persamaan diferensial 3

7/21/2019 Persamaan Diferensial 3

http://slidepdf.com/reader/full/persamaan-diferensial-3 1/10

25/03/2008 Ir. I Nyoman Setiawan, MT. 1

Persamaan Diferensial Linear Orde Dua

)()(')(")( xr y xq y x p y x f =++-Suatu persamaan diferensial adalah linear, jika koefisiennya

konstan atau hanya merupakan fungsi dari variabel bebasnya.

Contoh :

x xy y xy sin2'3" =−+ (linear tak homogen)

(linear homogen)062")1( 2=+−− y xy y x

x

e y x y x yy =+− 22

)'(" (tak linear tak homogen)




Konsep Penyelesaian Prinsip Superposisi

0" =+ y y

x x y

x y

x y

x y

sin8cos2

cos3

sin

cos

−=

=

=

=

Dalam kasus persamaan linear homogen kita dapat

memperoleh penyelesaian baru dari beberapa

penyelesaian yang diketahui dengan perkalian dan

penjumlahan konstanta (Prinsip Superposisi).

Contoh :

Kombinasi linear

sembarang)konstanta,( 212211 cc yc yc y +=




Persamaan Diferensial Homogen

dengan Koefisien Konstan

0'" =++

cybyay

( )( )

0

0

0

",',

2

2

2

2

a,b dan c konstan

=++

=++

=++

===

cba

ecba

ceebea

e ye ye y

x

x x x

x x x

λ λ

λ λ

λ λ

λ λ

λ

λ λ λ

λ λ λ

Persamaan Karakteristik

Penyelesaian :




aacbbdan

aacbb

cba

24

24

0

2

2

2

1

2

−−−

=

−+−

=

=++

λ λ

λ λ

x x ecec yU P 21

21

21

..

dan berbedayangriilakar Dua

λ λ

λ λ

+=

Contoh : 02'3" =++ y y y

22

893dan12

893

023

21

2

−=−−−

=−=−+−

=

=++

λ λ

λ λ

x x

ecec yU P

2

21..

−−

+=




( ) x B x Ae yU P

aacb

ab j j

x β β

β α β α λ β α λ

λ λ

α sincos..

24,

2,

dankonjugatKompleksAkar

2

021

21

+=

−=−=⇒−=+=

010'2" =+− y y yContoh :

312

4042

dan312

4042

0102

21

2

j j −=

−−=+=

−+=

=+−

λ λ

λ λ

( ) x B x Ae yU P

x

3sin3cos.. +=




xe xcc yU P

a

b

α

α λ λ

)(..

2,samaakar Dua

21

21

+=

−==

22

16164

dan22

16164

044

21

2

−=

−−−

=−=

−+−

=

=++

λ λ

λ λ

04'4" =++ y y y

xe xcc yU P

2

21 )(.. −

+=

Contoh :

Operator Diferensial

L,''',",' 32 y y D y y D y Dy ===

0)44( 2

=++ y D DContoh :




Persamaan Diferensial Tak Homogen dengan

Koefisien Konstan )('" xr cybyay =++ (1)

homogentakkhususan penyelesai

homogenumuman penyelesai..

=

=+=

p

h ph

y

y y y yU P

xkeγ

Bentuk pada r(x) Pilihan untuk yp

xCe

γ

),1,0( L

=nkxn 011

1 K xK xK xK nn

nn ++++

−

− L

xk

xk

ω

ω

sin

cos x M xK ω ω sincos +

Tabel 1. Metode Koefisien Taktentu




Aturan untuk Metode Koefisien Taktentu

A. Aturan dasar . Jika r(x) dalam persamaan (1) merupakan salah

satu fungsi yang terdapat pada kolom pertama dari tabel 1 pilihlah

fungsi yp yang bersesuaian dari kolom kedua dan tentukan koefisien

taktentunya dengan cara substitusi dan turunannya kedalam

persamaan (1)

B. Aturan Modifikasi. Jika r(x) merupakan penyelesaian persamaanhomogen dari persamaan (1), maka kalikan yp yang kita pilih dengan x

(atau x2 jika penyelesaian ini diperuntukan bagi akar kembar

persamaan karakterisrtik dari persamaan homogen

C. Aturan Penjumlahan. Jika r(x) merupakan penjumlahan fungsi-

fungsi yang berasal dari beberapa baris dari kolom pertama pada tabel

1, maka pilihlah yp yang berupa penjumlahan fungsi-fungsi dari baris

yang bersesuaian dalam kolom kedua.




x y y y 4sin26'5" =+−

06'5" =+− y y y

x x

h ecec y 2

2

3

1

21

2

22

24255

dan32

24255

065

+=

=−−

==−+

=

=+−

λ λ

λ λ

x M xK y

x M xK y x M xK y

p

p

p

4sin164cos16"

4cos44sin4'4sin4cos

−−=

+−=

+=

Homogen

Tak Homogen

Pilihan untuk yp

Contoh :




25

2

25

1

50

2

250

21020

04020

2)1020(0)2010(

=−=−=

=−

=−

=−−

=−=−−

K M

M

M K

M K

M K M K

x M K x M K

x M xK x M xK xK x M x M xK

x M xK x M xK

4sin)1020(4cos)2010(

4sin64cos6)4sin4cos(64sin204cos20)4cos44sin4(5

4sin164cos16)4sin164cos16(

−+−−=

+=+

+−=+−−

−−=−−

Samakan koefisien

x y y y 4sin26'5" =+−Subtitusi yp

+

x x M K x M K 4sin24sin)1020(4cos)2010( =−+−−

x xecec y

y y y

x x y

x x

ph

p

4sin

25

14cos

25

2

4sin

25

14cos

25

2

2

2

3

1 −++=

+=

−=

persamaan diferensial 3

Documents