1

3. Peubah2 Acak (Random Variables)

Mis (, F, P) adalah model peluang suatu percobaan.

Peubah acak X adalah sebuah fungsi

Di sini, adalah lambang himpunan semua bilangan real

yg seringkali dinyatakan sebagai garis bilangan (Lihat

Fig. 3.1). Jika B , fungsi P : F [0,1] menghitung

peluang unsur2 lapangan, yaitu peluang himpunan2 B yg

memuat titik2 Perhatikan himp

Dlm ilustrasi B = {x | x1 x x2}

: ,X

x

Secara implisit, notasi fungsi ini menyatakanadalah dan ditulis , sepertikebiasaan kita dlm Kalkulus, dlm aljabar, dsb ketika menulis peubah dependen (di sini

peubah dependen

peupeub

bahdianggap seb

( )

( )agai

x

x

x X

y f x

ah independen)

( ).x X 1( )A X B

B( )X

AFig. 3.1

x

2

Agar peluang B bisa didefiisikan, harus menjadi anggota lap F, sehingga A adalah sebuah kejadian yg nilai peluangnya sudah terdefinisi lebih dahulu. Dalam hal ini, peluang B didefinisikan berdasarkan peluang A = X1(B)

Sayangnya, tidak selalu mrpk unsur dari F, shg muncul masalah. Konsep peubah acak memastikan bahwa fungsi balikan (invers) X1 selalu menghasilkan kejadian2 yang peluangnya bisa dihitung.

Peubah Acak: Fungsi X: Ω yg memetakan semua hasil2 eksperiment (unsur2 kejadian elementer) ξ ke dalam

disebut peubah acak jhj untuk setiap a , himpunan

{ξ Ω | X(ξ) a} (di dalam buku2 teks lebih sering ditulis {X a} atau (X a)) adalah sebuah kejadian (artinya F).

1( )A X B

1Peluang dari kejadian " ( ) )(" .)(X B P X B (3-1)1( )X B

3

Dengan kata lain, X adalah peubah acak jika untuk setiap selang B = (, a] atau untuk setiap himpunan yang ditu-runkan dari selang-selang semacam (lewat operasi gabung-an, irisan atau komplemen), himpunan X1(B) F. Koleksi semua subhimpunan B - disebut lapangan Borel - adl lap- terkecil yg memuat semua selang berbentuk (, a], untuk sembarang a . Jadi apabila X adalah peubah acak, maka untuk setiap bilangan real a

adalah sebuah kejadian. Bgm dengan himpunan2 {X = a}, {a X b}, dsb, apakah mereka juga termasuk kejadian ? Dg asumsi b > a, karena dan adl kejadian2, maka dan ={a < X b} merupakan suatu kejadian.

X a X b c

X a X a

| ( ) X a X a

{ }X a

(3-2)

{ }X b

4

Jadi untuk setiap n, { } adl suatu kejadian. Sbg akibatnya (dan sbg akibat aksioma peluang ke-iv)

juga mrpk kejadian yang semuanya bisa dikenai fungsi peluang. Jadi nilai peluang kejadian dlm peubah acak X selalu tergantung pada nilai x. Nyatakan

dimana subindeks X dalam (3-4) menyatakan peubah acak sesungguhnya. FX disebut Fungsi Distribusi Kumulatif (FDK) dari peubah acak X.

1a X an

1

1 { }n

a X a X an

| ( ) X a

| ( ) ( ) 0.XP X a F a (3-4)

(3-3)

PILLAI

5

Fungsi Distribusi Kumulatif: Setiap FDK FX (di sini selanjutnya ditulis F, tanpa ‘X’) adalah fungsi tak pernah turun (nondecreasing), kontinu kanan dan memenuhi

Dengan kata lain, jika F adl FDK dari X, maka(i)(ii) jika makadan (iii) untuk setiap a ,

Harus dibuktikan bahwa di (3-4) memenuhi semua sifat2 (3-6). Sesungguhnya, untuk setiap peubah acak X,

( ) 1, ( ) 0,F F

1 2,x x 1 2( ) ( ),F x F x

lim ( ) ( ) ( ).x a

F x F a F a

(3-6)

