ANALISIS MODEL MATEMATIKA PADA MAKROFAG

YANG TERINFEKSI VIRUS HIV

Disusun untuk memenuhi syarat kelulusan pada matakuliah

Trisna Taufik Darmawansyah

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS ISLAM SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG

ANALISIS MODEL MATEMATIKA PADA MAKROFAG

YANG TERINFEKSI VIRUS HIV DAN RESPON CTL

STUDI LITERATUR

Disusun untuk memenuhi syarat kelulusan pada matakuliah Studi Literatur

di Jurusan Matematika

Oleh

Trisna Taufik Darmawansyah

1209701051

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS ISLAM SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG

2012

ANALISIS MODEL MATEMATIKA PADA MAKROFAG

DAN RESPON CTL

Literatur

UNIVERSITAS ISLAM SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG

HALAMAN PENGESAHAN

ANALISIS MODEL MATEMATIKA PADA MAKROFAG YANG

TERINFEKSI VIRUS HIV DAN RESPON CTL

STUDI LITERATUR

Disusun untuk memenuhi syarat kelulusan pada matakuliah studi literatur di

Jurusan Matematika

Oleh :

Trisna Taufik Darmawansyah

1209701051

Telah Diperiksa dan Disetujui oleh Pembimbing

Pada Tanggal ___/__________/_______

Dosen Pembimbing

Diny Zulkarnaen, M.Si.

NIP. 198212132011011008

Mengetahui,

Ketua Jurusan Matematika

Dr. Elis Ratna Wulan, S.Si., MT.

NIP. 197301122000032001

KATA PENGANTAR

Assalamu’alaikum Wr. Wb.

Syukur alhamdulillah ke hadirat Allah SWT, yang telah melimpahkan rahmat

dan hidayahNya kepada penulis sehingga dapat menyelesaikan studi literatur

dengan judul ” ANALISIS MODEL MATEMATIKA PADA MAKROFAG

YANG TERINFEKSI VIRUS HIV DAN RESPON CTL”.

Shalawat serta salam senantiasa tercurahkan kepada Nabi Muhammad SAW

yang telah memberantas segala bentuk kemaksiatan di muka bumi ini, serta

menunjukkan jalan yang terang benderang yaitu ad-Dinul Islam.

Dalam penulisan studi literatur ini, penulis menyadari bahwa tidak akan

mendapatkan hasil yang baik tanpa adanya bimbingan, bantuan, dorongan, saran

serta do’a dari berbagai pihak. Maka dalam kesempatan ini, penulis

menyampaikan terima kasih kepada:

1. Prof. Dr. H. Deddy Ismatullah, SH., M.Hum selaku Rektor Universitas Islam

Negeri (UIN) Sunan Gunung Djati Bandung.

2. Dr. H. M. Subandi, Drs. Ir. MP selaku Dekan Fakultas Sain dan Teknologi

Universitas Islam Negeri (UIN) Sunan Gunung Djati Bandung.

3. Dr. Elis Ratna Wulan, S.Si., MT selaku Ketua Jurusan Matematika

Universitas Islam Negeri (UIN) Sunan Gunung Djati Bandung.

4. Diny Zulkarnaen, M.Si selaku dosen pembimbing yang selalu memberikan

bimbingan dan nasihatnya.

Semoga Allah SWT membalas kebaikan mereka semua. Penulis berharap

semoga studi literatur ini bermanfaat. Aamiin.

Wassalamua’alaikun Wr. Wb.

Bandung, 20 Agustus 2012

Penulis

Abstrak

Analisis Model Matematika Pada Makrofag Yang Terinfeksi Virus HIV dan Respon CTL

Trisna Taufik Darmawansyah 1209701051

HIV merupakan singkatan dari Human Immunodeficiency Virus yang dapat

menyebabkan AIDS dengan cara menyerang makrofag sehingga dapat merusak sistem kekebalan tubuh manusia yang pada akhirnya tidak dapat bertahan dari gangguan penyakit walaupun yang sangat ringan sekalipun. Pengaruh virus HIV terhadap makrofag dapat dimodelkan secara matematika dan membentuk suatu sistem persamaan diferensial tak linier orde satu. Pada pembahasan diperoleh 3 titik tetap, yaitu titik tetap yang pertama menggambarkan ketiadaan infeksi virus HIV dalam tubuh, titik tetap yang kedua menunjukkan kestabilan tubuh saat mengalami infeksi virus HIV, sedangkan titik tetap yang ketiga menunjukkan kestabilan tubuh saat mengalami infeksi virus HIV dan respon CTL. Dengan melaukukan beberapa perhitungan, diperoleh 3 nilai eigen. Saat nilai eigen tersebut semuanya bernilai negatif, menunjukkan bahwa titik keseimbangannya bersifat stabil asimtotik. Kata kunci: model matematika, HIV (Human Immunodeficiency Virus), Makrofag, CTL (Cytotoxic T Lymphocyte).

Abstract

Analysis of Mathematical Models In The Infected Macrophages HIV virus and CTL Responses

Trisna Taufik Darmawansyah 1209701051

HIV stands for Human Immunodeficiency Virus which can cause AIDS by attacking macrophages that can damage the human immune system that ultimately can not survive from disease despite very mild. Effect of HIV on macrophages can be modeled mathematically and establish a system of non linear differential equation of order one. In the discussion gained 3 points fixed, that is a fixed point of the first to describe the absence of HIV infection in the body, the point remains that both demonstrate the stability of the body during an infection with HIV, while the third shows the fixed point stability of the body as having HIV infection and CTL responses. With melaukukan some calculations, obtained 3 eigenvalues. When the eigenvalues are all negative, indicating that the equilibrium point is asymptotically stable.

Keywords: mathematical models, HIV (Human Immunodeficiency Virus), macrophages, CTL (Cytotoxic T lymphocytes).

DAFTAR ISI

Abstrak ..................................................................................................... i

Kata Pengantar ........................................................................................ iii

Daftar Isi ................................................................................................... iv

Daftar Gambar.......................................................................................... vi

Bab I Pendahuluan

1.1. Latar Belakang Masalah ...................................................................... 1

1.2. Rumusan Masalah................................................................................ 1

1.3. Tujuan Penelitian ................................................................................ 2

1.4. Batasan Masalah ................................................................................... 2

1.5. Manfaat Penelitian ............................................................................... 3

1.6. Metode Penelitian ................................................................................. 3

1.7. Sistematika Penelitian .......................................................................... 3

1.8. Kerangka Berfikir ................................................................................. 4

Bab II Kajian Pustaka

2.1. HIV ........................................................................................................ 6

2.2. Makrofag ................................................................................................ 9

2.3. Persamaan Diferensial ............................................................................ 11

2.4. Sistem Persamaan Diferensial ................................................................ 12

2.5. Matriks Jacobi ........................................................................................ 14

2.6. Nilai eigen .............................................................................................. 15

2.7. Titik Tetap ............................................................................................. 15

2.8. Jenis kestabilan ...................................................................................... 17

2.9. Kriteria Routh-Hurwitz .......................................................................... 18

Bab III Pembahasan

3.1. Pembentukan Model Makrofag yang TeriInfeksi Virus HIV ................ 20

3.1.1. Titik tetap ................................................................................... 21

3.1.2. Jenis kesetabilan ......................................................................... 24

3.2. Pembentukan Model Makrofag yang TeriInfeksi Virus HIV

dan Respon CTL.......................................................................... 25

3.2.1. Titik tetap ..................................................................................... 27

3.2.2. Jenis kesetabilan ........................................................................... 29

3.3. Contoh kasus ......................................................................................... 34

Bab IV Penutup

4.1. Kesimpulan ............................................................................................. 39

4.2. Saran ....................................................................................................... 41

Daftar Pustaka ............................................................................................. vii

DAFTAR GAMBAR

1.1 Kerangka Berfikir........................................................................................ 4

3.1 Skema dinamika makrofag yang terinfeksi virus HIV .............................. 19

3.2 Skema dinamika makrofag yang terinfeksi virus HIV dan respon CTL ... 25

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Menurut Nasronudin (2007), penyakit infeksi HIV (Human

Immunodeficiency Virus) & AIDS (Acquired Immunodeficiency Syndrome) masih

merupakan masalah kesehatan global, termasuk di Indonesia. Masalah yang

berkembang sehubungan dengan penyakit infeksi HIV & AIDS adalah angka

kejadian dan kematian yang masih tinggi. Meskipun telah dicapai berbagai

kemajuan di bidang kedokteran dan farmasi, serta telah dilakukan berbagai upaya

pencegahan primer maupun sekunder, tetapi angka kesakitan dan kematiannya

tetap tinggi.

