Model Matematika Untuk Aliran Permukaan Bebas

Dr. Lusia Krismiyati Budiasih

Department of Mathematics Sanata Dharma University, Yogyakarta

Image Source: Bells Beach from magicseaweed.com

Mathematics Lectures Series – UIN Malang 28th July 2020

• Shallow Water Equations – SWE

• Finite Volume Method

• Dambreak Problem

Outline

Sumber: sulsel.suara.com

Korban (sampai 19 Juli 2020) • 37 orang meninggal • 14.483 jiwa (3.627 KK) mengungsi

Banjir Bandang Luwu Utara (Juli 2020)

Bencana alam terkait dengan aliran air

• Dunia : ± 230.000 meninggal , ± 45.000 hilang • Indonesia: ± 170.000 meninggal, ± 37.000 hilang

Tsunami Aceh (Desember 2004)

Dampak tsunami Aceh (Sumber: travel.tribunnews.com

• Kurang lebih 200 bendungan dengan kedalaman lebih dari 15 m bobol.

• Total kerugian ratusan juta dollars. • Lebih dari 8000 orang meninggal akibat

bendungan bobol (tidak termasuk tsunami). • Ratusan ribu orang meninggal karena bencana

tsunami.

Selama abad 20

• Perencanaan sistem peringatan banjir • Memodelkan aliran air (komputasi numerik)

Untuk mengantisipasi banjir akibat bendungan bobol dan tsunami:

https://trendbuzzing.blogspot.com/2017/09/top-10-deadliest-natural-disasters_12.html

Ref: C. Zoppou dan S. Roberts, Applied Mathematical Modelling, 2000

,t,xu

Persamaan Air Dangkal (Shallow Water Equations – SWE)

• PDP hiperbolik • Kekekalan massa dan momentum

• Aliran air diasumsikan laminer • Densitas atau massa jenis air di setiap titik

adalah konstan. • Dasar air diasumsikan kedap

Kekekalan massa - Asumsi

Massa jenis pada suatu kedalaman di sebarang titik

t,xhxzt,xwdyt,xt,xw

xz

Total massa (m) di ruang kontrol

2

1

2

1

x

x

x

xdxt,xhdxt,xm

21 x,x

Aliran air dangkal satu dimensi

Bentuk lain persamaan (1) Atau

Fluks massa: laju aliran air yang melalui sebarang titik (x,t) pada suatu kedalaman

Dengan asumsi bahwa dasar air bersifat kedap, laju perubahan masa pada [x1,x2] ditentukan dari perbedaan fluks pada x1 dan x2 :

Bentuk integral kekekalan massa

t,xut,xht,xut,xf 1

t,xut,xht,xut,xhdxt,xhdt

d x

x2211

2

1

(1)

2

1

2

1

2

1

2

1221112

t

t

t

t

x

x

x

xdtt,xut,xhdtt,xut,xhdxt,xhdxt,xh

2

1

2

1

0t

t

x

xdtdxt,xut,xh

xt,xh

t

Persamaan kekekalan massa

0 xt huh

• Fluida memiliki tekanan hidrostatis: P = ρgy • Perubahan momentum hanya disebabkan oleh

momentum yang mengalir melalui batas

Kekekalan momentum - Asumsi

Total momentum dari pergerakan air di sebarang ruang kontrol

Laju perubahan momentum

Dengan ekspansi Taylor, persamaan dapat ditulis dalam bentuk persamaan Euler

2

1

x

x.dxt,xut,xhtp

txutxhtxutxhdxtxutxght

tpdt

d x

x,,,,,, 1

2

12

2

2

2

1

xxt ghzphuhu 2

Persamaan kekekalan momentum

xx

t ghzghhuhu

22

2

1

Persamaan air dangkal (SWE)

xx

t ghzghhuhu

22

2

1

0 xt huh

dengan dan

Bentuk konservative SWE

sqfqxt

uh

hq

22

2

1ghhu

uhf

Metode Volume Hingga (Finite Volume Method – FVM)

: aproksimasi dari nilai rata-rata q pada interval ke-i pada waktu tn

dengan adalah panjang sel

: aproksimasi dari nilai rata-rata fluks sepanjang permukaan sel pada

n

iQ

,dxt,xqx

dxt,xqx

Qi

i

i

Cn

x

x

n

n

i

11 21

21

21

21

iixxx

n

iF

2

1

2

1

ixx

1

2

1

2

1

1 n

n

t

t

i

n

idtt,xqf

tF

Skema Lax-Friedrichs

Skema volume hingga

ninininini QQt

xQfQfF

11

22

1

21

ninininini QfQfx

tQQQ 1111

1

22

1

Bentuk integral dari hukum kekekalan

dapat ditulis sebagai skema volume hingga

(2)

.,,,21

21 txqftxqfdxtxq

dt

diiCi

021

2

11

x

FF

t

QQn

i

n

in

i

n

i

Finite Difference Method Finite Volume Method

1. Komputasi didasarkan pada titik demi titik 2. Menggunakan beda hingga untuk

mengaproksimasi turunan

1. Komputasi didasarkan pada nilai rata-rata sel

2. Menggunakan bentuk integral untuk mendapatkan persamaan dan skema numerik

Finite Difference Method VS Finite Volume Method

nini txqQ ,

21

21

,1

i

i

x

x

nn

i dxtxqx

Q

Untuk menguji akurasi dari solusi numerik, hasil numerik dapat dibandingkan dengan: • Data percobaan laboratorium • Solusi numerik yang dihitung dengan metode

numerik yang amat akurat • Perilaku fisis

Uji akurasi

Dambreak problem

https://www.youtube.com/watch?v=WrTp3JDG9Fs

Dambreak over wet bed

Dambreak over dry bed

https://www.youtube.com/watch?v=WrTp3JDG9Fshttps://www.youtube.com/watch?v=WrTp3JDG9Fshttps://www.youtube.com/watch?v=WrTp3JDG9Fshttps://www.youtube.com/watch?v=WrTp3JDG9Fshttps://www.youtube.com/watch?v=WrTp3JDG9Fshttps://www.youtube.com/watch?v=WrTp3JDG9Fs

Model matematika: SWE 1D

02

1 22

x

t ghhuhu

0 xt huh

Syarat awal 00 ,xu

0

0

,

,0,

xxh

xxhxh

d

u

Solusi analitik: Dambreak over dry bed (Ritter, 1892)

u

uuu

uu

ghtx

ghtxghtt

xgh

g

ghtxh

xh

2,0

2,29

4

,2

u

uuuR

u

ghtx

ghtxghtt

xghu

ghtx

xu

2,0

2,3

2

,0

Solusi analitik: Dambreak over wet bed (Stoker, 1948)

txh

txghutgh

hh

ghutxghtt

xgh

gh

ghtxh

xh

d

d

d

uu

uu

,

,18

12

)(,29

4

,

22

2

2

22

2

3

u

d

d

uu

u

ghtx

txghutgh

ghu

ghutxghtt

xghu

ghtx

xu

2,0

,8

114

,3

2

,0

22

2

2

223

2

1

22

28

128

114

2

d

d

d

d

du gh

ghgh

gh

ghgh

Dambreak over dry bed

Dambreak over wet bed