( )XF x

(3-5)

( ) 1, ( ) 0,F F

6

( ) | ( ) ( ) 1XF P X P

( ) | ( ) ( ) 0.XF P X P

1 2,x x 1 2( , ) ( , ).x x 1 2 | ( ) | ( ) ,X x X x

1( )X x 2 ,( )X x ),()()()( 2211 xFxXPxXPxF XX (3-9)

(3-7)

(3-8)

1 2 1n na x x x x

| ( ) .k kA a X x (3-10)

( ) ( ) ( ) ,k ka X x X a X x (3-11)

(i)

dan

(ii) Jika maka Sbg akibatnya, Karena berakibat maka

Ini membuktikan bahwa FDK adalah tak negatif dan juga monoton tak turun.

(iii) Misalkan dan perhatikan kejadianKarena

7

maka dengan menggunakan sifat2 kejadian ME, diperoleh

Tetapi sehingga

Jadi

Tetapi adl limit kanan untuk a, jadi

Dg kata lain, FX adalah kontinu kanan. Ini adl justikfikasi terakhir pemenuhan syarat FX sebagai FDK.

( ) ( ) ( ) ( ).X Xk k kP A P a X x F x F a (3-12)

1 1 ,k k kA A A

1

lim sehingga lim ( ) 0.k k kk kk

A A P A

(3-13)

lim ( ) lim ( ) ( ) 0.X Xk kk kP A F x F a

( ) ( ),X XF a F a (3-14)

lim kkx a

8

Sifat2 Tambahan sebuah FDK

(iv) Jika a, FX(a) = 0, maka FX(x) = 0, x a.

sebab FX(a) = P{X() a} = 0 berakibat {X() a} adl kejadian berpeluang nol padahal jika x a maka {X() a} {X() a} sehingga (dari ekspresi (3.6))

0 P{X() a} P{X() a} = 0. (v)

karena adl dua kejadian ME.

(vi)

sebab kejadian dan saling ME, gabungannya sama dengan

(3-15)

( ) 1 ( )XP X x F x (3-16)

( ) ( ) ,X x X x

1 2 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ), .X XP x X x F x F x x x (3-17)

1 2{ ( ) }x X x 1 ( ) X x 2 ( ) .X x

9

(vii)

Misalkan dan Dari (3-17),

Ini adalah pernyataan

Menurut (3-14), FX(a+) (limit dari FX (x) ketika x a dari kanan) selalu ada dan sama dengan FX(a). Sebaliknya nilai limit kiri FX(a) tidak harus sama dg FX(a). Jadi FX tidak harus kontinu kiri. Pada titik2 tak kontinu dari FX, kedua limit kiri dan kanan berbeda sehingga dari (3-20) berlaku

( ) ( ) ( ).X XP X x F x F x (3-18)

1 , 0,x x 2 .x x

0 0

lim ( ) ( ) lim ( ),X XP x X x F x F x

(3-19)

( ) ( ) ( ).X XP X x F x F x (3-20)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0.X X X XP X a F a F a F a F a (3-21)

10

)(xFX

xc

1

Fig. 3.2

Jadi jenis diskontinu di titik x = a dari FX hanyalah jenis loncatan (sebesar FX(a) FX(a)) yg terjadi pada titik2 di mana (3-21) berlaku. Titik-titik ini membentuk barisan titik-titik diskontinu a1, a2, a3, … yg banyaknya paling

banyak terhitung (countable), mungkin berhingga.

Contoh 3.1: X dirumuskan dengan X() = c, . Tentukan FX ! Solusi: Untuk x c, {X() < x} = shg

FX(x) = 0, jika x c. Untuk x > c, {X() < x} = shg FX(x) = 1, jika x > c (Fig.3.2)

Contoh 3.2: Mis = {H, T} adl ruang kejadian dalam percobaan lempar koin dan Y adalah p.a. dengan Y(T) = 0 dan Y(H) = 1. Tentukan FY !