Menurut WHO, hingga Desember 2000, dilaporkan 58 juta jiwa penduduk

dunia terinfeksi HIV, dalam kurun waktu tersebut 22 juta jiwa meninggal atau

7.000 jiwa meninggal akibat AIDS setiap hari. Transmisi HIV masih tetap saja

berlangsung hingga kini, 16.000 jiwa terinfeksi baru setiap harinya.

Proses pengaktifan sistem kekebalan dalam tubuh pada umumnya adalah

pengaktifan CTL (Cytotoxic T Lymphocytes). CTL membunuh virus lewat reaksi

antigen. Dengan demikian, sel CTL merupakan fungsi biologis yang baik dalam

membunuh virus.

Dewasa ini semakin banyak disiplin ilmu yang menggunakan model

matematika maupun penalaran matematika sebagai alat bantu dalam

menyelesaikan permasalahan yang dihadapi. Penggunaan model matematika telah

banyak membantu menyelesaikan masalah-masalah di berbagai bidang sains,

ekonomi dan teknik. Dengan matematika diharapkan akan diperoleh solusi akhir

yang tepat, valid dan dapat diterima secara ilmiah oleh dunia ilmu pengetahuan.

Pemodelan matematika merupakan salah satu cara untuk mengetahui penyebaran

penyakit diantaranya adalah virus HIV.

Berdasarkan paparan di atas, penulis ingin mengangkat tema tulisan ini

dengan judul ”ANALISIS MODEL MATEMATIKA PADA MAKROFAG

YANG TERINFEKSI VIRUS HIV DAN RESPON CTL ”.

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang di atas, maka rumusan masalahnya sebagai

berikut:

1. Bagaimana model matematika pada makrofag yang infeksi virus HIV?

2. Bagaimana titik tetap model matematika pada makrofag yang terinfeksi virus

HIV?

3. Bagaimana kestabilan Titik tetap dari model matematika pada makrofag yang

terinfeksi virus HIV?

1.3 Tujuan Penelitian

Berdasarkan rumusan masalah di atas, maka tujuan dari pembahasan ini

adalah:

1. Mengetahui proses pemodelan infeksi makrofag oleh virus HIV.

2. Mengetahui Titik tetap model infeksi makrofag oleh virus HIV.

3. Mengetahui secara detail kestabilan model makrofag yang terinveksi virus

HIV

1.4 Batasan Masalah

Dalam penulisan ini, penulis memberikan batasan pembahasan pada:

1. Penderita HIV tanpa adanya pengaruh dari luar tubuh (pengobatan).

2. Parameter yang digunakan dalam model makrofag terhadap infeksi virus HIV

bernilai positif

1.5 Manfaat Penelitian

Diharapkan dengan adanya penelitian ini penulis mampu mengetahui,

menelaah, memahami, dan menganalisa pemodelan matematika serta mengetahui,

dan memperdalam pengetahuan tentang model matematika pada makrofag yang

terinfeksi virus HIV.

1.6 Metode Penelitian

Metode yang digunakan dalam studi literatur ini adalah metode penelitian

pustaka (Library research), yaitu dengan mengumpulkan data dan informasi dari

berbagai sumber seperti buku, jurnal, atau makalah-makalah. Penelitian dilakukan

dengan melakukan kajian terhadap buku-buku pemodelan matematika dan jurnal-

jurnal atau makalah-makalah yang memuat topik tentang makrofag dan HIV

(Human Immunodeficiency Virus). Langkah selanjutnya adalah mendalami,

mencermati, menelaah, dan mengidentifikasi pengetahuan yang ada dalam

kepustakaan.

1.7 Sistematika Penelitian

BAB I: Pendahuluan

Pada bab ini penulis paparkan tentang latar belakang, rumusan

masalah, tujuan penelitian, batasan masalah, manfaat penelitian,

metode penelitian, sistematika penelitian serta kerangka berpikir.

BAB II: Kajian Pustaka

Penulis membahas tentang landasan teori yang dijadikan ukuran

standarisasi dalam pembahasan pada bab yang merupakan tinjauan

teoritis yang terdiri atas HIV, makrofag, persamaan diferensial,

persamaan diferensial tak linier, sistem persamaan diferensial non

linier, matriks jacobi , nilai eigen, titik tetap, jenis kestabilan dan

Kriteria Routh-Hurwitz.

BAB III: Pembahasan

Pembahasan pada bab ini yaitu tentang pembentukan model

matematika pada infeksi virus HIV, model matematika makrofag

terhadap infeksi virus HIV, menentukan titik tetap, mentukan

kestabilan Titik tetap, dan contoh kasus.

BAB IV: Penutup

Penulis pada bab ini membahas tentang kesimpulan dari hasil

penelitian serta saran.

DAFTAR PUSTAKA

1.8 Kerangka Berfikir

Langkah pertama yang dilakukan adalah membuat formulasi dari

permsalahan real tentang model makrofag yang terinveksi virus HIV, yaitu

dengan mengidentifikasi masalah yang akan timbul tenatang apa yang harus

dilakukan dan apa yang diinginkan dari model tersebut.

Secara umum penulis tidak bisa menganggap bahwa semua faktor yang

berpangaruh pada peristiwa yang sedang di amati dapat dimodelkan dengan

matematika. Hal ini disederhanakan dengan mereduksi banyaknya faktor yang

berpengaruh terhadap kejadian yang sedang diamati sehingga kompleksitas

persoalan bisa direduksi dengan mengasumsikan hubungan sederhana antara

variabel.

Selanjutnya adalah memperhatikan semua submodel untuk melihat apakah

model yang disusun sudah cukup. Kemudian model tersebut akan diselesaikan

secara matematika. Dalam hal ini model yang digunakan dan penyelesaiannya

menggunakan persamaan diferensial non linear. Mencari titik tetap dari model sel

T yang terinveksi virus HIV menjadi bagian penting dalm penelitian ini. Karena

titik tetap digunakan untuk mencari jenis kesetabilan model.

Bgian selanjutnya adalah menganalisis jenis kesetabilan dari model sel T

yang terinveksivirus HIV, apakah stabil atau tidak. Langkah terakhir yaitu

membuat kesimpulan dari model makrofag yang terinveksivirus HIV. Dalam hal

ini adalah teorema – teorema yang berhubungan dengan model.

Mengasumsikan untuk model makrofag yang terinfeksi virus HIV

Menyelesaikan masalah matematika

Menganalisis titik tetap model

Menentukan jenis kesetabilan model

Membuat kesimpulan

Memformulasikan model real (identifikasi masalah).

Gambar 1.1 Kerangka Berfikir

BAB II

KAJIAN PUSTAKA

2.1 HIV

HIV adalah singkatan dari Human Immunodeficiency Virus yang dapat

menyebabkan AIDS dengan cara menyerang sel darah putih yang bernama sel

CD4 sehingga dapat merusak sistem kekebalan tubuh manusia yang pada akhirnya

tidak dapat bertahan dari gangguan penyakit bahkan yang sangat ringan sekalipun.

Virus HIV menyerang sel CD4 dan merubahnya menjadi tempat

berkembang biak virus HIV baru kemudian merusaknya sehingga tidak dapat

digunakan lagi. Sel darah putih sangat diperlukan untuk sistem kekebalan tubuh.

Tanpa kekebalan tubuh maka ketika diserang penyakit, tubuh kita tidak memiliki

pelindung.

AIDS adalah singkatan dari Acquired Immune Deficiency Syndrome yang

merupakan dampak atau efek dari perkembangbiakan virus HIV dalam tubuh

makhluk hidup. Virus HIV membutuhkan waktu untuk menyebabkan sindrom

AIDS yang mematikan dan sangat berbahaya. Penyakit AIDS disebabkan oleh

melemah atau menghilangnya sistem kekebalan tubuh yang tadinya dimiliki

karena sel CD4 pada sel darah putih yang banyak dirusak oleh Virus HIV.

2.1.1 Respon selular

Sel dengan reseptor CD4 yang terinfeksi HIV menjadi tempat replikasi

virus. Sel terinfeksi kemudian melepaskan virion melalui permukaan sel atau

melalui sel lisis, yang dapat menginfeksi sel-sel lain. Beberapa virion HIV dibawa

dari tempat infeksi ke limfa dimana sel sistem imun lain menjadi terinfeksi.

Sejumlah besar virus dapat terperangkap di sini oleh sel bertentakel yang disebut

Follicular Dendritic Cell (FDC) yang rentan terhadap infeksi namun dapat

bertahan untuk waktu yang lama.

Sel T dan CD4 sebagai target utama HIV, dapat terinfeksi ketika bertemu

dengan HIV yang terjebak dalam FDC. Replikasi aktif HIV terjadi pada setiap

tahap infeksi. Dalam periode tahunan, saat sejumlah kecil virus terdeteksi dalam

darah, sejumlah signifikan virus terakumulasi dalam sel terinfeksi dan FDC. HIV

yang terjebak dalam FDC terus menginfeksi sekalipun terlindung oleh antibodi.

