model matematika lighthill-whitham-rihards (lwr) … · pemodelan matematika merupakan bidang...

128
MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) PADA PERTIGAAN JANTI SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan Program Studi Pendidikan Matematika Oleh: Dewi Chandra Florentina NIM: 131414028 PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2017 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Upload: lynhi

Post on 20-Apr-2019

245 views

Category:

Documents


1 download

TRANSCRIPT

Page 1: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

MODEL MATEMATIKA

LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) PADA PERTIGAAN JANTI

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan

Program Studi Pendidikan Matematika

Oleh:

Dewi Chandra Florentina

NIM: 131414028

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2017

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 2: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

i

MODEL MATEMATIKA

LIGHTHILL-WHITHAM-RICHARDS (LWR) PADA PERTIGAAN JANTI

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan

Program Studi Pendidikan Matematika

Oleh:

Dewi Chandra Florentina

NIM: 131414028

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2017

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 3: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

ii

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 4: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

iii

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 5: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

iv

HALAMAN PERSEMBAHAN

Skripsi ini penulis persembahkan untuk:

Allah Bapa, Putra, dan Roh Kudus yang selalu membimbing dan menuntun

langkahku, baik dalam suka maupun duka

Papi Soejanto, Mami Flora, dan adikku Denny Chandra Limandaru yang sudah

setia membimbing dan peduli padaku selama ini

Semua kerabat dan teman yang tak dapat penulis sebutkan satu persatu

Teman-teman seperjuanganku dari Pendidikan Matematika 2013

Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan

Universitas Sanata Dharma Yogyakarta

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 6: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

v

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini

tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan

dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta, 22 Agustus 2017

Penulis,

Dewi Chandra Florentina

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 7: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

vi

ABSTRAK

Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha

untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau masalah pada

dunia nyata dalam pernyataan matematis. Pemodelan lalu lintas ini menggunakan

model Lighthill-Whitham-Richard atau yang biasa disebut model LWR, dengan

jangkauan penelitian makroskopis dengan menggunakan tiga variabel, yaitu arus/

aliran kendaraan, kepadatan, dan medan kecepatan. Penelitian ini menggunakan

metode studi pustaka dengan penerapan berupa studi kasus.

Penelitian ini bertujuan untuk menganalisis model Lighthill-Richard-

Whitham (LWR) secara umum apakah bisa diterapkan di pertigaan Janti dengan

beberapa asumsi, serta membuat visualisasi data berdasarkan analisis yang telah

dilakukan terhadap data yang diambil dengan menggunakan pola First Come First

Serve dan memperhatikan sisa antrian pada siklus sebelumnya. Selanjutnya dibuat

model simulasi menggunakaan data riil yang diperoleh langsung dari lapangan.

Visualisasi dilakukan menggunakan program Matlab untuk mensimulasikan data

tersebut dalam bentuk grafik dan fuzzy interference system (FIS) pada masing-

masing ruas jalan.

Berdasarkan pengambilan data yang dilakukan sebanyak dua kali yaitu

pada jam lengang yaitu pukul 08.45-09.45 dan pada jam sibuk yaitu pukul 16.30-

17.30, kemacetan akan terjadi pada pukul 09.10 saat jam lengang dan pukul 16.43

saat jam sibuk. Dengan menggunakan model LWR, simulasi dari pertigaan Janti

dapat dilakukan dan diketahui grafiknya menggunakan program FIS pada Matlab.

Kata Kunci: Lalu Lintas, Matlab, Model LWR, Pertigaan Janti, Simulasi.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 8: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

vii

ABSTRACT

Mathematics modelling is a part of mathematics which tries to represent

and explain physical systems or real world problems by using mathematics

statements. This traffic modelling is using Lighthill-Whitham-Richards model

which usually called as LWR model with macroscopic scope of research and three

variables such as vehicle flow, density, and group velocity. This research is using

literature review method with a study case as the application.

The purpose of this research is to analyze LWR model in general whether

it can be applied in Janti t-junction with several assumptions and also by making

data visualization based on the analysis of data gathered using First Come First

Served method and also paying attention to the rest of the queue from the previous

cycle, then the simulation model is made by using the real data gathered from the

field. The visualization is conducted using Matlab program to simulate the data in

the form of graph and fuzzy interference systems (FIS) for each roads.

Based on the data collection that was conducted twice in the leisure time

at 08.45-09.45 and busy time at 4.30-5.30 p.m., traffic jam will happen at 09.10

a.m. in the leisure time and at 04.43 p.m. in the busy time. Simulation for Janti t-

junction can be conducted by LWR model, and use FIS program in Matlab for the

graphic.

Keywords: Traffic Flow, Matlab, LWR Model, Janti t-junction, Simulation.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 9: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

viii

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN

PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS

Yang bertandatangan di bawah ini, penulis mahasiswa Universitas Sanata

Dharma dengan:

Nama : Dewi Chandra Florentina

NIM : 131414028

Demi pengembangan ilmu pengetahuan, penulis memberikan karya ilmiah

penulis kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma dengan judul:

MODEL MATEMATIKA

LIGHTHILL-WHITHAM-RICHARDS (LWR) PADA PERTIGAAN JANTI

beserta perangkat yang diperlukan, bila ada. Dengan demikian, penulis

memberikan hak untuk menyimpan, mengalihkan ke dalam bentuk media lain,

mengelolanya dalam bentuk pangkalan data, mendistribusikannya secara terbatas,

dan mempublikasikannya di internet atau media lain untuk kepentingan akademis

tanpa perlu meminta izin dari penulis maupun memberikan royalti kepada penulis

selama tetap mencantumkan nama penulis sebagai penulis kepada Perpustakaan

Universitas Sanata Dharma. Demikian pernyataan ini penulis buat dengan

sebenarnya.

Dibuat di Yogyakarta

Pada tanggal 22 Agustus 2017

Yang menyatakan,

Dewi Chandra Florentina

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 10: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

ix

KATA PENGANTAR

Puji syukur senantiasa penulis panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa

atas segala rahmat dan karunia-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi

dengan judul “Model Matematika Lighthill-Whitham-Richards (LWR) pada

Pertigaan Janti”.

Skripsi ini disusun untuk memenuhi persyaratan guna memperoleh gelar

Sarjana Pendidikan Universitas Sanata Dharma Yogyakarta. Penyusun skripsi ini

tidak lepas dari adanya bantuan dan dukungan dari berbagai pihak. Oleh karena

itu pada kesempatan ini, penulis mengucapkan terimakasih kepada:

1. Bapak Rohandi, Ph. D., selaku Dekan Fakultas Keguruan dan Ilmu

Pendidikan.

2. Bapak Dr. M. Andy Rudhito, S. Pd., selaku Ketua Jurusan Pendidikan

Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.

3. Bapak Dr. Hongki Julie, M. Si., selaku Ketua Program Studi Pendidikan

Matematika.

4. Bapak Beni Utomo, M. Sc., selaku dosen pembimbing yang telah

membimbing dengan penuh kesabaran, meluangkan waktu, dan pikiran

selama proses penyusunan skripsi ini.

5. Ibu Dra. Haniek Sri Pratini, M. Pd., selaku dosen pembimbing akademik

yang telah mendampingi dari awal perkuliahan sampai penyusunan skripsi

ini.

6. Bapak dan Ibu dosen Program Studi Pendidikan Matematika yang telah

berbagi pengalaman dan memberikan ilmu yang berguna bagi penulis.

7. Kedua orang tua penulis yaitu Soejanto dan Flora, yang senantiasa

membimbing dan mendukung penulis dalam berbagai hal, khususnya

dalam pembuatan skripsi ini.

8. Adik penulis, Denny Chandra Limandaru, yang sudah membuat warna

dalam waktu penyelesaian skripsi ini.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 11: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

x

9. Teman-teman terdekat penulis semasa kuliah yaitu Anbud, Thevany, Ester,

Dela, dan Kress yang telah menjalani masa-masa senang dan susah

bersama sejak awal perkuliahan.

10. Teman-teman terdekatku dari masa SMA yaitu Mira, Cindy, Hans, dan

Michael yang walaupun berbeda kota tetap saling berbagi dan

menguatkan.

11. Teman-teman satu gereja yang memberi penulis motivasi untuk terus maju

walau dalam keadaan hampir menyerah.

12. Cahyo dan Totok yang selalu bersedia membantu bila penulis dalam

kesulitan menuntaskan skripsi ini, serta teman satu kelompok bimbingan

yang lain.

13. Teman-teman mahasiswa Pendidikan Matematika angkatan 2013 yang

telah bersama-sama memulai perjuangan di program studi ini, berbagi

pengalaman, ilmu, pengetahuan, dan memberikan semangat sampai

penyusunan skripsi ini.

14. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu per satu dan terlibat dalam

proses penyusunan skripsi ini.

15. Universitas Sanata Dharma yang memberikan ruang dan kesempatan

untuk menempuh ilmu.

Penulis berharap skripsi ini bermanfaat bagi pembaca dan dunia pendidikan pada

umumnya.

Yogyakarta, 22 Agustus 2017

Penulis

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 12: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

xi

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ............................................................................................. i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .................................................. ii

HALAMAN PENGESAHAN ............................................................................ iii

HALAMAN PERSEMBAHAN ......................................................................... iv

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA .............................................................. v

ABSTRAK .......................................................................................................... vi

ABSTRACT ......................................................................................................... vii

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN ................................................. viii

KATA PENGANTAR ........................................................................................ ix

DAFTAR ISI ....................................................................................................... xi

DAFTAR TABEL ............................................................................................. xiii

DAFTAR GAMBAR ........................................................................................ xiv

DAFTAR LAMPIRAN ................................................................................... xivii

BAB I PENDAHULUAN .................................................................................... 1

A. LATAR BELAKANG MASALAH ............................................................. 1

B. RUMUSAN MASALAH ............................................................................. 7

C. PEMBATASAN MASALAH ...................................................................... 7

D. TUJUAN PENELITIAN .............................................................................. 8

E. MANFAAT PENELITIAN .......................................................................... 8

F. SISTEMATIKA PENULISAN .................................................................... 8

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 13: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

xii

BAB II LANDASAN TEORI ............................................................................ 10

A. MODEL MATEMATIKA .......................................................................... 10

B. PENDEKATAN PADA PEMODELAN MATEMATIKA ....................... 11

C. FAKTOR-FAKTOR YANG MEMPENGARUHI ..................................... 17

BAB III PEMBAHASAN .................................................................................. 30

A. DAFTAR VARIABEL YANG DIGUNAKAN ......................................... 30

B. STUDI EMPIRIS TENTANG KARAKTER ARUS LALU LINTAS ...... 31

C. SIKLUS KENDARAAN ............................................................................ 44

BAB IV SIMULASI MODEL MATEMATIKA ............................................... 49

A. JENIS-JENIS TRANSPORTASI ............................................................... 49

B. SISTEM PENGONTROLAN ARUS LALU LINTAS .............................. 50

C. HAL-HAL YANG MEMPENGARUHI KAPASITAS SIMPANG

BERSINYAL .............................................................................................. 51

D. PENGOLAHAN DATA PADA MATLAB ............................................... 53

E. VISUALISASI DATA ............................................................................... 71

BAB V PENUTUP ............................................................................................. 83

A. KESIMPULAN .......................................................................................... 83

B. SARAN ....................................................................................................... 84

DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................... 85

LAMPIRAN .......................................................................................................... 88

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 14: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

xiii

DAFTAR TABEL

Tabel 3.1 Daftar Variabel yang Digunakan ....................................................... 31

Tabel 4.1 Jenis-Jenis Fasilitas Transportasi ....................................................... 50

Tabel 4.2 Rata-Rata Jumlah Kendaraan per Fase .............................................. 71

Tabel 4.3 Rata-Rata Arus/ Aliran Kendaraan per Fase ...................................... 71

Tabel 4.4 Kapasitas Jalan pada Masing-Masing Ruas Jalan .............................. 73

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 15: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

xiv

DAFTAR GAMBAR

Gambar 1.1 Peta Lokasi Pertigaan Janti beserta Area Sekitarnya ....................... 5

Gambar 2.1 Proses Pemodelan ........................................................................... 11

Gambar 2.2 Hubungan antara Model Simulasi .................................................. 13

Gambar 2.3 Mekanisme Pelayanan di Pelabuhan Merak Banten ...................... 14

Gambar 2.4 Posisi Mobil 1 dan Mobil 2 saat ........................................... 17

Gambar 2.5 Daerah Integral dari Konservasi Kendaraan pada Jalan Raya ....... 23

Gambar 2.6 Kepadatan Lalu Lintas (kecepatan kendaraan turun ketika

kepadatan meningkat) ................................................................................. 27

Gambar 2.7 Kecepatan Kendaraan Hanya Tergantung pada Kepadatan Lalu

Lintas .......................................................................................................... 28

Gambar 2.8a Kurva Kepadatan dan Aliran ........................................................ 28

Gambar 2.8b Fungsi Menurun Turunan Kepadatan dan Aliran ......................... 28

Gambar 2.9 Kurva Kemacetan Tinggi dan Rendah ........................................... 29

Gambar 2.10 Kurva Kecepatan pada Kemacetan dan Kecepatan Kendaraan

.................................................................................................................... 29

Gambar 3.1 Fungsi Medan Kecepatan dan Arus terhadap Kepadatan, (a), (b) . 38

Gambar 3.2 Sebuah Jaringan Sederhana ............................................................ 39

Gambar 3.3 Proses Antrian dalam Satu Siklus menurut Mc Neil (1968) .......... 46

Gambar 4.1 Peta Pertigaan Janti ........................................................................ 53

Gambar 4.2 Grafik Banyak Kendaraan pada Jalan ke Arah Timur pada Pukul

08.45-09.45 ................................................................................................. 55

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 16: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

xv

Gambar 4.3 Grafik Banyak Kendaraan pada Jalan dari Arah Janti pada Pukul

08.45-09.45 ................................................................................................. 56

Gambar 4.4 Grafik Banyak Kendaraan pada Jalan dari Arah Barat pada Pukul

08.45-09.45 ................................................................................................. 57

Gambar 4.5 Grafik Banyak Kendaraan pada Jalan ke Arah Timur pada Pukul

16.30-17.30 ................................................................................................. 58

Gambar 4.6 Grafik Banyak Kendaraan pada Jalan dari Arah Janti pada Pukul

16.30-17.30 ................................................................................................. 59

Gambar 4.7 Grafik Banyak Kendaraan pada Jalan dari Arah Barat pada Pukul

16.30-17.30 ................................................................................................. 60

Gambar 4.8 Grafik Perbandingan Jumlah Kendaraan ke Arah Timur pada Pukul

08.45-09.45 dan 16.30-17.30 ...................................................................... 61

Gambar 4.9 Grafik perbandingan Jumlah Kendaraan dari Arah Janti pada Pukul

08.45-09.45 dan 16.30-17.30 ...................................................................... 62

Gambar 4.10 Grafik Perbandingan Jumlah Kendaraan dari Arah Barat pada

Pukul 08.45-09.45 dan 16.30-17.30 ........................................................... 63

Gambar 4.11 Grafik Kepadatan Kendaraan ke Arah Timur pada Pukul 08.45-

09.45 dan 16.30-17.30 ................................................................................ 64

Gambar 4.12 Grafik Kepadatan Kendaraan dari Arah Janti pada Pukul 08.45-

09.45 dan 16.30-17.30 ................................................................................ 65

Gambar 4.13 Grafik Kepadatan Kendaraan dari Arah Barat pada Pukul 08.45-

09.45 dan 16.30-17.30 ............................................................................... 66

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 17: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

xvi

Gambar 4.14 Grafik Aliran/ Arus Kendaraan ke Arah Timur pada Pukul 08.45-

09.45 dan 16.30-17.30 ................................................................................ 67

Gambar 4.15 Grafik Aliran/ Arus Kendaraan dari Arah Janti pada Pukul 08.45-

09.45 dan 16.30-17.30 ................................................................................ 69

Gambar 4.16 Grafik Aliran/ Arus Kendaraan dari Arah Barat pada Pukul 08.45-

09.45 dan 16.30-17.30 ................................................................................ 70

Gambar 4.17 Hasil dari Keadaan Lalu Lintas pada Pagi Hari jika Tanpa Lampu

Lalu Lintas .................................................................................................. 75

Gambar 4.18 Hasil dari Keadaan Lalu Lintas pada Sore Hari jika Tanpa Lampu

Lalu Lintas .................................................................................................. 77

Gambar 4.19 Hasil Perhitungan Menggunakan Fuzzy Logic ............................. 79

Gambar 4.20 Contoh Kasus Mengenai Fuzzy Logic .......................................... 80

Gambar 4.21 Visualisasi 3-D dari fuzzy logic pada gambar 4.19 ...................... 81

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 18: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

xvii

DAFTAR LAMPIRAN

Lamp. 1 Peta daerah yang akan diteliti dari arah selatan/ Janti (100 m) ........... 88

