tersembuhkan. Saat ini sifilis dapat
dengan mudah diobati dengan dosis tunggal antibiotik seperti penisilin atau
azitromisin. WHO memperkirakan 12 juta kasus baru sifilis terjadi setiap
tahun didunia dan sebagian besar berasal dari Negara berkembang.
Penyakit sifilis di Amerika Serikat selama Perang Dunia II mencapai lebih
dari 500.000 yang terinfeksi. Sifilis diyakini hampir punah di Amerika
Serikat dan Negara-berkembang karena penggunaan penisilin secara luas
pada awal tahun 1945. Namun, munculnya lagi sifilis di beberapa negara
telah diamati dalam beberapa sejak 1970-an. Wabah baru ini dapat dijelaskan
oleh banyak faktor: gerakan pembebasan gay tahun 1970-an, penggunaan
kokain, prostitusi di kalangan perempuan di akhir 1980-an, perubahan
intensitas pengobtrolan sifilis, serta perubahan perilaku seksual, dan HIV
epidemi pada 1990-an. Garnett dkk. adalah kelompok pertama yang meneliti
sifilis menggunakan model matematis yang mencakup semua tahap penyakit
yang digambarkan oleh Phillippe Ricord. Mereka diasumsikan bahwa orang
yang terinfeksi memperoleh kekebalan sementara saja setelah pemulihan dari
infeksi laten dan tersier.
Perilaku perlindungan terhadap penyakit menular seksual adalah penting
karena sebuah efek penyakit dalam populasi. Baru-baru ini Grassly dkk
mencoba untuk menggambarkan data kehidupan nyata ke dalam model SIRS
dan dapat menmperkirakan periode epidemi selama 8-11 tahun. Dan
modelnya adalah:
𝑑𝑠
𝑑𝑡
= 𝜇 − 𝛽𝐼𝑆 − 𝜇𝑆 + 𝑣𝑅
𝑑𝐼
𝑑𝑡
= 𝛽𝐼𝑆 − 𝛾𝐼 − 𝜇𝐼
𝑑𝑅
𝑑𝑡
= 𝛾𝐼 − 𝜇𝑅 + 𝑣𝑅
Pada pembahasan diperoleh 2 titik tetap, yaitu titik tetap yang pertama
menggambarkan ketiadaan infeksi penyakit sifilis, sedangkan titik tetap yang
kedua menunjukkan kestabilan tubuh saat mengalami infeksi penyakit sifilis.
1.2 Rumusan Masalah
a. Bagaimana analisa dinamik model matematika pada penyakit sifilis?
b. Bagaimana gambar grafik analisa dinamik model matematika pada
penyakit sifilis?
1.3 Tujuan
Berdasarkan rumusan masalah di atas, maka tujuan dari pembahasan ini
adalah:
a. Mengetahui analisa dinamik model matematika pada penyakit sifilis.
b. Mengetahui gambar grafik dari analisa dinamik model matematika pada
penyakit sifilis.
1.4 Batasan Masalah
Pada pembahasan akan dibantu program maple 13 dalam pencarian titik
tetap sampai mendapatkan dua nilai eigen. Dan untuk gambar grafik akan
dibuat dengan maple 13 dan matlab R2008B.
1.5 Manfaat Pembahasan
Penelitian ini diharapkan penulis mampu mengetahui, menelaah,
memahami, dan menganalisa pemodelan matematika serta mengetahui,
memperdalam pengetahuan tentang model matematika pada pengaruh sistem
imun dalam tubuh menusia terhadap infeksi virus HIV.
1.6 Metode Penelitian
Dalam hal ini penulis menggunakan metode penelitian kepustakaan atau
studi kepustakaan. Penelitian kepustakaan yaitu penelitian yang dalam
menunjukkan penelitiannya dilakukan dengan cara mendalami, mencermati,
menelaah, dan mengidentifikasi pengetahuan yang ada dalam kepustakaan
(sumber bacaan, buku-buku referensi dan hasil penelitian lain).