Dapat dilihat bahwa FDC adalah gudang untuk infeksi HIV dan dapat

menjelaskan bagaimana momentum infeksi HIV dapat terjadi.

Walaupun sel T dan CD4 merupakan target utama HIV, sel sistem imun lain

yang memiliki reseptor CD4 pada permukaannya juga dapat terinfeksi. Sel

berumur panjang yang disebut monosit dan makrofag dapat mengandung

sejumlah besar virus tanpa menjadi mati. Sel T dan CD4 juga adalah gudang yang

penting untuk HIV, karena menyebabkan HIV dalam keadaan inaktif dan stabil.

Proses normal imun akan menyebabkan produksi virion HIV.

Di dalam dan sekitar germinal center, meningkatnya produksi sitokin seperti

tumor necrosis factor (TNF) dan IL-6 dapat mengaktivasi sel T dan CD4 yang

meningkatkan kerentanan terhadap infeksi HIV. Aktivasi menyebabkan sel yang

tidak terinfeksi menjadi lebih mudah terinfeksi dan meningkatkan replikasi HIV

pada sel yang terinfeksi. Sekresi sitokin berbanding terbalik dengan sekresi sel-sel

regulasi fungsi normal sistem imun. Sekali terinfeksi, sel T dan CD4 dapat

meninggalkan germinal center dan menginfeksi sel T dan CD4 lain yang

berkumpul di daerah limfa di sekitarnya.

Ada beberapa teori tentang bagaimana HIV menghancurkan sel T dan CD4,

yaitu:

1. Direct cell killing. Sel T dan CD4 yang terinfeksi dihancurkan secara langsung

ketika sejumlah besar virus diproduksi dan menembus permukaan sel,

merusak membran sel, atau ketika protein viral dan asam nukleat yang

tekumpul dalam sel menganggu sistem selular.

2. Pembentukan syncytia. Sel terinfeksi dapat bergabung dengan sel tetangga

yang tidak terinfeksi, membentuk sel raksasa seperti balon yang disebut

syncytia.

3. Apoptosis. Sel T dan CD4 yang terinfeksi dapat terbunuh ketika regulasi

selular terganggu oleh protein HIV, yang mungkin menyebabkan

penghancuran sendiri sel yang dikenal sebagai apoptosis.

4. Innocent bystanders. Sel yang tidak terinfeksi dapat mati dengan skenario

innocent bystanders. Pertikel HIV dapat berikatan dengan permukaan sel,

menyebabkan sel seakan-akan terinfeksi sehingga sel dihancurkan oleh sel T

killer.

2.1.2 Perjalanan Infeksi

Infeksi primer HIV diikuti oleh ledakan viremia dimana virus dengan

mudah terdeteksi pada darah peripheral dalam sel mononuklear dan plasma.

Jumlah sel T dan CD4 dalam aliran darah menurun 20-40%. Dua sampai empat

minggu setelah terpapar virus, hingga 70% orang yang terinfeksi HIV mengalami

gejala seperti flu yang berhubungan dengan infeksi akut. Ledakan tersebut diikuti

dengan replikasi tingkat rendah ketika sistem imun pasien melawan balik yang

menyebabkan penurunan HIV secara dramatis dengan adanya sel T killer (sel T

dan CD8) yang menyerang dan membunuh sel Terinfeksi yang memproduksi

virus, dan sel B yang memproduksi antibodi. Sel T dan CD4 pasien dapat

meningkat kembali sampai 80-90% yang menyebabkan pasien terbebas dari gejala

yang berhubungan dengan HIV selama bertahun-tahun, walaupun replikasi tingkat

rendah HIV tetap berlangsung dan menghancurkan sistem imun secara terus-

menerus. Selama periode tersebut, sistem imun mencukupi untuk menjaga

kekebalan tubuh dan mencegah kebanyakan infeksi.

Fase akhir infeksi HIV terjadi ketika sejumlah signifikan limfosit CD4 telah

hancur dan produksi kembali tidak sebanding. Pasien menunjukkan demam yang

berlangsung lama (lebih dari satu bulan) dan penurunan berat badan. Kegagalan

sistem imun mengacu pada manifestasi klinik AIDS.

2.1.3 Perjalanan Menjadi AIDS

Orang yang terinfeksi HIV dapat hidup rata-rata 8-10 tahun setelah infeksi

inisial dan sebelum perkembangan gejala klinis AIDS. Perubahan menjadi AIDS

tidak dipengaruhi oleh jenis kelamin, kehamilan, ataupun faktor resiko. Kondisi

yang menentukan AIDS adalah jumlah sel T dan CD4 yang kurang dari 200

sel/mm3 darah dan adanya infeksi oportunistik tipikal atau kanker, phneumonia,

dan Mycobacterium avium complex. Infeksi oportunistik disebabkan oleh mikroba

yang biasanya tidak menyebabkan penyakit pada orang sehat. Infeksi biasanya

parah dan terkadang fatal karena sistem imun sangat rusak oleh HIV.

2.2 Makrofag

Makrofag merupakan sel fagosit mononuklear yang utama di jaringan dalam

proses fagositosis terhadap mikroorganisme dan kompleks molekul asing lainnya.

Makrofag diproduksi di sumsun tulang belakang dari sel induk mieloid yang

mengalami proliferasi dan dilepaskan ke dalam darah sesudah atau satu periode

melalui fase monoblas-fase promonosit-fase monosit. Monosit yang telah

meninggalkan sirkulasi darah akan mengalami perubahan-perubahan untuk

kemudian menetap di jaringan sebagai makrofag.

Makrofag sebagai sel fagosit mampu membunuh kuman melalui dua mekanisme

yaitu:

1. Proses oksidatif (oxygen dependent mechanisms)

Proses oksidatif yang terjadi berupa peningkatan penggunaan oksigen,

peningkatan proses hexose inonophosiphate shunt (HMPS), peningkatan produksi

hydrogen peroxide (H202) dan produksi beberapa senyawa seperti superoxide

anion, hydroxyl radicals, single oxygen, myeloperoxiclase yang dapat saling

bereaksi diantaranya: enzymatic generation of superoxide anion, spontaneous

generation of single oxygen and hydroxyl radicals dan enzymatic generation of

halogening comnpound, reaksi-reaksi ini menghasilkan metabolit oksigen yang

toksik sehingga dapat digunakan untuk membunuh kuman.

2. Proses non oksidatif (oxygen independent mechanism)

Proses non oksidatif berlangsung dengan bantuan berbagai protein seperti

hydrolytic enzyme, defensins (cationic protein), lysozyme, lactoferrin clan nitric

oxide synthase (NOS). Pada aktivitas nitric oxide synthase (NOS) diperlukan

bantuan IFNγ dan TNFα tipe I yang dapat meningkatkan produksi NO dari

makrofag di organ limfe.

Makrofag dalam darah dapat diaktivasi oleh berbagai macam stimulant atau

aktivator, termasuk mikroba dan produknya, kompleks antigen antibodi,

inflamasi, limfosit T tersensitasi, sitokin dan trauma. Makrofag yang teraktivasi

mempunyai jumlah lisosom yang meningkat dan menghasilkan serta melepaskan

IL-1, yang mempunyai aktivitas luas dalam inflamasi. IL-1 berperan dalam

terjadinya demam dan aktivasi sel limfoid, menyebabkan pelepasan sitokin

lainnya.

Menurut fungsinva makrofag dibagi menjadi 2 golongan, pertama sebagai

fagosit profesional dan kedua secagai APC (antigen presenting cell) yang

berfungsi menyajikan antigen kepada limfosit. Makrofag sebagai fagosit

professional, sel ini dapat menghancurkan antigen dalam fagolisosom, dan juga

melepaskan berbagai enzim dan isi granula ke luar sel, bersama-sama dengan

sitokin seperti tumor necrosis factor (TNF) yang dapat membunuh organisme

patogen.

Pengenalan makrofag terhadap substansi asing dimungkinkan oleh adanya

reseptor untuk fosfolipid sedangkan fungsi sebagai sel efektor yaitu

menghancurkan mikroorganisme serta sel-sel ganas dan benda-benda asing karena

sel ini antara lain mempunyai sejumlah lisosom di dalam sitoplasma yang

mengandung hidroluse maupun peroksidase yang merupakan enzim perusak yang

dibutuhkan untuk pembunuhan intraselluler. Enzim-enzim ini dapat keluar dari

fagosom dan sel. Makrofag juga mengekspresikan MHC kelas II pada

permukaannya.