Lamp. 2 Peta daerah yang akan diteliti dari arah barat/ Jalan Solo (200 m) ...... 89

Lamp. 3 Peta daerah yang akan diteliti ke arah timur/ Jalan Solo (300 m) ....... 90

Lamp. 4 Proses pengolahan data pada Matlab mengenai banyak kendaraan pada

jalan ke arah timur pada pukul 08.45-09.45 ............................................... 91

Lamp. 5 Proses pengolahan data pada Matlab mengenai banyak kendaraan pada

jalan dari arah Janti pada pukul 08.45-09.45 .............................................. 92

Lamp. 6 Proses pengolahan data pada Matlab mengenai banyak kendaraan pada

jalan dari arah barat pada pukul 08.45-09.45 ............................................. 93

Lamp. 7 Proses pengolahan data pada Matlab mengenai banyak kendaraan pada

jalan ke arah timur pada pukul 16.30-17.30 ............................................... 94

Lamp. 8 Proses pengolahan data pada Matlab mengenai banyak kendaraan pada

jalan dari arah Janti pada pukul 16.30-17.30 .............................................. 95

Lamp. 9 Proses pengolahan data pada Matlab mengenai banyak kendaraan pada

jalan dari arah barat pada pukul 16.30-17.30 ............................................. 96

Lamp. 10 Proses pengolahan data pada Matlab mengenai perbandingan jumlah

kendaraan ke arah timur pada pukul 08.45-09.45 dan 16.30-17.30 ........... 97

Lamp. 11 Proses pengolahan data pada Matlab mengenai perbandingan jumlah

kendaraan dari arah Janti pada pukul 08.45-09.45 dan 16.30-17.30 .......... 98

Lamp. 12 Proses pengolahan data pada Matlab mengenai perbandingan jumlah

kendaraan dari arah barat pada pukul 08.45-09.45 dan 16.30-17.30 .......... 99

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 19: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

xviii

Lamp. 13 Proses pengolahan data pada Matlab mengenai kepadatan kendaraan

ke arah timur pada pukul 08.45-09.45 dan 16.30-17.30 ........................... 100

Lamp. 14 Proses pengolahan data pada Matlab mengenai kepadatan kendaraan

dari arah Janti pada pukul 08.45-09.45 dan 16.30-17.30 ......................... 101

Lamp. 15 Proses pengolahan data pada Matlab mengenai kepadatan kendaraan

dari arah barat pada pukul 08.45-09.45 dan 16.30-17.30 ......................... 102

Lamp. 16 Proses pengolahan data pada Matlab mengenai aliran/ arus kendaraan

ke arah timur pada pukul 08.45-09.45 dan 16.30-17.30 ........................... 103

Lamp. 17 Proses pengolahan data pada Matlab mengenai aliran/ arus kendaraan

dari arah Janti pada pukul 08.45-09.45 dan 16.30-17.30 ......................... 105

Lamp. 18 Proses pengolahan data pada Matlab mengenai aliran/ arus kendaraan

dari arah barat pada pukul 08.45-09.45 dan 16.30-17.30 ......................... 107

Lamp. 19 Proses pengolahan data pada Matlab mengenai perhitungan kapasitas

jalan pada pagi hari ................................................................................... 108

Lamp. 20 Proses pengolahan data pada Matlab mengenai perhitungan kapasitas

jalan pada sore hari ................................................................................... 109

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 20: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Matematika adalah sebuah ilmu mengenai pola berpikir, pembuktian yang

logis, dan pola mengorganisasikan sesuatu. Matematika juga merupakan suatu

bahasa dengan menggunakan istilah yang dapat didefinisikan secara akurat,

cermat, dan jelas representasinya dengan berbagai simbol. Matematika erat

kaitannya dengan kehidupan sehari-hari, baik yang menurut manusia sendiri itu

merupakan hal biasa maupun hal yang rumit. Contoh sederhananya adalah

manusia menggunakan perkiraan jam untuk mengatur kegiatannya serta

kegiatannya dengan orang lain. Hal itu menunjukkan bahwa matematika

merupakan suatu bahasa komunikasi untuk memperlancar kehidupan. Contoh

yang kompleks yaitu ketika kita akan memprediksi sesuatu, misalnya harga

bensin. Dibutuhkan data-data yang spesifik tentang harga bensin pada waktu-

waktu sebelumnya, lalu dianalisis pola kenaikan atau penurunan harga bensin

tersebut, tentunya melihat kondisi perekonomian yang ada, apakah sedang ada

faktor yang mendukung atau tidak. Penyelesaian matematis pada permasalahan

harga bensin tersebut bisa dipecahkan menggunakan rantai Markov.

Pemodelan Matematika merupakan salah satu tahap dari pemecahan

masalah matematis yang menyederhanakan fenomena-fenomena nyata dalam

bentuk matematika. Model matematika yang dihasilkan dapat berupa bentuk

persamaan, pertidaksamaan, sistem persamaan, baik linear maupun non linear dan

terdiri atas sekumpulan lambang yang disebut variabel atau besaran, yang

kemudian di dalamnya menggunakan operasi matematika seperti penambahan,

pengurangan, perkalian, atau pembagian. Dengan prinsip-prinsip matematika

tersebut dapat dilihat apakah model yang dihasilkan telah sesuai dengan rumusan

masalah yang dihadapi. Hubungan antara komponen-komponen dalam suatu

masalah yang dirumuskan dalam

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 21: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

2

suatu persamaan matematis yang memuat komponen-komponen itu sebagai

variabel disebut model matematika. Lalu proses untuk memperoleh model dari

suatu masalah dikatakan pemodelan matematika. Manfaat yang dapat diperoleh

dari model matematika adalah dapat digunakan untuk memprediksi kejadian yang

akan muncul dari suatu fenomena serta sebagai dasar perencanaan dan kontrol

dalam pembuatan kebijakan. Langkah-langkah pembentukan model matematika

yakni pertama merupakan identifikasi masalah, kedua membuat asumsi, ketiga

membuat manipulasi matematis, keempat menginterpretasikan model, dan kelima

adalah memvalidasi model matematika yang telah dibuat tersebut (Johnson dan

Rising, 1972).

Salah satu hal yang sering kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari adalah

kendaraan. Apabila kita ingin pergi ke suatu tempat, pasti kita membutuhkan

setidaknya sebuah sepeda, motor, atau mobil yang akan mengantar kita sampai ke

tempat tujuan. Namun jika jaraknya cukup dekat, beberapa di antara kita akan

memilih menggunakan kaki kita sendiri untuk berjalan. Dalam perjalanan

tersebut, pastilah kita melewati sebuah jalan, baik jalanan sepi, ataupun jalanan

ramai. Jika tinggal di daerah perkotaan, maka jalan raya yang dilalui pada

umumnya ramai, namun jika melewati daerah pedesaan, maka jalanan yang dilalui

biasanya sepi atau bahkan jarang dilalui oleh penduduk sekitar. Lantas kita

berpikir apa yang menyebabkan adanya keramaian yang ada di jalanan sebuah

perkotaan. Hal yang pertama terlintas adalah banyaknya kendaraan yang melintas

di jalan tersebut, kemudian beralih pada apakah itu merupakan jalan utama atau

jalan pendukung. Lalu kita melihat apakah kondisi kota tersebut merupakan kota

yang padat penduduknya atau tidak.

Provinsi Daerah Istimewa Yogyakarta merupakan salah satu provinsi yang

paling banyak dituju oleh orang-orang dari berbagai daerah, baik untuk menimba

ilmu maupun untuk rekreasi. Memanfaatkan sektor jasa untuk memenuhi

kebutuhan sektor rekreasi, banyak penduduk yang tinggal di sekitar Yogyakarta

mencari nafkah di daerah wisata yang ada di Yogyakarta, hal ini mengakibatkan

populasi penduduk di provinsi DIY bertambah pesat. Begitu juga dengan

permintaan lahan untuk pemukiman atau tempat usaha. Di samping itu, faktor

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 22: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

3

yang tak kalah penting adalah permintaan akan kendaraan (terutama kendaraan

bermotor) untuk memudahkan masyarakat menuju tempat lain sesuai yang

diinginkan. Dengan berkurangnya lahan kosong, meningkatnya populasi

kendaraan, serta akses atau jalan raya yang tidak berubah, maka perlu dipikirkan

solusi untuk menanggulangi hal-hal yang tidak diinginkan, seperti kemacetan.

Berdasarkan data Badan Pusat Statistik (BPS), pada tahun 2012 jumlah

kendaraan bermotor roda dua dan roda empat di provinsi DIY mencapai 1 juta

unit dengan laju pertumbuhan kendaraan bermotor untuk roda dua mencapai

93.894 unit per tahun dan 11.809 unit per tahun untuk roda empat. Namun

berdasarkan data penerimaan pajak di Dinas Pendapatan Pengelolaan Keuangan

dan Aset (DPPKA) DIY, jumlah kendaraan bermotor pada tahun 2011 mencapai

1.210.258 unit dengan jumlah terbesar disumbang oleh Kabupaten Sleman dengan

473.131 unit, tahun 2012 mencapai 1.270.787 unit dengan jumlah terbesar

disumbang oleh Kab. Sleman dengan 533.929 unit, tahun 2013 mencapai

1.396.967 unit dengan jumlah terbesar disumbang oleh Kab. Sleman dengan

533.929 unit. Tahun 2015, jumlah kendaraan roda empat yang berplat AB di

Provinsi DIY sudah mencapai 270.000, dan juga jumlah kendaraan bermotor yang

jumlahnya hingga 4-5 kali lipat dari jumlah mobil yang ada. Hingga akhir tahun

2016, jumlah kendaraan di provinsi DIY mencapai 340.000 dengan perincian ada

25,537 unit sepeda motor baru di Kabupaten Sleman, kemudian diikuti Kabupaten

Bantul dan Kota Yogyakarta, masing masing 18,874 dan 12,284 unit. Untuk roda

empat Sleman juga masih terbanyak, yakni berjumlah 6,018 unit, kemudian Kota

Yogyakarta dengan 2,838 unit serta Bantul 2,730 unit.

Dari jumlah kendaraan bermotor yang tertera, serta lebar jalan yang tidak

memadai di beberapa ruas jalan di DIY, maka tak pelak lagi beberapa tahun

mendatang provinsi DIY akan menjadi provinsi dengan tingkat kemacetan tinggi

di Indonesia. Menurut Undang-Undang no. 38 tahun 2004 mengenai lebar jalan

untuk wilayah perkotaan, lebar jalan ideal untuk jalan arteri sekunder adalah lebih

dari 8 meter. Jalan arteri sekunder adalah ruas jalan yang menghubungkan antara

kawasan primer (jalan raya besar/ highway) dengan kawasan sekunder (jalan raya

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 23: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

4

penghubung antara jalan raya besar yang satu dengan lainnya). Jalan arteri

sekunder bisa disebut juga jalan protokol. Panjang serta lebar jalan yang tanpa

adanya perubahan berarti terkadang membuat pengemudi menerobos trotoar

supaya mereka bisa sampai di tujuan dengan tepat waktu. Salah satu solusi dari

permasalahan kemacetan adalah dengan pengaturan rambu lalu lintas, khususnya

pengaturan waktu di traffic light atau lampu lalu lintas. Dalam hal ini, yang

diperhitungkan hanya lama waktu lampu berwarna merah dan hijau, sedangkan

lampu berwarna kuning tidak diperhitungkan.

Permasalahan yang dihadapi kali ini adalah permasalahan kepadatan lalu

lintas yang sering terjadi pada perkotaan. Hal yang akan disoroti adalah

banyaknya kendaraan yang melintas, kapasitas jalan tersebut dalam radius

tertentu, serta kecepatan kendaraan pada jalan tersebut. Model yang akan

digunakan pada penelitian ini adalah sebuah model yang dikembangkan oleh

Lighthill dan Whitham. Beberapa tahun kemudian model tersebut disempurnakan

oleh Richards sehingga membentuk sebuah model matematika yang representatif

dengan bidang penelitian makroskopis yang hanya memperhatikan tiga variabel

yaitu arus/ aliran lalu lintas, kepadatan, serta kecepatan kendaraan. Jika aliran lalu

lintas tidak bisa bergerak, kepadatannya mencapai maksimum, dan kendaraan

tidak bisa bergerak sama sekali atau berhenti total, maka hal itu menimbulkan

kemacetan.

Penelitian dilakukan di pertigaan Janti yang notabene merupakan daerah

rawan kemacetan baik di pagi hari maupun di sore hari. Dengan lebar jalan hanya

7,5 meter di Jalan Solo dan 6 meter di Jalan Janti, maka bisa dikatakan lebar jalan

di area pertigaan Janti tidak memenuhi kriteria batas minimal lebar jalan menurut

UU no. 38 Tahun 2004 tentang lebar jalan ideal untuk jalan arteri sekunder adalah

lebih dari 8 meter.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 24: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

5

Sumber: Google Maps

Gambar 1.1 Peta Lokasi Pertigaan Janti beserta area sekitarnya

Terlebih lagi banyaknya kendaraan yang berputar balik dari arah Seturan

yang ingin memasuki wilayah Jalan Solo menuju ke UIN Sunan Kalijaga,

kemudian putar balik dari arah bandara yang ingin memasuki area UAJY

Babarsari. Lalu adanya antrian panjang dari arah selatan (Ring Road Timur) yang

akan naik ke flyover Janti atau melewati jalan di bawah flyover. Kendaraan yang

awalnya melaju kencang hingga 1000 m/s tiba-tiba harus mengurangi

kecepatannya hingga 200 m/s saat ada antrian di depannya. Hal itu juga

menyebabkan kendaraan lain yang berada di belakangnya melakukan hal yang

sama dengan kendaraan di depannya tersebut dan kendaraan di belakang-

belakangnya pun akan berhenti total. Hal-hal seperti itulah yang menyebabkan

kepadatan di pertigaan Janti, yaitu karena penumpukan kendaraan di titik-titik

tertentu, terutama pada ruas jalan sebelum pertigaan Janti. Pada waktu-waktu

tertentu, antrian kendaraan di pertigaan Janti dari arah barat bisa mencapai 1000

meter, dari arah selatan bisa mencapai 300 meter, dan ke arah timur bisa mencapai

500 meter di area Babarsari. Banyak kendaraan yang tidak bisa bergerak maju

ataupun mundur karena tidak ada ruas jalan yang cukup untuk melakukan itu,

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 25: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

6

bahkan para pengemudi harus rela menunggu hingga bermenit-menit untuk

sekadar melewati pertigaan Janti. Peneliti pun mengalami hal serupa terlebih saat

waktu-waktu tertentu, waktu yang dibutuhkan untuk melewati pertigaan Janti bisa

lebih dari 15 menit. Pemilihan penelitian di pertigaan Janti karena topik yang akan

diteliti di sini adalah ruas jalan besar/ highway dengan 2 input dan 1 output, selain

itu penelitian ini digunakan untuk memodelkan arus lalu lintas/ traffic flow yang

ada di pertigaan Janti yang nantinya bisa digunakan untuk mengurai kemacetan.

Masalah lain yang juga perlu dikaji dalam penelitian ini adalah “apa relevansi

hasil penelitian bagi para pengguna jalan?”

Proses pengerjaan dari penelitian ini adalah menggunakan pendekatan

simulasi karena pendekatan secara analitik sulit untuk dilakukan, sehingga

digunakan pendekatan secara numeris dan hasil yang didapat digunakan untuk

proses simulasi. Selain itu data yang didapat untuk membuat model simulasi ini

tidak harus banyak, karena data yang diperoleh walau hanya sedikit bisa mewakili

situasi yang ada. Hasil yang didapat dari proses simulasi bisa dibaca, serta proses

simulasi bisa dilakukan dengan berbagai kondisi kepadatan jalan raya yang

memungkinkan tanpa mengeluarkan biaya yang besar. Selain itu, model simulasi

dalam penelitian ini mencakup detail jumlah kendaraan, berapa kecepatan

kendaraan, maupun bagaimana aliran kendaraannya, interval waktu penelitiannya

juga bisa ditentukan sendiri, serta sistem eksisting tidak diperlukan. Sistem

eksisting yang dimaksud di sini adalah tidak perlu diadakan uji coba pada

kehidupan nyata jika memang tidak diperlukan.