BAB II
KAJIAN PUSTAKA
2.1 Persamaan Differensial
Persamaan diferensial adalah memuat turunan satu (atau beberapa) fungsi
yang tak diketahui (Finizio dkk, 1988 : 1). Meskipun persamaan seperti itu
seharusnya disebut “persamaan turunan”, namun istilah “persamaan
diferensial” (aeoquatio differentialis) yang diperkenalkan oleh Leibniz dalam
tahun 1676 sudah umum digunakan. Sebagai contoh,
1) + =
2) + + = 𝑠
3) = + +
4)
−
=
Adalah persamaan-persamaan differensial. Dalam persamaan (1)-(3)
fungsi yang tidak diketahui dinyatakan y dan x dianggap sebagai satu peubah
bebas, yaitu y=y(x). Argumen x dalam y(x) (dan turunan-turunannya)
biasanya dihilangkan untuk penyederhanaan notasi. Lambang dan dalam
persamaan (1)-(3) berturut-turut menyatakan turunan pertama dan kedua dari
fungsi y(x) terhadap x.Dalam persamaan (4) fungsi yang tak diketahui u
dianggap sebagai fungsi duapeubah bebas t dan x, yaitu 𝑢 = 𝑢 𝑡 , 𝑑 𝑢
𝑑𝑡 berturut-turut adalahturunan parsial kedua dari fungsi u(t,x)terhadap t dan
x. Persamaan (4) memuatturunan-turunan parsial dan disebut persamaan
differensial parsial. Persamaan-persamaan (1)-(3) memuat turunan biasa dan
disebut persamaan differensial biasa (Finizio dkk, 1988 : 1).
2.2 Sistem Persamaan Linier dan Non Linier
Sistem persamaan diferensial linier dengan n buah fungsi-fungsi yang tak
diketahui berbentuk:
= 𝑡 + 𝑡 + + 𝑡 + 𝑡
= + 𝑡 + + 𝑡 + 𝑡
=
= 𝑡 + 𝑡 + + 𝑡 + 𝑡
Atau secara singkat:
= ∑ 𝑡 + 𝑡 =
Sistem persamaan diferensial tak linier adalah persamaan yang terdiri
ataslebih dari satu persamaan yang saling terkait. Sistem dari dua
persamaandiferensial tak linier dengan dua fungsi yang tak diketahui
berbentuk:
= + +
= + 𝑑 +
Dimana ad - bc ≠ 0 (Finizio, 1988: 132).
Sedangkan Penyelesaian persamaan non linier adalah penentuan akar-akar
persamaan nonlinier. Dimana akar sebuah persamaan f(x) =0 adalah nilai-nilai x
yang menyebabkannilai f(x) sama dengan nol. Dengan kata lain akar persamaan
f(x) adalah titik potongantara kurva f(x) dan sumbu X.
2.3 Nilai Eigen
Jika A adalah matriks n x n, maka vektor tak nol di dalam Rn dinamakan
vektor eigen (eigen vector) dari A jika Ax adalah kelipatan skalar dari x; yakni
Ax =λx Untuk suatu skalar λ. Skalar λdinamakan nilai eigen (eigen value)
dari A dan x dikatakan vektor eigen yang bersesuaian dengan λ.
Untuk mencari nilai eigen matrik A yang berukuran maka kita menuliskan
kembali n×n
Ax =λx sebagai Ax = λIx
atau secara ekivalen
(λI −A)x = 0
Supaya λmenjadi nilai eigen, maka harus ada pemecahan taknol dari
persamaan ini. Akan tetapi persamaan akan mempunyai pemecahan taknol
jika dan hanya jika det(λI −A) = 0, ini dinamakan persamaan karakteristik
dari A; skalar yang memenuhi persamaanini adalah nilai eigen dari A. Bila
diperluas, maka determinan det(λI −A) adalah polinom λyang kita namakan
polinom karakteristik dari A.
2.4 Penyakit Sifilis
Sifilis adalah penyakit menular manusia, ditularkan hampir selalu melalui
hubungan seksual, yang disebabkan oleh spirochete Treponema pallidum
subspesies pallidum.
Ini adalah penyakit yang cukup membahayakan masyarakat karena, jika
tidak diobati, dapat mengakibatkan berbagai penyakit jantung dan neurologis
serta hasil kehamilan yang merugikan, seperti kelahiran mati dan penyakit
sifilis bawaan dari lahir. Selain itu, diperkirakan bahwa 15% dari kebutaan
adalah karena sifilis pada tahun 1900, ketika penyakit ini masih tak
tersembuhkan.
