Menu Cari

4 Votes

Penyelesaian Persamaan Diferensial : PD Tidak Eksak (Faktor Integral)

Persamaan Diferensial Tidak Eksak adalah suatu PD tingkat satu dan berpangkat satuyang berbentuk

M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 (i)

dan memenuhi syarat

Penyelesaian PD tidak eksak dapat diperoleh dengan dengan mengalikan PD (i) dengansuatu fungsi u yang disebut Faktor Integral (FI), sehingga diperoleh PD eksakyaitu

u M(x, y) dx + u N(x, y) dy = 0 (ii)

karena PD sudah berbentuk eksak, maka memenuhi

=

u + M = u + N

u ( ) = (M N )

RUMUS UMUM FAKTOR INTEGRAL

u(x, y) =

Secara umum Faktor Integral terdiri dari tiga kasus yaitu

(a) FI u sebagai fungsi x saja

karena u sebagai fungsi x saja, maka

= dan = 0

Oleh karena itu, Rumus Umum Faktor Integral diatas dapat ditulis

u(x) =

dx = Q

dx =

dx =

dx = ln u

u(x) =

u(x) =

dengan h(x) =

(b) FI u sebagai fungsi y saja

karena u sebagai fungsi y saja, maka

= 0 dan =

Oleh karena itu, Rumus Umum Faktor Integral diatas dapat ditulis

u(y) =

dy = -M

dy =

dy =

dy = ln u

u(y) =

u(y) =

dengan h(y) =

(c) FI u sebagai fungsi x dan y

andaikan FI : u = u(x, y)

misal bentuk peubah x, y = v

maka FI : u = u(v)

= (iii)

= (iv)

= (v)

Jika pers (iii), (iv) dan (v) disubstitusikan ke RUMUS UMUM FAKTOR INTEGRAL,maka

u(x, y) =

u(v) =

u(v) =

=

=

=

ln u =

Jadi, FI : u(v) =

dengan h(v) =

Contoh :

Tentukan Faktor Integral dan penyelesain PD dibawah ini :

1. (4 xy + 3y x) dx + x(x + 2y) dy = 0

Penyelesaian :

misal : M(x, y) = 4 xy + 3y x

N(x, y) = x(x + 2y)

= 4x + 6y

= 2x + 2y

Jadi,

2

2

=

= [fungsi dari x saja]

maka FI adalah = = x

sehingga diperoleh PD eksak adalah

x (4 xy + 3y x) dx + x (x + 2y) dy = 0

dx + dy = 0

Karena PD diatas sudah berbentuk PD eksak, sehingga untuk mencari solusinyadigunakan Penyelesaian PD Eksak.

ambil = x (4 xy + 3y x)

= 4xy + 3xy x

F(x, y) = (4xy + 3xy x) dx + g(y)

= xy + xy x + g(y)

= x + 2xy + g(y)

karena = G(x, y), sehingga

x + 2xy + g(y) = x (x + 2y)

x + 2xy + g(y) = x + 2xy

g(y) = 0

g(y) = C

solusi PD : xy + xy x + C

2. y(x + y + 1) dx + x(x + 3y + 2) dy = 0

Penyelesaian :

misal : M(x, y) = xy + y + y

N(x, y) = x + 3xy + 2x

= x + 2y + 1

2

2 2 3

2 2

3 2 2 3

3 2 2 3

4 3 2 4

4 3

4 3 3

4 3 4 3

4 3 2 4

2

2

= 2x + 3y + 2

Jadi,

=

= [fungsi dari y saja]

maka FI adalah = = y

sehingga diperoleh PD eksak adalah

y(x + y + 1) dx + xy(x + 3y + 2) dy = 0

dx + dy = 0

Karena PD diatas sudah berbentuk PD eksak, sehingga untuk mencari solusinyadigunakan Penyelesaian PD Eksak.

ambil = y(x + y + 1)

= xy + y + y

F(x, y) = (xy + y + y) dx + g(y)

= xy + xy + xy + g(y)

= xy + 3xy + 2xy + g(y)

karena = G(x, y), sehingga

xy + 3xy + 2xy + g(y) = xy(x + 3y + 2)

xy + 3xy + 2xy + g(y) = xy + 3xy + 2xy

g(y) = 0

g(y) = C

solusi PD : xy + xy + xy + C

3. (2xy y) dx + (2xy x) dy = 0

Penyelesaian :

2

2

2 3 2

2 3 2

2 2 3 2

2 2

2 2

2 2 2 2

2 2 3 2

3 2 2 3

3 2

misal : M(x, y) = 2xy y

N(x, y) = 2xy x

= 4xy 1

= 4xy 1

Jadi,

= (4xy 1) (4xy 1)

= 4xy(x y)

ambil :

v = xy = y dan = x

M = x(2xy y)

N = y(2xy x)

maka

M N

= (2xy xy) (2xy xy)

= 2xy(x y)

=

= dv

= dv [fungsi x dan y]

maka FI adalah u(x, y) =

=

3 2

2 3

3

3

3 3

2 2

3 2

2 3

4 2 2 4

2 2 2 2

[

=

sehingga diperoleh PD eksak adalah

(2xy y) dx + (2xy x) dy = 0

dx + dy = 0

Karena PD diatas sudah berbentuk PD eksak, sehingga untuk mencari solusinyadigunakan Penyelesaian PD Eksak.

ambil = (2xy y)

= 2x

F(x, y) = (2x ) dx + g(y)

= x + + g(y)

= + g(y)

karena = G(x, y), sehingga

+ g(y) = (2xy x)

+ g(y) = 2y

g(y) = 2y

g(y) = y

solusi PD : x + + y = 0

Share this:

Facebook Twitter Google Cetak Simpan Sebagai PDF

3 2 2 3

3 2

2

2 3

2

2 2

About these ads

Suka

Sebelumnya Berikutnya

Berikan BalasanAlamat surel Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *

Kirim Komentar

Desember 24, 2012 2 Replies

Be the first to like this.