Pendekatan simulasi pada penelitian ini merupakan sebagian kecil dari

sistem transportasi yang rumit dan dinamis. Pemilihan pendekatan menggunakan

model simulasi dilakukan karena permasalahan transportasi adalah permasalahan

pada suatu sistem dinamis yang bisa berubah sewaktu-waktu tanpa bisa

diprediksi. Faktor-faktor yang mendukung suatu sistem transportasi dalam dunia

real sangat banyak sehingga dibutuhkan penyederhanaan terhadap faktor-faktor

tersebut supaya bisa memaksimalkan sistem transportasi yang ada sekarang

maupun ke depannya melalui simulasi komputer. Model simulasi juga dipilih

karena adanya kebutuhan untuk mengetahui kelakuan sistem transportasi guna

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 26: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

7

menjelaskan bagaimana hasil yang diperoleh untuk memutuskan langkah apa yang

harus dipilih. Simulasi juga diperlukan guna menentukan ketepatan waktu

terpadat sehingga bisa dilakukan prediksi untuk pengontrolan lalu lintas sebelum

waktu terpadat tersebut dan membuat prediksi kondisi lalu lintas yang mungkin

terjadi di pertigaan Janti. Namun kebijakan lalu lintas yang akan diambil oleh para

pengambil keputusan juga melihat dari berbagai segi, tidak hanya melihat dari

segi analisis matematisnya saja, bisa dari segi ekonomis maupun geografis,

sehingga hasil pemodelan lalu lintas pada penelitian ini merupakan alat bantu bagi

para pengambil keputusan dalam menentukan kebijakan yang akan diambil, bukan

sebagai penentu kebijakan. Pada penelitian ini, simulasi dilakukan menggunakan

program Matlab serta fuzzy interference system (FIS).

B. Rumusan Masalah

Rumusan masalah yang akan dibahas pada penelitian ini adalah:

1. Bagaimana hasil analisis model matematika khususnya model Lighthill-

Richard-Whitham (LWR) dan diterapkan di pertigaan Janti?

2. Bagaimana visualisasi data berdasarkan analisis yang telah dilakukan

berdasarkan data, khususnya pada pertigaan Janti?

3. Apa manfaat hasil penelitian bagi masyarakat Yogyakarta dan sekitarnya?

C. Batasan Masalah

Tidak ada kendaraan yang salah arah atau berputar balik, tidak ada tilang

atau pemberhentian mendadak dari polisi, lampu lalu lintas yang digunakan hanya

lampu merah dan lampu hijau, cuaca dan kondisi jalan rusak juga tidak

diperhitungkan, panjang dan lebar jalan yang diamati juga terbatas. Ruas jalan

yang diteliti adalah pertigaan Jalan Janti, tepatnya pada ruas jalan sepanjang 200

m dari arah barat (Jalan Solo), 100 m dari arah Selatan (Jalan Janti), serta 300 m

ke arah timur (Jalan Solo). Penelitian ini dilakukan dengan perhitungan jumlah

kendaraan yang berada pada setiap jalan pada jam-jam tertentu di setiap lampu

lalu lintas. Jam yang dimaksud adalah pada jam lengang yaitu pukul 08.45-09.45

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 27: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

8

dan jam sibuk yaitu pukul 16.30-17.30. Gang kecil yang berada di sekitar

pertigaan Janti juga diabaikan.

D. Tujuan Penelitian

Penelitian ini bertujuan untuk:

1. Menentukan hasil analisis model matematika khususnya model Lighthill-

Richard-Whitham (LWR) dan bisa diterapkan di pertigaan Janti.

2. Membuat visualisasi data berdasarkan analisis yang telah dilakukan

berdasarkan data, khususnya pada pertigaan Janti.

3. Mengetahui relevansi antara hasil penelitian dengan masyarakat

Yogyakarta dan sekitarnya.

E. Manfaat Penelitian

Manfaat yang bisa diambil dari penelitian ini adalah menambah pustaka

atau referensi keilmuan bidang penerapan pemodelan matematika dan sebagai

dasar penelitian selanjutnya.

F. Sistematika Penulisan

Sistematika penulisan ini adalah sebagai berikut:

BAB I PENDAHULUAN

Bab I akan membahas mengenai latar belakang, rumusan

masalah, pembatasan masalah, tujuan penelitian, manfaat

penelitian, dan sistematika penulisan.

BAB II LANDASAN TEORI

Bab II akan membahas mengenai teori-teori yang akan

digunakan dalam membuat model matematika mengenai

arus/aliran lalu lintas dengan kajian makroskopis, serta

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 28: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

9

hubungan yang terjadi antara medan kecepatan, kepadatan,

dan arus/ aliran lalu lintas.

BAB III PEMBAHASAN

Bab III akan membahas mengenai beberapa model lalu

lintas yang telah ada, khususnya model LWR.

BAB IV PENGOLAHAN DATA

Bab IV akan membahas mengenai simulasi model LWR

yang diterapkan pada pertigaan Janti.

BAB V KESIMPULAN

Pada Bab V akan membahas mengenai kesimpulan dan

saran dari penelitian ini.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 29: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

10

BAB II

LANDASAN TEORI

A. MODEL MATEMATIKA

Pengertian model menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia (KBBI) adalah

pola (contoh, acuan, ragam, dan sebagainya) dari sesuatu yang akan dibuat atau

dihasilkan, sedangkan pengertian matematika menurut KBBI adalah ilmu tentang

bilangan, hubungan antara bilangan, dan prosedur operasional yang digunakan

dalam penyelesaian masalah mengenai bilangan. Sehingga model matematika bisa

diartikan sebagai pola yang terdapat pada matematika.

Pemodelan matematika adalah sebuah representasi dari suatu sistem atau

skenario yang digunakan untuk mendapatkan pengertian secara kuantitatif

maupun kualitatif pada suatu permasalahan matematis. Pemodelan matematika

berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau masalah

pada dunia nyata dalam pernyataan matematis, sehingga diperoleh pemahaman

dari masalah dunia nyata ini menjadi lebih tepat. Representasi matematika yang

dihasilkan dari proses ini dikenal sebagai “model matematika”. Konstruksi,

analisis, dan penggunaan model matematika dipandang sebagai salah satu aplikasi

matematika yang paling penting. Model matematika juga dapat diterapkan di

banyak disiplin ilmu yang berbeda, seperti fisika, ilmu biologi dan kedokteran,

teknik, ilmu sosial dan politik, ekonomi, bisnis dan keuangan, juga masalah-

masalah pada jaringan komputer.

Menurut Widowati dan Sutimin (2007), esensi proses pemodelan

matematika umumnya sama dan dapat dinyatakan dalam alur diagram berikut.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 30: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

11

Gambar 2.1 Proses pemodelan

B. PENDEKATAN PADA PEMODELAN MATEMATIKA

Menurut Widowati dan Sutimin (2007), terdapat beberapa jenis model

matematika yang meliputi model empiris, model simulasi, serta model

deterministik dan stokastik.

1. Model Empiris

Pada model empiris, data yang berhubungan dengan masalah

menentukan peran yang penting. Gagasan utamanya adalah

mengkonstruksi formula atau persamaan matematika yang dapat

menghasilkan grafik yang terbaik untuk mencocokkan data. Salah satu

contoh model empiris yaitu:

Dunia Real Dunia Matematika

Problem

Dunia

Real

Problem

Matematika

Solusi Dunia

Real

Interpretasi

Solusi

Penyelesaian

Persamaan/

Pertidaksamaan

Formulasi Persamaan/

Pertidaksamaan

Membuat

Asumsi

Bandingkan

Data

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 31: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

12

Suatu jenis bakteri di suatu wilayah membelah menjadi dua bagian

setiap detik sehingga penyebaran bakteri tersebut sulit dibendung. Para

peneliti berniat mengidentifikasi bakteri tersebut, namun awalnya mereka

harus memodelkan bakteri tersebut terlebih dahulu, sehingga jumlah

bakteri yang didapat:

di mana:

jumlah bakteri

waktu (detik)

Untuk mencari kapan bakteri mencapai jumlah tertentu adalah:

2. Model Simulasi

Pendekatan lain untuk pemodelan matematika adalah konstruksi

model simulasi. Simulasi ialah suatu metodologi untuk melaksanakan

percobaan dengan menggunakan model dari satu sistem nyata. Hubungan

yang terdapat dalam model simulasi tampak seperti pada gambar 2.2.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 32: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

13

Gambar 2.2 Hubungan antara Model Simulasi

Dengan menggunakan simulasi, penelitian ini bertujuan membuat

model yang dapat merepresentasikan sistem tersebut serta membuat sistem

alternatif yang meningkatkan optimasi dari sistem lama. (Sudradjat, Diah

Chaerani, dan Farida C. Kusuma, “Rancangan Model Simulasi Antrian

untuk Mengurangi Kemacetan Kendaraan di Pelabuhan Merak Banten”,

45-52 (2012)). Langkah-langkah dalam perancangan model simulasi

adalah sebagai berikut :

a. Menentukan Objek Penelitian

Objek penelitian ini adalah Pelabuhan Merak Banten, serta

mekanisme pelayanan dalam sistem antrian yang digunakan oleh

pelabuhan.

b. Mekanisme Pelayanan di Pelabuhan Merak

Ketentuan yang diterapkan oleh pengelola Pelabuhan Merak

Banten, untuk dapat masuk ke kapal, kendaraan harus melewati beberapa

titik/ gerbang pelayanan yang ada di lokasi pelabuhan, seperti dijelaskan

oleh

Masalah

yang akan

dikaji

Metode

Numeris

Landasan

Teori

Model

Matematis

Program

Laporan

Hasil

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 33: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

14

gambar 2.3 berikut ini.

Gambar 2.3 Mekanisme Pelayanan di Pelabuhan Merak Banten

c. Kajian Pustaka

Kajian pustaka ini berisi tentang semua referensi yang diperlukan

dalam pembahasan masalah pada penelitian ini.

d. Formulasi Masalah

Beberapa hal yang ditentukan dalam langkah ini adalah merancang

model simulasi menggunakan program simulasi serta menentukan tingkat

fasilitas pelayanan dan jumlah server optimal untuk mengurangi antrian

atau untuk mencegah timbulnya antrian.

e. Pengambilan Data

Untuk menganalisis dan mensimulasikan sistem antrian agar dapat

mendekati keadaaan sebenarnya, diperlukan pengambilan data melalui

observasi langsung di Pelabuhan Merak Banten.

f. Menentukan Model Antrian

Langkah-langkah analisis yang harus dilakukan sebelum

menentukan model antrian adalah menentukan rata-rata jumlah kendaraan

yang datang dalam satu waktu, menentukan rata-rata waktu pelayanan

Gerbang

Utama

Masuk

Pelabuhan

Gerbang

Penimbangan

Tonase

Lokasi

Pembelian

Tiket

Masuk

Dermaga Kapal

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 34: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

15

yang dibutuhkan oleh kendaraan, menentukan disiplin antrian dalam

sistem, menghitung jumlah sistem pelayanan, dan menentukan notasi

Kendall dari model antrian yang diperoleh.

g. Pengolahan Data

Pengolahan data dilakukan dalam beberapa tahapan yang didukung

dengan teori antrian. Tahapan dalam pengolahan data terdiri dari analisis

statistik dan analisis sistem antrian.

h. Pembuatan Program

Pemilihan perangkat lunak mempengaruhi keakuratan model,

waktu eksekusi dan waktu penyelesaian penelitian secara keseluruhan.

Maka dalam penelitian ini, penulis memilih untuk menggunakan software

C#.

i. Uji Coba Program

Setelah program selesai dibuat, perlu dilakukan uji coba progam

untuk melihat apakah program tersebut dapat berjalan dengan baik.

j. Verifikasi dan Validasi Program

Hasil uji coba program diteliti kembali untuk mendeteksi apakah

ada kesalahan dalam program dan jika ada yang perlu dimodifikasi.

k. Analisis Model

Analisis model meliputi tingkat kepadatan sistem atau traffic

intensity, rata-rata jumlah kendaraan dalam sistem, rata-rata waktu tunggu

kendaraan dalam antrian, jumlah loket pelayanan, dan time service

optimal.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 35: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

16

3. Model Deterministik

Model deterministik adalah model matematika dimana gejala-

gejala dapat diukur dengan derajat kepastian yang cukup tinggi. Pada

model deterministik diasumsikan bahwa kejadian-kejadian yang ada

memiliki peluang yang tetap, dapat pula diasumsikan pasti terjadi maupun

tidak mungkin terjadi. Contoh model deterministik adalah masalah

transportasi, masalah penugasan, masalah transhipment, dan model

jaringan (salah satu aplikasi dari teori graf) di mana metode ini umumnya

merupakan pengembangan dari metode simpleks yang merupakan metode

dasar semua masalah program linear Model deterministik digunakan untuk

menyatakan masalah dunia nyata yang diformulasikan berdasarkan pada

hubungan dasar faktor-faktor yang terlibat.

4. Model Stokastik

Metode stokastik adalah model matematika di mana gejala-gejala

dapat diukur dengan derajat kepastian yang tidak stabil. Contoh model

stokastik adalah teori antrian dan teori permainan, di mana ini merupakan

pengembangan dari riset operasi modern. Contoh penerapan pemodelan

stokastik adalah rantai Markov dengan waktu diskret, proses Poisson,

rantai Markov dengan waktu kontinu, proses bercabang dan proses

pembaruan dan penerapannya.

Kejadian stokastik adalah kejadian yang hanya dapat ditentukan

distribusi frekuensinya. jadi kejadian stokastik ini tidak dapat ditentukan

fungsinya dengan pasti, namun hanya berupa kisaran fungsi yang nilainya

belum dapat ditetapkan. Contoh dari kejadian stokastik adalah jumlah

daun yang berguguran setiap harinya. Helai-helai daun berguguran dari

hari ke hari, namun belum dapat dipastikan berapa jumlahnya dan fungsi

seperti apa yang dapat menggambarkan proses bergugurnya daun-daun

tersebut.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 36: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

17

C. Faktor - Faktor yang Mempengaruhi Arus Lalu Lintas

Menurut Iswanto (2012), faktor-faktor yang mempengaruhi arus lalu lintas adalah

kecepatan, kepadatan, dan aliran kendaraan.

1. Kecepatan

Kecepatan adalah laju gerak kendaraan pada arus kendaraan yang ada di

jalan raya, sehingga dapat diketahui mengenai perpindahan posisi kendaraan yang

satu dengan posisi yang lain. Sedangkan medan kecepatan adalah kumpulan dari

kecepatan dengan arah yang sama. Pada arus kendaraan yang ada di jalan raya,

akan dapat diketahui mengenai perpindahan posisi kendaraan yang satu dengan

posisi yang lain. Jika posisi kendaraan diberikan dengan , maka laju adalah

bentuk turunan pertamanya yaitu

dan percepatannya merupakan turunan

keduanya yaitu

. Untuk mengukur medan kecepatan

, setiap

kendaraan yaitu dengan

, dengan N jumlah kendaraan yang berbeda

dalam kecepatannya, yang tergantung oleh waktu, yaitu = 1, 2, 3, ... N.

Dalam beberapa kasus, jumlah kendaraan di jalan raya sangat banyak sehingga

kecepatannya tidak bisa stabil, dan kecepatan masing-masing individu akan

menjadi kecepatan tunggal yang dinamakan kecepatan sesaat.

Adanya medan kecepatan menunjukkan bahwa adalah fungsi

posisi dan adalah fungsi waktu. Misal mobil 1 melaju dengan kecepatan 1200

m/s dan mobil 2 melaju dengan kecepatan 800 m/s, sedangkan untuk posisinya,

mobil 1 berada pada , pada , sedangkan mobil 2 berada pada posisi

pada seperti ditunjukkan pada gambar 2.4.

0 L

Gambar 2.4 Posisi mobil 1 dan mobil 2 saat

① ②

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 37: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

18

Persamaan tersebut dapat dituliskan menjadi:

Dengan mengintegralkan kedua persamaan tersebut terhadap fungsi , kita akan

mendapatkan nilai masing-masing posisi kedua mobil sebagai fungsi waktu.

2. Kepadatan Lalu Lintas

Kepadatan (density) adalah jumlah kendaraan yang menempati suatu unit/

panjang jalan pada saat bersamaan. Pengukuran tingkat kepadatan sangatlah

tergantung pada pemilihan interval waktu. Jika penggunaan interval waktu sangat

kecil maka grafik yang dihasilkan tampak tidak memiliki pola, namun jika

digunakan interval waktu yang tepat, maka akan diperoleh kurva yang lebih

smoothy yang menandakan bahwa fungsi kepadatan merupakan salah satu jenis

fungsi yang kontinu. Beberapa kesalahan dalam pemilihan interval waktu ini

dinyatakan dengan beberapa asumsi, yaitu:

a. Interval terlalu panjang sehingga terlalu banyak kendaraan yang lewat dan

terekam oleh pengamat.

b. Interval terlalu pendek sehingga variasi yang ada kurang mendukung,

yaitu dengan adanya jarak atau rentang yang panjang pada ketegangan

kendaraan yang lewat.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 38: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

19

3. Aliran Kendaraan

Aliran kendaraan adalah banyaknya kendaraan yang lewat sebuah titik di

waktu/ periode yang telah ditentukan. Rumus untuk mencari aliran kendaraan

adalah kepadatan dikalikan dengan medan kecepatan. Aliran kendaraan dengan

kecepatan konstan disimbolkan dengan dan kepadatan konstan dilambangkan

dengan . Sehingga aliran lalu lintas (traffic flow) yang dilambangkan dengan

adalah

aliran lalu lintas = (kepadatan) (medan kecepatan)

Jika lalu lintas tergantung pada dan sedemikian sehingga dapat ditunjukkan

bahwa

(1)

Jika terdapat sejumlah kendaraan yang lewat pada setiap selisih

waktu yang sangat kecil , sedemikian sehingga dan . Pada waktu

yang sangat kecil kendaraan tidak dapat bergerak jauh sehingga jika dan

merupakan fungsi yang kontinu terhadap dan , maka dan dapat

diaproksimasi dengan konstanta yang nilainya dan . Pada nilai

waktu yang sangat kecil , kendaraan yang melaju dengan ruang yang pendek

diaproksimasi dengan menggunakan . Sedangkan jumlah kendaraan

yang lewat dapat dihitung seperti rumus awal yaitu .