BAB III
PEMBAHASAN
3.1 Pembentukan dan Matematika pada Infeksi Penyakit Sifilis
Variabel-variabel yang digunakana dalam penelitian ini adalah
S= Populasi rentan terinfeksi penyakit sifilis.
I= Populasi terinfeksi penyakit sifilis.
R= Populasi yang terbebas dari penyakit sifilis.
Setelah mengetahui variabel-variabel yang digunakan dalam membentuk
model matematika, maka selanjutnya adalah menentukan notasi-notasi untuk
memenuhi variabel-variabel tersebut. Parameter-parameter yang digunakan
pada pembentukan model matematika pada pengaruh sistem imun terhadap
infeksi virus HIV adalah sebagai berikut
𝛽= Laju penularan per hubungan.
𝜇= Laju kematian per kapita.
𝑣= Laju kehilangan kekebalan.
𝛾= Laju kesembuhan alami.
Dan parameter-parameter diatas memiliki data-data yang realistis untuk
penyakit sifilis menurut penelitian Breban, yaitu 𝛽 = 𝜇 = 𝛾 =
dan 𝑣 = . Khusus untuk nilai 𝜇 sengaja diperbesar oleh peneliti makalah
ini, untuk memberikan keseimbangan pada nilai eigen.
Karena sifilis biasanya menular pada saat hubungan seksual. Maka
mengasumsikan laju penularan per hubungan terhadap populasi yang
terinfeksi dan belum terinfeksi. Karena belum terinfeksi dan berhubungan
dengan yang telah terinfeksi jadi status belum terinfeksi berubah menjadi
rentan terinfeksi, hal ini dapat digambarkan dalam bentuk persamaan berikut:
𝛽𝐼𝑆
Berdasarkan uraian diatas, maka perubahan jumlah populasi yang rentan
terinfeksi terhadap waktu dipengaruhi oleh laju kematian per kapita
dikurangi laju penularan per hubungan terhadap populasi yang terinfeksi dan
rentan dikurangi laju kematian populasi yang rentan terinfeksi ditambah laju
kehilangan kekebalan populasi yang telah terbebas dari penyakit.hal ini dapat
digambarkan dalam bentuk persamaan berikut:
𝑑𝑠
𝑑𝑡= 𝜇 − 𝛽𝐼𝑆 − 𝜇𝑆 + 𝑣𝑅
Karena laju kematian populasi yang terinfeksi menyebabkan berkurangnya
jumlah populasi yang terinfeksi penyakit sifilis, maka bentuk persamaannya
adalah
𝜇𝐼
Berdasarkan uraian diatas, maka perubahan jumlah populasi yang
terinfeksi terhadap waktu dipengaruhi oleh laju penularan per hubungan
terhadap populasi yang terinfeksi dan rentan terinfeksi dikurangi laju
kesembuhan alami dan kematian populasi yang terinfeksi. hal ini dapat
digambarkan dalam bentuk persamaan berikut:
𝑑𝐼
𝑑𝑡= 𝛽𝐼𝑆 − 𝛾𝐼 − 𝜇𝐼
Karena laju kesembuhan alami populasi yang terinfeksi membuat populasi
mengurangi jumlah populasi yang terinfeksi penyakit sifilis berkurang dan
menambah jumlah populasi yang terbebas dari penyakit sifilis. Maka
persamaan ini dimasukkan, dan persamaannya adalah
𝛾𝐼
Berdasarkan uraian diatas, maka perubahan jumlah populasi yang terbebas