Makrofag ini tidak bekerja sendiri dalam menanggulangi infeksi. Mereka

berinteraksi dengan limfosit yang juga mengumpul di tempat invasi bakteri.

Proses pengaktifan makrofag bukanlah proses tunggal. Untuk melihat apakah

makrofag teraktivasi maka dilakukan pengukuran tertentu misalnya kemampuan

killing terhadap mikroba. Pengukuran lain misalnya kemampuan killing terhadap

sel tumor. Aktivasi makrofag diakibatkan adanya peningkatan transkripsi gen-gen.

Peningkatan ekspresi gen-gen tersebut maka makrofag dapat melakukan fungsi

yang tidak dapat dilakukan oleh sel yang sama dalam keadaan istirahat. Fungsi

tersebut antara lain adalah killing bakteria yang sudah difagositosis. Sitokin

aktifator makrofag yang poten adalah IFNγ. IFNγ bukanlah satu-satunya sitokin

yang mengaktivasi makrofag, tetapi makrofag juga diaktifkan oleh kontak dengan

limfosit T melalui CD40. Beberapa ciri yang menunjukkan makrofag teraktivasi

diuraikan sebagai berikut:

1. Makrofag teraktivasi akan meningkat kemampuan killing-nya terhadap

mikroortlanisme.

2. Makrofag teraktivasi akan memacu inflamasi akut dengan mengeluarkan

mediator-mediator inflamasi.

3. Makrofag teraktivasi akan meningkat efisiensinya sebagai set APC.

2.3 Persamaan Diferensial

Definisi 2.1: Persamaan diferensial adalah persamaan yang menyangkut

satu atau lebih fungsi (peubah tak bebas) beserta turunannya terhadap satu atau

lebih peubah bebas (Pamuntjak dan Santosa,1990:1-11)

Definisi 2.2: Persamaan diferensial adalah persamaan yang menyangkut

turunan dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu atau lebih variabel

bebas (Ross, 1984: 3).

Definisi 2.3: Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat turunan

satu (atau beberapa) fungsi yang tak diketahui (Finizio dkk, 1982 : 1)

Contoh:

1) � ′ � �� � 6

2) �" � 10�′ � 7� � sin �

3) �� �� � �� �� � 0

Menurut peubah bebas, persamaan diferensial dapat dibedakan menjadi dua

macam yaitu persamaan diferensial biasa dan parsial sedangkan persamaan

diferensial dilihat dari bentuk fungsi atau pangkatnya juga dibedakan menjadi dua

yaitu persamaan diferensial linear dan persamaan diferensial non linear.

2.3.1 Persamaan Diferensial Biasa

Definisi 2.4: Persamaan diferensial biasa adalah persamaan diferensial yang

menyangkut satu atau lebih fungsi (peubah tak bebas) beserta turunannya terhadap

satu peubah bebas (Pamuntjak dan Santosa,1990:1-12)

Persamaan-persamaan yang memuat turunan biasa disebut persamaan

diferensial biasa.

Contoh : ���� � 2� � ��

2.3.2 Persamaan Diferensial Non Linear

Persamaan Diferensial Non Linear adalah persamaan diferensial yang bukan

persamaan diferensial linier (Pamuntjak dan Santosa,1990:1-15)

Dengan demikian persamaan diferensial ���, � ′, … , ����� � 0 adalah

persamaan diferensial tak linear jika salah satu dari berikut di penuhi oleh �:

a. � tidak berbentuk polinom dalam �, � ′, … , ���� b. � tidak berbentuk polinom berpangkat lebih dari 2 dalam �, � ′, … , ����

Contoh:

1. ��′ � �� ′′ � 0 persamaan diferensial tak linear karena ���, � ′, … , ����� ���′ � �� ′′ polinom berpangkat dua dalam �, �′, �′′. 2. sin �� ���� � cos � �������� � 0 persamaan diferensial tak linear karena � tidak

berbentuk polinom

2.4 Sistem Persamaan Diferensial

Definisi 2.5: Sistem persamaan diferensial adalah suatu persamaan

diferensial berorde n dan telah dinyatakan sebagai suatu sistem dari n persamaan

berorde satu (Conte dan Boor,1993:359). Persamaan itu dapat ditulis dalam

bentuk sebagai berikut:

�! � "��, ����, �′���, … , �!#$����

Secara umum, suatu sistem n persamaan orde pertama mempunyai bentuk

sebagai berikut:

�$ � %�$%� � "$��, �$, �&, … , �!�

�& � %�&%� � "&��, �$, �&, … , �!�

…

…

…

�! � %�!%� � "&��, �$, �&, … , �!�

Sistem persamaan diferensial merupakan persamaan diferensial yang

mempunyai lebih dari satu persamaan yang harus konsisten serta trivial. Sistem

persamaan diferensial adalah gabungan dari n buah persamaan diferensial dengan

n buah fungsi tak diketahui, dalam hal ini, n merupakan bilangan bulat positif ≥ 2.

Sistem persamaan diferensial juga dibedakan menjadi dua yaitu sistem persamaan

diferensial linear dan sistem non linear.

2.4.1 Sistem Persamaan Diferensial Non Linear

Sistem persamaan yang terdiri dari n buah persamaan diferensial tak linear

dengan n buah fungsi tak diketahui. Sistem ini disebut juga sistem tak linear.

Bentuk umum sistem persamaan diferensial non linear dapat di tulis sebagai

berikut:

%�%� � "��, ��

%�%� � '��, ��

" dan ' mempunyai turunan parsial yang kontinu untuk semua ��, ��, dengan:

%�%�%�%� � "��, ��'��, �� , %�%� � "��, ��'��, �� , �()*�)+�,, 1992: 194�

2.5 Matriks Jacobi

Jika ��0, 1� dan 2�0, 1� diferensiabel di sebuah daerah, maka determinan

Jacobian (jacobian detererminant), atau secara singkat disebut Jacobian, dari � %)+ 2 terhadap 0 %)+ 1 determinan fungsional orde kedua yang didefinisikan

oleh

3��, 2�3�0, 1� � 43�30 3�313230 32314 � 5�6 �726 275 Demikian juga, determinan orde ketiga

3��, 2, (�3�0, 1, 8� � 9 �6 �7 �:26 27 2:(6 (7 (:9 Demikian jacobian dari �, 2, ( terhadap 0, %)+ 8 (Murray,1997)

Contoh:

Suatu sistem persamaan diferensial nonlinear berikut ini:

%8%� � B � )8 � C8�

%�%� � C8� � D� � �

%�%� � � � F� � G�H

Menghasilkan matriks Jacobi sebagai berikut:

I � J�) � C� 0 �C8C� �D � β� C8 � β�0 β� β� � F � GHK

2.6 Nilai eigen

Definisi 2.6: Jika L adalah matriks +�+, maka vektor tak nol di dalam M!

dinamakan vektor eigen ( eigen vector) dari L jika L� adalah kelipatan skalar dari �; yakni L� � C�

Untuk suatu skalar C. Skalar C dinamakan nilai eigen (eigen value) dari L

dan � dikatakan vektor eigen yang bersesuaian dengan C. (Anton, 1997: 277).

Untuk mencari nilai eigen matriks L yang berukuran +�+ maka kita

menuliskan kembali L� � C� sebagai L� � CN�

atau secara ekuivalen �CN � L�� � 0

Supaya C menjadi nilai eigen, maka harus ada pemecahan taknol dari persamaan

ini. Akan tetapi persamaan L� � CN� akan mempunyai pemecahan taknol jika dan

hanya jika %O��CN � L� � 0

Ini dinamakan persamaan karakteristik dari L; skalar yang memenuhi persamaan

ini adalah nilai eigen dari L. Bila diperluas, maka %O��CN � L� adalah polinom C

yang kita namakan polinom karakteristik dari L.

2.7 Titik Tetap

Misalkan diberikan sistem persamaan diferensial biasa sebagaimana pada

sistem (3.1). Titik �P disebut titik tetap, jika "��P� � 0. Titik tetap disebut juga titik

kritis atau titik kesetimbangan. Untuk selanjutnya digunakan istilah titik tetap.

