analisis dan kontrol optimal model matematika …repository.unair.ac.id/29301/1/halaman...

ANALISIS DAN KONTROL OPTIMAL MODEL MATEMATIKA

PENYEBARAN VIRUS WEST NILE DENGAN PENGARUH

PENYEMPROTAN NYAMUK

SKRIPSI

RADITYA REZKI PRADIPTA

PROGRAM STUDI S-1 MATEMATIKA

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS AIRLANGGA

2016

ADLN - PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS AIRLANGGA

SKRIPSI ANALISIS DAN KONTROL ... RADITYA REZKI P.

i

ANALISIS DAN KONTROL OPTIMAL MODEL MATEMATIKA

PENYEBARAN VIRUS WEST NILE DENGAN PENGARUH

PENYEMPROTAN NYAMUK

SKRIPSI

RADITYA REZKI PRADIPTA

PROGRAM STUDI S-1 MATEMATIKA

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS AIRLANGGA

2016



Analisis dan Kontrol Optimal Model Matematika PenyebaranYiras West

Nile dengan Pengaruh Penyemprotan Nyamuk

SKRIPSI

Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar Sarjana SainsBidang Matematika Pada Fakultas Sains Dan Teknologi

Universitas Airlangga

Disetujui oleh:

Pembimbing II

NrP. 19730704 199802 2 001

Dr. Windarto. M.Si

NrP. 19771104 200312 I 001

Pembimbing I

1l



Judul

Penyusun

NIM

Pembimbing I

Pembimbing II

Tanggal Seminar

NIP. 19730704 1998022 001

Badrus Zaman. S.Kom.. M.Cs.

NIP. 19780126 20064 I 001

1 001

Mengetahui,

Koordinator Program Studi S-l Matematika

LEMBAR PENGESAHAN NASKAH SKRIPSI

Analisis dan Kontrol Optimal Model Penyebaran Virus

West Nile dengan Pengaruh Penyemprotan Nyamuk

Raditya Rezki Pradipta

08121 1233012

Dr. Fatmawati, M.Si

Dr. Windarto, M.Si

28 Januari 2016

Disetujui oleh:

Pembimbing II

1,-Dr. Windarto. M.Si

NIP. 19771 tO4Zo{nt;

ilt

Pembimbing I,

Departmen Matematika

ins dan Teknologi Fakultas Sains dan Teknologi

NIP . 19640103 198810 1 001



iv

PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI

Skripsi ini tidak dipublikasikan, namun tersedia di perpustakaan dalam

lingkungan Universitas Airlangga, diperkenankan untuk dipakai sebagai referensi

kepustakaan, tetapi pengutipan harus seizin penulis dan harus menyebutkan

sumbernya sesuai kebiasaan ilmiah. Dokumen skripsi ini merupakan hak milik

Universitas Airlangga.



SLTRA T P[R]\ YAT'A4I{ TE]YTAN C ORISI ITA LITAS

Yaug berlandatalgan dibawah ini, saya:

Nama

NI]\{

Prcgram Studi

Fakultas

Jenjang

: Radit-va Rezki pradipta

: 08121 1233012

:Sl Maternatika

: Sains dan Teknologi

: Sarjana (S 1 )

L'Ienyatakan bahwa saya tidak melaknkan kegiatan pla-rdat dalarn penylisap skrisi

saya yalrg berjudul:

"Analisis dan Kontrot optimal Model Matematika penyetraran virus p/esf

Ili/r dengnn Peng*ruh penyemprotan Nyamuk,,

Apabila suaftr saat nanti terbukti melak*kan tindakan plagiat maka saya akan

menenma sanksi yang telah ditetapkan.

Demikia* surat pemyataa:r i*i sa3,a buat dengan sebenar-trenerTlya.

