Aplikasi Matematik

MTE 3114

PENGHARGAAN

Assalamualaikum w.b.t...

Bersyukur saya ke hadrat Ilahi dengan limpah kurnia-Nya, hidayah-Nya serta

inayah-Nya, dapat saya menyempurnakan tugasan kerja kursus MTE3114 ini pada

masa yang telah ditetapkan. Kerja kursus ini telah diberikan awal oleh pensyarah

pembimbing bagi membuat rujukan, pemerhatian dan mengumpul maklumat. Tarikh

mula bagi kerja kursus kursus ini ialah pada 2 Februari 2015 yang lalu.

Saya juga berterima kasih kepada saya pensyarah Puan Norilla Binti Satari

yang banyak memberi tunjuk ajar yang sedemikian rupa. Segala tunjuk ajar anda

sangat dihargai. Beliau yang banyak memperi tips-tips dan petua memudahkan kami

menyiapkan tugasan yang diberikan.

Juga kepada suami yang sentiasa menyokong saya dari belakang dan turut

memberi semangat. Berkat doanya saya sentiasa dalam keadaan yang sihat, tenang

dan tenteram dalam proses menjalankan tugasan kerja kursus ini.

Kerja kursus ini sangat mencabar dan terpaksa dijalankan dalam kengkangan

masa yang sememangnya memerlukan kesabaran di samping rutin harian kerja

seorang guru . Namun begitu , penulisan artikel berjaya juga disiapkan mengikut masa

dan waktu yang ditetapkan. Semasa menjalankan kerja kursus ini, saya telah

melakukan rujukan di perpustakaan, internet, dan berkongsi idea bersama seorang

guru yang berpengalaman mengajar mata pelajaran Matematik di sekolah menengah

1

Aplikasi Matematik

MTE 3114

iaitu Puan Zaleha Binti Haronsekolah yang banyak membantu. Jadi, sekalung

penghargaan buatnya yan g telah banyak membantu.

PENGENALAN KALKULUS

Kursus ini memfokus kepada konsep utama dalam kalkulus , fungsi dan graf,

kefahaman asas kepada had dan teorem had, terbitan dan integral serta pola dan

perhubungan. Teknologi digunakan untuk melakar dan membuat interpretasi graf

fungsi.

Pengetahuan adalah maklumat yang diketahui atau disedari oleh seseorang.

Pengetahuan tidak dibatasi pada deskripsi, hipotesis, konsep, teori, prinsip dan

prosedur yang benar atau berguna. Pengetahuan terdiri atas kepercayaan tentang

kenyataan juga mungkin diperoleh berdasarkan pengalaman. Cara lain untuk mendapat

pengetahuan ialah dengan pengamatan dan eksperimen.

Kalkulus adalah satu cabang matematik. Kalkulus telah diwujudkan di

sebahagian besar oleh Newton dan Leibniz, walaupun beberapa idea-idea yang telah

digunakan oleh Fermat dan juga Archimedes. Kalkulus dibahagikan kepada dua

bahagian, yang berkait rapat. Satu bahagian dipanggil "kalkulus pembezaan" dan

bahagian yang lain dipanggil "kalkulus kamiran".

Kalkulus kamiran membayangkan satu bentuk matematik yang mengenal pasti

isipadu, luas dan penyelesaian kepada persamaan. Kalkulus pembezaan adalah satu

kajian terhadap fungsi dan kadar perubahan dalam fungsi apabila pembolehubah

2

Aplikasi Matematik

MTE 3114

diubah. Kalkulus kamiran menumpukan kepada menentukan jawapan matematik

seperti saiz jumlah atau nilai

Kalkulus adalah cabang matematik yang dikembangkan dari algebra dan

geometri. Kalkulus umumya mempelajari perubahan laju (dalam fungsi), seperti halaju,

lengkung, dan isipadu. Perkembangan kalkulus awalnya didukung oleh Archimedes,

Leibniz dan Newton juga Barrow, Descartes, de Fermat, Huygens, dan Wallis. Dasar

dari kalkulus adalah pengamiran, pembezaan dan had.

Luas adalah kuantiti fizik yang menyatakan ukuran suatu permukaan. Unit luas

utama menurut ‘Scale International’ (SI) adalah meter persegi sedangkan menurut

sistem Imperial adalah kaki persegi. Pengukuran luas untuk bentuk-bentuk sederhana

boleh dilakukan dengan menggunakan persamaan Matematik. Contohnya, untuk suatu

segiempat, luas adalah lebar darab tinggi.