4. Jumlah Konservasi Kendaraan

Konservasi kendaraan adalah upaya untuk mempertahankan atau

meminimalisir banyaknya kendaraan yang ada di jalan raya karena kondisi jalan

raya yang sudah tidak memadai. Sebagaimana telah diketahui bahwa variabel

utama dalam arus lalu lintas adalah dan . Variabel lalu lintas yang

berupa medan kecepatan, kepadatan, dan juga aliran tidak hanya tertuju pada satu

kendaraan, namun harus dipakai dalam jumlah kendaraan yang lebih dari satu.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 39: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

20

Jika pada saat posisi dan , maka jumlah kendaraan dapat dirumuskan

dengan mengintegralkan kepadatan lalu lintas.

(2)

Jika pada jalan tersebut tidak terdapat pintu, baik yang masuk maupun

yang keluar, maka sejumlah kendaraan pada interval dan masih tetap

dapat berubah sesuai waktu. Maka terdapat penurunan jumlah kendaraan karena

terdapat kendaraan yang keluar dari posisi , sebaliknya terdapat arus

peningkatan, yaitu dengan masuknya sejumlah kendaraan dari segmen . Jika

diasumsikan bahwa jumlah kendaraan yang masuk dan keluar hanya dari dalam

segmen dan , maka perubahan jumlah kepadatan hanya tergantung pada

segmen dan . Misalnya kendaraan yang masuk ke segmen sebanyak 20 per

detik, tetapi kendaraan yang keluar dari segmen sebanyak 15 per detik, sehingga

jumlah peningkatan arus sebesar 5 kendaraan per detik.

Menggunakan generalisasi yang sama, dapat pula ditentukan bahwa jika

terdapat sejumlah aliran kendaraan pada setiap segmen yaitu segmen dan ,

yang diberikan dengan dan yang bukan suatu konstanta, karena

tergantung oleh waktu, sehingga laju perubahan jumlah kendaraan yaitu

, sama

dengan jumlah unit yang ada per satuan waktu yang memotong segmen

(bergerak ke kanan) dikurangi dengan jumlah unit yang ada per satuan waktu

yang memotong segmen (bergerak ke kanan) dapat dirumuskan sebagai

(3)

Jumlah kendaraan per unit waktu dikatakan sebagai aliran (flow) yang diberikan

dengan . Persamaan (3) diintegralkan terhadap waktu, kemudian

disubstitusikan menggunakan perbedaan selisih waktu, selisih dimaksud adalah

selisih jumlah kendaraan antara waktu dan sehingga membentuk:

Misalkan dan

𝑁 𝜌 𝑥 𝑡

𝑎

𝑏

𝑑𝑥

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 40: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

21

Pembagian persamaan dengan menggunakan dan mengambil limitnya

Dengan teorema dasar Kalkulus yang menyatakan bahwa turunan dari integral

adalah fungsi itu sendiri.

( )

Karena masing-masing nilai dapat berubah sesuai dengan waktu, maka variabel

tersebut dapat diganti dengan menggunakan nilai sesuai keumumannya. Dengan

menggunakan kombinasi dari beberapa persamaan sebelumnya, dapat diperoleh

hubungan mengenai kepadatan, yaitu

Persamaan di atas berarti kendaraan tidak ada yang keluar dari jalur tersebut.

Misalkan contohnya, terdapat sebuah jalan yang sangat panjang, maka arus aliran

kendaraan dimodelkan dengan panjang jalan sampai dengan tak terhingga. Jika

diasumsikan bahwa kendaraan mendekati nol sepanjang mendekati keduanya

(posisi dan waktu) , maka dapat dirumuskan secara matematis sebagai

Dari persamaan sebelumnya

𝑑

𝑑𝑡 𝜌 𝑥 𝑡 𝑑𝑡 𝑞 𝑎 𝑡 𝑞 𝑏 𝑡

𝑏

𝑎

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 41: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

22

Dengan mengintegrasikannya akan diperoleh

Persamaan di atas menunjukkan jumlah total kendaraan adalah konstan sepanjang

waktu. Konstan dapat dievaluasi jika jumlah awal kendaraan atau kepadatan

awal

(4)

Pada hukum konservasi integral dengan segmen jalan, yaitu dan

masing-masing sebagai variabel independen, sehingga dapat ditulis dalam bentuk

persamaan diferensial biasa yaitu:

(5)

a. Berdasarkan integral konservasi sepanjang jalan raya dari sampai dengan

, persamaan dapat dimodifikasi menjadi

Dengan membagi dengan dan mengambil limitnya

𝜌 𝑥 𝑡 𝑑𝑥

𝜌 𝑥 𝑑𝑥

𝜕

𝜕𝑡 𝜌 𝑥 𝑡 𝑑𝑥 𝑞 𝑎 𝑡 𝑞 𝑏 𝑡

𝑏

𝑎

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 42: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

23

Pada bagian kiri persamaan tersebut adalah definisi turunan parsial dengan tetap,

atau yang lebih sering dikatakan sebagai (

) . Nilai limit di sebelah kanan

pun dapat dilakukan dengan menggunakan dua buah pendekatan, yaitu

1) Integralnya adalah area di bawah kurva antara dan .

Karena sangat kecil, maka integral dapat diaproksimasi dengan satu buah

kotak saja (seperti tampak pada gambar 2.5).

Gambar 2.5 Daerah integral dari konservasi kendaraan pada jalan raya

Banyaknya kendaraan antara dan dapat diaproksimasi dengan

penambahan panjang suatu ruas jalan sebanyak kali dengan kepadatan

lalu lintasnya ada di

Sebagai hasil dari penurunan ini maka diperoleh nilai eror yang semakin baik

dengan kenaikan sehingga dapat diturunkan menjadi

(6)

2) Di samping itu dapat pula diberikan fungsi sebagai jumlah kendaraan

yang berjalan di jalan raya antara posisi tetap dan variabel posisi

Maka jumlah kendaraan per meter antara dan adalah

𝑎 𝑎 𝑎

𝑡 tetap

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 43: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

24

Jika diambil limit , sisi kanan akan menjadi

(

)

Nilai dapat digantikan dengan nilai sehingga menjadi persamaan baru

yaitu

Atau bisa ditulis dengan bentuk yang lebih sederhana sehingga menjadi

(7)

Model ini merupakan salah satu bentuk persamaan diferensial parsial.

Persamaan tersebut mengekspresikan mengenai hubungan antara kepadatan

lalu lintas dan aliran kendaraan yang diasumsikan dengan jumlah yang tetap,

karena tidak ada kendaraan yang masuk dan keluar dari jalur yang sudah

ditetapkan. Semuanya berada dalam jalur untuk setiap waktu. Hal inilah

yang disebut sebagai bilangan konservasi kendaraan.

b) Berdasarkan hukum konservasi integral, pendekatan segmen jalan dilakukan

dengan menggunakan interval , namun selanjutnya dengan

mengambil nilai diferensial parsial dari sehingga

Karena mewakili posisi pada jalan, maka dapat digantikan dengan .

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 44: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

25

c) Alternatif penurunan yang lain adalah dengan mengambil panjang jalan yang

terbatas pada interval .

Sehingga persamaan tersebut dapat menjadi

(8)

Persamaan tersebut menunjukkan integral pada interval sampai dengan

nilai yang berbeda dan memberikan hasil berupa nol. Integral yang demikian

disebut dengan integral nol. Fungsi integral yang memberikan nilai nol pada

setiap pengambilan interval apapun disebut sebagai fungsi integral nol.

Dari ketiga metode tersebut, dapat ditunjukkan bahwa

Beberapa eksperimen menunjukkan bahwa untuk menggunakan aliran juga

ditentukan oleh beberapa kriteria yang lain yaitu , sehingga konservasi

kendaraan dapat ditulis menjadi

(9)

yang merupakan persamaan diferensial parsial yang berhubungan dengan

kepadatan lalu lintas dan medan kecepatan.

5. Hubungan kepadatan (density) dengan medan kecepatan (velocity)

Dua variabel yakni kepadatan dan medan kecepatan kendaraan dihubungkan

dalam satu persamaan yaitu

𝜕𝜌 𝑥 𝑡

𝜕𝑡 𝜕𝑞 𝑥 𝑡

𝜕𝑥

𝑏

𝑎

𝜕𝜌

𝜕𝑡 𝜕 𝜌𝜇

𝜕𝑥

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 45: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

26

Persamaan tersebut juga dapat digunakan untuk memprediksi tingkat

kepadatan masa mendatang dengan mengetahui tingkat kepadatan mula-mula.

Secara teknisnya, medan kecepatan dalam kendaraan tergantung pada pengendara

yang mengendarainya. Namun di lain pihak, kepadatan juga berpengaruh pada

laju kendaraan. Secara umum, pengendara akan melaju kencang pada kepadatan

rendah dan melaju lambat pada kepadatan tinggi.

Dari pernyataan di atas, dapat diperoleh asumsi bahwa kecepatan

kendaraan sepanjang jalan akan bergantung pada kepadatan kendaraan.

(10)

Lighthill dan Whitham (Lighthill, M.J. and Whitham, G. B., “On

Kinematic Waves II. A Theory of Traffic Flow on Long Crowded Roads, “Proc.

Roy. Soc. A, 229, 317-345 (1955)) serta Richards (Richards, P.L., “Shock Waves

on the Highway, “Operations Researches 4, 42-51 (1956)) secara independen

mengusulkan mengenai model Matematika pada aliran lalu lintas yaitu jika tidak

terdapat kendaraan lain atau tidak ada mobil yang ada di jalan (kepadatan rendah),

maka kendaraan akan berjalan dengan kecepatan maksimum, yaitu .

dikatakan sebagai “kecepatan bebas” yang berhubungan dengan

kecepatan kendaraan yang akan bergerak jika bebas dari kendaraan lain. Namun

jika terdapat peningkatan dalam jumlah kepadatan, maka dapat menyebabkan laju

kendaraan semakin lambat yang dapat dituliskan menjadi

Dalam perkembangannya, jika kepadatan kendaraan menjadi maksimum, maka

keadaan menjadi bumper to bumper traffic, yang diberikan dengan

(11)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 46: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

27

Dalam keadaan tersebut, kendaraan tidak dapat melaju karena tidak memiliki

ruang untuk bergerak dan akan saling bertabrakan jika dipaksakan, sehingga

, dengan adalah panjang kendaraan. Kurva yang dijumpai untuk

memberikan ilustrasi di atas adalah

Gambar 2.6 Kepadatan Lalu Lintas (kecepatan kendaraan turun ketika kepadatan

meningkat)

Gambar 2.6 menunjukkan hubungan antara dua variabel lalu lintas, yaitu

medan kecepatan dan kepadatan merupakan perbandingan terbalik sehingga

membentuk kurva menurun secara kontinu yaitu . Namun dalam realita,

kecepatan tidak selalu dipengaruhi oleh kepadatan dalam setiap kondisi jalan,

tetapi ada beberapa faktor lain yang mempengaruhi, misalnya adanya kerusakan

jalan, cuaca yang ekstrem, dll. Akan tetapi dalam penelitian ini, diasumsikan

bahwa medan kecepatan hanya dipengaruhi oleh kepadatan.

Sebagai tambahan, mengindikasikan bahwa jika berubah

maka juga berubah secara spontan.

6. Aliran kemacetan (traffic flow)

Keadaan aliran yang padat akan terjadi jika kendaraan berada dalam

keadaan bumper to bumper atau . Dalam hal ini, diasumsikan bahwa

jalan sangat homogen sedemikian rupa sehingga kecepatan kendaraan tergantung

pada kepadatan dan bukan waktu atau posisi sepanjang jalan. Secara

matematisnya, diberikan dalam bentuk medan kecepatan dikalikan dengan

kepadatan.

𝜇𝑚𝑎𝑥𝑥

𝜌𝑚𝑎𝑥𝑥 𝜌

𝜇

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 47: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

28

(12)

Gambar 2.7 Kecepatan kendaraan hanya tergantung pada kepadatan lalu lintas

Berdasarkan gambar 2.7, aliran akan memenuhi beberapa kriteria yaitu akan

bernilai nol dalam dua cara;

a. Jika tidak ada kemacetan

b. Jika terdapat kemacetan, maka kendaraan tidak dapat bergerak

sehingga

Untuk nilai kepadatan yang lain , aliran kemacetan harus

menjadi positif. Dalam hal ini diasumsikan bahwa hubungan antara aliran

kepadatan diberikan dalam bentuk konkaf menurun, (

) , dengan kata lain

diasumsikan bahwa

menurun sepanjang meningkat, seperti ditunjukkan pada

gambar 2.8 (a dan b).

Gambar 2.8a Kurva kepadatan dan aliran Gambar 2.8b Fungsi menurun

turunan kepadatan dan aliran

𝜇𝑚𝑎𝑥𝑥

𝜌𝑚𝑎𝑥𝑥 𝜌

𝜇

𝜌𝑚𝑎𝑥𝑥 𝜌

𝑞 𝑞𝜇 𝜌 𝑑𝑞

𝑑𝜌

𝜌𝑚𝑎𝑥𝑥 𝜌

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 48: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

29

7. Tingkat kepadatan kemacetan

Pada gambar 2.9 di bawah menunjukkan garis yang memisahkan antara

kemacetan tinggi dengan kemacetan rendah dengan kemacetan rendah merupakan

titik optimum kepadatan.

Gambar 2.9 Kurva kemacetan tinggi dan rendah

Kepadatan erat kaitannya dengan kapasitas jalan, terutama mengenai jumlah

kendaraan yang dapat dimuat oleh badan jalan. Pada masalah kemacetan, terdapat

dua jenis kecepatan, yakni kecepatan masing-masing kendaraan dan kecepatan

sejauh mana kemacetan ada dan dilambangkan dengan diagram kemacetan jalan

yaitu terhadap , dengan

| (13)

Gambar 2.10 Kurva kecepatan pada kemacetan dan kecepatan kendaraan

Kemiringan garis dari titik awal terhadap titik pada kurva aliran-

kepadatan (pada gambar 2.10) memberikan nilai kepadatan konstan adalah

medan kecepatan , karena

Kepadatan

optimum

𝜌

Kemacetan

rendah

Kemacetan

tinggi

𝑞

𝑐 𝑑𝑞

𝑑𝜌

𝜌

𝑞 𝜌

𝜌

𝑞

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 49: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

30

BAB III

PEMBAHASAN

A. Daftar Variabel yang Digunakan

Model matematika adalah hubungan antara komponen-komponen dalam

suatu masalah yang dirumuskan dalam suatu persamaan matematis yang memuat

komponen-komponen itu sebagai variabel. Variabel-variabel tersebut ada untuk

mendukung terciptanya suatu model matematika dan semua variabel mempunyai

makna masing-masing. Berikut ini adalah daftar beberapa variabel yang

digunakan pada penelitian ini beserta artinya:

No. Variabel Arti

1 posisi )

2 waktu (sekon)

3 medan kecepatan (

)

4 kepadatan lalu lintas (

)

5 arus lalu lintas (

)

6 banyak kendaraan

7 medan kecepatan arus bebas (

)

8 kepadatan dalam kemacetan (

)

9 kepadatan maksimum (

)

10 flow rate

11 kepadatan yang berada pada interval ke-

(

)

12 kepadatan yang masuk (

)

13 kepadatan yang keluar (

)

14 aliran kendaraan dalam kemacetan (

)

15 aliran kendaraan yang berada pada interval ke-

(

)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 50: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

31

16 aliran kendaraan yang masuk (

)

17 aliran kendaraan yang keluar (

)

18 kapasitas “pengirim” pada arus masuk (sending)

19 kapasitas “penerima” pada arus masuk (receiving)

20 faktor prioritas

21 aliran yang dapat dicapai dalam suatu waktu tertentu

22 kapasitas “pengirim” dari arah Janti (selatan)

23 kapasitas “pengirim” dari arah barat (Jalan Solo)

24 kapasitas “penerima” ke arah timur (Jalan Solo)

Tabel 3.1 Daftar variabel yang digunakan

B. Studi Empiris Tentang Karakteristik Arus Lalu Lintas

Menurut Khisty dan Lall (2005), pemodelan lalu lintas dibagi menjadi dua,

yaitu pemodelan arus lalu lintas makroskopis dan pemodelan arus lalu lintas

mikroskopis. Variabel yang terdapat dalam pemodelan arus lalu lintas

makroskopis di antaranya yaitu arus lalu lintas, kepadatan, dan medan kecepatan.