Surabaya, 5 Januari 2016


NIM.0812112330t2

v



vi

KATA PENGANTAR

Alhamdulillahirabbilalamin, segala puji syukur tercurahkan kepada Allah

SWT sumber inspirasi yang telah melimpahkan rahmat dan karunia-Nya sehingga

dapat terselesaikannya penulisan skripsi ini. Shalawat serta salam semoga

senantiasa tercurahkan kepada junjungan kita, Nabi Besar Muhammad SAW,

pemimpin sekaligus suri tauladan yang paling baik bagi kehidupan umat manusia,

sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi dengan judul “Analisis dan Kontrol

Optimal Model Penyebaran Virus West Nile dengan Pengaruh Penyemprotan

Nyamuk”.

Dalam penyusunan skripsi ini, penulis mengucapkan banyak terimakasih

kepada:

1. Universitas Airlangga yang telah memberikan kesempatan kepada Penulis

untuk menuntut ilmu.

2. Badrus Zaman, S.Kom., M.Cs, selaku Kepala Departemen Matematika

Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga yang selalu

memberikan saran dan motivasi.

3. Dr. Moh. Imam Utoyo, M.Si., selaku Koordinator Program Studi S-1

Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga yang

selalu memberikan saran dan motivasi.



vii

4. Dr. Fatmawati, M.Si selaku dosen pembimbing I yang senantiasa dengan

sabar memberikan bimbingan berupa arahan dan masukan kepada penulis.

5. Dr. Windarto, M.Si selaku dosen pembimbing II dan sekaligus sebagai

dosen wali selama menjadi mahasiswa Fakultas Sains dan Teknologi

Universitas Airlangga yang telah banyak memberikan arahan serta nasihat

demi kesuksesan menjadi mahasiswa.

6. Seluruh dosen di Universitas Airlangga, khususnya Departemen

Matematika yang telah menyampaikan ilmu kepada Penulis tanpa pamrih

dan tak kenal lelah.

7. Yang tercinta kedua orang tua yang selalu memberikan dukungan dan yang

selalu memberikan doa terbaiknya. Kakak Penulis yang selalu memberi

motivasi dalam menyelesaikan skripsi.

8. Teman-teman Program Studi Matematika 2012 yang telah banyak

memberikan pengalaman, motivasi dan semangat yang sangat berharga bagi

Penulis.

9. Serta semua pihak yang tidak dapat Penulis sebutkan seluruhnya yang telah

membantu menyelesaikan skripsi ini.

Penulis berharap skripsi ini dapat bermanfaat sebagai bahan pustaka dan

penambah informasi khususnya bagi mahasiswa Universitas Airlangga. Saran dan

kritik yang membangun sangat diharapkan untuk menyempurnakan skripsi ini.

Surabaya, Januari 2016




viii

Raditya Rezki Pradipta, 2016, Analisis dan Kontrol Optimal Model

Matematika Penyebaran Virus West Nile dengan Pengaruh Penyemprotan

Nyamuk. Skripsi ini dibawah bimbingan Dr. Fatmawati, M.Si. dan Dr. Windarto,

M.Si. Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas

Airlangga, Surabaya.

ABSTRAK

Virus west nile adalah jenis virus yang dapat menimbulkan penyakit yang

menyerang syaraf otak dan ditularkan melalui nyamuk betina berjenis culex

pipiens. Virus ini termasuk dalam genus Flavivirus dalam family Flaviviridae.

Genus Flavivirus ini ditemukan di daerah beriklim sedang dan tropis di dunia.

Penyakit ini dapat menyebabkan kematian jika tidak ditangani secara serius.

Penyakit ini dapat dicegah dengan adanya penyemprotan nyamuk.