(Tu 1994)

Contoh:

Suatu sistem persamaan diferensial berikut ini:

%8%� � � � )� � �1 � Q�H

%�%� � )� � 12 �) � Q�� � R

%�%� � �) � Q�� � 2%

Penyelesaian:

� � )� � �1 � Q�H � 0

)� � 12 �) � Q�� � R � 0

�) � Q�� � 2% � 0

• �) � Q�� � 2% � 0 �) � Q�� � 2%

� � 2%�) � Q�

• )� � $& �) � Q�� � R � 0

)� � 12 �) � Q�� � R

)� � 12 �) � Q� 2%�) � Q� � R

)� � % � R

� � % � R)

• � � )� � �1 � Q�H � 0 �1 � Q�H � � � )�

�1 � Q�H � � � ) 2%�) � Q�

�1 � Q�H � % � R) � 2)%�) � Q�

�1 � Q�H � �) � Q��% � R� � 2)&%)�) � Q�

H � �) � Q��% � R� � 2)&%)�) � Q��1 � Q�

Memiliki titik tetap S�, �, HT: U� � �#VW , � � &��WXY� , H � �WXY���#V�X&W��W�WXY��$XY� Z

2.8 Jenis kestabilan

Kestabilan sebuah sistem ditentukan oleh tanggapannya terhadap masukan

(input) atau gangguan (perturbasi). Secara naluriah, sistem yang stabil adalah

sistem yang tetap dalam keadaan diam bila tidak dirangsang oleh sumber luar dan

akan kembali diam jika semua rangsangan dihilangkan. Jadi, sistem adalah stabil

jika tanggapan denyutnya (prilaku kurva sistem) mendekati nol ketika waktu

mendekati tak hingga.

Keadaan seimbang pertumbuhan populasi dikenal dengan istilah titik tetap.

Kondisi titik tetap mempunyai dua keadaan yaitu stabil dan tidak stabil. Istilah

kestabilan sangat umum dipakai untuk menggambarkan keadaan dinamika suatu

sistem yang tidak mengalami gejolak. Perubahan-perubahan yang berlangsung

dalam sistem dianggap sangat kecil dan tidak terlihat gejolak-gejolak yang berarti.

Keadaan stabil titik tetap suatu sistem dibedakan atas dua macam, yaitu

kestabilan dan kestabilan asimptotik. Kestabilan tercapai jika perilaku kurva

pertumbuhan berada di sekitar titik tetap, sedangkan kestabilan asimtotiktercapai

jika perilaku kurva pertumbuhan menuju titik tetap. Kestabilan asimtotiksendiri

terbagi menjadi dua yaitu asimtotikglobal dan asimtotiklokal.

Jika suatu sistem memiliki titik tetap yang unik (tunggal), maka sering

diduga bahwa stabilitas global dan lokal dari suatu sistem adalah ekuivalen.

Sebuah sistem dikatakan stabil secara lokal jika sejumlah ukuran gangguan yang

sedikit berubah-ubah terhadap titik tetap, sistem tetap di dekat titik tetap, dan

dalam suatu region yang tertentu. Selanjutnya, jika sistem menuju titik tetap,

dikatakan bahwa sistem stabil secara lokal dan asimptotikal. Sedangkan secara

global terjadi, jika sejumlah ukuran gangguan yang sedikit berubah-ubah terhadap

titik tetap, sistem tetap di dekat titik tetap, dan relatif terhadap keseluruhan sistem.

Ditinjau dari nilai eigen, titik tetap nol sistem (3.1) ada 5 macam yaitu:

(Distefano: 1992)

1. Jika nilai eigen J adalah real berbeda dan berlawanan tanda (C$ [ 0 [ C&)

maka � \ ∞ dan � \ ∞ jika � \ ∞ dan titik tetap sistem (3.1) dinamakan

saddle (pelana). Akibatnya titik tetap tidak stabil.

2. Jika nilai eigen J adalah real berbeda dan sama tanda, maka titik tetap

dinamakan node (simpul). Jika kedua nilai eigen negatif �C$, C& [ 0� maka

titik tetapnya stabil (asimtotik), yaitu � \ 0 dan � \ 0 tanpa osilasi jika � \ ∞ dan jika keduanya positif �C$, C& ] 0� maka titik tetap tidak stabil

yaituu � \ ∞ dan � \ ∞ tanpa osilasi jika � \ ∞.

3. Jika nilai eigen J adalah real sama, maka titik tetap dinamakan star. Jika kedua

nilai eigen negatif �C$ � C& [ 0� maka titik tetap star stabil (asimtotik), dan

jika keduanya positif �C$ � C& ] 0� maka titik tetap star tak stabil.

4. Jika nilai eigen J adalah kompleks konjugat C$,& � ^ _ `a, ^ b 0, maka titik

tetap dinamakan focus (spiral). Penyelesaian dari sistem (3.1) merupakan

osilasi dan stabil (asimtotik) untuk ^ [ 0, tidak stabil untuk ̂ ] 0.

5. Jika nilai eigen J adalah imajiner sejati yaitu C$,& � `a maka titik tetap

dinamakan centre (pusat). Penyelesaian dari sistem (3.1) adalah periodik dan

kurvanya tertutup. Titik tetap sistem adalah stabil netral.

2.9 Kriteria Routh-Hurwitz

Kriteria Routh-Hurwitz ini digunakan ketika nilai eigen persamaan

karakteristik tidak dapat ditentukan dengan mudah. Jika diberikan persamaan

karakteristik

c�C� � Cd � )$Cd#$ � e � )d � 0

maka didefinisikan matriks sebagai berikut:

($ � f)$g (& � h)$ 1)i )&j (k � J )$ e 0l m l)&k#$ e )kK

(d � J)$ e 0l m l0 e )dK Dengan syarat setiap unsur (l,m) pada matriks (k adalah

no� � p )&o#�, 0+�0q 0 [ 2r � s t q1, 0+�0q 2r � s0, 0+�0q 2r [ s )�)0 2r ] q � su Dengan demikian, titik tetap �P stabil jika dan hanya jika det (k ] 0, untuk

setiap v � 1,2,3, … , q.

Untuk k=2 k=3 dan k=4, kriteria Routh-Hurwitz diberikan berikut ini:

q � 2: )$ ] 0, )& ] 0

q � 3: )$ ] 0, )i ] 0, )$)& ] )i

q � 4: )$ ] 0, )i ] 0, )x ] 0, )$)&)i ] �)i�& � �)$�&)x

(Edelstein-Keshet 1988).

BAB III

PEMBAHASAN

3.1 Pembentukan Model Makrofag yang TeriInfeksi Virus HIV

HIV, Akronim dari Human Immunodeficiency Virus, merupakan penyebab

dari AIDS (Acquired Immunodeficiency Syndrome) yang menyerang sel darah

putih (sel CD4). Sesuai dengan namanya, virus HIV hanya menyerang manusia

khususnya sistem kekebalan tubuh manusia yang melindungi tubuh dari infeksi.

Sel imun yang terinfeksi adalah CD4+ sel T, makrofag, dan sel dendritik. CD4+ sel

T secara langsung maupun tidak langsung dihancurkan oleh virus tersebut. Infeksi

HIV menyebabkan sistem kekebalan tubuh akan semakin lemah. Makrofag dan

sel-T memliki peranan penting dalam perkembangan penyakit HIV. Tropisme

HIV terutama ditentukan oleh tingkat masuknya seluler pada membran fusi

melalui sel CD4. Namun untuk berhasil masuk, membutuhkan kehadiran

coreceptors yang sesuai. HIV dapat menggunakan berbagai coreceptors untuk

masuk kedalam sel, dan ini menentukan jenis sel yg dapat dimasuki virus. Lebih

khusus, terdapat dua coreceptors penting yang mengatur masuknya HIV ke dalam

makrofag dan sel-T. Yaitu coreceptor CCR5 dan CXCR4. coreceptor CCR5 ada

pada makrofag dan sel-T, sedangkan coreceptor CXCR4 hanya terdapat pada sel-

T saja.

Sebagai pendekatan pertama, dinamika antara HIV dan populasi makrofag

dapat digambarkan oleh model dinamika infeksi yang sederhana.

Berdasarkan gambar 3.1 di atas, variabel-variabel yang digunakan adalah

1. Populasi Makrofag yang tidak terinfeksi (X)

Gambar 3.1 Skema dinamika makrofag yang terinfeksi virus HIV

X Y λ

%

β

)

2. Populasi Makrofag yang terinfeksi (Y)

Dimana y, z { 0.

Setelah mengetahui variabel-variabel yang digunakan dalam membentuk

model matematika, maka selanjutnya adalah menentukan notasi-notasi untuk

memenuhi variabel-variabel tersebut. Parameter-parameter yang digunakan pada

pembentukan model matematika pada makrofag terhadap infeksi virus HIV adalah

sebagai berikut:

• λ � laju produksi makrofag

• % � laju kematian makrofag secara alami

• β � laju terinfeksi makrofag

• ) � laju kematian makrofag yang terinfeksi secara alami

Sehingga dapat dibentuk dalam sistem persamaan diferensial nonlinear berikut ini:

a) ���� � λ � %� � β��

b) ���� � � � )� �3.1�

M~ � C`%)

Diasumsikan bahwa hanya ada 1 virus HIV yang masuk ke dalam makrofag.

