Pengiraan :

a) Diberi k = 0.05, a = 0.001, r = 0.02 , dan b = 0.00002 , maka persamaan Lotka-Volterra yang terhasil ialah :

dRdt

=0.05 R−0.001RW

dWdt

=0.02 R−0.0002RW

Kedua – dua R dan F akan menjadi konstant jika kedua-dua terbitan adalah 0, pengiraan adalah seperti berikut :

R’ = R( 0.08 – 0.001F ) = 0

F’ = F( -0.02 + 0.00002R ) = 0

Satu penyelesaian yang diberi ialah R = 0 dan F = 0 ( jika tiada tikus atau ular, maka kadar populasi tidak akan meningkat ). Cara penyelesaian konstant yang lain ialah :

dRdt

=0

0.05R − 0.001R𝑊 = 0

R(0.05 − 0.001𝑊) = 0

0.05 − 0.001𝑊 = 0

W= 0.050.001

W = 50

dWdt

=0

−0.02𝑊 + 0.00002R𝑊 = 0

(−0.02 + 0.00002R) = 0

−0.02 + 0.00002R = 0

R = 1000

Oleh itu, populasi yang seimbang ( equilibrium ), terdiri daripada 1000 ekor tikus dan 50 ekor ular. Hal ini bermaksud, bilangan 1000 ekor tikus sudah mencukupi untuk memberi menampung keperluan 100 ekor ular.

b) Menggunakan peraturan lantai ( Chain Rule ) untuk menyingkirkan ‘t’ :

dWdt

=dWdR˟dRdt

dWdR

=−0.02W+0.00002 RW0.05R−0.001 RW

c) Jika F dikatakan sebagai fungsi kepada R, persamaan pembezaan ialah :

dWdR

=−0.02W+0.00002 RW0.05R−0.001 RW

Pada rajah 1 menunjukkan ‘direction field’ untuk model pemangsa mangsa. Lukisan tersebut menunjukkan lengkungan ‘solution curve’ seperti rajah 2. Jika kita bergerak sepanjang ‘solution curve’, kita akan melihat bagaimana hubungan di antara R dan F berubah mengikut masa. Lengkungan kelihatan seolah – olah semakin merapat apabila kita bergerak mengelilingi lengkungan, kita akan kembali ke titik yang sama. Titik ( 1000, 50 ) berada dalam lingkungan ‘solution curves’. Titik ini dipanggil titik equilibrium (equilibrium point) kerana titik ini sejajar dengan penyelesaian equilibrium (equilibrium solution ) R = 1000 dan F = 50.

Rajah 2 menunjukkan ‘ phase trajectories’ bagi persamaan pembezaan. ‘Phase trajectories’ adalah satu laluan yang dihasilkan oleh penyelesaian ( R,F) sejajar dengan masa. Satu ‘ phase potrait’ mengandungi titik keseimbangan dan ‘typical phase trajectories’.

rajah 1 : ‘Direction field’ untuk model pemangsa-mangsa

rajah 2 : Phase potrait of the system

IVV

III

Bagi menentukan pergerakkan mengelilingi ‘phase projectory’, masukkan R = 1000 dan F = 100 dalam persamaan pembezaan yang pertama. Disebabkan oleh dR/dt > 0, menunjukkan bahawa R meningkat pada Pₒ , maka pergerakkan kita mengelilingi ‘phase trejectory’ adalah secara lawan jam.

Pada kuadarant I, bilangan tikus(mangsa) banyak berbanding dengan bilangan ular(pemangsa). Hal ini

dikuatkan dengan titik (1000,50) menunjukkan bilangan tikus lebih banyak berbanding dengan ular. Hal

ini mungkin kerana populasi ular baru berhijrah ke penempatan tersebut. Bilangan pemangsa tidak

mencukupi untuk mengekalkan keseimbangan di antara populasi. Pada kuadrant II menunjukkan

bilangan populasi tikus dan ular meningkat secara selari. Hal ini di buktikan dengan titik yang di

tunjukkan pada P(1500,100). Titik tersebut telah menunjukkan peningkatan dari segi bilangan populasi

tikus dan ular. Hal ini mungkin kerana bilangan ular yang sikit pada mulanya telah membolehkan tikus

membiak dan hidup dengan selamat. Bilangan populasi tikus dikatakan meningkat sehingga berada

pada tahap maksimum. Apabila ular menyedari kewujudan populasi tikus yang banyak, semakin

banyak bilangan ular yang datang ke penempatan tersebut dan mengakibatkan bilangan ular

bertambah. Bilangan tikus berkurang pada kuadrant III, dan bilangan ular bertambah pada kuadrant ini.

Seperti yang di tunjukkan pada titik P(1000,150), bilangan ular meningkat lebih banyak, makala

bilangan tikus pula semakin berkurang. Hal ini kerana, apabila bilangan ular banyak, ular akan makan

tikus yang ada. Pertumbuhan ular juga menjadi lebih cepat disebabkan oleh sumber makanan yang

mencukupi seperti andaian yang telah di buat dalam Lotka-Volterra model. Pada kuadrant IV pula,

bilangan ular dan tikus menurun secara sejajar. Titik P (500,100) menunjukkan penurun dari segi

bilangan populasi tikus dan ular. Hal ini terjadi kerana apabila bilangan ular banyak berlakunya

persaingan untuk hidup dari segi makanan. Sumber makanan (tikus) yang ada tidak mencukupi untuk

menampung keperluan makanan ular. Hal ini menyebabkan ular terpaksa bergaduh untuk

mendapatkan makanan dan akhirnya terdapat juga ular yang mati. Selain itu, penurunan ular juga di

sebabkan oleh sesetengah ular yang berhijrah ke tempat lain untuk mendapatkan bekalan makanan

yang mencukupi.

I II

rajah 3 : Phase trajectory