Variabel yang terdapat dalam pemodelan arus lalu lintas mikroskopis antara lain

panjang kendaraan dan hal-hal lain yang berfokus pada perilaku pengemudi itu

sendiri.

Dalam penelitian ini, lebih difokuskan pada pemodelan arus lalu lintas

makroskopis yang di antaranya terdapat model-model lain yang mendukung yaitu

(Tiwari & Marsani, 2011):

1. Model Greenshields

Model ini dikemukakan oleh Greenshields (1935) berdasarkan pengukuran

atas kecepatan, arus, dan kepadatan, beberapa ahli mulai mengembangkan model

arus lalu lintas berdasarkan pencocokan kurva dan uji statistik yang sebenarnya.

Evaluasi modelnya dilakukan melalui dua jalur:

a. Hubungan antara arus kecepatan, dan kepadatan dari sisi ketepatannya dengan

data lapangan yang sebenarnya.

b. Hubungan dianggap memenuhi kondisi batas-batas tertentu:

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 51: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

32

1) Arus sama dengan nol ketika kepadatan sama dengan nol.

2) Arus sama dengan nol ketika kepadatan maksimum.

3) Kecepatan bebas rata-rata terjadi pada waktu kepadatan sama dengan nol.

4) Kurva-kurva arus-kepadatan terbentuk cembung (dengan kata lain,

terdapat sebuah titik arus maksimum)

(14)

dengan

= kecepatan

= kecepatan arus bebas

= kepadatan

= kepadatan dalam kemacetan

Model Greenshields memenuhi keempat kondisi batas di atas, meskipun

secara statistik hasilnya relatif buruk (sebagai contoh, koefisien penentuan yang

rendah dan standar eror yang tinggi).

2. Model Greenberg

Model ini diusulkan oleh Greenberg (1959) untuk melakukan pengukuran

kecepatan, arus, dan kepadatan di terowongan Lincoln yang menghasilkan sebuah

model kecepatan-kepadatan. Greenberg menggunakan analogi konsep arus fluida,

dengan menggunakan bentuk berikut:

(15)

di mana

C = konstanta

dan dengan mensubstitusikan

untuk

(

)

𝜇𝑠 𝜇𝑓 𝜇𝑓

𝜌𝑗 𝜌

𝜇𝑠 𝐶 (𝜌𝑗

𝜌)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 52: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

33

Dengan mendiferensiasi terhadap , kita akan memperoleh

( (

) )

Dan agar maksimum

( )

Sehingga

( )

dan

(

)

Dengan mensubstitusikan persamaan

(

)

Sehingga didapatkan

(16)

maka adalah kecepatan ketika arus maksimum.

Model Greenberg memperlihatkan tingkat ketepatan yang lebih baik

daripada model Greenshields, meskipun model ini melanggar kondisi-kondisi

batas karena kepadatan nol hanya akan tercapai bila nilai kecepatan tak terhingga.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 53: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

34

3. Model Eksponensial Underwood

Model ini diusulkan oleh Underwood (1961) untuk memperbaiki model

Greenshields. Model Underwood berupa:

(

) (17)

dengan

= kepadatan maksimum

Model ini memiliki tingkat ketepatan yang lebih baik daripada model

Greenshields dan model Greenberg saat kondisi lalu lintas tidak terlalu padat,

tetapi gagal dalam memodelkan saat kondisi lalu lintas padat.

4. Model LWR

Model LWR atau model Lighthill-Whitham-Richards pertama kali

dipublikasikan oleh Lighthill-Whitham pada 1955 dalam sebuah jurnal yang

mendeskripsikan teori gerak gelombang kinematic yang mereka aplikasikan untuk

memodelkan aliran lalu lintas pada jalur utama, kemudian pada 1956 Richards

secara independen mempublikasikan hal serupa (Lighthill, M.J. and Whitham, G.

B., “On Kinematic Waves II. A Theory of Traffic Flow on Long Crowded Roads,

“Proc. Roy. Soc. A, 229, 317-345 (1955)) serta (Richards, P.L., “Shock Waves on

the Highway, “Operations Researches 4, 42-51 (1956)). Kunci utamanya adalah

hubungan antara aliran lalu lintas dan kepadatan. Model ini diukur dengan

menggunakan karakteristik dari jalan tersebut, seperti jumlah jalur pada suatu

jalan, kecepatan, dan jenis jalan. Namun model yang dihasilkan bukan merupakan

model pasti dari suatu jalan tertentu, masih ada beberapa hal yang perlu

dikonfirmasi untuk diterapkan dalam suatu ruas jalan tertentu, seperti kecepatan

umum kendaraan, kepadatan, maupun sebaran titik yang merupakan arus masuk

dan keluar yang melalui jalur tersebut.

Pada umumnya, nilai kepadatan yang ada di sebuah jalur adalah sekitar 1

kendaraan per 6,5 meter per jalur dan nilai kepadatan ketika arus maksimum

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 54: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

35

adalah 1 kendaraan per 32 meter. (Polson, Nicholas and Vadim Sokolov,

“Bayesian Analysis of Traffic Flow on Interstate I-55: The LWR Model,” Vol. 9,

No. 4, 1864–1888 (2015)). Asumsi yang digunakan menggunakan fungsi posisi

dan waktu yang dinyatakan dengan:

(18)

dengan

= kecepatan

= aliran kendaraan

= kepadatan

a. LWR yang berada pada single road/ jalan tunggal

Untuk mencari rumus LWR yang berada pada single road/ jalan tunggal

diberikan:

Jumlah kendaraan ( ) berada di posisi dan ( dan ).

di mana

sehingga

di mana dan

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 55: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

36

Kedua ruas dikali

sehingga menjadi

(19)

Berdasarkan definisi dari turunan, ruas kiri merupakan turunan parsial dengan

tetap, sehingga menjadi

( ) (20)

Ruas kanan:

= aliran lalu lintas dari ke

= (21)

dari persamaan (19) dan (21) menjadi

Ruas kanan

(22)

Berdasarkan definisi dari Kalkulus, persamaan

sehingga

(23)

sehingga

𝑎

𝑎

𝜕

𝜕𝑡 𝜌 𝑥 𝑡

𝑎 𝑎

𝑎

𝑑𝑡 𝑎

𝑎 𝑞 𝑎 𝑡 𝑞 𝑎 𝑎 𝑡

𝑎

𝑁 𝑎 𝑎 𝑁 𝑎

𝑎

𝜕𝑁 𝑎 𝑡

𝜕𝑎

𝜕𝑁 𝑎 𝑡

𝜕𝑎 𝜌 𝑎 𝑡

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 56: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

37

(24)

Persamaan (24) menjadi

( )

( )

( )

variabel diubah menjadi karena merupakan variabel posisi

(25)

atau

( )

( )

(26)

dengan

= kepadatan

= medan kecepatan

= aliran lalu lintas

Persamaan (26) di atas disebut model LWR atau adveksi satu dimensi.

Adveksi satu dimensi adalah perpindahan suatu benda yang tidak mempengaruhi

bentuk atau massa dari benda tersebut. Pada model LWR, para pengemudi

bereaksi terhadap kecepatan kendaraan mereka pada kepadatan sekitar, seperti

tampak pada fungsi

(27)

Sedangkan fungsi

(28)

𝑎

𝑎

𝜕

𝜕𝑡 𝜌 𝑥 𝑡

𝑎 𝑎

𝑎

𝑑𝑡 𝜕

𝜕𝑡 𝜌 𝑎 𝑡

𝜕

𝜕𝑥(𝑞 𝑥 𝑡 )

𝜕

𝜕𝑡 (𝜌 𝑥 𝑡 )

𝜕

𝜕𝑥 𝜌𝜇

𝜕

𝜕𝑡 𝜌

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 57: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

38

dengan = flow rate, yaitu banyaknya kendaraan per satuan waktu yang melalui

suatu fungsi posisi dalam suatu keadaan lalu lintas tertentu, sehingga fungsi

menjadi

(29)

Sesuai dengan observasi yang telah dilakukan sebelumnya, dapat

diasumsikan bahwa hubungan kecepatan-kepadatan adalah suatu fungsi menurun

(

) yang didefinisikan pada interval [ ] dengan :

: kecepatan maksimal ketika jalan sepi atau kosong

: kecepatan berkurang hingga berhenti ketika kepadatan maksimal

dan lalu lintas tersendat.

Lalu flow rate adalah suatu fungsi yang bukan monoton

dengan and di mana nilai kritis maksimum dari adalah

ketika arus lalu lintas berjalan lancar dan lalu lintas tersendat

yang ditunjukkan pada gambar 3.1 di bawah ini.

Gambar 3.1 Fungsi medan kecepatan dan arus terhadap kepadatan, (a) , (b)

𝜇 𝜌

𝜌 𝜌𝑚𝑎𝑥

𝑓 𝜌

𝜌 𝜌𝑚𝑎𝑥 𝜎

𝜕

𝜕𝑥 𝑓 𝜌

𝜕

𝜕𝑡 𝜌

a b

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 58: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

39

Masalah yang umum dipelajari untuk hukum konservasi dari bentuk

adalah masalah Riemann mengenai metode penawaran dan permintaan

(Daganzo, 1995) di mana kondisi ini dipengaruhi oleh dua variabel konstan yaitu:

{

(30)

b. Model Jaringan

Model LWR adalah model matematika yang digunakan untuk jalan

tunggal yang searah, namun kali ini kita akan membahas tentang analisis lalu

lintas yang padat pada jaringan jalan raya. Jaringan yang akan dibahas kali ini

adalah sebuah pertigaan dengan dua arus masuk dan satu arus keluar yang tanpa

batas. Kepadatan di setiap ruas menggunakan persamaan jalan tunggal LWR,

yaitu

{

(31)

Kondisi yang ada dapat digambarkan dalam persamaan

(32)

Gambar 3.2 Sebuah jaringan sederhana

Seperti model jalan tunggal yang telah dipelajari di atas adalah salah satu

masalah Riemann mengenai metode permintaan dan penawaran yang kali ini

diaplikasikan di jalan raya. Permintaan datang dari ruas jalur nomor 3 dan

penawaran datang dari ruas jalur nomor 1 dan 2 (gambar 3.2). Masalah Riemann

pada pertigaan, kita ambil sebagai kondisi awal dengan kepadatan konstan pada

tiga ruas jalan:

(33)

1

2

3

𝑓(𝜌𝑖 𝑡 ) 𝑓 𝜌 𝑡

𝑖=

𝑡

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 59: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

40

Namun persamaan di atas tidak dapat menyajikan solusi yang tepat untuk masalah

Riemann karena tampak tidak realistis. Lebih mudahnya, ambil

yang selalu memiliki solusi matematika yang mungkin meskipun jelas-

jelas saling bertolak belakang (kecuali ada lampu merah saat akan memasuki jalan

ketiga).

c. Review ringkas dari beberapa model pertigaan

Untuk mendeskripsikan solusi dari masalah Riemann pada pertigaan, diberikan

kondisi inisial seperti persamaan (33) pada waktu , model tersebut juga

mengekspresikan nilai dari kepadatan baru pada tepi pertigaan dalam waktu :

Setelah memiliki nilai spesifik tentang kepadatan sebelum memasuki jalan ketiga,

solusi dari masalah Riemann di pertigaan akan didasarkan pada masalah Riemann

di jalan lain:

{

{

(34)

Karena gelombang dihasilkan pada jalan dengan arus keluar,

maka menurut masalah Riemann pada pertigaan, kecepatannya bernilai negatif

(karena tidak semua kendaraan serta merta masuk ke jalur selanjutnya) dan nilai

terbatas pada [ ]. Hal ini juga berlaku pada jalan dengan arus masuk

dengan , kecepatannya bernilai positif dan nilai terbatas pada

[ ].

Pada jaringan sederhana yang direpresentasikan pada gambar 3.2, kondisi

yang diakibatkan menghasilkan arus maksimal berupa

(35) 𝑓

𝑖=

��𝑖

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 60: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

41

dengan , dan

{

(36)

Jika , kita harus memberikan faktor prioritas ( ) antara arus yang

akan memasuki lajur. Beberapa hal yang mungkin adalah:

faktor prioritas bisa menjadi fungsi dari arus masuk

∑ =

faktor prioritas bisa bergantung pada koefisien yang sudah pasti

tergantung dari keadaan geometris jalan

{

Kemungkinan aliran yang melewati kemudian terbagi menjadi fungsi aliran

masuk dari faktor prioritas yang telah ditemukan sebelumnya:

{

(37)

Menurut Jin dan Zhang (2002), teorema berikut memperlihatkan perancangan

kenyataan fraksi bebas tak terikat dari .

Teorema 1. Misalkan dan adalah variabel bebas dari aliran masuk yang

mensuplai sehingga persamaannya menjadi.

Pembuktian.

dan sehingga , kita mendapat

(38)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 61: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

42

Karena dan adalah variabel bebas dari , maka kita mendapat ,

serta kedua persamaan di atas harus menggunakan tanda “ ” ■

d. Model Baru untuk Pertigaan

Berdasarkan Jin dan Zhang (2002), dalam model LWR untuk setiap

cabang, dinamika lalu lintas diatur oleh persamaan konservasi lalu lintas

(39)

dan hubungan kesetimbangan antara dan , disebut pula sebagai diagram

mendasar yaitu

(40)

dengan adalah faktor yang tidak homogen, seperti karakteristik jalan (jumlah

lajur pada ).

Dari (39) dan (40), model LWR dapat diperoleh

(41)

di mana (dengan adalah kepadatan dalam kemacetan). Bila

sehubungan dengan posisi , maka model LWR dikatakan homogen, namun jika

sebaliknya maka model LWR dikatakan tidak homogen. Model LWR ini valid

untuk berbagai jenis persimpangan.

Untuk menyelesaikan persamaan (41), Jin dan Zhang menggunakan

metode Godunov (Jin dan Zhang, 2002), di mana pada setiap jalur pada

persimpangan dipartisi menjadi sel, dan ruang serta waktu dibuat menjadi

bentuk diskret sesuai kaidah Courant-Friedrichs-Lewy (Courant et al., 1928)

(CFL) sehingga kendaraan tidak diperkenankan untuk lewat suatu jalur pada suatu

waktu tertentu.

Asumsikan ruang dan waktu konstan, adalah rata-rata dari

pada jalur pada waktu . Sedangkan

dan

adalah arus masuk dan arus

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 62: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

43

keluar dari jalur pada waktu ke , sehingga model LWR (41) bisa

diaproksimasi menggunakan persamaan diferensiasi terbatas:

(42)

Persamaan (42) diselesaikan oleh Daganzo (1995) dan Lebacque (1996) dengan

cara aliran yang melalui batas jalur adalah jumlah minimum dari “pemasukan”

bagi jalur penerima dan “keluaran” dari jalur pengirim. Namun sebelum itu, kita

harus mendeskripsikan variabel apa yang akan dipakai, seperti waktu yang akan

dipakai adalah dari ke , kemudian “pengirim” adalah dan ,

sedangkan “penerima” adalah , serta berdasarkan konservasi lalu lintas,

, sehingga fokus utama kita adalah untuk mengoptimasi masalah yang

ada.

max

di mana

dari persamaan di atas, kita dapat menemukan aliran totalnya

(43)

𝑞 𝑆𝑖

𝑖=

𝑅

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 63: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

44

e. Fenomena Penurunan Kapasitas

Fenomena penurunan kapasitas mempunyai signifikansi ketika

memperhatikan kestabilan dari strategi regulasi. Bagaimanapun juga, belum ada

model yang bisa merepresentasikan fenomena penurunan kapasitas. Maka

berdasarkan (Haut, dkk, 2005) disarankan untuk memaksimalkan ke sub daerah

yang dibatasi oleh

(44)

di mana:

1) ∑ (jumlah dari aliran yang mengantri untuk memasuki )

2) Fungsi mengekspresikan bahwa ketika terlalu banyak kendaraan yang

mencoba untuk memasuki jalur yang sama, maka akan ada hambatan

sehingga menyebabkan kapasitas dari jalur tersebut berkurang (

)

3) min adalah suatu jaminan akan banyaknya kendaraan yang tersisa

di subdaerah atau

C. Siklus Kendaraan

Lampu lalu lintas memainkan peran penting dalam infrastruktur di seluruh

jalan, baik yang berada di perkotaan maupun di pedesaan. Pada pengaturan lalu

lintas, hal yang berpengaruh pada kelancaran arus lalu lintas adalah jumlah

kedatangan kendaraan, jumlah kendaraan yang mengantri, serta lamanya

kendaraan pada persimpangan. Dalam satu siklus yaitu periode di mana lampu

merah menyala sampai lampu hijau mati, diharapkan dapat mengatur kepadatan

kendaraan di ruas jalan berikutnya, sesuai dengan kapasitas jalan yang dimiliki.