dari penyakit terhadap waktu dipengaruhi oleh laju kesembuhan alami
populasi yang terinfeksi dikurangi laju kematian dan kehilangan kekebalan
populasi yang terbebas dari penyakit sifilis. hal ini dapat digambarkan dalam
bentuk persamaan berikut:
𝑑𝑅
𝑑𝑡= 𝛾𝐼 − 𝜇𝑅 + 𝑣𝑅
Dari uraian di atas, maka model matematika penyakit sifilis menjadi sebagai
berikut:
𝑑𝑠
𝑑𝑡= 𝜇 − 𝛽𝐼𝑆 − 𝜇𝑆 + 𝑣𝑅
𝑑𝐼
𝑑𝑡= 𝛽𝐼𝑆 − 𝛾𝐼 − 𝜇𝐼
(3.4)
𝑑𝑅
𝑑𝑡= 𝛾𝐼 − 𝜇𝑅 + 𝑣𝑅
3.2 Interpretasi Model Matematika
Berdasarkan persamaan yang terbentuk pada pengaruh sistem imun
terhadap infeksi virus HIV yang terdiri atas 3 persamaan, yakni:
𝑑𝑠
𝑑𝑡= 𝜇 − 𝛽𝐼𝑆 − 𝜇𝑆 + 𝑣𝑅
𝑑𝐼
𝑑𝑡= 𝛽𝐼𝑆 − 𝛾𝐼 − 𝜇𝐼
(3.5)
𝑑𝑅
𝑑𝑡= 𝛾𝐼 − 𝜇𝑅 + 𝑣𝑅
Persamaan pertama menunjukkan faktor yang mempengaruhi perubahan
jumlah populasi yang rentan terinfeksi terhadap waktu adalah laju kematian
per kapita dikurangi laju penularan per hubungan terhadap populasi yang
terinfeksi dan rentan dikurangi laju kematian populasi yang rentan terinfeksi
ditambah laju kehilangan kekebalan populasi yang telah terbebas dari
penyakit.
Persamaan kedua menunjukkan faktor yang mempengaruhi perubahan
jumlah populasi yang terinfeksi terhadap waktu adalah laju penularan per
hubungan terhadap populasi yang terinfeksi dan rentan terinfeksi dikurangi
laju kesembuhan alami dan kematian populasi yang terinfeksi.
Persamaan ketiga menunjukkan faktor yang mempengaruhi perubahan
jumlah populasi yang terbebas dari penyakit terhadap waktu adalah laju
kesembuhan alami populasi yang terinfeksi dikurangi laju kematian dan
kehilangan kekebalan populasi yang terbebas dari penyakit.
3.3 Titik Tetap
Secara analitik, pehitungan titik tetap dari model matematika persamaan
(3.6) adalah sebagai berikut:
𝑑𝑠
𝑑𝑡= 𝜇 − 𝛽𝐼𝑆 − 𝜇𝑆 + 𝑣𝑅
𝑑𝐼
𝑑𝑡= 𝛽𝐼𝑆 − 𝛾𝐼 − 𝜇𝐼
(3.6)
𝑑𝑅
𝑑𝑡= 𝛾𝐼 − 𝜇𝑅 + 𝑣𝑅
Untuk mencari titik tetap pertama, dimisalkan tidak ada yang terinfeksi.
Maka I=0, sehingga perhitungannya menjadi sebagai berikut:
Pertama kita memiliki persamaan yang ketiga yaitu :
𝐼 = 𝛾𝐼 − 𝜇𝑅 + 𝑣𝑅 =
𝛾 − 𝜇𝑅 + 𝑣𝑅 =
− 𝑅 𝜇 − 𝑣 =
𝑅 = −
𝜇 + 𝑣
𝑅 =
Dan persamaan pertama, sehingga menjadi,
𝜇 − 𝛽 𝑆 − 𝜇𝑆 + 𝑣𝑅 =
𝜇 − 𝛽 𝑆 − 𝜇𝑆 + 𝑣 =
𝜇 − 𝜇𝑆 =
𝜇𝑆 = 𝜇
𝑆 =𝜇
𝜇=
Sehingga titik tetap yang pertama adalah 𝑆 𝐼 𝑅 = 𝑆 = 𝐼 = 𝑅 =
Selanjutnya yaitu mencari titik tetap yang kedua.. Dari persamaan (3.6),
dalam perhitungan ini 𝐼 maka diperoleh perhitungan sebagai berikut:
Pertama kita menggunakan persamaan yang kedua, yaitu,
𝛽𝐼𝑆 − 𝛾𝐼 − 𝜇𝐼 =
𝐼 𝛽𝑆 − 𝛾 − 𝜇 =
Karena persamaan diatas sama dengan nol pasti diantara 𝐼 atau 𝛽𝑆 − 𝛾 −
𝜇 ada yang sama dengan nol, sehingga 𝐼 𝛽𝑆 − 𝛾 − 𝜇 = . Karena jika
suatu perkalian hasilnya nol, maka salah satu variabelnya bernilai nol.