Makrofag akan menjadi terinfeksi virus HIV jika sel tersebut melakukan kontak

langsung dengan antigen, bentuk persamaannya adalah

�

Berdasarkan uraian di atas, maka faktor yang mempengaruhi laju perubahan

populasi makrofag terhadap waktu adalah laju produksi makrofag dikurangi laju

kematian makrofag secara alami dikurangi laju terinfeksinya makrofag. (3.1.a)

Laju perubahan populasi makrofag yang terinfeksi terhadap waktu

dipengaruhi oleh laju perkembangan makrofag yang terinfeksi dikurangi laju

matinya makrofag yang terinfeksi (mati alami). (3.1.b)

3.1.1 Titik tetap

Secara analitik, pehitungan titik tetap dari model matematika sistem (3.1)

adalah sebagai berikut:

%�%� � λ � %� � β�� � 0

%�%� � � � )� � 0

Dari persamaan ���� didapat:

β�� – )� � 0

� (β� � )) � 0

atinya � =0 atau β� � ) � 0

untuk � � 0, dari ���� � 0 diperoleh

λ�%� �β�� � 0

λ�%� �β��0� � 0

λ�%� � 0

λ� %�

� � ��

Sehingga titik tetap yang pertama ( E1) adalah S�, �T: U� � �� , � � 0Z, titik

tetap yang pertama menunjukkan atau menggambarkan saat ketiadaannya infeksi.

untuk β� � ) � 0, dari ���� � 0 diperoleh

β� � ) � 0

β� � )

� � )̀

Sedangakn untuk mencari nilai y:

λ�%� �β�� � 0

β�� – )� � 0 +

λ�%� � )� � 0

Substitusi nilai � ke persamaaan λ�%� � )� � 0 diperoleh:

λ�%� � )� � 0

)� � λ � )%̀

)� � λ`̀ � )%̀

)� � λ` � )%`

� � �λ` � )%�`)

� � λ) � %̀

Sehingga titik tetap yang kedua ( E2) adalah S�, �T: U� � W� , � � �W � ��Z, titik

tetap yang kedua menunjukkan atau menggambarkan kestabilan makrofag saat

mengalami infeksi virus HIV. Berdasarkan titik tetap yang kedua, ada

kemungkinan nilai � [ 0, yang artinya tidak terjadi infeksi. Sehingga diberikan

syarat bahwa � ] 0. � ] 0

λ) � %̀ ] 0

λ) ] %̀

λ`)% ] 1

M~ ] 1 (3.2)

Artinya R0] 1 Oq0a1)rO+ dengan � ] 0, Jadi M~ ] 1 merupakan syarat agar � ] 0.

3.1.2 Jenis kestabilan

Untuk mengetahui jenis kestabian dari sistem (3.1) maka terlebih dahulu

dicari matriks Jacobi dari sistem tersebut.

I � h�% �`�`� `� � )j Akar-akar karakteristik untuk sistem (3.1) adalah:

5�% � � �`�`� `� � ) � �5 � 0

��% � ���`� � ) � �� � f��`���`��g � 0 ��% � ���`� � ) � �� � `&�� � 0

Untuk titik tetap pertama ( E1) U� � �� , � � �Z diperoleh:

��% � �� �`C% � ) � �� � `&C% �0� � 0

��% � �� �`C% � ) � �� � 0

Diperoleh Nilai eigen:

�$ � �%

�& � `C% � )

� )�`C)% � 1�

� )�`C)% � 1�

� )�M~ � 1�, �& akan bernilai negatif apabila M~ [ 1

Dari uraian diatas diperoeh teorema sebagai berikut:

Teroma 3.1

Titik tetap ( E1) bersifat stabil asimtotik apabila M~ [ 1.

Untuk titik tetap yang kedua ( E2) U� � �� , � � �� � ��Z diperoleh:

��% � �� �`)̀ � ) � �� � `&)` �C) � %̀� � 0

��% � ������ � `)�C) � %̀� � 0

��% � ������ � �`)C) � `)%` � � 0

��% � ������ � �`C � )%� � 0 �& � %� � �`C � )%� � 0

�$ � �& � �Q) � �%

�$�& � R)

� �`C � )%�

� )% ���W� � 1� � )%�M~ � 1�, �& akan bernilai positif apabila M~ ] 1

Karena negatif maka �$ � �& [ 0 � �$dan �& negatif�$dan �& berbeda tandau Bernilai positif maka �$. �& ] 0 ��$dan �& negatif�$dan �& positif u Dari kedua pertimbangan diatas, maka diperoleh akar-akar bernilai negatif.

Teroma 3.2

Titik tetap ( E2) bersifat stabil asimtotik apabila M~ ] 1.

3.2 Pembentukan Model Makrofag yang TeriInfeksi Virus HIV dan Respon

CTL

Diantara mekanisme makrofag, khususnya terhadap mikroorganisme

intraselular adalah sel T sitotoksik CD8 yang dapat mengenal antigen tertentu

secara spesifik disertai interaksi dengan MHC kelas I melisiskan sel yang

terinfeksi. Dinamika antara HIV, populasi makrofag dan respon CTL dapat

digambarkan sebagai berikut:

Berdasarkan gambar 3.2 di atas, variabel-variabel yang digunakan adalah

1. Populasi Makrofag yang tidak terinfeksi (X)

2. Populasi Makrofag yang terinfeksi (Y)

3. Populasi limfosit T sitotoksik (CTL)/CD8 (Z)

Dimana y, z, � { 0.

Setelah mengetahui variabel-variabel yang digunakan dalam membentuk

model matematika, maka selanjutnya adalah menentukan notasi-notasi untuk

memenuhi variabel-variabel tersebut. Parameter-parameter yang digunakan pada

pembentukan model matematika pada makrofag terhadap infeksi virus HIV adalah

sebagai berikut:

• λ � laju produksi makrofag

• % � laju kematian makrofag secara alami

• β � laju terinfeksi makrofag

• ) � laju kematian makrofag yang terinfeksi secara alami

• G � laju proses lisis pada makrofag yang terinfeksi

• R � laju laju proliperasi CTL dalam merespon antigen

• Q � laju kematian CTL secara alami

Sehingga dapat dibentuk dalam sistem persamaan diferensial nonlinear berikut ini:

a) ���� � λ � %� � β��

b) ���� � � � )� � G�H �3.3�

c) ���� � R�H � QH

M~ � C`%)

Gambar 3.2 skema dinamika makrofag yang terinfeksi virus HIV dan respon CTL

Z X Y λ

%

β

)

R

G

Q

Laju perubahan populasi makrofag yang terinfeksi terhadap waktu

dipengaruhi oleh laju perkembangan makrofag yang terinfeksi dikurangi laju

matinya makrofag yang terinfeksi (mati alami) serta dikurangi laju proses lisis

(penguraian) oleh CTL terhadap sel yang terinfeksi virus HIV. (3.3.b)

Ketika limfosit mengamat-amati sel, melihat ada sel yang diperkirakan telah

kemasukan virus, maka sel tersebut dibunuh oleh sel T limfosit, namanya CTL

(Cytotoxic T Lymphocyte/sel T si peracun). Sel T sitotoksik (CTL) yang

teraktivasi, yaitu sel T- sitotoksik yang pernah terpapar pada antigen tertentu dan

diprogramkan untuk berproliferasi bila terpapar lagi pada antigen bersangkutan,

tidak akan berfungsi sebagai sitotoksik kalau reseptor selnya tidak terikat pada

antigen, Maka perubahan jumlah limfosit T sitotoksik (CTL) terhadap waktu

dipengaruhi oleh laju proliferasi yang dilakukan oleh CTL terhadap sel yang

terinfeksi virus HIV pada saat merespon antigen dikurangi laju kematian sel CTL

secara alami, hal ini dapat digambarkan dalam bentuk persamaan (3.3.c)

3.2.1 Titik tetap

Secara analitik, pehitungan titik tetap dari model matematika sistem (3.3)

adalah sebagai berikut: %�%� � λ � %� � β�� � 0

%�%� � � � )� � G�H � 0

%H%� � R�H � QH � 0

Dari persamaan ���� didapat:

c�H � QH � 0

H�R� � Q� � 0

Artinya H � 0 atau R� � Q � 0.

untuk H � 0, dari ���� � 0 diperoleh:

Titik tetap yang pertama ( E1) adalah S�, �, HT: U� � �� , � � 0, H � 0Z, titik

tetap yang pertama menunjukkan atau menggambarkan saat ketiadaannya infeksi.