Theorem Asas Kalkulus telah dikenali kerana ia menghubungkan dua cabang

kalkulus, iaitu kalkulus pembezaan dan kalkulus kamiran. Kalkulus pembezaan terhasil

daripada masalah tangen manakala kalkulus kamiran terhasil daripada masalah

mencari luas. Guru kepada Newton di Cambridge, Isaac Barrow (1630 – 1677),

menemui dua masalah dalam kalkulus adalah sangat berkaitan bahkan menyedari

pembezaan dan kamiran adalah proses songsangan.

Theorem Asas Kalkulus menunjukan hubungan songsang yang jelas antara

pembezaan dan kamiran. Newton dan Leibniz menggunakan hubungan antara

pembezaan dan kamiran untuk membina kalkulus sebagai kaedah matematik yang

sistematik. Secara khusus mereka melihat Theorem Asas Kalkulus membolehkan

3

Aplikasi Matematik

MTE 3114

mereka mengira luas dengan kaedah kamiran adalah mudah tanpa perlu menggunakan

limit bagi suatu jumlah.

Cabang kalkulus dipenuhi teori dan aplikasi pengamiran. ‘Differential Calculus’

memfokuskan pada kadar perubahan, seperti kecerunan garis tangen dan halaju.

‘Integral Calculus’ pula menekankan jumlah sesuatu nilai seperti panjang, luas kawasan

dan isipadu. Penguasaan pelajar dalam Kalkulus Permulaan di peringkat tinggi amat

penting bagi melangkah ke peringkat kalkulus yang lebih tinggi. Kesukaran pelajar

dalam penyelesaian masalah berkaitan kalkulus sering dikaitkan dengan pengetahuan

asas yang mereka miliki.

Pengamiran (integration) ialah songsangan bagi pembezaan (differentiation).

Jadi, teknik yang diaplikasikan bagi menyelesaikan soalan yang menuntut penyelesaian

berupa pengamiran adalah berbeza sedikit jika dibandingkan dengan proses

pembezaan. Kamiran ialah satu konsep penting dalam matematik yang bersama

dengan pembezaan, membentuk antara operasi utama dalam kalkulus.

Prinsip kamiran telah diterbitkan oleh Isaac Newton dan Gottfried Leibniz secara

berasingan (mereka berada di tempat yang berbeza, namun menerbitkan hasil kerja

pada waktu yang sama) pada lewat kurun ke-17. Melalui teori asas kalkulus, yang juga

diterbitkan oleh mereka berdua, kamiran dikaitkan dengan pembezaan, satu konsep

yang diketahui umum ketika itu. Terdapat dua jenis pengamiran iaitu pengamiran tentu

dan tidak tentu. Proses pengamiran boleh digunakan untuk menyelesaikan pelbagai

situasi iaitu menyelesaikan persamaan lengkung, mencari luas rantau berlorek dan juga

isi padu janaan.

4

Aplikasi Matematik

MTE 3114

Wikipedia menjelaskan secara lebih mendalam mengenai kamiran dan terbitan

yang merupakan asas kalkulus. Kedua-duanya boleh diguna pakai dalam pelbagai

bidang sains dan kejuruteraan. Perkembangan besar dalam kamiran muncul pada abad

ke-17 apabila kedua-dua Newton dan Leibniz menerbitkan teori asas kalkulus

(fundamental theorem of calculus). Teori ini membuktikan kaitan antara kamiran dan

pembezaan.

Perkaitan ini, dicampur dengan pembezaan yang jauh lebih senang daripada

kamiran, digunakan oleh kedua-duanya untuk membuktikan kewujudan kamiran dengan

sistematik dan saintifik. Kamiran menyelesaikan banyak masalah yang gagal

diselesaikan dengan pembezaan. Sesuatu fungsi yang berterusan boleh dianalisa

dengan tepat melalui kalkulus yang diberi nama infinitesimal calculus ini. Kerja-kerja

Newton dan Leibniz ini akhirnya dipanggil kalkulus moden, dimana tatanama untuk

kamiran diambil secara langsung dari kerja Leibniz.

Kalkulus telah wujud sejak zaman purba dan, dalam bentuk yang paling mudah

dan digunakan untuk mengira. Kepentingannya dalam dunia matematik dalam mengisi

kekosongan menyelesaikan masalah yang kompleks apabila matematik mudah tidak

boleh memberi jawapan. Apa yang orang tidak sedar ialah kalkulus diajar kerana ia

digunakan dalam kehidupan seharian di luar bilik darjah sekolah tinggi dan kolej.