Terkait

Penyelesaian PersamaanDiferensial : PD Eksak

Problem (19) : PersamaanDiferensial

Persamaan Diferensial

In "Persamaan Diferensial" In "Problem of Visitors"In "Persamaan Diferensial"

Nama

Surel

Situs web

Komentar

*

*

Beri tahu saya komentar baru melalui email.

Beritahu saya pos-pos baru lewat surat elektronik.

Ping-balik: Problem (19) : Persamaan Diferensial | Math IS Beautiful

Selamat Datang di Blog Q

Ikkakimsains pada Juni 20, 2014 pukul 1:49 am

Mohon izin kak untuk saya ambil materi dari blog ini. Terima kasih

Balas

Seseorang yang merupakan alumni mahasiswa Program Studi Matematika diUniversitas Mataram yang mencoba menulis dan berbagi apa yang sudah saya dapat

baik di sekolah maupun kuliah khususnya tentang matematika. Semoga apa yangsaya tulis di blog ini bermanfaat untuk kita semua.

Translate This Blog

Langganan Artikel

Masukkan alamat surat elektronik Anda untuk mengikuti blog ini dan menerima pemberitahuan tentang tulisan barumelalui surat elektronik.

Bergabunglah dengan 577 pengikut lainnya.

Masukkan alamat email Anda

Langganan

Cari

Kunjungan

1,464,890

Daftar Isi

Komentar

hany on Tanya Jawab MATEMATIKA

Jurnal Sifat Karbohi on Vektor dan Sifat-Sifatnya

get download on Problem (14)

get blackhat downloa on Fungsi Satu-Satu (Injektif)

Achmad Syifa'ul Qolb on Tanya Jawab MATEMATIKA

Andri on Tanya Jawab MATEMATIKA

yoga on Pembahasan Soal Turunan SPMB/S

Kenapa PDF-XChange ?Pembahasan TPA USM STAN DIII 2014 (2)Pembahasan TPA USM STAN DIII 2014 (1)0^0 tak terdefinisi ?Cara Install LaTeXLuas Segiempat SembarangLaTeX for FacebookMohon MaafTeori GrupMenulis Equation pada BlogspotAkses Jurnal GratisInvers Matriks dengan Cayley-Hamiltonx + tan x = 1

mayshud on Cara Membuat Link pada Tulisan

Thom much on Tanya Jawab MATEMATIKA

aimprof08 on Tanya Jawab MATEMATIKA

Blog & Web Mathematics

DosenQ

Coretan Adit38Art Of ScienceMarwanSitusProf. Sunarpi

Forum Rubik

My Friends

adimath17AlgebraAsimtotCALCULUSDr. MathDunia Matematika KitamatematikakitaMelajahMaTIKnabihbawazir

BadmephistobigcubesJessica FridrichLars PetrusLars VanderbeghNusantara Speedcubing AssociationRubikkuRyan HeiseSutaro Makisumi

Teman Blogger

apikkdefantrifathonismeJuntak BlogPencari JejakREAL NEWSThe Future KalifaWidya Informasi

Tempat Menuntut Ilmu

Belajar Bahasa InggrisGamatika Zonepojok MIPAPrisma Edukasi PrivatTes Potensi Akademik

Tulisan Teratas

Pembahasan Soal Barisan dan Deret Geometri UN SMAPembahasan Soal Barisan dan Deret Aritmatika UN SMAMenghitung Determinan Matriks Menggunakan KofaktorInvers MatriksPembahasan Soal Latihan Eksponen

Kategori

Aljabar (17)Analisis Numerik (14)Barisan dan Deret (3)Excel for Math (5)Fungsi (8)Geometri (25)

august_tynz poenyaaBlog Slemdenydatogarfirman09Hidayat07Jiun Sasmitajust for lombokMath BoyMath is My Activity

Graf (Graph) (3)Indahnya Matematika (30)Integral (27)Kalkulus (18)Kumpulan Soal (4)Latar Belakang SKRIPSI (6)LaTeX for Wordpress (6)Logika Matematika (16)Non Math (32)

Tutorial for Wordpress (13)Uncategorized (18)

Olimpiade Matematika (11)Persamaan Diferensial (12)Problem of Visitors (24)ProgramLinier & RisetOperasi (6)Rubik (5)Sejarah di Matematika (4)SNMPTN / SPMB (26)Tes Potensi Akademik (32)Trigonometri (7)Trik Menghitung Cepat (9)Turunan (14)Ujian Nasional (23)

View Full Site

Blog di WordPress.com.

Now Available! Download WordPress for Android