Karena diatas sudah disebutkan bahwa 𝐼 maka 𝛽𝑆 − 𝛾 − 𝜇 = .
Sehingga perhitungannya menjadi,
𝛽𝑆 − 𝛾 − 𝜇 =
𝛽𝑆 = 𝛾 + 𝜇
𝑆 =𝛾 + 𝜇
𝛽
Kemudian perhitungan dilanjutkan dengan menggunakan persamaan
pertama, yaitu:
𝜇 − 𝛽𝐼𝑆 − 𝜇𝑆 + 𝑣𝑅 =
𝑣𝑅 = −𝜇 + 𝛽𝐼𝑆 + 𝜇𝑆
𝑅 =
(3.7)
Setelah didapat persamaan R, perhitungan dilanjutkan dengan persamaan
ketiga, yaitu:
𝛾𝐼 − 𝜇𝑅 + 𝑣𝑅 =
𝛾𝐼 − 𝑅 𝜇 − 𝑣 =
𝛾𝐼 = 𝑅 𝜇 − 𝑣
𝐼 =
(3.8)
Karena persamaan R telah ditemukan pada persamaan 3.7, sehingga
disubtitusikan menjadi:
𝐼 =
(3.8)
𝐼 = −𝜇 + 𝛽𝐼𝑆 + 𝜇𝑆 𝜇 − 𝑣
𝑣𝛾
𝐼 =−𝜇 𝜇 − 𝑣 + 𝛽𝐼𝑆 𝜇 − 𝑣 + 𝜇𝑆 𝜇 − 𝑣
𝑣𝛾
𝐼 −𝛽𝐼𝑆 𝜇 − 𝑣
𝑣𝛾 =
−𝜇 𝜇 − 𝑣 + 𝜇𝑆 𝜇 − 𝑣
𝑣𝛾
𝐼 −𝛽𝑆 𝜇 − 𝑣
𝑣𝛾 =
−𝜇 𝜇 − 𝑣 + 𝜇𝑆 𝜇 − 𝑣
𝑣𝛾
𝐼 =
−
𝐼 = −−𝜇 𝜇 − 𝑣 + 𝜇𝑆 𝜇 − 𝑣
𝑣𝛾
−
𝐼 = −−𝜇 𝜇 − 𝑣 + 𝜇𝑆 𝜇 − 𝑣
𝛽𝑆 𝜇 − 𝑣 − 𝑣𝛾
𝐼 = −−𝜇 𝜇 − 𝑣 + 𝜇
𝛾+𝜇
𝛽 𝜇 − 𝑣
𝛽 𝛾+𝜇
𝛽 𝜇 − 𝑣 − 𝑣𝛾
𝐼 = −−𝜇 𝜇 − 𝑣 + 𝜇
𝜇 − 𝑣
𝛾 + 𝜇 𝜇 − 𝑣 − 𝑣𝛾
𝐼 = −−
𝜇 𝜇 − 𝑣 + 𝜇
𝜇 − 𝑣
𝜇 + 𝛾𝜇 − 𝑣𝛾 − 𝑣𝛾
𝐼 = −−𝛽𝜇 𝜇 − 𝑣 + 𝜇 𝛾 + 𝜇 𝜇 − 𝑣
𝛽 𝜇 + 𝛾𝜇 − 𝑣𝛾 − 𝑣𝛾
𝐼 = − −𝛽𝜇 + 𝜇 𝛾 + 𝜇 𝜇 − 𝑣
𝛽 𝜇 + 𝛾𝜇 − 𝑣𝛾
𝐼 = − −𝛽𝜇 + 𝜇𝛾 + 𝜇 𝜇 − 𝑣
𝛽 𝜇 + 𝛾𝜇 − 𝑣𝛾
𝐼 = −𝜇 −𝛽 + 𝛾 + 𝜇 𝜇 − 𝑣
𝛽 𝜇 + 𝛾𝜇 − 𝑣𝛾
Setelah ditemukan nilai I, maka memasukkan nilai I kedalam persamaan
3.7 untuk mendapatkan nilai R, menjadi:
𝑅 =−𝜇 + 𝛽𝐼𝑆 + 𝜇𝑆
𝑣
(3.7)
𝑅 =−𝜇 + 𝛽 −
𝛾+𝜇
𝛽 + 𝜇
𝛾+𝜇
𝛽
𝑣
𝑅 =−𝜇 + −
+ 𝜇
𝑣
𝑅 =−𝜇 + −
+
𝑣
𝑅 =−𝜇 + −
+
𝑣
Sehingga titik tetap yang kedua adalah 𝑆 𝐼 𝑅 = {𝑆 =
𝐼 =
−
𝑅 =
( )
}
Kemudian parameter-parameter yang ada akan diberi angka-angka sesuai
berdasarkan penelitian Breban, yaitu 𝛽 = 𝜇 = 𝛾 = dan 𝑣 = .