Menurut Rouphail, Tarko & Li (2001), ada beberapa konsep yang harus

diperhatikan saat terdapat antrian pada persimpangan lampu lalu lintas, yaitu:

1. Pada awal fase lampu hijau, seluruh kendaraan dalam antrian mulai

bergerak meninggalkan antrian.

𝑅 ′ 𝑅 𝑔 𝑆𝑖𝑖

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 64: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

45

2. Adanya keseragaman dari pola rata-rata kedatangan kendaraan selama satu

siklus. Pola kedatangan tidak bergantung terhadap waktu (stationary

arrival pattern).

3. Adanya keseragaman dari pola keberangkatan kendaraan ketika

meninggalkan antrian.

4. Kedatangan kendaraan tidak melebihi dari kapasitasnya yang ditentukan

oleh batas maksimum jumlah kendaraan dalam antrian.

Untuk memodelkan arus kendaraan di persimpangan lalu lintas, diasumsikan:

1. Pada persimpangan tidak ada jalur putar balik, karena dapat menimbulkan

perbedaan distribusi kedatangan kendaraan.

2. Jika kendaraan sudah masuk ke dalam antrian, maka kendaraan tidak bisa

keluar dari antrian.

3. Tidak memperhatikan percepatan dan perlambatan kendaraan saat

membelok pada persimpangan atau terhenti karena lampu merah.

4. Tidak ada penambahan jumlah kendaraan selain dari jalur yang sudah

ditetapkan.

5. Lebar jalan dari arah barat untuk Jalan Solo (sebelum pertigaan Janti)

diasumsikan hanya 4 meter, sebab jalur tersebut juga digunakan untuk

kendaraan yang akan masuk ke Jalan Janti, sedangkan fokusnya hanya

kendaraan yang akan memasuki Jalan Solo (area Babarsari).

6. Perilaku pengguna jalan tidak dianggap/ tidak mempengaruhi.

7. Mengikuti disiplin antrian First Come First Serve (FCFS) yaitu setiap

kendaraan yang datang lebih awal akan lebih awal pula.

8. Satu siklus hanya terdiri dari fase lampu merah dan hijau saja.

Menurut Mc Neil (1968), beberapa faktor yang mempengaruhi waktu tunggu

kendaraan dalam antrian, antara lain:

1. Lama waktu lampu merah menyala dinotasikan .

2. Lama durasi satu siklus dinotasikan .

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 65: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

46

3. Banyaknya kendaraan yang masuk ke dalam antrian pada waktu ,

dinotasikan .

4. Banyaknya kendaraan yang berada dalam antrian pada saat (panjang

antrian) dinotasikan .

Gambar 3.3. Proses antrian dalam satu siklus menurut Mc Neil (1968)

Gambar 3.3 menunjukkan grafik banyaknya kendaraan dalam interval

pada antrian di suatu persimpangan lampu lalu lintas yang dipengaruhi

oleh waktu . Interval waktu dibagi menjadi dua fase yaitu fase lampu

merah pada interval dan fase lampu hijau pada interval .

Kendaraan yang datang memasuki persimpangan akan mengantri untuk

melewati garis henti (pelayanan). Kendaraan dikatakan memasuki antrian apabila

kendaraan tersebut sudah memasuki pendekat. Pendekat merupakan daerah dari

lengan persimpangan jalan untuk kendaraan mengantri sebelum keluar melewati

garis henti. Selanjutnya akan dijelaskan fase lampu merah dan fase lampu hijau

sebagai berikut.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 66: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

47

1. Fase Lampu Merah

Pada fase lampu merah yaitu pada interval , saat ,

banyaknya kendaraan dalam antrian merupakan sisa antrian dari siklus

sebelumnya yaitu . Selanjutnya, banyaknya kendaraan yang berada dalam

antrian lalu lintas dinotasikan dengan . Fungsi akan bertambah secara

bertahap berdasarkan penambahan dari kendaraan yang datang memasuki antrian

. Sehingga bisa dituliskan:

(45)

dengan

a. yaitu saat , banyaknya kendaraan dalam antrian di

persimpangan lampu lalu lintas yang merupakan sisa antrian dari siklus

sebelumnya.

b. adalah banyaknya kedatangan kendaraan yang memasuki antrian di

persimpangan lampu lalu lintas pada waktu .

2. Fase Lampu Hijau

Pada fase lampu hijau yaitu pada interval saat seluruh

kendaraan yang berada dalam antrian mulai bergerak meninggalkan antrian di

persimpangan lampu lalu lintas. Pada fase lampu hijau, jumlah kendaraan yang

meninggalkan antrian harus lebih banyak dibandingkan jumlah kendaraan yang

masuk ke dalam antrian sehingga jumlah kendaraan dalam antrian akan terus

berkurang hingga akhir fase lampu hijau. Pada akhir fase lampu hijau yaitu saat

, diharapkan jumlah kendaraan yang tersisa di dalam antrian lampu lalu

lintas tidak lebih banyak dari jumlah kendaraan sebelumnya, atau dengan kata lain

. Banyaknya kendaraan yang melewati fase lampu hijau, tapi tidak

melewati fase lampu merah disimbolkan dengan . Sehingga banyaknya

kendaraan yang melewati satu siklus dapat dihitung sebagai

(46)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 67: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

48

dengan

a. adalah banyaknya kendaraan dalam satu siklus.

b. adalah banyaknya kendaraan yang berada pada fase lampu merah.

c. adalah banyaknya kendaraan yang berada pada fase lampu hijau.

Berdasarkan uraian di atas, model LWR bisa diterapkan di Indonesia

karena sesuai dengan peraturan mengenai lalu lintas di Indonesia (MKJI, 1997)

dan tidak melanggar aturan yang ada. Model LWR ini juga mudah untuk

digunakan dalam kehidupan nyata, khususnya pada persimpangan jalan raya

besar/ highway, baik pada simpang bersinyal maupun simpang tak bersinyal.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 68: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

49

BAB IV

SIMULASI DATA

A. Jenis-Jenis Transportasi

Menurut Khisty dan Lal (2003), arus kendaraan pada fasilitas-fasilitas transportasi

secara umum dapat diklasifikasikan menjadi dua kategori:

1. Arus tak terhenti (uninterrupted flow) dapat terjadi pada fasilitas-fasilitas

transportasi yang tidak mempunyai elemen-elemen tetap, seperti rambu lalu

lintas, yang terletak di luar arus lalu lintas yang mengakibatkan berhentinya

arus lalu lintas. Dengan demikian kondisi-kondisi arus lalu lintas adalah hasil

dari interaksi antar kendaraan dan antara kendaraan dengan karakteristik-

karakteristik geometris dari sistem jalan. Selain itu pengemudi kendaraan

tidak perlu terpaksa untuk berhenti akibat factor eksternal arus lalu lintas.

2. Arus terhenti (interrupted flow) terjadi pada fasilitas transportasi yang

mempunyai elemen-elemen tetap yang mengakibatkan pemberhentian secara

periodik terhadap arus lalu lintas. Elemen-elemen ini meliputi rambu lalu

lintas, rambu berhenti, dan berbagai rambu pengendali lainnya. Peralatan-

peralatan ini mengakibatkan lalu lintas berhenti (atau menjadi sangat lambat)

secara periodic tidak peduli berapapun banyaknya lalu lintas yang ada. Dalam

hal ini, pengemudi diperkirakan akan berhenti jika dan ketika diharuskan oleh

elemen yang merupakan bagian dari fasilitas tersebut.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 69: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

50

Jenis - Jenis Fasilitas Transportasi

Arus tak terhenti Arus terhenti

Jalan tol Jalan raya dengan lampu lalu lintas

Jalan raya multi lajur Jalan raya tanpa lampu lalu lintas dengan

rambu berhenti

Jalan raya dua lajur Jalan arteri

Transit

Jalur pejalan kaki

Jalur sepeda

Tabel 4.1 Jenis-Jenis Fasilitas Transportasi

Sedangkan jenis-jenis transportasi dapat diklasifikasikan sebagai berikut:

a. Transportasi darat, yang meliputi becak, motor, mobil, bus, kereta dll.

b. Transportasi laut, yang meliputi perahu, kapal, dll.

c. Transportasi udara, yang meliputi balon terbang, pesawat, helikopter, dll.

Dalam penelitian ini, yang akan dibahas adalah transportasi darat yang

menggunakan motor, yaitu motor, mobil, dan bus/ truk. Yang dimaksud dengan

motor adalah kendaraan roda dua bermotor. Sedangkan mobil adalah kendaraan

roda empat bermotor yang meliputi kendaraan pribadi, mobil box, van,

ambulance, dan pick up. Lalu yang dimaksud dengan bus/truk adalah bus mini,

bus pariwisata, Trans Yogyakarta, truk engkel, dan colt diesel.

B. Sistem Pengontrolan Lalu Lintas

Menurut Ahmad Munawar (2004), sistem pengontrolan lalu lintas merupakan

pengaturan lalu lintas yang berupa perintah atau larangan. Perintah atau larangan

tersebut dapat berupa lampu lalu lintas, rambu-rambu lalu lintas, atau marka

jalan. Sistem pengontrolan lalu lintas meliputi:

1. Pada jalan asuk atau keluar dari persimpangan

a. Jalan satu arah

Jalan hanya diperbolehkan untuk arus lalu lintas satu arah saja, arah yang

sebaliknya menggunakan jalan yang paralel di dekatnya.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 70: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

51

b. Ke kiri boleh terus pada lampu merah

Pada persimpangan, dibuat jalur khusus untuk ke kiri yang terpisah,

sehingga arus lalu lintas yang ke kiri terpisah, sehingga arus lalu lintas

yang ke kiri dapat berbelok tanpa mengganggu arus lalu lintas yang lurus

ataupun yang ke kanan.

c. Larangan belok

Untuk mengurangi konflik yang mungkin terjadi dengan arus lalu lintas

dari arah yang lain, kendaraan tidak boleh belok. Akan tetapi, harus ada

jalan alternatif bagi kendaraan yang menuju ke kanan atau ke kiri.

d. Jalan hanya khusus untuk penduduk di daerah tersebut.

Ini biasa dilakukan pada jalan-jalan di daerah pemukiman padat penduduk.

2. Penggunaan jalur

a. Jalur yang dapat dibalik arah

Ini dilakukan pada jalur-jalur yang pada waktu pagi hari mempunyai arus

lalu lintas yang tinggi pada salah satu arah, sedangkan pada siang/sore hari

mempunyai arus lalu lintas yang tinggi pada arah yang berlawanan.

b. Jalur khusus untuk angkutan umum

Jalur ini dibuat agar angkutan umum dapat lebih cepat dari kendaraan

pribadi, sehingga dapat mempertinggi daya tarik angkutan umum.

3. Kecepatan kendaraan

Pembatasan kecepatan akan berpengaruh terhadap kapasitas maupun keamanan

jalan.

C. Hal-hal yang mempengaruhi kapasitas simpang bersinyal

Menurut Ahmad Anwar (2004), hal-hal yang turut mempengaruhi kapasitas

simpang bersinyal antara lain:

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 71: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

52

1. Waktu Siklus

Salah satu cara yang paling mudah untuk meningkatkan kapasitas simpang

adalah dengan cara menaikkan waktu siklus. Semakin tinggi waktu siklus, akan

semakin tinggi kapasitas simpang, tetapi juga akan semakin tinggi antrian dan

tundaan yang terjadi. Di Indonesia, menurut Manual Kapasitas Jalan Indonesia

(MKJI) 1997, waktu siklus maksimal sebesar 130 detik. Angka ini diambil untuk

menghindari tundaan dan panjang antrian yang tinggi. Walaupun demikian, untuk

kota-kota dengan kemacetan tinggi seperti Jakarta, waktu siklus dapat diambil

lebih dari 130 detik guna menaikkan kapasitas simpang. Sedangkan waktu siklus

yang terlalu kecil menyebabkan kapasitas simpang menjadi sangat rendah.

2. Fase

Perlu dilakukan percobaan untuk menetapkan pola fase yang paling

efisien. Semakin sedikit fase yang digunakan, semakin tinggi kapasitas simpang

tersebut, tetapi semakin besar kemungkinan konflik yang dapat terjadi (dapat

menimbulkan kecelakaan). Biasanya digunakan antara 2 sampai dengan 4 fase.

Siklus 2 fase sering digunakan dengan disertai early cut off (pemotongan awal)

atau late start (awal yang terlambat) yaitu pada suatu fase, arus lalu lintas pada

salah satu lajur dihentikan lebih dahulu, atau dimulai agak terlambat yaitu pada

suatu fase, arus lalu lintas pada salah satu lajur dihentikan lebih dahulu, atau

dimulai agak terlambat dibandingkan dengan arus lalu lintas pada lajur yang lain.

3. Waktu antar hijau

Kapasitas juga tergantung pada waktu antar hijau, guna menjamin kendaraan yang

melewati simpang pada saat detik akhir hijau, agar tidak tertabrak kendaraan yang

mendapat fase hijau berikutnya. Sedapat mungkin nilai waktu antar hijau ini

minimum dengan membuat garis henti sedekat mungkin dekat pusat simpang.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 72: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

53

D. Pengolahan Data Menggunakan Matlab

Berdasarkan uraian pada bab pembahasan dan menyesuaikan dengan

kriteria jalan yang cocok untuk diteliti menggunakan model LWR, maka

dipilihlah pertigaan Janti. Alasannya yaitu di sana terdapat dua arus masuk (input)

dan 1 arus keluar (output), merupakan jalan raya besar dan padat (highway), serta

model LWR bisa digunakan pada simpang bersinyal maupun tak bersinyal.

Asumsi yang digunakan pada penelitian ini adalah tidak adanya kendaraan yang

berputar arah/ putar balik, tidak ada kendaraan yang menerobos di trotoar, dan

tidak ada kendaraan yang mogok. Berikut ini adalah peta dari pertigaan Janti yang

diteliti.

Sumber: Google Earth

Gambar 4.1 Peta Pertigaan Janti

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 73: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

54

Pada penelitian ini akan difokuskan pada pertigaan Jalan Janti, tepatnya

pada ruas jalan sepanjang 200 m dari arah barat (Jalan Solo), 100 m dari arah

Selatan (Jalan Janti), serta 300 m ke arah timur (Jalan Solo). Penelitian ini

dilakukan dengan perhitungan jumlah kendaraan yang berada pada setiap jalan

pada jam-jam tertentu di setiap lampu lalu lintas. Jam yang dimaksud adalah pada

jam lengang yaitu pukul 08.45-09.45 dan jam sibuk yaitu pukul 16.30-17.30.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 74: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

55

1. Banyak kendaraan pada jalan ke arah timur pada pukul 08.45-09.45

Gambar 4.2 Grafik banyak kendaraan pada jalan ke arah timur pada pukul 08.45-

09.45

Gambar 4.2 menunjukkan banyaknya kendaraan per siklus pada ruas jalan

sepanjang 300 meter ke arah timur (Jalan Solo) pada pukul 08.45-09.45 (pagi

hari). Siklus yang dimaksud di sini adalah satu putaran siklus (67 detik) yang

terdiri dari fase lampu merah dan fase lampu hijau. Garis berwarna ungu, biru,

dan hijau masing-masing menunjukkan banyaknya motor, mobil, dan bus/truk

yang melintas dalam kurun waktu tersebut.

Keterangan:

1. Panjang jalan yang diamati adalah maksimal 300 m.

2. Lebar jalan yang diamati adalah 7,5 m.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 75: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

56

2. Banyak kendaraan pada jalan dari arah Janti pada pukul 08.45-09.45

Gambar 4.3 Grafik banyak kendaraan pada jalan dari arah Janti pada pukul

08.45-09.45

Keterangan:

1. Panjang jalan yang diamati adalah maksimal 100 m pada antrian lampu lalu

lintas.

2. Lebar jalan yang diamati adalah 7,5 m.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 76: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

57

3. Banyak kendaraan pada jalan dari arah barat pada pukul 08.45-09.45

Gambar 4.4 Grafik banyak kendaraan pada jalan dari arah barat pada pukul

08.45-09.45

Keterangan:

1. Panjang jalan yang diamati adalah maksimal 100 m pada antrian lampu lalu

lintas.

2. Lebar jalan yang diamati adalah 4 m.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 77: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

58

4. Banyak kendaraan ke arah timur pada pukul 16.30-17.30

Gambar 4.5 Grafik banyak kendaraan ke arah timur pada pukul 16.30-17.30

Gambar 4.5 menunjukkan banyaknya kendaraan per siklus pada ruas jalan

sepanjang 300 meter ke arah timur Jalan Solo pada pukul 16.30-17.30 (sore hari).