Kalkulus mempunyai banyak aplikasi dunia sebenar. Apabila ada masalah yang

lebih kompleks untuk menyelesaikan atau ia melibatkan bentuk yang luar biasa atau

saiz, kalkulus menjadi alat untuk tiba pada penyelesaian. Sebagai contoh, jika terdapat

bumbung besar yang akan dibina seperti bumbung yang dibina melebihi stadium sukan,

5

Aplikasi Matematik

MTE 3114

pereka akan menggunakan aplikasi kalkulus untuk merancang saiz dan kekuatan

struktur. Bagi seorang profesional yang cuba untuk menentukan kerja, luas,

kelantangan, kecerunan, atau luas permukaan, kalkulus akan banyak membantu.

Sebagai contoh, kalkulus adalah penting untuk mengenal pasti perjalanan jarak

kereta dengan gerak balas pecutan. Hubungan antara kedudukan, halaju, dan pecutan

membentuk salah satu tema penting dalam kalkulus pembeza. Kita akan mendapati

bahawa hubungan ini juga merupakan aplikasi penting kamiran, terutama dalam kes-

kes di mana salah satu kuantiti berubah dengan masa. Melalui idea asas kalkulus

pembeza ini, keadaan yang paling mudah di mana anda boleh membaca bacaan

speedometer apabila anda memandu pada kelajuan yang sama seluruh jarak.

Kemudian, anda boleh menggunakan formula, kelajuan sama dengan jarak dibahagikan

dengan masa.

Kemudian kalkulus juga diperlukan dalam mencari sesuatu luas. Berdasarkan

contoh, kalkulus adalah sangat penting dalam mengira luas padang atau ladang.

Dengan menggunakan kalkulus, kita boleh menjimatkan masa dan tenaga untuk

mengira luas itu. Tambahan pula, bagi rantau bentuk tidak teratur, kita tidak boleh

menggunakan kaedah integrasi tetapi cara yang paling mudah adalah skala panjang,

kemudian memecahkan ia ke dalam segiempat tepat yang sama lebar dan mengira

jumlah kawasan tersebut. Dalam idea asas kalkulus kamiran ini, bentuk yang paling

mudah untuk mengira luas ialah dengan menggunakan segi empat tepat. Luas tersebut

merupakan panjang segi empat didarab dengan lebarnya. Sebagai contoh, "batu

persegi" adalah ukuran untuk mengukur ukuran sebidang tanah. Untuk mengira luas

6

Aplikasi Matematik

MTE 3114

rantau yang lebih rumit, kita bina rantau ini ke dalam bentuk segiempat tepat kecil yang

banyak.

Walaupun matematik kalkulus mungkin kelihatan tidak relevan dan tidak

diperlukan, jika kita fikir semula akan hal ini kita akan menyedari bahawa

mempelajarinya adalah satu kepuasan. Kita akan mengetahui keindahan sebenarnya

apabila kita memahami keupayaan alat ini sangat kuat untuk menggambarkan asal usul

persekitaran kita. Bagi saya, tiada apa yang lebih seronok daripada pembelajaran

matematik kalkulus. Istilah "Kalkulus" sering membuat pelajar matematik gementar

dalam berada ketakutan kerana reputasinya sebagai kursus yang sukar untuk diajar di

sekolah-sekolah hari ini. Kalkulus memainkan peranan yang besar di universiti-universiti

dan juga mata pelajaran penting kepada pelajar kolej dalam bidang ekonomi, sains,

perniagaan, kejuruteraan, sains komputer, dan sebagainya. Masyarakat perlu sedar

bahawa jika kalkulus ini bukan sebahagian daripada subjek matematik, kita tidak akan

menikmati semua teknologi yang popular hari ini seperti kereta, telefon bimbit,

komputer, motosikal, dan lain-lain mata pelajaran Matematik boleh dianggap menjadi

sumber dunia moden hari ini.

7

Aplikasi Matematik

MTE 3114

BINAAN FUNGSI GRAF

Dalam tugasan ini, saya telah membina fungsi mudah yang berbentuk linear

ataupun bersifat garis lurus. Saya berkali-kali mencuba jaya pelbagai fungsi yang lain

sebelumnya serta melukisnya menggunakan perisian Geometry Sketch Pad (GSP)

tetapi setelah menimbang baik buruknya, saya bersetuju memilih garis lurus sebagai

fungsi binaan memandangkan binaan janaan untuk bentuk 3D yang boleh dibentuk

dengan menggunakan garis linear lebih pelbagai.