Sehingga bila dimasukkan nilai parameternya menjadi
𝑆 = +
𝑆 =
𝑆 =
Sesuai dengan persamaan yaitu
𝐼 = −
𝐼 = −
− + + −
+ −
𝐼 =
𝐼 =
Dan setelah didapatkan nilai I dimasukkan dalam persamaan 3.7
𝑅 =−𝜇 + 𝛽𝐼𝑆 + 𝜇𝑆
𝑣=
−𝜇 + −
+
𝑣
(3.7)
𝑅 =− + −
+
𝑅 =
Sehingga titik tetap yang kedua yang nilai parameternya telah dimasukkan
adalah 𝑆 𝐼 𝑅 = 𝑆 = 𝐼 = 𝑅 =
3.4 Menentukan Matriks Jacobian
Misalkan
𝑑𝑆
𝑑𝑡= = 𝜇 − 𝛽𝐼𝑆 − 𝜇𝑆 + 𝑣𝑅
𝑑𝐼
𝑑𝑡= = 𝛽𝐼𝑆 − 𝛾𝐼 − 𝜇𝐼
𝑑𝑅
𝑑𝑡= = 𝛾𝐼 − 𝜇𝑅 + 𝑣𝑅
Sehingga
𝑑 𝑑𝑆
= −𝛽𝐼 − 𝜇
𝑑 𝑑𝐼
= −𝛽𝑆
𝑑 𝑑𝑅
= 𝑣
𝑑 𝑑𝑆
= 𝛽𝐼
𝑑 𝑑𝐼
= 𝛽𝑆 − 𝛾 − 𝜇
𝑑 𝑑𝑅
=
𝑑 𝑑𝑆
=
𝑑 𝑑𝐼
= 𝛾
𝑑 𝑑𝑅
= −𝜇 − 𝑣
Maka matriks jacobiannya adalah:
=
[ 𝑑 𝑑𝑆
𝑑 𝑑𝐼
𝑑 𝑑𝑆
𝑑 𝑑𝐼
𝑑 𝑑𝑅𝑑 𝑑𝑅
𝑑 𝑑𝑆
𝑑 𝑑𝐼
𝑑 𝑑𝑅]
= [
−𝛽𝐼 − 𝜇 −𝛽𝑆 𝑣
𝛽𝐼 𝛽𝑆 − 𝛾 − 𝜇
𝛾 −𝜇 + 𝑣
]
untuk titik tetap pertama 𝑆 = 𝐼 = 𝑅 = , sehingga menjadi
= [
− − −
− −
− +
]
= [− −
−
]
Untuk titik tetap kedua 𝑆 = 𝐼 = 𝑅 = sehingga
menjadi
= [− − −
− −
− +
]
= [ − −
−
− ]
3.5 Perhitungan Nilai eigen dari Matriks Jacobian
Nilai eigen diperoleh dengan cara menyelesaikan | 𝐼 − | =
a) Untuk titik tetap pertama
| 𝐼 − | =
| [
] − [
− −
−
]| =
|[
] − [
− −
−
]| =
|[ − − −
− −
− −
]| =
determinan = + [ +
+
] − [ − − −
] +
| − −
|
= + + + − + =
Nilai eigen yang dihasilkan adalah = − = − dan = −
b) Untuk titik tetap kedua
| 𝐼 − | =
| [
] − [
− −
−
− ]| =
|[
] − [
− −
−
− ]| =
|[ − − −
−
− −
]| =
determinan
= + [ −
−
− −
] −
[ −
− − − ] +
Untuk + [ −
−
− −
]
Determinan + ( − )( − − ) =
+ + − = (3.8)
Dan untuk − [ −
− − − ]
Determinan= − ( + ) −
− − )+0.0277)
− − − = (3.9)
Sehingga setelah didapatkan persamaan 3.8 dan 3.9, menjadi
+ + − + − +
+ + −
Dengan maple menghasilkan nilai eigen
= − =
= −
Nilai eigen yang dihasilkan adalah = − = dan
= −
Untuk mengetahui seberapa akurat hasil perhitungan secara manual, maka
disediakan perhitungan dengan maple untuk membandingkannya.