11(3-22)

( )YF x

y

Fig.3.3

1

1

q

Solusi: Utk y < 0, {Y() < y} = shg FY (y) = 0, jika y < 0. Utk 0 y < 1, {Y() < y} = {T} shg FY(y) = P(T) = 1 p, jika 0 y < 1. Utk y 1, {Y() < y} = {H, T} = shg FY(y) = P(H) = 1, jika y 1.

X disebut p.a. jenis kontinyu jika FDK-nya adalah fungsi kontinyu. Dalam hal ini berlaku a , FX(a) = FX(a) shg dari (3-21) disimpulkan: P(X = a) = 0.

Jika FX konstan, kecuali pada sebanyak hingga titik2 lon-catan, yaitu diskontinyu se-potong2, berjenis tangga (step-type), maka X disebut p.a. jenis diskrit. Jika x = ai, i = 1, 2, 3, … adl salah satu titik diskontinyu FX, maka dari (3-21)

pi = P(X = ai) = FX(a) FX(a) > 0.

12

Dari Fig.3.2, di titik diskontinyu x = c berlaku

P(X = c) = FX(c) FX(c) = 1

sedangkan dari Fig.3.3, di titik diskontinyu y = 0 berlaku

P(Y = 0) = FY(0) FY(0) = q 0 = q.

Contoh 3.3: Sebuah koin ideal dilemparkan dua kali dan Z menyatakan banyaknya head yang muncul. Tentukan FZ ! Solusi: Jelas = {HH, HT, TH, TT} shg menurut premis dalam soal di atas, p.a. Z: didef sbb (Fig.3.4):Z(HH) = 2 , Z(HT) = Z(TH) = 1 , Z(TT) = 0 .• z < 0, {Z() < z} = FZ(z) = 0, • 0 z < 1, {Z() < z} = {TT} FZ(z) = ¼,• 1 z < 2, {Z() < z} = {TT, HT, TH} FZ(z) = ¾,

• 2 z, {Z() < z} = {TT, HT, TH, HH} = FZ(z) = 1.

13

( )( ) .

X

X

dF xf x

dx

0

( ) ( ) ( )lim 0,

X X X

x

dF x F x x F x

dx x

(3-23)

(3-24)

)(xFX

xFig. 3.4

1

4/1

1

4/3

2

Dari Fig.3.4, P(Z = 1) = FZ(1) FZ(1) = ¾ ¼ = ½.

Fungsi Peluang Massa (FPM)

Turunan fungsi distribusi FX disebut Fungsi Peluang Massa (probability density/mass function) fX dari X. Jadi

Karena

(ketaksamaan ‘ 0’ adl akibat sifat monoton naik FDK FX ).

14

( ) ( ),i iXi

f x p x x (3-25)

( ) ( ) .x

X xF x f u du

(3-26)

( ) 1.xf x dx

(3-27)

( )Xf x

xix

ip

Fig. 3.5

Jadi untuk setiap x , berlaku f(x) 0. fX kontinyu jika X adl p.a. jenis kontinyu. Tetapi dalam kasus X adl p.a. jenis diskrit, spt pada (3-22), FPM-nya memiliki bentuk umum semacam (Fig. 3.5)

di mana xi menyajikan titik2 diskontinyu-lompat FX. Dari Fig. 3.5, fX(x) menyatakan kumpulan massa diskrit, sesuai dengan namanya FPM. Dalam kasus kontinyu, definisi (3-23) memungkinkan penggunaan integral tak tentu, tetapi tak sejati (improper)

Dg (3-26) sifat pertama FX di ekspresi (3.7): FX(+) = 1,bisa ditulis sbg

15

2

11 2 2 1( ) ( ) ( ) ( ) .

x

X X XxP x X x F x F x f x dx (3-28)

Fig. 3.6

)(xf X

(b)

x1x 2x

)(xFX

x

1

(a)1x 2x

PILLAI

Nama density function (bukan mass function) diilhami oleh ekspresi (3.27). Lebih jauh, dari (3-26) diperoleh (Fig. 3.6b)

Pada Fig 3.6, luas daerah fX(x) di dalam selang buka (x1, x2) adalah visualisasi nilai peluang (3-28).