Fungsi yang telah saya pilih ialah :

1¿ y=−x+2

2¿ y=12x+2

8

Aplikasi Matematik

MTE 3114

Fungsi Pertama y=− x+2

Garis yang menjunam menunjukkan bahawa kecerunan bagi fungsi pertama (Rajah 1)

dalah negatif.

Rajah 1

9

Aplikasi Matematik

MTE 3114

Fungsi Kedua y=12x+2

10

Aplikasi Matematik

MTE 3114

Sekiranya dilihat daripada fungsi, garis linear seolah-olah bergerak ke atas. Di sini,

gambar ini menunjukkan bahawa garis linear dalam Rajah 2 mempunyai kecerunan

positif.

Kedua-dua fungsi digabungkan dalam satu satah Cartesian

Rajah 2

11

Aplikasi Matematik

MTE 3114

Rajah 3

12

Aplikasi Matematik

MTE 3114

Proses Pengamiran

Untuk membentuk bentuk 3D, putaran sebanyak 360 darjah harus berlaku. Oleh yang

demikian, proses yang bakal berlaku ialah pengamiran bagi mencari nilai isipadu bentuk

3D yang bakal terbentuk. Untuk gambaran yang lebih jelas, Rajah 4 akan menunjukkan

proses putaran.

13

Aplikasi Matematik

MTE 3114

14

Aplikasi Matematik

MTE 3114

Rajah 4.1

15

Aplikasi Matematik

MTE 3114

Rajah 4.2

16

Aplikasi Matematik

MTE 3114

Proses pengiran isipadu model 3D yang telah dibina.

Rajah 4.3

17

0

-4 0

7

Aplikasi Matematik

MTE 3114

Isipadu =∫❑

❑

y2dx

Isipadu = +

∫−4

0

(−x+2)2dx + ∫0

7

(12x+2)

2

dx

∫−4

0

(x2−4 x+4)❑dx + ∫−4

0

( 14

2

x2+2 x+4)❑

dx

Rajah 5

x3

3−2 x2+4 x +

x2

12+x2+4 x

=

=

=

( 033 −2 (7 )2+4 (0 ))- ((−4)33−2 (−4 )2+4 (−4 ))

+ =

18

Aplikasi Matematik

MTE 3114

isipadu

- 2033 +

126712 =

45512 (isipadu)

- ( 7312+(7 )2+4 (7 ))- ( 0312+(0 )2+4 (0 ))

=−2033

π+ 126712

π

19

Aplikasi Matematik

MTE 3114

Bentuk 3D yang terhasil

20

Aplikasi Matematik

MTE 3114

Rajah menunjukkan bentuk siap 3 Dimensi yang telah terhasil.

Gambaran Kegunaan Bentuk 3D Yang Terhasil

Rajah 6

= (Kerusi Mini)

= (Alat Muzik - Darbuka)

21

Aplikasi Matematik

MTE 3114

Penerangan Kegunaan Bentuk 3D Yang Terhasil

Seperti yang telah ditunjukkan di atas, beberapa kegunaan bagi objek 3D yang

tehasil daripada fungsi yang telah dijanakan menggunakan pengapplikasian kamiran

terhingga ini. Antara kegunaan yang telah digambarkan melalui objek 3D yang terhasil

ialah seperti kerusi mini, alat muzik, bekas pensel dan juga pasu bunga hiasan.

Kerusi mini merupakan gambaran pertama yang boleh dijanakan dengan objek

3D yang terhasil. Kerusi mini ini banyak kegunaannya kepada masyarakat sekarang

yang memerlukan gadjet-gadjet modan sebahai aksesori perhiasan rumah. Kerusi ini

boleh sahaja digunakan oleh kanak-kanak sebagai kerusi belajar dan dipadankan

dengan meja mini. Selain itu kegunaan kerusi ini juga sesuai digayakan dengan meja

Jepun bagi sudut-sudut kecil dalam rumah.

= (Bekas Pensel)

= (Pasu Bunga Hiasan)

22

Aplikasi Matematik

MTE 3114

Kegunaan kedua bagi objek 3D tersebut ialah bentuk alat muzik iaitu dikenali

sebagai darbuka. Darbuka merupakan alat muzik ketukan yang boleh dihasilkan melalui

bentuk 3D tersebu dimana kegunaan darbuka merupakan sangat meluas dalam

kalangan pemuzik irama nasyid terutamanya sekolah-sekolah dan juga nasyid

professional. Darbuka adalah pelengkap bagi sesuatu muzik irama nasyid bagi

penghasilan muzik latar selain daripada conga.