> restart;
> ds:=mu-beta*i*s-mu*s+v*r;
:= ds i s s v r
> di:=beta*i*s-mu*i-gamma*i;
> dr:=gamma*i-mu*r+v*r;
> titiktetap:=solve({ds,di,dr},{s,i,r});
> titik1:=titiktetap[1];titik2:=titiktetap[2];
> with(plots):with(linalg):
> jac:=jacobian([ds,di,dr],[s,i,r]);
> jac1:=subs(titik1,evalm(jac));
> jac2:=subs(titik2,evalm(jac));
> eigenvals(jac1);
> eigenvals(jac2);
> restart;
> ds:=3-9.045*i*s-3*s+0.3*r;
> di:=9.045*i*s-6*i-3*i;
> dr:=6*i-3*r+0.3*r;
:= di i s i i
:= dr i r v r
titiktetap { }, ,i 0 r 0 s 1 , :=
{ }, ,i ( ) ( ) v
( ) 2 v 2 v r
( )
( ) 2 v 2 v s
:= titik1 { }, ,i 0 r 0 s 1
:= titik2 { }, ,i ( ) ( ) v
( ) 2 v 2 v r
( )
( ) 2 v 2 v s
:= jac
i s v
i s 0
0 v
:= jac1
v
0 0
0 v
:= jac2
( ) ( ) v
2 v 2 v v
( ) ( ) v
2 v 2 v 0 0
0 v
, , v
:= ds 3 9.045 i s 3 s 0.3 r
:= di 9.045 i s 9 i
:= dr 6 i 2.7 r
> titiktetap:=solve({ds,di,dr},{s,i,r});
> titik1:=titiktetap[1];titik2:=titiktetap[2];
> with(plots):with(linalg):
> jac:=jacobian([ds,di,dr],[s,i,r]);
> jac1:=subs(titik1,evalm(jac));
> jac2:=subs(titik2,evalm(jac));
> eigenvals(jac1);
> eigenvals(jac2);
3.6 Analisis model Matematika
Dilihat dari nilai eigen yang dihasilkan, berarti saat tidak ada yang
terinfeksi penyakit sifilis. Titik tetapnya stabil karena semua nilai eigennya
yang bernilai negatif, sehingga saat mencapai kesetimbangan tidak ada
infeksi yang ditimbulkan.
Berbeda dengan nilai eigen yang dihasilkan saat sudah ada yang terinfeksi
penyakit sifilis. Titik tetapnya tidak stabil karena ada nilai eigennya yang
bernilai positif, itu artinya saat mencapai kesetimbangan masih ada infeksi.
3.7 Grafik
a) Dengan Matlab
titiktetap { }, ,i 0. r 0. s 1. , :=
{ }, ,i 0.001791044776 r 0.003980099502 s 0.9950248756
:= titik1 { }, ,i 0. r 0. s 1.