Karena suatu peubah acak sering hanya dinyatakan oleh FPMnya (diskrit atau kontinyu), berikut diberikan beberapa FPM untuk masing-masing kategori (diskrit dan kontinyu).

16

2 2( ) /21( ) .2

xXf x e

(3-29)

,2 2( ) /21( ) ,

2

x yX

xF x e dy G

(3-30)

2 /21( )2

x yG x e dy

)(xf X

x Fig. 3.7O

Peubah Acak Jenis Kontinyu

1. Distribusi Normal (Gauss): X dikatakan berdistribusi normal atau Gauss, jhj

Grafik fungsi ini berbentuk bel yang simetri terhada garis tegak x = (lengkapnya X, mean dari X). FPM-nya adl

Daftar nilai banyak tersedia dan

FX tergantung pada parameter dan 2 (variance dari X). P.a. X yang disajikan melalui (3-29) biasa ditulis dg lambang X N(, 2) .

17

2. Dist. seragam (uniform) pada [a, b], X U(a, b) (Fig. 3.8)

1, apabila ,

0 , apabila [ , ].( )X

a x bb a

x a bf x

(3.31)

)(xf X

xa b

ab 1

Fig. 3.8

3. Eksponensial: X () (Fig. 3.9)

/1, apabila 0,

0 , apabila < 0.( )

x

Xe x

xf x

(3-32)

)(xf X

xFig. 3.9

PILLAI

18

4. Dist. Gamma: X G(α, β), α > 0, β > 0, jika (Fig. 3.10)

Hanya utk α = n bulat,

5. Dist. Beta: X β(a, b), dg a > 0, b > 0, jika (Fig. 3.11)

dimana fungsi Beta β(a, b) didefinisikan sbb

1/ , jika 0,

( ) ( ) 0 , jika <0.

x

X

x e xf x

x

(3-33)

( ) ( 1)!.n n

(3-34)

1 1 1

0( , ) (1 ) .a ba b u u du (3-35)

( )Xf x

x

Fig. 3.1110

x

( )Xf x

Fig. 3.10

1 11(1 ) , 0 1,

( , )( )

0 , jika (0, 1).

a b

X

x x xa bf x

x

19

6. Distr. Chi-Square: X 2 (n) jika (Fig. 3.12)

Perhatikan bahwa 2(n) =

7. Distr. Rayleigh, X R(2) jika (Fig. 3.13)

8. Distribusi Nakagami-m dinyatakan oleh FPM-nya

2( , 2).nG

2 2/ 22

, 0,( )

0 , < 0.

x

X

xe x

f xx

(3-36)

(3-37)

x

( )Xf x

Fig. 3.12

x

( )Xf x

Fig. 3.13

/ 2 1 / 2/ 2

1, 0,

2 ( / 2)( )

0 , x < 0.

n xn

X

x e xnf x

22 1 /2, 0

( ) ( )

0 , <0X

mm mxm

x e xf x m

x

(3-38)

20

. ,1

)2/(

2/)1()(

2/)1(2

tn

t

nn

ntf

n

T

2 2/( ) , .

( )Xf x xx

| | /1( ) , .

2x

Xf x e x

( )Xf x

x

Fig. 3.14

(3-41)

(3-40)

(3-39)

x

( )Xf x

Fig. 3.15t

( )Tf t

Fig. 3.16

9. Distr. Cauchy: X C(α, ) apabila (Fig. 3.14)

10. Distribusi Laplace: (Fig. 3.15)

11. Distribusi-t ‘Student’ dg n derajat kebebasan (Fig 3.16)

21

12. F-distribution dari Fisher/ 2 / 2 / 2 1

( ) / 2

{( ) / 2} , 0

( ) ( / 2) ( / 2) ( )

0 , <0.

m n m

m nz

m n m n zz

f z m n n mz

z

(3-42)

PILLAI

22

Peubah Acak Jenis Diskrit

1. Distr. Bernoulli: daerah hasil X adl {0, 1} dengan P(X = 0) = q dan P(X = 1) = p.

2. Binomial: X B(n, p) jika (Fig. 3.17)

3. Poisson: X P() jika (Fig. 3.18)

(3-43)