Ketiga, model bentuk 3D ini juga boleh digunakan oleh pelbagai golongan seperti

golongan pelajar dan juga individu-individu yang berkerja di pejabat bagi tujuan

menyimpan perkakasan alat tulis seperti pensel, pen dan pembaris. Tujuannya juga

sama,iaitu supaya alatan-alatan ini tersimpan kemas didalam bekas yang berbentuk

menarik di atas-atas meja kerja atau belajar. Ini bakal menjimatkan ruang dimana

ruang meja akan kurang digunakan. Mengikut kebiasaannya meja seorang murid

sentiasa dipenuhi dengan alatan-alatan tulis yang berselerak.

Akhir sekali, bentuk 3 Dimensi jannaan saya ini juga boleh dijadikan sebagai

penambah seri. Model ini boleh dijadikan pasu untuk meletak dan menghias bunga-

bunga kering sebagai barangan perhiasan dalam rumah serta di pejabat. Model ini

boleh diletakkan di penjuru meja, Berdekatan dengan televisyen, ruang cabinet dan

sebagainya. Ruang tapak yang lebih luas menjamin kestabilan bagi model ini.

23

Aplikasi Matematik

MTE 3114

KESIMPULAN

Setelah menyelesaikan kerja kursus ini, saya berpendapat bahawa ianya

membantu saya mengingat kembali tentang apa itu pengamiran. Untuk beberapa

minggu kebelakangan ini, saya begitu leka dengan topik pembezaan sehinggakan saya

seolah-olah terlupa tentang pengamiran. Namun, dengan hadirnya kerja kursus ini,

saya mengimbas kembali dengan bantuan rakan-rakan dan juga dengan melakukan

serba sedikit rujukan daripada internet dan juga buku. Ini sekaligus membantu saya

mempersiapkan diri saya serba sedikit untuk peperiksaan yang bakal menjelang kelak.

Selain itu, tidak hanya tertumpu kepada tugasan individu, kesan daripada

tugasan berkumpulan juga membuatkan saya celik mata dengan fakta-fakta graf.

Sebagaimana yang ditugaskan kepada kami, proses perbandingan graf telah memberi

24

Aplikasi Matematik

MTE 3114

ilmu baru kepada saya tentang konsep konsistensi sesebuah graf. Walaupun pada

mulanya, kami saya dan rakan-rakan kumpulan seperti tidak tahu langsung tentang

proses membanding graf. Sehingga pada satu saat, saya seolah-olah lupa cara atau

teknik untuk mencari kecerunan bagi sesuatu fungsi. Namun, setelah melakukan kajian,

rujukan serta perbincangan bersama rakan-rakan kemudian akhirnya menyelesaikan

tugasan ini, kesemua itu ilmu-ilmu penting bagaikan kembali semula ke dalam fikiran

saya.

Akhir kata, kerja kursus ini sangat memenuhi keperluan kami, dari segi mental

terutamanya memandangkan minggu peperiksaan semakin hampir. Selain itu, ianya

turut berperanan sebagai latih tubi kepada kami demi memastikan ilmu yang telah

dipelajari kekal lama di dalam minda.

BIBLIOGRAFI

1) Buku

Abu Osman Md. Tap. (1988). Jilid II: Kalkulus dengan satu pemboleh ubah.Selangor:

Dewan Bahasa dan Pustaka

Chew, Khoo,May,Ooi,Rohaiza. (2008). Additional Mathematics Form 5: Selangor

Nur Niaga Sdn. Bhd.

Mustapha Majid (1994), Kalkulus asas untuk pelajar kejuruteraan dan sains jilid 1.

Kuala Lumpur: Dewan Bahasa dan Pustaka.

25

Aplikasi Matematik

MTE 3114

Ong Beng Sim (2005), Mathematics for STPM Pure Mathematics. Selangor : Penerbitan

Fajar Bakti Sdn Bhd

2) Internet

A Dendane. (2007). “Free Kalkulus Tutorial dan Masalah”. [web document]. Diperoleh

pada 25 Julai, 2012, dari

http://www.analyzemath.com/malay/calculus.html

Wikipedia. (2012) “Calculus”.. [web document]. Diperoleh 20 Julai, 2012, dari

http://en.wikipedia.org/wiki/Calculus

Tutor Circle. (2012). “Comparison Between Integration And Differentiation”. [web

document]. Diperoleh pada 23 Julai, 2012, dari

http://www.tutorcircle.com/comparison-between-integration-and-differentiation-

t1iip.html#

Chee Jun Wie . (2001). “Anti kamiran pembezaan dan kamiran tak tentu”. [web

document]. Diperoleh pada 25 Julai, 2012, dari

http://www.analyzemath.com/malay/calculus.html

26