:= titik2 { }, ,i 0.001791044776 r 0.003980099502 s 0.9950248756
:= jac
9.045 i 3 9.045 s 0.3
9.045 i 9.045 s 9 0
0 6 -2.7
:= jac1
-3. -9.045 0.3
0. 0.045 0
0 6 -2.7
:= jac2
-3.016200000 -9.000000000 0.3
0.01620000000 0. 0
0 6 -2.7
, ,-3. -2.700000000 0.04500000000
, ,-0.1000000000 0.1408175813 -0.1413175813
function UTS
t=0:0.5:10;
initial_x=1;
initial_lg=1;
initial_dxdt=1;
[t,x]=ode45(@kk,t,[initial_x;initial_lg;initial_dxdt]);
plot(t,x(:,1),t,x(:,2),t,x(:,3));
xlabel('t');ylabel('x');
legend('Suspected','Invected','Removed')
function dxdt=kk(t,x)
dxdt_1=3-9.045*x(2)*x(1)-3*x(1)+0.3*x(3);
dxdt_2=9.045*x(2)*x(1)-3*x(2)-6*x(2);
dxdt_3=6*x(2)-3*x(3)+0.3*x(3);
dxdt=[dxdt_1;dxdt_2;dxdt_3];
end
end
Gambar 3.1 grafik suspected (biru), infected (hijau) dan removed
(merah)
b) Maple
> with(DEtools):
> phaseportrait([D(s)(t)= 3-9.045*i(t)*s(t)-
3*s(t)+0.3*r(t),D(i)(t)= 9.045*i(t)*s(t)-
6*i(t)-3*i(t),D(r)(t)= 6*i(t)-
3*r(t)+0.3*r(t)],[s(t),i(t),r(t)],t=0...10,[[s(
0)=1,i(0)=1,r(0)=1]],stepsize=0.5, \
scene=[t,s(t)],linecolour=sin(t*Pi/2));
Gambar 3.2 grafik suspected
> phaseportrait([D(s)(t)= 3-9.045*i(t)*s(t)-3*s(t)+0.3*r(t),D(i)(t)= 9.045*i(t)*s(t)-
6*i(t)-3*i(t),D(r)(t)= 6*i(t)-
3*r(t)+0.3*r(t)],[s(t),i(t),r(t)],t=0...10,[[s(
0)=1,i(0)=1,r(0)=1]],stepsize=0.5, \
scene=[t,i(t)],linecolour=sin(t*Pi/2));
Gambar 3.3 grafik infected
> phaseportrait([D(s)(t)= 3-9.045*i(t)*s(t)-3*s(t)+0.3*r(t),D(i)(t)= 9.045*i(t)*s(t)-
6*i(t)-3*i(t),D(r)(t)= 6*i(t)-
3*r(t)+0.3*r(t)],[s(t),i(t),r(t)],t=0...10,[[s(
0)=1,i(0)=1,r(0)=1]],stepsize=0.5, \
scene=[t,r(t)],linecolour=sin(t*Pi/2));
Gambar 3.4 grafik removed
c) Analisa Grafik
Setelah digambar dengan maple 13 dan matlab R2008B ternyata
menghasilkan grafik yang sama. Tiga grafik maple yaitu grafik 3.2, 3.3
dan 3.4 ternyata memiliki bentuk yang sama dengan grafik matlab
yang merangkum ketiga grafik maple yaitu biru untuk sescepted, hijau
untuk infected dan merah untuk removed. Dan grafik menunjukkan
menuju ke sebuah titik tetap.
Kesimpulan
Dilihat dari nilai eigen yang dihasilkan, berarti saat tidak ada yang
terinfeksi penyakit sifilis. Titik tetapnya stabil karena semua nilai eigennya
yang bernilai negatif, sehingga saat mencapai kesetimbangan tidak ada
infeksi yang ditimbulkan.
Berbeda dengan nilai eigen yang dihasilkan saat sudah ada yang terinfeksi
penyakit sifilis. Titik tetapnya tidak stabil karena ada nilai eigennya yang
bernilai positif , itu artinya saat mencapai kesetimbangan akan ada infeksi
yang dihasilkan.
Grafik ini dibuat dengan matlab, dan terlihat bahwa ketiga garis mulai
menuju titik tetap tertentu. Biru untuk suscepted, hijau untuk infected dan
merah untuk removed. Di dalam maple grafik ini dipecah menjadi tiga grafik,
dimana grafik untuk sescepted, infected dan removed menjadi satu grafik
masing-masing.
Daftar Pustaka
Finizio, Ladas. 1988.” Persamaan differensial biasa dengan penera[an
modern”. Jakarta: Erlangga