Titik tetap yang kedua ( E2) adalah S�, �, HT: U� � W� , � � �W � �� , H � 0Z, titik

tetap yang kedua menunjukkan atau menggambarkan kestabilan makrofag saat

mengalami infeksi virus HIV.

untuk R� � Q � 0, dari ���� � 0 diperoleh

R� � Q � 0

R� � Q

� � QR

untuk mencari nilai � substitusi nilai � ke persamaaan ���� diperoleh;

λ�%� �β�� � 0

λ�%� �β� YV � 0

���YV � %� � 0

λ� ���YV � %�

� � C�βQR � %�

� � C�βQ � %RR �

� � CR%R � βQ

untuk mencari nilai H substitusi nilai � dan � ke persamaaan ���� diperoleh:

� � )� � G�H � 0

β � CR%R � βQ� �QR� � )�QR� � G�QR�H � 0

βCQ%R � βQ � )QR � GQHR � 0

cβCQ%R � βQ � )Q � GQH � 0

GQH � cβCQ%R � βQ � )Q

GQH � cβCQ � )Q�%R � βQ�%R � βQ

GQH � cβCQ � )Q%R � )QβQ%R � βQ

GQH � Q�cβC � )%R � )βQ�%R � βQ

H � Q�cβC � )%R � )βQ�GQ�%R � βQ�

H � �cβC � )%R � )βQ�G�%R � βQ�

H � c�βC � )%� � )Qβ�G�%R � Qβ�

Sehingga titik tetap yang ketiga ( E3) adalah S�, �, HT: U� � �V�VX�Y , � �YV , H � ����#W��#WY����VXY�� Z, titik tetap yang ketiga menunjukkan atau menggambarkan

kestabilan makrofag saat mengalami infeksi virus HIV

3.2.2 Jenis kestabilan

Untuk mengahui jenis kesetabian dari sistem (3.3) maka terlebih dahulu

dicari matriks Jacobi dari sistm tersebut.

I � J�% � `� �`� 0`� `� � ) � GH �G�0 RH R� � QK Akar-akar karakteristik untuk (3.3) adalah:

9�% � `� � � �`� 0`� `� � ) � GH � � �G�0 RH R� � Q � �9 � 0

��% � `� � �� 5`� � ) � GH � � �G�RH R� � Q � �5 � `� 5`� �G�0 R� � Q � �5� 0 ��% � `� � ��f�`� � ) � GH � ���R� � Q � �� � G�RHg� `&���R� � Q � �� � 0

Untuk titik tetap yang pertama ( E1) U� � �� , � � �, � � �Z diperoleh:

��% � �� �`C% � ) � �� ��Q � �� � 0

�$ � �%

�& � �Q

�i � �`C% � )�

� �`C)% � 1�

� �M~ � 1�, �i akan bernilai negatif apabila M~ [ 1

Teroma 3.3

Titik tetap ( E1) baersifat stabil asimtotik apabila M~ [ 1.

Untuk titik tetap yang kedua ( E2) U� � �� , � � �� � �� , � � �Z diperoleh:

��% � `� � ���`� � ) � ���R� � Q � �� � `&���R� � Q � �� � 0

��% � `� � ���`� � ) � ���R� � Q � �� � `& )̀ ��R� � Q � �� � 0

��% � `� � ���`� � ) � ���R� � Q � �� � `)��R� � Q � �� � 0

��% � `� � ���`� � ) � ���R� � Q � �� � `) �C) � %̀� �R� � Q � �� � 0

��% � `� � �������R� � Q � �� � �C` � %)��R� � Q � �� � 0

�R� � Q � ����% � `� � ������ � �C` � %)� � 0

�R� � Q � ��f��% � �`C) � %� � �� ���� � �C` � %)�g � 0

�R� � Q � ��f��% � `C) � % � �� ���� � �C` � %)�g � 0

�R� � Q � ��f�� `C) � �� ���� � �C` � %)�g � 0

�R� � Q � ��f� `C) � �& � �C` � %)�g � 0

�R� � Q � ��f�& � � `C) � )%�M~ � 1�g � 0

• R� � Q � � � 0

�$ � R� � Q, �$ akan bernilai negatif apabila R� [ Q

• �& � � ��W � C` �1 � $��� � 0

�& � �i � � `C)

�&�i � )%�M~ � 1�, �&�i akan bernilai positif apabila M~ ] 1

Karena negatif maka �& � �i [ 0 � �&dan �i negatif�&dan �i berbeda tandau Bernilai positif maka �&. �i ] 0 ��&dan �i negatif�&dan �i positif u Dari kedua pertimbangan diatas, maka diperoleh akar-akar bernilai negatif.

Teroma 3.4

Titik tetap ( E2) saat mengalami infeksi tanpa respon CTL ada apabila

memenuhi (3.2), dan bersifat stabil asimtotik bila R� [ Q.

Untuk titik tetap yang ketiga ( E3) U� � ����X�� , � � �� , � � ����#���#�������X��� Z

diperoleh:

��% � `� � ��[�`� � ) � GH � ���R� � Q � �� � G�RHg � `&���R� �Q � �� � 0

• �% � `� � � � �% � �YV � �

• `� � ) � GH � � � ` �V�VX�Y � ) � G �����#W��#WY�����VXY�� � � �

� `CR%R � βQ � �c�βC � )%� � )Qβ��%R � Qβ� � � � � )

� `CR%R � βQ � cβC�%R � Qβ� � ��R)% � )Qβ��%R � Qβ� � � � � )

� �) ��R% � Qβ��%R � Qβ� � � � � )

� ) � R% � Q�%R � Q� � � � )

� ) � � � )

� ��

• R� � Q � � � R YV � Q � �

� Q � Q � �

� ��

��% � `� � ��[�`� � ) � GH � ���R� � Q � �� � G�RHg � `&���R� �Q � �� � 0

��% � �YV � �� f�������� � G�RHg+ `&������ � 0

��% � `QR � �� f�& � G�RHg � �`&�� � 0

�%�& � %G�RH � `QR �& � `QR G�RH � �i � �G�RH � �`&�� � 0

��i � %�& � `QR �& � �G�RH � �`&�� � %G�RH � `QR G�RH � 0

��i � �& �% � `QR � � ��G�RH � `&��� � G�RH �% � `QR � � 0

�i � �& �% � `QR � � ��G�RH � `&��� � G�RH�% � `QR � � 0

Dengan menggunakan kriteria Routh-Hurwitz didapatkan:

)$ ] 0

)i ] 0

)$)& � �% � `QR � �G�RH � `&���

� �%G�RH � `QR G�RH� � �%`&�� � `QR `&���

� G�RH �% � `QR � � `&�� �% � `QR �

G�RH �% � `QR � � `&�� �% � `QR � ] G�RH �% � `QR � � )i

)$)& ] )i

Karena sistem (3.3) untuk titik tetap ke tiga memenuhi kriteria Routh-

Hurwitz maka sistem (3.3) dikatakan stabil asimtotik pada titik tetap ketiga.

Berdasarkan titik tetap yang ketiga, ada kemungkinan nilai H [ 0, yang

artinya tidak terjadi infeksi. Sehingga diberikan syarat bahwa H ] 0. c�βC � )%� � )Qβ ] 0

c�βC � )%� ] )Qβ

c�`C)% � )%)%� ] )Qβ)%

�M~ � 1� ] QβR%

M~ ] 1 � QβR%

Teroma 3.5

Titik tetap ( E3) saat mengalami infeksi ada apabila M~ ] 1 � Y�V�, dan selalu

bersifat stabil asimtotik.

3.3 Contoh kasus

Dari persamaan yang terbentuk pada Model Makrofag yang terinfeksi Virus

HIV, membentuk sistem persamaan diferensial non linier orde satu. Misalkan

diberikan parameter pada persamaan diferensial sebagai berikut:

• λ � 1

• % � 0,1

• β � 2

• ) � 0,5

• G � 1

• R � 0,15

• Q � 0,1

3.3.1 Contoh kasus untuk Model Makrofag yang Terinfeksi Virus HIV

Model Makrofag yang Terinfeksi Virus HIV, sistem persaaannya menjadi:

a) ���� � 1 � 0,1� � 2�� �3.4�

b) ���� � 2�� � 0,5�

Maka titik tetap yang pertama ( E1) adalah S�, �T: S� � 10, � � 0T, titik

tetap yang kedua ( E2) adalah S�, �T: S� � 0,25, � � 1,95T

Dari sistem (3.4), maka diperoleh titik tetap yang pertama yakni S� �10, � � 0T, yang menunjukkan atau menggambarkan saat ketiadaannya infeksi,

sedangkan titik tetap yang kedua S� � 0,25, � � 1,95T yang menunjukkan atau

menggambarkan kestabilan tubuh saat mengalami infeksi virus HIV.