( ) , 0,1,2, , .k n knP X k p q k n

k

(3-44)

( ) , 0,1,2, , .!

k

P X k e kk

(3-45)

k

)( kXP

Fig. 3.17

12 n

)( kXP

Fig. 3.18 PILLAI

23

4. Distr. Hipergeometrik:

5. Geometrik: X g(p) jika

6. Negative Binomial: ~ if

7. Dist. Seragam-Diskrit:

Kita simpulkan dengan distribusi umum yang diberikan olehPILLAI

(3-49)

(3-48)

(3-47)

.,,2,1 ,1

)( NkN

kXP

),,( prNBX

1( ) , , 1, .

1r k rk

P X k p q k r rr

( ) , 0, 1, 2, , , 1 .kP X k pq k q p

, max(0, ) min( , )( )

m N m

k n kN

n

m n N k m nP X k

(3-46)

24

Polya. Distribusi ini menjadikan distribusi Binomial danHipergeometrik sebagai kasus-kasus khusus.

Distribusi Polya: Sebuah kotak berisi a bola putih dan b bolahitam. Sebuah bola diambil secara acak, dikembalikan bersama-sama dg penambahan c buah bola yang berwarna sama. Jika X menyatakan banyak bola putih yang terambil,X = 0, 1, 2, …, n, cari FPM dari X !

Solusi: Renungkan satu kejadian ketika k bola putih terambil

secara berurutan, disusul oleh n – k bola hitam. Peluang k

bola putih terambil secara berurutan adalah

Jadi peluang k bola putih terambil secara berurutan, diikuti

2 ( 1)

2 ( 1)W

a a c a c a k cp

a b a b c a b c a b k c

(3-50)

25

oleh n – k bola hitam, adalah

Sangat menarik bahwa pk di (3-51) juga menyatakan peluang

k bola putih dan (n – k) bola hitam terambil tanpa mengikutiurutan pengambilan tertentu (yaitu, pembilang dan penyebutdalam (3-51) memberi kontribusi sama pada urutan apa pun.Jadi (3.51) berlaku untuk semua urutan hasil pengambilanyang berbeda. Dengan menjumlah semuanya, distribusi Polyadiperoleh, yaitu

n

k

1 1

0 0( )

( 1)

( 1) ( 1)

.

k w

k n k

i j

b jca ica b ic a b j k c

b b c b n k cp p

a b kc a b k c a b n c

(3-51)

1 1

0 0( )( ) , 0,1,2, , .

k n k

ki j

n nk k

b jca ica b ic a b j k cP X k p k n

(3-52)

26

Telah disinggung bahwa distribusi Binomial dan Hipergeo-metrik adalah kasus khusus dari (3-52).

Sesungguhnya jika c = 0, maka (3-52) adalah distribusibinomial

dengan

Demikian pula, apabila pengambilan dilakukan tanpa pengembalian, maka dalam (3-52) berlaku c = – 1 sehinggaP(X = k) =

( ) , 0,1,2, ,k n knk

P X k p q k n

(3-53)

, 1 .a b

p q pa b a b

( 1)( 2) ( 1) ( 1) ( 1)

( )( 1) ( 1) ( ) ( 1)nk

a a a a k b b b n ka b a b a b k a b k a b n

27

yang membuktikan bahwa X berdistribusi hipergeometri. Nilai c = +1 menghasilkan (penggantian dua kali lipat bolayang sama dengan bola yang terambil) FPM

yang disebut distribution +1 Polya. Bentuk umum distribusiPolya dalam (3-52) pernah digunakan dalam study penyebar-an penyakit menular (epidemic modeling).

1 1

1

( 1)! ( 1)! ( 1)! ( 1)!( )

( 1)! ( 1)! ( 1)! ( 1)!

= .

n

k

a k b n k

k n ka b n

n

a k a b b n k a b kP X k

a a b k b a b n

(3-55)

! !( )! !( )!!( )! ( )!( )! ( )!( )!

a b

k n ka b

n

n a a b k b a b nk n k a k a b b n k a b k

(3-54)