Dalam skripsi ini dilakukan analisis model matematika penyebaran virus

west nile tanpa pengontrol, dan dengan pengunaan pengontrol berupa

penyemprotan nyamuk untuk mengeliminasi penyebaran virus west nile. Pada

model tanpa pengontrol diperoleh dua titik setimbang, yaitu titik setimbang non

endemik (𝐸0) dan titik setimbang endemik (𝐸1). Titik setimbang non endemik

stabil asimtotis jika memenuhi kreteria tertentu. Dari titik setimbang tersebut juga

didapatkan besaran Basic Reproduction Ratio (𝑅0) yang merupakan tolak ukur

terjadinya endemik virus west nile. Titik setimbang bebas penyakit (𝐸0) stabil

asimtotis jika syarat eksistensi titik tersebut terpenuhi dan 𝑅0 < 1. Sedangkan,

titik setimbang endemik (𝐸1) stabil asimtotis jika 𝑅0 > 1. Pada model

matematika penyebaran virus west nile dengan variabel pengontrol, ditentukan

syarat cukup untuk eksistensi kontrol optimal dari pengontrol 𝑢 yang berupa

penyemprotan nyamuk dengan menggunakan Prinsip Maksimum Pontryagin. Dari

hasil simulasi numerik menunjukkan bahwa pemberian kontrol cukup efektif

untuk meminimalkan jumlah populasi nyamuk yang terinfeksi virus west nile

dengan biaya minimal.

Kata Kunci : Model Matematika, Virus West Nile, Penyemprotan Nyamuk,

Kestabilan, Kontrol Optimal.



ix

Raditya Rezki Pradipta, 2016, Analysis and Optimal Control of Mathematic Model Transmission of West Nile Virus by Using Mosquito Spraying. This

thesis is supervised by Dr. Fatmawati, M.Si. and Dr. Windarto, M.Si. Mathematic

Department, Faculty of Science and Technology, Airlangga University, Surabaya.

ABSTRACT

West nile virus is a type of virus that can cause neurological disease which

can cause neurological disease that ruins the brain and transmitted by the female

Culex pipiens mosquito. This virus belongs to the genus Flavivirus genus in the

family of Flaviviridae. Genus Flavivirus which are prevalent in tropical and

subtropical regions. This desease can lead to death, if there is no serious

treatment. This disease can be prevented by mosquito spraying.

In this thesis, analyzes the mathematical model of west nile virus

transmission without control, and using a controller such as mosquito spraying to

eliminate the transmission of west nile virus. A mathematical model without a

controller, there are two equilibrium point, the first one is disease free equilibrium

point (𝐸0) and and another one is the endemic equilibrium point (𝐸1). It is asymptotically stable if it fulfills some certain criterias. From those equilibrium

points, also obtained amount of Basic Reproduction Ratio (𝑅0) which is a meassure the endemic of west nile virus. It is asymptotically stable if the existence

conditions is obtained and 𝑅0 < 1. Whereas, endemic equilibrium point 𝐸2 that is

asymptotically stable if 𝑅0 > 1. In the mathematic model of west nile virus transmission with controller variable, is determined by specific conditions

existence of optimal control from controller u mosquito spraying by using

Pontryagin Maximum Principle. The result of numerical simulation shows that

giving a controller is effective for minimizing amount of the number of

mosquitoes infected with west nile virus with minimal cost.

Keywords: Mathematic Model, West Nile Virus, Mosquito Spraying, Stability,

Optimal Control



x

DAFTAR ISI

Halaman

LEMBAR JUDUL ......................................................................................... i

LEMBAR PERNYATAAN ............................................................................. ii

LEMBAR PENGESAHAN NASKAH SKRIPSI ............................................ iii

LEMBAR PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI ........................................ iv

SURAT PERNYATAAN TENTANG ORISINALIATAS ............................. v

KATA PENGANTAR..................... ................................................................ vii

ABSTRAK ....................................................................................................... viii

ABSTRACT ..................................................................................................... ix

DAFTAR ISI.. .................................................................................................. x

DAFTAR TABEL ............................................................................................ xiii

DAFTAR GAMBAR ....................................................................................... xiv