Dengan memasukkan nilai parameter pada sistem (3.4), maka diperoleh

matriks Jacobi yakni:

I � h�0,1 �2�2� 2� � 0,5j I$ �  �0,1 �200 19,5¡

Akar-akar karakteristiknya adalah:

¢�0,1 � � �200 19,5 � �¢ � 0

��0,1 � ���19,5 � �� � 0 �$ � �0,1 �& � 19,5

Nilai eign di sekitar titik tetap pertama yang menunjukkan kestabilan saat

ketiadaannya infeksi, berdasarkan penjelasan sebelumnya maka jenis kestabilan

sistem (3.4) di titik tetap pertama adalah tidak stabil.

Sedangkan matriks Jacobi di sekitar titik tetap kedua yang menunjukan

kestabilan saat terjadinya infeksi, yaitu:

I& � h�0,1 �0,53,9 0 j Akar-akar karakteristiknya adalah:

5�0,1 � � �0,53,9 �� 5 � 0

��0,1 � ������ � ��0,5��3,9� � 0 �& � 0,1� � 1,95 � 0 �$ � �0,05 � 1,3955a �& � �0,05 � 1,3955a Berdasarkan penjelasan sebelumnya maka jenis kestabilan sistem (3.4) di

titik tetap kedua adalah stabil asimtotik.

3.3.2 Contoh kasus untuk Model Makrofag yang Terinfeksi Virus HIV dan

Respon CTL

Model Makrofag yang Terinfeksi virus HIV dan Respon CTL, Sistem

persaaannya menjadi:

a) ���� � 1 � 0,1� � 2��

b) ���� � 2�� � 0,5� � 1�H �3.5�

c) ���� � 0,15�H � 0,1H

Maka titik tetap yang pertama ( E1) adalah S�, �, HT: S� � 10, � � 0, H � 0T, titik tetap yang kedua ( E2) adalah S�, �, HT: S� � 0,25, � � 1,95, H � 0T, titik

tetap yang ketiga ( E3) adalah S�, �, HT: S� � 10, � � 0,6667, H � 0,8953T

Dengan memasukkan nilai parameter pada sistem (3.5), maka diperoleh

matriks Jacobi yakni:

I � J�0,1 � 2� �2� 02� 2� � 0,5 � 1H �1�0 0,15H 0,15� � 0,1K

Dan nilai matriks Jacobi di sekitar titik tetap pertama yang menunjukan

kestabilan saat ketiadaannya infeksi, yaitu:

I$ � J�0,1 �20 00 19,5 00 0 �0,1K Akar-akar karakteristiknya adalah:

9�0,1 � � �20 00 19,5 � � 00 0 �0,1 � �9 � 0

��0,1 � ���19,5 � ����0,1 � �� � 0 �$ � �0,1 �& � �0,1 �i � 19,5

Berdasarkan penjelasan sebelumnya maka jenis kestabilan sistem (3.5) di

titik tetap pertama adalah tidak stabil.

Sedangkan nilai matriks Jacobi di sekitar titik tetap kedua yang menunjukan

kestabilan saat terjadinya infeksi, yaitu:

I& � J�2,1 0 02 �0,5 �10 0 0,05K

Akar-akar karakteristiknya adalah:

9�2,1 � � 0 02 �0,5 � � �10 0 0,05 � �9 � 0

(�2,1 � ��� �0,5 � ��( 0,05 � �� � 0 �$ � �0,5 �& � �2,1 �i � 0,05

Berdasarkan penjelasan sebelumnya maka jenis kestabilan sistem (3.5) di

titik tetap kedua adalah tidak stabil.

Sedangkan nilai matriks Jacobi di sekitar titik tetap ketiga yang menunjukan

kestabilan saat terjadinya infeksi, yaitu:

Ii � J�1,4333 �1,3953 01,3333 0 �0,66670 0,1343 0 K

Akar-akar karakteristiknya adalah:

9�1,4333 � � �1,3953 01,3333 �� �0,66670 0,1343 �� 9 � 0

��1,4333 � �� ¢ �� �0,66670,1343 �� ¢ � 1,3953 ¢1,3333 �0,66670 �� ¢ � 0

��1,4333 � ��f��&� � �0,6667��0,1343�g � 1,3953�1,3333���� � 0 ��1,4333 � ����& � 0,0896� � 1,8603� � 0 �1,4333�& � �1,4333�(0,0896� � �i � 0,0896� � 1,8603� � 0 ��i � 1,4333�& � 1,9526� � 0,1284 � 0 �$ � �0,6821 � 1,1792a �& � �0,6821 � 1,1792a �i � �0,0692

Berdasarkan penjelasan sebelumnya maka jenis kestabilan sistem (3.5) di

titik tetap ktiga adalah stabil asimtotik.

BAB IV

PENUTUP

4.1 Kesimpulan

Berdasarkan pembahasan pada bab III, maka dapat ditarik sebuah

kesimpulan bahwa:

1. Model Makrofag yang terinfeksi virus HIV membentuk sebuah sistem

persamaan diferensial non linier orde satu yang terdiri atas 2 persamaan, yaitu:

a. ���� � λ � %� � β��

b. ���� � � � )�

Analisis model matematika dari dua persamaan di atas adalah:

a) Persamaan pertama menjelaskan tentang laju perubahan populasi

makrofag terhadap waktu, persamaan kedua menjelaskan tentang laju

perubahan populasi makrofag yang terinfeksi terhadap waktu.

b) Secara analitik titik tetap dari dua persamaan di atas menghasilkan 2 titik

tetap yaitu:

a. Titik tetap yang pertama ( E1) adalah S�, �T: U� � �� , � � 0Z, titik

tetap yang pertama menunjukkan atau menggambarkan saat

ketiadaannya infeksi.

b. Titik tetap yang kedua ( E2) adalah S�, �T: U� � W� , � � �W � ��Z, titik

tetap yang kedua menunjukkan atau menggambarkan kestabilan

makrofag saat mengalami infeksi virus HIV.

c) Titik tetap ( E1) bersifat stabil asimtotik apabila M~ [ 1. Titik tetap ( E2)

bersifat stabil asimtotik apabila M~ ] 1.

2. Model Makrofag yang terinfeksi virus HIV dan Respon CTL membentuk

sebuah sistem persamaan diferensial non linier orde satu yang terdiri atas 3

persamaan, yaitu:

a. ���� � λ � %� � β��

b. ���� � � � )� � G�H

c. ���� � R�H � QH

Analisis model matematika dari tiga persamaan di atas adalah:

a) Persamaan pertama menjelaskan tentang laju perubahan populasi

makrofag terhadap waktu, persamaan kedua menjelaskan tentang laju

perubahan populasi makrofag yang terinfeksi terhadap waktu yang

dipengaruhi respon CTL, persamaan ketiga menjelaskan tentang laju

perubahan populasi CTL.

b) Secara analitik titik tetap dari dua persamaan di atas menghasilkan 3 titik

tetap yaitu:

a. Titik tetap yang pertama ( E1) adalah S�, �, HT: U� � �� , � � 0, H �0Z, titik tetap yang pertama menunjukkan atau menggambarkan

saat ketiadaannya infeksi.

b. Titik tetap yang kedua ( E2) adalah S�, �, HT: U� � W� , � � �W ��� , H � 0Z, titik tetap yang kedua menunjukkan atau

menggambarkan kestabilan makrofag saat mengalami infeksi virus

HIV.

c. Titik tetap yang ketiga ( E3) adalah S�, �, HT: U� � �V�VX�Y , � �YV , H � ����#W��#WY�����VXY�� Z, titik tetap yang ketiga menunjukkan atau

menggambarkan kestabilan makrofag saat mengalami infeksi virus

HIV

Titik tetap ( E1) bersifat stabil asimtotik apabila M~ [ 1. Titik tetap ( E2)

saat mengalami infeksi tanpa respon CTL ada apabila memenuhi (3.2), dan

bersifat stabil asimtotik bila R� [ Q. Titik tetap ( E3) saat mengalami infeksi ada

apabila M~ ] 1 � Y�V�, dan selalu bersifat stabil asimtotik.

Dapat disimpulkan bahwa jumlah makrofag secara perlahan tetapi pasti

akan mengalami penurunan hal ini disebabkan adanya replikasi virus yang

menyebabkan terganggunya pembentukan limfosit baru, pada makrofag yang

terinfeksi jumlah populasi saat awal terinfeksi sempat mengalami penurunan yang

dipengaruhi oleh adanya proses lisis oleh CTL namun pada akhirnya akan terus

mengalami kenaikan, sedangkan jumlah populasi pada CD8/CTL akan terus

mengalami peningkatan karena adanya proliferasi yang disebabkan replikasi virus.

4.2 Saran

Pembahasan mengenai model matematika ini masih terbuka bagi peneliti lain.

Pada pembahasan selanjutnya menindak lanjuti penelitian ini, dapat

dikembangkan model dengan menganalisis Model Makrofag yang terinfeksi virus

HIV yang memperhitungkan faktor lain seperti terapi, vaksinasi dan lainnya.