Siklus yang dimaksud di sini adalah satu putaran siklus (67 detik) yang terdiri dari

fase lampu merah dan fase lampu hijau. Garis berwarna ungu, biru, dan hijau

masing-masing menunjukkan banyaknya motor, mobil, dan bus/truk yang

melintas dalam kurun waktu tersebut.

Keterangan:

1. Panjang jalan yang diamati adalah maksimal 300 m.

2. Lebar jalan yang diamati adalah 7,5 m.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 78: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

59

5. Banyak kendaraan dari arah Janti pada pukul 16.30-17.30

Gambar 4.6 Grafik banyak kendaraan dari arah Janti pada pukul 16.30-17.30

Keterangan:

1. Panjang jalan yang diamati adalah maksimal 100 m pada antrian lampu lalu

lintas..

2. Lebar jalan yang diamati adalah 7,5 m.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 79: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

60

6. Banyak kendaraan dari arah barat pada pukul 16.30-17.30

Gambar 4.7 Grafik banyak kendaraan dari arah barat pada pukul 16.30-17.30

Keterangan:

1. Panjang jalan yang diamati adalah maksimal 200 m pada antrian lampu lalu

lintas..

2. Lebar jalan yang diamati adalah 4 m.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 80: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

61

7. Perbandingan jumlah kendaraan ke arah timur pada pukul 08.45-09.45 dan

16.30-17.30

Gambar 4.8 Grafik perbandingan jumlah kendaraan ke arah timur pada pukul

08.45-09.45 dan 16.30-17.30

Gambar 4.8 menunjukkan banyaknya kendaraan per siklus pada ruas jalan

sepanjang 300 meter ke arah timur Jalan Solo. Garis berwarna biru menunjukkan

banyaknya kendaraan yang melintas pada pukul 08.45-09.45 (pagi hari),

sedangkan garis berwarna merah menunjukkan banyaknya kendaraan yang

melintas pada pukul 16.30-17.30 (sore hari). Siklus yang dimaksud di sini adalah

satu putaran siklus (67 detik) yang terdiri dari fase lampu merah dan fase lampu

hijau.

Keterangan:

1. Panjang jalan yang diamati adalah maksimal 300 m.

2. Lebar jalan yang diamati adalah 7,5 m.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 81: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

62

8. Perbandingan jumlah kendaraan dari arah Janti pada pukul 08.45-09.45 dan

16.30-17.30

Gambar 4.9 Grafik perbandingan jumlah kendaraan dari arah Janti pada pukul

08.45-09.45 dan 16.30-17.30

Keterangan:

1. Panjang jalan yang diamati adalah maksimal 100 m pada antrian lampu lalu

lintas..

2. Lebar jalan yang diamati adalah 6 m.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 82: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

63

9. Perbandingan jumlah kendaraan dari arah barat pada pukul 08.45-09.45 dan

16.30-17.30

Gambar 4.10 Grafik perbandingan jumlah kendaraan dari arah barat pada pukul

08.45-09.45 dan 16.30-17.30

Keterangan:

1. Saat pagi hari, panjang jalan yang diamati adalah maksimal 100 m pada antrian

lampu lalu lintas. Sedangkan saat sore hari, panjang jalan yang diamati adalah

maksimal 200 m pada antrian lampu lalu lintas..

2. Lebar jalan yang diamati adalah 4 m.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 83: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

64

10. Kepadatan kendaraan ke arah timur pada pukul 08.45-09.45 dan 16.30-17.30

Gambar 4.11 Grafik kepadatan kendaraan ke arah timur pada pukul 08.45-09.45

dan 16.30-17.30

Gambar 4.11 menunjukkan kepadatan kendaraan per siklus pada ruas jalan

sepanjang 300 meter ke arah timur Jalan Solo. Garis berwarna hijau menunjukkan

kepadatan kendaraan yang melintas pada pukul 08.45-09.45 (pagi hari),

sedangkan garis berwarna biru menunjukkan banyaknya kendaraan yang melintas

pada pukul 16.30-17.30 (sore hari). Siklus yang dimaksud di sini adalah satu

putaran siklus (67 detik) yang terdiri dari fase lampu merah dan fase lampu hijau.

Keterangan:

1. Perilaku pengendara tidak dipedulikan.

2. Panjang jalan yang diamati adalah 300 m.

3. Lebar jalan yang diamati adalah 7,5 m.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 84: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

65

11. Kepadatan kendaraan dari arah Janti pada pukul 08.45-09.45 dan 16.30-17.30

Gambar 4.12 Grafik epadatan kendaraan dari arah Janti pada pukul 08.45-09.45

dan 16.30-17.30

Keterangan:

1. Perilaku pengendara tidak dipedulikan.

2. Panjang jalan yang diamati adalah maksimal 100 m pada antrian lampu lalu

lintas..

3. Nilai dianggap , dan nilai dianggap

4. Ada 15 kendaraan yang tidak terkena lampu merah dan hanya melewati lampu

hijau saja.

5. Lebar jalan yang diamati adalah 6 m.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 85: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

66

12. Kepadatan kendaraan dari arah barat pada pukul 08.45-09.45 dan 16.30-17.30

Gambar 4.13 Grafik kepadatan kendaraan dari arah barat pada pukul 08.45-09.45

dan 16.30-17.30

Keterangan:

1. Perilaku pengendara tidak dipedulikan.

2. Panjang jalan yang diamati adalah maksimal 200 m pada antrian lampu lalu

lintas.

3. Lebar jalan yang diamati adalah 4 m.

4. Nilai dianggap , dan nilai dianggap

5. Ada 15 kendaraan yang tidak terkena lampu merah dan hanya melewati lampu

hijau saja.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 86: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

67

13. Aliran/ arus kendaraan ke arah timur pada pukul 08.45-09.45 dan 16.30-17.30

Gambar 4.14 Grafik aliran/ arus kendaraan ke arah timur pada pukul 08.45-09.45

dan 16.30-17.30

Gambar 4.14 menunjukkan aliran/ arus kendaraan per siklus pada ruas

jalan sepanjang 300 meter ke arah timur Jalan Solo. Garis berwarna hijau

menunjukkan aliran/ arus kendaraan yang melintas pada pukul 08.45-09.45 (pagi

hari), sedangkan garis berwarna merah menunjukkan aliran/ arus kendaraan yang

melintas pada pukul 16.30-17.30 (sore hari). Siklus yang dimaksud di sini adalah

satu putaran siklus (67 detik) yang terdiri dari fase lampu merah dan fase lampu

hijau.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 87: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

68

Keterangan:

1. Panjang jalan yang diamati adalah 300 m.

2. Lebar jalan adalah 7,5 m.

3. Kecepatan motor adalah

4. Kecepatan mobil adalah 20

5. Kecepatan bus/ truk adalah 10

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 88: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

69

14. Aliran/ arus kendaraan dari arah Janti pada pukul 08.45-09.45 dan 16.30-17.30

Gambar 4.15 Grafik aliran/ arus kendaraan dari arah Janti pada pukul 08.45-

09.45 dan 16.30-17.30

Keterangan:

1. Panjang jalan yang diamati adalah 100 m pada antrian lampu lalu lintas.

2. Lebar jalan yang diamati adalah 6 m.

3. Kecepatan motor adalah

4. Kecepatan mobil adalah 20

5. Kecepatan bus/ truk adalah 10

6. Ada 13 motor yang hanya melewati fase lampu hijau.

7. Ada 2 mobil yang hanya melewati fase lampu hijau.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 89: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

70

15. Aliran/ arus kendaraan dari arah barat pada pukul 08.45-09.45 dan 16.30-

17.30

Gambar 4.16 Grafik aliran/ arus kendaraan dari arah barat pada pukul 08.45-

09.45 dan 16.30-17.30

Keterangan:

1. Panjang jalan yang diamati adalah maksimal 200 m pada antrian lampu lalu

lintas.

2. Lebar jalan yang diamati adalah 4 m.

3. Kecepatan motor adalah

4. Kecepatan mobil adalah 20

5. Kecepatan bus/ truk adalah 10

6. Ada 13 motor yang hanya melewati fase lampu hijau.

7. Ada 2 mobil yang hanya melewati fase lampu hijau.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 90: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

71

E. Visualisasi Data

1. Menentukan rata-rata arus lalu lintas

Pada pertigaan Janti, lamanya lampu lalu lintas dari warna merah hingga

hijau adalah 67 detik, sehingga satu fasenya bernilai 67 detik. Kemudian

menentukan rata-rata jumlah kendaraan per fase, dengan cara.

di mana adalah rata-rata jumlah kendaraan per fase, sedangkan adalah

banyaknya kendaraan yang lewat. Penelitian dilakukan pada pukul 08.45-09.45

(pagi hari) dan 16.30-17.30 (sore hari). Rata-rata jumlah kendaraan per fase dapat

dilihat pada tabel 4.1 berikut:

Pagi Sore

Dari arah Janti

Dari arah barat

Ke arah timur

Tabel 4.2 Rata-rata jumlah kendaraan per fase

Kemudian, karena 1 fase terdiri dari 67 detik, maka hasilnya menjadi

Pagi Sore

Dari arah Janti

Dari arah barat

Ke arah timur

Tabel 4.3 Rata-rata arus/ aliran kendaraan per fase

2. Menentukan Kapasitas Jalan

Untuk menentukan kapasitas jalan, diasumsikan:

a. Semua kendaraan adalah sejenis, dengan panjang kendaraan 1,5 m, dan lebar

kendaraan 2 m, sehingga luasnya 3 m2.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 91: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

72

b. Panjang jalan yang diamati adalah 100 m dari arah selatan (Jalan Janti) dengan

lebar jalan 6 m, 200 m dari arah barat (Jalan Solo) dengan lebar jalan 4 m,

serta 300 m ke arah timur (Jalan Solo) dengan lebar jalan 7,5 m.

Kapasitas jalan dapat dihitung melalui:

Kapasitas jalan =

Maka dapat diketahui

Kapasitas jalan dari arah selatan (Jalan Janti) =

kendaraan.

Kapasitas jalan dari arah barat (Jalan Solo) =

kendaraan.

Kapasitas jalan dari arah selatan (Jalan Janti) =

kendaraan.

Menurut Manual Kapasitas Jalan Indonesia (MKJI, 1997), kapasitas jalan

dibagi menjadi tiga kategori yaitu lengang, sedang, dan padat dengan konsentrasi

maksimum masing-masing

dari total kapasitas kendaraan yang dapat

ditampung dalam radius tertentu. Simbol pewarnaannya adalah hijau/ green untuk

lengang, kuning/ yellow untuk sedang, dan merah/ red untuk padat. Pembagian

kapasitas jalan tampak pada tabel di 4.3 berikut.

Tabel 4.3 Kapasitas jalan pada masing-masing ruas jalan

Tabel 4.3 menjelaskan bahwa total kapasitas jalan pada masing-masing ruas,

seperti Jalan Janti adalah 200 kendaraan, sedangkan total kapasitas Jalan Solo

(dari arah barat) ada 267 kendaraan, dan total kapasitas Jalan Solo (ke arah timur)

Hijau/ Green Kuning/

Yellow

Merah/ Red Total

Jalan Janti

(dari arah

selatan)

0 – 67 68 – 134 135 – 200 200

Jalan Solo

(dari arah

barat)

0 – 89 90 – 178 179 – 267 267

Jalan Solo

(ke arah

timur)

0 – 250 251 – 500 501 – 750 750

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 92: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

73

ada 250 kendaraan. Lalu cara menghitung apakah sudah termasuk kategori hijau,

kuning, atau merah, adalah dengan cara:

Jalan Janti (daerah selatan) =

Hijau =

, artinya ruas jalan tersebut masih dalam kategori hijau jika

ada 0-67 kendaraan yang berada di sana.

Kuning =

, artinya ruas jalan tersebut masih dalam kategori kuning

jika ada 68-134 kendaraan yang berada di sana.

Merah =

, artinya ruas jalan tersebut dalam kategori merah jika ada

135-200 kendaraan yang berada di sana.

Begitu pula dengan ruas jalan yang lain, dengan menggunakan rumus yang sama,

maka didapat hasil seperti yang tertera pada tabel 4.3.

3. Saat Kemacetan Terjadi

Kemacetan terjadi jika sebuah ruas jalan sudah mencapai kategori merah, yaitu

mengalami kepadatan tinggi hingga kepadatan puncak (kendaraan sudah tidak

dapat berpindah tempat sama sekali). Untuk mengetahui pada detik ke berapa

kemacetan terjadi, maka diperlukan asumsi yaitu:

a. Tidak ada lampu lalu lintas, sehingga sebuah fase terdiri dari 67 detik

lampu hijau saja, lampu merah tidak dipedulikan.

b. Untuk mempermudah penghitungan, perhitungan dilakukan pada detik

kelipatan dua atau bilangan genap saja.

Perhitungan dilakukan menggunakan aplikasi Matlab sebagai berikut:

a. Saat pagi hari

Berikut ini adalah m-file tentang keadaan pada sore hari jika tanpa lampu lalu

lintas:

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 93: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

74

disp('Keadaan pada pagi hari jika tanpa lampu lalu

lintas');

det=2;

s1=1;

s2=2;

r3=2;

sel=s1+s2-r3;

kap=750;

disp('Detik ke- Masukan 1 Masukan 2 Keluaran 3

Selisih Kategori');

disp([num2str(det),' ', num2str(s1),'

', num2str(s2),' ', num2str(r3), '

', num2str(sel),' Green']);

while (sel<kap)

det=det+2;

s1=1+s1;

s2=2+s2;

r3=2+r3;

sel=s1+s2-r3;

if sel<251

disp([num2str(det),' ', num2str(s1),'

', num2str(s2),' ', num2str(r3), '

', num2str(sel),' Green']);

elseif (sel>=251)&&(sel<501)

disp([num2str(det),' ', num2str(s1),'

', num2str(s2),' ', num2str(r3), '

', num2str(sel),' Yellow']);

else

disp([num2str(det),' ', num2str(s1),' ',

num2str(s2),' ', num2str(r3), ' ',

num2str(sel),' Red']);

end;

end;

disp('Jadi ada kemacetan parah pada detik ke-: ');det

hasilnya tampak pada gambar 4.17 di bawah ini.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 94: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

75

Gambar 4.17 Hasil dari keadaan lalu lintas pada pagi hari jika tanpa lampu lalu

lintas

Dari gambar 4.17, kolom pertama adalah detik ke-i, kolom kedua adalah masukan

1, kolom ketiga adalah masukan 2, kolom keempat adalah keluaran 3, kolom

kelima adalah selisih, dan kolom keenam adalah kategori (berdasarkan kapasitas

jalan). Sedangkan kategori dibagi menjadi tiga yaitu hijau/ green yang

menandakan bahwa lalu lintas sepi, kuning/ yellow yang menandakan lalu lintas

agak padat/ sedang, dan merah/ red yang menandakan bahwa lalu lintas macet.

Dari perhitungan di atas, tampak kemacetan total akan terjadi pada detik ke-1500,

atau pada menit ke-25. Penelitian dimulai pukul 08.45, sehingga kemacetan terjadi

mulai pukul 09.10.

b. Saat sore hari

Berikut ini adalah m-file tentang keadaan pada sore hari jika tanpa lampu lalu

lintas:

disp('Keadaan pada sore hari jika tanpa lampu lalu

lintas');

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 95: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

76

det=2;

s1=1;

s2=4;

r3=3;

sel=s1+s2-r3;

kap=750;

disp('Detik ke- Masukan 1 Masukan 2 Keluaran 3

Selisih Kategori');

disp([num2str(det),' ', num2str(s1),'

', num2str(s2),' ', num2str(r3), '

', num2str(sel),' Green']);

while (sel<kap)

det=2+det;

s1=1+s1;

s2=4+s2;

r3=3+r3;

sel=s1+s2-r3;

if sel<251

disp([num2str(det),' ', num2str(s1),'

', num2str(s2),' ', num2str(r3), '

', num2str(sel),' Green']);

elseif (sel>=251)&&(sel<501)

disp([num2str(det),' ', num2str(s1),'

', num2str(s2),' ', num2str(r3), '

', num2str(sel),' Yellow']);

else

disp([num2str(det),' ', num2str(s1),' ',

num2str(s2),' ', num2str(r3), ' ',

num2str(sel),' Red']);

end;

end;

disp('Jadi ada kemacetan parah pada detik ke-: ');det

hasilnya tampak pada gambar 4.18 di bawah ini.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 96: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

77

Gambar 4.18 Hasil dari keadaan lalu lintas pada sore hari jika tanpa lampu lalu

lintas.

Dari gambar 4.18, kolom pertama adalah detik ke-i, kolom kedua adalah

masukan 1, kolom ketiga adalah masukan 2, kolom keempat adalah keluaran 3,

kolom kelima adalah selisih, dan kolom keenam adalah kategori (berdasarkan

kapasitas jalan). Sedangkan kategori dibagi menjadi tiga yaitu hijau/ green yang

menandakan bahwa lalu lintas sepi, kuning/ yellow yang menandakan lalu lintas

agak padat/ sedang, dan merah/ red yang menandakan bahwa lalu lintas

macet.Dari perhitungan di atas, tampak kemacetan total akan terjadi pada detik

ke-750, atau pada menit ke-12, detik ke-30. Penelitian dimulai pada pukul 16.30,

sehingga kemacetan akan terjadi mulai pukul 16.43.