DAFTAR LAMPIRAN .................................................................................... xv

BAB I PENDAHULUAN ........................................................................... 1

1.1. Latar Belakang ................................................................................. 1

1.2. Rumusan Masalah ............................................................................ 3

1.3. Tujuan .............................................................................................. 3



xi

1.4. Manfaat ............................................................................................ 3

1.5. Batasan Masalah .............................................................................. 4

BAB II TINJUAN PUSTAKA................................................................ 5

2.1. Virus West Nile ................................................................................ 5

2.1.1. Penularan Virus West Nile ................................................... 6

2.1.2. Gejala Terinfeksi Virus West Nile........................................ 7

2.1.3. Pencegahan Virus West Nile ................................................ 8

2.1.4. Pengobatan Virus West Nile ................................................. 9

2.2. Sistem Persamaan Differensial ........................................................ 10

2.3. Sistem Autonomus ........................................................................... 11

2.4. Titik Setimbang ................................................................................ 12

2.5. Kestabilan Sistem Linear ................................................................. 13

2.6. Kriteria Routh-Hurwitz .................................................................... 15

2.7. Masalah Kontrol Optimal ................................................................ 17

2.8. Prinsip Maksimum Pontryagin ........................................................ 18

BAB III METODE PENELITIAN................................................................ 21

BAB IV PEMBAHASAN .............................................................................. 23

4.1. Model Matematika Penyebaran Virus West Nile ............................. 23

4.1.1. Titik Setimbang Model Matematika Penyebaran Virus

West Nile ................................................................................. 28

4.1.2. Analisis Kestabilan Asimtotis Lokal ...................................... 32

4.1.2.1. Kestabilan Asimtotis Lokal Pada Titik Setimbang



xii

Bebas Penyakit ........................................................... 34

4.1.2.2. Kestabilan Asimtotis Lokal Pada Titik Setimbang

Endemik ...................................................................... 35

4.2. Model Matematika Penyebaran Virus West Nile dengan Kontrol

Optimal ............................................................................................. 38

4.2.1. Solusi Numerik ...................................................................... 43

BAB V PENUTUP ......................................................................................... 51

5.1. Kesimpulan ....................................................................................... 51

5.2. Saran ................................................................................................ 52

DAFTAR PUSTAKA .................................................................................... 53

LAMPIRAN



DAFTAR TABEL

Tabel Judul Halaman

4.1 Parameter Model Penyebaran Virus West Nile 24

4.2 Nilai Parameter Model Penyebaran Virus West Nile 32

4.3 Nilai Awal Populasi 36

4.4 Nilai Parameter Model Penyebaran Virus West Nile 44



xiv

DAFTAR GAMBAR

Gambar Judul Halaman

4.1 Diagram Transmisi Model Penyebaran Virus

West Nile 26

4.2 Grafik Bidang Fase Populasi Nyamuk Rentan 𝑆𝑚(𝑡)

Terhadap Populasi Nyamuk Terinfeksi 𝐼𝑚(𝑡) Pada Model

Penyebaran Virus West Nile. 36

4.3 Diagram Transmisi Model Penyebaran Virus West Nile

dengan Kontrol 38

4.4 Dinamika Populasi Nyamuk Rentan Terhadap Virus

West Nile (𝑆𝑚) 45

4.5 Dinamika Populasi Nyamuk Terinfeksi Terhadap Virus

West Nile (𝐼𝑚) 46

4.6 Dinamika Populasi Burung Rentan Terhadap Virus

West Nile (𝑆𝑏) 47

4.7 Dinamika Populasi Burung Terinfeksi Terhadap Virus

West Nile (𝐼𝑏) 48

4.8 Grafik Kontrol u 49



xv

DAFTAR LAMPIRAN

Nomor Judul Lampiran

1. Perhitungan Titik Setimbang Endemik 𝐸1

2. Analisa Kestabilan Titik Setimbang Bebas Penyakit 𝐸0

3. Kode Program MATLAB Grafik Bidang Fase Pada Titik Setimbang

Endemik

4. Skrip M-File toolbox DOTcvp pada Matlab untuk Model Penyebaran

Virus West Nile tanpa Pengontrol.

5. Skrip M-File toolbox DOTcvp pada Matlab untuk Model Penyebaran

Virus West Nile dengan Pengontrol.



analisis dan kontrol optimal model matematika …repository.unair.ac.id/29301/1/halaman...

Documents