4. Penggunaan Fuzzy Logic pada Matlab

Salah satu visualisasi data yang bisa dan mudah digunakan adalah

penggunaan fuzzy interference system (FIS) pada Matlab. Sistem fuzzy atau logika

fuzzy adalah salah satu bahasan soft computing yang memiliki karakteristik dan

keunggulan dalam menangani permasalahan yang bersifat ketidakpastian dan

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 97: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

78

kebenaran parsial. Logika fuzzy merupakan pengembangan dari logika boolean

yang hanya memiliki nilai true (1) atau false (0). Pada penelitian ini, fuzzy logic

yang digunakan menggunakan dua input dan satu output. Masing-masing input

serta output dibagi lagi menjadi tiga bagian lagi menurut kapasitas jalan masing-

masing (seperti pada tabel 4.3). Aturan yang diterapkan pada penelitian ini

menggunakan fuzzy logic:

a. Jika input 1 berupa kategori „hijau‟ dan input 2 berupa kategori „hijau‟, maka

output berupa kategori „hijau‟.

b. Jika input 1 berupa kategori „kuning‟ dan input 2 berupa kategori „hijau‟,

maka output berupa kategori „hijau‟.

c. Jika input 1 berupa kategori „kuning‟ dan input 2 berupa kategori „kuning‟,

maka output berupa kategori „kuning‟.

d. Jika input 1 berupa kategori „merah‟ dan input 2 berupa kategori „kuning‟,

maka output berupa kategori „kuning‟.

e. Jika input 1 berupa kategori „merah‟ dan input 2 berupa kategori „merah‟,

maka output berupa kategori „merah‟.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 98: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

79

Hasil Perhitungan Menggunakan Fuzzy Logic

Gambar 4.19 Hasil perhitungan menggunakan fuzzy logic

Penjelasan:

a. Input selalu berwarna kuning, output selalu berwarna biru.

b. Nomor yang berada di kiri menunjukkan banyaknya aturan yang diterapkan

pada fuzzy logic ini.

c. Jika salah satu kategori terpenuhi, maka kategori yang terpenuhi tersebut

memiliki warna (kuning yang melambangkan input dan biru yang

melambangkan output).

d. Hasil akhir ditunjukkan pada baris terakhir di kolom paling kanan.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 99: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

80

Contoh kasus:

Input 1 termasuk kategori „merah‟, input 2 termasuk kategori „kuning‟.

Gambar 4.20 Contoh kasus mengenai fuzzy logic

Penjelasan:

Input 1 bernilai 190 yang termasuk kategori „merah‟, input 2 bernilai 150 yang

termasuk kategori „kuning‟, maka menurut aturan fuzzy logic di atas yang

berbunyi: Jika input 1 berupa kategori ‘merah’ dan input 2 berupa kategori

‘kuning’, maka output berupa kategori ‘kuning‟. Output menunjukkan angka 375,

yang termasuk dalam kategori „kuning‟.

Atau kita bisa lihat dari warna yang tampak, untuk kondisi input 1 dan input 2

yang memenuhi semuanya terletak pada nomor 4, sehingga yang dipakai adalah

aturan ke-4 yang berbunyi: Jika input 1 berupa kategori ‘merah’ dan input 2

berupa kategori ‘kuning’, maka output berupa kategori ‘kuning‟.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 100: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

81

Untuk visualisasi secara 3-D bisa dilihat pada gambar di bawah ini.

Gambar 4.21 Visualisasi 3-D dari fuzzy logic pada gambar 4.17

Fuzzy Interference System (FIS) adalah suatu perangkat yang disediakan

oleh Matlab untuk membuat suatu visualisasi.FIS mempunyai dua jenis, yaitu FIS

Mamdani dan FIS Sugeno. FIS Mamdani diperuntukkan bagi input dan output

yang berbentuk integer, sedangkan FIS Sugeno diperuntukkan bagi input yang

berbentuk integer dan ouput yang berbentuk fungsi . Pada penelitian ini, jenis

FIS yang digunakan adalah bentuk Mamdani. Karena input dan outputnya

berbentuk integer. Gambar 4.19 merupakan visualisasi yang dihasilkan

berdasarkan aturan/ rules yang ada dan ditampilkan berupa suatu daerah tertentu

(dalam dimensi 2), sedangkan gambar 4.21 merupakan visualisasi dalam bentuk

dimensi 3 atau hanya permukaannya saja.

Pada gambar 4.21, daerah yang berwarna hijau adalah daerah yang terkena

rules, atau disebut daerah benar (bernilai 1), sedangkan daerah yang berwarna biru

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 101: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

82

adalah daerah yang tidak terkena rules.Lalu daerah yang berwarna kuning

merupakan daerah benar yang terluar dari nilai yang sudah ditetapkan.

Berdasarkan rumusan masalah yang akan diselesaikan, maka dilakukan analisis

dan visualisasi data dari pengamatan yang sudah dilakukan, maka hasilnya model

matematika khususnya model Lighthill-Richard-Whitham (LWR) bisa diterapkan

di Indonesia, khususnya pada pertigaan Janti, dengan beberapa asumsi yang sudah

dijelaskan.Visualisasi dilakukan dengan menggunakan FIS jenis Mamdani dengan

beberapa aturan/ rules yang sudah dijelaskan sebelumnya.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 102: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

83

BAB V

PENUTUP

A. KESIMPULAN

Penelitian ini termasuk salah satu traffic flow modelling. Model

yang digunakan pada penelitian ini adalah model yang dikembangkan oleh

Lighthill-Whitham-Richards yang biasa disebut model LWR dengan

beberapa asumsi yang disesuaikan dengan kondisi lalu lintas di Indonesia.

Berdasarkan hasil dari pembahasan sebelumnya diketahui bahwa:

1. Model LWR yang digunakan pada penelitian ini adalah

( )

( ) . Kemudian dengan pendekatan numeris,

didapat sebuah persamaan yang bisa diterapkan langsung pada pertigaan

Janti dengan 2 input dan 1 output berupa ∑ = .di mana

merupakan banyaknya kendaraan yang masuk (input), serta yaitu

banyaknya kendaraan yang keluar (output). Setelah dilakukan perhitungan,

diketahui kepadatan akan mencapai puncak pada pukul 09.10 dan 16.43.

2. Visualisasi data dilakukan menggunakan fuzzy logic

interference.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 103: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

84

Dari visualisasi tersebut tampak bahwa kemacetan akan terjadi

pada saat kepadatan sedang hingga kepadatan puncak. Daerah yang

berwarna kuning adalah input dan daerah berwarna biru adalah output.

3. Relevansi penelitian ini dengan masyarakat Yogyakarta dan

sekitarnya adalah guna memberitahu pengguna jalan bahwa akan terjadi

kemacetan pada pukul 09.10 dan pukul 16.43 sehingga disarankan untuk

tidak melewati pertigaan Janti atau memutar arah lewat jalan lain yang

relatif lebih lengang pada waktu-waktu tersebut supaya mengurangi

jumlah kendaraan yang masuk ke daerah pertigaan Janti serta adanya

sistem pengontrolan lamanya lampu hijau pada lampu lalu lintas otomatis

yang akan disesuaikan dengan kondisi kepadatan pada waktu tersebut.

B. SARAN

Penulis menyadari masih banyak kekurangan yang ada pada

penelitian ini. Saran untuk penelitian lebih lanjut adalah menganalisis

model LWR secara analitik, serta penerapannya pada lalu lintas di

Indonesia. Asumsi-asumsi yang akan dibuat selanjutnya juga sebisa

mungkin lebih disederhanakan supaya hasil yang dicapai lebih memuaskan

lebih akurat. Model yang akan dibuat selanjutnya bisa menggunakan

model simulasi yang telah dibuat pada penelitian kali ini, namun perlu

ditambahkan proses selanjutnya sehingga simulasi sistem transportasi

tingkat tinggi pada pertigaan Janti bisa lebih tertata dan mewakili kondisi

lalu lintas yang real. Kemudian membuat model untuk pengatur lampu lalu

lintas otomatis sehingga jika kepadatan sudah hampir mencapai

maksimum, lampu merah bisa diatur sedemikian rupa dan disesuaikan

dengan kepadatan yang sedang terjadi. Hal itu membantu untuk

meminimalisir kemacetan lalu lintas yang terjadi pada pertigaan Janti

terutama pada waktu sibuk atau saat kepadatan mencapai puncaknya.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 104: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

85

DAFTAR PUSTAKA

Burghes, D.N. dan M.S. Borrie. 1981. Modelling with Differential Equations.

West Sussex: Ellis Horwood Limited.

Coleman, Matthew P. 2004. An Introduction to Partial Differential Equations

with Matlab. Florida: Chapman & Hall.

Daganzo, Carlos F..1995. “The Cell Transmission Model Part ii: Network

Traffic.” Transportation Research Part B, 29(2):79–93.

Direktorat Jenderal Bina Marga Direktorat Bina Jalan Kota Republik Indonesia.

1997. Manual Kapasitas Jalan Indonesia (MKJI). Jakarta: Direktorat

Jenderal Bina Marga Republik Indonesia.

Haberman, Richard. 1977. Mathematical Models: Mechanical Vibrations,

Population Dynamics, and Traffic Flow. New Jersey: Prentice-Hall, Inc.

Haut, Bastin, and Chitour. 2005. “A Macroscopic Traffic Model for Road

Networks with a Rrepresentationof the Capacity Drop Phenomenon at the

Junctions.” IFAC.

Holden, H. and Risebro, N.H. 1995.“A Mathematical Model of Traffic Flow on a

Network of Unidirectional Roads.”SIAM J. MATH. ANAL., 26(4):999–

1017.

Hoppner, Frank, dkk. 1999. Fuzzy Cluster Analysis: Methods for Classification,

Data Analysis, and Image Recognition. New York: John Wiley & Sons,

Ltd.

Hunt, Brian, dkk. 2004. Differential Equations with Matlab. New Jersey: John

Wiley & Sons, Inc.

Iswanto, Ripno Juli. 2012. Pemodelan Matematika: Aplikasi dan Terapannya.

Yogyakarta: Graha Ilmu.

Jin, W. L. and Zhang H. M. 2002. “On the Distribution Schemes for Determining

Flows through a Merge.”

Khisty, C. Jotin dan B. Kent Lall. 2003. Dasar-Dasar Rekayasa Transportasi Jilid

1 (Ed. 3). Jakarta: Erlangga.

Lebacque, J.P. 1996. “The Godunov Scheme and What it Means for First Order

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 105: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

86

Traffic Flow Models.”In theInternational Symposium on Transportation

and Traffic Theory, Lyon, France.

Lebacque, J.P. and Khoshyaran, M.M. 2013. “A Variational Formulation for

Higher Order Macroscopic Traffic Flow Models of the GSOM Family.”

Procedia - Social and Behavioral Sciences 80: 370 – 394.

Lee, Kwang H. 2005. First Course on Fuzzy Theory and Applications. New York:

Springer-Verlag.

Lighthill, M.J. and Whitham, G. B., “On Kinematic Waves II. A Theory of Traffic

Flow on Long Crowded Roads.” Proc. Roy. Soc. A, 229, 317-345 (1955)

Martin, Braun. 1983. Differential Equations and Their Applications. New York:

Springer-Verlag.

Mesterton, Mike dan Gibbons. 1995. A Concrete Approach to Mathematical

Modelling. New Jersey: John Wiley & Sons, Inc.

Munawar, Ahmad. 2004. Manajemen Lalu Lintas Perkotaan. Yogyakarta: Beta

Offset.

Preparata, Franco P. 1972. “Analysis of Traffic Flow on a Signalized One-Way

Artery,” Transportation Science 6, 32-51.

Riana, Mita. 2014. Model Antrian Waktu Tunggu Kendaraan di Persimpangan

Lampu Lalu Lintas Condong Catur dengan Compound Poisson Arrivals

dan Memperhatikan Sisa Antrian Sebelumnya (Skripsi). Yogyakarta:

Universitas Negeri Yogyakarta.

Richards, P.L. 1956. “Shock Waves on the Highway.“Operations Researches 4,

42-51.

Sridadi, Bambang. 2009. Pemodelan dan Simulasi Sistem: Teori, Aplikasi, dan

Contoh Program dalam Bahasa C. Bandung: Informatika.

Tamin, Ofyar Z. 1997.Perencanaan dan Pemodelan Transportasi. Bandung: ITB.

Thomson, J. M. (1967). “Speeds and Flows of Traffic in Central London: 1.

Sunday Traffic Survey.”Traffic Engineering and Control.Vol. 8, No. 11.

Tiwari, Hemant and Anil Marsani. “Calibration of Conventional Macroscopic

Traffic Flow Models for Nepalese Roads:(A Case Study of Jadibuti -

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 106: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

87

Suryabinayak Section).” Department of Transportation Engineering,

Central Campus, Pulchowk, IOE.

Widowati dan Sutimin. 2007. Buku Ajar Pemodelan Matematika. Semarang:

Jurusan Matematika Universias Diponegoro Semarang.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 107: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

88

LAMPIRAN

Lamp 1. Peta daerah yang akan diteliti dari arah selatan/ Janti (100 m)

Sumber: Google Earth

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 108: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

89

Lamp 2. Peta daerah yang akan diteliti dari arah barat/ Jalan Solo (200 m)

Sumber: Google Earth

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 109: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

90

Lamp 3. Peta daerah yang akan diteliti ke arah timur/ Jalan Solo (300 m)

Sumber: Google Earth

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 110: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

91

Lamp 4. Proses pengolahan data pada Matlab mengenai banyak kendaraan pada

jalan ke arah timur pada pukul 08.45-09.45

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 111: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

92

Lamp 5. Proses pengolahan data pada Matlab mengenai banyak kendaraan pada

jalan dari arah Janti pada pukul 08.45-09.45

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 112: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

93

Lamp 6. Proses pengolahan data pada Matlab mengenai banyak kendaraan pada

jalan dari arah barat pada pukul 08.45-09.45

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 113: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

94

Lamp 7. Proses pengolahan data pada Matlab mengenai banyak kendaraan ke arah

timur pada pukul 16.30-17.30

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 114: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

95

Lamp 8. Proses pengolahan data pada Matlab mengenai banyak kendaraan dari

arah Janti pada pukul 16.30-17.30

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 115: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

96

Lamp 9. Proses pengolahan data pada Matlab mengenai banyak kendaraan dari

arah barat pada pukul 16.30-17.30

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 116: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

97

Lamp 10. Proses pengolahan data pada Matlab mengenai perbandingan jumlah

kendaraan ke arah timur pada pukul 08.45-09.45 dan 16.30-17.30

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 117: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

98

Lamp 11. Proses pengolahan data pada Matlab mengenai perbandingan jumlah

kendaraan dari arah Janti pada pukul 08.45-09.45 dan 16.30-17.30

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 118: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

99

Lamp 12. Proses pengolahan data pada Matlab mengenai perbandingan jumlah

kendaraan dari arah barat pada pukul 08.45-09.45 dan 16.30-17.30

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 119: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

100

Lamp 13. Proses pengolahan data pada Matlab mengenai kepadatan kendaraan ke

arah timur pada pukul 08.45-09.45 dan 16.30-17.30

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 120: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

101

Lamp 14. Proses pengolahan data pada Matlab mengenai kepadatan kendaraan

dari arah Janti pada pukul 08.45-09.45 dan 16.30-17.30

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 121: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

102

Lamp 15. Proses pengolahan data pada Matlab mengenai kepadatan kendaraan

dari arah barat pada pukul 08.45-09.45 dan 16.30-17.30

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 122: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

103

Lamp 16. Proses pengolahan data pada Matlab mengenai aliran/ arus kendaraan

ke arah timur pada pukul 08.45-09.45 dan 16.30-17.30

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 123: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

104

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 124: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

105

Lamp 17. Proses pengolahan data pada Matlab mengenai aliran/ arus kendaraan

dari arah Janti pada pukul 08.45-09.45 dan 16.30-17.30

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 125: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

106

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 126: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

107

Lamp 18. Proses pengolahan data pada Matlab mengenai aliran/ arus kendaraan

dari arah barat pada pukul 08.45-09.45 dan 16.30-17.30

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 127: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

108

Lamp 19. Proses pengolahan data pada Matlab mengenai perhitungan kapasitas

jalan pada pagi hari

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

Page 128: MODEL MATEMATIKA LIGHTHILL-WHITHAM-RIHARDS (LWR) … · Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang berusaha untuk merepresentasi dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau

109

Lamp 20. Proses pengolahan data pada Matlab mengenai perhitungan kapasitas

jalan pada sore hari

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI